ម៉ូឌុលឬ តម្លៃ​ដាច់ខាតចំនួនពិតត្រូវបានគេហៅថាលេខខ្លួនឯងប្រសិនបើ Xគឺមិនអវិជ្ជមាន ហើយលេខផ្ទុយ គឺ i.e. -x ប្រសិនបើ Xអវិជ្ជមាន៖

ជាក់ស្តែង ប៉ុន្តែតាមនិយមន័យ |x| > 0. លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមនៃតម្លៃដាច់ខាតត្រូវបានគេស្គាល់៖

• 1) ហ៊| = |dg| |r/1;
• 2>--H;

នៅនៅ

• ៣) |x+r/|
• ៤) |dt-g/|

ម៉ូឌុលខុសគ្នានៃលេខពីរ X - ក| គឺជាចំងាយរវាងចំនុច Xនិង កនៅលើបន្ទាត់លេខ (សម្រាប់ណាមួយ។ Xនិង ក)

ពីនេះវាដូចខាងក្រោមជាពិសេសថាដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព X - ក 0) គឺជាចំណុចទាំងអស់។ Xចន្លោះពេល (ក- g, ក + គ) ឧ។ លេខដែលបំពេញវិសមភាព ក-ឃ + ជី

ចន្លោះពេលបែបនេះ (ក- 8, ក+ ឃ) ហៅថា ៨-សង្កាត់នៃចំណុច ក.

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃមុខងារ

ដូចដែលយើងបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ បរិមាណទាំងអស់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបែងចែកទៅជាថេរ និងអថេរ។ តម្លៃថេរត្រូវបានគេហៅថាបរិមាណដែលរក្សាតម្លៃដូចគ្នា។

អថេរគឺជាបរិមាណដែលអាចទទួលយកបាននូវតម្លៃលេខផ្សេងៗ។

និយមន័យ 10.8 ។ អថេរ នៅបានហៅ មុខងារនៃអថេរ x ប្រសិនបើយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន តម្លៃនីមួយៗនៃ x e Xបានកំណត់តម្លៃជាក់លាក់ នៅអ៊ី U; អថេរ x ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា អាគុយម៉ង់ និងវិសាលភាព Xការផ្លាស់ប្តូររបស់វាត្រូវបានគេហៅថាវិសាលភាពនៃមុខងារ។

ការពិតថា នៅមានមុខងារ Otx ដែលភាគច្រើនត្រូវបានបង្ហាញជានិមិត្តសញ្ញា៖ នៅ=/(x)។

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីកំណត់មុខងារ។ បី​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ធាតុ​សំខាន់​: វិភាគ​តារាង​និង​ក្រាហ្វិក​។

វិភាគវិធី។ វិធីសាស្រ្តនេះមាននៅក្នុងការកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងអាគុយម៉ង់ (អថេរឯករាជ្យ) និងមុខងារក្នុងទម្រង់ជារូបមន្ត (ឬរូបមន្ត)។ ជាធម្មតា /(x) គឺជាកន្សោមវិភាគមួយចំនួនដែលមាន x ។ ក្នុង​ករណី​នេះ អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​រូបមន្ត​ឧទាហរណ៍ នៅ= 2x + 1, នៅ= tgx ជាដើម។

តារាងវិធីដើម្បីកំណត់អនុគមន៍គឺ មុខងារត្រូវបានកំណត់ដោយតារាងដែលមានតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x និងតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ f.r ។ ឧទាហរណ៍គឺជាតារាងនៃចំនួនឧក្រិដ្ឋកម្មសម្រាប់រយៈពេលជាក់លាក់មួយ តារាងនៃការវាស់វែងពិសោធន៍ តារាងលោការីត។

ក្រាហ្វិកវិធី។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ ហូការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃអនុគមន៍គឺផ្អែកលើដូចខាងក្រោម។

និយមន័យ 10.9 ។ កាលវិភាគមុខងារត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងនៃចំនុចនៃយន្តហោះ កូអរដោនេ (x, y)ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ w-ah) ។

មុខងារមួយត្រូវបានគេនិយាយថានឹងត្រូវបានផ្តល់ជាក្រាហ្វិក ប្រសិនបើក្រាហ្វរបស់វាត្រូវបានគូរ។ វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងការវាស់វែងពិសោធន៍ដោយប្រើឧបករណ៍ថតដោយខ្លួនឯង។

មានក្រាហ្វដែលមើលឃើញនៃមុខងារនៅពីមុខភ្នែករបស់អ្នក វាមិនពិបាកក្នុងការស្រមៃមើលលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើនរបស់វានោះទេ ដែលធ្វើឱ្យក្រាហ្វជាឧបករណ៍ដែលមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារមួយ។ ដូច្នេះ ការរៀបចំផែនការគឺជាផ្នែកសំខាន់បំផុត (ជាធម្មតាចុងក្រោយ) នៃការសិក្សាមុខងារ។

វិធីសាស្រ្តនីមួយៗមានទាំងគុណសម្បត្តិ និងគុណវិបត្តិរបស់វា។ ដូច្នេះ គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិករួមមានភាពមើលឃើញ គុណវិបត្តិ - ភាពមិនត្រឹមត្រូវ និងការបង្ហាញមានកម្រិត។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងងាកទៅពិចារណាលើលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃមុខងារ។

គូនិងសេស។មុខងារ y = f(x)បានហៅ សូម្បីតែ,ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ Xលក្ខខណ្ឌ f(-x) = f(x) ។ប្រសិនបើសម្រាប់ Xពីដែននៃនិយមន័យលក្ខខណ្ឌ f(-x) = -/(x) ពេញចិត្ត បន្ទាប់មកមុខងារត្រូវបានគេហៅថា សេសអនុគមន៍​មួយ​ដែល​មិន​ស្មើ​ឬ​សេស​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​អនុគមន៍ ទិដ្ឋភាពទូទៅ។

• 1) y = x 2គឺជាមុខងារមួយ ចាប់តាំងពី f(−x) = (−x) ២ = x 2, i.e./(-x) =/.r);
• 2) y= x ៣ - មុខងារសេស ចាប់តាំងពី (-x) 3 \u003d -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x គឺជាមុខងារទូទៅ។ នៅទីនេះ / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x) ។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស អូហើយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេសគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។

ម៉ូណូតូន។ មុខងារ នៅ=/(x) ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើងនៅក្នុង​ចន្លោះ x,ប្រសិនបើសម្រាប់ x, x 2 អ៊ី Xពីវិសមភាព x 2 > x វាធ្វើតាម / (x 2) > / (x,) ។ មុខងារ នៅ=/(x) ត្រូវបានគេហៅថា ស្រក,ប្រសិនបើពី x 2 > x វាធ្វើតាម / (x 2) (x,) ។

មុខងារត្រូវបានគេហៅថា ឯកតានៅក្នុង​ចន្លោះ x,ប្រសិនបើវាកើនឡើងក្នុងចន្លោះពេលទាំងមូលនេះ ឬថយចុះនៅលើវា។

ឧទាហរណ៍មុខងារ y= x 2 ថយចុះដោយ (-°°; 0) និងកើនឡើងដោយ (0; +°°) ។

ចំណាំថាយើងបានផ្តល់និយមន័យនៃអនុគមន៍ monotonic ក្នុងន័យតឹងរឹង។ ជាទូទៅ អនុគមន៍ monotonic រួមមានមុខងារមិនបន្ថយ, i.e. ដែលពី x 2 > x វាធ្វើតាម / (x 2) > / (x,) និងមុខងារមិនបង្កើន ពោលគឺឧ។ អ្នកដែលមកពី x 2 > x វាធ្វើតាម / (x 2)

ដែនកំណត់។ មុខងារ នៅ=/(x) ត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់នៅក្នុង​ចន្លោះ x,ប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ ម > 0 បែបនេះ |/(x)| M សម្រាប់ x ណាមួយ។ x.

ឧទាហរណ៍មុខងារ នៅ =-

កំណត់នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល ដូច្នេះ

វដ្តរដូវ។ មុខងារ នៅ = f(x)បានហៅ តាមកាលកំណត់ប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ ធ^ អូអ្វី f(x + T = f(x)សម្រាប់​ទាំងអស់ Xពីវិសាលភាពនៃមុខងារ។

ក្នុងករណី​នេះ ធត្រូវបានគេហៅថារយៈពេលនៃមុខងារ។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើ T -រយៈពេលមុខងារ y = f(x),បន្ទាប់មករយៈពេលនៃអនុគមន៍នេះក៏មាន 2T, 3 ធល។ ដូច្នេះ ជាធម្មតា រយៈពេលនៃអនុគមន៍ គឺជារយៈពេលវិជ្ជមានតូចបំផុត (ប្រសិនបើវាមាន)។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ / = cos.r មានរយៈពេលមួយ។ T = 2Pនិងមុខងារ y= tg Zx -រយៈពេល ទំ/៣.

គោលដៅរបស់អ្នក៖

ដឹងច្បាស់អំពីនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត;

ស្វែងយល់ពីការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត និងអាចអនុវត្តវាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ម៉ូឌុល និងអាចអនុវត្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

អាចយល់ពីចំងាយរវាងចំនុចពីរនៃបន្ទាត់កូអរដោណេ និងអាចប្រើវាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

បញ្ចូលព័ត៌មាន

គំនិតនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនពិតត្រូវបានគេហៅថាលេខនេះដោយខ្លួនវា ប្រសិនបើ , និងលេខទល់មុខនឹងវា, if< 0.

ម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានតំណាង និងសរសេរចុះ៖

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល . ធរណីមាត្រម៉ូឌុលនៃចំនួនពិតគឺជាចំងាយពីចំណុចដែលតំណាងឱ្យលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេទៅប្រភពដើម។

ការដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលដោយផ្អែកលើអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល. ដោយប្រើគំនិតនៃ "ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរនៃបន្ទាត់កូអរដោណេ" គេអាចដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ ឬវិសមភាពនៃទម្រង់ ដែលសញ្ញាណាមួយអាចប្រើជំនួសសញ្ញាបាន។

ឧទាហរណ៍។ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងកែទម្រង់បញ្ហាតាមធរណីមាត្រ។ ដោយសារជាចម្ងាយនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេរវាងចំណុចដែលមានកូអរដោណេ និង មានន័យថា វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចបែបនេះ ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ 1 គឺស្មើនឹង 2 ។

សរុបមក នៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ រកសំណុំនៃកូអរដោណេនៃចំណុច ចម្ងាយពីចំណុចទៅចំណុចជាមួយកូអរដោណេ 1 គឺស្មើនឹង 2។

តោះដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ យើងសម្គាល់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ កូអរដោណេដែលស្មើនឹង 1 (រូបភាពទី 6) ចំណុចដែលកូអរដោណេស្មើនឹង -1 និង 3 ត្រូវបានដកចេញពីរឯកតាពីចំណុចនេះ។ ដូច្នេះហើយ សំណុំនៃកូអរដោនេនៃចំណុចដែលត្រូវការ គឺជាសំណុំដែលមានលេខ -1 និង 3 ។

ចម្លើយ៖ -១; ៣.

របៀបស្វែងរកចំងាយរវាងចំនុចពីរនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ។ លេខបង្ហាញពីចំងាយរវាងចំនុច និង , ហៅថាចម្ងាយរវាងលេខ និង .

សម្រាប់​ចំណុច​ពីរ និង​បន្ទាត់​កូអរដោណេ ចម្ងាយ

.

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត៖

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

នៅពេលដែលយើងមាន៖

11. បន្ទាប់មកមានតែនៅពេលណាឬ ;

12. បន្ទាប់មកតែនៅពេលដែល ;

13. ពេលនោះមានតែពេល ឬ ;

14. បន្ទាប់មកតែនៅពេលដែល ;

11. បន្ទាប់មកតែនៅពេលដែល .

