ការប្រើប្រាស់សមីការគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាជាច្រើនការសាងសង់រចនាសម្ព័ន្ធនិងសូម្បីតែកីឡា។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ដោយ​មនុស្ស​តាំង​ពី​សម័យ​បុរាណ ហើយ​ចាប់​តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​របស់​ពួក​គេ​មាន​តែ​កើន​ឡើង។ ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ តោះដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម៖

គណនា \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ប្រសិនបើ \

ជាដំបូង ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាលេខមួយត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ពិជគណិត មួយទៀត - ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ វាត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងនាំមកទម្រង់ខាងក្រោម

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

កន្សោម \ និយាយថា ជាដំបូង យើងធ្វើគុណ និងបង្កើនដល់អំណាចទី ១០ តាមរូបមន្ត Moivre ។ រូបមន្តនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ យើង​ទទួល​បាន:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

ដោយប្រកាន់ខ្ជាប់នូវច្បាប់សម្រាប់គុណចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ យើងនឹងធ្វើដូចខាងក្រោម៖

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos\frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3)\]

ការធ្វើឱ្យប្រភាគ \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ត្រឹមត្រូវ យើងសន្និដ្ឋានថា "បង្វិល" 4 វេន \[(8\pi rad ។):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

ចម្លើយ៖ \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត ដែលពុះកញ្ជ្រោលដល់ការនាំយកលេខទី 2 ទៅជាទម្រង់ពិជគណិត បន្ទាប់មកធ្វើការគុណជាទម្រង់ពិជគណិត បកប្រែលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងអនុវត្តរូបមន្ត Moivre៖

តើខ្ញុំអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចតាមអ៊ីនធឺណិតនៅឯណា?

អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង https: // site ។ កម្មវិធីដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺគ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នកទៅក្នុងកម្មវិធីដោះស្រាយ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម Vkontakte របស់យើង http://vk.com/pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយចំនួនកុំផ្លិច អ្នកត្រូវយល់ពីនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន។ គោលបំណងសំខាន់នៃអត្ថបទពិនិត្យនេះគឺដើម្បីពន្យល់ពីអ្វីដែលជាចំនួនកុំផ្លិច និងវិធីសាស្រ្តបច្ចុប្បន្នសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាមូលដ្ឋានជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច។ ដូច្នេះ ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាចំនួននៃទម្រង់ z = a + ប៊ីកន្លែងណា ក, ខ- ចំនួនពិត ដែលត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច រៀងៗខ្លួន និងបញ្ជាក់ a = Re(z), b=Im(z).
ខ្ញុំត្រូវបានគេហៅថាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ខ្ញុំ 2 \u003d -1. ជាពិសេស ចំនួនពិតអាចចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញ៖ a = a + 0iដែលជាកន្លែងដែល a គឺពិតប្រាកដ។ ប្រសិនបើ a = 0និង b ≠ 0បន្ទាប់មកលេខត្រូវបានគេហៅថាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។

ឥឡូវនេះ យើងណែនាំប្រតិបត្តិការលើចំនួនកុំផ្លិច។
ពិចារណាចំនួនកុំផ្លិចពីរ z 1 = a 1 + b 1 iនិង z 2 = a 2 + b 2 i.

ពិចារណា z = a + ប៊ី.

សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចពង្រីកសំណុំនៃចំនួនពិត ដែលនៅក្នុងវេនពង្រីកសំណុំនៃលេខសនិទាន ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ខ្សែសង្វាក់នៃការបង្កប់នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាព: N - លេខធម្មជាតិ Z - ចំនួនគត់ Q - សនិទាន R - ពិតប្រាកដ C - ស្មុគស្មាញ។

តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច

ការសម្គាល់ពិជគណិត។

ពិចារណាចំនួនកុំផ្លិច z = a + ប៊ីទម្រង់នៃការសរសេរលេខស្មុគស្មាញនេះត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិត. យើង​បាន​ពិភាក្សា​អំពី​ទម្រង់​នៃ​ការ​សរសេរ​នេះ​រួច​ហើយ​នៅ​ក្នុង​ផ្នែក​មុន​។ ជាញឹកញាប់ប្រើគំនូររូបភាពខាងក្រោម

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខថាលេខ z = a + ប៊ីអាចត្រូវបានសរសេរខុសគ្នា។ វាច្បាស់ណាស់។ a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, ជាលទ្ធផល z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) ត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃសញ្ញាណពេលខ្លះគឺងាយស្រួលណាស់។ ឧទាហរណ៍ វាងាយស្រួលប្រើសម្រាប់បង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាចំនួនគត់ ពោលគឺប្រសិនបើ z = rcos(φ) + rsin(φ)iបន្ទាប់មក z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)iរូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តរបស់ De Moivre.

