មុននឹងផ្តល់គោលគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ចូរយើងងាកទៅរកសំណួរនៃការតំរង់ទិសនៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ a → , b → , c → ក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។
ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងដាក់វ៉ិចទ័រ a → , b → , c → ពីចំនុចមួយ។ ការតំរង់ទិសនៃបី a → , b → , c → ស្តាំ ឬឆ្វេង អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ c → ។ ពីទិសដៅដែលវេនខ្លីបំផុតត្រូវបានធ្វើឡើងពីវ៉ិចទ័រ a → ទៅ b → ពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ c → ទម្រង់នៃបីដង a → , b → , c → នឹងត្រូវបានកំណត់។
ប្រសិនបើការបង្វិលខ្លីបំផុតគឺច្រាសទ្រនិចនាឡិកានោះ បីដងនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → ត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើទ្រនិចនាឡិកា - ឆ្វេង.
បន្ទាប់មកយកវ៉ិចទ័រមិនជាប់ជួរគ្នាពីរ a → និង b → ។ បនា្ទាប់មក េយើ ងបនា្ទាប់ពីចំនុច A B → = a → និង A C → = b → ពីចំនុច A ។ ចូរយើងបង្កើតវ៉ិចទ័រ A D → = c → ដែលកាត់កែងគ្នាទាំង A B → និង A C → ។ ដូច្នេះនៅពេលសាងសង់វ៉ិចទ័រ A D → = c → យើងអាចធ្វើរឿងពីរដោយផ្តល់ឱ្យវានូវទិសដៅមួយឬផ្ទុយ (សូមមើលរូបភាព) ។
វ៉ិចទ័របីតាមលំដាប់ a → , b → , c → អាចជាដូចដែលយើងបានរកឃើញ ស្តាំ ឬឆ្វេង អាស្រ័យលើទិសនៃវ៉ិចទ័រ។
ពីខាងលើយើងអាចណែនាំនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ និយមន័យនេះ។បានផ្តល់សម្រាប់វ៉ិចទ័រពីរដែលបានកំណត់ក្នុង ប្រព័ន្ធចតុកោណកូអរដោនេ លំហបីវិមាត្រ.
និយមន័យ ១
ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ a → និង b → យើងនឹងហៅវ៉ិចទ័របែបនោះដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រដូចជា៖
- ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a → និង b → ជាប់គ្នា នោះវានឹងជាសូន្យ។
- វានឹងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a → និងវ៉ិចទ័រ b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- ប្រវែងរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
- បីនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → មានទិសដៅដូចគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ផលិតផលវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ a → និង b → មានសញ្ញាណដូចខាងក្រោមៈ a → × b → ។
កូអរដោណេផលិតផលឆ្លងកាត់
ដោយសារវ៉ិចទ័រណាមួយមានកូអរដោនេជាក់លាក់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ វាអាចណែនាំនិយមន័យទីពីរនៃផលិតផលឈើឆ្កាង ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វាពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
និយមន័យ ២
នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ a → = (a x ; a y ; a z) និង b → = ( b x ; b y ; b z ) ហៅវ៉ិចទ័រ c → = a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k → , ដែល i → , j → , k → ជាវ៉ិចទ័រសំរបសំរួល។
ផលិតផលវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់ ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីបី ដែលបន្ទាត់ទីមួយជាវ៉ិចទ័រ i → , j → , k → បន្ទាត់ទីពីរមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ a → ហើយបន្ទាត់ទីបីមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ b → នៅក្នុងកូអរដោនេចតុកោណកែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រព័ន្ធ កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសនេះមើលទៅដូចនេះ៖ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
ពង្រីកកត្តាកំណត់នេះលើធាតុនៃជួរទីមួយ យើងទទួលបានសមភាព៖ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → y = b x a a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k →
ឆ្លងកាត់លក្ខណៈសម្បត្តិផលិតផល
វាត្រូវបានគេដឹងថាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកូអរដោណេត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z បន្ទាប់មកនៅលើមូលដ្ឋាន លក្ខណៈសម្បត្តិកំណត់ម៉ាទ្រីសលំនាំតាម គុណលក្ខណៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖
- អង់ទីករ a → × b → = − b → × a → ;
- ការចែកចាយ a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ឬ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- associativity λ a → × b → = λ a → × b → ឬ a → × (λ b →) = λ a → × b → ដែល λ គឺជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។
ទ្រព្យសម្បត្តិទាំងនេះមិនមានភស្តុតាងស្មុគស្មាញទេ។
ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិប្រឆាំងនឹងការចម្លងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។
ភស្តុតាងនៃការប្រឆាំងនឹងការផ្លាស់ប្តូរ
តាមនិយមន័យ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z និង b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z ។ ហើយប្រសិនបើជួរពីរនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ នោះតម្លៃនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគួរតែផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a - b → × a → ដែលនិងបង្ហាញពីភាពប្រឆាំងនឹងការប្រែប្រួលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។
ផលិតផលវ៉ិចទ័រ - ឧទាហរណ៍និងដំណោះស្រាយ
ក្នុងករណីភាគច្រើន ការងារមានបីប្រភេទ។
នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីមួយប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរនិងមុំរវាងពួកវាជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប៉ុន្តែអ្នកត្រូវស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាង។ ក្នុងករណីនេះ សូមប្រើរូបមន្តខាងក្រោម c → = a → b → sin ∠ a → , b → ។
ឧទាហរណ៍ ១
រកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → ប្រសិនបើ a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 ត្រូវបានគេដឹង។
ការសម្រេចចិត្ត
ដោយប្រើនិយមន័យនៃប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → យើងដោះស្រាយ កិច្ចការនេះ។: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .
ចម្លើយ៖ 15 2 2 .
ភារកិច្ចនៃប្រភេទទីពីរមានទំនាក់ទំនងជាមួយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រពួកគេមានផលិតផលវ៉ិចទ័រប្រវែងរបស់វាជាដើម។ បានស្វែងរកតាមរយៈ កូអរដោនេដែលគេស្គាល់វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a → = (a x; a y; a z) និង b → = (b x; b y; b z) .
សម្រាប់ប្រភេទនៃភារកិច្ចនេះអ្នកអាចដោះស្រាយជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ភារកិច្ច។ ឧទាហរណ៍ មិនមែនកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → ទេ ប៉ុន្តែការពង្រីករបស់ពួកគេនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រប្រភេទ b → = b x i → + b y j → + b z k → និង c → = a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k → ឬ វ៉ិចទ័រ a → និង b → អាចត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោណេរបស់ពួកគេ ចំណុចចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់។
សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍ ២
វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) ។ ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេ។
ការសម្រេចចិត្ត
តាមនិយមន័យទីពីរ យើងរកឃើញផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរនៅក្នុង កូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ: a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k → = = (1 1 − ( − 3) (− 1)) i → + (( - 3) 0 − 2 1) j → + (2 ( − 1) − 1 0) k → = = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .
ប្រសិនបើយើងសរសេរផលិតផលឆ្លងកាត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃម៉ាទ្រីសកំណត់ នោះដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍នេះ។មើលទៅដូចនេះ៖ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → ។
ចម្លើយ៖ a → × b → = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .
ឧទាហរណ៍ ៣
រកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + j → + k → , ដែល i → , j → , k → - orts នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេរាងចតុកោណ។
ការសម្រេចចិត្ត
ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ i → - j → × i → + j → + k → នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
គេដឹងថា វ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + j → + k → មានកូអរដោណេ (1 ; - 1 ; 0) និង (1 ; 1 ; 1) រៀងគ្នា។ រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដោយប្រើកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស បន្ទាប់មកយើងមាន i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 − 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រ i → - j → × i → + j → + k → មានកូអរដោនេ (- 1 ; - 1 ; 2) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
យើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដោយរូបមន្ត (មើលផ្នែកលើការស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ)៖ i → - j → × i → + j → + k → = − 1 2 + − 1 2 + 2 2 = ៦.
ចម្លើយ៖ i → − j → × i → + j → + k → = 6 ។ .
ឧទាហរណ៍ 4
នៅក្នុងរាងចតុកោណ ប្រព័ន្ធ Cartesianកូអរដោណេគឺជាកូអរដោនេនៃបីពិន្ទុ A (1 , 0 , 1), B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅ A B → និង A C → នៅពេលតែមួយ។
ការសម្រេចចិត្ត
វ៉ិចទ័រ A B → និង A C → មានកូអរដោនេដូចខាងក្រោម (- 1 ; 2 ; 2) និង (0 ; 4 ; 1) រៀងគ្នា។ ដោយបានរកឃើញផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → វាច្បាស់ណាស់ថាវាជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងតាមនិយមន័យទាំង A B → និង A C → នោះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហារបស់យើង។ រកវា A B → × A C → = i → j → k → − 1 2 2 0 4 1 = − 6 i → + j → − 4 k → ។
ចម្លើយ៖ - 6 i → + j → − 4 k → . គឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងមួយ។
បញ្ហានៃប្រភេទទីបីគឺផ្តោតលើការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់ពីអនុវត្តការដែលយើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍ ៥
វ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង ហើយប្រវែងរបស់វាគឺ 3 និង 4 រៀងគ្នា។ រកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 3 a → × a → − 2 b → + − b → × a → − 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × − 2 b → + − b → × a → + − b → × − 2 ខ → .
ការសម្រេចចិត្ត
តាមលក្ខណសម្បត្តិចែកចាយនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងអាចសរសេរ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 3 a → × a → − 2 b → + − b → × a → − 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × − 2 ខ → + − b → × a → + − b → × − 2 ខ →
ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្សារភ្ជាប់ យើងដកមេគុណលេខលើសពីសញ្ញានៃផលិតផលវ៉ិចទ័រក្នុងកន្សោមចុងក្រោយ៖ 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × − 2 b → = = 3 a → × a → + 3 ( − 2 ) a → × b → + ( − 1 ) b → × a → + ( − 1 ) ( − 2 ) b → × b → = = 3 a → × a → − 6 a → × b → − b → × a → + 2 b → × b →
ផលិតផលវ៉ិចទ័រ a → × a → និង b → × b → ស្មើនឹង 0 ដោយហេតុថា a → × a → = a → a → sin 0 = 0 និង b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , បន្ទាប់មក 3 a → × a → − 6 a → × b → − b → × a → + 2 b → × b → = − 6 a → × b → − b → × a → ។ .
ពី anticommutativity នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រវាដូចខាងក្រោម - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = 5 a → × b → ។ .
ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិរបស់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានសមភាព 3 · a → − b → × a → − 2 · b → = = − 5 · a → × b → ។
តាមលក្ខខណ្ឌ វ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង ពោលគឺ មុំរវាងពួកវាស្មើនឹង π 2 ។ ឥឡូវនេះវានៅសល់តែដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖ 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60 ។
ចម្លើយ៖ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 60 .
ប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រតាមនិយមន័យគឺ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ។ ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយ (ពី វគ្គសិក្សាសាលា) ដែលផ្ទៃនៃត្រីកោណគឺពាក់កណ្តាលផលគុណនៃប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរគុណនឹងស៊ីនុសនៃមុំរវាងភាគីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម - ត្រីកោណទ្វេរដងពោលគឺផលិតផលនៃជ្រុងក្នុងទម្រង់ជាវ៉ិចទ័រ a → និង b → , ដាក់ចេញពីចំណុចមួយដោយស៊ីនុស នៃមុំរវាងពួកវា sin ∠ a → , b → .
នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា អារម្មណ៍ធរណីមាត្រផលិតផលវ៉ិចទ័រ។
អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ
នៅក្នុងមេកានិច សាខាមួយនៃរូបវិទ្យា អរគុណចំពោះផលិតផលវ៉ិចទ័រ អ្នកអាចកំណត់ពេលនៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចក្នុងលំហ។
និយមន័យ ៣
នៅក្រោមពេលនៃកម្លាំង F → អនុវត្តទៅចំណុច B ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច A យើងនឹងយល់ពីផលិតផលវ៉ិចទ័រខាងក្រោម A B → × F → ។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter
៧.១. និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់
វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ចំនួនបី a , b និង c ដែលយកតាមលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ បង្កើតជាបីដងខាងស្តាំ ប្រសិនបើចាប់ពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីបី c វេនខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយ a ទៅវ៉ិចទ័រទីពីរ b ត្រូវបានគេមើលឃើញថាច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយ ខាងឆ្វេងមួយប្រសិនបើទ្រនិចនាឡិកា (សូមមើលរូបភព។ ដប់ប្រាំមួយ) ។
ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a និងវ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ c ដែល៖
1. កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b, i.e. c ^ a និង c ^ ខ;
2. វាមានប្រវែងជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ a និងខដូចជានៅលើជ្រុង (សូមមើលរូបភព 17) i.e.
3. វ៉ិចទ័រ a , b និង c បង្កើតជាបីខាងស្តាំ។
ផលិតផលវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាង a x b ឬ [a,b] ។ ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាង orts ដែលខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ jនិង k(សូមមើលរូបទី 18)៖
i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j ។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបញ្ជាក់ខ្ញុំ xj \u003d k ។
1) k^i, k ^ j;
2) |k |=1 ប៉ុន្តែ | ខ្ញុំ x j| = |i | |J| sin(90°)=1;
3) វ៉ិចទ័រ i, j និង kបង្កើតជាបីខាងស្តាំ (សូមមើលរូបភាពទី 16)។
៧.២. ឆ្លងកាត់លក្ខណៈសម្បត្តិផលិតផល
1. នៅពេលដែលកត្តាត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ ផលិតផលវ៉ិចទ័រផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា i.e. និង xb \u003d (b xa) (សូមមើលរូប 19)។
វ៉ិចទ័រ a xb និង b xa គឺ collinear មានម៉ូឌុលដូចគ្នា (ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ) ប៉ុន្តែត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ទុយគ្នា (បីដង a, b, និង xb និង a, b, b x a នៃទិសផ្ទុយ) ។ នោះគឺជា axb = -(bxa).
2. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមាន ទ្រព្យសម្បត្តិរួមទាក់ទងនឹងកត្តាមាត្រដ្ឋាន ពោលគឺ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b) ។
អនុញ្ញាតឱ្យ l > 0 ។ វ៉ិចទ័រ l (a xb) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b ។ វ៉ិចទ័រ ( លីត្រក) x ខក៏កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង ខ(វ៉ិចទ័រ a, លីត្រប៉ុន្តែដេកនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា) ។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ លីត្រ(a xb) និង ( លីត្រក) x ខ collinear ។ វាច្បាស់ណាស់ថាទិសដៅរបស់ពួកគេស្របគ្នា។ ពួកគេមានប្រវែងដូចគ្នា៖
ដូច្នេះ លីត្រ(a xb)= លីត្រមួយ xb ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ លីត្រ<0.
3. វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ a និង ខគឺជាប់គ្នាប្រសិនបើផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់វាស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ ពោលគឺ និង ||b<=>និង xb \u003d 0 ។
ជាពិសេស i * i = j * j = k * k = 0 ។
4. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ៖
(a+b) xs = a xs + ខ xs
ទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។
៧.៣. កន្សោមផលិតផលឆ្លងកាត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេ
យើងនឹងប្រើតារាងផលិតផលឆ្លងកាត់វ៉ិចទ័រ i , jនិង k:
ប្រសិនបើទិសដៅនៃផ្លូវខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយទៅទីពីរស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃព្រួញនោះផលិតផលស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទីបីប្រសិនបើវាមិនត្រូវគ្នានោះវ៉ិចទ័រទីបីត្រូវបានថតដោយសញ្ញាដក។
ទុកវ៉ិចទ័រពីរ a = a x i + a y j+az kនិង b=bx ខ្ញុំ+ ដោយ j+bz k. ចូរយើងស្វែងរកផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយគុណពួកវាជាពហុធា (យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ)៖
រូបមន្តលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែខ្លី៖
ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (7.1) ទាក់ទងទៅនឹងការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរទីមួយ។ សមភាព (7.2) ងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។
៧.៤. កម្មវិធីមួយចំនួននៃផលិតផលឈើឆ្កាង
ការបង្កើតភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ
ការស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម និងត្រីកោណមួយ។
យោងទៅតាមនិយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ កនិង ខ |a xb| =|a| * |b |sin g, i.e. S par = |a x b |។ ដូច្នេះហើយ D S \u003d 1/2 | a x b | ។
កំណត់ពេលនៃកម្លាំងអំពីចំណុចមួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តនៅចំណុច A F = ABតោះទៅ អូ- ចំណុចមួយចំនួននៅក្នុងលំហ (សូមមើលរូបទី 20)។
វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីរូបវិទ្យាថា កម្លាំងបង្វិលជុំ ច ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច អូហៅថាវ៉ិចទ័រ ម ,ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច អូនិង៖
1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច O, A, B;
2) លេខស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្លាំងនិងដៃ
3) បង្កើតជាបីខាងស្តាំជាមួយវ៉ិចទ័រ OA និង A B ។
ដូច្នេះ M \u003d OA x F ។
ស្វែងរកល្បឿនលីនេអ៊ែរនៃការបង្វិល
ល្បឿន vពិន្ទុ M រាងកាយរឹងបង្វិលដោយល្បឿនមុំ វជុំវិញអ័ក្សថេរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តអយល័រ v \u003d w x r ដែល r \u003d OM ដែល O ជាចំណុចថេរខ្លះនៃអ័ក្ស (សូមមើលរូបភាពទី 21) ។
ឯកតាវ៉ិចទ័រ- នេះ។ វ៉ិចទ័រតម្លៃដាច់ខាត (ម៉ូឌុល) ដែលស្មើនឹងមួយ។ ដើម្បីសម្គាល់វ៉ិចទ័រឯកតា យើងនឹងប្រើអក្សររង e. ដូច្នេះប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វានឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រ ក e. វ៉ិចទ័រឯកតានេះចង្អុលក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង កហើយម៉ូឌុលរបស់វាស្មើនឹងមួយ នោះគឺ អ៊ី \u003d ១។
ជាក់ស្តែង ក= ក កអ៊ី (ក - ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ ក). នេះអនុវត្តតាមច្បាប់ដែលប្រតិបត្តិការនៃការគុណមាត្រដ្ឋានដោយវ៉ិចទ័រត្រូវបានអនុវត្ត។
ឯកតាវ៉ិចទ័រជារឿយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (ជាពិសេសជាមួយនឹងអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian) ។ ទិសដៅទាំងនេះ វ៉ិចទ័រស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា ហើយប្រភពដើមរបស់វាត្រូវបានផ្សំជាញឹកញាប់ជាមួយនឹងប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។
ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianនៅក្នុងលំហ ត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី អ័ក្សកាត់កែងគ្នាបីដង ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយហៅថា ប្រភពដើម។ អ័ក្សកូអរដោណេជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរ X, Y, Z ហើយត្រូវបានហៅថាអ័ក្ស abscissa, អ័ក្សតម្រៀប និងអ័ក្សអនុវត្តរៀងៗខ្លួន។ Descartes ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានប្រើអ័ក្សតែមួយដែល abscissas ត្រូវបានគ្រោងទុក។ គុណសម្បត្តិនៃការប្រើប្រាស់ ប្រព័ន្ធពូថៅជារបស់សិស្សរបស់គាត់។ ដូច្នេះឃ្លា ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianខុសជាប្រវត្តិសាស្ត្រ។ និយាយល្អជាង ចតុកោណ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលឬ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ orthogonal. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទំនៀមទម្លាប់ទេ ហើយនៅពេលអនាគត យើងនឹងសន្មត់ថា ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian និងចតុកោណ (រាងចតុកោណកែង) គឺតែមួយ និងដូចគ្នា។
ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស X ត្រូវបានសម្គាល់ ខ្ញុំ, ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Y ត្រូវបានសម្គាល់ j, ក ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Z ត្រូវបានសម្គាល់ k. វ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ, j, kបានហៅ orts(រូបទី 12 ខាងឆ្វេង) ពួកគេមានម៉ូឌុលតែមួយ នោះគឺ
i = 1, j = 1, k = 1 ។
អ័ក្ស និង orts ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណក្នុងករណីខ្លះពួកគេមានឈ្មោះផ្សេងទៀតនិងការរចនា។ ដូច្នេះ អ័ក្ស abscissa X អាចត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង τ (អក្សរតូចភាសាក្រិចថា) អ័ក្ស y គឺជាអ័ក្សធម្មតា វ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង នអ័ក្សអនុវត្តគឺជាអ័ក្សនៃ binormal វ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង ខ. ហេតុអ្វីត្រូវប្តូរឈ្មោះ បើខ្លឹមសារនៅតែដដែល?
ការពិតគឺថា ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងមេកានិច នៅពេលសិក្សាចលនារបស់សាកសព ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោណេខ្លួនវាគ្មានចលនា ហើយការផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេនៃវត្ថុផ្លាស់ទីត្រូវបានតាមដាននៅក្នុងប្រព័ន្ធគ្មានចលនានេះ នោះជាធម្មតាអ័ក្សតំណាងឱ្យ X, Y, Z និងពួកវា។ ortsរៀងគ្នា។ ខ្ញុំ, j, k.
ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់នៅពេលដែលវត្ថុមួយផ្លាស់ទីតាមប្រភេទនៃគន្លង curvilinear (ឧទាហរណ៍តាមរង្វង់មួយ) វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាដំណើរការមេកានិកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលផ្លាស់ទីជាមួយវត្ថុនេះ។ វាគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេផ្លាស់ទី ដែលឈ្មោះផ្សេងទៀតនៃអ័ក្ស និងវ៉ិចទ័រឯកតារបស់ពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់។ វាទើបតែត្រូវបានទទួលយក។ ក្នុងករណីនេះ អ័ក្ស X ត្រូវបានតម្រង់ទិស tangential ទៅគន្លងនៅចំណុចដែលវត្ថុនេះស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ ហើយបន្ទាប់មកអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស X ទៀតទេ ប៉ុន្តែអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាមិនត្រូវបានតំណាងទៀតទេ ខ្ញុំ, ក τ . អ័ក្ស Y ត្រូវបានដឹកនាំតាមកាំនៃកោងនៃគន្លង (ក្នុងករណីចលនាក្នុងរង្វង់មួយ - ទៅកណ្តាលរង្វង់) ។ ហើយដោយសារកាំគឺកាត់កែងទៅនឹងតង់សង់ អ័ក្សត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សធម្មតា (កាត់កែង និងធម្មតាគឺដូចគ្នា)។ ចំនុចនៃអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានតំណាងទៀតទេ j, ក ន. អ័ក្សទីបី (អតីត Z) គឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សមុនទាំងពីរ។ នេះគឺជា binormal ដែលមានវ៉ិចទ័រ ខ(រូបទី 12 ស្តាំ) ។ ដោយវិធីនេះក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ឬធម្មជាតិ។
និយមន័យ ការប្រមូលដែលបានបញ្ជាទិញ (x 1 , x 2 , ... , x n) n នៃចំនួនពិតត្រូវបានហៅ វ៉ិចទ័រវិមាត្រនិងលេខ x i (i = ) - សមាសធាតុឬ កូអរដោនេ,
ឧទាហរណ៍។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើរោងចក្រផលិតរថយន្តជាក់លាក់មួយត្រូវផលិតរថយន្តចំនួន 50 គ្រឿង រថយន្តដឹកទំនិញចំនួន 100 គ្រឿង រថយន្តក្រុងចំនួន 10 គ្រឿង គ្រឿងបន្លាស់ចំនួន 50 គ្រឿងសម្រាប់រថយន្ត និង 150 ឈុតសម្រាប់រថយន្តដឹកទំនិញ និងរថយន្តក្រុងក្នុងមួយវេន នោះកម្មវិធីផលិតរោងចក្រនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា វ៉ិចទ័រ (50, 100, 10, 50, 150) ដែលមានធាតុផ្សំប្រាំ។
កំណត់ចំណាំ។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូចដិត ឬអក្សរដិតជាមួយរបារ ឬព្រួញនៅខាងលើ ឧទាហរណ៍ កឬ. វ៉ិចទ័រទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ស្មើប្រសិនបើពួកគេមានចំនួនដូចគ្នានៃសមាសភាគ ហើយសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។
សមាសធាតុវ៉ិចទ័រមិនអាចផ្លាស់ប្តូរបានទេ ឧ. (3, 2, 5, 0, 1)និង (2, 3, 5, 0, 1) វ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា។
ប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ។ការងារ
x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ទៅជាចំនួនពិតλ ហៅថាវ៉ិចទ័រλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n) ។
ផលបូកx= (x 1 , x 2 , ... , x n) និង y= (y 1 , y 2 , ... , y n) ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n) ។
ចន្លោះនៃវ៉ិចទ័រ។ន -ទំហំវ៉ិចទ័រវិមាត្រ រ n ត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional ដែលប្រតិបត្តិការនៃគុណនឹងចំនួនពិត និងការបូកត្រូវបានកំណត់។
រូបភាពសេដ្ឋកិច្ច។ រូបភាពសេដ្ឋកិច្ចនៃទំហំវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ៖ ចន្លោះទំនិញ (ទំនិញ) នៅក្រោម ទំនិញយើងនឹងយល់ពីសេវាកម្មល្អ ឬសេវាកម្មមួយចំនួនដែលបានដាក់លក់នៅពេលជាក់លាក់មួយនៅកន្លែងជាក់លាក់មួយ។ សន្មត់ថាមានចំនួនកំណត់នៃទំនិញដែលមាន n; បរិមាណនៃទំនិញនីមួយៗដែលបានទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយសំណុំនៃទំនិញ
x= (x 1 , x 2 , ... , x n )
ដែល x i បង្ហាញពីចំនួននៃទំនិញ i-th ដែលទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់។ យើងនឹងសន្មត់ថាទំនិញទាំងអស់មានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកតាមអំពើចិត្ត ដូច្នេះបរិមាណដែលមិនអវិជ្ជមាននៃទំនិញនីមួយៗអាចទិញបាន។ បន្ទាប់មកសំណុំទំនិញដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់គឺជាវ៉ិចទ័រនៃទំហំទំនិញ C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).
ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។
ប្រព័ន្ធ អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , ... , អ៊ី m n-dimensional vectors ត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខបែបនេះλ 1 , λ 2 , ... , λ m ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនមែនជាសូន្យ ដែលបំពេញនូវសមភាពλ1 អ៊ី 1 + λ2 អ៊ី 2+...+λm អ៊ី m = 0; បើមិនដូច្នេះទេ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពោលគឺ សមភាពនេះគឺអាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីទាំងអស់ប៉ុណ្ណោះ។ 
. អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុង រ 3, បកស្រាយថាជាផ្នែកដឹកនាំ, ពន្យល់ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រមួយគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនេះគឺសូន្យ។
ទ្រឹស្តីបទ ២. ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រពីរមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជាគូលីនេអ៊ែរ (ប៉ារ៉ាឡែល)។
ទ្រឹស្តីបទ ៣ . ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័របីមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជា coplanar (ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ)។
ឆ្វេងនិងស្តាំបីដងនៃវ៉ិចទ័រ។ បីដងនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ក, ខ, គបានហៅ ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើអ្នកសង្កេតមើលពីប្រភពដើមទូទៅរបស់ពួកគេឆ្លងកាត់ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ក, ខ, គនៅក្នុងលំដាប់នោះ វាហាក់ដូចជាដំណើរការតាមទ្រនិចនាឡិកា។ បើមិនដូច្នេះទេ។ ក, ខ, គ -ឆ្វេងបីដង. ខាងស្តាំ (ឬខាងឆ្វេង) បីនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ស្មើគ្នា តម្រង់ទិស។
មូលដ្ឋាននិងកូអរដោនេ។ ត្រូកា អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ក្នុង រ 3 បានហៅ មូលដ្ឋាននិងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 - មូលដ្ឋាន. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ កអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងវិធីតែមួយគត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន នោះគឺវាអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់
ក= x ១ អ៊ី 1 + x2 អ៊ី 2 + x ៣ អ៊ី 3, (1.1)
លេខ x 1 , x 2 , x 3 នៅក្នុងការពង្រីក (1.1) ត្រូវបានហៅ កូអរដោនេកនៅក្នុងមូលដ្ឋាន អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 និងត្រូវបានតំណាង ក(x 1, x 2, x 3) ។
មូលដ្ឋានអ័រគីដេ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 គឺជាគូកាត់កែង ហើយប្រវែងនៃពួកវានីមួយៗគឺស្មើនឹងមួយ បន្ទាប់មកមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតានិងកូអរដោនេ x 1 , x 2 , x 3 - ចតុកោណ។វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៃមូលដ្ឋានអ័រថូនិកនឹងត្រូវបានតំណាង ខ្ញុំ, j, k ។
យើងនឹងសន្មតថានៅក្នុងលំហ រ 3 ប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian (0, ខ្ញុំ, j, k}.
ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ សិល្បៈវ៉ិចទ័រ កក្នុងមួយវ៉ិចទ័រ ខហៅថាវ៉ិចទ័រ គដែលត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌបីដូចខាងក្រោមៈ
1. ប្រវែងវ៉ិចទ័រ គជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតលើវ៉ិចទ័រ កនិង ខ, i.e.
គ=
|a||b|អំពើបាប( ក^ខ).
2. វ៉ិចទ័រ គកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រនីមួយៗ កនិង ខ.
3. វ៉ិចទ័រ ក, ខនិង គយកតាមលំដាប់នោះ បង្កើតជាបីត្រូវ។
សម្រាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ គការកំណត់ត្រូវបានណែនាំ c=[ab] ឬ
c = ក
× ខ.
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខជាប់គ្នា បន្ទាប់មក បាប ( a^b) = 0 និង [ ab] = 0 ជាពិសេស [ អេ] = 0. ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃ orts: [ អ៊ី]=k, [jk] = ខ្ញុំ, [គី]=j.
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kកូអរដោនេ ក(a 1, a 2, a 3) ខ(b 1, b 2, b 3) បន្ទាប់មក
ការងារចម្រុះ។ ប្រសិនបើផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរ កនិង ខមាត្រដ្ឋានគុណនឹងវ៉ិចទ័រទីបី គ,បន្ទាប់មកផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របីត្រូវបានគេហៅថា ផលិតផលចម្រុះហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ក bc
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ក, ខនិង គនៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kកំណត់ដោយកូអរដោនេរបស់ពួកគេ។
ក(a 1, a 2, a 3) ខ(ខ ១, ខ ២, ខ ៣), គ(c 1, c 2, c 3) បន្ទាប់មក
.
ផលិតផលចំរុះមានការបកស្រាយធរណីមាត្រសាមញ្ញ - វាគឺជាមាត្រដ្ឋានដែលមានតម្លៃដាច់ខាតស្មើនឹងបរិមាណនៃប៉ារ៉ាឡែលភីពដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័របី។
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របង្កើតបានបីដងត្រឹមត្រូវ នោះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺជាលេខវិជ្ជមានស្មើនឹងបរិមាណដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ប្រសិនបើទាំងបី ក, ខ, គ -ចាកចេញ បន្ទាប់មក a b គ<0 и V = - a b គដូច្នេះ V =|a b c|.
កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលជួបប្រទះនៅក្នុងបញ្ហានៃជំពូកទី 1 ត្រូវបានគេសន្មត់ថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន orthonormal ត្រឹមត្រូវ។ ឯកតាវ៉ិចទ័រ បង្វែរទិសទៅវ៉ិចទ័រ ក,តំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា កអំពី។ និមិត្តសញ្ញា r=អូមតំណាងដោយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច M និមិត្តសញ្ញា a, AB ឬ|a|, | AB |ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាង កនិង AB
ឧទាហរណ៍ 1.2. រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ក= 2ម+4ននិង ខ= m-nកន្លែងណា មនិង ន-ឯកតាវ៉ិចទ័រ និងមុំរវាង មនិង នស្មើនឹង 120 o ។
ការសម្រេចចិត្ត. យើងមានៈ cos φ = ab/ab, ab =(2ម+4ន) (m-n) = 2ម 2 - 4ន 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ក = ; ក 2 = (2ម+4ន) (2ម+4ន) =
= 4ម 2 +16mn+16ន 2 = 4+16(-0.5)+16=12 ដូច្នេះ a = . b= ; ខ 2 =
= (m-n)(m-n) = ម 2 -2mn+ន 2 =
1-2(-0.5)+1=3 ដូច្នេះ b= ។ ទីបំផុតយើងមាន: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o ។
ឧទាហរណ៍ 1.3 ។ស្គាល់វ៉ិចទ័រ AB(-3,-2.6) និង BC(-2,4,4) គណនាកម្ពស់ AD នៃត្រីកោណ ABC ។
ការសម្រេចចិត្ត. កំណត់ផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ដោយ S យើងទទួលបាន៖
S = 1/2 B.C. AD ។ បន្ទាប់មក AD=2S/BC, BC== 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC|.
AC=AB+BCដូច្នេះវ៉ិចទ័រ ACមានកូអរដោនេ
.
.
ឧទាហរណ៍ 1.4 . ផ្តល់វ៉ិចទ័រពីរ ក(11,10,2) និង ខ(៤,០,៣)។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតា គ,រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រ កនិង ខនិងដឹកនាំដូច្នេះ វ៉ិចទ័របីដង តាមលំដាប់ ក, ខ, គត្រឹមត្រូវ។
ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ គដោយគោរពតាមមូលដ្ឋានអ័រថូនិកត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ x, y, z ។
ដរាបណា គ ⊥ ក, គ ⊥ខបន្ទាប់មក ប្រហែល= 0, គ= 0. តាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺតម្រូវឱ្យ c = 1 និង a b គ >0.
យើងមានប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់ស្វែងរក x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x + 3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0 ។
ពីសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន z = -4/3 x, y = -5/6 x ។ ការជំនួស y និង z ទៅក្នុងសមីការទីបី យើងនឹងមានៈ x 2 = 36/125 មកពីណា។
x=±
. លក្ខខណ្ឌប្រើប្រាស់ a b c > 0 យើងទទួលបានវិសមភាព
ដោយគិតពីកន្សោមសម្រាប់ z និង y យើងសរសេរឡើងវិញនូវលទ្ធផលវិសមភាពក្នុងទម្រង់៖ 625/6 x > 0 ដែលវាធ្វើតាម x> 0 ។ ដូច្នេះ x = , y = - , z = − ។
និយមន័យ។ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a (មេគុណ) ដោយវ៉ិចទ័រ (មេគុណ) ដែលមិនជាប់គ្នាជាមួយវាគឺជាវ៉ិចទ័រ c (ផលិតផល) ទីបីដែលត្រូវបានសាងសង់ដូចខាងក្រោមៈ
1) ម៉ូឌុលរបស់វាគឺជាលេខ ស្មើនឹងតំបន់ប្រលេឡូក្រាមក្នុងរូប។ 155) បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ ពោលគឺវាស្មើនឹងទិសដៅកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានរៀបរាប់។
3) ក្នុងករណីនេះទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ c ត្រូវបានជ្រើសរើស (ក្នុងចំណោមពីរដែលអាចធ្វើបាន) ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ c បង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (§ 110) ។
ការកំណត់៖ ឬ
បន្ថែមលើនិយមន័យ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះការពិចារណាលើតួរលេខជាប៉ារ៉ាឡែល (តាមលក្ខខណ្ឌ) វាជាធម្មជាតិក្នុងការកំណត់តំបន់សូន្យ។ ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រ collinearត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទទេ។
ដោយសារវ៉ិចទ័រទទេអាចត្រូវបានកំណត់ទិសដៅណាមួយ អនុសញ្ញានេះមិនផ្ទុយនឹងធាតុទី 2 និងទី 3 នៃនិយមន័យនោះទេ។
ចំណាំ 1. នៅក្នុងពាក្យ "ផលិតផលវ៉ិចទ័រ" ពាក្យដំបូងបង្ហាញថាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពគឺជាវ៉ិចទ័រ (ផ្ទុយទៅនឹង ផលិតផលចំនុច; cf. § 104 ចំណាំ 1) ។
ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលវ៉ិចទ័រសំខាន់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រឹមត្រូវ (រូបភាព 156) ។
1. ដោយសារប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រសំខាន់គឺស្មើនឹងឯកតាមាត្រដ្ឋាន ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (ការេ) គឺស្មើនឹងលេខមួយ។ ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងមួយ។
2. ដោយសារកាត់កែងទៅនឹងប្លង់គឺជាអ័ក្ស ផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺជាវ៉ិចទ័រ collinear ទៅវ៉ិចទ័រ k; ហើយចាប់តាំងពីពួកវាទាំងពីរមានម៉ូឌុល 1 ផលិតផលឆ្លងកាត់ដែលត្រូវការគឺ k ឬ -k ។
3. ក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រដែលអាចមានទាំងពីរនេះ ទីមួយត្រូវតែជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រ k បង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័របង្កើតបានជាខាងឆ្វេង)។
ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកផលិតផលឆ្លងកាត់
ការសម្រេចចិត្ត។ ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 យើងសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រគឺ k ឬ -k ។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងត្រូវជ្រើសរើស -k ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័របង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័របង្កើតនៅខាងឆ្វេង) ។ ដូច្នេះ
ឧទាហរណ៍ 3. វ៉ិចទ័រមានប្រវែង 80 និង 50 សង់ទីម៉ែត្ររៀងគ្នា ហើយបង្កើតបានជាមុំ 30°។ យកម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ a
ការសម្រេចចិត្ត។ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺស្មើនឹង
ឧទាហរណ៍ 4. រកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រដូចគ្នា ដោយយកសង់ទីម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង។
ការសម្រេចចិត្ត។ ចាប់តាំងពីតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានសាងសង់នៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺ 2000 សង់ទីម៉ែត្រ, i.e.
ពីការប្រៀបធៀបនៃឧទាហរណ៍ទី 3 និងទី 4 វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យមិនត្រឹមតែលើប្រវែងនៃកត្តាប៉ុណ្ណោះទេថែមទាំងលើជម្រើសនៃឯកតានៃប្រវែងផងដែរ។
អត្ថន័យរាងកាយផលិតផលវ៉ិចទ័រ។នៃចំនួនជាច្រើន។ បរិមាណរាងកាយតំណាងដោយផលិតផលវ៉ិចទ័រ ពិចារណាតែពេលនៃកម្លាំង។
អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាចំណុចនៃការអនុវត្តនៃកម្លាំង។ គ្រានៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថាផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនេះគឺមានលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (រូបភាព 157) ។ ម៉ូឌុលនៃពេលនេះគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមូលដ្ឋានដោយកម្ពស់ពោលគឺកម្លាំងគុណនឹងចម្ងាយពីចំណុច O ទៅបន្ទាត់ត្រង់តាមបណ្តោយដែលកម្លាំងធ្វើសកម្មភាព។
នៅក្នុងមេកានិច វាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់លំនឹងនៃរាងកាយរឹង វាចាំបាច់ដែលមិនត្រឹមតែផលបូកនៃវ៉ិចទ័រតំណាងឱ្យកងកម្លាំងដែលបានអនុវត្តទៅលើរាងកាយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ជាផលបូកនៃគ្រានៃកម្លាំងគួរតែស្មើនឹងសូន្យផងដែរ។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលកម្លាំងទាំងអស់ស្របគ្នានឹងប្លង់តែមួយ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រដែលតំណាងឱ្យគ្រាអាចត្រូវបានជំនួសដោយការបូកនិងដកនៃម៉ូឌុលរបស់វា។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ការដឹកនាំដោយបំពាន ការជំនួសបែបនេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ អនុលោមតាមនេះ ផលិតផលឈើឆ្កាងត្រូវបានកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ថាជាវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនជាលេខទេ។