ផ្នែកជាក់ស្តែង

លំហាត់ 1 ។ យកក្រដាសទទេមួយ ហើយសរសេរចម្លើយចំពោះលំហាត់ផ្ទាល់មាត់ទាំងនេះខាងក្រោម។

ពិនិត្យចម្លើយរបស់អ្នកទល់នឹងចម្លើយ ឬការណែនាំខ្លីៗដែលដាក់នៅចុងបញ្ចប់នៃធាតុសិក្សាក្រោមចំណងជើង “ជំនួយការរបស់អ្នក”។

1. ពង្រីកសញ្ញាម៉ូឌុល៖

ក) |–5|; ខ) |5|; គ) |0|; ឃ) |p|។

2. ប្រៀបធៀបលេខ៖

ក) || និង -; គ) |0| និង 0; e) – |–3| និង -3; g) –4| ក| និង 0;

ខ) |–p| និងទំ; ឃ) |–7.3| និង -7.3; f) | ក| និង 0; h) ២| ក| និង |២ ក|.

3. របៀបប្រើសញ្ញាម៉ូឌុល ដើម្បីសរសេរថាយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយ? ក, ខឬ ជាមួយខុសពីសូន្យ?

4. របៀបប្រើសញ្ញាស្មើដើម្បីសរសេរថាលេខនីមួយៗ ក, ខនិង ជាមួយស្មើនឹងសូន្យ?

5. ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ក) | ក| – ក; ខ) ក + |ក|.

6. ដោះស្រាយសមីការ៖

ក) | X| = 3; គ) | X| = -2; e) |២ X– 5| = 0;

ខ) | X| = 0; ឃ) | X– ៣| = 4; f) |៣ X– 7| = – 9.

7. អ្វីដែលអាចនិយាយបានអំពីលេខ Xនិង នៅប្រសិនបើ៖

ក) | X| = X; ខ) | X| = –X; គ) | X| = |នៅ|?

8. ដោះស្រាយសមីការ៖

ក) | X– 2| = X- ២; គ) | X– 3| =|7 – X|;

ខ) | X– 2| = 2 – X; ឃ) | X– 5| =|X– 6|.

9. អ្វីដែលអាចនិយាយបានអំពីលេខ នៅប្រសិនបើសមភាពទទួលបាន៖

ក) អាយ Xï = នៅ; ខ) អាយ Xï = – នៅ ?

10. ដោះស្រាយវិសមភាព៖

ក) | X| > X; គ) | X| > –X; e) | X| £ X;

ខ) | X| ³ X; ឃ) | X| ³ – X; f) | X| £ – X.

11. រាយតម្លៃទាំងអស់នៃ a ដែលសមភាពទទួលបាន៖

ក) | ក| = ក; ខ) | ក| = –ក; ក្នុង) ក – |–ក| =0; ឃ) | ក|ក= –1; e) = ១.

12. ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ ខដែលវិសមភាពខាងក្រោមមាន៖

ក) | ខ| ³ 1; ខ) | ខ| < 1; в) |ខ| £0; ឃ) | ខ| ³ 0; ង) ១< |ខ| < 2.

អ្នកប្រហែលជាបានឆ្លងកាត់កិច្ចការមួយចំនួនខាងក្រោមនៅក្នុងថ្នាក់គណិតវិទ្យា។ សម្រេចចិត្តថាតើកិច្ចការខាងក្រោមមួយណាដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីបញ្ចប់។ ក្នុងករណីមានការលំបាក សូមមើលផ្នែក "ជំនួយការរបស់អ្នក" សម្រាប់ដំបូន្មានពីគ្រូ ឬសម្រាប់ជំនួយពីមិត្តភ័ក្តិ។

កិច្ចការទី 2 ។ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត ដោះស្រាយសមីការ៖

កិច្ចការទី 4 ។ចម្ងាយរវាងចំនុចតំណាងឱ្យចំនួនពិត α និង β នៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេគឺស្មើនឹង | α – β | ប្រើវាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ។

នៅសាលា ជារៀងរាល់ឆ្នាំ សិស្សចាប់យកប្រធានបទថ្មីក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី 6 ជាធម្មតាសិក្សាអំពីម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ - នេះគឺជាគោលគំនិតសំខាន់មួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ធ្វើការជាមួយដែលត្រូវបានរកឃើញនៅពេលក្រោយនៅក្នុងពិជគណិត និងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ដឹងពីដំបូងឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវការពន្យល់នៃពាក្យនេះ និងយល់ពីប្រធានបទនេះ ដើម្បីឆ្លងកាត់ប្រធានបទផ្សេងទៀតដោយជោគជ័យ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយវាគួរតែត្រូវបានយល់ថាតម្លៃដាច់ខាតគឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅក្នុងស្ថិតិ (វាស់វែងជាបរិមាណ) ដែលកំណត់លក្ខណៈនៃបាតុភូតដែលកំពុងសិក្សាទាក់ទងនឹងបរិមាណរបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ បាតុភូតត្រូវតែធ្វើឡើងក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ និងជាមួយទីតាំងជាក់លាក់មួយ។ បែងចែកតម្លៃ៖

• សង្ខេប - សមរម្យសម្រាប់ក្រុមនៃអង្គភាពឬប្រជាជនទាំងមូល;
• បុគ្គល - សមរម្យសម្រាប់តែធ្វើការជាមួយឯកតានៃចំនួនប្រជាជនជាក់លាក់មួយ។

គោលគំនិតត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងការវាស់វែងស្ថិតិ ដែលជាលទ្ធផលគឺជាសូចនាករកំណត់លក្ខណៈនៃវិមាត្រដាច់ខាតនៃឯកតានីមួយៗនៃបាតុភូតជាក់លាក់មួយ។ ពួកគេត្រូវបានវាស់ជាពីរសូចនាករ: ធម្មជាតិ, i.e. ឯកតារាងកាយ (បំណែកមនុស្ស) និងធម្មជាតិតាមលក្ខខណ្ឌ។ ម៉ូឌុលនៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាការបង្ហាញនៃសូចនាករទាំងនេះ។

តើម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាអ្វី?