ទម្រង់បទបង្ហាញ។

ពិចារណា z = rcos(φ) + rsin(φ)iគឺជាចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ យើងសរសេរវាក្នុងទម្រង់ផ្សេង z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφសមភាពចុងក្រោយធ្វើតាមរូបមន្តអយល័រ ដូច្នេះយើងទទួលបានទម្រង់ថ្មីនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖ z = re iφដែលត្រូវបានគេហៅថា ការបង្ហាញ. ទម្រង់នៃការសម្គាល់នេះក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរសម្រាប់ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពល៖ z n = r n e inφនៅទីនេះ នមិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែអាចជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។ ទម្រង់នៃការសរសេរនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។

ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតខ្ពស់។

ស្រមៃថាយើងមានសមីការការ៉េ x 2 + x + 1 = 0 ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការរើសអើងនៃសមីការនេះគឺអវិជ្ជមាន ហើយវាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ប៉ុន្តែវាប្រែថាសមីការនេះមានឫសស្មុគស្មាញពីរផ្សេងគ្នា។ ដូច្នេះ ទ្រឹស្តីបទចម្បងនៃពិជគណិតខ្ពស់ជាងនេះចែងថាពហុធានៃដឺក្រេ n មានឫសស្មុគស្មាញយ៉ាងតិចមួយ។ វាកើតឡើងពីនេះដែលពហុនាមនៃដឺក្រេ n មានឫសស្មុគ្រស្មាញយ៉ាងពិតប្រាកដដោយគិតគូរពីគុណរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាលទ្ធផលដ៏សំខាន់បំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានគេអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយ។ ការរួមផ្សំដ៏សាមញ្ញនៃទ្រឹស្តីបទនេះគឺថា មានឫសគល់ n-ដឺក្រេជាក់លាក់នៃឯកភាព។

ប្រភេទការងារសំខាន់ៗ

នៅក្នុងផ្នែកនេះ ប្រភេទចម្បងនៃបញ្ហាចំនួនកុំផ្លិចសាមញ្ញនឹងត្រូវបានពិចារណា។ តាមធម្មតា បញ្ហាលើចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានបែងចែកជាប្រភេទដូចខាងក្រោម។

• អនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញលើចំនួនកុំផ្លិច។
• ការស្វែងរកឫសនៃពហុនាមក្នុងចំនួនកុំផ្លិច។
• ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពល។
• ការទាញយកឫសពីចំនួនកុំផ្លិច។
• ការអនុវត្តចំនួនកុំផ្លិច ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។

ឥឡូវនេះពិចារណាវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ។

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុតជាមួយចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកទីមួយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល នោះក្នុងករណីនេះពួកគេអាចបំលែងទៅជាទម្រង់ពិជគណិត និងអនុវត្តប្រតិបត្តិការដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលគេស្គាល់។

ការស្វែងរកឫសគល់នៃពហុវចនានុក្រមជាធម្មតាចុះមករកឫសនៃសមីការការ៉េ។ ឧបមាថាយើងមានសមីការបួនជ្រុង ប្រសិនបើការរើសអើងរបស់វាគឺមិនអវិជ្ជមាន នោះឫសរបស់វានឹងក្លាយជាការពិត ហើយត្រូវបានរកឃើញតាមរូបមន្តដែលគេស្គាល់។ បើអ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ឃ = −1∙a ២កន្លែងណា កគឺជាចំនួនជាក់លាក់ បន្ទាប់មកយើងអាចតំណាងឱ្យអ្នករើសអើងក្នុងទម្រង់ D = (ia) ២, ជាលទ្ធផល √D = i|a|ហើយបន្ទាប់មកអ្នកអាចប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់រួចហើយសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ។

ឧទាហរណ៍. ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការការ៉េដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ x 2 + x + 1 = 0 ។
រើសអើង - ឃ \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញឫសយ៉ាងងាយស្រួល៖

ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលអាចធ្វើឡើងតាមវិធីជាច្រើន។ ប្រសិនបើអ្នកចង់បង្កើនចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងទម្រង់ពិជគណិតទៅជាថាមពលតូចមួយ (2 ឬ 3) បន្ទាប់មកអ្នកអាចធ្វើវាបានដោយការគុណដោយផ្ទាល់ ប៉ុន្តែប្រសិនបើដឺក្រេធំជាង (ក្នុងបញ្ហាវាច្រើនតែធំជាង) នោះអ្នកត្រូវ សរសេរលេខនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់រួចហើយ។

ឧទាហរណ៍. ពិចារណា z = 1 + i ហើយលើកទៅថាមពលទីដប់។
យើងសរសេរ z ក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ z = √2 e iπ/4 ។
បន្ទាប់មក z 10 = (√2 អ៊ី iπ/4) 10 = 32 អ៊ី 10iπ/4.
ចូរយើងត្រលប់ទៅទម្រង់ពិជគណិតវិញ៖ z 10 = -32i ។

ការស្រង់ឫសពីលេខស្មុគ្រស្មាញគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសដោយគោរពតាមនិទស្សន្ត ដូច្នេះវាត្រូវបានធ្វើតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ដើម្បីស្រង់ឫស ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរលេខត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកឫសគល់ទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រទី 3 នៃឯកភាព។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញឫសទាំងអស់នៃសមីការ z 3 = 1 យើងនឹងរកមើលឫសក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
ជំនួសក្នុងសមីការ៖ r 3 e 3iφ = 1 ឬ r 3 e 3iφ = e 0 ។
ដូេចនះ៖ r = 1, 3φ = 0 + 2πk ដូេចនះ φ = 2πk/3។
ឫសផ្សេងៗត្រូវបានទទួលនៅφ = 0, 2π/3, 4π/3 ។
ដូច្នេះ 1, e i2π/3, e i4π/3 គឺជាឫស។
ឬក្នុងទម្រង់ពិជគណិត៖

ប្រភេទចុងក្រោយនៃបញ្ហារួមមានបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទ ហើយមិនមានវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយវាទេ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយនៃកិច្ចការបែបនេះ៖

ស្វែងរកបរិមាណ sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + ... + sin(nx).

ទោះបីជាការបង្កើតបញ្ហានេះមិនសំដៅទៅលើលេខស្មុគស្មាញក៏ដោយ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងជំនួយរបស់ពួកគេ វាអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល។ ដើម្បីដោះស្រាយវា តំណាងខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖


ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងជំនួសតំណាងនេះទៅជាផលបូកនោះ បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបូកសរុបនៃដំណើរការធរណីមាត្រធម្មតា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

លេខកុំផ្លិចត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងគណិតវិទ្យា អត្ថបទពិនិត្យឡើងវិញនេះបានពិភាក្សាអំពីប្រតិបត្តិការជាមូលដ្ឋានលើចំនួនកុំផ្លិច បានពិពណ៌នាអំពីប្រភេទនៃបញ្ហាស្តង់ដារជាច្រើន និងបានពិពណ៌នាសង្ខេបអំពីវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា សម្រាប់ការសិក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីលទ្ធភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច វាត្រូវបានណែនាំអោយ ប្រើអក្សរសិល្ប៍ឯកទេស។

អក្សរសាស្ត្រ

កន្សោម សមីការ និងប្រព័ន្ធសមីការ
ជាមួយនឹងលេខស្មុគស្មាញ

ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀន យើងនឹងសិក្សាពីសកម្មភាពធម្មតាជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច ក៏ដូចជាធ្វើជាម្ចាស់នៃបច្ចេកទេសនៃការដោះស្រាយកន្សោម សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលលេខទាំងនេះមាន។ សិក្ខាសាលានេះគឺជាការបន្តនៃមេរៀន ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវស្គាល់ប្រធានបទនោះ សូមធ្វើតាមតំណខាងលើ។ ជាការប្រសើរណាស់, ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអានត្រៀមខ្លួនបន្ថែមទៀតភ្លាមក្តៅឡើង:

ឧទាហរណ៍ ១

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ , ប្រសិនបើ . បង្ហាញលទ្ធផលជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ហើយពណ៌នាវានៅលើប្លង់ស្មុគស្មាញ។

