ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Cramer ។ ច្បាប់របស់ Cramer

នៅក្នុងផ្នែកទីមួយ យើងបានពិចារណាលើសម្ភារៈទ្រឹស្តីមួយចំនួន វិធីសាស្រ្តជំនួស ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តនៃការបន្ថែមតាមកាលកំណត់នៃសមីការប្រព័ន្ធ។ សម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នាដែលបានចូលមកគេហទំព័រតាមរយៈទំព័រនេះ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានផ្នែកទីមួយ។ ប្រហែលជាអ្នកទស្សនាមួយចំនួននឹងរកឃើញសម្ភារៈសាមញ្ញពេក ប៉ុន្តែនៅក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ខ្ញុំបានធ្វើការកត់សម្គាល់ និងការសន្និដ្ឋានសំខាន់ៗមួយចំនួនទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាជាទូទៅ។

ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគក្បួនរបស់ Cramer ក៏ដូចជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស) ។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញ លម្អិត និងច្បាស់ អ្នកអានស្ទើរតែទាំងអស់នឹងអាចរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រខាងលើ។

ដំបូងយើងពិចារណាអំពីច្បាប់របស់ Cramer យ៉ាងលម្អិតសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងចំនួនពីរដែលមិនស្គាល់។ ដើម្បីអ្វី? “បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ប្រព័ន្ធសាមញ្ញបំផុតអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់សាលា ដោយការបន្ថែមពីមួយខែទៅមួយខែ!

ការពិតគឺថាទោះបីជាពេលខ្លះក៏ដោយ ប៉ុន្តែមានកិច្ចការបែបនេះ - ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។ ទីពីរ ឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីរបៀបប្រើច្បាប់របស់ Cramer សម្រាប់ករណីដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ - ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបី។

លើសពីនេះទៀតមានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរដែលវាត្រូវបានណែនាំឱ្យដោះស្រាយយ៉ាងពិតប្រាកដយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Cramer!

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការ

នៅជំហានដំបូងយើងគណនាកត្តាកំណត់វាត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ.

វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

ប្រសិនបើ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយដើម្បីស្វែងរកឫស យើងត្រូវគណនាកត្តាកំណត់ពីរបន្ថែមទៀត៖
និង

នៅក្នុងការអនុវត្ត វគ្គជម្រុះខាងលើក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរឡាតាំងផងដែរ។

ឫសគល់នៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
,

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ដំណោះស្រាយ៖ យើងឃើញថាមេគុណនៃសមីការមានទំហំធំណាស់ នៅផ្នែកខាងស្តាំមានប្រភាគទសភាគដែលមានសញ្ញាក្បៀស។ សញ្ញាក្បៀសគឺជាភ្ញៀវដ៏កម្រនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានយកប្រព័ន្ធនេះចេញពីបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ច។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ? អ្នកអាចព្យាយាមបង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ អ្នកប្រាកដជានឹងទទួលបានប្រភាគពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច ដែលជាការរអាក់រអួលខ្លាំងក្នុងការធ្វើការជាមួយ ហើយការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងមើលទៅអាក្រក់ណាស់។ អ្នកអាចគុណសមីការទីពីរដោយ 6 ហើយដកពាក្យដោយពាក្យ ប៉ុន្តែប្រភាគដូចគ្នានឹងបង្ហាញនៅទីនេះ។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ក្នុងករណីបែបនេះរូបមន្តរបស់ Cramer មកជួយសង្គ្រោះ។

;

ចម្លើយ: ,

ឫសទាំងពីរមានកន្ទុយគ្មានកំណត់ ហើយត្រូវបានគេរកឃើញប្រហែល ដែលពិតជាអាចទទួលយកបាន (និងសូម្បីតែជារឿងធម្មតា) សម្រាប់បញ្ហាសេដ្ឋកិច្ច។

មតិយោបល់មិនចាំបាច់នៅទីនេះទេ ដោយសារកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មានការព្រមានមួយ។ នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រនេះ បង្ខំបំណែកនៃកិច្ចការគឺជាបំណែកដូចខាងក្រោមៈ "ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់". បើមិនដូច្នោះទេ អ្នកត្រួតពិនិត្យអាចដាក់ទោសអ្នកចំពោះការមិនគោរពទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer។

វានឹងមិនមានការហួសហេតុក្នុងការត្រួតពិនិត្យទេ ដែលងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖ យើងជំនួសតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។ ជាលទ្ធផលដោយមានកំហុសតូចមួយលេខដែលនៅខាងស្តាំគួរតែត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍ ៨

បង្ហាញចម្លើយរបស់អ្នកជាប្រភាគមិនសមរម្យធម្មតា។ ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ឧទាហរណ៍នៃការរចនាដ៏ល្អ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