សំខាន់!និយមន័យនៃ "ម៉ូឌុល" នេះត្រូវបានបកប្រែពីឡាតាំងថាជា "វិធានការ" និងមានន័យថាតម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។

ប៉ុន្តែគំនិតនេះក៏មានការពន្យល់ធរណីមាត្រផងដែរ ចាប់តាំងពីម៉ូឌុលនៅក្នុងធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងចម្ងាយពីប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេទៅចំណុច X ដែលត្រូវបានវាស់ជាឯកតារង្វាស់ធម្មតា។

ដើម្បីកំណត់សូចនាករនេះសម្រាប់លេខមួយ មិនគួរគិតគូរពីសញ្ញារបស់វា (ដក បូក) នោះទេ ប៉ុន្តែគួរចងចាំថា វាមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។ តម្លៃនេះនៅលើក្រដាសត្រូវបានបន្លិចជាក្រាហ្វិកក្នុងទម្រង់ជាតង្កៀបការ៉េ - |a| ។ ក្នុងករណីនេះនិយមន័យគណិតវិទ្យាគឺ៖

|x| = x ប្រសិនបើ x ធំជាង ឬស្មើសូន្យ និង -x ប្រសិនបើតិចជាងសូន្យ។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិអង់គ្លេស R. Kotes គឺជាអ្នកដែលបានអនុវត្តគំនិតនេះជាលើកដំបូងនៅក្នុងការគណនាគណិតវិទ្យា។ ប៉ុន្តែ K. Weierstrass ដែលជាគណិតវិទូមកពីប្រទេសអាឡឺម៉ង់ បានបង្កើត និងដាក់ឱ្យប្រើប្រាស់និមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិក។

នៅក្នុងធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល យើងអាចពិចារណាឧទាហរណ៍នៃបន្ទាត់កូអរដោណេ ដែលចំណុច 2 បំពានត្រូវបានគ្រោងទុក។ ឧបមាថាមួយ - A មានតម្លៃ 5 ហើយទីពីរ B - 6. នៅពេលសិក្សាលម្អិតនៃគំនូរវានឹងច្បាស់ថាចម្ងាយពី A ដល់ B គឺ 5 ឯកតាពីសូន្យ i.e. ប្រភពដើម ហើយចំណុច B មានទីតាំងនៅ 6 ឯកតាពីប្រភពដើម។ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា ចំនុចម៉ូឌុល A=5 និងចំនុច B=6។ តាមក្រាហ្វិក នេះអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ | ៥ | = 5. នោះគឺចំងាយពីចំនុចទៅប្រភពដើមគឺជាម៉ូឌុលនៃចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វីដេអូមានប្រយោជន៍៖ តើម៉ូឌុលនៃចំនួនពិតគឺជាអ្វី?

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ដូចជាគោលគំនិតគណិតវិទ្យាណាមួយ ម៉ូឌុលមានលក្ខណៈសម្បត្តិគណិតវិទ្យាផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា៖

1. វាតែងតែវិជ្ជមាន ដូច្នេះម៉ូឌុលនៃតម្លៃវិជ្ជមានគឺខ្លួនវា ឧទាហរណ៍ ម៉ូឌុលនៃ 6 និង −6 គឺ 6 ។ តាមគណិតវិទ្យា ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចសរសេរជា |a| = a, សម្រាប់ a> 0;
2. សូចនាករនៃលេខផ្ទុយគឺស្មើគ្នា។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះកាន់តែច្បាស់នៅក្នុងការបង្ហាញធរណីមាត្រ ដោយហេតុថានៅលើបន្ទាត់ត្រង់លេខទាំងនេះមានទីតាំងនៅកន្លែងផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយពួកវាត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភពដើមដោយចំនួនស្មើគ្នានៃឯកតា។ តាម​គណិត​វិទ្យា​ត្រូវ​សរសេរ​ដូច​តទៅ៖ |a| = |-a|;
3. ម៉ូឌុលនៃសូន្យគឺសូន្យ ផ្តល់ថាចំនួនពិតគឺសូន្យ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគាំទ្រដោយការពិតដែលថាសូន្យគឺជាប្រភពដើម។ ជាក្រាហ្វិក វាត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ |0| = 0;
4. ប្រសិនបើអ្នកចង់ស្វែងរកម៉ូឌុលនៃលេខគុណពីរ អ្នកគួរតែយល់ថាវានឹងស្មើនឹងផលិតផលលទ្ធផល។ ម៉្យាងទៀតផលិតផលនៃបរិមាណ A និង B = AB ដែលផ្តល់ថាវាជាវិជ្ជមានឬអវិជ្ជមានហើយបន្ទាប់មកផលិតផលគឺស្មើនឹង -AB ។ តាមក្រាហ្វិក វាអាចត្រូវបានសរសេរជា |A*B| = |A| * |B|។

ដំណោះស្រាយជោគជ័យនៃសមីការជាមួយម៉ូឌុលអាស្រ័យលើចំណេះដឹងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះដែលនឹងជួយនរណាម្នាក់ឱ្យគណនាបានត្រឹមត្រូវនិងធ្វើការជាមួយសូចនាករនេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុល

សំខាន់! និទស្សន្តមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេព្រោះវាកំណត់ចម្ងាយដែលតែងតែវិជ្ជមាន។

នៅក្នុងសមីការ

ក្នុងករណីធ្វើការ និងដោះស្រាយវិសមភាពគណិតវិទ្យាដែលម៉ូឌុលមានវត្តមាន វាតែងតែចាំបាច់ក្នុងការចងចាំថា ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវចុងក្រោយ អ្នកគួរតែបើកតង្កៀប i.e. ម៉ូឌុលសញ្ញាបើក។ ជារឿយៗនេះគឺជាអត្ថន័យនៃសមីការ។

វាគឺមានតំលៃចងចាំថា:

• ប្រសិនបើកន្សោមត្រូវបានសរសេរក្នុងតង្កៀបការ៉េ វាត្រូវតែដោះស្រាយ៖ |A + 5| \u003d A + 5 នៅពេលដែល A ធំជាង ឬស្មើសូន្យ និង 5-A ក្នុងករណី A តិចជាងសូន្យ;
• តង្កៀបការេ ច្រើនតែត្រូវពង្រីកដោយមិនគិតពីតម្លៃអថេរ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើកន្សោមក្នុងការ៉េត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀប ដោយសារការពង្រីកនឹងជាលេខវិជ្ជមាន។

វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុលដោយបញ្ចូលតម្លៃទៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ពីព្រោះពេលនោះវាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញតម្លៃ និងសូចនាកររបស់វា។

វីដេអូមានប្រយោជន៍៖ ម៉ូឌុលចំនួនពិត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

គោលការណ៍នៃការយល់ដឹងអំពីគំនិតគណិតវិទ្យាដូចជាម៉ូឌុលគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ព្រោះវាត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត ដូច្នេះអ្នកត្រូវមានលទ្ធភាពធ្វើការជាមួយវា។

នៅក្នុងការទំនាក់ទំនងជាមួយ

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងវិភាគលម្អិត តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។. យើងនឹងផ្តល់និយមន័យផ្សេងៗនៃម៉ូឌុលនៃលេខមួយ ណែនាំសញ្ញាណ និងផ្តល់រូបភាពក្រាហ្វិក។ ក្នុងករណីនេះ យើងពិចារណាឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃការស្វែងរកម៉ូឌុលនៃលេខតាមនិយមន័យ។ បន្ទាប់ពីនោះ យើងរាយបញ្ជី និងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗរបស់ម៉ូឌុល។ នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ យើងនឹងនិយាយអំពីរបៀបដែលម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ និងរកឃើញ។

ការរុករកទំព័រ។

ម៉ូឌុលនៃចំនួន - និយមន័យ សញ្ញាណ និងឧទាហរណ៍

ដំបូងយើងណែនាំ ការកំណត់ម៉ូឌុល. ម៉ូឌុលនៃលេខ a នឹងត្រូវបានសរសេរជា ពោលគឺនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃលេខ យើងនឹងដាក់បន្ទាត់បញ្ឈរដែលបង្កើតជាសញ្ញានៃម៉ូឌុល។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ពីរបី។ ឧទាហរណ៍ ម៉ូឌុល -7 អាចត្រូវបានសរសេរជា ; ម៉ូឌុល 4,125 ត្រូវបានសរសេរជា ហើយម៉ូឌុលត្រូវបានសរសេរជា .

និយមន័យខាងក្រោមនៃម៉ូឌុលសំដៅលើ ហើយដូច្នេះ ដល់ និងចំនួនគត់ និងលេខសមហេតុសមផល និងមិនសមហេតុផល ទាក់ទងនឹងផ្នែកធាតុផ្សំនៃសំណុំចំនួនពិត។ យើងនឹងនិយាយអំពីម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុង។

និយមន័យ។

ម៉ូឌុលនៃ កគឺជាចំនួនដែលខ្លួនវាផ្ទាល់ ប្រសិនបើ a ជាចំនួនវិជ្ជមាន ឬចំនួន −a ផ្ទុយពីចំនួន a ប្រសិនបើ a ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ឬ 0 ប្រសិនបើ a = 0 ។

និយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានសរសេរជាញឹកញាប់ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម សញ្ញាណនេះមានន័យថា ប្រសិនបើ a>0, ប្រសិនបើ a=0, ហើយប្រសិនបើ a<0 .

កំណត់ត្រាអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់បង្រួមជាង . សញ្ញាណនេះមានន័យថា ប្រសិនបើ (a ធំជាង ឬស្មើ 0) ហើយប្រសិនបើ a<0 .

ក៏មានកំណត់ត្រាផងដែរ។ . នៅទីនេះ ករណីដែល a=0 គួរតែត្រូវបានពន្យល់ដោយឡែកពីគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ យើងមាន , ប៉ុន្តែ −0=0 , ចាប់តាំងពីសូន្យត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលេខដែលផ្ទុយពីខ្លួនវា។

ចូរនាំមក ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកម៉ូឌុលនៃលេខជាមួយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកម៉ូឌុលនៃលេខ 15 និង . ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការស្វែងរក។ ដោយសារលេខ 15 គឺវិជ្ជមាន ម៉ូឌុលរបស់វាគឺតាមនិយមន័យស្មើនឹងលេខនេះផ្ទាល់ ពោលគឺ . តើម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាអ្វី? ដោយសារជាលេខអវិជ្ជមាន នោះម៉ូឌុលរបស់វាស្មើនឹងលេខទល់មុខនឹងលេខ ពោលគឺលេខ . នៅក្នុងវិធីនេះ, ។

នៅក្នុងសេចក្តីសន្និដ្ឋាននៃកថាខណ្ឌនេះ យើងផ្តល់សេចក្តីសន្និដ្ឋានមួយ ដែលងាយស្រួលអនុវត្តក្នុងការអនុវត្តនៅពេលស្វែងរកម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ។ ពីនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ វាធ្វើតាមនោះ។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនគឺស្មើនឹងចំនួននៅក្រោមសញ្ញានៃម៉ូឌុល ដោយមិនគិតពីសញ្ញារបស់វា។ហើយពីឧទាហរណ៍ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ នេះអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានសំឡេងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានហៅផងដែរ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ. ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ និងតម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនគឺមួយ និងដូចគ្នា។

ម៉ូឌុលនៃចំនួនជាចម្ងាយ

តាមធរណីមាត្រ ម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយអាចត្រូវបានបកស្រាយថាជា ចម្ងាយ. ចូរនាំមក ការ​កំណត់​នៃ​ម៉ូឌុល​នៃ​ចំនួន​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ចម្ងាយ.

