គ្មានអ្វីក្រៅពីសមាមាត្រនៃស៊ីនុសនៃមុំនៃឧប្បត្តិហេតុទៅនឹងស៊ីនុសនៃមុំចំណាំងបែរ
សន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរអាស្រ័យលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសារធាតុ និងប្រវែងរលកវិទ្យុសកម្ម សម្រាប់សារធាតុមួយចំនួន សន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរប្រែប្រួលយ៉ាងខ្លាំងនៅពេលដែលប្រេកង់នៃរលកអេឡិចត្រូម៉ាញេទិកផ្លាស់ប្តូរពីប្រេកង់ទាបទៅជាអុបទិក និងបន្ថែមទៀត ហើយក៏អាចផ្លាស់ប្តូរកាន់តែខ្លាំងនៅក្នុងជាក់លាក់ផងដែរ។ តំបន់នៃមាត្រដ្ឋានប្រេកង់។ លំនាំដើមជាធម្មតាជាជួរអុបទិក ឬជួរដែលកំណត់ដោយបរិបទ។
តម្លៃនៃ n, ceteris paribus ជាធម្មតាតិចជាងការរួបរួមនៅពេលដែលធ្នឹមឆ្លងកាត់ពីឧបករណ៍ផ្ទុកដង់ស៊ីតេទៅមធ្យមក្រាស់ ហើយច្រើនជាងការរួបរួមនៅពេលដែលធ្នឹមឆ្លងកាត់ពីឧបករណ៍ផ្ទុកក្រាស់ទៅមធ្យមក្រាស់ (ឧទាហរណ៍ពី ឧស្ម័ន ឬពីកន្លែងទំនេរទៅជារាវ ឬរឹង)។ មានករណីលើកលែងចំពោះច្បាប់នេះ ហើយដូច្នេះវាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅឧបករណ៍ផ្ទុកអុបទិកក្រាស់ជាង ឬតិចជាងមួយផ្សេងទៀត (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយដង់ស៊ីតេអុបទិកជារង្វាស់នៃភាពស្រអាប់របស់ឧបករណ៍ផ្ទុក)។
តារាងបង្ហាញតម្លៃសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរមួយចំនួនសម្រាប់ប្រព័ន្ធផ្សព្វផ្សាយមួយចំនួន៖
ឧបករណ៍ផ្ទុកដែលមានសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរខ្ពស់ត្រូវបានគេនិយាយថាមានដង់ស៊ីតេអុបទិក។ សន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរនៃប្រព័ន្ធផ្សព្វផ្សាយផ្សេងៗទាក់ទងនឹងខ្យល់ត្រូវបានវាស់ជាធម្មតា។ សន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរដាច់ខាតនៃខ្យល់គឺ . ដូច្នេះសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរដាច់ខាតនៃមជ្ឈដ្ឋានណាមួយគឺទាក់ទងទៅនឹងសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែររបស់វាទាក់ទងទៅនឹងខ្យល់តាមរូបមន្ត៖
សន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរអាស្រ័យទៅលើរលកពន្លឺ ពោលគឺនៅលើពណ៌របស់វា។ ពណ៌ផ្សេងគ្នាត្រូវគ្នាទៅនឹងសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរផ្សេងគ្នា។ បាតុភូតនេះហៅថា ការបែកខ្ញែក ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងអុបទិក។
ធនធានឌីជីថលអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការបង្រៀនក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃកម្មវិធីនៃសាលាមូលដ្ឋាន និងមធ្យមសិក្សា (កម្រិតមូលដ្ឋាន)។
គំរូគឺជាគំនូរជីវចលលើប្រធានបទ "ច្បាប់នៃចំណាំងផ្លាតពន្លឺ"។ ប្រព័ន្ធទឹក - ខ្យល់ត្រូវបានពិចារណា។ ដំណើរនៃឧប្បត្តិហេតុ កាំរស្មីដែលឆ្លុះបញ្ចាំង និងឆ្លុះបញ្ចាំងត្រូវបានគូរ។
ទ្រឹស្តីសង្ខេប
ច្បាប់នៃការឆ្លុះនៃពន្លឺ រកឃើញការពន្យល់នៅក្នុងរូបវិទ្យារលក។ យោងទៅតាមគោលគំនិតនៃរលក ចំណាំងបែរគឺជាផលវិបាកនៃការផ្លាស់ប្តូរល្បឿននៃការសាយភាយរលក កំឡុងពេលផ្លាស់ប្តូរពីឧបករណ៍ផ្ទុកមួយទៅឧបករណ៍ផ្ទុកមួយទៀត។ អត្ថន័យរូបវន្តនៃសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរ គឺជាសមាមាត្រនៃល្បឿននៃការសាយភាយរលកក្នុងមធ្យមទីមួយ υ 1 ទៅនឹងល្បឿននៃការសាយភាយរបស់ពួកគេនៅក្នុងមធ្យមទីពីរ υ 2:
ធ្វើការជាមួយគំរូ
ប៊ូតុងចាប់ផ្តើម/បញ្ឈប់អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកចាប់ផ្តើម ឬផ្អាកការពិសោធន៍ ប៊ូតុងកំណត់ឡើងវិញអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកចាប់ផ្តើមការពិសោធន៍ថ្មី។
គំរូនេះអាចត្រូវបានប្រើជាឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននៃការសិក្សាសម្ភារៈថ្មីលើប្រធានបទ "ច្បាប់នៃការឆ្លុះបញ្ចាំងពន្លឺ" ។ ដោយប្រើគំរូនេះជាឧទាហរណ៍ សិស្សអាចពិចារណាពីផ្លូវនៃធ្នឹម នៅពេលផ្លាស់ទីពីមជ្ឈដ្ឋានអុបទិកតិចទៅក្រាស់ជាងអុបទិក។
ការធ្វើផែនការមេរៀនដោយប្រើគំរូ
ប្រធានបទ "ការឆ្លុះបញ្ចាំងនៃពន្លឺ"
គោលបំណងនៃមេរៀន៖ ដើម្បីពិចារណាអំពីបាតុភូតនៃការឆ្លុះនៃពន្លឺ ផ្លូវនៃធ្នឹមកំឡុងពេលផ្លាស់ប្តូរពីមជ្ឈដ្ឋានមួយទៅមជ្ឈដ្ឋានមួយទៀត។
|
|||||||||||||||||||||||||
|
តារាងទី 1 ។ |
ឧទាហរណ៍នៃសំណួរនិងភារកិច្ច
- ពន្លឺឆ្លងកាត់ពីកន្លែងទំនេរទៅកញ្ចក់ ខណៈពេលដែលមុំនៃឧប្បត្តិហេតុគឺ α មុំនៃចំណាំងបែរគឺ β ។ តើល្បឿននៃពន្លឺនៅក្នុងកញ្ចក់មានកម្រិតប៉ុន្មាន ប្រសិនបើល្បឿននៃពន្លឺនៅក្នុងកន្លែងទំនេរគឺ c?
- សន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរនៃទឹក កញ្ចក់ និងពេជ្រដែលទាក់ទងទៅនឹងខ្យល់គឺ 1.33, 1.5, 2.42 រៀងគ្នា។ តើក្នុងចំណោមសារធាតុទាំងនេះមួយណាដែលមុំកំណត់នៃការឆ្លុះបញ្ចាំងសរុបមានតម្លៃអប្បបរមា?
- អ្នកមុជទឹកពិនិត្យមើលពីបាតឡើងលើពីទឹកដោយចង្កៀងព្យួរនៅកម្ពស់ ១ ម៉ែត្រពីផ្ទៃទឹក។ តើកម្ពស់ជាក់ស្តែងនៃចង្កៀងនៅក្រោមទឹកគឺជាអ្វី?
ក្នុងករណីមួយចំនួន ដោយការស៊ើបអង្កេតមេគុណនៃស៊េរីនៃទម្រង់ (C) ឬវាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលស៊េរីទាំងនេះបញ្ចូលគ្នា (ប្រហែលជាលើកលែងតែចំណុចនីមួយៗ) និងជាស៊េរី Fourier សម្រាប់ផលបូករបស់ពួកគេ (សូមមើលឧទាហរណ៍ លេខមុន ) ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីទាំងអស់នេះ សំណួរកើតឡើងដោយធម្មជាតិ
របៀបស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីទាំងនេះ ឬច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត របៀបបង្ហាញពួកវាក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋម ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់បែបនេះទាល់តែសោះ។ សូម្បីតែអយល័រ (និង Lagrange ផងដែរ) បានប្រើដោយជោគជ័យនូវមុខងារវិភាគនៃអថេរស្មុគស្មាញ ដើម្បីបូកសរុបស៊េរីត្រីកោណមាត្រក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយ។ គំនិតនៅពីក្រោយវិធីសាស្ត្រអយល័រមានដូចខាងក្រោម។
ចូរយើងសន្មត់ថា សម្រាប់សំណុំមេគុណជាក់លាក់មួយ ស៊េរី (C) និងបម្លែងទៅជាមុខងារគ្រប់ទីកន្លែងក្នុងចន្លោះពេល ដោយមិនរាប់បញ្ចូលតែចំណុចនីមួយៗ។ ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាអំពីស៊េរីថាមពលដែលមានមេគុណដូចគ្នា ដែលត្រូវបានរៀបចំនៅក្នុងថាមពលនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។
នៅលើបរិមាត្រនៃរង្វង់ឯកតា ពោលគឺនៅ ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាដោយការសន្មត់ ដោយមិនរាប់បញ្ចូលចំណុចនីមួយៗ៖
ក្នុងករណីនេះ យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិដែលគេស្គាល់ច្បាស់នៃស៊េរីថាមពល ស៊េរី (5) ប្រាកដជាបញ្ចូលគ្នា ពោលគឺនៅខាងក្នុងរង្វង់ឯកតា ដោយកំណត់មុខងារជាក់លាក់នៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។ ការប្រើប្រាស់ដែលគេស្គាល់ចំពោះយើង [សូមមើល។ § 5 នៃជំពូកទី XII] នៃការពង្រីកអនុគមន៍បឋមនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ ជាញឹកញាប់អាចធ្វើទៅបានដើម្បីកាត់បន្ថយអនុគមន៍ទៅពួកវា។ បន្ទាប់មកសម្រាប់យើងមាន:
ហើយតាមទ្រឹស្តីបទអេបិល ដរាបណាស៊េរី (៦) ចូលគ្នា ផលបូករបស់វាត្រូវបានទទួលជាដែនកំណត់
ជាធម្មតាដែនកំណត់នេះគឺស្មើនឹងដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាមុខងារក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយ
ជាឧទាហរណ៍សូមឱ្យស៊េរី
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុននាំឱ្យមានការសន្និដ្ឋានថាស៊េរីទាំងពីរនេះបញ្ចូលគ្នា (ទីមួយ ដោយមិនរាប់បញ្ចូលចំណុច 0 និង
បម្រើជាស៊េរី Fourier សម្រាប់មុខងារដែលពួកគេកំណត់។ ប៉ុន្តែតើមុខងារទាំងនេះជាអ្វី? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ យើងបង្កើតជាស៊េរី
ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងស៊េរីលោការីត ផលបូករបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងងាយស្រួល៖
អាស្រ័យហេតុនេះ
ឥឡូវនេះការគណនាងាយស្រួលផ្តល់ឱ្យ:
ដូច្នេះម៉ូឌុលនៃកន្សោមនេះគឺ ហើយអាគុយម៉ង់គឺ .
ដូច្នេះហើយទីបំផុត
លទ្ធផលទាំងនេះគឺស៊ាំនឹងយើងហើយសូម្បីតែទទួលបានម្តងដោយមានជំនួយពីការពិចារណា "ស្មុគស្មាញ" ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីទីមួយ យើងបានចាប់ផ្តើមពីមុខងារ និង ហើយនៅក្នុងទីពីរ - ពីមុខងារវិភាគ។ នៅទីនេះ ជាលើកដំបូង ស៊េរីខ្លួនឯងបានបម្រើជាចំណុចចាប់ផ្តើម។ អ្នកអាននឹងរកឃើញឧទាហរណ៍បន្ថែមទៀតនៃប្រភេទនេះនៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់។
យើងគូសបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា គេត្រូវតែប្រាកដជាមុននៃការបញ្ចូលគ្នា និងស៊េរី (C) ហើយដើម្បីឱ្យមានសិទ្ធិកំណត់ផលបូករបស់ពួកគេដោយប្រើសមភាពកំណត់ (7) ។ អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់មួយនៅខាងស្តាំដៃនៃសមភាពនេះមិនទាន់អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាស៊េរីដែលបានរៀបរាប់បញ្ចូលគ្នានោះទេ។ ដើម្បីបង្ហាញវាជាមួយឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាស៊េរី
ចូរយើងបង្ហាញថាមុខងារតាមកាលកំណត់ស្ទើរតែទាំងអស់អាចត្រូវបានតំណាងជាស៊េរីដែលសមាជិករបស់ពួកគេជាអាម៉ូនិកសាមញ្ញ ដោយប្រើអ្វីដែលគេហៅថាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។
និយមន័យ។ ស៊េរីត្រីកោណមាត្រគឺជាស៊េរីមុខងារនៃទម្រង់
តើលេខពិតនៅឯណា ក 0 , មួយ n , b nត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃស៊េរី។
ពាក្យឥតគិតថ្លៃនៃស៊េរីត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់សម្រាប់ឯកសណ្ឋាននៃរូបមន្តដែលទទួលបាននៅពេលក្រោយ។
សំណួរពីរចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយ៖
1) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វីដែលមានមុខងារ f(x)ជាមួយនឹងរយៈពេល 2π អាចត្រូវបានពង្រីកជាស៊េរី (5.2.1)?
2) របៀបគណនាហាងឆេង ក 0 ,… មួយ n , b n ?
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសំណួរទីពីរ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x)គឺបន្តនៅចន្លោះពេល និងមានរយៈពេល T=2π. យើងបង្ហាញរូបមន្តដែលយើងនឹងត្រូវការក្នុងអ្វីដែលដូចខាងក្រោម។
សម្រាប់ចំនួនគត់ ចាប់តាំងពីអនុគមន៍គឺស្មើ។
សម្រាប់ទាំងមូល។
(មនិង នលេខទាំងមូល)
នៅ ( មនិង នចំនួនគត់) អាំងតេក្រាលនីមួយៗ (III, IV, V) ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាល (I) ឬ (II) ។ ប្រសិនបើក្នុងរូបមន្ត (IV) យើងទទួលបាន៖
សមភាព (V) ត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា។
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាមុខងារបានប្រែទៅជាដូចដែលការពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier រួមបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់វា នោះគឺ
(ចំណាំថាការបូកសរុបគឺលើសពីសន្ទស្សន៍ ន).
ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះតំណាងឱ្យផលបូករបស់វា។ ស(x)។
ការធ្វើសមាហរណកម្មតាមកាលកំណត់ (ស្របច្បាប់ដោយសារតែការសន្មត់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី) ក្នុងជួរពីដល់ការផ្តល់
ចាប់តាំងពីពាក្យទាំងអស់លើកលែងតែទីមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ (ទំនាក់ទំនង I, II) ។ ពីទីនេះយើងរកឃើញ
គុណ (5.2.2) ដោយ ( ម=1,2,…) និងការបញ្ចូលពាក្យដោយពាក្យក្នុងចន្លោះពីទៅមួយ យើងរកឃើញមេគុណ មួយ n.
នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព ពាក្យទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ លើកលែងតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ m=n(ទំនាក់ទំនង IV, V), ដូច្នេះយើងទទួលបាន
គុណ (5.2.2) ដោយ ( ម\u003d 1,2, ... ) និងការបញ្ចូលពាក្យតាមពាក្យក្នុងចន្លោះពីទៅមួយ យើងរកឃើញមេគុណដូចគ្នា b n
តម្លៃ - កំណត់ដោយរូបមន្ត (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណ Fourier ហើយស៊េរីត្រីកោណមាត្រ (5.2.2) គឺជាស៊េរី Fourier សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ f(x)
ដូច្នេះ, យើងទទួលបាន decomposition នៃមុខងារ f(x)នៅក្នុងស៊េរី Fourier
ចូរយើងត្រលប់ទៅសំណួរទីមួយវិញ ហើយរកមើលថាតើលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីដែលមុខងារគួរតែមាន f(x)ដូច្នេះ ស៊េរី Fourier ដែលបានសាងសង់ត្រូវបានរួមគ្នា ហើយផលបូកនៃស៊េរីនឹងត្រូវស្មើនឹង f(x).
និយមន័យ។ អនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានគេហៅថាជាបន្តបន្ទាប់គ្នា។ប្រសិនបើវាបន្ត ឬមានចំនួនកំណត់នៃចំណុចមិនបន្តនៃប្រភេទទីមួយ។
និយមន័យ។ អនុគមន៍ f(x)ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះពេលត្រូវបានគេហៅថា monotonic ដុំប្រសិនបើផ្នែកអាចត្រូវបានបែងចែកដោយពិន្ទុទៅជាចំនួនកំណត់នៃចន្លោះពេល ដែលមុខងារនីមួយៗផ្លាស់ប្តូរឯកតា (បង្កើន ឬបន្ថយ)។
យើងនឹងពិចារណាមុខងារ f(x), មានរដូវ T=2π. មុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា 2 ភី- តាមកាលកំណត់។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដែលតំណាងឱ្យលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។
ទ្រឹស្តីបទ Dirichlet(ទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង) . ប្រសិនបើ ក 2 ភី- មុខងារតាមកាលកំណត់ f(x)នៅលើផ្នែកមួយគឺបន្តបន្ទាប់គ្នាជាដុំៗ និងជាដុំមូលនិមួយៗ បន្ទាប់មកស៊េរី Fourier ដែលត្រូវគ្នានឹងអនុគមន៍បញ្ចូលគ្នានៅលើផ្នែកនេះ ហើយក្នុងករណីនេះ៖
1. នៅចំណុចនៃការបន្តនៃអនុគមន៍មួយ ផលបូកនៃស៊េរីស្របគ្នាជាមួយនឹងមុខងារខ្លួនវាផ្ទាល់ S(x)=f(x);
2. នៅគ្រប់ចំណុច x 0ការបំបែកមុខងារ f(x)ផលបូកនៃស៊េរីគឺ
ទាំងនោះ។ មធ្យមនព្វន្ធនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំណុច x 0 ;
3. នៅចំណុច (នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក) ផលបូកនៃស៊េរី Fourier គឺ ,
ទាំងនោះ។ មធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់មានទំនោរទៅចំណុចទាំងនេះពីខាងក្នុងនៃចន្លោះពេល។
ចំណាំ: ប្រសិនបើមុខងារ f(x)ជាមួយនឹងកំឡុងពេល 2π គឺបន្ត និងអាចខុសគ្នាក្នុងចន្លោះពេលទាំងមូល ហើយតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលគឺស្មើគ្នា ពោលគឺដោយសារតាមកាលកំណត់ មុខងារនេះគឺបន្តនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល និងសម្រាប់ណាមួយ Xផលបូកនៃស៊េរី Fourier របស់វាគឺដូចគ្នាទៅនឹង f(x).
ដូច្នេះ ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅលើចន្លោះពេលមួយ។ f(x)បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Dirichlet បន្ទាប់មកសមភាពកើតឡើងនៅចន្លោះពេល (ការពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier):
មេគុណត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត (5.2.3) - (5.2.5) ។
លក្ខខណ្ឌ Dirichlet ត្រូវបានពេញចិត្តដោយមុខងារភាគច្រើនដែលកើតឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងកម្មវិធីរបស់វា។
ស៊េរី Fourier ដូចជាស៊េរីថាមពលត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃតម្លៃមុខងារ។ ប្រសិនបើការពង្រីកមុខងារ f(x)ទៅក្នុងស៊េរីត្រីកោណមាត្រកើតឡើង បន្ទាប់មកអ្នកតែងតែអាចប្រើសមភាពប្រហាក់ប្រហែល ដោយជំនួសមុខងារនេះជាមួយនឹងផលបូកនៃអាម៉ូនិកជាច្រើន ពោលគឺឧ។ ផលបូកមួយផ្នែក (២ ន+1) រយៈពេលនៃស៊េរី Fourier ។
ស៊េរីត្រីកោណមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី ដោយមានជំនួយពួកគេដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើននៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា។
ពង្រីកក្នុងស៊េរី Fourier អនុគមន៍ដែលមានរយៈពេលនៃ 2π ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចន្លោះពេល (-π; π) ។
ដំណោះស្រាយ។ ស្វែងរកមេគុណនៃស៊េរី Fourier៖
យើងទទួលបានការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier
នៅចំណុចនៃការបន្ត ផលបូកនៃស៊េរី Fourier គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x)=S(x), នៅចំណុច x=0 S(x)=1/2, នៅចំណុច x=π,2π,… S(x)=1/2 ។
ដំណោះស្រាយ Navier គឺសមរម្យសម្រាប់តែការគណនានៃចានដែលនៅតាមបណ្តោយវណ្ឌវង្ក។ ទូទៅជាង ដំណោះស្រាយរបស់លេវី. វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាចានដែលដាក់នៅលើភាគីប៉ារ៉ាឡែលពីរដោយមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនបំពានលើភាគីទាំងពីរផ្សេងទៀត។
នៅក្នុងចានរាងចតុកោណដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 5.11, (a) គែម hinged គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y. លក្ខខណ្ឌព្រំដែននៅគែមទាំងនេះមានទម្រង់
 |
អង្ករ។ ៥.១១
វាច្បាស់ណាស់ថាពាក្យនីមួយៗនៃស៊េរីត្រីកោណមាត្រគ្មានកំណត់
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; ដេរីវេផ្នែកទីពីរនៃមុខងារផ្លាត
(5.45)
នៅ x = 0 និង x = កក៏សូន្យដែរ ព្រោះពួកវាមាន https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)
ការជំនួស (5.46) ទៅជា (5.18) ផ្តល់ឱ្យ
គុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ រួមបញ្ចូលពី 0 ទៅ កហើយចងចាំរឿងនោះ។
,
យើងកំណត់មុខងារ យមសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណថេរ
. (5.48)
ប្រសិនបើដើម្បីកាត់កំណត់ចំណាំ បញ្ជាក់
សមីការ (5.48) យកទម្រង់
. (5.50)
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous (5.50) ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីវគ្គនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មានទម្រង់
យម(y) = jម (y)+ fm(y), (5.51)
កន្លែងណា jម (y) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការ inhomogeneous (5.50); ទម្រង់របស់វាអាស្រ័យលើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (5.50) ពោលគឺតាមពិតទៅលើប្រភេទនៃបន្ទុក q (x, y);
fm(y)= អឹម shកមy + Bmchកមy+y(សង់ទីម៉ែត្រ shកមy + Dmchកមy), (5.52)
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា។
អថេរបួន អឹម,អេម ,គមនិង ឃត្រូវតែកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌទាំងបួនសម្រាប់ជួសជុលគែមរបស់ចាន ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អនុវត្តទៅចាន ថេរ q (x, y) = qផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (5.50) យកទម្រង់
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">។ (5.55)
ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (5.55) គឺថេរ, ផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាក៏ថេរ; ដូច្នេះនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់។ jម (y) គឺសូន្យ និង
, (5.56)
, (5.57)
កន្លែងដែលបានចង្អុលបង្ហាញ: .
ពិចារណាចានមួយ។ ខ្ទាស់តាមបណ្តោយគែមស្របទៅនឹងអ័ក្ស X(រូបភាព 5.11, (c)) ។
លក្ខខណ្ឌព្រំដែននៅគែម y = ± ខ/2
. (5.59)
ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីនៃការផ្លាតនៃចានអំពីអ័ក្ស អូxនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ (5.52) មានតែពាក្យដែលមានមុខងារសូម្បីតែគួរតែត្រូវបានរក្សាទុក។ ដោយសារតែ sh កមyគឺជាមុខងារសេស និង ស កម y- សូម្បីតែនិងជាមួយទីតាំងដែលបានអនុម័តនៃអ័ក្ស អូ, y sh កមy- សូម្បីតែនៅក្នុង នៅឆ កម yគឺសេស បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលទូទៅ (5.51) នៅក្នុងករណីដែលកំពុងពិចារណាអាចត្រូវបានតំណាងថាជា
. (5.60)
ចាប់តាំងពីក្នុង (5.44) មិនអាស្រ័យលើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ទេ។ yគូទីពីរនៃលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (5.58), (5.59) អាចត្រូវបានសរសេរជា:
យម = 0, (5.61)
យ¢ ម = = 0. (5.62)
កមbm sh កមy + សង់ទីម៉ែត្រ(ស កមy+yកមឆ កមy)
ពី (5.60) - (5.63) វាដូចខាងក្រោម
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">។ (5.65)
គុណសមីការ (5.64) ដោយ , និងសមីការ (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
ការជំនួស (5.66) ទៅជាសមីការ (5.64) អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបាន bm
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">។ (5.68)
ជាមួយនឹងកន្សោមមុខងារនេះ។ យម. , រូបមន្ត (5.44) សម្រាប់កំណត់មុខងារផ្លាតយកទម្រង់
(5.69)
ស៊េរី (5.69) ចូលគ្នាយ៉ាងលឿន។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ចានរាងការ៉េនៅកណ្តាលរបស់វា i.e. at x=ក/2, y = 0
(5.70)
រក្សាទុកក្នុង (5.70) តែមួយពាក្យនៃស៊េរី ពោលគឺការយក 
យើងទទួលបានតម្លៃផ្លាតដែលប៉ាន់ស្មានតិចជាង 2.47%។ ដោយចាំថា ទំ 5 =
306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">វិធីសាស្ត្របំរែបំរួលរបស់ V..Ritz គឺផ្អែកលើគោលការណ៍បំរែបំរួលរបស់ Lagrange ដែលបានបង្កើតឡើងក្នុងផ្នែកទី 2។
ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តនេះថាបានអនុវត្តចំពោះបញ្ហានៃការពត់ចាន។ ស្រមៃមើលផ្ទៃកោងនៃចានជាជួរ
, (5.71)
កន្លែងណា ហ្វី(x, y) មុខងារសំរបសំរួលបន្ត ដែលនីមួយៗត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែន kinematic ។ ស៊ីគឺមិនស្គាល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានកំណត់ពីសមីការ Lagrange ។ សមីការនេះ។
(5.72)
នាំឱ្យមានប្រព័ន្ធនៃ នសមីការពិជគណិតទាក់ទងនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ស៊ី.
ក្នុងករណីទូទៅថាមពលខូចទ្រង់ទ្រាយនៃចានមានពត់ U និងភ្នាស U មផ្នែក
, (5.73)
, (5.74)
កន្លែងណា ម.,មy. ,មxy- កម្លាំងពត់កោង; នX., នី. , អិនស៊ី- កម្លាំងភ្នាស។ ផ្នែកនៃថាមពលដែលត្រូវគ្នានឹងកម្លាំងឆ្លងកាត់គឺតូចហើយអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។
ប្រសិនបើ ក យូ, vនិង វគឺជាធាតុផ្សំនៃការផ្លាស់ទីលំនៅពិតប្រាកដ ភីច. , ភីនិង pzគឺជាធាតុផ្សំនៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃការផ្ទុកផ្ទៃ រខ្ញុំ- កម្លាំងប្រមូលផ្តុំ, ឃ ខ្ញុំការផ្លាស់ទីលំនៅលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា, មj- ពេលផ្តោតអារម្មណ៍ qj- មុំនៃការបង្វិលដែលត្រូវគ្នានឹងវា (រូបភាព 5.12) បន្ទាប់មកថាមពលសក្តានុពលនៃកម្លាំងខាងក្រៅអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម:
ប្រសិនបើគែមនៃចានអនុញ្ញាតឱ្យមានចលនាបន្ទាប់មកគែមបង្ខំ vn. , mn. , mnt(រូបភាព ៥.១២, (ក)) បង្កើនសក្តានុពលនៃកម្លាំងខាងក្រៅ
 |
|
 |
|
អង្ករ។ ៥.១២
នៅទីនេះ ននិង t- ធម្មតា និងតង់សង់ទៅធាតុគែម ds.
នៅក្នុងកូអរដោនេ Cartesian ដោយគិតគូរពីកន្សោមដែលគេស្គាល់សម្រាប់កម្លាំង និងកោង
, (5.78)
ថាមពលសក្តានុពលសរុប E នៃចានរាងចតុកោណនៃទំហំ ក ´ ខនៅក្រោមសកម្មភាពនៃបន្ទុកបញ្ឈរប៉ុណ្ណោះ។ pz
(5.79)
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាចានរាងចតុកោណដែលមានសមាមាត្រ 2 ក´ ២ ខ(រូបភាព 5.13) ។
ចានត្រូវបានតោងតាមបណ្តោយវណ្ឌវង្កហើយផ្ទុកដោយបន្ទុកឯកសណ្ឋាន
pz = q = const. ក្នុងករណីនេះកន្សោម (5.79) សម្រាប់ថាមពល E ត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ
. (5.80)
ទទួលយកសម្រាប់ វ(x, y) ជួរ
ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌវណ្ឌវង្ក
 |  |
អង្ករ។ ៥.១៣
ទុកតែសមាជិកដំបូងនៃស៊េរីប៉ុណ្ណោះ។
.
បន្ទាប់មកយោងទៅតាម (5.80)
.
កាត់បន្ថយថាមពល E យោងទៅតាម (5..gif" width="273 height=57" height="57">។
.
ការផ្លាតកណ្តាលនៃចានរាងការ៉េ 2 ក´ ២ ក
,
ដែលជា 2.5% ច្រើនជាងដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ 0.0202 qa 4/ឃ. ចំណាំថាការផ្លាតកណ្តាលនៃចានដែលគាំទ្រនៅជ្រុងទាំងបួនគឺធំជាង 3.22 ដង។
ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីគុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ៖ ភាពសាមញ្ញ និងលទ្ធភាពនៃការទទួលបានលទ្ធផលល្អ។ ចានអាចមានគ្រោងផ្សេងគ្នា កម្រាស់អថេរ។ ភាពលំបាកក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ ដូចជានៅក្នុងវិធីសាស្រ្តថាមពលផ្សេងទៀត កើតឡើងនៅពេលជ្រើសរើសមុខងារសំរបសំរួលសមស្រប។
៥.៨. វិធីសាស្រ្ត Orthagonalization
វិធីសាស្រ្ត orthogonalization ដែលស្នើឡើងដោយ និងត្រូវបានផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមនៃមុខងារ orthogonal jខ្ញុំ. , jj
. (5.82)
ឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍ orthogonal នៅលើចន្លោះពេល ( – ទំ, ទំ) អាចបម្រើជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ cos nxនិងអំពើបាប nxសម្រាប់អ្វីដែល
ប្រសិនបើមុខងារណាមួយឧទាហរណ៍មុខងារ jខ្ញុំ (x) គឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌ (5.82) គឺពេញចិត្តសម្រាប់មុខងារបំពាន jj (x).
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការពត់ចាន សមីការគឺ
អាចត្រូវបានស្រមៃដូចនេះ
, (5.83)
កន្លែងណា ចគឺជាតំបន់ដែលជាប់នឹងវណ្ឌវង្កនៃចាន។ jអ៊ីគឺជាមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដូច្នេះពួកគេបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែនកម្លាំងនៃបញ្ហា។
ចូរយើងតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃសមីការពត់ចាន (5.18) ក្នុងទម្រង់ជាស៊េរី
. (5.84)
ប្រសិនបើដំណោះស្រាយ (5.84) គឺពិតប្រាកដ នោះសមីការ (5.83) នឹងដូចគ្នាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃមុខងារកូអរដោនេ jអ៊ី. ដោយសារតែក្នុងករណីនេះ ឃ c2c2 wn – q = 0. យើងទាមទារសមីការនោះ។ ឃ c2c2 wn – qមានលក្ខណៈរាងពងក្រពើសម្រាប់ក្រុមគ្រួសារមុខងារ jអ៊ី, ហើយយើងប្រើតម្រូវការនេះដើម្បីកំណត់មេគុណ ស៊ីជី. . ការជំនួស (5.84) ទៅជា (5.83) យើងទទួលបាន
. (5.85)
បន្ទាប់ពីអនុវត្តការបំប្លែងមួយចំនួន យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតខាងក្រោមសម្រាប់កំណត់ គអ៊ី
, (5.86)
និង ម៉ោងអ៊ី = ម៉ោងជី.
វិធីសាស្រ្ត Bubnov-Galerkin អាចត្រូវបានផ្តល់ការបកស្រាយដូចខាងក្រោម។ មុខងារ ឃ c2c2 wn – q = 0 គឺជាសមីការលំនឹង ហើយគឺជាការព្យាករនៃកម្លាំងខាងក្រៅ និងខាងក្នុង ដែលដើរតួនៅលើធាតុតូចមួយនៃចានក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្សបញ្ឈរ។ z. មុខងារផ្លាត wnគឺជាចលនាក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្សដូចគ្នា និងមុខងារ jអ៊ីអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចលនាដែលអាចកើតមាន។ ដូច្នេះ សមីការ (5.83) ប្រមាណបង្ហាញពីសមភាពទៅនឹងសូន្យនៃការងាររបស់កម្លាំងខាងក្រៅ និងខាងក្នុងទាំងអស់លើការផ្លាស់ទីលំនៅដែលអាចកើតមាន។ jអ៊ី. . ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រ Bubnov-Galerkin មានភាពខុសប្លែកគ្នាយ៉ាងសំខាន់។
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាលើចានរាងចតុកោណដែលតោងតាមវណ្ឌវង្ក ហើយផ្ទុកដោយបន្ទុកចែកចាយស្មើៗគ្នា។ វិមាត្រនៃចាន និងទីតាំងនៃអ័ក្សកូអរដោណេគឺដូចគ្នាទៅនឹងរូបភាព។ ៥.៦.
លក្ខខណ្ឌព្រំដែន
នៅ x = 0, x= ក: វ = 0, ,
នៅ y = 0, y = ខ: វ = 0, .
យើងជ្រើសរើសកន្សោមប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់មុខងារផ្លាតក្នុងទម្រង់ជាស៊េរី (5.84) ដែលមុខងារ jអ៊ី
បំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែន; ស៊ីជីគឺជាមេគុណដែលចង់បាន។ កំណត់ចំពោះសមាជិកម្នាក់នៃស៊េរី
យើងទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោម
បន្ទាប់ពីការរួមបញ្ចូល
តើយើងអាចគណនាមេគុណនៅឯណា ពី 11
,
ដែលត្រូវគ្នាយ៉ាងពេញលេញទៅនឹងមេគុណ ពី 11. ទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្ត
V. Ritz - ។
តាមការប៉ាន់ស្មានដំបូង មុខងារផ្លាតមានដូចខាងក្រោម
.
ការផ្លាតអតិបរមានៅចំកណ្តាលចានរាងការ៉េ ក ´ ក
.
៥.៩. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃភាពខុសគ្នាចុងក្រោយ
ចូរយើងពិចារណាលើការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃភាពខុសគ្នាកំណត់សម្រាប់ចានរាងចតុកោណជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌវណ្ឌវង្កស្មុគស្មាញ។ ប្រតិបត្តិករភាពខុសគ្នាគឺជា analogue នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃផ្ទៃកោងនៃចាន (5.18) សម្រាប់ក្រឡាចត្រង្គការ៉េសម្រាប់ D x = ឃ y = D យកទម្រង់ (3.54)
20 វី, j + 8 (វី, j+ 1 + វី, j– 1 + វី– 1, j + វី+ 1, j) + 2 (វី– 1, j– 1 + វី– 1, j+ 1 +
អង្ករ។ ៥.១៤
ដោយគិតពីវត្តមាននៃអ័ក្សបីនៃភាពស៊ីមេទ្រីនៃការផ្ទុកនិងការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃចាននោះយើងអាចដាក់កម្រិតលើខ្លួនយើងដើម្បីពិចារណាទីប្រាំបីរបស់វាហើយកំណត់តម្លៃនៃការផ្លាតតែនៅថ្នាំង 1 ... 10 (រូបភាព 5.14, (ខ) ។ ) នៅលើរូបភព។ 5.14, (b) បង្ហាញក្រឡាចត្រង្គ និងលេខរៀងថ្នាំង (D = ក/4).
ដោយសារគែមរបស់ចានត្រូវបានខ្ទាស់ បន្ទាប់មកដោយការសរសេរលក្ខខណ្ឌវណ្ឌវង្ក (5.25), (5.26) ក្នុងភាពខុសគ្នាកំណត់