យើងងាកទៅរកការពិចារណានៃច្បាប់របស់ Cramer សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

យើងរកឃើញកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

ប្រសិនបើ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ)។ ក្នុងករណីនេះក្បួនរបស់ Cramer នឹងមិនជួយទេអ្នកត្រូវប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ប្រសិនបើ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយដើម្បីស្វែងរកឫសគល់ យើងត្រូវគណនាកត្តាកំណត់បីបន្ថែមទៀត៖
, ,

ហើយចុងក្រោយ ចម្លើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញករណី "បីដោយបី" ជាមូលដ្ឋានមិនខុសពីករណី "ពីរដោយពីរ" ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរជាបន្តបន្ទាប់ "ដើរ" ពីឆ្វេងទៅស្តាំតាមជួរឈរនៃកត្តាកំណត់សំខាន់។

ឧទាហរណ៍ ៩

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ចម្លើយ: .

តាមពិតទៅ មិនមានអ្វីពិសេសក្នុងការធ្វើអត្ថាធិប្បាយនៅទីនេះម្តងទៀតទេ ដោយមើលឃើញថាការសម្រេចចិត្តត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ ប៉ុន្តែមានកំណត់ចំណាំពីរបី។

វាកើតឡើងថាជាលទ្ធផលនៃការគណនា ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន "អាក្រក់" ត្រូវបានទទួល ឧទាហរណ៍៖ .
ខ្ញុំសូមណែនាំក្បួនដោះស្រាយ "ការព្យាបាល" ខាងក្រោម។ បើគ្មានកុំព្យូទ័រនៅនឹងដៃទេ យើងធ្វើដូចនេះ៖

1) ប្រហែលជាមានកំហុសក្នុងការគណនា។ ដរាបណាអ្នកជួបប្រទះនឹងការបាញ់ "អាក្រក់" អ្នកត្រូវតែពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើ លក្ខខណ្ឌត្រូវបានសរសេរឡើងវិញ។. ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដោយគ្មានកំហុស នោះអ្នកត្រូវគណនាឡើងវិញនូវកត្តាកំណត់ដោយប្រើការពង្រីកក្នុងជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ)។

2) ប្រសិនបើគ្មានកំហុសត្រូវបានរកឃើញជាលទ្ធផលនៃការត្រួតពិនិត្យទេ នោះទំនងជាការវាយខុសត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកិច្ចការ។ ក្នុងករណីនេះដោយស្ងប់ស្ងាត់និងដោយប្រុងប្រយ័ត្នដោះស្រាយភារកិច្ចដល់ទីបញ្ចប់ហើយបន្ទាប់មក ត្រូវប្រាកដថាពិនិត្យមើលហើយគូរវានៅលើច្បាប់ចម្លងស្អាត បន្ទាប់ពីការសម្រេចចិត្ត។ ជាការពិតណាស់ ការពិនិត្យមើលចំលើយប្រភាគគឺជាកិច្ចការដែលមិនសប្បាយចិត្ត ប៉ុន្តែវានឹងក្លាយជាទឡ្ហីករណ៍មិនសមរម្យសម្រាប់គ្រូ ដែលពិតជាចូលចិត្តដាក់ដកសម្រាប់រឿងអាក្រក់ណាមួយ។ របៀបដោះស្រាយប្រភាគត្រូវបានរៀបរាប់លម្អិតនៅក្នុងចម្លើយសម្រាប់ឧទាហរណ៍ទី 8 ។

ប្រសិនបើអ្នកមានកុំព្យូទ័រនៅនឹងដៃ បន្ទាប់មកប្រើកម្មវិធីស្វ័យប្រវត្តិដើម្បីពិនិត្យវា ដែលអាចទាញយកដោយឥតគិតថ្លៃនៅដើមមេរៀន។ ដោយវិធីនេះ វាមានអត្ថប្រយោជន៍បំផុតក្នុងការប្រើប្រាស់កម្មវិធីភ្លាមៗ (សូម្បីតែមុនពេលចាប់ផ្តើមដំណោះស្រាយ) អ្នកនឹងឃើញភ្លាមៗនូវជំហានមធ្យមដែលអ្នកបានធ្វើខុស! ម៉ាស៊ីនគិតលេខដូចគ្នានឹងគណនាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយស្វ័យប្រវត្តិដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។

សុន្ទរកថាទីពីរ។ ពីពេលមួយទៅពេលមួយមានប្រព័ន្ធនៅក្នុងសមីការដែលអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់ ឧទាហរណ៍៖

