របៀបស្វែងរកចំណុចស៊ីមេទ្រីនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ បញ្ហាសាមញ្ញបំផុតជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់មួយចំនួនដែលផ្តល់ដោយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចំណុចដែលផ្តល់ដោយកូអរដោណេរបស់វា (x0, y0) ហើយមិនត្រូវនិយាយកុហកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់នេះទេ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកចំណុចដែលនឹងស៊ីមេទ្រីទៅនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយគោរពតាមបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺនឹងស្របគ្នាជាមួយវា ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានពត់ខ្លួននៅពាក់កណ្តាលតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ការណែនាំ

1. វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុចទាំងពីរ - ផ្តល់ឱ្យនិងចង់បាន - ត្រូវតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ហើយបន្ទាត់នេះត្រូវតែកាត់កែងទៅនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ ផ្នែកដំបូងនៃបញ្ហាគឺត្រូវស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលនឹងកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួន ហើយក្នុងពេលតែមួយឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

2. បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានកំណត់តាមពីរវិធី។ សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មើលទៅដូចនេះ: Ax + By + C = 0 ដែល A, B, និង C ជាថេរ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ៖ y \u003d kx + b ដែល k ជានិទស្សន្តមុំ b គឺជាការផ្លាស់ទីលំនៅ។ វិធីសាស្ត្រទាំងពីរនេះអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបាន ហើយវាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យផ្លាស់ទីពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ប្រសិនបើ Ax + By + C = 0 បន្ទាប់មក y = – (Ax + C)/B ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅក្នុងអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ y = kx + b និទស្សន្តមុំ k = -A/B និងអុហ្វសិត b = -C/B ។ សម្រាប់កិច្ចការនៅនឹងដៃ វាមានផាសុកភាពជាងក្នុងការវែកញែកដោយផ្អែកលើសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

3. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយសមីការនៃបន្ទាត់ទីមួយគឺ Ax + By + C = 0 នោះសមីការនៃបន្ទាត់ទី 2 គួរតែជា Bx - Ay + D = 0 ដែល D ជាថេរ។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃជាក់លាក់នៃ D វាចាំបាច់ត្រូវដឹងបន្ថែមថា ចំណុចណាដែលបន្ទាត់កាត់កែងឆ្លងកាត់។ ក្នុងករណីនេះជាចំណុច (x0, y0) ដូច្នេះ D ត្រូវតែបំពេញសមភាព៖ Bx0 – Ay0 + D = 0 នោះគឺ D = Ay0 – Bx0 ។

4. ក្រោយមកទៀតបន្ទាប់ពីរកឃើញបន្ទាត់កាត់កែងវាចាំបាច់ត្រូវគណនាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖ Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0 ។ ដំណោះស្រាយរបស់វានឹងផ្តល់លេខ (x1, y1) ដែលបម្រើជាកូអរដោនេនៃ ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។

5. ចំនុចដែលចង់បានត្រូវតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានរកឃើញ ហើយចំងាយរបស់វាទៅកាន់ចំនុចប្រសព្វត្រូវតែស្មើនឹងចំងាយពីចំនុចប្រសព្វទៅចំនុច (x0, y0)។ កូអរដោនេនៃចំនុចស៊ីមេទ្រីទៅចំនុច (x0, y0) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2)។

6. ប៉ុន្តែសូមឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួល។ ប្រសិនបើចំនុច (x0, y0) និង (x, y) មានចំងាយស្មើគ្នាពីចំនុច (x1, y1) ហើយចំនុចទាំងបីស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា នោះ៖ x − x1 = x1 – x0,y - y1 = y1 - y0 ដូច្នេះ x = 2 × 1 – x0, y = 2y1 – y0 ។ ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធទីមួយ និងការធ្វើឱ្យកន្សោមមានភាពសាមញ្ញ វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើឱ្យប្រាកដថាផ្នែកខាងស្តាំរបស់វាក្លាយជាដូចគ្នានឹងផ្នែកខាងឆ្វេង។ លើសពីនេះ វាគ្មានន័យទេក្នុងការពិចារណាសមីការទី 1 ឱ្យកាន់តែជិត ព្រោះគេដឹងថាចំនុច (x0, y0) និង (x1, y1) ពេញចិត្តវា ហើយចំនុច (x, y) ប្រាកដជាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ .

អូ - អូ - អូ - អូ - អូ - អូ ... ល្អវាតូចដូចជាអ្នកអានប្រយោគទៅខ្លួនអ្នក =) ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការសំរាកលំហែនឹងជួយជាពិសេសចាប់តាំងពីខ្ញុំបានទិញគ្រឿងបន្លាស់ដែលសមរម្យនៅថ្ងៃនេះ។ ដូច្នេះសូមបន្តទៅផ្នែកទីមួយ ខ្ញុំសង្ឃឹមថានៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទខ្ញុំនឹងរក្សាអារម្មណ៍រីករាយ។

ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរ

ករណីពេលសាលច្រៀងតាមបន្ទរ។ ពីរជួរអាច:

1) ការប្រកួត;

2) ស្របគ្នា: ;

3) ឬប្រសព្វនៅចំណុចតែមួយ៖ .

ជំនួយសម្រាប់អត់ចេះសោះ ៖ សូមចងចាំសញ្ញាគណិតវិទ្យានៃចំនុចប្រសព្វ វានឹងកើតឡើងជាញឹកញាប់។ ធាតុចូលមានន័យថាបន្ទាត់ប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់នៅចំណុច។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ទីតាំងទាក់ទងនៃបន្ទាត់ពីរ?

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីទីមួយ៖

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នាប្រសិនបើមេគុណរៀងៗខ្លួនគឺសមាមាត្រនោះគឺមានលេខ "lambda" ដែលសមភាព

ចូរយើងពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ ហើយផ្សំសមីការបីពីមេគុណដែលត្រូវគ្នា៖ . ពីសមីការនីមួយៗ វាធ្វើតាមថា ដូច្នេះ បន្ទាត់ទាំងនេះស្របគ្នា។

ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់នៃសមីការ គុណនឹង -1 (សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ) និងមេគុណទាំងអស់នៃសមីការ កាត់បន្ថយដោយ 2 អ្នកទទួលបានសមីការដូចគ្នា: .

ករណីទីពីរនៅពេលដែលបន្ទាត់ស្របគ្នា៖

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើមេគុណរបស់វានៅអថេរគឺសមាមាត្រ៖ , ប៉ុន្តែ.