ដំណោះស្រាយ៖ ដូច្នេះ អ្នកត្រូវជំនួសក្នុងប្រភាគ "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" អនុវត្តភាពសាមញ្ញ និងបកប្រែលទ្ធផល ចំនួនកុំផ្លិចក្នុង ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ. បូក damn ។

តើអ្វីជាវិធីល្អបំផុតដើម្បីធ្វើការសម្រេចចិត្ត? វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការដោះស្រាយជាមួយនឹងកន្សោមពិជគណិត "ប្រឌិត" ជាដំណាក់កាល។ ទីមួយ ការយកចិត្តទុកដាក់គឺមិនសូវខ្ចាត់ខ្ចាយទេ ហើយទីពីរ ប្រសិនបើកិច្ចការនោះមិនត្រូវបានបញ្ចូលទេ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកកំហុស។

1) ចូរយើងសម្រួលលេខភាគជាមុនសិន។ ជំនួសតម្លៃទៅក្នុងវា បើកតង្កៀប និងជួសជុលស្ទីលម៉ូដសក់៖

... បាទ Quasimodo បែបនេះពីចំនួនកុំផ្លិចបានប្រែក្លាយ ...

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា នៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរ វត្ថុដ៏ប៉ិនប្រសប់ទាំងស្រុងត្រូវបានប្រើប្រាស់ - ច្បាប់នៃការគុណពហុនាម និងសមភាពដែលបានក្លាយជា banal រួចទៅហើយ។ រឿងសំខាន់គឺត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នហើយកុំច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញា។

2) ឥឡូវនេះភាគបែងគឺបន្ទាប់។ ប្រសិនបើ នោះ៖

ចំណាំនៅក្នុងអ្វីដែលការបកស្រាយមិនធម្មតាត្រូវបានប្រើ រូបមន្ត​ការ៉េ​សរុប. ជាជម្រើស អ្នកអាចផ្លាស់ប្តូរនៅទីនេះ រូបមន្តរង។ ពិតណាស់ លទ្ធផលនឹងត្រូវគ្នា។

3) ហើយទីបំផុតការបញ្ចេញមតិទាំងមូល។ ប្រសិនបើ នោះ៖

ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងដោយកន្សោមដែលភ្ជាប់ទៅភាគបែង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយសម្រាប់គោលបំណងនៃការដាក់ពាក្យ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េគួរតែជាបឋម (ហើយប្រាកដណាស់!)ដាក់ផ្នែកពិតអវិជ្ជមាននៅកន្លែងទី 2៖

ហើយឥឡូវនេះច្បាប់សំខាន់៖

គ្មានព្រឹត្តិការណ៍ទេ យើងមិនប្រញាប់ទេ។! ប្រសើរជាងក្នុងការលេងវាដោយសុវត្ថិភាព និងចេញវេជ្ជបញ្ជាជំហានបន្ថែម។
នៅក្នុងកន្សោម សមីការ និងប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនកុំផ្លិច ការគណនាតាមមាត់ fraught ដូចពីមុន!

មានការកន្ត្រាក់ដ៏ល្អនៅក្នុងជំហានចុងក្រោយ ហើយនោះគ្រាន់តែជាសញ្ញាដ៏អស្ចារ្យប៉ុណ្ណោះ។

ចំណាំ ៖ និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចដោយចំនួនកុំផ្លិច 50 បានកើតឡើងនៅទីនេះ (សូមចាំថា )។ ខ្ញុំបានរក្សាភាពស្ងៀមស្ងាត់អំពីភាពខុសប្លែកគ្នានេះរហូតមកដល់ពេលនេះ ហើយយើងនឹងនិយាយអំពីវានៅពេលក្រោយបន្តិចទៀត។

ចូរបង្ហាញពីសមិទ្ធិផលរបស់យើងជាមួយនឹងអក្សរ

ចូរយើងតំណាងលទ្ធផលជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ និយាយជាទូទៅ នៅទីនេះអ្នកអាចធ្វើបានដោយគ្មានគំនូរ ប៉ុន្តែភ្លាមៗនៅពេលដែលវាត្រូវបានទាមទារ វាជាការសមហេតុផលបន្តិចក្នុងការបញ្ចប់វាឥឡូវនេះ៖

គណនាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច៖

ប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តគំនូរលើមាត្រដ្ឋាននៃ 1 ឯកតា។ \u003d 1 សង់ទីម៉ែត្រ (2 កោសិកា tetrad) បន្ទាប់មកតម្លៃលទ្ធផលគឺងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យដោយប្រើបន្ទាត់ធម្មតា។

ចូរយើងស្វែងរកអាគុយម៉ង់។ ចាប់តាំងពីលេខមានទីតាំងនៅត្រីមាសទី 2 កូអរដោណេ នោះ៖

មុំត្រូវបានពិនិត្យយ៉ាងសាមញ្ញដោយ protractor ។ នេះគឺជាការបូកដែលមិនសង្ស័យនៃគំនូរ។

ដូច្នេះ៖ - លេខដែលចង់បានក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

តោះពិនិត្យ៖
ដែលត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់។

វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកតម្លៃដែលមិនធ្លាប់ស្គាល់នៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសដោយ តារាងត្រីកោណមាត្រ.

ចម្លើយ:

ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ២

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ កន្លែងណា។ គូរលេខលទ្ធផលនៅលើប្លង់ស្មុគស្មាញ ហើយសរសេរវាជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ព្យាយាមមិនឱ្យរំលងការបង្រៀន។ ពួកវាហាក់ដូចជាសាមញ្ញ ប៉ុន្តែបើគ្មានការហ្វឹកហ្វឺន "ការចូលទៅក្នុងស្រះទឹក" មិនមែនគ្រាន់តែងាយស្រួលនោះទេ ប៉ុន្តែងាយស្រួលណាស់។ ដូច្នេះ ចូរយើងចាប់ដៃយើងទៅ។

ជារឿយៗបញ្ហាអនុញ្ញាតឱ្យមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាប្រសិនបើ,

ដំណោះស្រាយ៖ ជាដំបូង ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើលក្ខខណ្ឌដើម - លេខមួយត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ពិជគណិត និងមួយទៀតជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងសូម្បីតែដឺក្រេ។ ចូរ​យើង​សរសេរ​វា​ឡើង​វិញ​ភ្លាមៗ​ក្នុង​ទម្រង់​ដែល​ធ្លាប់​ស្គាល់​ជាង៖ .

តើការគណនាគួរត្រូវបានអនុវត្តក្នុងទម្រង់បែបណា? កន្សោម ជាក់ស្តែង ពាក់ព័ន្ធនឹងការគុណដំបូង និងការបង្កើនបន្ថែមទៀតដល់អំណាចទី 10 នៅក្នុង រូបមន្ត De Moivreដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ដូច្នេះវាហាក់ដូចជាឡូជីខលជាងក្នុងការបំប្លែងលេខទីមួយ។ ស្វែងរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា៖

យើងប្រើក្បួនគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖
ប្រសិនបើ នោះ

ការធ្វើឱ្យប្រភាគត្រឹមត្រូវយើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាវាអាចទៅរួចក្នុងការ "បង្វិល" 4 វេន (រីករាយ។ ):

វិធីទីពីរដើម្បីដោះស្រាយគឺការបកប្រែលេខទី 2 ទៅជាទម្រង់ពិជគណិត អនុវត្តការគុណជាទម្រង់ពិជគណិត បកប្រែលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ហើយប្រើរូបមន្ត De Moivre ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសកម្មភាព "បន្ថែម" មួយ។ អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចធ្វើតាមដំណោះស្រាយដល់ទីបញ្ចប់ ហើយត្រូវប្រាកដថាលទ្ធផលត្រូវគ្នា។

លក្ខខណ្ឌមិននិយាយអ្វីអំពីទម្រង់នៃចំនួនកុំផ្លិចលទ្ធផល ដូច្នេះ៖

ចម្លើយ:

ប៉ុន្តែ "សម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត" ឬតាមតម្រូវការ លទ្ធផលអាចត្រូវបានតំណាងយ៉ាងងាយស្រួលក្នុងទម្រង់ពិជគណិត:

ដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 4

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ

នៅទីនេះវាចាំបាច់ក្នុងការចងចាំ សកម្មភាពជាមួយអំណាចទោះបីជាមិនមានច្បាប់មានប្រយោជន៍ណាមួយនៅក្នុងសៀវភៅណែនាំបណ្តុះបណ្តាលក៏ដោយ វានៅទីនេះ៖ ។