នៅទីនេះក្នុងសមីការទីមួយមិនមានអថេរទេ នៅក្នុងសមីការទីពីរមិនមានអថេរទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការសរសេរឱ្យបានត្រឹមត្រូវ និងដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវកត្តាកំណត់ចម្បង៖
- សូន្យត្រូវបានដាក់ជំនួសអថេរដែលបាត់។
ដោយវិធីនេះ វាជាការសមហេតុផលក្នុងការបើកកត្តាកំណត់ដែលមានលេខសូន្យក្នុងជួរ (ជួរឈរ) ដែលលេខសូន្យស្ថិតនៅ ព្រោះមានការគណនាតិចជាងគួរឱ្យកត់សម្គាល់។

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (គំរូបញ្ចប់ និងចម្លើយនៅចុងមេរៀន)។

ចំពោះករណីនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 4 ដែលមាន 4 មិនស្គាល់ រូបមន្តរបស់ Cramer ត្រូវបានសរសេរតាមគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា។ អ្នកអាចឃើញឧទាហរណ៍ផ្ទាល់នៅក្នុងមេរៀន លក្ខណៈសម្បត្តិកំណត់។ ការកាត់បន្ថយលំដាប់នៃកត្តាកំណត់ - កត្តាកំណត់លំដាប់ទី 5 គឺអាចដោះស្រាយបាន។ ថ្វីត្បិតតែកិច្ចការនេះត្រូវបានរំឮកយ៉ាងខ្លាំងរួចទៅហើយអំពីស្បែកជើងរបស់សាស្រ្តាចារ្យនៅលើទ្រូងរបស់សិស្សសំណាងម្នាក់។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាករណីពិសេស សមីការម៉ាទ្រីស(សូមមើលឧទាហរណ៍លេខ 3 នៃមេរៀនដែលបានបញ្ជាក់)។

ដើម្បីសិក្សាផ្នែកនេះ អ្នកត្រូវចេះពង្រីកកត្តាកំណត់ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស និងអនុវត្តការគុណម៉ាទ្រីស។ តំណភ្ជាប់ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដែលការពន្យល់រីកចម្រើន។

ឧទាហរណ៍ 11

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖
កន្លែងណា

សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធសមីការ និងម៉ាទ្រីស។ តាមគោលការណ៍អ្វីដែលយើងសរសេរធាតុចូលទៅក្នុងម៉ាទ្រីស ខ្ញុំគិតថាអ្នករាល់គ្នាយល់។ មតិយោបល់តែមួយគត់៖ ប្រសិនបើអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការ នោះលេខសូន្យនឹងត្រូវដាក់នៅកន្លែងដែលត្រូវគ្នាក្នុងម៉ាទ្រីស។

យើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត៖
តើម៉ាទ្រីសបំប្លែងនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនោះនៅឯណា។

ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយកត្តាកំណត់៖

នៅទីនេះកត្តាកំណត់ត្រូវបានពង្រីកដោយបន្ទាត់ទីមួយ។

យកចិត្តទុកដាក់! ប្រសិនបើ នោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ ហើយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។ ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយដោយការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ (វិធីសាស្ត្រ Gauss) ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវគណនាអនីតិជនចំនួន 9 ហើយសរសេរវាទៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជន

ឯកសារយោង៖វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីអត្ថន័យនៃអក្សររងពីរដងក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ខ្ទង់ទីមួយគឺជាលេខបន្ទាត់ដែលធាតុស្ថិតនៅ។ ខ្ទង់ទីពីរគឺជាចំនួនជួរឈរដែលធាតុស្ថិតនៅ៖

នោះគឺអក្សរតូចពីរបង្ហាញថាធាតុគឺនៅក្នុងជួរដេកទីមួយជួរឈរទីបីខណៈពេលដែលឧទាហរណ៍ធាតុគឺនៅក្នុងជួរដេកទី 3 ជួរឈរទី 2

ដើម្បីគ្រប់គ្រងកថាខណ្ឌនេះ អ្នកត្រូវតែអាចបើកវគ្គជម្រុះ "ពីរដោយពីរ" និង "បីដោយបី" ។ ប្រសិនបើវគ្គជម្រុះមិនល្អ សូមសិក្សាមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការ

វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

ឫសគល់នៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
,

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ក្នុងករណីបែបនេះរូបមន្តរបស់ Cramer មកជួយសង្គ្រោះ។

;

ចម្លើយ: ,

ឧទាហរណ៍ ៨

បង្ហាញចម្លើយរបស់អ្នកជាប្រភាគមិនសមរម្យធម្មតា។ ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ។

យើងរកឃើញកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

ហើយចុងក្រោយ ចម្លើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ ៩

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ចម្លើយ: .

