គណិតវិទ្យាគឺជាអ្វីមនុស្សគ្រប់គ្រងធម្មជាតិ និងខ្លួនឯង។
គណិតវិទូសូវៀត អ្នកសិក្សា A.N. Kolmogorov
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
រួមជាមួយនឹងកិច្ចការសម្រាប់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ កិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងគោលគំនិតនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រក៏ជារឿងធម្មតាដែរក្នុងការប្រលងចូលក្នុងគណិតវិទ្យា។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ និងមានជំនាញល្អក្នុងការប្រើប្រាស់វា។
អត្ថបទនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបង្ហាញនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ វាក៏ផ្តល់នូវឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតាផងដែរ។, ខ្ចីពីកិច្ចការប្រលងចូលគណិតវិទ្យា។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់ជាមុននូវលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ហើយរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្ត និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏សំខាន់បំផុត, ទាក់ទងនឹងគំនិតនេះ។
និយមន័យ។លំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ប្រសិនបើលេខនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងលេខមុន គុណនឹងលេខដូចគ្នា។ លេខត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្ររូបមន្តមានសុពលភាព
, (1)
កន្លែងណា។ រូបមន្ត (1) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៃពាក្យទូទៅនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ហើយរូបមន្ត (2) គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖ សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពស្របគ្នានឹងមធ្យមធរណីមាត្រនៃសមាជិកជិតខាងរបស់វា និង។
ចំណាំ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនេះដែលវឌ្ឍនភាពនៅក្នុងសំណួរត្រូវបានគេហៅថា "ធរណីមាត្រ" ។
រូបមន្ត (1) និង (2) ខាងលើត្រូវបានសង្ខេបដូចខាងក្រោម:
, (3)
ដើម្បីគណនាផលបូកដំបូង សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្ររូបមន្តត្រូវបានអនុវត្ត
ប្រសិនបើយើងកំណត់
កន្លែងណា។ ចាប់តាំងពី រូបមន្ត (6) គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃរូបមន្ត (5) ។
ក្នុងករណីនៅពេលណានិង វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំពុងតែថយចុះជាលំដាប់។ ដើម្បីគណនាផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ រូបមន្តត្រូវបានប្រើ
. (7)
ឧទាហរណ៍ , ដោយប្រើរូបមន្ត (7) មួយអាចបង្ហាញអ្វី
កន្លែងណា។ សមភាពទាំងនេះត្រូវបានទទួលពីរូបមន្ត (7) ដែលផ្តល់ថា , (សមភាពទីមួយ) និង , (សមភាពទីពីរ)។
ទ្រឹស្តីបទ។បើអញ្ចឹង
ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើ ,
ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ចូរបន្តទៅការពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ" ។
ឧទាហរណ៍ ១បានផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ប្រសិនបើរូបមន្ត (5) ត្រូវបានអនុវត្តបន្ទាប់មក
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ២អនុញ្ញាតឱ្យនិង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពី និង , យើងប្រើរូបមន្ត (5), (6) និងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការ
ប្រសិនបើសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (9) ត្រូវបានបែងចែកដោយទីមួយបន្ទាប់មក ឬ . ពីនេះវាធ្វើតាម . ចូរយើងពិចារណាករណីពីរ។
1. ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកពីសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (9) យើងមាន.
2. ប្រសិនបើ .
ឧទាហរណ៍ ៣អនុញ្ញាតឱ្យ និង . ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។វាធ្វើតាមរូបមន្ត (2) នោះ ឬ . ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។
តាមលក្ខខណ្ឌ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ។ ដោយសារតែ និង , បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងមានប្រព័ន្ធសមីការ
ប្រសិនបើសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបែងចែកដោយទីមួយ បន្ទាប់មក ឬ .
ចាប់តាំងពី សមីការមានឫសត្រឹមត្រូវតែមួយ។ ក្នុងករណីនេះសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធបង្កប់ន័យ។
ដោយគិតពីរូបមន្ត (7) យើងទទួលបាន។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ 4ផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
ដោយសារតែបន្ទាប់មកឬ
យោងតាមរូបមន្ត (២) យើងមាន។ ក្នុងន័យនេះ ពីសមភាព (10) យើងទទួលបាន ឬ .
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតាមលក្ខខណ្ឌ។
ឧទាហរណ៍ ៥វាត្រូវបានគេដឹងថា។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ យើងមានសមភាពពីរ
ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។ ដោយសារតែបន្ទាប់មក។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ៦ផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ដោយគិតពីរូបមន្ត (5) យើងទទួលបាន
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ចាប់តាំងពី , និង , បន្ទាប់មក។
ឧទាហរណ៍ ៧អនុញ្ញាតឱ្យនិង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។យោងតាមរូបមន្ត (1) យើងអាចសរសេរបាន។
ដូច្នេះយើងមានឬ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា និង ដូច្នេះ និង .
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ៨ស្វែងរកភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រថយចុះគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើ
និង .
ដំណោះស្រាយ។ ពីរូបមន្ត (7) វាធ្វើតាមនិង . ពីទីនេះ និងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ
ប្រសិនបើសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ, ហើយបន្ទាប់មកចែកសមីការលទ្ធផលដោយសមីការទីពីរបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន
ឬ។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ៩ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់ដែលលំដាប់ , , គឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ និង . យោងតាមរូបមន្ត (2) ដែលកំណត់លក្ខណៈសំខាន់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងអាចសរសេរ ឬ .
ពីទីនេះយើងទទួលបានសមីការការ៉េ, ឫសរបស់អ្នកណានិង .
តោះពិនិត្យមើល៖ ប្រសិនបើ, បន្ទាប់មក , និង ; ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និង .
ក្នុងករណីដំបូងយើងមាននិង, និងនៅក្នុងទីពីរ - និង .
ចម្លើយ៖ , ។
ឧទាហរណ៍ 10ដោះស្រាយសមីការ
, (11)
កន្លែងណា និង .
ដំណោះស្រាយ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (11) គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះគ្មានកំណត់ ដែលនៅក្នុងនោះ និង , បានផ្តល់៖ និង .
ពីរូបមន្ត (7) វាធ្វើតាមអ្វី . ក្នុងន័យនេះ សមីការ (១១) យកទម្រង់ឬ . root សមរម្យ សមីការការ៉េគឺ
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ 11 ។ទំ លំដាប់នៃលេខវិជ្ជមានបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ, ក - វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រតើវាទាក់ទងនឹងអ្វី? ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ដោយសារតែ លំដាប់នព្វន្ធបន្ទាប់មក (ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ) ។ ដោយសារតែបន្ទាប់មក ឬ . នេះបញ្ជាក់ថា ថាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ. យោងតាមរូបមន្ត (២)បន្ទាប់មកយើងសរសេរនោះ។
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក . ក្នុងករណីនោះការបញ្ចេញមតិយកទម្រង់ឬ។ តាមលក្ខខណ្ឌ, ដូច្នេះពីសមីការយើងទទួលបានដំណោះស្រាយតែមួយគត់នៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា, i.e. .
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ 12 ។គណនាផលបូក
. (12)
ដំណោះស្រាយ។ គុណភាគីទាំងពីរនៃភាពស្មើគ្នា (12) ដោយ 5 ហើយទទួលបាន
ប្រសិនបើយើងដក (12) ចេញពីកន្សោមលទ្ធផលបន្ទាប់មក
ឬ។
ដើម្បីគណនា យើងជំនួសតម្លៃទៅក្នុងរូបមន្ត (7) ហើយទទួលបាន។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់បេក្ខជនក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងចូល។ សម្រាប់ការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីវិធីសាស្រ្តដោះស្រាយបញ្ហា, ភ្ជាប់ជាមួយវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ, អ្នកអាចប្រើការបង្រៀនពីបញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានណែនាំ។
1. ការប្រមូលភារកិច្ចក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស / Ed ។ M.I. ស្កែនវី។ – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 ទំ។
2. Suprun V.P. គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ៖ ផ្នែកបន្ថែមនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ - M. : Lenand / URSS, 2014. - 216 ទំ។
3. Medynsky M.M. វគ្គសិក្សាពេញលេញនៃគណិតវិទ្យាបឋមក្នុងកិច្ចការ និងលំហាត់។ សៀវភៅទី២៖ លំដាប់លេខ និងវឌ្ឍនភាព។ - អិមៈកែសម្រួល, 2015. - 208 ទំ។
តើអ្នកមានសំណួរទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ រួមជាមួយនឹងនព្វន្ធ គឺជាស៊េរីលេខដ៏សំខាន់មួយដែលត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលានៅថ្នាក់ទី 9 ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងរបៀបដែលតម្លៃរបស់វាប៉ះពាល់ដល់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងផ្តល់និយមន័យនៃស៊េរីលេខនេះ។ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាស៊េរីនៃលេខសនិទានដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការគុណធាតុទីមួយរបស់វាជាបន្តបន្ទាប់ដោយចំនួនថេរដែលហៅថាភាគបែង។
ឧទាហរណ៍ លេខក្នុងស៊េរី 3, 6, 12, 24, ... គឺជាការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រ ព្រោះប្រសិនបើយើងគុណ 3 (ធាតុទីមួយ) គុណនឹង 2 យើងទទួលបាន 6។ ប្រសិនបើយើងគុណ 6 គុណនឹង 2 យើងទទួលបាន 12, ហើយដូច្នេះនៅលើ។
សមាជិកនៃលំដាប់ដែលកំពុងពិចារណាជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ai ដែលខ្ញុំជាចំនួនគត់ដែលបង្ហាញពីចំនួនធាតុនៅក្នុងស៊េរី។
និយមន័យខាងលើនៃវឌ្ឍនភាពអាចសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យាដូចខាងក្រោមៈ an = bn-1 * a1 ដែល b ជាភាគបែង។ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលរូបមន្តនេះ៖ ប្រសិនបើ n = 1 បន្ទាប់មក b1-1 = 1 ហើយយើងទទួលបាន a1 = a1 ។ ប្រសិនបើ n = 2 បន្ទាប់មក a = b * a1 ហើយម្តងទៀតយើងមកដល់និយមន័យនៃស៊េរីលេខដែលកំពុងពិចារណា។ ហេតុផលស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានបន្តសម្រាប់តម្លៃធំនៃ n ។
ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
លេខ b កំណត់ទាំងស្រុងនូវតួអក្សរដែលស៊េរីលេខទាំងមូលនឹងមាន។ ភាគបែង b អាចជាវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬធំជាង ឬតិចជាងមួយ។ ជម្រើសខាងលើទាំងអស់នាំទៅរកលំដាប់ផ្សេងៗគ្នា៖
- b> 1. មានការកើនឡើងនៃចំនួនសនិទានភាព។ ឧទាហរណ៍ 1, 2, 4, 8, ... ប្រសិនបើធាតុ a1 គឺអវិជ្ជមាន នោះលំដាប់ទាំងមូលនឹងកើនឡើងតែម៉ូឌុលប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែការថយចុះដោយគិតគូរពីសញ្ញានៃលេខ។
- b=1. ជាញឹកញយ ករណីបែបនេះមិនត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពទេ ព្រោះមានស៊េរីធម្មតានៃលេខសនិទានភាពដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ -4, -4, -4 ។
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក
មុននឹងបន្តការពិចារណាលើបញ្ហាជាក់លាក់ដោយប្រើភាគបែងនៃប្រភេទនៃវឌ្ឍនភាពដែលកំពុងពិចារណា រូបមន្តសំខាន់គួរតែត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ផលបូកនៃធាតុ n ដំបូងរបស់វា។ រូបមន្តគឺ៖ Sn = (bn − 1) * a1 / (b − 1) ។
អ្នកអាចទទួលបានកន្សោមនេះដោយខ្លួនឯង ប្រសិនបើអ្នកពិចារណាពីលំដាប់បន្តបន្ទាប់គ្នានៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ សូមចំណាំផងដែរថានៅក្នុងរូបមន្តខាងលើវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែធាតុទីមួយនិងភាគបែងដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនតាមអំពើចិត្ត។
ការថយចុះជាលំដាប់
ខាងលើគឺជាការពន្យល់អំពីអ្វីដែលវាគឺជា។ ឥឡូវនេះដោយដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ Sn ចូរយើងអនុវត្តវាទៅស៊េរីលេខនេះ។ ចាប់តាំងពីលេខណាមួយដែលម៉ូឌុលមិនលើសពី 1 ទំនោរទៅសូន្យនៅពេលឡើងដល់ថាមពលធំ នោះគឺជា b∞ => 0 ប្រសិនបើ -1
ដោយសារភាពខុសគ្នា (1 - b) នឹងតែងតែមានភាពវិជ្ជមាន ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃភាគបែង សញ្ញានៃផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ S∞ ដែលថយចុះជាលំដាប់គឺត្រូវបានកំណត់ដោយឡែកដោយសញ្ញានៃធាតុទីមួយរបស់វា a1 ។
ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាបញ្ហាជាច្រើនដែលយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបអនុវត្តចំណេះដឹងដែលទទួលបានទៅលេខជាក់លាក់។
លេខកិច្ចការ 1. ការគណនាធាតុដែលមិនស្គាល់នៃវឌ្ឍនភាព និងផលបូក
ដោយគិតពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ 2 ហើយធាតុទីមួយរបស់វាគឺ 3 ។ តើអ្វីនឹងទៅជាលក្ខខណ្ឌទី 7 និងទី 10 ហើយតើអ្វីជាផលបូកនៃធាតុដំបូងទាំងប្រាំពីររបស់វា?
លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់ដោយផ្ទាល់នៃរូបមន្តខាងលើ។ ដូច្នេះដើម្បីគណនាធាតុជាមួយលេខ n យើងប្រើកន្សោម a = bn-1 * a1 ។ សម្រាប់ធាតុទី 7 យើងមាន: a7 = b6 * a1 ជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់យើងទទួលបាន: a7 = 26 * 3 = 192. យើងធ្វើដូចគ្នាសម្រាប់សមាជិកទី 10: a10 = 29 * 3 = 1536 ។
យើងប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ផលបូក ហើយកំណត់តម្លៃនេះសម្រាប់ធាតុ 7 ដំបូងនៃស៊េរី។ យើងមាន: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381 ។
លេខកិច្ចការ 2. ការកំណត់ផលបូកនៃធាតុបំពាននៃដំណើរការ
អនុញ្ញាតឱ្យ -2 ស្មើនឹងភាគបែងនៃដំណើរការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល bn-1 * 4 ដែល n ជាចំនួនគត់។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ផលបូកពីធាតុទី 5 ដល់ធាតុទី 10 នៃស៊េរីនេះដោយរួមបញ្ចូល។
បញ្ហាដែលចោទឡើងមិនអាចដោះស្រាយដោយផ្ទាល់ដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់នោះទេ។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយក្នុង 2 វិធីផ្សេងគ្នា។ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពពេញលេញយើងបង្ហាញទាំងពីរ។
វិធីសាស្រ្ត 1. គំនិតរបស់វាគឺសាមញ្ញ៖ អ្នកត្រូវគណនាផលបូកដែលត្រូវគ្នាទាំងពីរនៃពាក្យទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកដកមួយទៀតចេញពីមួយ។ គណនាផលបូកតូច៖ S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ។ ឥឡូវនេះយើងគណនាផលបូកធំ: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 ។ ចំណាំថានៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយមានតែ 4 ពាក្យប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានបូកសរុបព្រោះថាលេខ 5 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលរួចហើយនៅក្នុងផលបូកដែលត្រូវការគណនាតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ទីបំផុតយើងយកភាពខុសគ្នា៖ S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344 ។
វិធីទី 2. មុននឹងជំនួសលេខ និងរាប់ អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូករវាងពាក្យ m និង n នៃស៊េរីក្នុងសំណួរ។ យើងធ្វើសកម្មភាពដូចគ្នាទៅនឹងវិធីទី 1 ដែរ មានតែយើងធ្វើការដំបូងជាមួយតំណាងនិមិត្តសញ្ញានៃផលបូក។ យើងមាន៖ Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . អ្នកអាចជំនួសលេខដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល ហើយគណនាលទ្ធផលចុងក្រោយ៖ S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344 ។
លេខកិច្ចការ 3. តើភាគបែងជាអ្វី?
អនុញ្ញាតឱ្យ a1 = 2 ស្វែងរកភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ផ្តល់ថាផលបូកគ្មានកំណត់របស់វាគឺ 3 ហើយវាត្រូវបានគេដឹងថានេះជាស៊េរីលេខដែលថយចុះ។
តាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាមិនពិបាកទាយថាគួរប្រើរូបមន្តណាដើម្បីដោះស្រាយនោះទេ។ ជាការពិតណាស់សម្រាប់ផលបូកនៃការថយចុះឥតឈប់ឈរ។ យើងមានៈ S∞ = a1 / (1 − ខ) ។ ពីកន្លែងដែលយើងបង្ហាញភាគបែង៖ b = 1 − a1 / S∞ ។ វានៅសល់ដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់ និងទទួលបានលេខដែលត្រូវការ៖ b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ឬ -0.333 (3) ។ យើងអាចពិនិត្យលទ្ធផលនេះតាមលក្ខណៈគុណភាព ប្រសិនបើយើងចងចាំថាសម្រាប់ប្រភេទនៃលំដាប់នេះ ម៉ូឌុល b មិនត្រូវទៅហួសពី 1 ។ ដូចអ្នកឃើញហើយ |-1/3|
លេខកិច្ចការ 4. ការស្ដារស៊េរីលេខ
អនុញ្ញាតឱ្យធាតុ 2 នៃស៊េរីលេខមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ ទី 5 ស្មើនឹង 30 ហើយទី 10 ស្មើនឹង 60 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្ដារស៊េរីទាំងមូលពីទិន្នន័យទាំងនេះ ដោយដឹងថាវាបំពេញលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ដំបូងអ្នកត្រូវតែសរសេរកន្សោមដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់សមាជិកនីមួយៗដែលគេស្គាល់។ យើងមាន: a5 = b4 * a1 និង a10 = b9 * a1 ។ ឥឡូវនេះយើងបែងចែកកន្សោមទីពីរដោយទីមួយយើងទទួលបាន: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 ។ ពីទីនេះយើងកំណត់ភាគបែងដោយយកឫសដឺក្រេទីប្រាំនៃសមាមាត្រនៃសមាជិកដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា b = 1.148698 ។ យើងជំនួសលេខលទ្ធផលទៅជាកន្សោមមួយសម្រាប់ធាតុដែលគេស្គាល់ យើងទទួលបាន៖ a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966 ។
ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញអ្វីដែលភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព bn គឺ ហើយការវិវត្តធរណីមាត្រ bn-1 * 17.2304966 = an ដែល b = 1.148698 ។
តើដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើនៅឯណា?