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ពីរ។ យើងពិនិត្យមើលសមាមាត្រនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់អថេរ៖

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាច្បាស់ណាស់។

ហើយករណីទីបីនៅពេលដែលបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា:

បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នាប្រសិនបើមេគុណនៃអថេររបស់ពួកគេមិនសមាមាត្រនោះគឺវាមិនមានតម្លៃនៃ "lambda" ដែលសមភាពត្រូវបានបំពេញនោះទេ។

ដូច្នេះសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ យើងនឹងបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ៖

ពីសមីការទីមួយ វាធ្វើតាមនោះ ហើយពីសមីការទីពីរ៖ ដូចនេះ ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។(គ្មានដំណោះស្រាយ)។ ដូច្នេះមេគុណនៅអថេរមិនសមាមាត្រទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ បន្ទាត់ប្រសព្វ

នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែង គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយដែលទើបតែបានពិចារណាអាចប្រើប្រាស់បាន។ ដោយវិធីនេះ វាស្រដៀងទៅនឹងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ពិនិត្យវ៉ិចទ័រសម្រាប់ភាពជាប់គ្នា ដែលយើងពិចារណាក្នុងមេរៀន។ គំនិតនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ (មិន) នៃវ៉ិចទ័រ។ មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ. ប៉ុន្តែមានកញ្ចប់ស៊ីវីល័យជាងនេះ៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់៖

ដំណោះស្រាយផ្អែកលើការសិក្សានៃវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់៖

ក) ពីសមីការយើងរកឃើញវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់៖ .

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ ហើយបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា។

ក្នុងករណី ខ្ញុំនឹងដាក់ថ្មដែលមានចង្អុលនៅផ្លូវបំបែក៖

នៅសល់លោតពីលើថ្មហើយដើរតាមត្រង់ទៅ Kashchei the Deathless =)

ខ) ស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់៖

បន្ទាត់មានវ៉ិចទ័រទិសដៅដូចគ្នា ដែលមានន័យថាពួកវាស្របគ្នា ឬដូចគ្នា។ នៅទីនេះអ្នកកំណត់គឺមិនចាំបាច់ទេ។

ជាក់ស្តែង មេគុណនៃមិនស្គាល់គឺសមាមាត្រ ខណៈពេលដែល .

តោះស្វែងយល់ថាតើសមភាពពិតឬអត់៖

ដោយវិធីនេះ

គ) ស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់៖

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ៖
ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រទិសដៅគឺជាប់គ្នា។ បន្ទាត់គឺស្រប ឬស្របគ្នា។

កត្តាសមាមាត្រ "lambda" មានភាពងាយស្រួលក្នុងការមើលដោយផ្ទាល់ពីសមាមាត្រនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ collinear ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាក៏អាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈមេគុណនៃសមីការខ្លួនឯងផងដែរ៖ .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមភាពនេះជាការពិតឬយ៉ាងណា។ លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងពីរគឺសូន្យ ដូច្នេះ៖

តម្លៃលទ្ធផលបំពេញសមីការនេះ (លេខណាមួយជាទូទៅបំពេញវា)។

ដូច្នេះបន្ទាត់ស្របគ្នា។

ចម្លើយ:

ឆាប់ៗនេះអ្នកនឹងរៀន (ឬសូម្បីតែបានរៀនរួចហើយ) ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានពិចារណាដោយផ្ទាល់មាត់ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី។ ក្នុងន័យនេះ ខ្ញុំយល់ឃើញថា គ្មានហេតុផលដើម្បីផ្តល់អ្វីមួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យនោះទេ វាជាការប្រសើរក្នុងការដាក់ឥដ្ឋសំខាន់មួយបន្ថែមទៀតនៅក្នុងគ្រឹះធរណីមាត្រ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ?

ដោយសារភាពល្ងង់ខ្លៅនៃកិច្ចការដ៏សាមញ្ញបំផុតនេះ Nightingale the Robber បានដាក់ទណ្ឌកម្មយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ។

ឧទាហរណ៍ ២

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ។ សរសេរសមីការសម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដែលឆ្លងកាត់ចំណុច។

ដំណោះស្រាយ៖ សម្គាល់បន្ទាត់មិនស្គាល់ដោយអក្សរ។ តើលក្ខខណ្ឌនិយាយអ្វីខ្លះអំពីវា? បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច។ ហើយប្រសិនបើបន្ទាត់ស្របគ្នានោះ វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ "ce" ក៏សមរម្យសម្រាប់ការសាងសង់បន្ទាត់ "de" ផងដែរ។

យើងដកវ៉ិចទ័រទិសដៅចេញពីសមីការ៖

ចម្លើយ:

ធរណីមាត្រនៃឧទាហរណ៍មើលទៅសាមញ្ញ៖

ការផ្ទៀងផ្ទាត់ការវិភាគមានជំហានដូចខាងក្រោមៈ

1) យើងពិនិត្យមើលថាបន្ទាត់មានវ៉ិចទ័រទិសដៅដូចគ្នា (ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់មិនត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញត្រឹមត្រូវទេនោះវ៉ិចទ័រនឹងជាប់គ្នា) ។

2) ពិនិត្យមើលថាតើចំនុចនោះបំពេញសមីការលទ្ធផលឬអត់។

ការផ្ទៀងផ្ទាត់ការវិភាគនៅក្នុងករណីភាគច្រើនគឺងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តផ្ទាល់មាត់។ សូមក្រឡេកមើលសមីការទាំងពីរ ហើយអ្នកទាំងអស់គ្នានឹងដឹងយ៉ាងឆាប់រហ័សពីរបៀបដែលបន្ទាត់ស្របគ្នាដោយគ្មានគំនូរ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយដោយខ្លួនឯងនៅថ្ងៃនេះនឹងមានភាពច្នៃប្រឌិត។ ដោយសារតែអ្នកនៅតែត្រូវប្រកួតប្រជែងជាមួយ Baba Yaga ហើយអ្នកដឹងទេថានាងគឺជាអ្នកស្រលាញ់ការលេងសើចគ្រប់ប្រភេទ។

ឧទាហរណ៍ ៣

សរសេរសមីការសម្រាប់បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ if

មានវិធីដែលសមហេតុផល និងមិនសូវសមហេតុផលក្នុងការដោះស្រាយ។ វិធីខ្លីបំផុតគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

យើងបានធ្វើការបន្តិចបន្តួចជាមួយនឹងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល ហើយនឹងត្រឡប់ទៅពួកគេពេលក្រោយ។ ករណីនៃបន្ទាត់ស្របគ្នាគឺមានការចាប់អារម្មណ៍តិចតួច ដូច្នេះសូមពិចារណាបញ្ហាដែលអ្នកស្គាល់ច្បាស់ពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ?

បើត្រង់ ប្រសព្វនៅចំណុច នោះកូអរដោណេរបស់វាគឺជាដំណោះស្រាយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់? ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ។

នៅទីនេះសម្រាប់អ្នក អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមិនស្គាល់ពីរគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលប្រសព្វគ្នា (ជាញឹកញាប់បំផុត) នៅលើយន្តហោះ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់

ដំណោះស្រាយ៖ មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការដោះស្រាយ - ក្រាហ្វិក និងការវិភាគ។

វិធីក្រាហ្វិកគឺគ្រាន់តែគូរបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយស្វែងរកចំណុចប្រសព្វដោយផ្ទាល់ពីគំនូរ

នេះជាចំណុចរបស់យើង៖ . ដើម្បីពិនិត្យមើល អ្នកគួរតែជំនួសកូអរដោនេរបស់វាទៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ ពួកវាគួរតែសមទាំងនៅទីនោះ និងទីនោះ។ ម្យ៉ាងទៀត កូអរដោណេនៃចំណុចមួយគឺជាដំណោះស្រាយរបស់ប្រព័ន្ធ។ ជាការពិត យើងបានពិចារណាវិធីក្រាហ្វិកដើម្បីដោះស្រាយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងសមីការពីរ មិនស្គាល់ពីរ។

វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក ពិតណាស់មិនអាក្រក់ទេ ប៉ុន្តែមានគុណវិបត្តិគួរឱ្យកត់សម្គាល់។ ទេ ចំនុចមិនមែនថាសិស្សថ្នាក់ទីប្រាំពីរសម្រេចចិត្តបែបនេះទេ ចំនុចនោះគឺថាវានឹងត្រូវការពេលវេលាដើម្បីធ្វើគំនូរត្រឹមត្រូវ និង EXACT ។ លើសពីនេះ ខ្សែបន្ទាត់ខ្លះមិនងាយស្រួលសាងសង់ទេ ហើយចំនុចប្រសព្វខ្លួនវាប្រហែលជាកន្លែងណាមួយនៅក្នុងនគរទីសាមសិបនៅខាងក្រៅសន្លឹកសៀវភៅកត់ត្រា។

ដូច្នេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការស្វែងរកចំណុចប្រសព្វដោយវិធីសាស្ត្រវិភាគ។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ វិធីសាស្ត្រនៃការបន្ថែមសមីការតាមកាលកំណត់ត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ដើម្បីអភិវឌ្ឍជំនាញពាក់ព័ន្ធ សូមចូលមើលមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ?

ចម្លើយ:

ការផ្ទៀងផ្ទាត់គឺតូចតាច - កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វត្រូវតែបំពេញសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ ប្រសិនបើពួកគេប្រសព្វគ្នា។

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ ភារកិច្ចអាចត្រូវបានបែងចែកយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាដំណាក់កាលជាច្រើន។ ការវិភាគស្ថានភាពបង្ហាញថាវាចាំបាច់៖
1) សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់។
2) សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់។
3) ស្វែងរកទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់។
4) ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ចូរស្វែងរកចំនុចប្រសព្វ។

ការអភិវឌ្ឍន៍នៃក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពគឺជាតួយ៉ាងសម្រាប់បញ្ហាធរណីមាត្រជាច្រើន ហើយខ្ញុំនឹងផ្តោតលើបញ្ហានេះម្តងហើយម្តងទៀត។

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន៖

ស្បែកជើងមួយគូមិនទាន់អស់ទេ ដូចយើងមកដល់វគ្គទីពីរនៃមេរៀន៖

បន្ទាត់កាត់កែង។ ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។
មុំរវាងបន្ទាត់

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកិច្ចការធម្មតា និងសំខាន់ខ្លាំងណាស់។ នៅក្នុងផ្នែកទីមួយ យើងបានរៀនពីរបៀបបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយឥឡូវនេះខ្ទមនៅលើជើងមាន់នឹងប្រែទៅជា 90 ដឺក្រេ:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគូរបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ?

ឧទាហរណ៍ ៦

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ។ សរសេរសមីការសម្រាប់បន្ទាត់កាត់កែងដែលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖ វាត្រូវបានគេស្គាល់ដោយការសន្មត់ថា . វាជាការល្អក្នុងការស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។ ដោយសារបន្ទាត់កាត់កែង ល្បិចគឺសាមញ្ញ៖

ពីសមីការយើង "ដកចេញ" វ៉ិចទ័រធម្មតា: ដែលនឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់។

យើងចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំនុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ៖

ចម្លើយ:

ចូរលាតត្រដាងគំនូរតាមធរណីមាត្រ៖

ហ៊ឺម... មេឃពណ៌ទឹកក្រូច សមុទ្រពណ៌ទឹកក្រូច អូដ្ឋពណ៌ទឹកក្រូច។

ការផ្ទៀងផ្ទាត់ការវិភាគនៃដំណោះស្រាយ៖

1) ស្រង់វ៉ិចទ័រទិសដៅពីសមីការ និងជាមួយជំនួយ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រយើងសន្និដ្ឋានថាបន្ទាត់ពិតជាកាត់កែង៖ .

ដោយវិធីនេះអ្នកអាចប្រើវ៉ិចទ័រធម្មតាវាកាន់តែងាយស្រួល។

2) ពិនិត្យមើលថាតើចំនុចនោះបំពេញសមីការលទ្ធផលឬអត់ .

ការផ្ទៀងផ្ទាត់ម្តងទៀតគឺងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តពាក្យសំដី។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់កាត់កែង ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានគេស្គាល់ និងចំណុច។

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ មានសកម្មភាពជាច្រើននៅក្នុងកិច្ចការដូច្នេះវាងាយស្រួលក្នុងការរៀបចំដំណោះស្រាយដោយចំណុច។

ដំណើរដ៏រំភើបរបស់យើងបន្ត៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់

មុនយើងជាច្រូតត្រង់នៃទន្លេ ហើយភារកិច្ចរបស់យើងគឺទៅដល់វាក្នុងផ្លូវខ្លីបំផុត។ មិនមានឧបសគ្គទេ ហើយផ្លូវដ៏ប្រសើរបំផុតនឹងមានចលនានៅតាមបណ្តោយកាត់កែង។ នោះគឺចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់គឺជាប្រវែងនៃផ្នែកកាត់កែង។

ចម្ងាយនៅក្នុងធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់ជាប្រពៃណីដោយអក្សរក្រិក "ro" ឧទាហរណ៍ៈ - ចម្ងាយពីចំណុច "em" ទៅបន្ទាត់ត្រង់ "de" ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ដំណោះស្រាយ៖ អ្វីដែលអ្នកត្រូវការគឺត្រូវជំនួសលេខដោយប្រុងប្រយ័ត្នទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយធ្វើការគណនា៖

ចម្លើយ:

តោះអនុវត្តគំនូរ៖

ចម្ងាយដែលបានរកឃើញពីចំណុចទៅបន្ទាត់គឺពិតជាប្រវែងនៃផ្នែកក្រហម។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើគំនូរលើក្រដាសគូសលើមាត្រដ្ឋាន 1 ឯកតា។ \u003d 1 សង់ទីម៉ែត្រ (2 កោសិកា) បន្ទាប់មកចម្ងាយអាចត្រូវបានវាស់ដោយប្រើបន្ទាត់ធម្មតា។

ពិចារណាកិច្ចការមួយទៀតយោងទៅតាមគំនូរដូចគ្នា៖

ភារកិច្ចគឺស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច ដែលស៊ីមេទ្រីទៅចំណុចដោយគោរពតាមបន្ទាត់ . ខ្ញុំស្នើឱ្យអនុវត្តសកម្មភាពដោយខ្លួនឯង ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងគូសបញ្ជាក់ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយជាមួយនឹងលទ្ធផលកម្រិតមធ្យម៖

1) ស្វែងរកបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់មួយ។

២) រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់៖ .

សកម្មភាពទាំងពីរនេះត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងមេរៀននេះ។

3) ចំណុចគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក។ យើងដឹងពីកូអរដោនេនៃផ្នែកកណ្តាល និងចុងម្ខាង។ ដោយ រូបមន្តសម្រាប់កូអរដោនេនៃផ្នែកកណ្តាលស្វែងរក។

វានឹងមិនត្រូវបាននាំអោយក្នុងការត្រួតពិនិត្យថាចម្ងាយក៏ស្មើនឹង 2.2 ឯកតាដែរ។

ភាពលំបាកនៅទីនេះអាចកើតឡើងក្នុងការគណនា ប៉ុន្តែនៅក្នុងប៉ម មីក្រូគណនាជួយបានច្រើន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នករាប់ប្រភាគធម្មតា។ បានណែនាំច្រើនដងហើយនឹងណែនាំម្តងទៀត។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ?

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយទៀតសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។ ព័ត៌មានជំនួយតិចតួច៖ មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយ។ ការពន្យល់នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន ប៉ុន្តែព្យាយាមស្មានដោយខ្លួនឯងប្រសើរជាង ខ្ញុំគិតថាអ្នកបានបំបែកភាពប៉ិនប្រសប់របស់អ្នកបានយ៉ាងល្អ។

មុំរវាងបន្ទាត់ពីរ

មិនថាជ្រុងណាក៏ដោយ បន្ទាប់មក ជប់៖

នៅក្នុងធរណីមាត្រ មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវបានយកជាមុំតូច ដែលវាធ្វើតាមដោយស្វ័យប្រវត្តិ ដែលវាមិនអាចត្រូវបាន obtuse ។ នៅក្នុងរូប មុំដែលបង្ហាញដោយធ្នូក្រហម មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វនោះទេ។ និងអ្នកជិតខាង "បៃតង" ឬ តម្រង់ទិសផ្ទុយជ្រុងពណ៌ក្រហម។

ប្រសិនបើបន្ទាត់កាត់កែង នោះមុំណាមួយនៃ 4 អាចត្រូវបានយកជាមុំរវាងពួកវា។

តើមុំខុសគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច? ការតំរង់ទិស។ ទីមួយទិសដៅនៃ "រមូរ" ជ្រុងមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាន។ ទីពីរ មុំតម្រង់ទិសអវិជ្ជមានត្រូវបានសរសេរដោយសញ្ញាដក ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ .

ហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំនិយាយបែបនេះ? វាហាក់ដូចជាអ្នកអាចទទួលបានដោយគំនិតធម្មតានៃមុំមួយ។ ការពិតគឺថានៅក្នុងរូបមន្តដែលយើងនឹងរកឃើញមុំ លទ្ធផលអវិជ្ជមានអាចទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយនេះមិនគួរនាំអ្នកភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ។ មុំដែលមានសញ្ញាដកគឺមិនអាក្រក់ជាងនេះទេ ហើយមានអត្ថន័យធរណីមាត្រជាក់លាក់។ នៅក្នុងគំនូរសម្រាប់មុំអវិជ្ជមានវាជាការចាំបាច់ដើម្បីចង្អុលបង្ហាញការតំរង់ទិសរបស់វា (តាមទ្រនិចនាឡិកា) ដោយព្រួញមួយ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកមុំរវាងបន្ទាត់ពីរ?មានរូបមន្តការងារពីរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

រកមុំរវាងបន្ទាត់

ដំណោះស្រាយនិង វិធីសាស្រ្តមួយ។

ពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖

បើត្រង់ មិនកាត់កែងបន្ទាប់មក តម្រង់ទិសមុំរវាងពួកវាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖

ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះភាគបែង - នេះគឺពិតប្រាកដណាស់។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់៖

ប្រសិនបើ នោះភាគបែងនៃរូបមន្តបាត់ ហើយវ៉ិចទ័រនឹងមានរាងមូល ហើយបន្ទាត់នឹងកាត់កែង។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលការកក់ត្រូវបានធ្វើឡើងអំពីភាពមិនកាត់កែងនៃបន្ទាត់ក្នុងទម្រង់។

ដោយផ្អែកលើខាងលើ ដំណោះស្រាយត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងងាយស្រួលក្នុងពីរជំហាន៖

1) គណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃការដឹកនាំវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់:
ដូច្នេះបន្ទាត់មិនកាត់កែងទេ។

២) យើងរកមុំរវាងបន្ទាត់ដោយរូបមន្ត៖

ដោយប្រើមុខងារបញ្ច្រាស វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកមុំដោយខ្លួនឯង។ ក្នុងករណីនេះ យើងប្រើភាពចម្លែកនៃតង់ហ្សង់ធ្នូ (សូមមើលរូបភព។ ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋម):

ចម្លើយ:

នៅក្នុងចម្លើយ យើងបង្ហាញពីតម្លៃពិតប្រាកដ ក៏ដូចជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល (និយមទាំងដឺក្រេ និងជារ៉ាដ្យង់) ដែលគណនាដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។

បាទ ដក ដូច្នេះ ដក វាមិនអីទេ។ នេះជារូបភាពធរណីមាត្រ៖

វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលមុំប្រែទៅជាទិសដៅអវិជ្ជមានពីព្រោះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាលេខទីមួយគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ហើយ "បង្វិល" នៃមុំបានចាប់ផ្តើមយ៉ាងជាក់លាក់ពីវា។

ប្រសិនបើអ្នកពិតជាចង់ទទួលបានមុំវិជ្ជមាន អ្នកត្រូវប្តូរបន្ទាត់ត្រង់ ពោលគឺយកមេគុណពីសមីការទីពីរ ហើយយកមេគុណពីសមីការទីមួយ។ សរុបមក អ្នកត្រូវចាប់ផ្តើមដោយផ្ទាល់ .

ការបង្កើតបញ្ហា។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចស៊ីមេទ្រីទៅចំណុចមួយ។ ទាក់ទងទៅនឹងយន្តហោះ។

ផែនការដំណោះស្រាយ។

1. យើងរកឃើញសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។ . ដោយសារបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះធម្មតាអាចត្រូវបានគេយកជាវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វា ពោលគឺឧ។

ដូច្នេះសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នឹងមាន

2. រកចំណុចមួយ។ បន្ទាត់ប្រសព្វ និងយន្តហោះ (សូមមើលបញ្ហាទី 13)។

3. ចំណុច គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក ដែលចំណុច គឺជាចំណុចស៊ីមេទ្រីទៅចំណុចមួយ។ , នោះហើយជាមូលហេតុដែល

កិច្ចការ 14. រកចំណុចស៊ីមេទ្រីទៅចំណុចមួយដោយគោរពតាមយន្តហោះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលកាត់តាមចំណុចកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ដែលបានផ្ដល់នឹងមានដូចជា៖

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។

កន្លែងណា - ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងប្លង់ គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក ដូច្នេះ

ទាំងនោះ។ .

កូអរដោនេនៃយន្តហោះដូចគ្នា។ ការផ្លាស់ប្តូរ Affine នៅលើយន្តហោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ ម Xនិង នៅ

ម(X, នៅខ្ញុំ (X, នៅ, 1) នៅក្នុងលំហ (រូបភាព 8) ។

ខ្ញុំ (X, នៅ

ខ្ញុំ (X, នៅ ហ៊

(hx, hy, h), h  0,

មតិយោបល់

ម៉ោង(ឧទាហរណ៍, ម៉ោង

ជាការពិតពិចារណា ម៉ោង

មតិយោបល់

ឧទាហរណ៍ ១

ខ) នៅជ្រុង (រូបភាពទី 9) ។

ជំហានទី 1 ។

ជំហានទី 2 ។ការបង្វិលមុំ 

ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។

ជំហានទី 3 ។ផ្ទេរទៅវ៉ិចទ័រ A(a, ខ)

ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៣

 តាមអ័ក្ស x និង

ជំហានទី 1 ។

ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។

ជំហានទី 2 ។

ជំហានទី 3 ។

ទីបំផុតទទួលបាន

មតិយោបល់

[R], [D], [M], [T],

អនុញ្ញាតឱ្យ ម- ចំណុចបំពាននៃយន្តហោះដែលមានកូអរដោនេ Xនិង នៅគណនាដោយគោរពតាមប្រព័ន្ធសំរបសំរួល rectilinear ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ កូអរដោណេដូចគ្នានៃចំណុចនេះគឺជាចំនួនបីនៃចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យក្នុងពេលដំណាលគ្នា x 1, x 2, x 3 ដែលភ្ជាប់ជាមួយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ x និង y ដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ កូអរដោណេដូចគ្នាជាធម្មតាត្រូវបានណែនាំដូចខាងក្រោម៖ ចំណុចបំពាន ម(X, នៅ) យន្តហោះត្រូវបានកំណត់ចំណុចមួយ។ ខ្ញុំ (X, នៅ, 1) នៅក្នុងលំហ (រូបភាព 8) ។

ចំណាំថាចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់តភ្ជាប់ប្រភពដើម ចំណុច 0(0, 0, 0) ជាមួយនឹងចំណុច ខ្ញុំ (X, នៅ, 1) អាចត្រូវបានផ្តល់ដោយលេខបីនៃទម្រង់ (hx, hy, h) ។

វ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោណេ hx, hy គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលភ្ជាប់ចំនុច 0 (0, 0, 0) និង ខ្ញុំ (X, នៅ, មួយ). បន្ទាត់នេះកាត់ប្លង់ z = 1 នៅចំណុច (x, y, 1) ដែលកំណត់ចំណុច (x, y) នៃយន្តហោះកូអរដោណេ ហ៊

ដូច្នេះ រវាងចំណុចបំពានជាមួយកូអរដោនេ (x, y) និងសំណុំនៃចំនួនបីដងនៃទម្រង់

(hx, hy, h), h  0,

ការឆ្លើយឆ្លងមួយ (មួយទៅមួយ) ត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាលេខ hx, hy, h ជាកូអរដោនេថ្មីនៃចំណុចនេះ។

មតិយោបល់

កូអរដោណេដូចគ្នា ដែលប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងធរណីមាត្រព្យាករណ៍ ធ្វើឱ្យវាអាចពិពណ៌នាយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាពនូវអ្វីដែលគេហៅថាធាតុមិនសមរម្យ (ជាសំខាន់ដែលយន្តហោះដែលព្យាករណ៍ខុសពីយន្តហោះធម្មតារបស់ Euclidean)។ ព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែមអំពីលក្ខណៈពិសេសថ្មីដែលផ្តល់ដោយកូអរដោណេដូចគ្នាដែលបានណែនាំត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកទីបួននៃជំពូកនេះ។

នៅក្នុងធរណីមាត្រព្យាករណ៍ សម្រាប់កូអរដោនេដូចគ្នា ការសម្គាល់ខាងក្រោមត្រូវបានទទួលយក៖

x: y: 1 ឬ ជាទូទៅ x 1: x 2: x 3

(សូមចាំថានៅទីនេះ វាពិតជាតម្រូវឱ្យលេខ x 1, x 2, x 3 ក្នុងពេលតែមួយមិនបាត់)។

ការប្រើកូអរដោណេដូចគ្នាប្រែទៅជាមានភាពងាយស្រួលសូម្បីតែពេលដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញបំផុតក៏ដោយ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាបញ្ហាទាក់ទងនឹងការធ្វើមាត្រដ្ឋាន។ ប្រសិនបើឧបករណ៍បង្ហាញដំណើរការតែជាមួយចំនួនគត់ (ឬប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការតែជាមួយចំនួនគត់) បន្ទាប់មកសម្រាប់តម្លៃបំពាន ម៉ោង(ឧទាហរណ៍, ម៉ោង= 1) ចំណុចដែលមានកូអរដោណេដូចគ្នា។

មិនអាចស្រមៃបានទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាមួយនឹងជម្រើសដ៏សមហេតុផលនៃ h វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធានាថាកូអរដោនេនៃចំណុចនេះគឺជាចំនួនគត់។ ជាពិសេសសម្រាប់ h = 10 សម្រាប់ឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណាយើងមាន

ចូរយើងពិចារណាករណីមួយទៀត។ ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការបំប្លែងមិននាំឱ្យលើសនព្វន្ធទេ សម្រាប់ចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (80000 40000 1000) អ្នកអាចយកឧទាហរណ៍ h=0.001។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន (80 40 1) ។

ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្ហាញពីអត្ថប្រយោជន៍នៃការប្រើប្រាស់កូអរដោណេដូចគ្នាក្នុងការគណនា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលបំណងសំខាន់នៃការណែនាំនូវកូអរដោណេដូចគ្នានៅក្នុងក្រាហ្វិចកុំព្យូទ័រគឺជាភាពងាយស្រួលដែលមិនគួរឱ្យសង្ស័យរបស់ពួកគេក្នុងការអនុវត្តចំពោះការបំប្លែងធរណីមាត្រ។

ដោយមានជំនួយបីដងនៃកូអរដោណេដូចគ្នា និងម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីបី ការបំប្លែងភាពស្រើបស្រាលណាមួយនៃយន្តហោះអាចត្រូវបានពិពណ៌នា។

ជាការពិតពិចារណា ម៉ោង= 1 ប្រៀបធៀបធាតុពីរ៖ សម្គាល់ដោយ * និងខាងក្រោម ម៉ាទ្រីស៖

វាងាយស្រួលមើលថាបន្ទាប់ពីគុណកន្សោមនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃទំនាក់ទំនងចុងក្រោយ យើងទទួលបានរូបមន្តទាំងពីរ (*) និងសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 1=1។

មតិយោបល់

ជួនកាលនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍សញ្ញាណមួយទៀតត្រូវបានប្រើ - សញ្ញាសម្គាល់ដោយជួរឈរ៖

សញ្ញាណនេះគឺស្មើនឹងសញ្ញាណបន្ទាត់ខាងលើ (ហើយទទួលបានពីវាដោយការប្តូរ)។

ធាតុនៃម៉ាទ្រីសបំពាននៃការបំប្លែង affine មិនមានអត្ថន័យធរណីមាត្រច្បាស់លាស់ទេ។ ដូច្នេះ ដើម្បីអនុវត្តការគូសវាសជាក់លាក់មួយ ពោលគឺដើម្បីស្វែងរកធាតុនៃម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នាយោងទៅតាមការពិពណ៌នាធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ បច្ចេកទេសពិសេសគឺចាំបាច់។ ជាធម្មតាការសាងសង់ម៉ាទ្រីសនេះដោយអនុលោមតាមភាពស្មុគស្មាញនៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណានិងជាមួយករណីពិសេសដែលបានពិពណ៌នាខាងលើត្រូវបានបែងចែកទៅជាដំណាក់កាលជាច្រើន។

នៅដំណាក់កាលនីមួយៗ ម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានស្វែងរកដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងករណីខាងលើ A, B, C, ឬ D ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ។

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នានៃលំដាប់ទីបី។

A. ម៉ាទ្រីសបង្វិល, (បង្វិល)

ខ.ម៉ាទ្រីសពង្រីក

ខ. ម៉ាទ្រីសឆ្លុះបញ្ចាំង

ឃ.ផ្ទេរម៉ាទ្រីស (ការបកប្រែ)

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការបំប្លែង affine នៃយន្តហោះ។

ឧទាហរណ៍ ១

បង្កើតម៉ាទ្រីសបង្វិលជុំវិញចំណុច A (a,ខ) នៅជ្រុង (រូបភាពទី 9) ។

ជំហានទី 1 ។ផ្ទេរទៅវ៉ិចទ័រ - A (-a, -b) ដើម្បីតម្រឹមកណ្តាលនៃការបង្វិលជាមួយប្រភពដើម;

ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។

ជំហានទី 2 ។ការបង្វិលមុំ 

ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។

ជំហានទី 3 ។ផ្ទេរទៅវ៉ិចទ័រ A(a, ខ)ដើម្បីត្រឡប់កណ្តាលនៃការបង្វិលទៅទីតាំងមុនរបស់វា;

ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។

យើងគុណម៉ាទ្រីសក្នុងលំដាប់ដូចគ្នា ដូចដែលវាត្រូវបានសរសេរ៖

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានថាការបំប្លែងដែលចង់បាន (ក្នុងសញ្ញាណម៉ាទ្រីស) នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ធាតុនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល (ជាពិសេសនៅជួរចុងក្រោយ) មិនងាយស្រួលចងចាំទេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ មេគុណគុណទាំងបីនីមួយៗអាចបង្កើតបានយ៉ាងងាយស្រួលពីការពិពណ៌នាធរណីមាត្រនៃការគូសផែនទីដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៣

បង្កើតម៉ាទ្រីស Stretch ជាមួយនឹងកត្តា Stretch តាមអ័ក្ស x និង តាមបណ្តោយអ័ក្ស y និងកណ្តាលនៅចំណុច A (a, b) ។

ជំហានទី 1 ។ផ្ទេរទៅវ៉ិចទ័រ -А(-а, -b) ដើម្បីផ្គូផ្គងមជ្ឈមណ្ឌលលាតសន្ធឹងជាមួយប្រភពដើម

ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។

ជំហានទី 2 ។លាតសន្ធឹងតាមបណ្តោយអ័ក្សកូអរដោនេជាមួយមេគុណ  និង  រៀងគ្នា; ម៉ាទ្រីសបំប្លែងមានទម្រង់

ជំហានទី 3 ។ផ្ទេរទៅវ៉ិចទ័រ A(a, b) ដើម្បីត្រឡប់មជ្ឈមណ្ឌលលាតសន្ធឹងទៅទីតាំងមុនរបស់វា; ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នាគឺ

គុណម៉ាទ្រីសក្នុងលំដាប់ដូចគ្នា។

ទីបំផុតទទួលបាន

មតិយោបល់

ការជជែកគ្នាតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា នោះគឺជាការបំបែកការផ្លាស់ប្តូរដែលបានស្នើឡើងទៅជាដំណាក់កាលដែលគាំទ្រដោយម៉ាទ្រីស[R], [D], [M], [T], មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរ affine ណាមួយពីការពិពណ៌នាធរណីមាត្ររបស់វា។

Shift ត្រូវបានអនុវត្តដោយការបន្ថែម និងការធ្វើមាត្រដ្ឋាន និងការបង្វិលដោយការគុណ។

ការផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋាន (ការពង្រីក) ទាក់ទងនឹងប្រភពដើមមានទម្រង់៖

ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖

កន្លែងណា ឃx,ឃyគឺជាកត្តាធ្វើមាត្រដ្ឋានតាមអ័ក្ស និង

- មាត្រដ្ឋានម៉ាទ្រីស។

សម្រាប់ D > 1 ការពង្រីកកើតឡើងសម្រាប់ 0<=D<1- сжатие

បង្វិលប្លែង ទាក់ទងនឹងប្រភពដើមមានទម្រង់៖

ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖

ដែល φ គឺជាមុំនៃការបង្វិល និង

- ម៉ាទ្រីសបង្វិល។

មតិយោបល់៖ជួរឈរ និងជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសបង្វិលគឺជាវ៉ិចទ័រឯកតារាងជ្រុងទៅវិញទៅមក។ ជាការពិត ការ៉េនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រជួរដេកគឺស្មើនឹងមួយ៖

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 និង (-sinφ) (-sinφ) + cosφ cosφ = 1,

និងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រជួរដេកគឺ

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0 ។

ចាប់តាំងពីផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ ក · ខ = |ក| ·| ខ| ·cosψ, កន្លែង | ក| - ប្រវែងវ៉ិចទ័រ ក, |ខ| - ប្រវែងវ៉ិចទ័រ ខហើយ ψ គឺជាមុំវិជ្ជមានតូចបំផុតរវាងពួកវា បន្ទាប់មកពីសមភាព 0 នៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រជួរដេកពីរនៃប្រវែង 1 វាដូចខាងក្រោមថាមុំរវាងពួកវាគឺ 90 °។

1) ស្វែងរកបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់មួយ។

២) រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់៖ .

សកម្មភាពទាំងពីរនេះត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងមេរៀននេះ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ?

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ

មុំរវាងបន្ទាត់ពីរ

ប្រសិនបើបន្ទាត់កាត់កែង នោះមុំណាមួយនៃ 4 អាចត្រូវបានយកជាមុំរវាងពួកវា។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកមុំរវាងបន្ទាត់ពីរ?មានរូបមន្តការងារពីរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

រកមុំរវាងបន្ទាត់

ដំណោះស្រាយនិង វិធីសាស្រ្តមួយ។

ពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖

ដោយផ្អែកលើខាងលើ ដំណោះស្រាយត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងងាយស្រួលក្នុងពីរជំហាន៖

1) គណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃការដឹកនាំវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់:

២) យើងរកមុំរវាងបន្ទាត់ដោយរូបមន្ត៖

ចម្លើយ:

ខ្ញុំនឹងមិនលាក់ទេខ្ញុំខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់ជ្រើសរើសបន្ទាត់ត្រង់តាមលំដាប់ដែលមុំវិជ្ជមាន។ វាស្អាតជាង ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីទៀតទេ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយអ្នកអាចយក protractor និងវាស់មុំ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរ

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការជាមួយជម្រាលនិង មិនកាត់កែងបន្ទាប់មក តម្រង់ទិសមុំរវាងពួកវាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានបង្ហាញដោយសមភាព ដែលតាមវិធីនេះ ទំនាក់ទំនងដ៏មានសារៈប្រយោជន៍នៃមេគុណជម្រាលនៃបន្ទាត់កាត់កែងដូចខាងក្រោម៖ ដែលត្រូវបានប្រើក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន។

ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយគឺស្រដៀងនឹងកថាខណ្ឌមុន។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងសរសេរបន្ទាត់របស់យើងឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖

ដូច្នេះមេគុណជម្រាល៖

1) ពិនិត្យមើលថាតើបន្ទាត់កាត់កែង៖
ដូច្នេះបន្ទាត់មិនកាត់កែងទេ។

២) យើងប្រើរូបមន្ត៖

ចម្លើយ:

វិធីសាស្រ្តទីពីរគឺសមរម្យដើម្បីប្រើនៅពេលដែលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ដំបូងជាមួយនឹងជម្រាលមួយ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់បន្ទាត់មួយស្របទៅនឹងអ័ក្ស y នោះរូបមន្តមិនអាចអនុវត្តបានទាល់តែសោះព្រោះជម្រាលមិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់បន្ទាត់បែបនេះ (សូមមើលអត្ថបទ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ).

វាក៏មានដំណោះស្រាយទីបីផងដែរ។ គំនិតនេះគឺដើម្បីគណនាមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ដោយប្រើរូបមន្តដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀន ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ:

នៅទីនេះយើងមិននិយាយអំពីមុំតម្រង់ទិសទេ ប៉ុន្តែ "គ្រាន់តែអំពីមុំមួយ" នោះមានន័យថា លទ្ធផលនឹងពិតជាវិជ្ជមាន។ ការចាប់គឺថាអ្នកអាចទទួលបានមុំ obtuse (មិនមែនជាមួយដែលអ្នកត្រូវការ) ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកនឹងត្រូវធ្វើការកក់ទុកថា មុំរវាងបន្ទាត់គឺជាមុំតូចជាង ហើយដក arc cosine លទ្ធផលចេញពីរ៉ាដ្យង់ "pi" (180 ដឺក្រេ)។

អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចដោះស្រាយបញ្ហាតាមរបៀបទីបី។ ប៉ុន្តែខ្ញុំនៅតែផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យប្រកាន់ខ្ជាប់នូវវិធីសាស្រ្តតម្រង់ទិសមុំដំបូងព្រោះវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយ។

ឧទាហរណ៍ 11

រកមុំរវាងបន្ទាត់។

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ ព្យាយាមដោះស្រាយវាតាមពីរវិធី។

ម៉េចក៏រឿងនិទានស្លាប់តាមផ្លូវ…. ដោយសារតែមិនមាន Kashchei ដែលជាអមតៈ។ មានខ្ញុំហើយមិនចំហុយជាពិសេស។ និយាយឱ្យត្រង់ទៅ ខ្ញុំគិតថាអត្ថបទនឹងវែងជាងនេះ។ ប៉ុន្តែដូចគ្នាដែរ ខ្ញុំនឹងយកមួកដែលទើបនឹងបានមកជាមួយនឹងវ៉ែនតា ហើយទៅហែលទឹកក្នុងបឹងខែកញ្ញា។ បំបាត់ភាពអស់កម្លាំង និងថាមពលអវិជ្ជមានយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។

ជួបគ្នាឆាប់ៗ!

ហើយចាំថា Baba Yaga មិនត្រូវបានលុបចោល =)

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 3៖ដំណោះស្រាយ ៖ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ :

យើងនឹងចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានដោយប្រើចំនុច និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ . ចាប់តាំងពីមួយនៃកូអរដោនេវ៉ិចទ័រទិសដៅគឺសូន្យ សមីការ សរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖

ចម្លើយ :

ឧទាហរណ៍ 5៖ដំណោះស្រាយ :
1) សមីការបន្ទាត់ត្រង់ ធ្វើឱ្យពីរពិន្ទុ :

2) សមីការបន្ទាត់ត្រង់ ធ្វើឱ្យពីរពិន្ទុ :

3) មេគុណដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់អថេរ លើសពីសមាមាត្រ៖ ដូច្នេះបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា។
4) ស្វែងរកចំណុចមួយ។ :

ចំណាំ ៖ នៅទីនេះសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានគុណនឹង 5 បន្ទាប់មកលេខ 2 ត្រូវបានដកដោយពាក្យពីសមីការទី 1 ។
ចម្លើយ :

បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហអាចត្រូវបានកំណត់ជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះមិនស្របគ្នាពីរ។ ប្រសិនបើសមីការនៃយន្តហោះមួយ គឺជាសមីការនៃយន្តហោះទីពីរ នោះសមីការនៃបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ជា

នៅទីនេះ non-collinear
. សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅ បន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់

វ៉ិចទ័រដែលមិនសូន្យណាមួយដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬស្របទៅនឹងវាត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់នេះ។

ប្រសិនបើចំណុចត្រូវបានដឹង
បន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វា។
បន្ទាប់មកសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់មានទម្រង់៖

. (9)

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់

អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

ពីទីនេះ យើងទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់៖

(10)

សមីការទាំងនេះមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច
និង
មើលទៅដូចជា:

មុំរវាងបន្ទាត់

មុំរវាងបន្ទាត់

និង

គឺស្មើនឹងមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេ។ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត (4):

លក្ខខណ្ឌនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល៖

ស្ថានភាពកាត់កែងនៃយន្តហោះ៖

ចម្ងាយនៃចំណុចពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ទំ ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ
និងដោយផ្ទាល់

ពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ ចំណុចត្រូវបានគេស្គាល់
ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វា។
. បន្ទាប់មកចម្ងាយចំណុច
ពីបន្ទាត់ត្រង់ស្មើនឹងកម្ពស់នៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតឡើងលើវ៉ិចទ័រ និង
. អាស្រ័យហេតុនេះ

ស្ថានភាពផ្លូវប្រសព្វ

បន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរ

ប្រសព្វប្រសិនបើ និងប្រសិនបើ

ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។

សូមឱ្យបន្ទាត់ត្រង់
និងផ្ទះល្វែង។ ជ្រុង រវាងពួកវាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

បញ្ហា ៧៣.សរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់

(11)

ដំណោះស្រាយ. ដើម្បីសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ (9) វាចាំបាច់ត្រូវដឹងពីចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ត្រង់ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់។

ចូរយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រ ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោយសារវាត្រូវតែកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ i.e.

,
បន្ទាប់មក

ពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់យើងមាននោះ។
,
. បន្ទាប់មក

ចាប់តាំងពីចំណុច
ចំណុចណាមួយនៃបន្ទាត់ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវតែបំពេញសមីការនៃបន្ទាត់ ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍។
យើងរកឃើញកូអរដោនេពីរផ្សេងទៀតពីប្រព័ន្ធ (11):

ពីទីនេះ,
.

ដូច្នេះសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ដែលចង់បានមានទម្រង់៖

ឬ
.

បញ្ហា 74 ។

និង
.

ដំណោះស្រាយ។ពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ទីមួយ កូអរដោនេនៃចំនុចត្រូវបានគេស្គាល់
ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ
. ពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ទីពីរ កូអរដោនេនៃចំណុចត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ។
និងកូអរដោនេវ៉ិចទ័រទិសដៅ
.

ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលគឺស្មើនឹងចម្ងាយនៃចំណុចមួយ។
ពីជួរទីពីរ។ ចម្ងាយនេះត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ
.

គណនាផលិតផលវ៉ិចទ័រ
:

បញ្ហា 75 ។ស្វែងរកចំណុចមួយ។ ចំណុចស៊ីមេទ្រី
ត្រង់

ដំណោះស្រាយ. យើងសរសេរសមីការនៃយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយឆ្លងកាត់ចំណុច . ដូចវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វា។ យើងអាចយកវ៉ិចទ័រដឹកនាំជាបន្ទាត់ត្រង់។ បន្ទាប់មក
. អាស្រ័យហេតុនេះ

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចមួយ។
ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងប្លង់ P. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ដោយប្រើសមីការ (10) យើងទទួលបាន

អាស្រ័យហេតុនេះ
.

អនុញ្ញាតឱ្យ
ចំណុចស៊ីមេទ្រីទៅចំណុច
អំពីបន្ទាត់នេះ។ បន្ទាប់មកចំណុច
ចំណុចកណ្តាល
. ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចមួយ។ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់កូអរដោនេនៃផ្នែកកណ្តាល៖

,
,
.

ដូច្នេះ
.

បញ្ហា ៧៦.សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់មួយ។
និង

ក) តាមរយៈចំណុចមួយ។
;

ខ) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាសមភាពពីរ៖

នេះមានន័យថាយន្តហោះដែលចង់បានជារបស់ខ្មៅដៃនៃយន្តហោះដែលមានម៉ាស៊ីនភ្លើង ហើយសមីការរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ (8):

ក) ស្វែងរក
និង ពីស្ថានភាពដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច
ដូច្នេះ កូអរដោនេរបស់វាត្រូវតែបំពេញសមីការនៃយន្តហោះ។ ជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច
ទៅក្នុងសមីការនៃធ្នឹមនៃយន្តហោះ៖

បានរកឃើញតម្លៃ
យើងជំនួសសមីការ (12) ។ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន៖

ខ) ស្វែងរក
និង ពីលក្ខខណ្ឌដែលយន្តហោះដែលចង់បានគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ
វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលចង់បាន (សូមមើលសមីការសម្រាប់បណ្តុំនៃយន្តហោះ (12))។