រូបមន្តមូលដ្ឋាន និងវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូល។ ច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។ ការដកថេរចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។ វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។ រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយបញ្ហា។

វិធីសាស្រ្តសមាហរណកម្មសំខាន់ៗចំនួនបួនត្រូវបានរាយខាងក្រោម។

1) ច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។
.
នៅទីនេះ និងខាងក្រោម u, v, w គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល x ។

2) ការដកថេរចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។
អនុញ្ញាតឱ្យ c ជាថេរឯករាជ្យនៃ x ។ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

3) វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។
ពិចារណាលើអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។
ប្រសិនបើអាចជ្រើសរើសមុខងារបែបនេះ φ (x)ពី x ដូច្នេះ
,
បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = φ(x) យើងមាន
.

4) រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
,
ដែល u និង v គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល។

គោលដៅចុងក្រោយនៃការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ ដើម្បីនាំយកអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត ដែលត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលតារាង។ អាំងតេក្រាលតារាងត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមដោយប្រើរូបមន្តល្បី។
សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាល >>>

ឧទាហរណ៍

គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការសម្រេចចិត្ត

ចំណាំថា អាំងតេក្រាល គឺជាផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃពាក្យបី៖
, និង .
យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 1 .

លើសពីនេះ យើងកត់សំគាល់ថា អាំងតេក្រាលនៃអាំងតេក្រាលថ្មីត្រូវបានគុណនឹងចំនួនថេរ។ 5, 4, និង 2 រៀងគ្នា។ យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 2 .

នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត
.
ការកំណត់ n = 2 យើងរកឃើញអាំងតេក្រាលទីមួយ។

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីពីរក្នុងទម្រង់
.
យើងកត់សំគាល់នោះ។ បន្ទាប់មក

តោះប្រើវិធីទីបី។ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = φ (x) = កំណត់ហេតុ x.
.
នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត

ចាប់តាំងពីអថេរនៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរណាមួយបន្ទាប់មក

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីបីក្នុងទម្រង់
.
យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
អនុញ្ញាតឱ្យ។
បន្ទាប់មក
;
;

;
;
.

នៅលើទំព័រនេះអ្នកនឹងឃើញ៖

1. តាមពិតតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ - វាអាចត្រូវបានទាញយកជាទម្រង់ PDF និងបោះពុម្ព។

2. វីដេអូអំពីរបៀបប្រើតារាងនេះ;

3. បណ្តុំនៃឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រឆាំងដេរីវេពីសៀវភៅសិក្សា និងការធ្វើតេស្តផ្សេងៗ។

នៅក្នុងវីដេអូខ្លួនយើងផ្ទាល់ យើងនឹងវិភាគកិច្ចការជាច្រើនដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាមុខងារប្រឆាំងដេរីវេ ដែលជារឿយៗស្មុគស្មាញ ប៉ុន្តែសំខាន់បំផុតនោះ ពួកគេមិនមែនជាច្បាប់អំណាចទេ។ មុខងារទាំងអស់ដែលបានសង្ខេបនៅក្នុងតារាងដែលបានស្នើឡើងខាងលើត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង ដូចជានិស្សន្ទវត្ថុ។ បើគ្មានពួកគេទេ ការសិក្សាបន្ថែមអំពីអាំងតេក្រាល និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ថ្ងៃនេះយើងបន្តដោះស្រាយជាមួយបុព្វហេតុ ហើយបន្តទៅប្រធានបទដ៏ស្មុគស្មាញបន្តិច។ ប្រសិនបើកាលពីលើកមុន យើងបានពិចារណាពីអង្គធាតុចម្លងពីមុខងារថាមពល និងរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញបន្តិច ថ្ងៃនេះយើងនឹងវិភាគត្រីកោណមាត្រ និងច្រើនទៀត។

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយនៅក្នុងមេរៀនចុងក្រោយ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ មិនដូចនិស្សន្ទវត្ថុ គឺមិនដែលត្រូវបានដោះស្រាយ "ទទេ" ដោយប្រើច្បាប់ស្តង់ដារណាមួយឡើយ។ ជាងនេះទៅទៀត ដំណឹងអាក្រក់គឺថា មិនដូចដេរីវេទីវទេ សារធាតុប្រឆាំងដេរីវេអាចមិនត្រូវបានគេពិចារណាទាល់តែសោះ។ ប្រសិនបើយើងសរសេរអនុគមន៍ចៃដន្យទាំងស្រុង ហើយព្យាយាមស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា នោះយើងនឹងជោគជ័យជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ ប៉ុន្តែអង្គបដិប្រាណនឹងស្ទើរតែមិនត្រូវបានគណនាក្នុងករណីនេះ។ ប៉ុន្តែក៏មានព័ត៌មានល្អផងដែរ៖ មានមុខងារមួយចំនួនធំដែលហៅថា អនុគមន៍បឋម ដែលជាអង្គបដិប្រាណដែលងាយស្រួលគណនា។ ហើយសំណង់ស្មុគ្រស្មាញផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅឯការគ្រប់គ្រងផ្សេងៗ ឯករាជ្យ និងការប្រឡងតាមការពិតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមុខងារបឋមទាំងនេះដោយការបន្ថែម ដក និងសកម្មភាពសាមញ្ញផ្សេងទៀត។ antiderivatives នៃមុខងារបែបនេះត្រូវបានគណនា និងសង្ខេបជាយូរមកហើយនៅក្នុងតារាងពិសេស។ វាគឺជាមួយនឹងមុខងារ និងតារាងបែបនេះដែលយើងនឹងធ្វើការនៅថ្ងៃនេះ។

ប៉ុន្តែយើងនឹងចាប់ផ្តើមដូចរាល់ដង ដោយពាក្យដដែលៗ៖ ចូរចាំថា អ្វីជា antiderivative ហេតុអ្វីបានជាមានច្រើនមិនចេះចប់ និងរបៀបកំណត់ពួកវា។ ទម្រង់ទូទៅ. ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ ខ្ញុំ​បាន​លើក​យក​កិច្ចការ​សាមញ្ញ​ចំនួន​ពីរ។

ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ងាយស្រួល

ឧទាហរណ៍ #1

ចំណាំភ្លាមៗថា $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ និងវត្តមានរបស់ $\text( )\!\!\pi\!\! \text( )$ ប្រាប់យើងភ្លាមៗថា អង់ទីឌីវ័រនៃអនុគមន៍ដែលត្រូវការគឺទាក់ទងនឹងត្រីកោណមាត្រ។ ហើយជាការពិត ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាង យើងឃើញថា $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ គឺគ្មានអ្វីក្រៅពី $\text(arctg)x$ ។ ដូច្នេះសូមសរសេរ៖

ដើម្បីស្វែងរក អ្នកត្រូវសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\\[\frac(\pi)(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(6)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text()) (3)+C\]

ឧទាហរណ៍ #2

នៅទីនេះយើងក៏កំពុងនិយាយអំពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផងដែរ។ ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាងនោះ វានឹងប្រែជាដូចនេះ៖

យើងត្រូវស្វែងរកក្នុងចំណោមសំណុំទាំងមូលនៃ antiderivatives ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានបញ្ជាក់៖

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text()\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text()\!\!\pi\!\text( ))(6)+C\]

ចុងក្រោយ ចូរយើងសរសេរវាចុះ៖

វាសាមញ្ញណាស់។ បញ្ហាតែមួយគត់គឺថាដើម្បីរាប់ antiderivatives នៃមុខងារសាមញ្ញ អ្នកត្រូវរៀនតារាង antiderivatives ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីបានរៀនតារាងដេរីវេសម្រាប់អ្នក ខ្ញុំគិតថានេះនឹងមិនមានបញ្ហាទេ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ចូរចាប់ផ្តើមដោយសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖

\[(((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac((((a)^(x)))(\ln a)\]

សូមមើលពីរបៀបដែលទាំងអស់នេះដំណើរការនៅក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ #1

ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលខ្លឹមសារនៃតង្កៀបនោះ យើងនឹងសម្គាល់ឃើញថា នៅក្នុងតារាងនៃអង្គបដិប្រាណ មិនមានកន្សោមដែល $((e)^(x))$ ស្ថិតនៅក្នុងការេទេ ដូច្នេះការ៉េនេះត្រូវតែបើក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់៖

ចូរយើងស្វែងរក antiderivative សម្រាប់ពាក្យនីមួយៗ៖

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2))\right))^(x))\to \frac((((\left((e))^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2))))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \\right))^(x))\to \frac((((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2))))=\frac(1)(-2((e)^(2x)))) \]

ហើយឥឡូវនេះ យើងប្រមូលពាក្យទាំងអស់ក្នុងកន្សោមតែមួយ ហើយទទួលបាន antiderivative ទូទៅ៖

ឧទាហរណ៍ #2

លើកនេះ និទស្សន្តគឺធំជាងរួចហើយ ដូច្នេះរូបមន្តគុណដែលសង្ខេបនឹងមានភាពស្មុគស្មាញណាស់។ តោះពង្រីកតង្កៀប៖

ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​យក​រូបមន្ត​ប្រឆាំង​នឹង​រូបមន្ត​របស់​យើង​ពី​ការ​សាងសង់​នេះ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញ និងអរូបីនៅក្នុងអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនោះទេ។ មួយទាំងអស់ត្រូវបានគណនាតាមតារាង ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សិស្សដែលយកចិត្តទុកដាក់នឹងច្បាស់ជាកត់សំគាល់ថា antiderivative $((e)^(2x))$ គឺកាន់តែខិតទៅជិត $((e)^(x))$ ជាង $((a )^(x))$។ ដូច្នេះ ប្រហែល​ជា​មាន​ច្បាប់​ពិសេស​មួយ​ចំនួន​ទៀត​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​ដឹង​ពី​ការ​ប្រឆាំង​នឹង $((e)^(x))$ ដើម្បី​ស្វែងរក $((e)^(2x))$? បាទ មានច្បាប់បែបនេះ។ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត វាគឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃការធ្វើការជាមួយតារាងនៃ antiderivatives ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគវាដោយប្រើកន្សោមដូចគ្នាដែលយើងទើបតែបានធ្វើការជាឧទាហរណ៍។

ច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយតារាងប្រឆាំងដេរីវេ

ចូរយើងសរសេរមុខងាររបស់យើងឡើងវិញ៖

ក្នុងករណីមុន យើងប្រើរូបមន្តខាងក្រោមដើម្បីដោះស្រាយ៖

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

ប៉ុន្តែ​ឥឡូវ​នេះ ចូរ​ធ្វើ​វា​ខុស​គ្នា​បន្តិច៖ ចាំ​ពី​មូលដ្ឋាន​អ្វី $((e)^(x))\to (e)^(x))$ ។ ដូចដែលបាននិយាយរួចមកហើយ ពីព្រោះដេរីវេនៃ $((e)^(x))$ គឺគ្មានអ្វីក្រៅពី $((e)^(x))$ ដូច្នេះ antiderivative របស់វានឹងស្មើនឹង $((e) ^( x))$ ។ ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាយើងមាន $((e)^(2x))$ និង $((e)^(-2x))$ ។ ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​ស្វែង​រក​ដេរីវេ $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x\right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

ចូរ​សរសេរ​សំណង់​របស់​យើង​ម្ដង​ទៀត៖

\[((\left(((e)^(2x)) \\right))^(\prime))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2)\right))^(\prime ))\]

ហើយនេះមានន័យថានៅពេលរកឃើញ antiderivative $((e)^(2x))$ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចពីមុន ប៉ុន្តែយើងមិនបានប្រើរូបមន្តដើម្បីស្វែងរក $((a)^(x))$ ទេ។ ឥឡូវនេះវាហាក់ដូចជាល្ងង់៖ ហេតុអ្វីបានជាការគណនាស្មុគស្មាញនៅពេលមានរូបមន្តស្តង់ដារ? ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងកន្សោមស្មុគស្មាញបន្តិចអ្នកនឹងឃើញថាបច្ចេកទេសនេះមានប្រសិទ្ធភាពណាស់ i.e. ដោយប្រើនិស្សន្ទវត្ថុដើម្បីស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំង។

ចូរយើងស្វែងរកការប្រឆាំងនៃ $((e)^(2x))$ ក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នានេះ៖

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot ឆ្វេង(-2\right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime))\]

នៅពេលគណនាការសាងសង់របស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​ដូចគ្នា ប៉ុន្តែ​បាន​ទៅ​ផ្លូវ​ផ្សេង។ វា​គឺ​ជា​វិធី​នេះ ដែល​ឥឡូវ​នេះ​ហាក់​ដូច​ជា​យើង​ស្មុគ​ស្មាញ​បន្តិច ហើយ​នៅ​ពេល​អនាគត​នឹង​មាន​ប្រសិទ្ធភាព​កាន់​តែ​ច្រើន​សម្រាប់​ការ​គណនា​សារធាតុ​ប្រឆាំង​និស្សន្ទវត្ថុ​ដែល​ស្មុគ្រ​ស្មាញ​និង​ការ​ប្រើ​តារាង។

ចំណាំ! នេះគឺជាចំណុចសំខាន់ណាស់៖ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ដូចជានិស្សន្ទវត្ថុអាចរាប់បានតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើការគណនានិងការគណនាទាំងអស់ស្មើគ្នានោះចម្លើយនឹងដូចគ្នា។ យើងគ្រាន់តែធ្វើឱ្យប្រាកដថានេះនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃ $((e)^(-2x))$ - នៅលើដៃមួយ យើងបានគណនា antiderivative នេះ "ពេញមួយ" ដោយប្រើនិយមន័យ និងគណនាវាដោយមានជំនួយពីការបំលែង។ ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងចាំបានថា $((e)^(-2x))$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $((\left(((e)^(-2))) \right))^(x))$ ហើយបន្ទាប់មក ប្រើ antiderivative សម្រាប់អនុគមន៍ $((a)^(x))$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ លទ្ធផលគឺដូចគ្នាទៅនឹងការរំពឹងទុក។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​ដែល​យើង​យល់​ពី​រឿង​ទាំង​អស់​នេះ វា​ដល់​ពេល​ត្រូវ​បន្ត​ទៅ​កាន់​អ្វី​ដែល​សំខាន់​ជាង​នេះ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគសំណង់សាមញ្ញចំនួនពីរទោះជាយ៉ាងណា បច្ចេកទេសដែលនឹងត្រូវដាក់នៅពេលដោះស្រាយវាជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពល និងមានប្រយោជន៍ជាង "ការរត់" ដ៏សាមញ្ញមួយរវាងវត្ថុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុជិតខាងពីតារាង។

ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ ស្វែងរកអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារមួយ។

ឧទាហរណ៍ #1

ផ្តល់ចំនួនដែលមាននៅក្នុងភាគយក បំបែកទៅជាប្រភាគបីដាច់ដោយឡែកពីគ្នា៖

នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរធម្មជាតិ និងអាចយល់បាន - សិស្សភាគច្រើនមិនមានបញ្ហាជាមួយវាទេ។ ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមរបស់យើងដូចខាងក្រោម៖

ឥឡូវនេះសូមចងចាំរូបមន្តនេះ៖

ក្នុងករណីរបស់យើង យើងនឹងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់នេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យធ្វើដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ #2

មិនដូចប្រភាគមុនទេ ភាគបែងមិនមែនជាផលិតផលទេ ប៉ុន្តែជាផលបូក។ ក្នុងករណីនេះ យើងមិនអាចបែងចែកប្រភាគរបស់យើងដោយផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញមួយចំនួនទៀតទេ ប៉ុន្តែយើងត្រូវព្យាយាមដូចម្ដេចដើម្បីប្រាកដថា ភាគយកមានកន្សោមប្រហាក់ប្រហែលនឹងភាគបែង។ ក្នុងករណីនេះវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការធ្វើ៖

សញ្ញាណបែបនេះ ដែលក្នុងភាសាគណិតវិទ្យាហៅថា "បូកសូន្យ" នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកប្រភាគជាពីរផ្នែកម្តងទៀត៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖

នោះហើយជាការគណនាទាំងអស់។ ទោះបីជាមានភាពស្មុគ្រស្មាញខ្លាំងជាងបញ្ហាមុនក៏ដោយ បរិមាណនៃការគណនាបានប្រែទៅជាតូចជាង។

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

ហើយនេះគឺជាកន្លែងដែលការលំបាកចម្បងនៃការធ្វើការជាមួយតារាងបឋមស្ថិតនៅ នេះគឺជាការកត់សម្គាល់ជាពិសេសនៅក្នុងកិច្ចការទីពីរ។ ការពិតគឺថា ដើម្បីជ្រើសរើសធាតុមួយចំនួនដែលងាយស្រួលរាប់តាមតារាង យើងត្រូវដឹងពីអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរកពិតប្រាកដ ហើយវាគឺនៅក្នុងការស្វែងរកធាតុទាំងនេះដែលការគណនាទាំងមូលនៃ antiderivatives មាន។

ម៉្យាងទៀត វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ គ្រាន់តែទន្ទេញចាំតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ - អ្នកត្រូវអាចមើលឃើញអ្វីមួយដែលមិនទាន់មាន ប៉ុន្តែតើអ្នកនិពន្ធនិងអ្នកចងក្រងនៃបញ្ហានេះមានន័យយ៉ាងណា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលគណិតវិទូ គ្រូបង្រៀន និងសាស្រ្តាចារ្យជាច្រើនតែងតែជជែកគ្នាឥតឈប់ឈរ៖ "តើអ្វីទៅដែលទទួលយកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ឬសមាហរណកម្ម - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍ ឬវាជាសិល្បៈពិត?" តាមពិតតាមគំនិតផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ ការរួមបញ្ចូលមិនមែនជាសិល្បៈទាល់តែសោះ - មិនមានអ្វីអស្ចារ្យនៅក្នុងវាទេ វាគ្រាន់តែជាការអនុវត្ត ហើយអនុវត្តម្តងទៀត។ ហើយដើម្បីអនុវត្ត ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដ៏ធ្ងន់ធ្ងរបីបន្ថែមទៀត។

អនុវត្តសមាហរណកម្មក្នុងការអនុវត្ត

កិច្ចការទី 1

ចូរយើងសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

ចូរយើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖

កិច្ចការទី ២

ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដូចតទៅ៖

ការប្រឆាំងដេរីវេសរុបនឹងស្មើនឹង៖

កិច្ចការទី ៣

ភាពស្មុគស្មាញនៃកិច្ចការនេះស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាមិនដូចមុខងារមុនទេ មិនមានអថេរ $x$ ខាងលើទេ i.e. វាមិនច្បាស់សម្រាប់យើងនូវអ្វីដែលត្រូវបន្ថែម ដក ដើម្បីទទួលបានយ៉ាងហោចណាស់អ្វីមួយដែលស្រដៀងនឹងអ្វីដែលមានខាងក្រោម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយតាមពិត កន្សោមនេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាសាមញ្ញជាងកន្សោមណាមួយពីការស្ថាបនាមុនៗ ព្រោះមុខងារនេះអាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

ឥឡូវនេះអ្នកអាចសួរថា: ហេតុអ្វីបានជាមុខងារទាំងនេះស្មើគ្នា? តោះពិនិត្យ៖

តោះសរសេរម្តងទៀត៖

តោះផ្លាស់ប្តូរកន្សោមរបស់យើងបន្តិច៖

ហើយនៅពេលដែលខ្ញុំពន្យល់ទាំងអស់នេះដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំ បញ្ហាដូចគ្នានេះតែងតែកើតឡើង៖ ជាមួយនឹងមុខងារទីមួយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាង ឬតិច ជាមួយនឹងទីពីរ អ្នកក៏អាចដោះស្រាយវាដោយសំណាង ឬការអនុវត្ត ប៉ុន្តែតើប្រភេទមនសិការជំនួសធ្វើអ្វី? អ្នកត្រូវមានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីបី? តាមពិតកុំខ្លាចអី។ បច្ចេកទេសដែលយើងបានប្រើនៅពេលគណនាអង្គបដិប្រាណចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា "ការបំប្លែងមុខងារទៅជាសាមញ្ញបំផុត" ហើយនេះគឺជាបច្ចេកទេសដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយ ហើយមេរៀនវីដេអូដាច់ដោយឡែកមួយនឹងត្រូវបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះវា។

ក្នុងពេលនេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យត្រឡប់ទៅអ្វីដែលយើងទើបតែបានសិក្សា ពោលគឺចំពោះមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញខ្លះជាមួយនឹងខ្លឹមសាររបស់វា។

បញ្ហាស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលប្រឆាំងដេរីវេ

កិច្ចការទី 1

ចំណាំដូចខាងក្រោម:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5\right))^(x))=((10)^(x) )\]

ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃកន្សោមនេះ គ្រាន់តែប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ ។

ក្នុងករណីរបស់យើងបុព្វកាលនឹងមានដូចនេះ៖

ជាការពិតណាស់ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃការសាងសង់ដែលយើងទើបតែបានដោះស្រាយនេះមើលទៅសាមញ្ញជាង។

កិច្ចការទី ២

ជាថ្មីម្តងទៀតវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាមុខងារនេះងាយស្រួលក្នុងការបែងចែកជាពីរឃ្លាដាច់ដោយឡែក - ប្រភាគពីរដាច់ដោយឡែក។ តោះសរសេរឡើងវិញ៖

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃពាក្យនីមួយៗនេះដោយយោងតាមរូបមន្តខាងលើ៖

ទោះបីជាមានភាពស្មុគស្មាញកាន់តែច្រើនជាក់ស្តែងនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលធៀបនឹងអនុគមន៍ថាមពលក៏ដោយ ក៏ចំនួនសរុបនៃការគណនា និងការគណនាបានប្រែទៅជាសាមញ្ញជាង។

ជាការពិតណាស់ សម្រាប់សិស្សដែលមានចំណេះដឹង អ្វីដែលយើងទើបតែបានដោះស្រាយ (ជាពិសេសប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃអ្វីដែលយើងបានដោះស្រាយពីមុន) អាចហាក់ដូចជាការបង្ហាញបឋម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការជ្រើសរើសកិច្ចការទាំងពីរនេះសម្រាប់ការបង្រៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ខ្ញុំមិនបានកំណត់គោលដៅក្នុងការប្រាប់អ្នកអំពីល្បិចដ៏ស្មុគស្មាញ និងប្លែកមួយទៀតនោះទេ - អ្វីដែលខ្ញុំចង់បង្ហាញអ្នកនោះគឺថា អ្នកមិនគួរភ័យខ្លាចក្នុងការប្រើប្រាស់ល្បិចពិជគណិតស្តង់ដារដើម្បីបំប្លែងមុខងារដើមនោះទេ។ .

ដោយប្រើបច្ចេកទេស "សម្ងាត់"

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់វិភាគបច្ចេកទេសដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀត ដែលនៅលើដៃម្ខាង វាហួសពីអ្វីដែលយើងបានវិភាគជាចម្បងនៅថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ ទីមួយ វាមិនស្មុគស្មាញទេ ពោលគឺ។ សូម្បីតែសិស្សថ្មីថ្មោងក៏អាចធ្វើជាម្ចាស់វាដែរ ហើយទីពីរ វាត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃការគ្រប់គ្រង និងការងារឯករាជ្យ i.e. ការដឹងថាវានឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ បន្ថែមពីលើការដឹងពីតារាងថ្នាំប្រឆាំងមេរោគ។