ប្រសិនបើមិនមានការអនុវត្តស៊េរីលេខនេះក្នុងការអនុវត្តទេ នោះការសិក្សារបស់វានឹងត្រូវកាត់បន្ថយទៅជាចំណាប់អារម្មណ៍ទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ។ ប៉ុន្តែមានកម្មវិធីបែបនេះ។
ឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីបំផុតចំនួន ៣ ត្រូវបានរាយខាងក្រោម៖
- ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Zeno ដែល Achilles រហ័សរហួនមិនអាចចាប់បានជាមួយអណ្តើកយឺតត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើគំនិតនៃលំដាប់លេខដែលថយចុះឥតកំណត់។
- ប្រសិនបើគ្រាប់ស្រូវសាលីត្រូវបានដាក់នៅលើក្រឡានីមួយៗនៃក្តារអុក ដូច្នេះគ្រាប់ធញ្ញជាតិ 1 ត្រូវបានដាក់នៅលើក្រឡាទី 1 ទី 2 - នៅថ្ងៃទី 2 ទី 3 - នៅលើទី 3 ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ គ្រាប់ធញ្ញជាតិ 18446744073709551615 នឹងត្រូវការដើម្បីបំពេញកោសិកាទាំងអស់នៃ ក្រុមប្រឹក្សាភិបាល!
- នៅក្នុងហ្គេម "ប៉មហាណូយ" ដើម្បីរៀបចំថាសពីដំបងមួយទៅដំបងមួយទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើប្រតិបត្តិការ 2n - 1 ពោលគឺចំនួនរបស់ពួកគេកើនឡើងជានិទស្សន្តពីចំនួនថាសដែលបានប្រើ។
រួចហើយនៅប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណ ពួកគេដឹងមិនត្រឹមតែនព្វន្ធប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងមានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រទៀតផង។ ជាឧទាហរណ៍ នៅទីនេះគឺជាកិច្ចការមួយរបស់ Rhind papyrus៖ “មុខប្រាំពីរមានឆ្មាប្រាំពីរ។ ឆ្មានីមួយៗស៊ីកណ្ដុរប្រាំពីរ កណ្ដុរនីមួយៗស៊ីពោតប្រាំពីរ ត្រចៀកនីមួយៗអាចដុះស្រូវបានប្រាំពីររង្វាស់។ តើលេខក្នុងស៊េរីនេះ និងចំនួនសរុបមានទំហំប៉ុនណា?
 |
|
អង្ករ។ 1. បញ្ហាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអេហ្ស៊ីបបុរាណ |
កិច្ចការនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាច្រើនដងជាមួយនឹងការប្រែប្រួលផ្សេងៗគ្នាក្នុងចំណោមប្រជាជនផ្សេងទៀតនៅពេលផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងការសរសេរនៅសតវត្សទី XIII ។ "សៀវភៅកូនកាត់" ដោយ Leonardo នៃ Pisa (Fibonacci) មានបញ្ហាដែលស្ត្រីចំណាស់ 7 នាក់លេចឡើងនៅលើផ្លូវរបស់ពួកគេទៅកាន់ទីក្រុងរ៉ូម (ជាក់ស្តែងអ្នកធ្វើធម្មយាត្រា) ដែលម្នាក់ៗមានសត្វលា 7 ក្បាលដែលនីមួយៗមាន 7 ថង់ដែលនីមួយៗ មាននំបុ័ងចំនួន 7 ដែលនីមួយៗមាន 7 កាំបិតដែលនីមួយៗមាន 7 ស្រទាប់។ បញ្ហាសួរថា តើមានប៉ុន្មានមុខ។
ផលបូកនៃសមាជិក n ទីមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រ S n = b 1 (q n − 1) / (q − 1) ។ រូបមន្តនេះអាចបញ្ជាក់បាន ជាឧទាហរណ៍ ដូចតទៅ៖ S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n − 1 ។
ចូរបន្ថែមលេខ b 1 q n ទៅ S n ហើយទទួលបាន៖
|
ដូច្នេះ S n (q − 1) = b 1 (q n − 1) ហើយយើងទទួលបានរូបមន្តចាំបាច់។
រួចហើយនៅលើបន្ទះដីឥដ្ឋមួយនៃបាប៊ីឡូនបុរាណដែលមានអាយុកាលតាំងពីសតវត្សទី VI ។ BC e., មានផលបូក 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. ជាការពិត ដូចនៅក្នុងករណីមួយចំនួនផ្សេងទៀត យើងមិនដឹងថាការពិតនេះត្រូវបានគេដឹងនៅឯណាចំពោះជនជាតិបាប៊ីឡូនទេ។ .
ការរីកចម្រើនយ៉ាងឆាប់រហ័សនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនៅក្នុងវប្បធម៌មួយចំនួន ជាពិសេសនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា ត្រូវបានគេប្រើម្តងហើយម្តងទៀតជានិមិត្តសញ្ញាដែលមើលឃើញនៃភាពធំធេងនៃសាកលលោក។ នៅក្នុងរឿងព្រេងដ៏ល្បីល្បាញអំពីរូបរាងរបស់អុក អ្នកគ្រប់គ្រងផ្តល់ឱ្យអ្នកបង្កើតនូវឱកាសដើម្បីជ្រើសរើសរង្វាន់ដោយខ្លួនឯង ហើយគាត់បានសុំគ្រាប់ស្រូវសាលីមួយចំនួនតាមដែលនឹងទទួលបាន ប្រសិនបើគេដាក់នៅលើក្រឡាទីមួយនៃក្តារអុក។ , ពីរនៅលើទីពីរ, បួននៅលើទីបី, ប្រាំបីនៅលើទីបួន, និងល, រាល់ពេលដែលចំនួនត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង។ Vladyka គិតថាវាជាបាវភាគច្រើន ប៉ុន្តែគាត់បានគណនាខុស។ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាសម្រាប់ 64 ការ៉េទាំងអស់នៃ chessboard អ្នកបង្កើតគួរតែបានទទួល (2 64 - 1) គ្រាប់ធញ្ញជាតិដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលេខ 20 ខ្ទង់; ទោះបីជាផ្ទៃដីទាំងមូលនៃផែនដីត្រូវបានសាបព្រោះក៏ដោយ វានឹងចំណាយពេលយ៉ាងហោចណាស់ 8 ឆ្នាំដើម្បីប្រមូលចំនួនគ្រាប់ធញ្ញជាតិដែលត្រូវការ។ រឿងព្រេងនេះជួនកាលត្រូវបានបកស្រាយថាជាការយោងទៅលទ្ធភាពស្ទើរតែគ្មានដែនកំណត់ដែលលាក់នៅក្នុងល្បែងអុក។
ការពិតដែលថាលេខនេះគឺពិតជា 20 ខ្ទង់គឺងាយស្រួលមើល:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (ការគណនាត្រឹមត្រូវជាងនេះផ្តល់ឱ្យ 1.84 10 19)។ ប៉ុន្តែខ្ញុំឆ្ងល់ថាតើអ្នកអាចដឹងថាលេខនេះបញ្ចប់ដោយលេខអ្វី?
ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រកំពុងកើនឡើង ប្រសិនបើភាគបែងធំជាង 1 ក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ឬថយចុះប្រសិនបើវាតិចជាងមួយ។ ក្នុងករណីចុងក្រោយ លេខ q n អាចក្លាយជាតូចតាមអំពើចិត្តសម្រាប់ n ធំគ្រប់គ្រាន់។ ខណៈពេលដែលការកើនឡើងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយមិននឹកស្មានដល់ ការថយចុះអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថយចុះយ៉ាងឆាប់រហ័ស។
n ធំជាង លេខ q n កាន់តែខ្សោយខុសពីសូន្យ ហើយកាន់តែជិតផលបូកនៃ n សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) ទៅលេខ S \u003d b 1 / (1 - q) ។ (ហេតុដូច្នេះហើយ ជាឧទាហរណ៍ អេហ្វ.វៀត)។ លេខ S ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អស់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ សំណួរនៃអត្ថន័យនៃការបូកសរុបនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រទាំងអស់ ជាមួយនឹងចំនួនពាក្យគ្មានកំណត់ គឺមិនច្បាស់លាស់គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់គណិតវិទូនោះទេ។
ការថយចុះនៃដំណើរការធរណីមាត្រអាចត្រូវបានគេមើលឃើញឧទាហរណ៍នៅក្នុង aporias របស់ Zeno "Biting" និង "Achilles and the tortoise" ។ ក្នុងករណីដំបូង វាត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាផ្លូវទាំងមូល (សន្មត់ថាប្រវែង 1) គឺជាផលបូកនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃផ្នែក 1/2, 1/4, 1/8 ។ល។ តាមទស្សនៈនៃគំនិតអំពីការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគ្មានកំណត់។ ហើយនៅឡើយទេ - តើនេះអាចទៅជាយ៉ាងណា?
|
អង្ករ។ 2. វឌ្ឍនភាពដែលមានកត្តា 1/2 |
នៅក្នុង aporia អំពី Achilles ស្ថានភាពគឺស្មុគស្មាញបន្តិចព្រោះនៅទីនេះភាគបែងនៃការវិវត្តគឺមិនស្មើនឹង 1/2 ទេប៉ុន្តែចំពោះចំនួនផ្សេងទៀត។ ជាឧទាហរណ៍ សូមឲ្យ Achilles រត់ក្នុងល្បឿន v អណ្តើកផ្លាស់ទីក្នុងល្បឿន u ហើយចម្ងាយដំបូងរវាងពួកវាគឺ លីត្រ។ Achilles នឹងរត់ចម្ងាយនេះនៅក្នុងពេលវេលា l/v, អណ្តើកនឹងផ្លាស់ទីចម្ងាយ lu/v ក្នុងអំឡុងពេលនេះ។ នៅពេលដែល Achilles រត់កាត់ផ្នែកនេះ ចម្ងាយរវាងគាត់ និងអណ្តើកនឹងស្មើនឹង l (u/v) 2 ។ ពាក្យ l និងភាគបែង u/v ។ ផលបូកនេះ - ផ្នែកដែល Achilles នៅទីបំផុតនឹងរត់ទៅចំណុចជួបជាមួយអណ្តើក - គឺស្មើនឹង l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) ។ ប៉ុន្តែជាថ្មីម្តងទៀត ថាតើលទ្ធផលនេះគួរត្រូវបានបកស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច ហើយហេតុអ្វីបានជាវាមានន័យទាល់តែសោះ គឺមិនមានភាពច្បាស់លាស់សម្រាប់រយៈពេលយូរនោះទេ។
|
អង្ករ។ 3. វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយមេគុណ 2/3 |
ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយ Archimedes នៅពេលកំណត់តំបន់នៃផ្នែកមួយនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ សូមឱ្យផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានចងដោយអង្កត់ធ្នូ AB ហើយទុកឱ្យតង់សង់នៅចំណុច D នៃប៉ារ៉ាបូឡាស្របនឹង AB ។ សូមឱ្យ C ជាចំណុចកណ្តាលនៃ AB, E ជាចំណុចកណ្តាលនៃ AC, F ជាចំណុចកណ្តាលនៃ CB ។ គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹង DC តាមរយៈចំណុច A , E , F , B ; អនុញ្ញាតឱ្យតង់សង់ដែលគូសនៅចំណុច D បន្ទាត់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុច K , L , M , N ។ ចូរយើងគូរផ្នែក AD និង DB ផងដែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ EL កាត់បន្ទាត់ AD នៅចំណុច G និងប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុច H; បន្ទាត់ FM កាត់បន្ទាត់ DB នៅចំណុច Q និងប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុច R ។ យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីទូទៅផ្នែករាងសាជី DC គឺជាអង្កត់ផ្ចិតនៃប៉ារ៉ាបូឡា (នោះគឺផ្នែកមួយស្របទៅនឹងអ័ក្សរបស់វា); វា និងតង់សង់នៅចំណុច D អាចបម្រើជាអ័ក្សកូអរដោនេ x និង y ដែលសមីការប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានសរសេរជា y 2 \u003d 2px (x គឺជាចម្ងាយពី D ទៅចំណុចណាមួយនៃអង្កត់ផ្ចិតដែលបានផ្តល់ឱ្យ y គឺជាប្រវែងនៃ a ចម្រៀកស្របទៅនឹងតង់សង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីចំណុចនៃអង្កត់ផ្ចិតនេះទៅចំណុចមួយចំនួននៅលើប៉ារ៉ាបូឡាខ្លួនវា) ។
ដោយគុណធម៌នៃសមីការប៉ារ៉ាបូឡា DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA និងចាប់តាំងពី DK = 2DL បន្ទាប់មក KA = 4LH ។ ចាប់តាំងពី KA = 2LG, LH = HG ។ តំបន់នៃផ្នែក ADB នៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺស្មើនឹងតំបន់នៃត្រីកោណ ΔADB និងតំបន់នៃចម្រៀក AHD និង DRB រួមបញ្ចូលគ្នា។ នៅក្នុងវេនតំបន់នៃផ្នែក AHD គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងតំបន់នៃត្រីកោណ AHD និងផ្នែកដែលនៅសល់ AH និង HD ដែលនីមួយៗអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចគ្នា - បំបែកទៅជាត្រីកោណ (Δ) និង ផ្នែកដែលនៅសល់ពីរ () ។ល។:
តំបន់នៃត្រីកោណ ΔAHD គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃត្រីកោណ ΔALD (ពួកគេមានមូលដ្ឋានទូទៅ AD ហើយកម្ពស់ខុសគ្នា 2 ដង) ដែលវាស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃនៃ ត្រីកោណ ΔAKD ហើយដូច្នេះពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃត្រីកោណ ΔACD ។ ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃត្រីកោណΔAHDគឺស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃត្រីកោណΔACD។ ដូចគ្នានេះដែរ តំបន់នៃត្រីកោណ ΔDRB គឺស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃត្រីកោណ ΔDFB ។ ដូច្នេះ តំបន់នៃត្រីកោណ ∆AHD និង ∆DRB ដែលយករួមគ្នាគឺស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃត្រីកោណ ∆ADB ។ ការធ្វើប្រតិបត្តិការនេះម្តងទៀតដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះផ្នែក AH , HD , DR និង RB ក៏នឹងជ្រើសរើសត្រីកោណពីពួកវាផងដែរ ផ្ទៃដែលយកជាមួយគ្នានឹងតិចជាងតំបន់ត្រីកោណ ΔAHD និង ΔDRB 4 ដង , យករួមគ្នាហើយដូច្នេះ 16 ដងតិចជាងតំបន់នៃត្រីកោណ ΔADB ។ លល:
ដូច្នេះ Archimedes បានបង្ហាញឱ្យឃើញថា "គ្រប់ផ្នែកដែលរុំព័ទ្ធរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប៉ារ៉ាបូឡា គឺបួនភាគបីនៃត្រីកោណ ដោយវាមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងកម្ពស់ស្មើគ្នា"។
ការណែនាំ
10, 30, 90, 270...
វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ដំណោះស្រាយ៖
ជម្រើស 1 ។ ចូរយើងយកសមាជិកតាមអំពើចិត្តនៃវឌ្ឍនភាព (ឧទាហរណ៍ 90) ហើយចែកវាដោយលេខមុន (30): 90/30=3។
ប្រសិនបើផលបូកនៃសមាជិកជាច្រើននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ឬផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះត្រូវបានគេស្គាល់នោះ ដើម្បីស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព សូមប្រើរូបមន្តសមស្រប៖
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q) ដែល Sn ជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និង
S = b1/(1-q) ដែល S គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ (ផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពដែលមានភាគបែងតិចជាងមួយ)។
ឧទាហរណ៍។
ពាក្យទីមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះគឺស្មើនឹងមួយ ហើយផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងអស់របស់វាស្មើនឹងពីរ។
វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ភាគបែងនៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖
ជំនួសទិន្នន័យពីភារកិច្ចទៅក្នុងរូបមន្ត។ ទទួលបាន៖
2=1/(1-q), whence – q=1/2 ។
វឌ្ឍនភាពគឺជាលំដាប់នៃលេខ។ នៅក្នុងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានទទួលដោយការគុណលេខមុនដោយលេខមួយចំនួន q ដែលហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។
ការណែនាំ
ប្រសិនបើសមាជិកជិតខាងពីរនៃធរណីមាត្រ b(n+1) និង b(n) ត្រូវបានគេស្គាល់ ដើម្បីទទួលបានភាគបែង ចាំបាច់ត្រូវបែងចែកលេខជាចំនួនធំដោយលេខមួយនៅពីមុខវា៖ q=b(n) +1)/b(n) នេះមកពីនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងរបស់វា។ លក្ខខណ្ឌសំខាន់មួយគឺថាពាក្យទីមួយ និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពមិនស្មើនឹងសូន្យទេ បើមិនដូច្នេះទេ វាត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានកំណត់។
ដូច្នេះទំនាក់ទំនងខាងក្រោមត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព៖ b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q ។ តាមរូបមន្ត b(n)=b1 q^(n-1) សមាជិកណាមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រអាចត្រូវបានគណនា ដែលក្នុងនោះភាគបែង q និងសមាជិក b1 ត្រូវបានគេស្គាល់។ ដូចគ្នានេះផងដែរ ម៉ូឌុលវឌ្ឍនភាពនីមួយៗគឺស្មើនឹងមធ្យមភាគនៃសមាជិកជិតខាងរបស់វា៖ |b(n)|=√ ដូច្នេះការវិវត្តទទួលបានរបស់វា។
analogue នៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត y=a^x ដែល x នៅក្នុងនិទស្សន្ត a គឺជាចំនួនមួយចំនួន។ ក្នុងករណីនេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវគ្នានឹងពាក្យទីមួយ ហើយស្មើនឹងលេខ a ។ តម្លៃនៃអនុគមន៍ y អាចត្រូវបានគេយល់ថាជាសមាជិកទី n នៃវឌ្ឍនភាព ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ x ត្រូវបានយកជាលេខធម្មជាតិ n (រាប់) ។
មានសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖ S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q) ។ រូបមន្តនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ q≠1។ ប្រសិនបើ q=1 នោះផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត S(n)=n b1។ ដោយវិធីនេះ ការវិវត្តនឹងត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងសម្រាប់ q ធំជាងមួយ និង b1 វិជ្ជមាន។ នៅពេលដែលភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព ម៉ូឌុលមិនលើសពីមួយ វឌ្ឍនភាពនឹងត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះ។
ករណីពិសេសនៃការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ (b.u.g.p.)។ ការពិតគឺថាលក្ខខណ្ឌនៃការថយចុះនៃដំណើរការធរណីមាត្រនឹងថយចុះម្តងហើយម្តងទៀត ប៉ុន្តែនឹងមិនឈានដល់សូន្យឡើយ។ ទោះបីជាយ៉ាងនេះក៏ដោយ គេអាចរកឃើញផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃការវិវត្តន៍បែបនេះ។ វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត S = b1 / (1-q) ។ ចំនួនសមាជិកសរុប n គឺគ្មានកំណត់។
