ច្បាប់នៃការចែកចាយ និងលក្ខណៈ
តម្លៃចៃដន្យ
អថេរចៃដន្យ ចំណាត់ថ្នាក់ និងវិធីសាស្រ្តនៃការពិពណ៌នារបស់ពួកគេ។
តម្លៃចៃដន្យគឺជាបរិមាណដែល ជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ អាចទទួលយកតម្លៃមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែតម្លៃមួយណាមិនត្រូវបានគេដឹងជាមុន។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យ ដូច្នេះមានតែតម្លៃប៉ុណ្ណោះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះវានឹងចាំបាច់ជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍។ តម្លៃទាំងនេះនឹងត្រូវបានសំដៅទៅលើតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យ។ ដោយសារអថេរចៃដន្យកំណត់លក្ខណៈបរិមាណនៃលទ្ធផលចៃដន្យនៃការពិសោធន៍ វាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលក្ខណៈបរិមាណនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយ។
អថេរចៃដន្យជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំងឧទាហរណ៍ X..Y..Z និងតម្លៃដែលអាចធ្វើបានដោយអក្សរតូចដែលត្រូវគ្នា។
មានអថេរចៃដន្យបីប្រភេទ៖
ផ្តាច់មុខ; បន្ត; លាយ។
ផ្តាច់មុខអថេរចៃដន្យបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានដែលបង្កើតជាសំណុំដែលអាចរាប់បាន។ នៅក្នុងវេន សំណុំដែលអាចរាប់បាន គឺជាសំណុំដែលធាតុរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានរាប់ជាលេខ។ ពាក្យ "ផ្តាច់មុខ" មកពីឡាតាំង discretus ដែលមានន័យថា "មិនបន្ត មានផ្នែកដាច់ដោយឡែក" ។
ឧទាហរណ៍ 1. អថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាគឺជាចំនួននៃផ្នែកដែលមានបញ្ហា X ក្នុងបាច់នៃ nfl ។ ជាការពិតណាស់ តម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យនេះគឺជាស៊េរីនៃចំនួនគត់ពី 0 ដល់ n ។
ឧទាហរណ៍ 2. អថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាគឺជាចំនួននៃការបាញ់មុនពេលវាយដំបូងលើគោលដៅ។ នៅទីនេះ ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 តម្លៃដែលអាចធ្វើបានអាចត្រូវបានរាប់ជាលេខ ទោះបីជាក្នុងករណីកំណត់តម្លៃដែលអាចមានគឺជាចំនួនច្រើនគ្មានកំណត់ក៏ដោយ។
បន្តអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា តម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបានដែលបន្តបំពេញចន្លោះពេលជាក់លាក់នៃអ័ក្សលេខ ជួនកាលគេហៅថាចន្លោះពេលនៃអត្ថិភាពនៃអថេរចៃដន្យនេះ។ ដូច្នេះ នៅចន្លោះពេលកំណត់ណាមួយនៃអត្ថិភាព ចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺមានទំហំធំគ្មានកំណត់។
ឧទាហរណ៍ 3. អថេរចៃដន្យបន្តគឺការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីនៅសហគ្រាសក្នុងរយៈពេលមួយខែ។
ឧទាហរណ៍ 4. អថេរចៃដន្យបន្តគឺជាកំហុសក្នុងការវាស់កម្ពស់ដោយប្រើឧបករណ៍វាស់ស្ទង់។ អនុញ្ញាតឱ្យវាដឹងអំពីគោលការណ៍នៃប្រតិបត្តិការរបស់ altimeter ថាកំហុសស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី 0 ទៅ 2 m។ ដូច្នេះចន្លោះពេលនៃអត្ថិភាពនៃអថេរចៃដន្យនេះគឺជាចន្លោះពេលពី 0 ទៅ 2 m ។
ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុង ប្រសិនបើតម្លៃដែលអាចធ្វើបានរបស់វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅលើអ័ក្សលេខ ហើយច្បាប់ចែកចាយត្រូវបានបង្កើតឡើង។
ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ ត្រូវបានគេហៅថាទំនាក់ទំនងដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬជាកម្មវត្ថុនៃច្បាប់ចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេមួយចំនួន មុខងារចែកចាយ ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ មុខងារលក្ខណៈត្រូវបានប្រើជាច្បាប់ចែកចាយ។
ច្បាប់ចែកចាយផ្តល់នូវការពិពណ៌នាពេញលេញនៃអថេរចៃដន្យ។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃការចែកចាយ គេអាចវិនិច្ឆ័យបានមុនពេលមានបទពិសោធន៍ថាតើតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យនឹងលេចឡើងញឹកញាប់ជាង ហើយមួយណាតិចជាងញឹកញាប់។
សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ច្បាប់ចែកចាយអាចត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់តារាង វិភាគ (ក្នុងទម្រង់រូបមន្ត) និងក្រាហ្វិក។
ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃការបញ្ជាក់ច្បាប់នៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាគឺតារាង (ម៉ាទ្រីស) ដែលរាយក្នុងលំដាប់ឡើងតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ i.e.
តារាងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីនៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ មួយ។
ព្រឹត្តិការណ៍ X 1 , X 2 , ... , X n , មាននៅក្នុងការពិតដែលថា ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត អថេរចៃដន្យ X នឹងយកតម្លៃ x 1 , x 2 , ... x n រៀងគ្នា។ , គឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានិងតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន (ព្រោះតារាងរាយតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ), i.e. បង្កើតក្រុមពេញលេញ។ ដូច្នេះផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង 1។ ដូច្នេះសម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកណាមួយ
(ឯកតានេះត្រូវបានចែកចាយដោយដូចម្ដេចក្នុងចំណោមតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ ដូច្នេះពាក្យ "ការចែកចាយ")។
ស៊េរីការចែកចាយអាចត្រូវបានបង្ហាញជាក្រាហ្វិក ប្រសិនបើតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យមួយត្រូវបានគូសវាសតាមអ័ក្ស abscissa និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់វាតាមអ័ក្សតម្រៀប។ ការតភ្ជាប់នៃចំណុចដែលទទួលបានបង្កើតជាបន្ទាត់ខូចដែលហៅថាពហុកោណឬពហុកោណនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ (រូបភាពទី 1) ។
ឧទាហរណ៍ឆ្នោតត្រូវលេង៖ ឡានមួយតម្លៃ៥០០០ដុង។ ទូរទស្សន៍ ៤គ្រឿង តម្លៃ ២៥០ ឌឺន។ ឯកតា 5 VCRs មានតម្លៃ 200 den ។ ឯកតា សរុបមក សំបុត្រចំនួន 1000 ត្រូវបានលក់ក្នុងតម្លៃ 7 សន្លឹក។ ឯកតា គូរច្បាប់នៃការចែកចាយការឈ្នះសុទ្ធដែលទទួលបានដោយអ្នកចូលរួមឆ្នោតដែលបានទិញសំបុត្រមួយ។
ដំណោះស្រាយ. តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យ X - ការឈ្នះសុទ្ធក្នុងមួយសំបុត្រ - គឺ 0-7 = -7 den ។ ឯកតា (ប្រសិនបើសំបុត្រមិនឈ្នះ) 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den ។ ឯកតា (ប្រសិនបើសំបុត្រឈ្នះ VCR ទូរទស្សន៍ ឬឡានរៀងៗខ្លួន)។ ដែលបានផ្តល់ឱ្យថាក្នុងចំណោមសំបុត្រ 1000 ចំនួននៃអ្នកដែលមិនឈ្នះគឺ 990 ហើយការឈ្នះដែលបានបង្ហាញគឺ 5, 4 និង 1 រៀងគ្នា ហើយដោយប្រើនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងទទួលបាន។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "អថេរចៃដន្យ" ។
កិច្ចការមួយ។ 1 . មានសំបុត្រចំនួន 100 ត្រូវបានចេញនៅក្នុងឆ្នោត។ ឈ្នះមួយ 50 ដុល្លារត្រូវបានលេង។ និងឈ្នះដប់រង្វាន់ 10 ដុល្លារ។ ស្វែងរកច្បាប់នៃការចែកចាយតម្លៃ X - ថ្លៃដើមនៃការទទួលបាន។
ដំណោះស្រាយ។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃ X: x 1 = 0; x 2 = 10 និង x 3 = 50. ដោយសារមានសំបុត្រ "ទទេ" ចំនួន 89 សន្លឹក បន្ទាប់មកទំ 1 = 0.89 ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះគឺ 10 c.u. (10 សំបុត្រ) - ទំ 2 = 0.10 និងសម្រាប់ការឈ្នះ 50 c.u. – ទំ 3 = 0.01 ។ តាមវិធីនេះ៖
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
ងាយស្រួលគ្រប់គ្រង៖ .
កិច្ចការមួយ។ 2. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកទិញបានស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មនៃផលិតផលជាមុនគឺ 0.6 (p = 0.6) ។ ការជ្រើសរើសការត្រួតពិនិត្យគុណភាពនៃការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មត្រូវបានអនុវត្តដោយអ្នកទិញបោះឆ្នោតមុនអ្នកដំបូងដែលបានសិក្សាការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មជាមុន។ ធ្វើស៊េរីនៃការចែកចាយនៃចំនួនអ្នកទិញដែលបានសម្ភាសន៍។
ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា p = 0.6 ។ ពី៖ q=1 -p = 0.4 ។ ជំនួសតម្លៃទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖និងបង្កើតស៊េរីចែកចាយ៖
|
ភី |
0,24 |
កិច្ចការមួយ។ 3. កុំព្យូទ័រមានធាតុប្រតិបត្តិការដោយឯករាជ្យចំនួនបី៖ ឯកតាប្រព័ន្ធ ម៉ូនីទ័រ និងក្តារចុច។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃវ៉ុលតែមួយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យនៃធាតុនីមួយៗគឺ 0.1 ។ ដោយផ្អែកលើការចែកចាយ Bernoulli បង្កើតច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ចំនួនធាតុដែលបរាជ័យក្នុងអំឡុងពេលមានការកើនឡើងថាមពលនៅក្នុងបណ្តាញ។
ដំណោះស្រាយ។ ពិចារណា ការចែកចាយ Bernoulli(ឬ binomial): ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងន ការធ្វើតេស្តព្រឹត្តិការណ៍ A នឹងបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ k ម្តង៖ 
ឬ៖
|
q ន |
ទំ ន |
អេ ចូរយើងត្រលប់ទៅភារកិច្ចវិញ។
តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃ X (ចំនួននៃការបរាជ័យ):
x 0 = 0 - គ្មានធាតុណាមួយបរាជ័យ;
x 1 = 1 - ការបរាជ័យនៃធាតុមួយ;
x 2 = 2 - ការបរាជ័យនៃធាតុពីរ;
x 3 = 3 - ការបរាជ័យនៃធាតុទាំងអស់។
ចាប់តាំងពីតាមលក្ខខណ្ឌ p = 0.1 បន្ទាប់មក q = 1 – p = 0.9 ។ ដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli យើងទទួលបាន
, ,
, .
ការគ្រប់គ្រង៖
ដូច្នេះច្បាប់ចែកចាយដែលចង់បាន៖
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
កិច្ចការទី 4. ផលិតបាន 5000 ជុំ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថា cartridge មួយមានកំហុស 
. តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថានឹងមានប្រអប់ព្រីនដែលមានបញ្ហាចំនួន 3 នៅក្នុងបាច់ទាំងមូល?
ដំណោះស្រាយ។ អាចអនុវត្តបាន។ ការចែកចាយ Poisson៖ ការចែកចាយនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្តល់ឱ្យធំណាស់។
ចំនួននៃការសាកល្បង (ការសាកល្បងដ៏ធំ) ដែលក្នុងនោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A គឺតូចណាស់ ព្រឹត្តិការណ៍ A នឹងកើតឡើង k ដង៖ 
កន្លែងណា។
នៅទីនេះ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. យើងរកឃើញ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន៖ 
.
កិច្ចការទី 5. នៅពេលបាញ់មុនពេលបុកដំបូងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយ p = 0.6 សម្រាប់ការបាញ់មួយ អ្នកត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលការវាយនឹងកើតឡើងនៅពេលបាញ់ទីបី។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងអនុវត្តការចែកចាយធរណីមាត្រ៖ អនុញ្ញាតឱ្យការសាកល្បងឯករាជ្យត្រូវបានធ្វើឡើង ដែលព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ A មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង p (និងមិនកើតឡើង q = 1 - p) ។ ការសាកល្បងបញ្ចប់ភ្លាមៗនៅពេលដែលព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើង។
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបែបនេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ A នឹងកើតឡើងនៅលើការធ្វើតេស្ត kth ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ . នៅទីនេះ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. ដូច្នេះ .
កិច្ចការទី 6. អនុញ្ញាតឱ្យច្បាប់នៃការបែងចែកអថេរ X ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
ដំណោះស្រាយ។ .
ចំណាំថា អត្ថន័យប្រូបាប៊ីលីកនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺជាតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ។
កិច្ចការទី 7. ស្វែងរកបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ X ជាមួយនឹងច្បាប់ចែកចាយខាងក្រោម៖
ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះ .
ច្បាប់នៃការចែកចាយការ៉េនៃ X 2 :
|
X 2 |
|||
ភាពខុសប្លែកគ្នាដែលត្រូវការ៖ .