កិច្ចការទី 1

ជាក់ស្តែងយើងមានអ្វីមួយស្រដៀងទៅនឹងមុខងារថាមពល។ តើ​យើង​គួរ​បន្ត​យ៉ាង​ណា​ក្នុង​ករណី​នេះ? ចូរយើងគិតអំពីវា៖ $x-5$ ខុសពី $x$ មិនច្រើនទេ - គ្រាន់តែបន្ថែម $-5$ ។ តោះសរសេរដូចនេះ៖

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5)\right))^(\prime))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

តោះព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេនៃ $((\left(x-5\right))^(5))$:

\[((\left((((\left(x-5\right))^(5))\right))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))) ^(4))\cdot ((\left(x-5\right)))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))^(4))\]

នេះ​បញ្ជាក់​ថា​:

\[((\left(x-5\right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5\right))))^(5)))(5) \ ត្រូវ))^(\prime))\]

មិនមានតម្លៃបែបនេះនៅក្នុងតារាងទេ ដូច្នេះឥឡូវនេះយើងបានទាញយករូបមន្តនេះដោយខ្លួនឯង ដោយប្រើរូបមន្ត antiderivative ស្តង់ដារសម្រាប់មុខងារថាមពល។ ចូរសរសេរចម្លើយដូចនេះ៖

កិច្ចការទី ២

ចំពោះសិស្សជាច្រើនដែលមើលដំណោះស្រាយដំបូង វាហាក់ដូចជាថាអ្វីៗទាំងអស់គឺសាមញ្ញណាស់៖ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជំនួស $x$ នៅក្នុងមុខងារថាមពលដោយប្រើកន្សោមលីនេអ៊ែរ ហើយអ្វីៗនឹងធ្លាក់ចូល។ ជាអកុសលអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញទេហើយឥឡូវនេះយើងនឹងឃើញរឿងនេះ។

ដោយការប្រៀបធៀបជាមួយកន្សោមទីមួយ យើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\[((x)^(៩))\to \frac(((x)^(១០)))(១០)\]

\[(((\left((((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime))=10\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\cdot ((\left(4-3x\right))^(\prime))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3\right)=-30\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\]

ត្រលប់ទៅនិស្សន្ទវត្ថុរបស់យើង យើងអាចសរសេរ៖

\[(((\left((((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x\right)) )^(៩))\]

\[((\left(4-3x\right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x\right))))^(10)))(-30) \right))^(\prime))\]

ពីទីនេះវាភ្លាមៗដូចខាងក្រោមៈ

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើកាលពីលើកមុនគ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរសំខាន់ទេ នោះនៅក្នុងករណីទីពីរ $-30$ បានបង្ហាញខ្លួនជំនួសឱ្យ $-10$ ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង $-10$ និង $-30$? ជាក់ស្តែងដោយកត្តានៃ $-3$ ។ សំណួរ៖ តើវាមកពីណា? ក្រឡេកមើលឱ្យជិត អ្នកអាចមើលឃើញថាវាត្រូវបានគេយកជាលទ្ធផលនៃការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ - មេគុណដែលឈរនៅ $x$ បង្ហាញនៅក្នុង antiderivative ខាងក្រោម។ នេះជាច្បាប់សំខាន់ណាស់ ដែលដំបូងឡើយខ្ញុំមិនមានគម្រោងវិភាគទាល់តែសោះក្នុងវីដេអូបង្រៀនថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែបើគ្មានវាទេ ការបង្ហាញអំពីថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេតាមតារាងនឹងមិនពេញលេញទេ។

ដូច្នេះសូមធ្វើវាម្តងទៀត។ សូមឱ្យមានមុខងារថាមពលចម្បងរបស់យើង:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ហើយឥឡូវនេះជំនួសឱ្យ $x$ ចូរយើងជំនួសកន្សោម $kx+b$ ។ តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលនោះ? យើងត្រូវស្វែងរកដូចខាងក្រោមៈ

\[((\left(kx+b\right))^(n))\to \frac((((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1) \\ ស្តាំ) \\ cdot k) \\]

តើ​យើង​អះអាង​នេះ​ដោយ​ផ្អែក​លើ​មូលដ្ឋាន​អ្វី? សាមញ្ញ​ណាស់។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃសំណង់ដែលបានសរសេរខាងលើ៖

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1\right)\cdot k)\right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1\right)\cdot k)\cdot \left(n+1\right)\cdot ((\left(kx+b\right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b\right))^(n))\]

នេះ​គឺ​ជា​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដូច​គ្នា​នឹង​ដើម​។ ដូច្នេះរូបមន្តនេះក៏ត្រឹមត្រូវដែរ ហើយវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបំពេញបន្ថែមតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការចងចាំតារាងទាំងមូល។

សេចក្តីសន្និដ្ឋានពី "អាថ៌កំបាំង៖ ការទទួលភ្ញៀវ៖

• មុខងារទាំងពីរដែលយើងទើបតែបានពិចារណា ជាការពិត អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា antiderivatives ដែលបានបង្ហាញក្នុងតារាងដោយការបើកដឺក្រេ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងអាចច្រើន ឬតិចអាចទប់ទល់នឹងសញ្ញាប័ត្រទីបួន នោះខ្ញុំនឹងមិនធ្វើដឺក្រេទីប្រាំបួនទាល់តែសោះ។ បើកបង្ហាញ។
• ប្រសិនបើយើងបើកដឺក្រេ នោះយើងនឹងទទួលបានបរិមាណនៃការគណនាដែលកិច្ចការសាមញ្ញនឹងនាំយើងនូវពេលវេលាមិនគ្រប់គ្រាន់។
• នោះហើយជាមូលហេតុដែលភារកិច្ចបែបនេះដែលនៅខាងក្នុងមានកន្សោមលីនេអ៊ែរមិនចាំបាច់ត្រូវបានដោះស្រាយ "ទទេ" ទេ។ ដរាបណាអ្នកជួបនឹងសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេទីវ័រ ដែលខុសពីមួយក្នុងតារាងដោយវត្តមានកន្សោម $kx+b$ នៅខាងក្នុង សូមចងចាំភ្លាមៗនូវរូបមន្តដែលបានសរសេរខាងលើ ជំនួសវាទៅក្នុងតារាង antiderivative របស់អ្នក ហើយអ្វីៗនឹងប្រែជាខ្លាំង។ លឿន និងងាយស្រួលជាង។

ដោយធម្មជាតិ ដោយសារភាពស្មុគស្មាញ និងភាពធ្ងន់ធ្ងរនៃបច្ចេកទេសនេះ យើងនឹងត្រលប់ទៅការពិចារណារបស់វាដដែលៗនៅក្នុងការបង្រៀនវីដេអូនាពេលអនាគត ប៉ុន្តែសម្រាប់ថ្ងៃនេះ ខ្ញុំមានអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះពិតជាអាចជួយសិស្សទាំងនោះដែលចង់យល់អំពីវត្ថុបុរាណ និងការរួមបញ្ចូល។

មុខងារ Antiderivative និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការពិត 1. សមាហរណកម្មគឺផ្ទុយពីភាពខុសគ្នា ពោលគឺការស្ដារឡើងវិញនូវមុខងារមួយពីដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ។ មុខងារត្រូវបានស្ដារឡើងវិញតាមរបៀបនេះ។ ច(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា បុព្វកាលសម្រាប់មុខងារ f(x).

និយមន័យ 1. មុខងារ ច(x f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេលនេះសមភាព ច "(x)=f(x) នោះគឺមុខងារនេះ។ f(x) គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ ច(x). .

ឧទាហរណ៍មុខងារ ច(x) = បាប x គឺជាសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x) = ខូស x នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូលចាប់តាំងពីតម្លៃណាមួយនៃ x (អំពើបាប x)" = (cos x) .

និយមន័យ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) គឺ​ជា​ការ​ប្រមូល​ផ្ដុំ​នៃ antiderivatives ទាំងអស់​របស់​វា​. នេះប្រើសញ្ញាណ

∫

f(x)dx

,

តើសញ្ញានៅឯណា ∫ ត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាអាំងតេក្រាល មុខងារ f(x) គឺ​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​មួយ​និង​ f(x)dx គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នា។

ដូច្នេះប្រសិនបើ ច(x) គឺជាសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្មមួយចំនួនសម្រាប់ f(x) បន្ទាប់មក

∫

f(x)dx = ច(x) +គ

កន្លែងណា គ - ថេរ (អថេរ) ។

ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃសំណុំនៃ antiderivatives នៃអនុគមន៍ជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រោមគឺសមរម្យ។ សូមឱ្យមានទ្វារមួយ (ទ្វារឈើបុរាណ) ។ មុខងាររបស់វាគឺ "ធ្វើជាទ្វារ" ។ តើទ្វារធ្វើពីអ្វី? ពីដើមឈើមួយ។ នេះមានន័យថាសំណុំនៃ antiderivatives នៃ integrand "to be a door" នោះគឺ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វា គឺជាមុខងារ "to be a tree + C" ដែល C ជាថេរ ដែលនៅក្នុងបរិបទនេះអាចបញ្ជាក់បានថាសម្រាប់ ឧទាហរណ៍ប្រភេទដើមឈើ។ ដូចជាទ្វារមួយត្រូវបានធ្វើពីឈើជាមួយនឹងឧបករណ៍មួយចំនួន ដេរីវេនៃមុខងារគឺ "បង្កើតឡើង" នៃមុខងារប្រឆាំងដេរីវេជាមួយ រូបមន្តដែលយើងរៀនដោយសិក្សាពីដេរីវេ .

បន្ទាប់មកតារាងមុខងារនៃវត្ថុទូទៅ និងបុព្វកាលដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ ("ដើម្បីជាទ្វារ" - "ដើម្បីក្លាយជាដើមឈើ", "ដើម្បីជាស្លាបព្រា" - "ដើម្បីក្លាយជាលោហៈ" ល) គឺស្រដៀងទៅនឹងតារាងនៃ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ជាមូលដ្ឋាន ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។ តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់រាយនាមមុខងារទូទៅ ដែលបង្ហាញពីអង្គបដិប្រាណដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ ជាផ្នែកមួយនៃភារកិច្ចសម្រាប់ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ដោយគ្មានការខិតខំប្រឹងប្រែងពិសេស នោះគឺយោងទៅតាមតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ នៅក្នុងបញ្ហាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ អាំងតេក្រាលត្រូវតែត្រូវបានបំប្លែងជាមុនសិន ទើបអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងបាន។

ការពិត 2. ការស្ដារមុខងារជា antiderivative មួយ យើងត្រូវយកទៅក្នុងគណនី arbitrary constant (ថេរ) គហើយដើម្បីកុំឱ្យសរសេរបញ្ជីនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុដែលមានចំនួនថេរខុសៗគ្នាពីលេខ 1 ដល់គ្មានកំណត់ អ្នកត្រូវសរសេរសំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេទីវ័រដែលមានចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត។ គដូចនេះ៖ ៥ x³+C ដូច្នេះ ថេរដែលបំពាន (ថេរ) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមនៃ antiderivative ចាប់តាំងពី antiderivative អាចជាមុខងារមួយ ឧទាហរណ៍ 5 x³+4 ឬ 5 x³+3 ហើយនៅពេលបែងចែក 4 ឬ 3 ផ្សេងគ្នា ឬបាត់ថេរផ្សេងទៀត។

យើងកំណត់បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូល: សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) ស្វែងរកមុខងារបែបនេះ ច(x), ដេរីវេគឺស្មើនឹង f(x).

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចំពោះ​មុខងារ​នេះ អង់ទីរីវេទីវ គឺជា​មុខងារ

មុខងារ ច(x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់មុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេ ច(x) គឺស្មើនឹង f(x) ឬដែលជារឿងដូចគ្នា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ច(x) គឺស្មើនឹង f(x) dx, i.e.

(2)

ដូច្នេះ អនុគមន៍គឺប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនមែនជាថ្នាំប្រឆាំងតែមួយគត់សម្រាប់ . ពួកគេក៏ជាមុខងារផងដែរ។

កន្លែងណា ជាមួយគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយភាពខុសគ្នា។

ដូច្នេះប្រសិនបើមាន antiderivatives មួយសម្រាប់អនុគមន៍ នោះសម្រាប់វាមានសំណុំនៃ antiderivatives ដែលគ្មានកំណត់ដែលខុសគ្នាដោយ summand ថេរ។ រាល់ antiderivatives សម្រាប់មុខងារមួយត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងលើ។ នេះធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្លូវការនៃការពិត 2) ។ប្រសិនបើ ក ច(x) គឺជាសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xបន្ទាប់មក antiderivative ផ្សេងទៀតសម្រាប់ f(x) នៅលើចន្លោះពេលដូចគ្នាអាចត្រូវបានតំណាងជា ច(x) + គកន្លែងណា ជាមួយគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងបង្វែរទៅតារាងនៃអាំងតេក្រាលរួចហើយ ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទី 3 បន្ទាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ យើង​ធ្វើ​បែប​នេះ​មុន​នឹង​ស្គាល់​ខ្លួន​យើង​ជាមួយ​នឹង​តារាង​ទាំង​មូល ដើម្បី​ឱ្យ​ខ្លឹមសារ​នៃ​ការ​ខាង​លើ​នេះ​ច្បាស់​លាស់។ ហើយបន្ទាប់ពីតារាង និងលក្ខណៈសម្បត្តិ យើងនឹងប្រើពួកវាទាំងស្រុងនៅពេលរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកសំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញសំណុំនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ នៅពេលនិយាយអំពីរូបមន្តពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ពេលនេះ គ្រាន់តែទទួលយកថាមានរូបមន្តបែបនេះ ហើយយើងនឹងសិក្សាតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ពេញលេញបន្ថែមទៀតបន្តិច។

1) ការអនុវត្តរូបមន្ត (7) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 3 យើងទទួលបាន

2) ការប្រើរូបមន្ត (10) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 1/3 យើងមាន

3) ចាប់តាំងពី

បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត (7) នៅ ន= -1/4 រក

នៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល ពួកគេមិនសរសេរមុខងារដោយខ្លួនឯងទេ។ fនិងផលិតផលរបស់វាដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx. នេះត្រូវបានធ្វើជាចម្បងដើម្បីបង្ហាញថាអថេរមួយណាដែល antiderivative កំពុងត្រូវបានស្វែងរក។ ឧទាហរណ៍,

, ;

នៅទីនេះក្នុងករណីទាំងពីរ អាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹង ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វានៅក្នុងករណីដែលបានពិចារណាប្រែទៅជាខុសគ្នា។ ក្នុងករណីដំបូង មុខងារនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ xហើយនៅក្នុងទីពីរ - ជាមុខងារនៃ z .

ដំណើរការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលមុខងារនោះ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកខ្សែកោង y=F(x)ហើយយើងដឹងរួចហើយថាតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចនីមួយៗរបស់វាគឺជាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) abscissa នៃចំណុចនេះ។

យោងតាមអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើខ្សែកោង y=F(x)ស្មើនឹងតម្លៃនៃដេរីវេ F"(x). ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកមុខងារបែបនេះ F(x)សម្រាប់ការដែល F"(x)=f(x). មុខងារចាំបាច់ក្នុងកិច្ចការ F(x)មានប្រភពមកពី f(x). លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺពេញចិត្តមិនមែនដោយខ្សែកោងមួយទេប៉ុន្តែដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោង។ y=F(x)- ខ្សែកោងមួយក្នុងចំណោមខ្សែកោងទាំងនេះ និងខ្សែកោងផ្សេងទៀតអាចទទួលបានពីវាដោយការបកប្រែស្របគ្នាតាមអ័ក្ស អូ.

ចូរហៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃ f(x)ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ ប្រសិនបើ ក F"(x)=f(x)បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃមុខងារ y=F(x)គឺជាខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។

ការពិត 3. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានតំណាងតាមធរណីមាត្រដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលទាំងអស់ ដូចក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។ ចម្ងាយនៃខ្សែកោងនីមួយៗពីប្រភពដើមត្រូវបានកំណត់ដោយថេរបំពាន (ថេរ) នៃការរួមបញ្ចូល គ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការពិត 4. ទ្រឹស្តីបទ 1. ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល ហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វាស្មើនឹងអាំងតេក្រាល។

ការពិត 5. ទ្រឹស្តីបទ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) ស្មើនឹងមុខងារ f(x) រហូតដល់រយៈពេលថេរ , i.e.

(3)

ទ្រឹស្តីបទ 1 និង 2 បង្ហាញថាភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។

ការពិត 6. ទ្រឹស្តីបទ 3. កត្តាថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ , i.e.

ការរៀនរួមបញ្ចូលមិនពិបាកទេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន អ្នកគ្រាន់តែត្រូវរៀនច្បាប់មួយចំនួនតូច និងបង្កើតនូវភាពប៉ិនប្រសប់មួយប្រភេទ។ ជាការពិតណាស់ វាងាយស្រួលក្នុងការរៀនច្បាប់ និងរូបមន្ត ប៉ុន្តែវាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការយល់ដឹងពីទីកន្លែង និងពេលណាដែលត្រូវអនុវត្តនេះ ឬច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូល ឬភាពខុសគ្នានោះ។ តាមពិតនេះគឺជាសមត្ថភាពក្នុងការរួមបញ្ចូល។

1. ប្រឆាំងដេរីវេ។ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

វាត្រូវបានសន្មត់ថានៅពេលអានអត្ថបទនេះ អ្នកអានមានជំនាញខុសគ្នាមួយចំនួន (ឧ. ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ)។

និយមន័យ ១.១៖អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា antiderivative ប្រសិនបើសមភាពមាន៖

មតិយោបល់៖> ភាពតានតឹងនៅក្នុងពាក្យ "បឋម" អាចត្រូវបានដាក់តាមពីរវិធី៖ អំពីរំខានឬដើម កដឹង។

អចលនទ្រព្យ ១៖ប្រសិនបើអនុគមន៍គឺជាអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ នោះអនុគមន៍ក៏ជាអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ផងដែរ។

ភស្តុតាង៖ចូរយើងបង្ហាញវាពីនិយមន័យនៃ antiderivative មួយ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

រយៈពេលដំបូងនៅក្នុង និយមន័យ ១.១ស្មើ ហើយពាក្យទីពីរ គឺជាដេរីវេនៃថេរ ដែលស្មើនឹង 0 ។

.

សង្ខេប។ ចូរយើងសរសេរការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃខ្សែសង្វាក់នៃសមភាព៖

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើគ្នា ដូច្នេះហើយតាមនិយមន័យ គឺជាអង្គបដិវត្តរបស់វា។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

និយមន័យ ១.២៖អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ គឺជាសំណុំទាំងមូលនៃអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍នេះ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចនេះ៖

.

ពិចារណាឈ្មោះនៃផ្នែកនីមួយៗនៃកំណត់ត្រាដោយលម្អិត៖

គឺជាសញ្ញាណទូទៅសម្រាប់អាំងតេក្រាល

គឺ​ជា​កន្សោម​បញ្ចូល​គ្នា (អាំងតេក្រាដ) ជា​អនុគមន៍​ដែល​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន។

គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយកន្សោមបន្ទាប់ពីអក្សរ ក្នុងករណីនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាអថេររួមបញ្ចូល។

មតិយោបល់៖ពាក្យគន្លឹះនៅក្នុងនិយមន័យនេះគឺ "សំណុំទាំងមូល" ។ ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើនៅពេលអនាគត “បូក C” នេះមិនត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងចម្លើយទេ នោះអធិការមានសិទ្ធិមិនផ្តល់ឥណទានដល់កិច្ចការនេះទេ ព្រោះ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកសំណុំទាំងមូលនៃអង្គបដិប្រាណហើយប្រសិនបើ C អវត្តមាននោះមានតែមួយគត់ត្រូវបានរកឃើញ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវឬអត់នោះ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃលទ្ធផល។ វាត្រូវតែផ្គូផ្គងអាំងតេក្រាល។
ឧទាហរណ៍៖
លំហាត់ប្រាណ៖គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ហើយពិនិត្យ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

វិធីគណនាអាំងតេក្រាលនេះមិនសំខាន់ទេក្នុងករណីនេះ។ ឧបមាថាវាជាការបើកសម្តែងពីខាងលើ។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺដើម្បីបង្ហាញថាវិវរណៈមិនបានបញ្ឆោតយើងទេ ហើយនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយជំនួយពីការផ្ទៀងផ្ទាត់។

ការប្រឡង៖

នៅពេលបែងចែកលទ្ធផល អាំងតេក្រាលមួយត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវ។

2. ចាប់ផ្តើម។ តារាងអាំងតេក្រាល។

សម្រាប់ការរួមបញ្ចូល វាមិនចាំបាច់រាល់ពេលដើម្បីចងចាំមុខងារដែលដេរីវេនៃវាស្មើនឹងអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ (ឧ. ប្រើនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាលដោយផ្ទាល់)។ បណ្តុំនៃបញ្ហា ឬសៀវភៅសិក្សានីមួយៗស្តីពីការវិភាគគណិតវិទ្យាមានបញ្ជីនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាល និងតារាងនៃអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត។

ចូរយើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិ។

លក្ខណៈសម្បត្តិ៖
1.
អាំងតេក្រាលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺស្មើនឹងអថេររួមបញ្ចូល។
2. កន្លែងណាជាថេរ។
មេគុណថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

3.
អាំងតេក្រាលនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាល (ប្រសិនបើចំនួននៃពាក្យមានកំណត់)។
តារាងអាំងតេក្រាល៖

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

ភាគច្រើន ភារកិច្ចគឺកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលដែលបានស៊ើបអង្កេតទៅជាតារាងមួយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ និងរូបមន្ត។

ឧទាហរណ៍៖

[ ចូរប្រើទ្រព្យសម្បត្តិទីបីនៃអាំងតេក្រាល ហើយសរសេរវាជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលបី។]

[តោះប្រើទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ ហើយយកចំនួនថេរចេញពីសញ្ញារួមបញ្ចូល។]

[ នៅក្នុងអាំងតេក្រាលទីមួយ យើងប្រើអាំងតេក្រាលតារាងលេខ 1 (n=2) នៅក្នុងទីពីរ - រូបមន្តដូចគ្នា ប៉ុន្តែ n=1 ហើយសម្រាប់អាំងតេក្រាលទីបី អ្នកអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយ n=0 ឬទ្រព្យសម្បត្តិទីមួយ។ ]
.
ចូរយើងពិនិត្យមើលដោយភាពខុសគ្នា៖

អាំងតេក្រាលដើមត្រូវបានទទួល ដូច្នេះការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានកំហុស (ហើយសូម្បីតែការបន្ថែមនៃថេរ C មិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល) ។

អាំងតេក្រាលតារាងត្រូវតែរៀនដោយបេះដូងសម្រាប់ហេតុផលសាមញ្ញមួយ - ដើម្បីដឹងពីអ្វីដែលត្រូវខិតខំ ពោលគឺឧ។ ដឹងពីគោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត៖
1)
2)
3)

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

លំហាត់ 1 ។គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

+ បង្ហាញ/លាក់ព័ត៌មានជំនួយ #1។

1) ប្រើលក្ខណសម្បត្តិទីបី ហើយបង្ហាញអាំងតេក្រាលនេះជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលបី។

+ បង្ហាញ/លាក់ព័ត៌មានជំនួយ #2 ។

+ បង្ហាញ/លាក់ព័ត៌មានជំនួយ #3.

3) សម្រាប់ពាក្យពីរដំបូង ប្រើអាំងតេក្រាលតារាងទីមួយ ហើយសម្រាប់ទីបី - អាំងតេក្រាលតារាងទីពីរ។

+ បង្ហាញ/លាក់ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ។

៤) ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