ហើយចំណាំសំខាន់មួយទៀត៖ ឧទាហរណ៍អាចត្រូវបានដោះស្រាយជាពីររចនាប័ទ្ម។ ជម្រើសដំបូងគឺធ្វើការជាមួយ ពីរលេខហើយដាក់ជាមួយប្រភាគ។ ជម្រើសទីពីរគឺតំណាងឱ្យលេខនីមួយៗក្នុងទម្រង់ កូតានៃចំនួនពីរ: និង កម្ចាត់រឿងបួន. តាមទស្សនៈផ្លូវការ វាមិនមានអ្វីប្លែកពីវិធីសម្រេចចិត្ត ប៉ុន្តែវាមានអត្ថន័យខុសគ្នា! សូមពិចារណាឱ្យបានល្អ៖
គឺជាចំនួនកុំផ្លិច;
គឺជាកូតានៃចំនួនកុំផ្លិចពីរ ( និង ) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អាស្រ័យលើបរិបទ ក៏អាចនិយាយបានថា លេខដែលតំណាងថាជាកូតានៃចំនួនកុំផ្លិច។

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

កន្សោមគឺល្អ ប៉ុន្តែសមីការគឺល្អជាង៖

សមីការដែលមានមេគុណស្មុគស្មាញ

តើពួកគេខុសគ្នាពីសមីការ "ធម្មតា" យ៉ាងដូចម្តេច? មេគុណ =)

ដោយគិតពីការកត់សម្គាល់ខាងលើ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយឧទាហរណ៍នេះ៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ដោះស្រាយសមីការ

និងបុព្វកថាភ្លាមៗក្នុងការស្វែងរកយ៉ាងក្តៅគគុក៖ ដំបូងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការត្រូវបានដាក់ជាកូតានៃចំនួនកុំផ្លិចពីរ (និង 13) ហើយដូច្នេះវានឹងជាទម្រង់អាក្រក់ក្នុងការសរសេរលក្ខខណ្ឌឡើងវិញជាមួយនឹងលេខ។ (ទោះបីជាវាមិនបង្កឱ្យមានកំហុសក៏ដោយ). ដោយវិធីនេះ ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានគេមើលឃើញកាន់តែច្បាស់នៅក្នុងប្រភាគ - ប្រសិនបើនិយាយដោយទាក់ទងគ្នា នោះតម្លៃនេះត្រូវបានយល់ជាចម្បងថាជា ឫសស្មុគ្រស្មាញ "ពេញលេញ" នៃសមីការហើយមិនមែនជាផ្នែកនៃលេខទេ ហើយសូម្បីតែច្រើនទៀត - មិនមែនជាផ្នែកនៃលេខទេ !

ដំណោះស្រាយជាគោលការណ៍ វាក៏អាចត្រូវបានរៀបចំជាជំហានៗ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ហ្គេមនេះមិនសមនឹងទៀននោះទេ។ ភារកិច្ចដំបូងគឺធ្វើឱ្យអ្វីៗទាំងអស់ដែលមិនមាន "Z" មិនស្គាល់ជាលទ្ធផលដែលសមីការនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់:

ធ្វើឱ្យប្រភាគមធ្យមមានភាពសាមញ្ញដោយទំនុកចិត្ត៖

យើងផ្ទេរលទ្ធផលទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយស្វែងរកភាពខុសគ្នា៖

ចំណាំ ៖ ហើយម្តងទៀតខ្ញុំទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកទៅចំណុចដ៏មានអត្ថន័យ - នៅទីនេះយើងមិនបានដកលេខចេញពីចំនួននោះទេ ប៉ុន្តែបានបូកសរុបប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតា! វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថារួចទៅហើយនៅក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយវាមិនត្រូវបានហាមឃាត់មិនឱ្យធ្វើការជាមួយលេខ: ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា រចនាប័ទ្មបែបនេះគឺមានគ្រោះថ្នាក់ជាងមានប្រយោជន៍ =)

យោងទៅតាមក្បួនសមាមាត្រយើងបង្ហាញ "z":

ឥឡូវនេះ អ្នកអាចបែងចែក និងគុណម្តងទៀតដោយកន្សោមជាប់ ប៉ុន្តែចំនួនស្រដៀងគ្នាគួរឱ្យសង្ស័យនៃភាគយក និងភាគបែង ណែនាំចលនាខាងក្រោម៖

ចម្លើយ:

សម្រាប់គោលបំណងផ្ទៀងផ្ទាត់ យើងជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដើម ហើយអនុវត្តការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

- ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើមត្រូវបានទទួល ដូច្នេះឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

…ឥឡូវ​នេះ… ខ្ញុំនឹង​ជ្រើសរើស​អ្វី​ដែល​គួរ​ឲ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ជាង​នេះ​សម្រាប់​អ្នក… បន្ត៖

ឧទាហរណ៍ ៦

ដោះស្រាយសមីការ

សមីការនេះកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ហើយដូច្នេះគឺលីនេអ៊ែរ។ ខ្ញុំ​គិត​ថា​គន្លឹះ​ច្បាស់​លាស់​ទៅ!

ជាការពិតណាស់... តើអ្នកអាចរស់នៅដោយគ្មានវាដោយរបៀបណា?

សមីការបួនជ្រុងជាមួយមេគុណស្មុគស្មាញ

នៅលើមេរៀន លេខស្មុគស្មាញសម្រាប់អត់ចេះសោះយើងបានរៀនថាសមីការការ៉េដែលមានមេគុណពិតអាចមានឫសស្មុគ្រស្មាញ បន្ទាប់មកសំណួរធម្មជាតិកើតឡើង៖ ហេតុអ្វីបានជាការពិត មេគុណខ្លួនឯងមិនអាចស្មុគស្មាញ? ខ្ញុំនឹងបង្កើតករណីទូទៅ៖

សមីការបួនជ្រុងជាមួយមេគុណស្មុគស្មាញតាមអំពើចិត្ត (ជាពិសេស 1 ឬ 2 ដែលឬទាំងបីអាចមានសុពលភាព)វា​មាន ពីរនិងពីរប៉ុណ្ណោះ។ឫសស្មុគស្មាញ (ប្រហែលជាមួយណា ឬទាំងពីរមានសុពលភាព). ខណៈពេលដែលឫស (ទាំងពិត និងជាមួយផ្នែកស្រមើលស្រមៃមិនមែនសូន្យ)អាចស្របគ្នា (ច្រើន) ។

សមីការការ៉េដែលមានមេគុណស្មុគស្មាញត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា។ សមីការ "សាលា"ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាមួយចំនួននៅក្នុងបច្ចេកទេសគណនា៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ

ដំណោះស្រាយ៖ ឯកតាស្រមើស្រមៃគឺនៅកន្លែងដំបូង ហើយជាគោលការណ៍ អ្នកអាចកម្ចាត់វាបាន (គុណទាំងសងខាងដោយ)ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានតម្រូវការពិសេសសម្រាប់រឿងនេះទេ។

ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងសរសេរមេគុណ៖

យើងមិនបាត់បង់ "ដក" នៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃទេ! ... វា​ប្រហែល​ជា​មិន​ច្បាស់​សម្រាប់​អ្នក​រាល់​គ្នា - ខ្ញុំ​នឹង​សរសេរ​សមីការ​ឡើង​វិញ​ក្នុង​ទម្រង់​ស្តង់ដារ :

ចូរយើងគណនាការរើសអើង៖

នេះគឺជាឧបសគ្គចម្បង៖

ការអនុវត្តរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ការទាញយកឫស (សូមមើលកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃអត្ថបទ លេខស្មុគស្មាញសម្រាប់អត់ចេះសោះ) មានភាពស្មុគស្មាញដោយការលំបាកធ្ងន់ធ្ងរដែលទាក់ទងនឹងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចរ៉ាឌីកាល់ (មើលដោយខ្លួនឯង). ប៉ុន្តែមានវិធី "ពិជគណិត" មួយទៀត! យើងនឹងស្វែងរកឫសក្នុងទម្រង់៖

ចូរយើងធ្វើការ៉េទាំងសងខាង៖

ចំនួនកុំផ្លិចពីរគឺស្មើគ្នា ប្រសិនបើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេស្មើគ្នា។ ដូច្នេះយើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ

ប្រព័ន្ធគឺងាយស្រួលដោះស្រាយដោយជ្រើសរើស (វិធីដ៏ហ្មត់ចត់ជាងនេះ គឺត្រូវបញ្ចេញពីសមីការទី 2 - ជំនួសក្នុងសមីការទី 1 ទទួលបាន និងដោះស្រាយសមីការ biquadratic). សន្មតថាអ្នកនិពន្ធនៃបញ្ហាមិនមែនជាបិសាចទេយើងសន្មតថាជាចំនួនគត់។ ពីសមីការទី 1 វាធ្វើតាមថា "x" ម៉ូឌុលច្រើនជាង "y" ។ លើសពីនេះទៀតផលិតផលវិជ្ជមានប្រាប់យើងថាអ្វីដែលមិនស្គាល់គឺជាសញ្ញាដូចគ្នា។ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ហើយផ្តោតលើសមីការទី 2 យើងសរសេរគូទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងវា៖

ជាក់ស្តែង ពីរគូចុងក្រោយបំពេញសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធ ដូច្នេះ៖

ការត្រួតពិនិត្យកម្រិតមធ្យមនឹងមិនប៉ះពាល់ដល់៖

ដែលត្រូវត្រួតពិនិត្យ។

ក្នុងនាមជាឫស "ធ្វើការ" អ្នកអាចជ្រើសរើស ណាមួយ។អត្ថន័យ។ វាច្បាស់ណាស់ថាវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីយកកំណែដោយគ្មាន "គុណវិបត្តិ":

យើង​រក​ឃើញ​ឫស​មិន​ភ្លេច ដោយ​វិធី​នេះ​ថា ៖

ចម្លើយ:

សូមពិនិត្យមើលថាតើឫសដែលបានរកឃើញបំពេញសមីការ :

1) ជំនួស៖

សមភាពត្រឹមត្រូវ។

2) ជំនួស៖

សមភាពត្រឹមត្រូវ។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

បំផុសគំនិតដោយបញ្ហាទើបតែពិភាក្សា៖

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ

ចំណាំថាឫសការ៉េនៃ ស្មុគស្មាញសុទ្ធសាធលេខត្រូវបានស្រង់ចេញយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ និងប្រើរូបមន្តទូទៅ កន្លែងណា ដូច្នេះវិធីសាស្រ្តទាំងពីរត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងគំរូ។ ការកត់សម្គាល់មានប្រយោជន៍ទីពីរទាក់ទងនឹងការពិតដែលថាការទាញយកបឋមនៃឫសពីថេរមិនធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយងាយស្រួលទាល់តែសោះ។

ហើយឥឡូវនេះអ្នកអាចសម្រាកបាន - ក្នុងឧទាហរណ៍នេះអ្នកនឹងទទួលបានការភ័យខ្លាចបន្តិច :)

ឧទាហរណ៍ ៩

ដោះស្រាយសមីការ និងពិនិត្យ

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

កថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃអត្ថបទត្រូវបានឧទ្ទិសដល់

ប្រព័ន្ធនៃសមីការជាមួយចំនួនកុំផ្លិច

យើងបន្ធូរអារម្មណ៍ ហើយ... យើងមិនធុញថប់ =) ចូរយើងពិចារណាករណីសាមញ្ញបំផុត - ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។ បង្ហាញចម្លើយជាទម្រង់ពិជគណិត និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ពិពណ៌នាអំពីឫសនៅក្នុងគំនូរ។

ដំណោះស្រាយ៖ លក្ខខណ្ឌខ្លួនវាបង្ហាញថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ នោះគឺយើងត្រូវស្វែងរកលេខពីរដែលពេញចិត្ត ដល់គ្នា។សមីការប្រព័ន្ធ។

ប្រព័ន្ធនេះពិតជាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀប "ក្មេង" (បង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀត) ប៉ុន្តែវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើ រូបមន្តរបស់ Cramer. គណនា កត្តាកំណត់សំខាន់ប្រព័ន្ធ៖

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថា វាជាការប្រសើរជាងកុំប្រញាប់ប្រញាល់ និងចេញវេជ្ជបញ្ជាជំហានឱ្យបានលម្អិតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន៖

យើងគុណភាគយក និងភាគបែងដោយឯកតាស្រមើលស្រមៃ ហើយទទួលបានឫសទី 1៖

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖

ផ្នែកខាងស្តាំដែលត្រូវគ្នា p.t.p.

តោះអនុវត្តគំនូរ៖

យើងតំណាងឱ្យឫសក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ៖

1) - តង់សង់ធ្នូនៃ "ពីរ" ត្រូវបានគណនា "មិនល្អ" ដូច្នេះយើងទុកវាដូចនេះ: