និយមន័យ។ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a (មេគុណ) ដោយវ៉ិចទ័រ (មេគុណ) ដែលមិនជាប់នឹងវាជាវ៉ិចទ័រទីបី c (ផលិតផល) ដែលត្រូវបានសាងសង់ដូចខាងក្រោមៈ

1) ម៉ូឌុលរបស់វាគឺជាលេខ ស្មើ​នឹង​តំបន់ប្រលេឡូក្រាមក្នុងរូប។ 155) បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ ពោលគឺវាស្មើនឹងទិសដៅកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានរៀបរាប់។

3) ក្នុងករណីនេះទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ c ត្រូវបានជ្រើសរើស (ក្នុងចំណោមពីរដែលអាចធ្វើបាន) ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ c បង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (§ 110) ។

ការកំណត់៖ ឬ

បន្ថែមលើនិយមន័យ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះការពិចារណាលើតួរលេខជាប៉ារ៉ាឡែល (តាមលក្ខខណ្ឌ) វាជាធម្មជាតិក្នុងការកំណត់តំបន់សូន្យ។ ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទទេ។

ដោយសារវ៉ិចទ័រទទេអាចត្រូវបានកំណត់ទិសដៅណាមួយ អនុសញ្ញានេះមិនផ្ទុយនឹងធាតុទី 2 និងទី 3 នៃនិយមន័យនោះទេ។

ចំណាំ 1. នៅក្នុងពាក្យ "ផលិតផលវ៉ិចទ័រ" ពាក្យដំបូងបង្ហាញថាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពគឺជាវ៉ិចទ័រ (ផ្ទុយទៅនឹង ផលិតផលចំនុច; cf. § 104 ចំណាំ 1) ។

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលវ៉ិចទ័រសំខាន់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រឹមត្រូវ (រូបភាព 156) ។

1. ដោយសារប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រសំខាន់គឺស្មើនឹងឯកតាមាត្រដ្ឋាន ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (ការេ) គឺស្មើនឹងលេខមួយ។ ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងមួយ។

2. ដោយសារកាត់កែងទៅនឹងប្លង់គឺជាអ័ក្ស ផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រ collinearទៅ; ហើយចាប់តាំងពីពួកវាទាំងពីរមានម៉ូឌុល 1 ផលិតផលឆ្លងកាត់ដែលត្រូវការគឺ k ឬ -k ។

3. ក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រដែលអាចមានទាំងពីរនេះ ទីមួយត្រូវតែជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រ k បង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័របង្កើតជាខាងឆ្វេង)។

ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំណោះស្រាយ។ ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 យើងសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រគឺ k ឬ -k ។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងត្រូវជ្រើសរើស -k ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័របង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័របង្កើតនៅខាងឆ្វេង) ។ ដូច្នេះ

ឧទាហរណ៍ទី 3 វ៉ិចទ័រមានប្រវែង 80 និង 50 សង់ទីម៉ែត្ររៀងគ្នា ហើយបង្កើតជាមុំ 30 °។ យកម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ a

ដំណោះស្រាយ។ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺស្មើនឹង

ឧទាហរណ៍ 4. រកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រដូចគ្នា ដោយយកសង់ទីម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង។

ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពីតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានសាងសង់នៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺ 2000 សង់ទីម៉ែត្រ, i.e.

ការប្រៀបធៀបឧទាហរណ៍ទី 3 និងទី 4 បង្ហាញថាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យមិនត្រឹមតែលើប្រវែងនៃកត្តាប៉ុណ្ណោះទេថែមទាំងលើជម្រើសនៃឯកតាប្រវែងផងដែរ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។នៃចំនួនជាច្រើន។ បរិមាណរាងកាយតំណាងដោយផលិតផលវ៉ិចទ័រ ពិចារណាតែពេលនៃកម្លាំងប៉ុណ្ណោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាចំណុចនៃការអនុវត្តនៃកម្លាំង។ គ្រានៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថាផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនេះគឺមានលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (រូបភាព 157) ។ ម៉ូឌុលនៃពេលនេះគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមូលដ្ឋានដោយកម្ពស់ពោលគឺ កម្លាំងគុណនឹងចម្ងាយពីចំណុច O ទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលកម្លាំងធ្វើសកម្មភាព។

នៅក្នុងមេកានិចវាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់លំនឹង រាងកាយរឹងវាចាំបាច់ដែលមិនត្រឹមតែផលបូកនៃវ៉ិចទ័រដែលតំណាងឱ្យកម្លាំងដែលបានអនុវត្តទៅលើរាងកាយត្រូវស្មើនឹងសូន្យប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាផលបូកនៃគ្រានៃកម្លាំងផងដែរ។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលកម្លាំងទាំងអស់ស្របគ្នានឹងប្លង់តែមួយ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រដែលតំណាងឱ្យគ្រាអាចត្រូវបានជំនួសដោយការបូកនិងដកនៃម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែ​សម្រាប់​ការ​ដឹកនាំ​ដោយ​បំពាន ការ​ជំនួស​បែប​នេះ​គឺ​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ទេ។ អនុលោមតាមនេះ ផលិតផលឈើឆ្កាងត្រូវបានកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ថាជាវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនជាលេខទេ។

៧.១. និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar បី a , b និង c ដែលត្រូវបានយកតាមលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ បង្កើតជាបីដងខាងស្តាំ ប្រសិនបើពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីបី c វេនខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយ a ទៅវ៉ិចទ័រទីពីរ b ត្រូវបានគេមើលឃើញថាច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយ ខាងឆ្វេងមួយ ប្រសិនបើទ្រនិចនាឡិកា (សូមមើលរូបទី 16)។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a និងវ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ c ដែល៖

1. កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b, i.e. c ^ a និង c ^ ខ;

2. វា​មាន​ប្រវែង​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ a និងខដូចជានៅលើជ្រុង (សូមមើលរូបភព 17) i.e.

3. វ៉ិចទ័រ a, b និង c បង្កើតជាបីខាងស្តាំ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រតំណាងឱ្យ x b ឬ [a, b] ។ ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាង orts ដែលខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ jនិង k(សូមមើលរូបទី 18)៖

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j ។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបញ្ជាក់ខ្ញុំ xj \u003d k ។

1) k^i, k ^ j;

2) |k |=1 ប៉ុន្តែ | ខ្ញុំ x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) វ៉ិចទ័រ i, j និង kបង្កើតជាបីដងខាងស្តាំ (សូមមើលរូបទី 16)។

៧.២. ឆ្លងកាត់លក្ខណៈសម្បត្តិផលិតផល

1. នៅពេលដែលកត្តាត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ ផលិតផលវ៉ិចទ័រផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា i.e. និង xb \u003d (b xa) (សូមមើលរូប 19)។

វ៉ិចទ័រ a xb និង b xa គឺ collinear មានម៉ូឌុលដូចគ្នា (ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ) ប៉ុន្តែត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ទុយគ្នា (បីដង a, b, a xb និង a, b, b x a នៃទិសផ្ទុយគ្នា) ។ នោះគឺជា axb = -(bxa).

2. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមាន ទ្រព្យសម្បត្តិរួមទាក់ទងនឹងកត្តាមាត្រដ្ឋាន ពោលគឺ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ l > 0 ។ វ៉ិចទ័រ l (a xb) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b ។ វ៉ិចទ័រ ( លីត្រក) x ខក៏កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង ខ(វ៉ិចទ័រ a, លីត្រប៉ុន្តែដេកនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា) ។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ លីត្រ(a xb) និង ( លីត្រក) x ខ collinear ។ វាច្បាស់ណាស់ថាទិសដៅរបស់ពួកគេស្របគ្នា។ ពួកគេមានប្រវែងដូចគ្នា៖

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល លីត្រ(a xb)= លីត្រមួយ xb ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ លីត្រ<0.

3. វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ a និង ខគឺ collinear ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ពោលគឺ និង ||b<=>និង xb \u003d 0 ។

ជាពិសេស i * i = j * j = k * k = 0 ។

4. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ៖

(a+b) xs = a xs + ខ xs

ទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។

៧.៣. កន្សោមផលិតផលឆ្លងកាត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេ

យើងនឹងប្រើតារាងផលិតផលឆ្លងកាត់វ៉ិចទ័រ i , jនិង k:

ប្រសិនបើទិសដៅនៃផ្លូវខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយទៅទីពីរស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃព្រួញនោះផលិតផលស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទីបីប្រសិនបើវាមិនត្រូវគ្នានោះវ៉ិចទ័រទីបីត្រូវបានថតដោយសញ្ញាដក។

ទុកវ៉ិចទ័រពីរ a = a x i + a y j+az kនិង b=bx ខ្ញុំ+ ដោយ j+bz k. ចូរយើងស្វែងរកផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយគុណពួកវាជាពហុធា (យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ)៖

រូបមន្តលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែខ្លី៖

ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (7.1) ទាក់ទងទៅនឹងការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរទីមួយ។ សមភាព (7.2) ងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។

៧.៤. កម្មវិធីមួយចំនួននៃផលិតផលឈើឆ្កាង

ការបង្កើតភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ការស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម និងត្រីកោណ

យោងទៅតាមនិយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ កនិង ខ |a xb | =|a| * |b |sin g, i.e. S par = |a x b |។ ដូច្នេះហើយ D S \u003d 1/2 | a x b | ។

កំណត់ពេលនៃកម្លាំងអំពីចំណុចមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តនៅចំណុច A F = ABតោះ​ទៅ អំពី- ចំណុចមួយចំនួននៅក្នុងលំហ (សូមមើលរូបទី 20)។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីរូបវិទ្យាថា កម្លាំងបង្វិលជុំ ច ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច អំពីហៅថាវ៉ិចទ័រ ម ,ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច អំពីនិង៖

1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច O, A, B;

2) លេខស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្លាំងនិងស្មា

3) បង្កើតជាបីខាងស្តាំជាមួយវ៉ិចទ័រ OA និង A B ។

ដូច្នេះ M \u003d OA x F ។

ស្វែងរកល្បឿនលីនេអ៊ែរនៃការបង្វិល

ល្បឿន vចំណុច M នៃតួរឹងដែលបង្វិលនៅល្បឿនមុំ វជុំវិញអ័ក្សថេរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តអយល័រ v \u003d w x r ដែល r \u003d OM ដែល O ជាចំណុចថេរខ្លះនៃអ័ក្ស (សូមមើលរូបភាពទី 21) ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលប្រតិបត្តិការពីរបន្ថែមទៀតជាមួយវ៉ិចទ័រ៖ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ (តំណភ្ជាប់ភ្លាមៗសម្រាប់អ្នកដែលត្រូវការវា). វាមិនអីទេ ជួនកាលវាកើតឡើងថាសម្រាប់សុភមង្គលពេញលេញ បន្ថែមពីលើ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រត្រូវការកាន់តែច្រើនឡើង។ នេះគឺជាការញៀនវ៉ិចទ័រ។ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានការចាប់អារម្មណ៍ថាយើងកំពុងចូលទៅក្នុងព្រៃនៃធរណីមាត្រវិភាគ។ នេះ​គឺ​ខុស។ នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ ជាទូទៅមានអុសតិចតួច លើកលែងតែអាចគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ Pinocchio ។ តាមពិតសម្ភារៈគឺសាមញ្ញនិងសាមញ្ញ - ពិបាកជាងដូចគ្នា។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានទោះបីជាមានកិច្ចការធម្មតាតិចជាងនេះក៏ដោយ។ រឿងសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ដូចដែលមនុស្សជាច្រើននឹងឃើញ ឬបានឃើញរួចហើយ គឺមិនត្រូវច្រឡំការគណនាឡើយ។ ធ្វើម្តងទៀតដូចអក្ខរាវិរុទ្ធហើយអ្នកនឹងសប្បាយចិត្ត =)

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របញ្ចេញពន្លឺនៅកន្លែងឆ្ងាយៗ ដូចជាផ្លេកបន្ទោរលើជើងមេឃ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេ សូមចាប់ផ្តើមជាមួយមេរៀន វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះដើម្បីស្ដារ ឬទទួលបានចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ។ អ្នកអានដែលបានរៀបចំកាន់តែច្រើនអាចស្គាល់ព័ត៌មានដោយជ្រើសរើស ខ្ញុំបានព្យាយាមប្រមូលគំរូពេញលេញបំផុតដែលត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងការងារជាក់ស្តែង។

តើអ្វីនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្ត? កាលខ្ញុំនៅតូច ខ្ញុំអាចលេងបាល់បានពីរ និងបីគ្រាប់។ វាដំណើរការបានល្អ។ ឥឡូវនេះ មិនចាំបាច់និយាយលេងទេ ព្រោះយើងនឹងពិចារណា មានតែវ៉ិចទ័រអវកាសប៉ុណ្ណោះ។ហើយវ៉ិចទ័រសំប៉ែតដែលមានកូអរដោណេពីរនឹងត្រូវទុកចោល។ ហេតុអ្វី? នេះជារបៀបដែលសកម្មភាពទាំងនេះបានកើត - វ៉ិចទ័រ និងផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ និងដំណើរការក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។ កាន់តែងាយស្រួលហើយ!

នៅក្នុងប្រតិបត្តិការនេះ, នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងផលិតផល scalar, វ៉ិចទ័រពីរ. សូមឱ្យវាក្លាយជាអក្សរដែលមិនអាចរលួយបាន។

សកម្មភាពខ្លួនឯង តំណាងតាមវិធីខាងក្រោម៖ . មានជម្រើសផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែខ្ញុំធ្លាប់ប្រើក្នុងការរចនាផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រតាមរបៀបនេះ ក្នុងតង្កៀបការ៉េជាមួយឈើឆ្កាង។

ហើយភ្លាមៗ សំណួរ៖ ប្រសិនបើនៅក្នុង ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ ហើយនៅទីនេះ វ៉ិចទ័រពីរក៏ត្រូវបានគុណផងដែរ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? ភាពខុសគ្នាច្បាស់លាស់ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់នៅក្នុងលទ្ធផល៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺវ៉ិចទ័រ: នោះគឺយើងគុណវ៉ិចទ័រ ហើយទទួលបានវ៉ិចទ័រម្តងទៀត។ ក្លឹបបិទ។ តាមពិតទៅឈ្មោះនៃប្រតិបត្តិការ។ នៅ​ក្នុង​អក្សរសិល្ប៍​អប់រំ​ផ្សេងៗ ការ​កំណត់​ក៏​អាច​ខុស​គ្នា​ដែរ ខ្ញុំ​នឹង​ប្រើ​អក្សរ។

និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំបូងនឹងមាននិយមន័យជាមួយរូបភាព បន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ

និយមន័យ: ផលិតផលឆ្លងកាត់ non-collinearវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។ត្រូវបានគេហៅថា VECTOR, ប្រវែងដែលជាលេខ ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាមបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ; វ៉ិចទ័រ រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានដឹកនាំដើម្បីឱ្យមូលដ្ឋានមានទិសដៅត្រឹមត្រូវ៖

យើង​វិភាគ​និយមន័យ​តាម​ឆ្អឹង មាន​រឿង​គួរ​ឲ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ច្រើន​ណាស់!

ដូច្នេះ យើងអាចលើកយកចំណុចសំខាន់ៗដូចខាងក្រោមនេះ៖

1) ប្រភពវ៉ិចទ័រ បង្ហាញដោយព្រួញក្រហម តាមនិយមន័យ មិនជាប់គ្នា។. វានឹងជាការសមរម្យដើម្បីពិចារណាករណីនៃវ៉ិចទ័រ collinear បន្តិចក្រោយមក។

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ដ៏តឹងរឹងមួយ។: – "a" ត្រូវបានគុណនឹង "be"មិនមែន "be" ទៅ "a" ទេ។ លទ្ធផលនៃគុណវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR ដែលត្រូវបានតំណាងជាពណ៌ខៀវ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស នោះយើងទទួលបានវ៉ិចទ័រស្មើប្រវែង និងផ្ទុយគ្នាក្នុងទិសដៅ (ពណ៌ក្រហម)។ នោះគឺសមភាព .

3) ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្គាល់អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ នេះជាចំណុចសំខាន់ណាស់! ប្រវែង​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពណ៌​ខៀវ (ហើយ​ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ​ក្រហម) គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង AREA នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុងរូបភាព ប៉ារ៉ាឡែលនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោលខ្មៅ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ហើយជាការពិតណាស់ ប្រវែងបន្ទាប់បន្សំនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺមិនស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមទេ។

យើងរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តធរណីមាត្រមួយ៖ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងជាប់គ្នា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា. ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ រូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺត្រឹមត្រូវ៖

ខ្ញុំសង្កត់ធ្ងន់ថានៅក្នុងរូបមន្តយើងកំពុងនិយាយអំពី LENGTH នៃវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនអំពីវ៉ិចទ័រខ្លួនឯងនោះទេ។ តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យជាក់ស្តែង? ហើយអត្ថន័យគឺដូចជានៅក្នុងបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់តាមរយៈគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

យើងទទួលបានរូបមន្តសំខាន់ទីពីរ។ អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម (បន្ទាត់ចំនុចក្រហម) ចែកវាទៅជាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរ។ ដូច្នេះផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសាងសង់លើវ៉ិចទ័រ (ការដាក់ស្រមោលក្រហម) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

4) ការពិតសំខាន់ស្មើគ្នាគឺថាវ៉ិចទ័រគឺរាងពងក្រពើទៅនឹងវ៉ិចទ័រ នោះគឺ . ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ទិស​ផ្ទុយ​គ្នា (ព្រួញ​ពណ៌​ក្រហម) ក៏​មាន​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដើម។

5) វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំដូច្នេះ មូលដ្ឋានវា​មាន ត្រឹមត្រូវ។ការតំរង់ទិស។ នៅក្នុងមេរៀនអំពី ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ខ្ញុំបាននិយាយលម្អិតអំពី ការតំរង់ទិសយន្តហោះហើយឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងយល់ថាតើការតំរង់ទិសនៃលំហគឺជាអ្វី។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់នៅលើម្រាមដៃរបស់អ្នក។ ដៃស្តាំ. ផ្សំផ្លូវចិត្ត មេដៃជាមួយវ៉ិចទ័រនិង ម្រាមដៃកណ្តាលជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ម្រាមដៃរោទ៍ និងម្រាមដៃតូចចុចទៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក។ ជា​លទ្ធផល មេដៃ- ផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងរកមើល។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសខាងស្ដាំ (វាមាននៅក្នុងរូប) ។ ឥឡូវប្តូរវ៉ិចទ័រ ( លិបិក្រមនិងម្រាមដៃកណ្តាល) នៅកន្លែងខ្លះ ជាលទ្ធផល មេដៃនឹងបង្វែរ ហើយផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងមើលចុះរួចហើយ។ នេះក៏ជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសត្រឹមត្រូវ។ ប្រហែល​ជា​អ្នក​មាន​សំណួរ​មួយ​ថា តើ​មូលដ្ឋាន​អ្វី​ដែល​មាន​ទិស​ខាង​ឆ្វេង? "កំណត់" ម្រាមដៃដូចគ្នា។ ដៃឆ្វេងវ៉ិចទ័រ និងទទួលបានមូលដ្ឋានខាងឆ្វេង និងការតំរង់ទិសលំហខាងឆ្វេង (ក្នុងករណីនេះមេដៃនឹងមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាប). និយាយក្នុងន័យធៀប មូលដ្ឋានទាំងនេះ "បង្វិល" ឬលំហរទិសក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា។ ហើយគំនិតនេះមិនគួរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអ្វីដែលវែងឆ្ងាយ ឬអរូបីនោះទេ - ឧទាហរណ៍ កញ្ចក់ធម្មតាបំផុតផ្លាស់ប្តូរការតំរង់ទិសនៃលំហ ហើយប្រសិនបើអ្នក "ទាញវត្ថុដែលឆ្លុះបញ្ចាំងចេញពីកញ្ចក់" នោះជាទូទៅ វានឹងមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការ ផ្សំវាជាមួយ "ដើម" ។ ដោយវិធីនេះ យកម្រាមដៃបីទៅកញ្ចក់ ហើយវិភាគការឆ្លុះបញ្ចាំង ;-)

... តើ​វា​ល្អ​ប៉ុណ្ណា​ដែល​អ្នក​ឥឡូវ​បាន​ដឹង​អំពី តម្រង់ទិសស្តាំ និងឆ្វេងមូលដ្ឋាន, ដោយសារតែសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់សាស្រ្តាចារ្យមួយចំនួនអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃការតំរង់ទិសគឺគួរឱ្យភ័យខ្លាច =)

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear

និយមន័យ​ត្រូវ​បាន​គេ​ធ្វើ​យ៉ាង​លម្អិត វា​នៅ​តែ​រក​ឱ្យ​ឃើញ​ថា​តើ​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​នៅ​ពេល​ដែល​វ៉ិចទ័រ​នៅ​ជាប់​គ្នា។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះពួកវាអាចដាក់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយប្រលេឡូក្រាមរបស់យើងក៏ "បត់" ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ តំបន់​ដូច​អ្នក​គណិត​វិទូ​និយាយ​ថា degenerateប្រលេឡូក្រាមគឺសូន្យ។ ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត - ស៊ីនុសនៃសូន្យឬ 180 ដឺក្រេគឺស្មើនឹងសូន្យដែលមានន័យថាតំបន់គឺសូន្យ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ . និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ផលិតផលឈើឆ្កាងខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែក្នុងការអនុវត្តវាជារឿយៗត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ហើយសរសេរថាវាស្មើនឹងសូន្យ។

ករណីពិសេសគឺជាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ និងខ្លួនវាផ្ទាល់៖

ដោយប្រើផលិតផលឈើឆ្កាង អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ ហើយយើងក៏នឹងវិភាគបញ្ហានេះផងដែរ ក្នុងចំណោមបញ្ហាផ្សេងទៀត។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង វាអាចចាំបាច់ តារាងត្រីកោណមាត្រដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃស៊ីនុសពីវា។

តោះចាប់ផ្តើមភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ ១

ក) រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ

ខ) រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ if

ដំណោះស្រាយ៖ ទេ នេះមិនមែនជាការវាយអក្សរទេ ខ្ញុំបានបង្កើតទិន្នន័យដំបូងដោយចេតនានៅក្នុងធាតុលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា។ ដោយសារតែការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងខុសគ្នា!

ក) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ផលិតផលវ៉ិចទ័រ) ។ យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

ចម្លើយ:

ដោយសារវាត្រូវបានសួរអំពីប្រវែងបន្ទាប់មកនៅក្នុងចម្លើយយើងបង្ហាញពីវិមាត្រ - ឯកតា។

ខ) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ការ៉េ parallelogram បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។ ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​នេះ​គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ប្រវែង​ផលិតផល​ឈើ​ឆ្កាង៖

ចម្លើយ:

សូមចំណាំថានៅក្នុងចម្លើយអំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រមិនមានការនិយាយអ្វីទាំងអស់យើងត្រូវបានគេសួរអំពី តំបន់រូបភាពរៀងគ្នា វិមាត្រគឺជាឯកតាការ៉េ។

យើងតែងតែពិនិត្យមើលអ្វីដែលតម្រូវឱ្យត្រូវបានរកឃើញដោយលក្ខខណ្ឌ ហើយផ្អែកលើនេះ យើងបង្កើត ច្បាស់ចម្លើយ។ វាហាក់បីដូចជាអក្សរសាស្ត្រ ប៉ុន្តែមានអ្នកសរសេរអក្សរគ្រប់គ្រាន់ក្នុងចំណោមគ្រូ ហើយកិច្ចការដែលមានឱកាសល្អនឹងត្រូវបានប្រគល់ជូនវិញសម្រាប់ការពិនិត្យឡើងវិញ។ ទោះបីជានេះមិនមែនជា nitpick ដែលមានភាពតានតឹងជាពិសេស - ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវនោះមនុស្សម្នាក់ទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាមនុស្សនោះមិនយល់ពីរឿងសាមញ្ញនិង / ឬមិនបានយល់ពីខ្លឹមសារនៃភារកិច្ច។ ពេល​នេះ​គួរ​តែ​ត្រូវ​បាន​រក្សា​ឱ្យ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ការ​គ្រប់​គ្រង​ជា​និច្ច ការ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​ណា​មួយ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ថ្នាក់​ខ្ពស់ និង​មុខ​វិជ្ជា​ផ្សេង​ទៀត​ផង​ដែរ។

តើអក្សរធំ "en" ទៅណា? ជាគោលការណ៍ វាអាចត្រូវបានជាប់គាំងបន្ថែមទៅនឹងដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែដើម្បីកាត់បន្ថយកំណត់ត្រា ខ្ញុំមិនបានធ្វើទេ។ ខ្ញុំ​សង្ឃឹម​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​យល់​ថា​ជា​ការ​កំណត់​នៃ​រឿង​ដូច​គ្នា​នេះ​។

ឧទាហរណ៍ដ៏ពេញនិយមសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ២

រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ if

រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​តាម​រយៈ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​មតិយោបល់​ចំពោះ​និយមន័យ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត, ភារកិច្ចគឺពិតជាជារឿងធម្មតាណាស់, ត្រីកោណអាចត្រូវបានធ្វើទារុណកម្ម។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងទៀត យើងត្រូវការ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រ

យើងបានពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃផលិតផលវ៉ិចទ័ររួចហើយ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងបញ្ចូលពួកវានៅក្នុងបញ្ជីនេះ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន និងលេខបំពាន លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖

1) នៅក្នុងប្រភពព័ត៌មានផ្សេងទៀត ធាតុនេះជាធម្មតាមិនត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះសូមឱ្យវាក្លាយជា។

2) - ទ្រព្យសម្បត្តិក៏ត្រូវបានពិភាក្សាខាងលើដែរ ជួនកាលគេហៅថា ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល. និយាយម្យ៉ាងទៀតលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រមានសារៈសំខាន់។

3) - ការរួមបញ្ចូលគ្នាឬ សមាគមច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ថេរត្រូវបានយកចេញយ៉ាងងាយស្រួលចេញពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តាមពិតតើពួកគេកំពុងធ្វើអ្វីនៅទីនោះ?

4) - ការចែកចាយឬ ការចែកចាយច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តង្កៀបបើកក៏មិនមានបញ្ហាដែរ។

ជាការបង្ហាញ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខ្លីមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖តាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារម្តងទៀតដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តោះគូររូបតូចរបស់យើង៖

(1) យោងតាមច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរលើសពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

(2) យើងដកថេរចេញពីម៉ូឌុល ខណៈពេលដែលម៉ូឌុល "ញ៉ាំ" សញ្ញាដក។ ប្រវែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

(៣) អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក​គឺ​ច្បាស់​លាស់។

ចម្លើយ:

ដល់​ពេល​បោះ​អុស​ទៅ​លើ​ភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត  . snag គឺថា វ៉ិចទ័រ "ce" និង "te" គឺពួកគេតំណាងឱ្យផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។ ក្បួនដោះស្រាយនៅទីនេះគឺជាស្តង់ដារ ហើយត្រូវបានគេនឹកឃើញខ្លះៗអំពីឧទាហរណ៍លេខ 3 និងទី 4 នៃមេរៀន។ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ. ចូរបំបែកវាទៅជាបីជំហានដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់៖

1) នៅជំហានដំបូង យើងបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ តាមពិត បង្ហាញវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ. មិនទាន់​មាន​ពាក្យ​វែង​នៅឡើយ​ទេ​!

(1) យើងជំនួសកន្សោមនៃវ៉ិចទ័រ។

(2) ដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ យើងបើកតង្កៀបយោងទៅតាមក្បួនគុណនៃពហុនាម។

(3) ដោយប្រើច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរទាំងអស់ចេញពីផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍តិចតួច សកម្មភាពទី 2 និងទី 3 អាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

(4) ពាក្យ​ដំបូង​និង​ចុង​ក្រោយ​ស្មើ​សូន្យ (សូន្យ​វ៉ិចទ័រ) ដោយ​សារ​តែ​ទ្រព្យ​រីករាយ។ នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​ពីរ យើង​ប្រើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

(5) យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។

ជាលទ្ធផល វ៉ិចទ័របានប្រែទៅជាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រ ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យសម្រេចបាន៖

2) នៅជំហានទីពីរយើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលយើងត្រូវការ។ សកម្មភាពនេះគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 3៖

3) ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលត្រូវការ:

ជំហានទី 2-3 នៃដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានរៀបចំក្នុងមួយជួរ។

ចម្លើយ:

បញ្ហាដែលបានពិចារណាគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងការធ្វើតេស្ត នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យមួយ៖

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ សូមមើលពីរបៀបដែលអ្នកយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលសិក្សាឧទាហរណ៍ពីមុន ;-)

ឆ្លងផលគុណនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ

ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal , ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត:

រូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រកូអរដោណេនៅក្នុងបន្ទាត់កំពូលនៃកត្តាកំណត់ យើង "ខ្ចប់" កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងជួរទីពីរ និងទីបី ហើយយើងដាក់ នៅក្នុងលំដាប់តឹងរឹង- ទីមួយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "ve" បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "double-ve" ។ ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​គុណ​តាម​លំដាប់​ផ្សេង នោះ​បន្ទាត់​ក៏​គួរ​ត្រូវ​បាន​ប្តូរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានលក្ខណៈជាប់គ្នាឬអត់៖
ក)
ខ)

ដំណោះស្រាយ៖ ការធ្វើតេស្តគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយក្នុងមេរៀននេះ៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះផលិតផលឆ្លងកាត់របស់ពួកគេគឺសូន្យ (សូន្យវ៉ិចទ័រ)៖ .

ក) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

ខ) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ: ក) មិនជាប់គ្នា, ខ)

នៅទីនេះ ប្រហែលជាព័ត៌មានមូលដ្ឋានទាំងអស់អំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្នែកនេះនឹងមិនមានទំហំធំខ្លាំងទេ ដោយសារមានបញ្ហាតិចតួចដែលផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ តាមពិតទៅ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងស្ថិតនៅលើនិយមន័យ អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបមន្តការងារមួយចំនួន។

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របី:

នេះ​ជា​របៀប​ដែល​ពួក​គេ​តម្រង់​ជួរ​គ្នា​ដូច​ជា​រថភ្លើង​ហើយ​រង់ចាំ ពួកគេ​មិន​អាច​រង់ចាំ​រហូត​ដល់​គេ​គណនា​បាន​ទេ។

ជាដំបូង និយមន័យ និងរូបភាព៖

និយមន័យ៖ ផលិតផលចម្រុះ មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។, ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា បរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ បំពាក់ដោយសញ្ញា "+" ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រឹមត្រូវ និងសញ្ញា "-" ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង។

តោះធ្វើគំនូរ។ បន្ទាត់ដែលមើលមិនឃើញសម្រាប់យើងគឺត្រូវបានគូសដោយបន្ទាត់ចំនុច៖

ចូរយើងចូលទៅក្នុងនិយមន័យ៖

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។នោះគឺការផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រនៅក្នុងផលិតផល ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាស្មានមិនទៅដោយគ្មានផលវិបាកទេ។

៣) មុននឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើអត្ថន័យធរណីមាត្រ ខ្ញុំនឹងកត់សម្គាល់ការពិតជាក់ស្តែង៖ ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER:. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំ ការរចនាអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នាខ្លះ ខ្ញុំធ្លាប់កំណត់ផលិតផលចម្រុះតាមរយៈ និងលទ្ធផលនៃការគណនាដោយអក្សរ "pe"។

A-priory ផលិតផលចម្រុះគឺជាបរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ (រូបភាពត្រូវបានគូរដោយវ៉ិចទ័រក្រហម និងបន្ទាត់ខ្មៅ)។ នោះគឺចំនួនស្មើនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ។

4) ចូរកុំរំខានម្តងទៀតជាមួយនឹងគំនិតនៃការតំរង់ទិសនៃមូលដ្ឋាននិងលំហ។ អត្ថន័យនៃផ្នែកចុងក្រោយគឺថាសញ្ញាដកអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅកម្រិតសំឡេង។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ ផលិតផលចម្រុះអាចជាអវិជ្ជមាន: .

រូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ ធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងរស់នៅលើគំនិតនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រពីរ។ យើងនឹងផ្តល់និយមន័យចាំបាច់ សរសេររូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ រាយបញ្ជី និងបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងរស់នៅលើអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រពីរហើយពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតាផ្សេងៗ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

មុននឹងផ្តល់និយមន័យនៃផលិតផលឈើឆ្កាង ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងការតំរង់ទិសនៃវ៉ិចទ័របីដងដែលបានបញ្ជានៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ។

ចូរពន្យារពេលវ៉ិចទ័រពីចំណុចមួយ។ អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ បីដងអាចស្តាំ ឬឆ្វេង។ សូមក្រឡេកមើលពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រថាតើការបត់ខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទៅ . ប្រសិនបើការបង្វិលខ្លីបំផុតគឺច្រាសទ្រនិចនាឡិកានោះ វ៉ិចទ័របីដងត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។បើមិនដូច្នេះទេ - ឆ្វេង.

ឥឡូវ​សូម​យក​វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​ជួរ​គ្នា​ពីរ និង . ញែកវ៉ិចទ័រនិងពីចំណុច A ។ ចូរយើងបង្កើតវ៉ិចទ័រមួយចំនួនដែលកាត់កែងទៅ និង និងក្នុងពេលតែមួយ។ ជាក់ស្តែង នៅពេលសាងសង់វ៉ិចទ័រ យើងអាចធ្វើរឿងពីរ ដោយផ្តល់ទិសដៅមួយ ឬផ្ទុយ (សូមមើលរូបភាព)។

អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័របីដងតាមលំដាប់អាចត្រូវ ឬឆ្វេង។

ដូច្នេះ​យើង​បាន​ខិត​ទៅ​ជិត​និយមន័យ​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ។ វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៃលំហរបីវិមាត្រ។

និយមន័យ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរនិង ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័របែបនោះ។

ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ ហើយត្រូវបានតំណាងថាជា .

កូអរដោណេផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ឥឡូវនេះយើងផ្តល់និយមន័យទីពីរនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វាពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យនិង។

និយមន័យ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរ និង គឺជាវ៉ិចទ័រ ដែលជាវ៉ិចទ័រសំរបសំរួល។

និយមន័យនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវផលិតផលឆ្លងកាត់ក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ។

វាងាយស្រួលតំណាងឱ្យផលិតផលវ៉ិចទ័រជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីបី ជួរទីមួយដែលជាអ័រត ជួរទីពីរមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយជួរទីបីមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុង ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ប្រសិនបើយើងពង្រីកកត្តាកំណត់នេះដោយធាតុនៃជួរទីមួយ នោះយើងទទួលបានសមភាពពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទ)៖

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាទម្រង់កូអរដោនេនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺស្របទាំងស្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយនៃអត្ថបទនេះ។ លើសពីនេះទៅទៀត និយមន័យទាំងពីរនេះនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺសមមូល។ ភស្តុតាងនៃការពិតនេះអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅដែលបានបង្ហាញនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ។

លក្ខណៈសម្បត្តិផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ដោយសារផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកូអរដោណេអាចត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ខាងក្រោមនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋាន គុណលក្ខណៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិប្រឆាំងនឹងការចម្លងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

A-priory និង . យើងដឹងថាតម្លៃនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានបញ្ច្រាសនៅពេលដែលជួរដេកពីរត្រូវបានប្តូរ ដូច្នេះ។ ដែល​បង្ហាញ​ពី​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​របស់​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ - ឧទាហរណ៍និងដំណោះស្រាយ។

ជាទូទៅមានភារកិច្ចបីប្រភេទ។

នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីមួយប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរនិងមុំរវាងពួកវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយវាត្រូវបានគេតម្រូវឱ្យស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាង។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តត្រូវបានប្រើ .

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ ហើយប្រសិនបើស្គាល់ .

ដំណោះស្រាយ។

យើងដឹងពីនិយមន័យថាប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និងស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងដងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា ដូច្នេះហើយ .

ចម្លើយ៖

.

ភារកិច្ចនៃប្រភេទទីពីរត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលផលិតផលវ៉ិចទ័រប្រវែងរបស់វាឬអ្វីផ្សេងទៀតត្រូវបានស្វែងរកតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ និង .

មានជម្រើសផ្សេងគ្នាជាច្រើនដែលមាននៅទីនេះ។ ឧទាហរណ៍ មិនមែនជាកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ និង , ប៉ុន្តែការពង្រីករបស់វានៅក្នុងកូអរដោនេវ៉ិចទ័រនៃទម្រង់ និង ឬវ៉ិចទ័រ និងអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់របស់វា។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ធម្មតា។

ឧទាហរណ៍។

វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ . ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ។

យោងតាមនិយមន័យទីពីរ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរនៅក្នុងកូអរដោណេត្រូវបានសរសេរជា៖

យើងនឹងបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងសរសេរផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈកត្តាកំណត់

ចម្លើយ៖

.

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និងកន្លែងដែលជា orts នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ។

ជាដំបូង ស្វែងរកកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដោយសារវ៉ិចទ័រ និងមានកូអរដោណេរៀងៗខ្លួន (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ) បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យទីពីរនៃផលិតផលឈើឆ្កាង យើងមាន

នោះគឺផលិតផលវ៉ិចទ័រ មានកូអរដោនេនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រជាឫសការ៉េនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេរបស់វា (យើងទទួលបានរូបមន្តនេះសម្រាប់ប្រវែងវ៉ិចទ័រក្នុងផ្នែកលើការស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ)៖

ចម្លើយ៖

.

ឧទាហរណ៍។

កូអរដោនេនៃបីចំណុចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រមួយចំនួនដែលកាត់កែងទៅ និងក្នុងពេលតែមួយ។

ដំណោះស្រាយ។

វ៉ិចទ័រ និង​មាន​កូអរដោណេ និង​រៀង​គ្នា (មើល​អត្ថបទ​រក​កូអរដោណេ​វ៉ិចទ័រ​តាម​រយៈ​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច)។ ប្រសិនបើយើងរកឃើញផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ ហើយតាមនិយមន័យ វាគឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទាំងទៅ និងទៅ នោះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហារបស់យើង។ ចូរយើងស្វែងរកគាត់

ចម្លើយ៖

គឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងមួយ។

នៅក្នុងភារកិច្ចនៃប្រភេទទីបីជំនាញនៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានពិនិត្យ។ បន្ទាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិត្រូវបានអនុវត្ត រូបមន្តដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍។

វ៉ិចទ័រ និងកាត់កែង ហើយប្រវែងរបស់វាគឺ 3 និង 4 រៀងគ្នា។ ស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ .

ដំណោះស្រាយ។

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រយើងអាចសរសេរបាន។

ដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិសមាគម យើងដកមេគុណលេខសម្រាប់សញ្ញានៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយ៖

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនិងស្មើនឹងសូន្យចាប់តាំងពី និង , បន្ទាប់មក។

ចាប់តាំងពីផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺប្រឆាំងនឹងការចម្លង ដូច្នេះ .

ដូច្នេះដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រយើងបានមកដល់សមភាព .

តាមលក្ខខណ្ឌ វ៉ិចទ័រ និងកាត់កែង ពោលគឺមុំរវាងពួកវាស្មើនឹង . នោះគឺយើងមានទិន្នន័យទាំងអស់ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងដែលត្រូវការ

ចម្លើយ៖

.

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

តាមនិយមន័យប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺ . ហើយពីវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រវិទ្យាល័យយើងដឹងថាផ្ទៃដីនៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃប្រវែងនៃជ្រុងទាំងពីរនៃត្រីកោណនិងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺស្មើនឹងពីរដងនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានជ្រុងនៃវ៉ិចទ័រហើយប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានពន្យារពេលពីចំណុចមួយ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រ និងស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលមានជ្រុង និង និងមុំរវាងពួកវាស្មើនឹង . នេះគឺជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ឯកតាវ៉ិចទ័រ- នេះ។ វ៉ិចទ័រតម្លៃដាច់ខាត (ម៉ូឌុល) ដែលស្មើនឹងមួយ។ ដើម្បីសម្គាល់វ៉ិចទ័រឯកតា យើងនឹងប្រើអក្សររង e. ដូច្នេះប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វានឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រ ក e. វ៉ិចទ័រឯកតានេះចង្អុលក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង កហើយម៉ូឌុលរបស់វាស្មើនឹងមួយ នោះគឺ អ៊ី \u003d ១។

ជាក់ស្តែង ក= ក កអ៊ី (ក - ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ ក). នេះអនុវត្តតាមច្បាប់ដែលប្រតិបត្តិការនៃការគុណមាត្រដ្ឋានដោយវ៉ិចទ័រត្រូវបានអនុវត្ត។

ឯកតាវ៉ិចទ័រជារឿយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (ជាពិសេសជាមួយនឹងអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian) ។ ទិសដៅទាំងនេះ វ៉ិចទ័រស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា ហើយប្រភពដើមរបស់វាត្រូវបានផ្សំជាញឹកញាប់ជាមួយនឹងប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianនៅក្នុងលំហ ត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី អ័ក្សកាត់កែងគ្នាបីដង ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយហៅថា ប្រភពដើម។ អ័ក្សកូអរដោណេជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ X, Y, Z ហើយត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស abscissa, អ័ក្សតម្រៀប និងអ័ក្សអនុវត្តរៀងៗខ្លួន។ Descartes ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានប្រើអ័ក្សតែមួយដែល abscissas ត្រូវបានគ្រោងទុក។ គុណសម្បត្តិនៃការប្រើប្រាស់ ប្រព័ន្ធពូថៅជារបស់សិស្សរបស់គាត់។ ដូច្នេះឃ្លា ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianខុសជាប្រវត្តិសាស្ត្រ។ និយាយល្អជាង ចតុកោណ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលឬ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ orthogonal. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទំនៀមទម្លាប់ទេ ហើយនៅពេលអនាគត យើងនឹងសន្មត់ថា ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian និងចតុកោណ (រាងពងក្រពើ) គឺតែមួយ និងដូចគ្នា។

ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស X ត្រូវបានសម្គាល់ ខ្ញុំ, ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Y ត្រូវបានសម្គាល់ j, ក ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Z ត្រូវបានសម្គាល់ k. វ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ, j, kហៅ orts(រូបទី 12 ខាងឆ្វេង) ពួកគេមានម៉ូឌុលតែមួយ នោះគឺ
i = 1, j = 1, k = 1 ។

អ័ក្ស និង orts ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណក្នុង​ករណី​ខ្លះ​ពួក​គេ​មាន​ឈ្មោះ​ផ្សេង​ទៀត​និង​ការ​រចនា​។ ដូច្នេះ អ័ក្ស abscissa X អាចត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង τ (អក្សរតូចភាសាក្រិចថា) អ័ក្ស y គឺជាអ័ក្សធម្មតា វ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង នអ័ក្សអនុវត្តគឺជាអ័ក្សនៃ binormal វ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង ខ. ហេតុអ្វីត្រូវប្តូរឈ្មោះ បើខ្លឹមសារនៅតែដដែល?

ការពិតគឺថា ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងមេកានិច នៅពេលសិក្សាចលនារបស់សាកសព ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោណេខ្លួនវាគ្មានចលនា ហើយការផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេនៃវត្ថុផ្លាស់ទីត្រូវបានតាមដាននៅក្នុងប្រព័ន្ធគ្មានចលនានេះ នោះជាធម្មតាអ័ក្សតំណាងឱ្យ X, Y, Z និងពួកវា។ ortsរៀងៗខ្លួន ខ្ញុំ, j, k.

ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់នៅពេលដែលវត្ថុមួយផ្លាស់ទីតាមប្រភេទនៃគន្លង curvilinear (ឧទាហរណ៍តាមរង្វង់មួយ) វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាដំណើរការមេកានិកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលផ្លាស់ទីជាមួយវត្ថុនេះ។ វាគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេផ្លាស់ទី ដែលឈ្មោះផ្សេងទៀតនៃអ័ក្ស និងវ៉ិចទ័រឯកតារបស់ពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់។ វាទើបតែត្រូវបានទទួលយក។ ក្នុងករណីនេះ អ័ក្ស X ត្រូវបានដឹកនាំ tangential ទៅគន្លងនៅចំណុចដែលវត្ថុនេះស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ ហើយបន្ទាប់មកអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស X ទៀតទេ ប៉ុន្តែអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាមិនត្រូវបានតំណាងទៀតទេ ខ្ញុំ, ក τ . អ័ក្ស Y ត្រូវបានដឹកនាំតាមកាំនៃកោងនៃគន្លង (ក្នុងករណីចលនាក្នុងរង្វង់មួយ - ទៅកណ្តាលរង្វង់) ។ ហើយដោយសារកាំគឺកាត់កែងទៅនឹងតង់សង់ អ័ក្សត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សធម្មតា (កាត់កែង និងធម្មតាគឺដូចគ្នា)។ ចំនុចនៃអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានតំណាងទៀតទេ j, ក ន. អ័ក្សទីបី (អតីត Z) គឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សមុនទាំងពីរ។ នេះគឺជា binormal ដែលមានវ៉ិចទ័រ ខ(រូបទី 12 ស្តាំ) ។ ដោយវិធីនេះក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ឬធម្មជាតិ។