Числовая последовательность.
Как ?

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности . Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики . Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов . Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.

Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:

Понятие числовой последовательности

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке . Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность .

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:
называют первым членом последовательности;
– вторым членом последовательности;
– третьим членом последовательности;
…
– энным или общим членом последовательности;
…

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена , например:
– последовательность положительных чётных чисел:

Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел :

Ещё одна распространённая последовательность :

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию . Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;
…
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой

Примечание : в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: . В нашем случае:

Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии , энный член которой задаётся формулой , где – первый член , а – знаменатель прогрессии . В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность .

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей , если (последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:

Таким образом, члены последовательности могут повторяться . Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:

Пригласим на танец незамысловатую подругу :

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой .

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:

Изобразим на числовой прямой члены последовательности и симметричную относительно нуля (предела) -окрестность:


Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность тоже бесконечно малА: с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае – расходящейся , при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой . Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательности являются бесконечно большими , поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:

Арифметическая прогрессия с первым членом и шагом тоже бесконечно великА:

К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

У последовательностей схожая судьба:

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА :

Если знаменатель геометрической прогрессии , то последовательность бесконечно великА:

Если же , например, , то предела вообще не существует, так как члены без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.

После небольшого разоблачения становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности легко подобрать -окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела не существует.

Факториал является бесконечно большой последовательностью:

Причём, растёт он как на дрожжах, так, представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.

С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы . Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров .
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.

Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Пример 1

Найти предел последовательности

Решение : нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:

Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .

Оформляем решение:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.

Пример 2

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
, где – первый, а – энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций !

А может быть что-нибудь посложнее наподобие ? Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов .

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Пример 3

Найти предел последовательности

Решение : сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:

(1) В числителе дважды используем формулу .

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Пример 4

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Пример 5

Найти предел последовательности

Решение оформим по той же схеме:

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Пример 9

Найти предел последовательности

Введение………………………………………………………………………………3

1.Теоретическая часть……………………………………………………………….4

Основные понятия и термины…………………………………………………....4

1.1 Виды последовательностей…………………………………………………...6

1.1.1.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности…..6

1.1.2.Монотонность последовательностей…………………………………6

1.1.3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….7

1.1.4.Свойства бесконечно малых последовательностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства..…9

1.2Предел последовательности………………………………………………….11

1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей……………………………15

1.3.Арифметическая прогрессия…………………………………………………17

1.3.1. Свойства арифметической прогрессии…………………………………..17

1.4Геометрическая прогрессия…………………………………………………..19

1.4.1. Свойства геометрической прогрессии…………………………………….19

1.5. Числа Фибоначчи……………………………………………………………..21

1.5.1 Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний…………………….22

1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы…………………………………………………………………………….23

2. Собственные исследования…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список использованной литературы…………………………………………....31

Введение.

Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний.

Цель исследовательской работы: Расширить знания о числовой последовательности.

1. Рассмотреть последовательность;

2. Рассмотреть ее свойства;

3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности;

4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний.

5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.

1. Теоретическая часть.

Основные понятия и термины.

Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a, и пишут

.

Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.

Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрическая прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Виды последовательностей.

1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M;

Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М;

Например:

1.1.2 Монотонность последовательностей.

Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn

Убывающие и возрастающие последовательности называют строго монотонными, невозрастающие- монотонными в широком смысле.

Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными.

Последовательность всех этих типов носят общее название- монотонные.

1.1.3 Бесконечно большие и малые последовательности.

Бесконечно малая последовательность- это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность an называется бесконечно малой, если

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)=0.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)=0 либо ℓimx→-∞ f(x)=0

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Бесконечно большая последовательность- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности.

Последовательность an называется бесконечно большой, если

ℓimn→0 an=∞.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ либо ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Свойства бесконечно малых последовательностей.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули.

Если {xn} - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же всё же {xn} содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

Если {an} - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

1.1.5 Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства.

Сходящаяся последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

Последовательность Фибоначчи, ставшая известной большинству благодаря фильму и книге «Код да Винчи», это ряд чисел, выведенный итальянским математиком Пизанским Леонардо, более известным под псевдонимом Фибоначчи, в тринадцатом веке. Последователи ученого заметили, что формула, которой подчинен данный ряд цифр, находит свое отображение в окружающем нас мире и перекликается с другими математическими открытиями, тем самым открывая для нас дверь в тайны мироздания. В этой статье мы расскажем, что такое последовательность Фибоначчи, рассмотрим примеры отображения этой закономерности в природе, а также сравним с другими математическими теориями.

Формулировка и определение понятия

Ряд Фибоначчи - это математическая последовательность, каждый элемент которой равен сумме двух предыдущих. Обозначим некой член последовательности как х n. Таким образом, получим формулу, справедливую для всего ряда: х n+2 =х n +х n+1. При этом порядок последовательности будет выглядеть так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Следующим числом будет 55, так как сумма 21 и 34 равна 55. И так далее по такому же принципу.