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយបង្ហាញពីកម្រិតនៃគម្លាត (ការខ្ចាត់ខ្ចាយ) នៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យារបស់វា។
កិច្ចការ ៨. អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយការចែកចាយ:
|
10 ម។ |
|||
ស្វែងរកលក្ខណៈលេខរបស់វា។
ដំណោះស្រាយ៖ m, m 2 ,
ម 2 , ម.
អំពីអថេរ X ចៃដន្យ គេអាចនិយាយបានថា - ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាគឺ 6.4 ម៉ែត្រ ជាមួយនឹងការប្រែប្រួល 13.04 ម៉ែត្រ 2 ឬ - ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាគឺ 6.4 m ជាមួយនឹងគម្លាតនៃ m ។ រូបមន្តទីពីរគឺច្បាស់ជាង។
កិច្ចការមួយ។ 9.
តម្លៃចៃដន្យ X ផ្តល់ដោយមុខងារចែកចាយ៖ 
.
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត តម្លៃ X នឹងយកតម្លៃដែលមាននៅក្នុងចន្លោះពេល 
.
ដំណោះស្រាយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែល X នឹងយកតម្លៃពីចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងការបង្កើនអនុគមន៍អាំងតេក្រាលក្នុងចន្លោះពេលនេះ i.e. . ក្នុងករណីរបស់យើងហើយដូច្នេះ
.
កិច្ចការមួយ។ 10. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X ផ្តល់ដោយច្បាប់ចែកចាយ៖
ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ F(x ) និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។
ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពីមុខងារចែកចាយ
សម្រាប់ 
បន្ទាប់មក
នៅ ;
នៅ ;
នៅ ;
នៅ ;
តារាងដែលពាក់ព័ន្ធ៖
កិច្ចការ ១១.អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ X ផ្តល់ដោយមុខងារចែកចាយឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ 
.
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយ X ទៅចន្លោះពេល
ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថានេះគឺជាករណីពិសេសនៃច្បាប់ចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
តោះប្រើរូបមន្ត៖ 
.
កិច្ចការមួយ។ 12. ស្វែងរកលក្ខណៈជាលេខនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X ដែលផ្តល់ដោយច្បាប់ចែកចាយ៖
|
–5 |
|||||||||
|
X 2៖
|
គឺជាមុខងារ Laplace ។ស្ថាប័នអប់រំ "រដ្ឋបេឡារុស្ស
បណ្ឌិតសភាកសិកម្ម"
នាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យាជាន់ខ្ពស់
សេចក្តីណែនាំ
លើការសិក្សាលើប្រធានបទ "អថេរចៃដន្យ" ដោយនិស្សិតនៃមហាវិទ្យាល័យគណនេយ្យនៃការអប់រំការឆ្លើយឆ្លង (NISPO)
Gorki ឆ្នាំ 2013
អថេរចៃដន្យ
អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងបន្ត
គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាគោលគំនិត អថេរចៃដន្យ . អថេរចៃដន្យ បរិមាណមួយត្រូវបានគេហៅថា ដែលលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត ពីសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានត្រូវចំណាយពេលតែមួយប៉ុណ្ណោះ ហើយវាមិនត្រូវបានគេដឹងជាមុនថាតើមួយណា។
អថេរចៃដន្យគឺ ផ្តាច់មុខ និងបន្ត . អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក (DSV) ត្រូវបានគេហៅថាអថេរចៃដន្យដែលអាចទទួលយកចំនួនកំណត់នៃតម្លៃដែលដាច់ពីគ្នាទៅវិញទៅមក i.e. ប្រសិនបើតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃបរិមាណនេះអាចត្រូវបានគណនាឡើងវិញ។ អថេរចៃដន្យបន្ត (CRV) អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា តម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដែលបំពេញចន្លោះពេលជាក់លាក់នៃបន្ទាត់ពិតទាំងស្រុង។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង X, Y, Z ។ល។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានតាងដោយអក្សរតូចដែលត្រូវគ្នា។
ការថត 
មានន័យថា "ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ Xនឹងយកតម្លៃស្មើនឹង 5 ស្មើនឹង 0.28"។
ឧទាហរណ៍ ១ . គ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រូវបានបោះចោលម្តង។ ក្នុងករណីនេះលេខពី 1 ដល់ 6 អាចលេចឡើងដែលបង្ហាញពីចំនួនពិន្ទុ។ សម្គាល់អថេរចៃដន្យ X=(ចំនួនពិន្ទុធ្លាក់ចុះ)។ អថេរចៃដន្យនេះជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តអាចយកតែតម្លៃមួយក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងប្រាំមួយប៉ុណ្ណោះ៖ 1, 2, 3, 4, 5 ឬ 6។ ដូច្នេះហើយ អថេរចៃដន្យ Xមាន DSV ។
ឧទាហរណ៍ ២ . ពេលគប់ដុំថ្ម វាហោះទៅឆ្ងាយ។ សម្គាល់អថេរចៃដន្យ X=(ចម្ងាយហោះហើរពីថ្ម)។ អថេរចៃដន្យនេះអាចយកតម្លៃណាមួយ ប៉ុន្តែមានតែមួយប៉ុណ្ណោះពីចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ ដូច្នេះអថេរចៃដន្យ Xមាន NSW ។
ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក
អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយតម្លៃដែលវាអាចទទួលយកបាន និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគេយក។ ការឆ្លើយឆ្លងរវាងតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក .
ប្រសិនបើតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវបានគេដឹង 
អថេរចៃដន្យ Xនិងប្រូបាប៊ីលីតេ 
រូបរាងនៃតម្លៃទាំងនេះវាត្រូវបានគេជឿថាច្បាប់ចែកចាយនៃ DSV Xត្រូវបានគេស្គាល់ និងអាចសរសេរជាតារាង៖
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ច្បាប់ចែកចាយ DSV អាចត្រូវបានបង្ហាញជាក្រាហ្វិក ប្រសិនបើចំណុចត្រូវបានគូរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ 
,
,
…,
ហើយភ្ជាប់ពួកវាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់។ តួលេខលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាពហុកោណចែកចាយ។
ឧទាហរណ៍ ៣ . គ្រាប់ធញ្ញជាតិដែលមានបំណងសម្អាតមានស្មៅ 10% ។ 4 គ្រាប់ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ សម្គាល់អថេរចៃដន្យ X=(ចំនួនស្មៅក្នុងចំណោមបួនដែលបានជ្រើសរើស)។ បង្កើតច្បាប់ចែកចាយ DSV Xនិងការចែកចាយពហុកោណ។
ដំណោះស្រាយ . នេះបើយោងតាមឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់មក៖
យើងសរសេរច្បាប់ចែកចាយរបស់ DSV X ក្នុងទម្រង់ជាតារាង ហើយបង្កើតពហុកោណចែកចាយ៖
|
|
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក
លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់បំផុតនៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយលក្ខណៈរបស់វា។ លក្ខណៈមួយក្នុងចំណោមលក្ខណៈទាំងនេះគឺ តម្លៃរំពឹងទុក អថេរចៃដន្យ។
អនុញ្ញាតឱ្យច្បាប់ចែកចាយ DSV ត្រូវបានដឹង X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
DSV Xផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃនីមួយៗនៃបរិមាណនេះដោយប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថា៖ 
.
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យគឺប្រហែលស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃទាំងអស់របស់វា។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែង តម្លៃជាមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យនេះ ជារឿយៗត្រូវបានគេយកជាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។
ឧទាហរណ៍ 8 . អ្នកបាញ់ទម្លាក់ពិន្ទុ 4, 8, 9 និង 10 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.1, 0.45, 0.3 និង 0.15 ។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួនពិន្ទុក្នុងការបាញ់មួយ។
ដំណោះស្រាយ . សម្គាល់អថេរចៃដន្យ X=(ចំនួនពិន្ទុដែលបានដាក់)។ បន្ទាប់មក។ ដូច្នេះចំនួនពិន្ទុជាមធ្យមដែលរំពឹងទុកជាមួយនឹងការបាញ់មួយគឺ 8.2 ហើយជាមួយនឹងការបាញ់ចំនួន 10 វាគឺ 82 ។
លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺ៖
.
.
កន្លែងណា 
,
.
.
កន្លែងណា Xនិង យគឺជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ។
ភាពខុសគ្នា 
បានហៅ គម្លាត
អថេរចៃដន្យ Xពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ ភាពខុសគ្នានេះគឺជាអថេរចៃដន្យ ហើយការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាគឺស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺឧ។ 
.
ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។
ដើម្បីកំណត់លក្ខណៈអថេរចៃដន្យ បន្ថែមពីលើការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា មួយក៏ប្រើផងដែរ។ ការបែកខ្ញែក ដែលធ្វើឱ្យវាអាចប៉ាន់ប្រមាណការបែកខ្ញែក (ខ្ចាត់ខ្ចាយ) នៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យជុំវិញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ នៅពេលប្រៀបធៀបអថេរចៃដន្យដូចគ្នាពីរជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាស្មើគ្នានោះ "ល្អបំផុត" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអថេរដែលមានទំហំតូចជាង ពោលគឺឧ។ ការបែកខ្ញែកតិច។
ការបែកខ្ញែក អថេរចៃដន្យ Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការ៉េនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា៖ .
នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែង រូបមន្តសមមូលត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាបំរែបំរួល។
លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃការបែកខ្ញែកគឺ៖
.
នៅលើទំព័រនេះ យើងបានប្រមូលឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយការអប់រំ បញ្ហានៅលើអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក. នេះគឺជាផ្នែកដ៏ទូលំទូលាយមួយ៖ ច្បាប់ចែកចាយផ្សេងៗគ្នា (ធរណីមាត្រ ធរណីមាត្រ អ៊ីពែរធរណីមាត្រ Poisson និងផ្សេងៗទៀត) លក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈលេខត្រូវបានសិក្សា ការតំណាងក្រាហ្វិកអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ស៊េរីចែកចាយនីមួយៗ៖ ពហុកោណ (ពហុកោណ) នៃប្រូបាប៊ីលីតេ មុខងារចែកចាយ .
ខាងក្រោមនេះ អ្នកនឹងឃើញឧទាហរណ៍នៃការសម្រេចចិត្តអំពីអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីអនុវត្តចំណេះដឹងពីផ្នែកមុននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដើម្បីគូរច្បាប់ចែកចាយ ហើយបន្ទាប់មកគណនាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យង់ គម្លាតស្តង់ដារ បង្កើតមុខងារចែកចាយ ឆ្លើយសំណួរអំពី DSV ។ល។ P.
ឧទាហរណ៍សម្រាប់ច្បាប់ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេពេញនិយម៖
ម៉ាស៊ីនគិតលេខសម្រាប់លក្ខណៈរបស់ DSV
- ការគណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យ៉ង់ និងគម្លាតស្តង់ដារនៃ DSV ។
បានដោះស្រាយបញ្ហាអំពី DSV
ការចែកចាយនៅជិតធរណីមាត្រ
កិច្ចការទី 1 ។មានភ្លើងសញ្ញាចរាចរណ៍ចំនួន 4 នៅតាមផ្លូវរបស់រថយន្ត ដែលនីមួយៗហាមឃាត់ចលនាបន្ថែមរបស់រថយន្តជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.5 ។ ស្វែងរកចំនួននៃការចែកចាយនៃចំនួនភ្លើងចរាចរណ៍ដែលឆ្លងកាត់ដោយរថយន្តមុនពេលឈប់ដំបូង។ តើអ្វីទៅជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានិងការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យនេះ?
កិច្ចការទី 2 ។អ្នកប្រមាញ់បានបាញ់ប្រហារនៅហ្គេមមុនពេលវាយដំបូង ប៉ុន្តែអាចបាញ់បានមិនលើសពីបួនគ្រាប់។ សរសេរច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ចំនួននៃការខកខាន ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.7 ។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យនេះ។
កិច្ចការទី 3 ។ខ្មាន់កាំភ្លើងដែលមានប្រអប់ព្រីនចំនួន ៣ បាញ់ចំគោលដៅរហូតដល់បុកដំបូង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយដំទីមួយ ទីពីរ និងទីបីគឺ 0.6, 0.5, 0.4 រៀងគ្នា។ S.V. $\xi$ - ចំនួននៃព្រីនធឺរដែលនៅសល់។ ចងក្រងស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យង់ គម្លាតស្តង់ដារនៃ r.v. បង្កើតមុខងារចែកចាយនៃ r.v. ស្វែងរក $P(|\xi-m| \le \sigma$ ។
កិច្ចការទី 4 ។ប្រអប់មាន 7 ស្ដង់ដារនិង 3 ផ្នែកខូច។ ផ្នែកត្រូវបានយកចេញជាបន្តបន្ទាប់រហូតដល់ស្ដង់ដារលេចឡើង ដោយមិនយកវាមកវិញទេ។ $\xi$ - ចំនួនផ្នែកដែលខូចត្រូវបានទាញយកមកវិញ។
បង្កើតច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $\xi$ គណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា វ៉ារ្យង់ គម្លាតស្តង់ដារ គូរពហុកោណចែកចាយ និងក្រាហ្វនៃមុខងារចែកចាយ។
ភារកិច្ចជាមួយព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ
កិច្ចការទី 5 ។សិស្ស 3 នាក់បានមកប្រឡងឡើងវិញក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលទីមួយនឹងឆ្លងកាត់ការប្រឡងគឺ 0.8 ទីពីរ - 0.7 ទីបី - 0.9 ។ ស្វែងរកស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $\xi$ នៃចំនួនសិស្សដែលបានប្រឡងជាប់ បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារចែកចាយ ស្វែងរក $M(\xi), D(\xi)$ ។
កិច្ចការទី 6 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.8 និងថយចុះជាមួយនឹងការបាញ់នីមួយៗដោយ 0.1 ។ បង្កើតច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ចំនួននៃការវាយទៅលើគោលដៅ ប្រសិនបើការបាញ់ចំនួនបីគ្រាប់ត្រូវបានបាញ់។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា បំរែបំរួល និង S.K.O. អថេរចៃដន្យនេះ។ កំណត់មុខងារចែកចាយ។
កិច្ចការទី 7 ។ការបាញ់ប្រហារចំនួន ៤ ត្រូវបានបាញ់ទៅលើគោលដៅ។ ក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយកើនឡើងដូចខាងក្រោម: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7 ។ ស្វែងរកច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $X$ - ចំនួននៃការទស្សនា។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល $X \ge 1$ ។
កិច្ចការ ៨.កាក់ស៊ីមេទ្រីពីរត្រូវបានបោះចោល ចំនួនអាវធំនៅលើផ្នែកខាងលើនៃកាក់ត្រូវបានរាប់។ យើងពិចារណាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ - ចំនួនអាវធំនៅលើកាក់ទាំងពីរ។ សរសេរច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ $X$ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
កិច្ចការ និងច្បាប់ផ្សេងទៀតនៃការចែកចាយ DSV
កិច្ចការ ៩.អ្នកលេងបាល់បោះពីរនាក់បាញ់បីគ្រាប់ទៅកន្ត្រក។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយសម្រាប់អ្នកលេងបាល់បោះដំបូងគឺ 0.6 សម្រាប់លើកទីពីរ - 0.7 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ $X$ ជាភាពខុសគ្នារវាងចំនួននៃការបោះដោយជោគជ័យរបស់អ្នកលេងបាល់បោះទីមួយ និងទីពីរ។ ស្វែងរកស៊េរីចែកចាយ របៀប និងមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $X$ ។ បង្កើតពហុកោណនៃការចែកចាយ ហើយគ្រោងមុខងារចែកចាយ។ គណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដារ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ $(-2 \lt X \le 1)$ ។
កិច្ចការ ១០.ចំនួនកប៉ាល់ដែលមិនមែនជាអ្នកស្នាក់នៅដែលមកដល់ជារៀងរាល់ថ្ងៃសម្រាប់ការផ្ទុកនៅកំពង់ផែជាក់លាក់មួយគឺជាតម្លៃចៃដន្យ $X$ ដែលបានផ្ដល់ជូនដូចខាងក្រោម៖
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
ក) ត្រូវប្រាកដថាស៊េរីចែកចាយត្រូវបានកំណត់
ខ) ស្វែងរកមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $X$,
គ) ប្រសិនបើកប៉ាល់លើសពី 3 គ្រឿងមកដល់នៅថ្ងៃណាមួយនោះ កំពង់ផែទទួលខុសត្រូវលើការចំណាយដោយសារតម្រូវការជួលអ្នកបើកបរបន្ថែម និងអ្នកផ្ទុក។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលកំពង់ផែនឹងត្រូវចំណាយបន្ថែម?
ឃ) ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ $X$ ។
កិច្ចការ ១១.បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ 4 គ្រាប់។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃចំនួនពិន្ទុដែលនឹងធ្លាក់លើមុខទាំងអស់។
កិច្ចការ 12 ។អ្នកលេងពីរនាក់ប្តូរវេនគ្នាបោះកាក់រហូតដល់រូបរាងដំបូងនៃអាវធំ។ អ្នកលេងដែលអាវធំធ្លាក់ចេញទទួលបាន 1 រូប្លិពីអ្នកលេងផ្សេងទៀត។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃការទូទាត់របស់អ្នកលេងម្នាក់ៗ។
និយមន័យ ១
អថេរចៃដន្យ $X$ ត្រូវបានគេហៅថា discrete (មិនបន្ត) ប្រសិនបើសំណុំនៃតម្លៃរបស់វាគ្មានកំណត់ ឬកំណត់ ប៉ុន្តែអាចរាប់បាន។
ម្យ៉ាងវិញទៀត បរិមាណមួយត្រូវបានគេហៅថាដាច់ពីគ្នា ប្រសិនបើតម្លៃរបស់វាអាចត្រូវបានរាប់បញ្ចូល។
អ្នកអាចពណ៌នាអថេរចៃដន្យដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ។
ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ អាចត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់តារាង ក្នុងជួរទីមួយដែលតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញតាមលំដាប់ឡើង ហើយនៅជួរទីពីរ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា នៃតម្លៃទាំងនេះ៖
រូបភាពទី 1 ។
ដែល $p1+ p2+ ... + pn = 1$ ។
តារាងនេះគឺ នៅជិតការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។.
ប្រសិនបើសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យគឺគ្មានកំណត់ នោះស៊េរី $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ មកបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង $1$ ។
ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ អាចត្រូវបានតំណាងជាក្រាហ្វិក ដែលបន្ទាត់ដែលខូចត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ (រាងចតុកោណ) ដែលភ្ជាប់ចំណុចជាបន្តបន្ទាប់ជាមួយកូអរដោនេ $(xi;pi), i=1,2, ...n$. បន្ទាត់ដែលត្រូវបានគេហៅថា ពហុកោណចែកចាយ.
រូបភាពទី 2 ។
ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ ក៏អាចត្រូវបានតំណាងដោយការវិភាគ (ដោយប្រើរូបមន្ត)៖
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$ ។
សកម្មភាពលើប្រូបាប៊ីលីតេដាច់ដោយឡែក
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការនៃការគុណអថេរចៃដន្យដាច់ដោយថេរ បន្ថែមអថេរចៃដន្យពីរ គុណពួកវា និងនាំពួកវាទៅជាថាមពល។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការប្រកាន់ខ្ជាប់នូវច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់អថេរដាច់ដោយចៃដន្យ៖
និយមន័យ ៣
ដោយគុណអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា $X$ ទៅថេរ $K$ គឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា $Y=KX,$ ដែលកើតឡើងដោយសារភាពស្មើគ្នា៖ $y_i=Kx_i,\p\left(y_i\right)=p\left( x_i\right)= p_i,\i=\overline(1,\n).$
និយមន័យ ៤
អថេរចៃដន្យពីរ $x$ និង $y$ ត្រូវបានហៅ ឯករាជ្យប្រសិនបើច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេមិនអាស្រ័យលើតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបាន តម្លៃទីពីរបានទទួល។
និយមន័យ ៥
ផលបូកអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកពីរ $X$ និង $Y$ ត្រូវបានគេហៅថាអថេរចៃដន្យ $Z=X+Y, $ គឺដោយសារតែភាពស្មើគ្នា៖ $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$។
និយមន័យ ៦
ដោយគុណអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកពីរ $X$ និង $Y$ ត្រូវបានគេហៅថាអថេរចៃដន្យ $Z=XY, $ គឺដោយសារតែភាពស្មើគ្នា៖ $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ ឆ្វេង(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$។
ចូរយើងពិចារណាថាផលិតផលមួយចំនួន $x_(i\ \ \ \ \ ) y_j$ អាចស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបន្ថែមផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាបដែលត្រូវគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7, \ $ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃ $x_2y_3$ (ឬ $x_5y_7$ ដូចគ្នា) នឹងស្មើនឹង $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$
ខាងលើក៏អនុវត្តចំពោះចំនួនទឹកប្រាក់ផងដែរ។ ប្រសិនបើ $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃ $x_1+\ y_2$ (ឬដូចគ្នា $x_4+\ y_6$) នឹងជា $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ $X$ និង $Y$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយច្បាប់ចែកចាយ៖
រូបភាពទី 3
ដែល $p_1+p_2+p_3=1,\ \ p"_1+p"_2=1.$ បន្ទាប់មកច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ផលបូក $X+Y$ នឹងមើលទៅដូច
រូបភាពទី 4
ហើយច្បាប់នៃការចែកចាយផលិតផល $XY$ នឹងមានទម្រង់
រូបភាពទី 5
មុខងារចែកចាយ
ការពិពណ៌នាពេញលេញនៃអថេរចៃដន្យក៏ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយមុខងារចែកចាយផងដែរ។
តាមធរណីមាត្រ មុខងារចែកចាយត្រូវបានពន្យល់ថាជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ $X$ យកតម្លៃដែលត្រូវបានតំណាងនៅលើបន្ទាត់ពិតដោយចំនុចដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃចំនុច $x$ ។