និយមន័យ។

ម៉ូឌុលនៃ កគឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេទៅចំណុចដែលត្រូវនឹងលេខ a ។

និយមន័យនេះគឺស្របនឹងនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ។ ចូរ​ពន្យល់​ពី​ចំណុច​នេះ។ ចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹងលេខវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងលេខនេះ។ សូន្យត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភពដើម ដូច្នេះចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេ 0 គឺសូន្យ (គ្មានផ្នែកតែមួយ និងគ្មានចម្រៀកណាដែលបង្កើតបានជាប្រភាគនៃផ្នែកឯកតាណាមួយត្រូវពន្យារពេលដើម្បីទទួលបានពីចំណុច O ដល់ចំណុច ជាមួយកូអរដោនេ 0) ។ ចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេអវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងលេខទល់មុខនឹងកូអរដោណេនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ព្រោះវាស្មើនឹងចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលកូអរដោនេគឺជាលេខផ្ទុយ។

ឧទាហរណ៍ ម៉ូឌុលនៃលេខ 9 គឺ 9 ចាប់តាំងពីចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ 9 គឺប្រាំបួន។ សូមលើកឧទាហរណ៍មួយទៀត។ ចំណុច​ដែល​មាន​កូអរដោណេ −3.25 គឺ​នៅ​ចម្ងាយ 3.25 ពី​ចំណុច O ដូច្នេះ .

និយមន័យសំឡេងនៃម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាករណីពិសេសនៃការកំណត់ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ។

និយមន័យ។

ម៉ូឌុលខុសគ្នានៃលេខពីរ a និង b គឺស្មើនឹងចំងាយរវាងចំនុចនៃបន្ទាត់កូអរដោណេដែលមានកូអរដោនេ a និង b ។

នោះគឺប្រសិនបើចំនុចនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ A(a) និង B(b) ត្រូវបានផ្តល់ នោះចំងាយពីចំនុច A ដល់ចំនុច B គឺស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នារវាងលេខ a និង b ។ ប្រសិនបើយើងយកចំណុច O (ចំណុចយោង) ជាចំណុច B នោះយើងនឹងទទួលបាននិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមកថាខណ្ឌនេះ។

ការ​កំណត់​ម៉ូឌុល​នៃ​ចំនួន​តាម​រយៈ​ឫស​ការ៉េ​នព្វន្ធ

ពេលខ្លះបានរកឃើញ ការកំណត់នៃម៉ូឌុលតាមរយៈឫសការ៉េនព្វន្ធ.

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាម៉ូឌុលនៃលេខ −30 ហើយផ្អែកលើនិយមន័យនេះ។ យើង​មាន ។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃពីរភាគបី៖ .

និយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយក្នុងន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ ក៏ស្របនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយនៃអត្ថបទនេះ។ សូមបង្ហាញវា។ ទុកជាលេខវិជ្ជមាន ហើយទុក −a ជាលេខអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក និង ប្រសិនបើ a=0 នោះ .

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុល

ម៉ូឌុលមានលទ្ធផលលក្ខណៈមួយចំនួន - លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុល. ឥឡូវនេះយើងនឹងផ្តល់ឱ្យពួកគេនូវមេនិងប្រើជាទូទៅបំផុត។ នៅពេលបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ យើងនឹងពឹងផ្អែកលើនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចម្ងាយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុលជាក់ស្តែងបំផុត − ម៉ូឌុលនៃចំនួនមិនអាចជាលេខអវិជ្ជមានទេ។. ជាទម្រង់ព្យញ្ជនៈ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានទម្រង់សម្រាប់លេខណាមួយ a . លក្ខណសម្បត្តិនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវ៖ ម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាចម្ងាយ ហើយចម្ងាយមិនអាចបង្ហាញជាលេខអវិជ្ជមានបានទេ។

ចូរបន្តទៅលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ទាប់នៃម៉ូឌុល។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើចំនួននេះគឺសូន្យប៉ុណ្ណោះ។. ម៉ូឌុលនៃសូន្យគឺសូន្យតាមនិយមន័យ។ សូន្យត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភពដើម គ្មានចំណុចផ្សេងទៀតនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេត្រូវនឹងសូន្យទេ ដោយសារចំនួនពិតនីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំណុចតែមួយនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា លេខណាមួយក្រៅពីសូន្យត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចផ្សេងក្រៅពីប្រភពដើម។ ហើយចម្ងាយពីចំណុចដើមទៅចំណុចណាមួយក្រៅពីចំណុច O គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ព្រោះចម្ងាយរវាងចំណុចទាំងពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើចំណុចទាំងនេះស្របគ្នា។ ហេតុផលខាងលើបង្ហាញឱ្យឃើញថា មានតែម៉ូឌុលនៃសូន្យប៉ុណ្ណោះដែលស្មើនឹងសូន្យ។

បន្តទៅមុខទៀត។ លេខទល់មុខមានម៉ូឌុលស្មើគ្នា ពោលគឺសម្រាប់លេខណាមួយ a . ជាការពិត ចំណុចពីរនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ដែលកូអរដោនេរបស់វាជាលេខទល់មុខ គឺនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីប្រភពដើម ដែលមានន័យថា ម៉ូឌុលនៃលេខផ្ទុយគឺស្មើគ្នា។

ទ្រព្យសម្បត្តិម៉ូឌុលបន្ទាប់គឺ៖ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះនោះគឺ . តាមនិយមន័យ ម៉ូឌុលនៃផលគុណនៃលេខ a និង b គឺ a b if ឬ −(a b) if . វាអនុវត្តតាមច្បាប់នៃការគុណនៃចំនួនពិតដែលផលគុណនៃម៉ូឌុលនៃលេខ a និង b គឺស្មើនឹង b , , ឬ −(a b) , if , ដែលបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណា។

ម៉ូឌុលនៃ quotient នៃការបែងចែក a ដោយ b គឺស្មើនឹង quotient នៃការបែងចែកម៉ូឌុលនៃ a ដោយ ម៉ូឌុលនៃ b ។នោះគឺ . អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃម៉ូឌុលនេះ។ ដោយហេតុថា កូតាគឺស្មើនឹងផលិតផល។ ដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិពីមុនយើងមាន . វានៅសល់តែប្រើសមភាព ដែលមានសុពលភាពដោយសារនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួន។

ទ្រព្យសម្បត្តិម៉ូឌុលខាងក្រោមត្រូវបានសរសេរជាវិសមភាព៖ , a , b និង c គឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន។ វិសមភាពសរសេរគឺគ្មានអ្វីលើសពីនេះទេ។ វិសមភាពត្រីកោណ. ដើម្បីបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់ ចូរយើងយកចំនុច A(a) , B(b) , C(c) នៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ហើយពិចារណាត្រីកោណដែលខូច ABC ដែលចំនុចកំពូលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ តាមនិយមន័យ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផ្នែក AB, - ប្រវែងនៃចម្រៀក AC, និង - ប្រវែងនៃចម្រៀក CB ។ ដោយសារប្រវែងនៃជ្រុងណាមួយនៃត្រីកោណមិនលើសពីផលបូកនៃប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរទៀតនោះ វិសមភាព ដូច្នេះ វិសមភាពក៏មាន។

វិសមភាពដែលទើបតែបានបង្ហាញគឺជារឿងធម្មតាជាងនៅក្នុងទម្រង់ . វិសមភាពជាលាយលក្ខណ៍អក្សរជាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាទ្រព្យសម្បត្តិដាច់ដោយឡែកនៃម៉ូឌុលជាមួយនឹងទម្រង់បែបបទ៖ " ម៉ូឌុលនៃផលបូកនៃលេខពីរមិនលើសពីផលបូកនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះទេ។"។ ប៉ុន្តែវិសមភាពដោយផ្ទាល់គឺមកពីវិសមភាព ប្រសិនបើយើងដាក់ −b ជំនួសឱ្យ b ហើយយក c=0 ។

ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច

ចូរយើងផ្តល់ឱ្យ ការកំណត់ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច. សូមឱ្យយើងត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យ ចំនួនកុំផ្លិចសរសេរជាទម្រង់ពិជគណិត ដែល x និង y គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន ដែលតំណាងឱ្យរៀងគ្នា ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ z និងជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

ដំបូង យើងកំណត់សញ្ញានៃកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញានៃម៉ូឌុល ហើយបន្ទាប់មកពង្រីកម៉ូឌុល:

• ប្រសិនបើតម្លៃនៃកន្សោមធំជាងសូន្យ នោះយើងគ្រាន់តែយកវាចេញពីក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។
• ប្រសិនបើកន្សោមគឺតិចជាងសូន្យ នោះយើងយកវាចេញពីក្រោមសញ្ញានៃម៉ូឌុល ខណៈពេលដែលផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ដូចដែលយើងបានធ្វើពីមុននៅក្នុងឧទាហរណ៍។

អញ្ចឹងតើយើងនឹងព្យាយាមទេ? ចូរយើងប៉ាន់ស្មាន៖

(ភ្លេចធ្វើម្តងទៀត។ )

បើដូច្នេះ តើសញ្ញាអ្វី? មែនហើយ !

ដូច្នេះហើយ យើងបង្ហាញសញ្ញានៃម៉ូឌុលដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃកន្សោម៖

យល់ទេ? បន្ទាប់មកសាកល្បងវាដោយខ្លួនឯង៖

ចម្លើយ៖

តើម៉ូឌុលមានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីផ្សេងទៀត?

បើយើងត្រូវការគុណលេខក្នុងសញ្ញា modulo យើងអាចគុណលេខ modulus នេះបានយ៉ាងងាយ!!!

នៅក្នុងពាក្យគណិតវិទ្យា, ម៉ូឌុលនៃផលិតផលនៃលេខគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍:

ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវបែងចែកលេខពីរ (កន្សោម) នៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល?

បាទ ដូចគ្នានឹងគុណ! ចូរបំបែកវាជាលេខពីរដាច់ដោយឡែក (កន្សោម) នៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល៖

បានផ្តល់ថា (ចាប់តាំងពីអ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ) ។

វាគឺមានតំលៃចងចាំទ្រព្យសម្បត្តិមួយបន្ថែមទៀតនៃម៉ូឌុល:

ម៉ូឌុលនៃផលបូកនៃលេខគឺតែងតែតិចជាង ឬស្មើនឹងផលបូកនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះ៖

ហេតុអ្វីបានជា​អញ្ចឹង? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់!

ដូចដែលយើងចងចាំ ម៉ូឌុលគឺតែងតែវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែនៅក្រោមសញ្ញានៃម៉ូឌុលអាចជាលេខណាមួយ: ទាំងវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាន។ សន្មតថាលេខនិងទាំងពីរវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកកន្សោមខាងឆ្វេងនឹងស្មើនឹងកន្សោមស្តាំ។

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ប្រសិនបើនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល លេខមួយគឺអវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺវិជ្ជមាន។ កន្សោមខាងឆ្វេងនឹងតែងតែតិចជាងខាងស្តាំ៖

វាហាក់ដូចជាថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ ចូរយើងពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានប្រយោជន៍មួយចំនួនបន្ថែមទៀតនៃម៉ូឌុល។

ចុះបើយើងមានការបញ្ចេញមតិនេះ៖

តើយើងអាចធ្វើអ្វីជាមួយការបញ្ចេញមតិនេះ? យើង​មិន​ដឹង​តម្លៃ x ទេ ប៉ុន្តែ​យើង​ដឹង​ហើយ​ថា​តើ​វា​មាន​ន័យ​យ៉ាង​ណា។

លេខគឺធំជាងសូន្យ ដែលមានន័យថាអ្នកអាចសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញ៖

ដូច្នេះ​យើង​បាន​មក​ដល់​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​មួយ​ទៀត ដែល​ជា​ទូទៅ​អាច​តំណាង​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិនេះ៖

ដូច្នេះយើងត្រូវកំណត់សញ្ញានៅក្រោមម៉ូឌុល។ តើចាំបាច់ត្រូវកំណត់សញ្ញានៅទីនេះទេ?

ជាការពិតណាស់ មិនមែនទេ ប្រសិនបើអ្នកចាំថាចំនួនណាមួយដែលការ៉េគឺតែងតែធំជាងសូន្យ! ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំទេសូមមើលប្រធានបទ។ ហើយមានអ្វីកើតឡើង? ហើយនេះជាអ្វី៖

វាអស្ចារ្យណាស់មែនទេ? ងាយស្រួលណាស់។ ឥឡូវនេះសម្រាប់ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ:

មែនហើយ ហេតុអ្វីបានជាសង្ស័យ? ចូរ​ប្រព្រឹត្ត​ដោយ​ក្លាហាន!

តើអ្នកយល់គ្រប់យ៉ាងទេ? បន្ទាប់មកបន្តអនុវត្តជាមួយឧទាហរណ៍!

1. រកតម្លៃនៃកន្សោម if ។

2. តើលេខប៉ុន្មានដែលម៉ូឌុលស្មើគ្នា?

3. ស្វែងរកអត្ថន័យនៃកន្សោម៖

ប្រសិនបើអ្វីៗមិនទាន់ច្បាស់នៅឡើយ ហើយមានការលំបាកក្នុងការសម្រេចចិត្តនោះ តោះស្វែងយល់ទាំងអស់គ្នា៖

ដំណោះស្រាយ 1:

ដូច្នេះ ចូរ​យើង​ជំនួស​តម្លៃ​ក្នុង​កន្សោម

ដំណោះស្រាយ 2:

ដូចដែលយើងចងចាំលេខទល់មុខគឺម៉ូឌុលស្មើគ្នា។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃម៉ូឌុលគឺស្មើនឹងចំនួនពីរ៖ និង។

ដំណោះស្រាយទី 3៖

ក)
ខ)
ក្នុង)
ឆ)

តើអ្នកចាប់បានទាំងអស់ទេ? ដល់ពេលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលកាន់តែស្មុគស្មាញ!

ចូរយើងព្យាយាមសម្រួលការបញ្ចេញមតិ

ដំណោះស្រាយ៖

ដូច្នេះ យើងចាំថាតម្លៃម៉ូឌុលមិនអាចតិចជាងសូន្យទេ។ ប្រសិនបើលេខនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុលគឺវិជ្ជមានបន្ទាប់មកយើងអាចបោះបង់សញ្ញាបានយ៉ាងសាមញ្ញ៖ ម៉ូឌុលនៃលេខនឹងស្មើនឹងលេខនេះ។

ប៉ុន្តែប្រសិនបើនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុលគឺជាលេខអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកតម្លៃនៃម៉ូឌុលគឺស្មើនឹងលេខផ្ទុយ (នោះគឺលេខដែលយកដោយសញ្ញា "-")។

ដើម្បីស្វែងរកម៉ូឌុលនៃកន្សោមណាមួយ ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងយល់ថាតើវាយកតម្លៃវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។

វាប្រែថាតម្លៃនៃកន្សោមដំបូងនៅក្រោមម៉ូឌុល។

ដូច្នេះកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុលគឺអវិជ្ជមាន។ កន្សោមទីពីរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុលគឺតែងតែវិជ្ជមាន ដោយសារយើងកំពុងបន្ថែមលេខវិជ្ជមានពីរ។

ដូច្នេះតម្លៃនៃកន្សោមទីមួយនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុលគឺអវិជ្ជមាន ទីពីរគឺវិជ្ជមាន៖

នេះមានន័យថា នៅពេលពង្រីកសញ្ញានៃម៉ូឌុលនៃកន្សោមទីមួយ យើងត្រូវយកកន្សោមនេះជាមួយសញ្ញា "-" ។ ដូចនេះ៖

ក្នុងករណីទី 2 យើងគ្រាន់តែទម្លាក់សញ្ញាម៉ូឌុល៖

ចូរសម្រួលការបញ្ចេញមតិនេះទាំងស្រុង៖

ម៉ូឌុលនៃលេខ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា (និយមន័យ និងភស្តុតាងដ៏តឹងរឹង)

និយមន័យ៖

ម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃលេខគឺជាលេខខ្លួនវា ប្រសិនបើ និងលេខប្រសិនបើ៖

ឧទាហរណ៍:

ឧទាហរណ៍៖

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។

ដំណោះស្រាយ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃម៉ូឌុល

សម្រាប់​ទាំងអស់:

ឧទាហរណ៍៖

បញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ៥.

ភស្តុតាង៖

ចូរយើងសន្មតថាមាន

ចូរបង្វែរផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃវិសមភាព (នេះអាចត្រូវបានធ្វើ ដោយហេតុថាផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពគឺតែងតែមិនអវិជ្ជមាន)៖

ហើយនេះផ្ទុយនឹងនិយមន័យនៃម៉ូឌុល។

អាស្រ័យហេតុនេះ ពុំ​មាន​បែប​នេះ​ទេ ដែល​មាន​ន័យ​ថា​សម្រាប់​វិសមភាព​ទាំង​អស់

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

1) បញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 6 ។

2) សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។

ចម្លើយ៖

1) ចូរយើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 3: ហើយចាប់តាំងពីពេលនោះមក

ដើម្បីសម្រួល អ្នកត្រូវពង្រីកម៉ូឌុល។ ហើយដើម្បីពង្រីកម៉ូឌុល អ្នកត្រូវស្វែងយល់ថាតើកន្សោមនៅក្រោមម៉ូឌុលគឺវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន?

ក. តោះប្រៀបធៀបលេខ និង និង៖

ខ. ឥឡូវនេះសូមប្រៀបធៀប៖

យើងបន្ថែមតម្លៃនៃម៉ូឌុល៖

តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។ និយាយដោយសង្ខេបអំពីរឿងសំខាន់។

ម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃលេខគឺជាលេខខ្លួនវា ប្រសិនបើ និងលេខប្រសិនបើ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុល៖

1. ម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន៖ ;
2. ម៉ូឌុលនៃលេខផ្ទុយគឺស្មើគ្នា៖ ;
3. ម៉ូឌុលនៃផលិតផលនៃចំនួនពីរ (ឬច្រើន) គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ៖ ;
4. ម៉ូឌុលនៃ quotient នៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹង quotient នៃម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ៖ ;
5. ម៉ូឌុលនៃផលបូកនៃលេខគឺតែងតែតិចជាង ឬស្មើនឹងផលបូកនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះ៖ ;
6. កត្តាវិជ្ជមានថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាម៉ូឌុល៖ នៅ;