Примеры в окружающей среде

Если мы посмотрим на растение, в частности, на крону из листьев, то заметим, что они распускаются по спирали. Между соседними листьями образуются углы, которые, в свою очередь, образуют правильную математическую последовательность Фибоначчи. Благодаря этой особенности каждый отдельно взятый листочек, который растет на дереве, получает максимальное количество солнечного света и тепла.

Математическая загадка Фибоначчи

Известный математик представил свою теорию в виде загадки. Звучит она следующим образом. Можно поместить пару кроликов в замкнутое пространство для того, чтобы узнать, какое количество пар кроликов родится в течении одного года. Учитывая природу этих животных, то, что каждый месяц пара способна производить на свет новую пару, а готовность к размножению у них появляется по достижении двух месяцев, в итоге он получил свой знаменитый ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - где показано количество новых пар кроликов в каждом месяце.

Последовательность Фибоначчи и пропорциональное соотношение

Этот ряд имеет несколько математических нюансов, которые обязательно нужно рассмотреть. Он, приближаясь медленнее и медленнее (асимптотически), стремится к некоему пропорциональному соотношению. Но оно иррациональное. Другими словами, представляет собой число с непредсказуемой и бесконечной последовательностью десятичных чисел в дробной части. Например, соотношение любого элемента ряда варьируется около цифры 1,618, то превосходя, то достигая его. Следующее по аналогии приближается к 0,618. Что есть обратно пропорциональным к числу 1,618. Если мы поделим элементы через один, то получим 2,618 и 0,382. Как вы уже поняли, они также являются обратно пропорциональными. Полученные числа называются коэффициентами Фибоначчи. А теперь объясним, для чего мы выполняли эти вычисления.

Золотое сечение

Все окружающие нас предметы мы различаем по определенным критериям. Один из них - форма. Какие-то нас привлекают больше, какие-то меньше, а некоторые и вовсе не нравятся. Замечено, что симметричный и пропорциональный объект гораздо легче воспринимается человеком и вызывает чувство гармонии и красоты. Цельный образ всегда включает в себя части различного размера, которые находятся в определенном соотношении друг с другом. Отсюда вытекает ответ на вопрос о том, что называют Золотым сечением. Данное понятие означает совершенство соотношений целого и частей в природе, науке, искусстве и т. д. С математической точки зрения рассмотрим следующий пример. Возьмем отрезок любой длины и разделим его на две части таким образом, чтобы меньшая часть относилась к большей как сумма (длина всего отрезка) к большей. Итак, примем отрезок с за величину один. Его часть а будет равна 0,618, вторая часть b , выходит, равна 0,382. Таким образом, мы соблюдаем условие Золотого сечения. Отношение отрезка c к a равняется 1,618. А отношение частей c и b - 2,618. Получаем уже известные нам коэффициенты Фибоначчи. По такому же принципу строятся золотой треугольник, золотой прямоугольник и золотой кубоид. Стоит также отметить, что пропорциональное соотношение частей тела человека близко к Золотому сечению.

Последовательность Фибоначчи - основа всего?

Попробуем объединить теорию Золотого сечения и известного ряда итальянского математика. Начнем с двух квадратов первого размера. Затем сверху добавим еще квадрат второго размера. Подрисуем рядом такую же фигуру с длиной стороны, равной сумме двух предыдущих сторон. Аналогичным образом рисуем квадрат пятого размера. И так можно продолжать до бесконечности, пока не надоест. Главное, чтобы величина стороны каждого последующего квадрата равнялась сумме величин сторон двух предыдущих. Получаем серию многоугольников, длина сторон которых является числами Фибоначчи. Эти фигуры называются прямоугольниками Фибоначчи. Проведем плавную линию через углы наших многоугольников и получим… спираль Архимеда! Увеличение шага данной фигуры, как известно, всегда равномерно. Если включить фантазию, то полученный рисунок можно проассоциировать с раковиной моллюска. Отсюда можем сделать вывод, что последовательность Фибоначи - это основа пропорциональных, гармоничных соотношений элементов в окружающем мире.

Математическая последовательность и мироздание

Если присмотреться, то спираль Архимеда (где-то явно, а где-то завуалированно) и, следовательно, принцип Фибоначчи прослеживаются во многих привычных природных элементах, окружающих человека. Например, все та же раковина моллюска, соцветия обычной брокколи, цветок подсолнечника, шишка хвойного растения и тому подобное. Если заглянем подальше, то увидим последовательность Фибоначчи в бесконечных галактиках. Даже человек, вдохновляясь от природы и перенимая ее формы, создает предметы, в которых прослеживается вышеупомянутый ряд. Тут самое время вспомнить и о Золотом сечении. Наряду с закономерностью Фибоначчи прослеживаются принципы данной теории. Существует версия, что последовательность Фибоначчи - это своего рода проба природы адаптироваться к более совершенной и фундаментальной логарифмической последовательности Золотого сечения, которая практически идентична, но не имеет своего начала и бесконечна. Закономерность природы такова, что она должна иметь свою точку отсчета, от чего отталкиваться для создания чего-то нового. Отношение первых элементов ряда Фибоначчи далеки от принципов Золотого сечения. Однако чем дальше мы его продолжаем, тем больше это несоответствие сглаживается. Для определения последовательности необходимо знать три его элемента, которые идут друг за другом. Для Золотой последовательности же достаточно и двух. Так как она является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Заключение

Все-таки, исходя из вышесказанного, можно задать вполне логичные вопросы: "Откуда появились эти числа? Кто этот автор устройства всего мира, попытавшийся сделать его идеальным? Было ли всегда все так, как он хотел? Если да, то почему возник сбой? Что будет дальше?" Находя ответ на один вопрос, получаешь следующий. Разгадал его - появляются еще два. Решив их, получаешь еще три. Разобравшись с ними, получишь пять нерешенных. Затем восемь, далее тринадцать, двадцать один, тридцать четыре, пятьдесят пять…

Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Последовательности

Числовой последовательностью называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .
Число называют n-м членом или элементом последовательности.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

ограниченной , если существует такое число M , что для всех действительных n .

Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′ : .

Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′ : .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей , а нижнюю грань - точной нижней границей . Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Открытый интервал (a - ε, a + ε) называют ε - окрестностью точки a .

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью . Также говорят, что последовательность сходится к a . Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся .

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε - окрестностью точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a , за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности .

Теорема единственности предела числовой последовательности . Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена .

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C : , то эта последовательность имеет предел, равный числу C .

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов , то это не повлияет на ее сходимость.

Доказательства основных свойств приведены на странице
Основные свойства конечных пределов последовательностей >>> .

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и . И пусть C - постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .
В случае частного предполагается, что для всех n .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>> .

Свойства, связанные с неравенствами

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу: .

Если и и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .

Если и, начиная с некоторого номера, , то .
В частности, если, начиная с некоторого номера, , то
если , то ;
если , то .

Если и , то .

Пусть и . Если a < b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство .

Доказательства свойств, связанных с неравенствами приведены на странице
Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>> .

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью , если ее предел равен нулю:
.

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Для того, чтобы последовательность имела предел a , необходимо и достаточно, чтобы , где - бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности - определение и свойства >>> .

Бесконечно большая последовательность

Последовательность называется бесконечно большой последовательностью , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N , то
.
Если же , то
.

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом (), а - бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>> .
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>> .

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Последовательность называется строго возрастающей , если для всех n выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей последовательности выполняется неравенство:
.
Для неубывающей :
.
Для невозрастающей :
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Последовательность называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу: . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .

Теорема Вейерштрасса . Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M - некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Доказательство теоремы Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>> .

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши . Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями .

Критерий Коши сходимости последовательности . Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>> .

Подпоследовательности

Теорема Больцано - Вейерштрасса . Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности - бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>> .

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей >>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N . В том случае, когда эта функция числовая, то бесконечной числовой последовательностью . Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f (n ), которое соответствует натуральному числу n , называется n -м членом последовательности. Иногда вместо f (n ) используются обозначения a n , x n .

Примеры числовой последовательности:

f (n ) = 3n + 2, откуда f (1) = 5, f (2) = 8,..., f (100) = 302,... ;

f (n ) = 1 + (-1) n , откуда f (1) = 0, f (2) = 2,... или, в общем случае, f (2k - 1) = 0, f (2k ) = 2 (k ∈ N ).

Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n -го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: a n = 2 n .

Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: a n = 2(a n -1 + 3), a 1 = 2. Тогда a 2 = 10, a 3 = 26,...

Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.

Последовательность называется возрастающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n a n +1 .

Последовательность называется спадающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n > a n +1 .

Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными .

Например, последовательность заданная формулой a n = n /(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a n +1 - a n = (n + 1)/(n + 2) - n /(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть a n a n +1 . Последовательность с общим членом a n = 1 + (-1) n не является монотонной, т.к. a 1 a 2 , а a 2 > a 3 .

Последовательность называется ограниченной сверху M ∈ R , что a n ≤ M .

Последовательность называется ограниченной снизу , если существует такое число m ∈ R , что a n ≥ m .

Например, последовательность a n = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность a n = (-1) n n не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной , если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Число a называется границей последовательности (a n ), если для любого ε > 0 существует натуральное число N , такое, что для всех n > N выполняется неравенство |a n - a | limn →∞ a n = a или a n → a .

Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся . Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся .

Если lim n →∞ a n = 0, то последовательность (a n ) называется бесконечно малой.

Свойства пределов числовой последовательности:

1. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n + b n ) = a + b ;

2. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n b n ) = a b ;

3. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b ≠ 0, то lim n →∞ (a n /b n ) = a /b ;

4. lim n →∞ c a n = c lim n →∞ a n , где c ∈ R ;

5. Если lim n →∞ a n = lim n →∞ b n = a и a n ≤ c n ≤ b n , то lim n →∞ c n = a .

6. Если lim n →∞ a n = a , lim n →∞ b n = b и a n b n при n ∈ N , то a ≤ b .