ដើម្បីស្រមៃមើលពីរបៀបដែលអ្នកអាចបន្ថែមចំនួនគ្មានកំណត់ ហើយមិនទទួលបានភាពគ្មានកំណត់ សូមដុតនំនំមួយ។ កាត់វាពាក់កណ្តាល។ បន្ទាប់មកកាត់ 1/2 ចេញពីពាក់កណ្តាលហើយដូច្នេះនៅលើ។ បំណែកដែលអ្នកនឹងទទួលបានគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះដោយគ្មានកំណត់ជាមួយនឹងភាគបែងនៃ 1/2 ។ ប្រសិនបើអ្នកដាក់បំណែកទាំងអស់នេះជាមួយគ្នា អ្នកនឹងទទួលបាននំដើម។
បញ្ហាធរណីមាត្រគឺជាប្រភេទលំហាត់ពិសេសដែលទាមទារការគិតតាមលំហ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចដោះស្រាយធរណីមាត្របានទេ។ ភារកិច្ចព្យាយាមអនុវត្តតាមច្បាប់ខាងក្រោម។
ការណែនាំ
អានលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដោយយកចិត្តទុកដាក់ ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំ ឬមិនយល់អ្វីមួយ សូមអានម្តងទៀត។
ព្យាយាមកំណត់ថាតើវាជាបញ្ហាធរណីមាត្រប្រភេទណា ឧទាហរណ៍៖ ការគណនា នៅពេលដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃមួយចំនួន ភារកិច្ចសម្រាប់តម្រូវការខ្សែសង្វាក់នៃហេតុផល ការងារសម្រាប់ការសាងសង់ដោយប្រើត្រីវិស័យ និងបន្ទាត់។ បញ្ហាចម្រុះកាន់តែច្រើន។ នៅពេលដែលអ្នកបានស្វែងយល់ពីប្រភេទនៃបញ្ហា សូមព្យាយាមគិតដោយសមហេតុផល។
អនុវត្តទ្រឹស្តីបទចាំបាច់សម្រាប់បញ្ហានេះ ប្រសិនបើមានការសង្ស័យ ឬមិនមានជម្រើសអ្វីទាំងអស់ បន្ទាប់មកព្យាយាមចងចាំទ្រឹស្តីដែលអ្នកបានសិក្សាលើប្រធានបទដែលពាក់ព័ន្ធ។
ធ្វើសេចក្តីព្រាងនៃបញ្ហាផងដែរ។ ព្យាយាមប្រើវិធីសាស្រ្តដែលគេស្គាល់ ដើម្បីពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយរបស់អ្នក។
បញ្ចប់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាយ៉ាងស្អាតនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា ដោយគ្មានស្នាមប្រេះ និងស្នាមប្រេះ ហើយសំខាន់បំផុត - ប្រហែលជាវានឹងត្រូវការពេលវេលា និងការខិតខំប្រឹងប្រែងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រដំបូង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលដែលអ្នកបញ្ចប់ដំណើរការនេះ អ្នកនឹងចាប់ផ្តើមចុចកិច្ចការដូចជាគ្រាប់ និងរីករាយក្នុងការធ្វើវា!
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់នៃលេខ b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) ដូចជា b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0។ ម្យ៉ាងវិញទៀត សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទទួលពីមួយមុន ដោយគុណវាដោយភាគបែងដែលមិនមែនជាសូន្យនៃវឌ្ឍនភាព q ។
ការណែនាំ
បញ្ហាលើវឌ្ឍនភាពត្រូវបានដោះស្រាយជាញឹកញាប់បំផុតដោយការចងក្រង និងអនុវត្តតាមប្រព័ន្ធមួយដោយគោរពតាមពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព b1 និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព q ។ ដើម្បីសរសេរសមីការ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំរូបមន្តមួយចំនួន។
របៀបបង្ហាញសមាជិក n-th នៃវឌ្ឍនភាពតាមរយៈសមាជិកទីមួយនៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព៖ b(n)=b1*q^(n-1)។
ពិចារណាករណីដោយឡែកពីគ្នា |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
តោះពិចារណាស៊េរី។
7 28 112 448 1792...
វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃធាតុណាមួយរបស់វាពិតជាធំជាងចំនួនមុន 4 ដង។ ដូច្នេះស៊េរីនេះគឺជាការវិវត្ត។
ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លំដោយនៃលេខដែលលក្ខណៈពិសេសចម្បងនោះគឺថាចំនួនបន្ទាប់ត្រូវបានទទួលពីលេខមុនដោយគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយចំនួន។ នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម។
a z +1 =a z q ដែល z ជាចំនួននៃធាតុដែលបានជ្រើសរើស។
ដូច្នោះហើយ z ∈ N ។
រយៈពេលដែលការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រត្រូវបានសិក្សានៅសាលាគឺថ្នាក់ទី 9 ។ ឧទាហរណ៍នឹងជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីគំនិត៖
0.25 0.125 0.0625...
ផ្អែកលើរូបមន្តនេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖
ទាំង q ឬ b z មិនអាចជាសូន្យបានទេ។ ផងដែរ ធាតុនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពមិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។
ដូច្នោះហើយ ដើម្បីស្វែងរកលេខបន្ទាប់ក្នុងស៊េរី អ្នកត្រូវគុណលេខចុងក្រោយដោយ q ។
ដើម្បីបញ្ជាក់វឌ្ឍនភាពនេះ អ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់ធាតុទីមួយ និងភាគបែងរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនោះ គេអាចស្វែងរកពាក្យបន្តបន្ទាប់ណាមួយ និងផលបូករបស់វា។
ពូជ
អាស្រ័យលើ q និង a 1 ការវិវត្តនេះត្រូវបានបែងចែកជាប្រភេទជាច្រើន៖
- ប្រសិនបើទាំង 1 និង q ធំជាងមួយ នោះលំដាប់បែបនេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលកើនឡើងជាមួយនឹងធាតុបន្ទាប់នីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍នៃការបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍៖ a 1 =3, q=2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺធំជាងមួយ។
បន្ទាប់មក លំដាប់លេខអាចសរសេរដូចនេះ៖
3 6 12 24 48 ...
- បើ |q| តិចជាងមួយ នោះគឺការគុណដោយវាស្មើនឹងការបែងចែក បន្ទាប់មកការវិវឌ្ឍន៍ដែលមានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺជាការថយចុះនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃការបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍៖ a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 គឺធំជាងមួយ, q គឺតិចជាង។
បន្ទាប់មក លំដាប់លេខអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
6 2 2/3 ... - ធាតុណាមួយគឺធំជាងធាតុបន្ទាប់ 3 ដង។
- សញ្ញា-អថេរ។ ប្រសិនបើ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
ឧទាហរណ៍៖ a 1 = -3 , q = -2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺតិចជាងសូន្យ។
បន្ទាប់មកលំដាប់អាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
3, 6, -12, 24,...
រូបមន្ត
សម្រាប់ការប្រើប្រាស់ងាយស្រួលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ មានរូបមន្តជាច្រើន៖
- រូបមន្តនៃសមាជិក z-th ។ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាធាតុនៅក្រោមលេខជាក់លាក់មួយដោយមិនចាំបាច់គណនាលេខពីមុន។
ឧទាហរណ៍៖q = 3, ក 1 = 4. តំរូវអោយគណនាធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាព។
ដំណោះស្រាយ៖ក 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- ផលបូកនៃធាតុទីមួយដែលមានលេខ z. អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផលបូកនៃធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់រហូតដល់a zបញ្ចូលគ្នា។
ចាប់តាំងពី (1-q) គឺនៅក្នុងភាគបែង បន្ទាប់មក (1 - q)≠ 0 ដូច្នេះ q មិនស្មើនឹង 1 ។
ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ q=1 នោះការវិវត្តនឹងជាស៊េរីនៃចំនួនដែលកើតឡើងដដែលៗគ្មានកំណត់។
ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2, q= -២. គណនា S 5 ។
ដំណោះស្រាយ៖ស 5 = 22 - ការគណនាតាមរូបមន្ត។
- ចំនួនទឹកប្រាក់ប្រសិនបើ |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2 , q= 0.5 ។ ស្វែងរកបរិមាណ។
ដំណោះស្រាយ៖ស = 2 · = 4
ស = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន៖
- លក្ខណៈសម្បត្តិ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម បានអនុវត្តសម្រាប់ណាមួយ។zបន្ទាប់មក ស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖
a z 2 = a z -1 · កz+1
- ដូចគ្នានេះផងដែរ ការេនៃចំនួនណាមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយបន្ថែមការេនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀតនៅក្នុងស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នាពីធាតុនេះ។
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 កន្លែងណាtគឺជាចំងាយរវាងលេខទាំងនេះ។
- ធាតុខុសគ្នានៅក្នុង qម្តង។
- លោការីតនៃធាតុវឌ្ឍនភាពក៏បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពដែរ ប៉ុន្តែនព្វន្ធរួចហើយ ពោលគឺពួកវានីមួយៗធំជាងធាតុមុនដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាបុរាណមួយចំនួន
ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ថាតើការវិវត្តនៃធរណីមាត្រជាអ្វីនោះ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 អាចជួយបាន។
- លក្ខខណ្ឌ៖ក 1 = 3, ក 3 = 48. រកq.
ដំណោះស្រាយ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងធាតុមុននៅក្នុងq ម្តង។វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញធាតុមួយចំនួនតាមរយៈធាតុផ្សេងទៀតដោយប្រើភាគបែង។
អាស្រ័យហេតុនេះក 3 = q 2 · ក 1
នៅពេលជំនួសq= 4
- លក្ខខណ្ឌ៖ក 2 = 6, ក 3 = 12. គណនា S 6 ។
ដំណោះស្រាយ៖ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការស្វែងរក q ដែលជាធាតុទីមួយហើយជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្ត។
ក 3 = q· ក 2 , ដូច្នេះ,q= 2
a 2 = q a 1 ,នោះហើយជាមូលហេតុដែល a 1 = 3
ស ៦ = 189
- · ក 1 = 10, q= -២. ស្វែងរកធាតុទីបួននៃវឌ្ឍនភាព។
ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីធ្វើបែបនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបង្ហាញធាតុទី ៤ តាមរយៈធាតុទីមួយ និងតាមភាគបែង។
a 4 = q 3· a 1 = -80
ឧទាហរណ៍កម្មវិធី៖
- អតិថិជនរបស់ធនាគារបានដាក់ប្រាក់បញ្ញើក្នុងចំនួន 10,000 rubles ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលជារៀងរាល់ឆ្នាំអតិថិជននឹងបន្ថែម 6% នៃវាទៅក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ដើម។ តើលុយនឹងមាននៅក្នុងគណនីប៉ុន្មានបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំ?
ដំណោះស្រាយ: ចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងគឺ 10 ពាន់រូប្លិ៍។ ដូច្នេះមួយឆ្នាំបន្ទាប់ពីការវិនិយោគ គណនីនឹងមានចំនួនទឹកប្រាក់ស្មើនឹង 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
ដូច្នោះហើយ ចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំទៀតនឹងត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000
នោះគឺជារៀងរាល់ឆ្នាំបរិមាណកើនឡើង 1.06 ដង។ នេះមានន័យថាដើម្បីស្វែងរកបរិមាណមូលនិធិនៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការស្វែងរកធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាពដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុទីមួយស្មើនឹង 10 ពាន់និងភាគបែងស្មើនឹង 1.06 ។
S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់គណនាផលបូក៖
នៅក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗ ដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម:
ក 1 = 4, q= 2, គណនាស៥.
ដំណោះស្រាយ៖ ទិន្នន័យទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាត្រូវបានគេស្គាល់ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ។
ស 5 = 124
- ក 2 = 6, ក 3 = 18. គណនាផលបូកនៃធាតុទាំងប្រាំមួយដំបូង។
ដំណោះស្រាយ៖
Geom ។ វឌ្ឍនភាព ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺ q ដងធំជាងធាតុមុន ពោលគឺ ដើម្បីគណនាផលបូក អ្នកត្រូវដឹងពីធាតុក 1 និងភាគបែងq.
ក 2 · q = ក 3
q = 3
ដូចគ្នាដែរ យើងត្រូវស្វែងរកក 1 , ដឹងក 2 និងq.
ក 1 · q = ក 2
a 1 =2
ស 6 = 728.