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ឧទាហរណ៍ 11

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖
កន្លែងណា

ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយកត្តាកំណត់៖

នៅទីនេះកត្តាកំណត់ត្រូវបានពង្រីកដោយបន្ទាត់ទីមួយ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវគណនាអនីតិជនចំនួន 9 ហើយសរសេរវាទៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជន

នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការពណ៌នាអំពីការគណនាអនីតិជនឱ្យបានលម្អិត ទោះបីជាមានបទពិសោធន៍ជាក់លាក់ក៏ដោយ ពួកគេអាចត្រូវបានគេកែសម្រួលដើម្បីរាប់ជាមួយនឹងកំហុសដោយផ្ទាល់មាត់។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer គឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់កត្តាកំណត់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ នេះបង្កើនល្បឿនដំណើរការដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាច្រើនដូចដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើក្នុងដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ នោះវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ លើសពីនេះទៀតវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

និយមន័យ. កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ និងត្រូវបានតំណាងដោយ (ដីសណ្ត)។

កត្តាកំណត់

ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសមេគុណនៅមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នាដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖

;

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយ ហើយអ្វីដែលមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃកត្តាកំណត់។ ភាគបែងគឺជាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយភាគបែងគឺជាកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយជំនួសមេគុណដោយមិនស្គាល់ដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ទ្រឹស្តីបទនេះរក្សាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerយើងមាន:

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (២)៖

ការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយរបស់ Cramer ។

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដូចដែលលេចឡើងពី ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ករណីបីអាចកើតឡើង៖

ករណីទីមួយ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងច្បាស់លាស់)

ករណីទីពីរ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងមិនកំណត់)

** ,

ទាំងនោះ។ មេគុណនៃមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសមាមាត្រ។

ករណីទីបី៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

(ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)

ដូច្នេះប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នអថេរត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ និង រួមប្រសិនបើវាយ៉ាងហោចណាស់មានដំណោះស្រាយមួយ។ ប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់និងច្រើនជាងមួយ។ មិនប្រាកដប្រជា.

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ

ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer

………….
,

កន្លែងណា
-

ឧបករណ៍កំណត់អត្តសញ្ញាណប្រព័ន្ធ។ កត្តាកំណត់ដែលនៅសេសសល់ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរឈរជាមួយនឹងមេគុណនៃអថេរដែលត្រូវគ្នា (មិនស្គាល់) ជាមួយនឹងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះ (1; 0; -1) គឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយរបស់ Cramer ។

ប្រសិនបើមិនមានអថេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងសមីការមួយ ឬច្រើននោះ នោះនៅក្នុងកត្តាកំណត់ ធាតុដែលត្រូវនឹងពួកវាគឺស្មើនឹងសូន្យ! នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធនៃសមីការ និងកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ហើយឆ្លើយសំណួរម្តងទៀត ក្នុងករណីដែលធាតុមួយ ឬច្រើននៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់អ្វីដែលមិនស្គាល់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (2; -1; 1) ។

កំពូលនៃទំព័រ

យើងបន្តដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាមួយគ្នា

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ ហើយកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់មិនស្មើនឹងសូន្យ ប្រព័ន្ធគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ សូមបង្ហាញជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៦ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា និងច្បាស់លាស់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាមិនមានដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

កត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងបញ្ហាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ក៏មានផងដែរ ដែលបន្ថែមពីលើអក្សរដែលបង្ហាញពីអថេរ ក៏មានអក្សរផ្សេងទៀតផងដែរ។ អក្សរទាំងនេះតំណាងឱ្យលេខមួយចំនួន ដែលភាគច្រើនជាលេខពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះនាំឱ្យមានបញ្ហាដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈទូទៅនៃបាតុភូត និងវត្ថុណាមួយ។ នោះគឺអ្នកបានបង្កើតសម្ភារៈ ឬឧបករណ៍ថ្មីមួយចំនួន ហើយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលជារឿងធម្មតាដោយមិនគិតពីទំហំ ឬចំនួនច្បាប់ចម្លង អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលជំនួសឱ្យមេគុណមួយចំនួនសម្រាប់អថេរមានអក្សរ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលឧទាហរណ៍ឆ្ងាយទេ។

ឧទាហរណ៍បន្ទាប់គឺសម្រាប់បញ្ហាស្រដៀងគ្នា មានតែចំនួនសមីការ អថេរ និងអក្សរដែលបង្ហាញពីចំនួនពិតមួយចំនួនកើនឡើង។

ឧទាហរណ៍ ៨ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

កំពូលនៃទំព័រ

យើងបន្តដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាមួយគ្នា

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង