Risinot nevienādības, kas satur nezināmo zem absolūtās vērtības zīmes, tiek izmantots tas pats paņēmiens, kā risinot vienādojumus, kas satur nezināmo zem absolūtās vērtības zīmes, proti: sākotnējās nevienādības risinājums tiek reducēts uz vairāku nevienādību atrisināšanu, kas aplūkotas izteiksmju noturības intervāli zem absolūtās vērtības zīmēm palielināti.

Piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību

Risinājums: Aplūkosim izteiksmes x 2 - 2 konstantes zīmes intervālus, kas atrodas zem absolūtās vērtības zīmes.

1) Pieņemsim, ka

tad nevienādība (*) iegūst formu

Šīs nevienādības atrisinājumu kopas un nevienādības x 2 -2 0 krustpunkts ir sākotnējās nevienādības pirmā atrisinājumu kopa (1. att.): x (-2; -].

• 2) Pieņemsim, ka x 2 - 2
• 2 - x 2 + x

Šīs nevienādības atrisinājumu kopas un nevienādības x 2 - 2 krustpunkts

Atbilde: x(-2; -1).

Atšķirībā no vienādojumiem, nevienlīdzības neļauj veikt tiešu pārbaudi. Tomēr vairumā gadījumu iegūto rezultātu pareizību varat pārbaudīt grafiski. Patiešām, mēs rakstām piemēra nevienlīdzību formā

Konstruēsim aplūkojamās nevienādības kreisajā un labajā pusē iekļautās funkcijas y 1 =x 2 - 2 un y 2 = -x un atradīsim tās argumenta vērtības, kurām y 1

Uz att. 3, x ass ēnotajā zonā ir vēlamās x vērtības. Nevienādību risinājumu, kas satur absolūtās vērtības zīmi, dažreiz var ievērojami samazināt, izmantojot vienādību x 2 \u003d x 2.

3. attēls

Piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību

Risinājums: sākotnējā nevienādība visiem x -2 ir līdzvērtīga nevienādībai

x - 1 > x + 2. (**)

Izliekot kvadrātā abas nevienādības (**) puses, pēc līdzīgu vārdu samazināšanas iegūstam nevienādību

Ņemot vērā ar nosacījumu x -2 noteiktās sākotnējās nevienādības pieļaujamo vērtību kopu, beidzot iegūstam, ka nevienādība (*) ir izpildīta visiem x(-; -2)(-2; -1/2 ).

Atbilde: (-; -2) (-2; -1/2).

Piemērs: Atrodiet mazāko veselo skaitli x, kas apmierina nevienlīdzību:

Risinājums: Tā kā x +1 0 un pēc nosacījuma x +1 0, tad šī nevienādība ir ekvivalenta šādai: 2x + 5 > x +1. Pēdējais savukārt ir līdzvērtīgs nevienlīdzību sistēmai - (2x + 5)

• -(2x + 5)
• 2x + 5 > x +1,

Mazākais veselais skaitlis x, kas apmierina šo nevienādību sistēmu, ir 0. Ņemiet vērā, ka x -1, pretējā gadījumā izteiksmei šīs nevienādības kreisajā pusē nav jēgas.

Piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību:

Atbilde: [-1; viens].

Piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Lēmums. x 2 — 3x + 2 ir negatīvs pie 1

• 2. - S? X? 1. Mums ir nevienādība x2 - x - 2? 0. Viņa risinājums ir -1 ? X? 2. Tāpēc viss segments -S? x? 1 apmierina nevienlīdzību.
• 4. x? 2. Nevienādība ir tāda pati kā 2. gadījumā. Piemērota ir tikai x = 2.

Atbilde: 5 - 41 2 ? X? 2.

Piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Lēmums. Atrisināsim šo nevienlīdzību nestandarta veidā.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 - x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Kemerova

SM "37.vidusskola"

Izvēles izvēles kurss

10.-11.klašu skolēniem

Vienādojumi, nevienādības un sistēmas,

Sastādījis:

Kaplunova Zoja Nikolajevna

matemātikas skolotājs

Paskaidrojums…………………………………………..2.lpp

Izglītības un tematiskais plāns…………………………………….lpp. 6

Atslēgvārdu saraksts…………………………………………7.lpp

Literatūra skolotājam………………………………………..8.lpp

Literatūra skolēniem……………………………………8.lpp

Paskaidrojuma piezīme.

Matemātikas mācīšanas skolā galvenais uzdevums ir nodrošināt katram mūsdienu sabiedrības loceklim ikdienā un darbā nepieciešamo matemātikas zināšanu un prasmju sistēmas spēcīgu un apzinātu apguvi, kas ir pietiekama saistīto disciplīnu apguvei un izglītības turpināšanai.

Līdzās pamatuzdevuma risinājumam padziļināta matemātikas apguve paredz skolēnos stabilas intereses veidošanos par mācību priekšmetu, matemātisko spēju apzināšanu un attīstību, orientēšanos uz profesijām, kas būtiski saistītas ar matemātiku un sagatavošanos. studijām augstskolās.

Joprojām aktuāls ir jautājums par matemātikas mācīšanas diferencēšanu, kas ļauj, no vienas puses, nodrošināt matemātikas pamatapmācību, no otras puses, apmierināt ikviena mācību priekšmeta interesenta vajadzības.

Šī kursa programma "Absolūtās vērtības zīmi saturoši vienādojumi, nevienādības un sistēmas" piedāvā apgūt tādus jautājumus, kas nav iekļauti pamatskolas matemātikas kursā pilnībā, bet nepieciešami tā tālākai apguvei.

Absolūtās vērtības (moduļa) jēdziens ir viens no svarīgākajiem skaitļa raksturlielumiem gan reālo, gan komplekso skaitļu jomā. Šis jēdziens tiek plaši izmantots ne tikai dažādās skolas kursa sadaļās, bet arī universitātēs apgūtajos augstākās matemātikas, fizikas un tehnisko zinātņu kursos. Piemēram, aptuveno aprēķinu teorijā tiek lietoti aptuvenā skaitļa absolūtās un relatīvās kļūdas jēdzieni. Mehānikā un ģeometrijā tiek pētīti vektora un tā garuma (vektora moduļa) jēdzieni. Matemātiskajā analīzē skaitļa absolūtās vērtības jēdziens ir ietverts tādu pamatjēdzienu definīcijās kā robeža, ierobežota funkcija utt. Problēmas, kas saistītas ar absolūtajām vērtībām, bieži sastopamas matemātikas olimpiādēs, augstskolu iestājeksāmenos un Vienotais valsts eksāmens.

Matemātikas kursa skolas programmā nav paredzēta zināšanu vispārināšana un sistematizēšana par moduļiem, to īpašībām, ko studenti saņem visā mācību periodā.

Tādējādi šis kurss "Vienādojumi, nevienādības un sistēmas, kas satur absolūtās vērtības zīmi" ir paredzēts, lai paplašinātu algebras pamatkursu un analīzes sākumu un sniegtu iespēju studentiem iepazīties ar pamata paņēmieniem un metodēm uzdevumu veikšanai, kas saistīti ar moduļi. Modina pētniecisko interesi par šiem jautājumiem, attīsta loģisko domāšanu, veicina pieredzes iegūšanu ar uzdevumu, kas ir augstāks par nepieciešamo sarežģītības pakāpi.

Kurss "Absolūtās vērtības zīmi saturoši vienādojumi, nevienādības un sistēmas" paredzēts 10.-11.klašu audzēkņu profilapmācībai un paredzēts 34 stundām (1 stunda nedēļā).

Šī kursa pasniegšanas procesā tiek piedāvāts izmantot dažādas studentu izziņas aktivitātes aktivizēšanas metodes, kā arī dažādas viņu patstāvīgā darba organizēšanas formas.

Šī kursa apguves laikā studenti apgūst teorētisko materiālu un veic praktiskos uzdevumus. Kursa programmas apgūšanas rezultāts ir radošo darbu prezentācija noslēguma nodarbībā

Apgūstot kursu, tiek nodrošināta ieskaites kontrole.

Kursa mērķi:

*zināšanu vispārināšana un sistematizēšana, paplašināšana un padziļināšana par tēmu "Absolūtā vērtība";

*praktisko iemaņu apguve uzdevumu veikšanai ar moduli;

*Skolēnu matemātiskās sagatavotības līmeņa paaugstināšana.

Kursa mērķi

* aprīkot studentus ar zināšanu sistēmu par tēmu "Absolūtā vērtība"

* veidot prasmes šo zināšanu pielietošanā dažādas sarežģītības problēmu risināšanā;

* sagatavot skolēnus eksāmenam;

* veidot patstāvīgā darba iemaņas, strādāt grupās;

* veidot prasmes strādāt ar uzziņu literatūru;

Prasības izglītības materiāla asimilācijas līmenim

Kursa programmas apguves rezultātā studenti varēs

zināt un saprast:

*definīcijas, jēdzieni un pamatalgoritmi nevienādību un sistēmu ar moduli risināšanai;

*absolūtās vērtības zīmi saturošu funkciju grafiku konstruēšanas noteikumi;

Būt spējīgam:

* pielietot definīciju, reāla skaitļa absolūtās vērtības īpašības reāla skaitļa atrisinājumam konkrētu uzdevumu risināšanai;

* atrisināt vienādojumus, nevienādības, vienādojumu sistēmas un nevienādības, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes;

* prast patstāvīgi veikt nelielus pētījumus.

1.Ievads 1h.

Kursa mērķi un uzdevumi. Kursā aplūkotie jautājumi un tā struktūra. Iepazīšanās ar literatūru, radošo darbu tēmām.

24 stundas)

Absolūtās vērtības noteikšana. Moduļa jēdziena ģeometriskā interpretācija. Operācijas ar absolūtajām vērtībām. . Moduļu īpašību pielietošana problēmu risināšanā.

3. Funkciju grafiki, kas satur absolūtās vērtības zīmi. (8 stundas)

Funkciju grafiku zīmēšanas noteikumi un algoritmi. Pāra funkcijas definīcija. Moduļa zīmi saturošu funkciju grafiku ģeometriskās transformācijas. Pamata diagramma uz vienkāršāko funkciju piemēriem. Vienādojumu grafiki: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),kur f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Vienādojumi, kas satur absolūtās vērtības. (10 stundas)

Moduļa izpaušana pēc definīcijas, pāreja no sākotnējā vienādojuma uz ekvivalentu sistēmu, vienādojuma abas daļas kvadrātā, intervālu metode, grafiskā metode, absolūtās vērtības īpašību izmantošana. Formas vienādojumi: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Mainīgo maiņas metode, risinot vienādojumus, kas satur absolūtās vērtības. Intervālu metode absolūtās vērtības saturošu vienādojumu risināšanai. Formas vienādojumi:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Absolūtās vērtības saturošu vienādojumu grafisks risinājums.

5. Nevienādības, kas satur absolūtās vērtības (10 stundas)

Nevienlīdzības ar vienu nezināmo. Pamatmetodes nevienādību risināšanai

ar moduli |f(x)|>a. Formas a|f(x)|>g(x) nevienādības; |f(x)|>|g(x)|.

6. Noslēguma nodarbība (1 stunda)

Radošo darbu prezentācija.

III sadaļa. Izglītības un tematiskais plāns

	Sadaļu un tēmu nosaukumi			Prakse	Uzvedības forma	kontroles forma
	Ievads				Zināšanu izsole	Anketa, ieraksti
	Reāla skaitļa absolūtā vērtība				Lekcija, darbnīca	Atsauces kopsavilkums, problēmu risināšana
	Izteiksmju vienkāršošana, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes				darbnīca	Problēmu risināšana
	Vienādojumu grafiki, kas satur moduļa zīmi
	Grafiku zīmēšanas noteikumi un algoritmi				Seminārs	Atgādne ar konstrukciju noteikumiem un algoritmiem
	Pāra funkcijas definīcija. Ģeometriskā diagramma transformācijas				Seminārs - darbnīca	Literatūras kopsavilkums, uzdevuma risinājums
	Vienādojumu grafiki: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),kur f(x)≥0; |y|=|f(x)|					Plānošanas izpildes pārbaude
	Vienādojumi, kas satur absolūtās vērtības
	Pamatmetodes vienādojumu risināšanai ar moduli					Abstrakti, algoritmi
	Formas vienādojumi: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;				darbnīca	Atrisināto uzdevumu pārbaude
	Intervālu metode vienādojumu risināšanā, kas satur moduļa zīmi. Formas vienādojumi:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).				Seminārs	Atsauces anotācija, atrisināto uzdevumu pārbaude
	Secīgas moduļa atklāšanas metode, risinot vienādojumus, kas satur "moduli modulī"				darbnīca	Abstrakts, piezīme, pārbaudes uzdevumi
	Absolūtās vērtības saturošu vienādojumu grafisks risinājums.				Seminārs	Diagrammas pārbaude
	Nevienādības, kas satur absolūtās vērtības
	Nevienlīdzības ar vienu nezināmo.					abstrakts
	Pamatmetodes nevienādību risināšanai ar moduli				darbnīca	Abstrakts, risinājuma pārbaude
	Formas a|f(x)|>g(x) nevienādības; |f(x)|>|g(x)|.				darbnīca
	Intervālu metode nevienādību risināšanā, kas satur moduļa zīmi.				darbnīca	Pārbaudes kontrole
	Pēdējā nodarbība				konference	tēzes

IV sadaļa. Atslēgvārdu saraksts.

Algoritms, vienādojums, nevienādība, modulis, grafiks, koordinātu asis, paralēlā translācija, centrālās un aksiālās simetrijas, intervālu metode, kvadrātveida trinomiāls, polinoms, polinoma faktorizācija, reducētās reizināšanas formulas, simetriskie vienādojumi, abpusēji vienādojumi, absolūtās vērtības īpašības, definīcijas apgabals, derīgo vērtību diapazons.

V sadaļa. Literatūra skolotājam.

1. Bašmakovs M.I. Vienādojumi un nevienādības. (Teksts) / M.I. Bašmakovs.-M.: VZMSh

Maskavas Valsts universitātē, 1983.-138.g.

2. Vilenkin N. Ya un citi. Algebra un matemātiskā analīze 11. klase. (Teksts) / N.Ya.

Viļenkins-M.: Apgaismība, 2007.-280.gadi.

3. Gaidukovs I.I. Absolūtā vērtība. (Teksts)/ Gaidukovs I.I. –M.: Apgaismība, 1968.-96 lpp.

4. Gelfands I. M. u.c. Funkcijas un grafiki (Teksts) / I. M. Gelfand-M .: MTsNMO,

5. Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 problēmas algebrā (teksts) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350.gadi.

6. Koļesņikova S.I. Matemātika. Intensīvs gatavošanās kurss Vienīgajam

Valsts eksāmens. (Teksts) / Kolesnikova S.I. - M .: Iris-press 2004.-299s.

7. Nikolskaya I.L. Izvēles kurss matemātikā. (Teksts) / I.L. Nikolskaja-

M.: Apgaismība, 1995.-80.gadi.

8.Olekhnik S.N. utt. Vienādojumi un nevienādības. Nestandarta risinājumu metodes.

(Teksts) / .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219lpp.

VI sadaļa. Literatūra studentiem

1. Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 problēmas algebrā (teksts) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350.gadi.

2. Koļesņikova S.I. Matemātika. Intensīvs gatavošanās kurss Vienīgajam

Dokuments

... priekšizvēle viens vai otrs akadēmiskais priekšmets (mācību programmas ietvaros, sadaļa: " izvēleskursi") iekšā 10 -11 klases...un arī iekšā sistēma papildu izglītība. Priekššīs kategorijas studenti izstrādāta un īstenota tīkla apmācība kursiieslēgts visi...

Aktivitāte H 4 51-1 "Mācību metožu pilnveidošana vidusskolā, pamatojoties uz mācību priekšmetu moduļu izveidi vismaz 18 priekšmetos, pamatojoties uz informācijas tehnoloģiju ieviešanu zinātnes un izglītības attīstībai

Ziņot

... studenti. Šis pētījums piedāvā izvēleslabiieslēgts Matemātika "Matemātiskās analīzes principi un to pielietojums" priekš10 - 11 specializēta klases... atkarības un attiecības (funkcijas, vienādojumi, nevienlīdzības utt.). Parasti vispirms tiek noteikts...

Kursa galvenais saturs

Skaitļa absolūtā vērtība. Pamatīpašības (1h).

Skaitļa vai moduļa absolūtās vērtības noteikšana. Definīcijas analītiskais ieraksts. ģeometriskā nozīme. Pamatīpašības. Vēstures atsauce.

Galvenais mērķis ir sistematizēt un vispārināt skolēnu zināšanas par tēmu “Absolūtā vērtība”, kuras viņi ieguvuši 6. un 8. klasē; apsvērt absolūtās vērtības ģeometrisko nozīmi un galvenās īpašības; sniedz vēsturisku pamatojumu terminu “modulis” un “moduļa zīme” ieviešanai; aplūkosim piemērus, kuru risinājums ir balstīts uz moduļa definīciju.

Vienādojumu atrisināšana ar moduļiem (3 stundas).

Lineāru, kvadrātvienādojumu ar moduļiem, kā arī absolūtu vērtību saturošu vienādojumu ar parametriem risināšana.

primārais mērķis- izteiksmes ģeometriskā interpretācija un izmantošana formas vienādojumu risināšanai; apsvērt lineāro vienādojumu risinājumu, pamatojoties uz moduļa definīciju; absolūtās vērtības zīmi saturošu kvadrātvienādojumu atrisinājums, kā arī absolūto vērtību saturošu vienādojumu grafisks risinājums ar parametriem.

Nevienādību risināšana ar moduļiem (3 stundas).

Lineāro, kvadrātveida nevienādību ar moduļiem, kā arī absolūto vērtību saturošu nevienādību risinājums ar parametriem.

primārais mērķis- attīstīt prasmi ar moduli dažādos veidos atrisināt lineārās nevienādības (izmantojot ģeometrisko nozīmi, nevienādību kvadrātā, izmantojot dubultvienādību); absolūtās vērtības zīmi saturošas kvadrātvienādības, izmantojot kvadrāta funkcijas grafika shematisko skici, kā arī intervāla metodi; sniegt priekšstatu par absolūtu vērtību saturošu nevienādību atrisināšanu ar parametriem.

Intervāla metode (2h).

Absolūtu vērtību saturošu vienādojumu un nevienādību atrisināšana, izmantojot intervālu metodi.

primārais mērķis - mācīt skolēniem ar intervālu metodi atrisināt vienādojumus un nevienādības, kas satur absolūtu vērtību; formulēt teorēmu, uz kuras pamata tiek meklēti noturības intervāli; atrast moduļa nulles.

Formu nevienādības atrisinātas ar ekvivalentu pāreju palīdzību (2 stundas).

Formas nevienlīdzības atrisināšana, izmantojot līdzvērtīgas pārejas uz nevienlīdzību kopu, bet nevienlīdzības - uz nevienlīdzību sistēmu.

primārais mērķis- nostiprināt ekvivalences jēdzienu, kas skolēniem zināms no 8. klases; formulēt (un pierādīt “spēcīgā” klasē) īpašību līdzvērtīgai pārejai no nevienlīdzības uz kopu un no nevienlīdzības uz sistēmu.

Absolūtās vērtības īpašību pielietojums vienādojumu un nevienādību risināšanā (1h).

Atrisināt vienādojumus un nevienādības (lineāras, kvadrātveida, augstākas par otro pakāpi), kā arī vienādojumu un nevienādību sistēmas, izmantojot absolūtās vērtības īpašības.

primārais mērķis– nepieciešamības gadījumā atkārtojiet moduļa galvenās īpašības; iemācīt studentiem atrisināt vienādojumus un nevienādības (lineāros, kvadrātiskos, grādus virs otrās), kā arī vienādojumu un nevienādību sistēmas, izmantojot absolūtās vērtības īpašības; parādīt grafiskos paņēmienus, rakstot atbildi; paplašinām vienādojumu klasi ar moduli (aplūkosim vienādojumu ar diviem mainīgajiem).

Vienādojumu un nevienādību risinājums ar moduli uz koordinātu taisnes (1h).

Lineāru vienādojumu un nevienādību risinājums ar moduli uz koordinātu taisnes.

primārais mērķis- atkārtojiet formulu attālumam starp diviem punktiem A ( x 1) un B( x 2) koordinātu līnija; iemācīt studentiem atrisināt vienādojumus un nevienādības ar moduli uz koordinātu taisnes.

Sakņu modulis un transformācija (1h).

Moduļa jēdziena pielietojums, darbojoties ar aritmētiskajām saknēm. Iracionālu izteiksmju transformācija, kuras risinājumā tiek izmantots modulis.

primārais mērķis– attīstīt prasmi veikt kvadrātsakni saturošu izteiksmju transformācijas, kurās tiek izmantots modulis.

Modulis un iracionālie vienādojumi (2 stundas).

Iracionālu vienādojumu atrisināšana, izmantojot pilna kvadrāta metodi vai jauna mainīgā ieviešana.

primārais mērķis- atkārtojiet skolēniem no 8. klases zināmo iracionālo vienādojumu definīciju; ar piemēriem parādīt iracionālu vienādojumu risinājumu, kas saistīts ar moduļa lietošanas nepieciešamību.

Izglītības un tematiskais plāns

Nr p / lpp	Priekšmets	Stundu skaits	Nodarbību vadīšanas forma	kontroles forma	Izglītības produkta nosaukums
1	Skaitļa absolūtā vērtība. Pamatīpašības.	1	lekcija	-	-
2	Vienādojumu risinājums ar moduļiem: Lineārs; kvadrāts; Ar opcijām.	1	darbnīca darbnīca apgūt jaunu materiālu	kontroles uzdevumu risinājums kontroles uzdevumu risinājums darba burtnīcu pārbaude	-
5	Nevienādību risināšana ar moduļiem: Lineārs; kvadrāts; Ar opcijām.	1	darbnīca apgūt jaunu materiālu	mājasdarbu pārbaude atbildes uz jautājumiem darba burtnīcu pārbaude	-
8	intervāla metode.	1	apvienotā nodarbība sacensību nodarbība	atbildes uz jautājumiem salīdzinošās pārskatīšanas nodarbība	-
10	Formu nevienādību atrisināšana, kas atrisināta ar ekvivalentu pāreju palīdzību.	1	apgūt jaunu materiālu pētāmā materiāla konsolidācija	čeku piezīmes matemātiskais diktāts	-
12	Absolūtās vērtības īpašību pielietojums vienādojumu un nevienādību risināšanā.	1		mutiska nopratināšana	-
13	Vienādojumu un nevienādību risinājums ar moduli uz koordinātu taisnes.	1	zināšanu vispārināšana un sistematizēšana	patstāvīgs darbs	-
14	Sakņu modulis un transformācija.	1	darbnīca	Grupas darbs	-
15	Moduļu un iracionālie vienādojumi.	1	ZUN pārbaude un labošana konsultācija	mājas pārbaude atbildes uz jautājumiem	-
17	Ofseta.	1	kontroles vai pārbaudes darbs	-	pamata kontūras sastādīšana

Literatūras saraksts skolotājam

• Golubevs V.I. Skaitļa absolūtā vērtība konkursa eksāmenos matemātikā (pamatojoties uz valsts vadošo augstskolu materiāliem).- Ļvova: Quantor, 1991.g.
• Golubevs V. Efektīvas metodes problēmu risināšanai par tēmu “Absolūtā vērtība” .- M .: Chistye Prudy, 2006.
• Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. Pirmsprofila apmācība 9. klašu skolēniem matemātikā.- M .: 5 par zināšanām, 2006.g.
• Rurukins A.N. Rokasgrāmata intensīvai gatavošanās eksāmenam matemātikā “Izlaidums, iestāšanās, IZMANTOŠANA 5+” .- M .: VAKO, 2006.
• Smykalova E.V. Matemātika (moduļi, parametri, polinomi), pirmsprofila apmācība, 8.-9.klase - Sanktpēterburga: SMIO-Press, 2006.g.

Literatūras saraksts studentiem

• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika. Uzziņas materiāli.- M .: Izglītība, 1988.g.
• Dorofejevs G.V., Potapovs M.K., Rozovs N.K. Matemātikas rokasgrāmata augstskolu reflektantiem. - M .: Nauka, 1973.
• Zorins V.V. Matemātikas rokasgrāmata reflektantiem uz augstskolām. - M .: Augstskola, 1974.
• Ivļevs B.M., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P., Shvartsburd S.I. Paaugstinātas sarežģītības problēmas algebrā un analīzes sākums. - M .: Izglītība, 1990.
• Kalniņš R.A. Algebra un elementārās funkcijas, izdevniecība Nauka, fizikālās un matemātiskās literatūras pamatizdevums.- M.: Nauka, 1975.
• Krulikovskis N.N. Matemātiskās problēmas pretendentiem - Tomska: red. Tomskas Universitāte, 1973.
• Ņesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Iestājpārbaudījumu uzdevumi matemātikā.- M.: Nauka, 1986.
• Šarigins I.F. Matemātika vidusskolēniem, Maskava, Drofa, 1995.g.

Metodiskie materiāli

1. nodarbība: Skaitļa absolūtās vērtības (skaitļa moduļa), tā ģeometriskās nozīmes un pamatīpašību noteikšana.

Reālā skaitļa a absolūto vērtību (vai moduli) sauc par pašu skaitli, ja tas nav negatīvs, un šo skaitli, kas ņemts ar pretēju zīmi, ja tas ir negatīvs.

Skaitļa a modulis ir apzīmēts šādi:. Izveidojot saikni starp skaitļa moduli un pašu skaitli, mēs iegūstam definīcijas analītisko ierakstu:

=

Par skaitļa moduli sauc arī attālumu no sākuma līdz punktam, kas attēlo šo skaitli uz koordinātu līnijas. Tas ir kas ģeometriskā nozīme modulis. Tas. tiek lietoti skaitļa termini “modulis”, “absolūtā vērtība” vai “absolūtā vērtība”. Saskaņā ar augstāk minēto definīciju = 5, = 3, =0. Skaitļa moduli var definēt arī kā lielāko no skaitļiem a un - a.

Vēsturiskā atsauce: terminu “modulus” (no latīņu valodas modulus – mērs) ieviesa angļu matemātiķis R. Kotess (1682-1716), bet moduļa zīmi – vācu matemātiķis K. Veierštrāss (1815-1897), g. 1841. gads.

Galvenās moduļa īpašības:

Apsveriet piemērus, kuru risinājums ir balstīts uz moduļa definīciju.

Nr.1. Atrisiniet vienādojumu =4.

Pēc moduļa definīcijas; X=4 vai X=-4.

Nr. 2. Atrisiniet vienādojumu: \u003d 3.

Vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai:

Kur: x 1=2 un x 2=-1.

Nr. 3. Atrisiniet vienādojumu: \u003d -2.

Pēc īpašības 1: jebkura reāla skaitļa modulis ir nenegatīvs skaitlis, mēs secinām, ka risinājuma nav.

Nr. 4. Atrisiniet vienādojumu: = X–5.

Tam pašam īpašumam 1: X–50, X 5.

Nr.5. Atrisiniet vienādojumu: + X=0.

=- x, X 0.

Nr. 6. Atrisiniet vienādojumu: = X+2.

Atšķirībā no iepriekšējā piemēra, šī vienādojuma labajā pusē ir izteiksme ar mainīgo. Tāpēc vienādojumam ir risinājums ar nosacījumu X+20, t.i. x-2. Tad mums ir:

2x+1=x+2 vai

2x + 1 \u003d - x - 2.

Tas. plkst x-2, mums ir:

Atrisiniet vienādojumus:

Nodarbība #2. Lineāro vienādojumu risināšana ar moduļiem.

Risinot lineāros vienādojumus, tiek izmantota vai nu skaitļa moduļa ģeometriskā nozīme, vai arī moduļa zīmes paplašinājums. Apsveriet piemēru: atrisiniet vienādojumu

a) Mēs izmantojam skaitļa moduļa ģeometrisko nozīmi. Vienādojumu ierakstīsim formā: +=7. Tad d=х–5- attālums no punkta X uz 5. punktu skaitļu rindā, f \u003d x - (-2)- attālums no punkta X uz punktu (-2).Atbilstoši uzdevuma nosacījumam šo attālumu summa d+f=7. Uzzīmēsim punktus 5 un -2 uz skaitļa taisnes. Ir viegli pārbaudīt, vai jebkuram skaitlim no segmenta [-2;5] attālumu summa d+f vienāds ar nogriežņa AB garumu, t.i. 7. Tikpat vienkārši ir iestatīt punktus x vai x>5 attālumu summa d+f>7. Tāpēc vienādojuma risinājums ir intervāls.

b) Atvērsim moduļa zīmi. Lai to izdarītu, skaitļu rindā novietojiet punktus -2 un 5. Šie punkti sadala to trīs intervālos. Apsveriet moduļu zīmes katrā no intervāliem.

1. intervālā (x mēs iegūstam: -(x–5)–(x+2)=7 vai –x+5–x–2=7 vai - 2x+3=7, no kurienes mēs iegūstam: x=-2. Bet šis punkts nav iekļauts aplūkotajā intervālā. Tātad x=-2 nav risinājums.

2. intervālā: X mēs iegūstam: -(x–5)+(x+2)=7 vai 7=7. Tā kā izrādījās pareizā vienādība, jebkurš punkts no šī intervāla ir šī vienādojuma risinājums.

3. intervālā (x>5) mēs iegūstam: (x-5)+(x+2)=7 vai 2x-3=7, kur x=5. Punkts x=5 nav iekļauts aplūkotajā intervālā un nav vienādojuma risinājums.

Tātad šī vienādojuma risinājums ir: -2x5.

Atrisiniet vienādojumus:

Nodarbība numur 3. Kvadrātvienādojumu ar moduli atrisināšana.

Apsveriet kvadrātvienādojumu risinājumu ar moduļiem, izmantojot piemērus:

Nr.1. atrisināt vienādojumu

Mēs ieviešam nomaiņu =y, pēc tam plkst pie 0 vienādojums kļūst:

y 2 –6y+8=0, no kurienes y 1 = 2 un y 2 = 4. a x= 2 vai -2; 4 vai -4.

Nr.2. Atrisiniet vienādojumu:

Vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai: Kur X=1.

Nr.3. Atrisiniet vienādojumu:

2X – 1.

Vienādojumam ir risinājums ar nosacījumu, ka 2 X–10, un vienlīdzība ir iespējama ar nosacījumu: izteiksmju vērtības x 2 + x-1 un 2 X-1 ir vienādi vai pretēji. Tas. mums ir: x0.5. Izveidosim vienādojumus: x 2 + x–1=2X-1 vai x 2+X–1=-(2X- viens); kuru atrisinot, mēs iegūstam

Nr.4. Atrodiet vienādojuma saknes: .

Mēs attēlojam šo vienādojumu šādā formā: = X 2-1, no kurienes:

x - 1 \u003d x 2 - 1,

vai x - 1 \u003d - (x 2 - 1).

x 2 - 1 ar x - 1 un x 1.Atrisinot vienādojumus, iegūstam no pirmā: x=0 un x=1, no otrā: x=-2 un x=1.

Atbilde: x=1; x=-2.

Nr.5. Atrodiet vienādojuma veselu skaitļu saknes: = .

Izmantojot moduļa definīciju, mēs secinām, ka vienlīdzība ir iespējama, ja izteiksmju vērtības x–x 2–1 un 2x+3–x 2 ir vienādi vai pretēji, t.i. šis vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai:

Atrisinot kopu, mēs iegūstam šī vienādojuma saknes: x=-4;-0,5;2. Veseli skaitļi starp tiem: -4 un 2.

Nr.6. Atrisiniet vienādojumu: \u003d 2x 2 -3x + 1.

Apzīmē izteiksmi 3x-1-2x 2 vēstule a. Tad šis vienādojums iegūs šādu formu: =-a. Pamatojoties uz moduļa definīcijas analītisko apzīmējumu, varam secināt, ka šis vienādojums ir līdzvērtīgs nevienādībai: 3x-1-2x 2 0, kuru atrisinot, mēs saņemam atbildi: x0.5 un x1.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam.

Atrisiniet vienādojumu:

Nr. 1. \u003d x 2 + x-20.

Nr.2. + 3x -5=0,

Nr.3. =(x–1)(x+1),

Nr.4. x 2 -6 + 5 \u003d 0,

Nr.5. x 2 + 8 = 9,

Nr. 6. \u003d x 2 -6x + 6,

Nr.7. x = -8.

Nodarbība numur 4. Absolūtu vērtību saturošu vienādojumu ar parametriem risinājums.

Apsveriet piemēru: atrisiniet vienādojumu ar parametru

Veidosim funkciju grafikus y=3–x un y=. Grafiks y=3–x fiksēts un nav atkarīgs no parametra. Grafiks y= iegūts no funkcijas grafika y=, atkarīgs no parametra a. Tātad, aplūkosim 3 gadījumus:

Šajā gadījumā, kā redzams attēlā, a. Šo funkciju grafiki krustojas vienā punktā B. Aplūkosim trijstūri ABC, kurā leņķis A ir vienāds ar leņķi B un ir vienāds ar 45 0, šajā trijstūrī uzzīmējam VD augstumu. Jo trijstūris ABC ir vienādsānu, tad BD ir arī šī trijstūra mediāna. Tāpēc punkta D abscise X=(a + 3)/2.

Šis gadījums notiek, kad a=3. Tad funkciju grafiki sakrīt pa segmentu AB un jebkura šī stara punkta abscisa ir šī vienādojuma atrisinājums, t.i. X

Šajā gadījumā a>3. Redzams, ka funkciju grafiki nekrustojas, t.i. nav kopīgu punktu. Tāpēc vienādojumam nav risinājuma.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet vienādojumus:

Nr.3. (a–2)=a–2,

Nr.4. a 2 x 2 + a \u003d 0.

Nodarbība numur 5. Lineāro nevienādību risinājums ar moduļiem.

Nevienādības, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes, tiek atrisinātas dažādos veidos; Apskatīsim diezgan vienkāršu piemēru:

Nr. 1. Atrisiniet nevienlīdzību:

Pirmais veids: mums ir: >4,

Ģeometriski izteiksme nozīmē attālumu uz koordinātu līnijas starp punktiem X un 2.5. Tāpēc mums ir jāatrod visi šādi punkti X, kas atrodas vairāk nekā 2 attālumā no punkta 2.5, ir punkti no intervāliem x un x>4,5.

Otrs veids: Tā kā abas dotās nevienādības daļas ir nenegatīvas, mēs abas šīs nevienādības daļas izlīdzināsim kvadrātā: 2 >4 2 .

(2x–5) 2 > 4 2,

(2х–5) 2–16>0,

(2х–5–4) (2х–5+4)>0,

2(x–4,5) 2(x–0,5)>0,

(x–4,5) (x–0,5)>0.

Izmantojot intervāla metodi, mēs iegūstam: x,5 un x>4,5.

Trešais veids: izteiksme 2x-5 var būt nenegatīvs vai negatīvs. Tie. mums ir divu sistēmu komplekts:

Kur: x un x>4,5.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

Piemērs Nr. 2. Atrisiniet nevienlīdzību:

Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga divu sistēmu kombinācijai:

No pirmās sistēmas mēs iegūstam 2x, no otrā -1-1

3. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību: 3 x+3.

Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga dubultajai nevienlīdzībai -х-33х–3х+3 vai sistēma

Mums ir : 0x3.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet nevienādības:

№3. ->-2.

Nodarbība numur 6. Kvadrātisko nevienādību risināšana ar moduļiem.

Apsveriet piemēru Nr. 1. Atrisiniet nevienlīdzību: +x–2.

Šo nevienlīdzību var atrisināt ar intervāla metodi. Apsveriet citu risinājumu, pamatojoties uz šādu apgalvojumu: jebkurai a vērtībai nevienādība ir līdzvērtīga nevienādību sistēmai: ,un nevienlīdzībair ekvivalents nevienādību kopai.

Tāpēc mūsu nevienlīdzība ir līdzvērtīga nevienlīdzību sistēmai: to atrisinot, iegūstam:

Pierakstīsim atbildi: (1-;2-).

2. piemērs. Atrodiet veselus nevienlīdzības risinājumus: 2x–x 2. Problēma ir reducēta uz divu nevienlīdzību sistēmu kopas atrisināšanu:

Mēs atrisinām pirmo sistēmu: no pirmās nevienlīdzības mums ir: x1; x2.

no otrā: 2x 2 –5x+20, vai 0,5x2.

Atzīmējuši pirmās sistēmas pirmās un otrās nevienādības atrastos atrisinājumus uz koordinātu taisnes, atrodam atrisinājumu krustpunktu.

Tas. 0,5x1 un x=2. Šis ir pirmās sistēmas risinājums.

Mēs atrisinām otro sistēmu: no pirmās nevienlīdzības mums ir: 1-(x 2 -3x + 2) 2x-x 2, vai – х 2 +3х–2–2х+ х 2 0, vai x2.

Atzīmējot atrastos otrās sistēmas pirmās un otrās nevienādības atrisinājumus uz koordinātu taisnes, iegūstam: 1

Atrasto risinājumu apvienošana nevienlīdzību sistēmām 0,5x1; x=2; 1 0,5 x 2 utt. būs veseli risinājumi x=1 un x=2.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet nevienlīdzības:

Nr.4. x 2 -3+2>0,

Nr.6. x 2 -6x+7-

Nr.7. 3+x2 –7>0,

№8. >.

Nodarbība numur 7. Absolūto vērtību saturošu nevienādību risināšana ar parametriem.

Piemērs. Par kādām vērtībām a patiesā nevienlīdzība: cirvis 2 +4+a+3 ?

Plkst x0 mums ir cirvis 2 + 4x + a + 3. Senioru koeficients a jābūt negatīvam, diskriminantam jābūt mazākam par nulli.

a 16–4a(a+3) 0; ai a>1;

parabolas augšdaļas abscisa x 0 \u003d -b / 2a \u003d - 4 / 2a \u003d -2 / a 0, kur a.

Plkst x mums ir cirvis 2 -4x + a + 3. Līdzīgi strīdoties, mēs iegūstam: a.

Atbilde: kad un šī nevienlīdzība attiecas uz visām x reālajām vērtībām.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet nevienādības ar parametriem:

Nr.3. Vai ir a vērtības, kurām ir nevienlīdzība cirvis 2 >2+5 nav risinājumu?

8.–9. nodarbība. Intervālu metode vienādojumu un moduli saturošu nevienādību risināšanai.

Apsveriet intervālu metodi, izmantojot vienādojuma risināšanas piemēru

-+3-2=x+2.

Lai atrisinātu šo nevienlīdzību, ir nepieciešams paplašināt moduļus. Lai to izdarītu, mēs izvēlamies intervālus, no kuriem katrā izteiksmē zem moduļa zīmes ir tikai pozitīvas vai negatīvas vērtības. Šādu intervālu atrašana balstās uz teorēmu: ja intervālā (a; c) funkcija f ir nepārtraukta un nepazūd, tad šajā intervālā tā saglabā nemainīgu zīmi.

Lai izceltu noturības intervālus, mēs atrodam punktus, kuros pazūd zem moduļa rakstītās izteiksmes:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Iegūtie punkti sadalīs līniju vajadzīgajos intervālos. Definēsim izteiksmju zīmes

х+1, х, х–1, х–2 šajos intervālos:

Ņemot vērā zīmes, mēs atvērsim moduļus. Rezultātā mēs iegūstam sistēmu kopu, kas ir līdzvērtīga šim vienādojumam:

Pēdējais komplekts tiek samazināts līdz formai:

Sistēmu kopuma un šī vienādojuma atrisinājums: -2; X 2.

Izmantotā tehnika tiek saukta intervāla metode. To izmanto arī nevienlīdzību risināšanai.

Atrisiniet nevienādību: +x–2

1) Atrodiet izteiksmes nulles: x 2-3x.

x 1 = 0, x 2 = 3.

2) Sadaliet koordinātu līniju intervālos un uzstādiet izteiksmes zīmi x 2-3x katrā intervālā:

3) Izvērsīsim moduli:

Pirmās sistēmas risinājums: , otrās sistēmas risinājums. Šīs nevienlīdzības risinājums: .

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

№3

10.–11. nodarbība. Formu nevienādību atrisinājums , izmantojot līdzvērtīgas pārejas.

Apsveriet formas nevienādības un. Mēs pieņemam šādu teorēmu bez pierādījumiem: jebkurai nevienlīdzības vērtībaiir līdzvērtīga nevienlīdzības un nevienlīdzības sistēmaiir ekvivalents nevienādību kopai

Apsveriet piemēru: atrisiniet nevienlīdzību: >x+2.

Izmantojot formulēto teorēmu, mēs pārejam uz nevienādību kopu:

Sistēma un nevienlīdzība 0x>2 nav risinājumu. Tāpēc populācijas (un dotās nevienlīdzības) risinājums ir X.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Nodarbības numurs 12. Absolūtās vērtības īpašību pielietojums vienādojumu un nevienādību risināšanā.

Risinot dažus uzdevumus, tiek izmantotas moduļa īpašības. (Ja nepieciešams, atkārtojiet tos, skatiet darbību Nr. 1).

Paskaidrojuma piezīme

Matemātika ir valoda, kurā runā ne tikai zinātne un tehnika, matemātika ir cilvēka civilizācijas valoda. Tas ir iekļuvis gandrīz visās cilvēka dzīves jomās. Mūsdienu ražošana, sabiedrības datorizācija, modernu informācijas tehnoloģiju ieviešana prasa matemātisko pratību.

Matemātiskā izglītība veicina vispārējas cilvēka kultūras veidošanos. Matemātikas studijas veicina cilvēka estētisko izglītību, izprotot matemātiskās spriešanas skaistumu un eleganci.

Izvēles kurss "Absolūtās vērtības zīmi saturoši vienādojumi un nevienādības" tika izveidots realizācijai 9 klasēs.

Kurss paredzēts studentu zināšanu un prasmju paplašināšanai jautājumos, kas saistīti ar skaitļa absolūtās vērtības jēdzienu, grafiskām funkcijām un absolūtās vērtības zīmi saturošu vienādojumu un nevienādību grafisku risinājumu.

Absolūtās vērtības (moduļa) jēdziens ir viens no svarīgākajiem skaitļa raksturlielumiem gan reālo, gan komplekso skaitļu jomā. Šis jēdziens tiek plaši izmantots ne tikai dažādās skolas matemātikas kursa sadaļās, bet arī universitātēs apgūtajos augstākās matemātikas, fizikas un tehnisko zinātņu kursos. Piemēram, aptuveno aprēķinu teorijā tiek lietoti aptuvenā skaitļa absolūtās un relatīvās kļūdas jēdzieni. Mehānikā un ģeometrijā tiek pētīti vektora un tā garuma (vektora moduļa) jēdzieni. Matemātiskajā analīzē skaitļa absolūtās vērtības jēdziens ir ietverts tādu pamatjēdzienu definīcijās kā robeža, ierobežota funkcija utt. Problēmas, kas saistītas ar absolūtajām vērtībām, bieži sastopamas matemātikas olimpiādēs, iestājeksāmenos universitātēs. un vienotais valsts eksāmens.

Kurss palīdzēs skolotājam viskvalitatīvāk sagatavot skolēnus matemātikas olimpiādēm, OGE, vienotā valsts eksāmena un eksāmenu kārtošanai uzņemšanai augstskolās.

Izvēles kursa programma ietver aplūkojamo jautājumu teorijas un prakses iepazīšanos un ir paredzēta 34 stundām: 7,5 stundas lekcijām un 26,5 stundām praktisko apmācību.

Kursa saturs sastāv no astoņām sadaļām, ieskaitot ievadu un noslēguma sesiju. Skolotājs atkarībā no studentu sagatavotības līmeņa, apgūstamā materiāla sarežģītības pakāpes un studentu uztveres par to var neuzņemt visas tēmas, vienlaikus palielinot stundu skaitu citu apguvei. Skolotājs var arī mainīt piedāvātā materiāla grūtības pakāpi.

Programma satur radošo darbu tēmas un literatūras sarakstu par piedāvātajām tēmām.

Šī kursa apguves procesā paredzēts izmantot dažādas skolēnu izziņas aktivitātes aktivizēšanas metodes, kā arī dažādas viņu patstāvīgā darba organizēšanas formas.

Kursa programmas apgūšanas rezultāts ir skolēnu radošo individuālo un grupu darbu prezentācija noslēguma nodarbībā.

Kursa mērķi:

• skolēnu ilgtspējīgas intereses veidošana par matemātiku;
• specifisku matemātikas zināšanu apguve, kas nepieciešamas pielietošanai praktiskajā darbībā;
• sagatavošanās algebras un ģeometrijas sistemātiska kursa apzinātai asimilācijai;
• zināšanu vispārināšana un sistematizēšana, paplašināšana un padziļināšana par tēmu "Absolūtā vērtība"; praktiskās iemaņas, lai izpildītu uzdevumus ar moduli; skolēnu matemātiskās sagatavotības līmeņa paaugstināšana.

Kursa mērķi:

• veidot studentos prasmi veidot absolūtās vērtības zīmi saturošu funkciju grafikus, izmantojot ģeometrisko transformāciju metodi, ar moduļiem risināt vienādojumus un nevienādības;
• veidot prasmes šo zināšanu pielietošanā dažādu dažādas sarežģītības problēmu risināšanā;
• sagatavot skolēnus eksāmenam;
• veidot patstāvīgā darba iemaņas, strādāt mazās grupās;
• veidot prasmes strādāt ar uzziņu literatūru, ar datoru;
• veidot pētnieciskā darba prasmes un iemaņas;
• veicināt skolēnu algoritmiskās domāšanas attīstību;
• veicināt izziņas intereses veidošanos par matemātiku.

(1 stunda nedēļā, kopā 34 stundas)

1. Ievads (1 stunda)

Izvēles kursa mērķi un uzdevumi. Kursā aplūkotie jautājumi un tā struktūra. Iepazīšanās ar literatūru, radošo darbu tēmām. Prasības kursu dalībniekiem. Izsole "Ko es zinu par absolūto vērtību?".

2. Reālā skaitļa a absolūtā vērtība (4 stundas)

Reālā skaitļa absolūtā vērtība. Pretēju skaitļu moduļi. A moduļa jēdziena ģeometriskā interpretācija. Galīga skaita reālu skaitļu summas modulis un starpības modulis. Divu skaitļu moduļu starpības modulis. Produkta modulis un koeficientu modulis. Operācijas ar absolūtajām vērtībām. Izteiksmju vienkāršošana, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes. Moduļu īpašību pielietojums olimpiādes uzdevumu risināšanā.

3. Vienādojumu (ieskaitot funkcijas) grafiki, kuru analītiskā izteiksme satur absolūtās vērtības zīmi (5 stundas)

Datorprogrammas "Advanced Grapher" izmantošana funkciju grafiku konstruēšanā, kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi. Noteikumi un algoritmi vienādojumu grafiku konstruēšanai, kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi. Vienādojumu grafiki

Dažu vienkāršāko funkciju grafiki, kas definēti tieši un netieši un kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi. Vienādojumu (ieskaitot funkcijas) grafiki, kuru analītiskā izteiksme satur absolūtās vērtības zīmi olimpiādes uzdevumos.

4. Vienādojumi, kas satur absolūtās vērtības (11 stundas)

Pamatmetodes vienādojumu risināšanai ar moduli. Moduļa izpaušana pēc definīcijas, pāreja no sākotnējā vienādojuma uz ekvivalentu sistēmu, vienādojuma abas daļas kvadrātā, intervālu metode, grafiskā metode, absolūtās vērtības īpašību izmantošana. Formu vienādojumi

Mainīgo izmaiņu metode absolūtās vērtības saturošu vienādojumu risināšanai. Intervālu metode absolūtās vērtības saturošu vienādojumu risināšanai. Formu vienādojumi

Metode secīgai moduļa atklāšanai, risinot vienādojumus, kas satur "moduli modulī". Absolūtās vērtības saturošu vienādojumu grafisks risinājums. Absolūtās vērtības īpašību izmantošana vienādojumu risināšanā. Vienādojumi ar parametriem, kas satur absolūtās vērtības. Atrisināto olimpiādes uzdevumu aizsardzība.

5. Nevienādības, kas satur absolūtās vērtības (7 stundas)

Formu nevienlīdzības

Formu nevienlīdzības

Intervālu metode nevienādību risināšanā, kas satur moduļa zīmi. Nevienādības ar parametriem, kas satur absolūtās vērtības. Nevienādības ar diviem mainīgajiem.

Vienādojumu un nevienādību sistēmas, kas satur absolūtās vērtības.

Citi jautājumi, kuru risināšanā lietots absolūtās vērtības jēdziens.

6. Noslēguma nodarbība (1 stunda)

Kalendāra tematiskā plānošana

	Vārds sadaļas un tēmas	Stundu skaits
	Ievads
Reālā skaitļa a absolūtā vērtība (4 stundas)
	Reālā skaitļa absolūtā vērtība. Pamatteorēmas
	Operācijas ar absolūtajām vērtībām
	Izteiksmju vienkāršošana, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes
	Moduļu īpašību pielietojums olimpiādes uzdevumu risināšanā
Vienādojumu grafiki, kuru analītiskā izteiksme satur absolūtās vērtības zīmi (5 stundas)
	Datorprogrammas "Advanced Grapher" izmantošana funkciju grafiku konstruēšanā, kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi
	Grafiku (tostarp funkciju) konstruēšanas noteikumi un algoritmi, kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi
	Vienādojumu grafiki
	Dažu vienkāršāko funkciju grafiki, kas definēti tieši un netieši un kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi
	Vienādojumu grafiki, kuru analītiskā izteiksme satur absolūtās vērtības zīmi olimpiādes uzdevumos
Vienādojumi, kas satur absolūtās vērtības (11 stundas)
	Pamatmetodes vienādojumu risināšanai ar moduli
	Formu vienādojumi
	Mainīgo izmaiņu metode absolūtās vērtības saturošu vienādojumu risināšanai
	Intervālu metode absolūtās vērtības saturošu vienādojumu risināšanai. Formu vienādojumi
	Secīgas moduļa atklāšanas metode, risinot vienādojumus, kas satur "moduli modulī"
	Absolūtās vērtības saturošu vienādojumu grafisks risinājums
	Absolūtās vērtības īpašību izmantošana vienādojumu risināšanā
	Vienādojumi ar parametriem, kas satur absolūtās vērtības
	Atrisināto olimpiādes uzdevumu aizsardzība
Nevienādības, kas satur absolūtās vērtības (13 stundas)
	Nevienlīdzības ar vienu nezināmo. Pamatmetodes nevienādību risināšanai ar moduli
	Pamatmetodes nevienādību risināšanai ar moduli
	Formu nevienlīdzības
	Nevienādības ar diviem mainīgajiem
	Vienādojumu un nevienādību sistēmas, kas satur absolūtās vērtības
	Citi jautājumi, kuru risināšanā lietots absolūtās vērtības jēdziens
	Pēdējā nodarbība

Izglītības un metodisko materiālu saraksts

1. Bašmakovs M.I. Vienādojumi un nevienādības. – M.: VZMSh Maskavas Valsts universitātē, 1983.

2. Vilenkin N. Ya. un citas algebras un matemātiskās analīzes. 11 šūnas – M.: Apgaismība, 1993. gads.

3. Gaidukovs I.I. Absolūtā vērtība. - M .: Izglītība, 1968.

4. Gaļitskis M.L. un citi.Uzdevumu apkopojums algebras 8 - 9 šūnās. – M.: Apgaismība, 1995. gads.

5. V.M. un citi.Konkurences uzdevumu krājums matemātikā.- M .: Izglītība, 1983.g.

6. Goršteins P.I. utt. Uzdevumi ar parametriem. - M .: Ileksa, Harkova: ģimnāzija, 2003.

7. Koļesņikova S.I. Matemātika. Intensīvs Vienotās valsts sagatavošanas kurss

Eksāmens. Maskava: Iris-press, 2004.

8. Merzlyak A.G. uc Algebriskais simulators. – M.: Ileksa, 2001.

9. Mordkovičs A.G. Algebra. 8 šūnas – M.: Mnemosyne, 2000.

10. Ņeškovs K.I. un citi.Komplekti. Attiecības. Skaitļi. Vērtības. – M.: Apgaismība, 1978. gads.

11. Nikolskaya I.L. Izvēles kurss matemātikā. – M.: Apgaismība, 1995. gads.

12. Olechnik S.N. utt. Vienādojumi un nevienādības. Nestandarta risinājumu metodes. 10-11 šūnas. -

M.: Bustards, 1995.

13. Šarigins I.F. Izvēles kurss matemātikā 10 - 11 šūnas. – M.: Apgaismība, 1989.

14. Elektroniskā mācību grāmata "Algebra 7 - 11".

15. Yastrebinetsky G.A. Uzdevumi ar parametriem. – M.: Apgaismība, 1986. gads.

Radošo darbu tēmas

1. Moduļa pielietojums mehānikā un vektoru algebrā.
2. Modulis limita definīcijā.
3. Kļūdas.
4. Noteikumu un algoritmu piezīmes uzmetums vienādojumu grafiku (ieskaitot funkcijas) konstruēšanai, kura analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi.
5. Spēles "Matemātiskā loto" veidošana par tēmu "Vienādojumu grafiki, kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi."
6. Atsauces signālu projekts pēc vienādojumu un nevienādību risināšanas metodēm ar moduli.
7. Vienkāršākās funkcijas, kas definētas tieši un netieši, kuru analītiskā izteiksme satur moduļa zīmi, un to grafiki.

Uzdevumi “Moduļa” funkcijas grafiku konstruēšanai un uzdevumi ar parametriem tradicionāli ir viena no grūtākajām tēmām matemātikā, tāpēc vienmēr tiek iekļauta paaugstināta un augsta līmeņa GIA un Vienotā valsts eksāmena uzdevumos.

Jēdziens "modulis" tiek apgūts skolā no 6. klases, un līmenī, tikai definīcijas un aprēķini, neskatoties uz to, ka tas tiek plaši izmantots daudzās skolas matemātikas kursa sadaļās, piemēram, apgūstot aptuvena skaitļa absolūtās un relatīvās kļūdas; ģeometrijā un fizikā tiks pētīti vektora un tā garuma (vektora moduļa) jēdzieni. Moduļa jēdziens tiek lietots augstākās izglītības iestādēs apgūstamajos augstākās matemātikas, fizikas un tehnisko zinātņu kursos.

Absolventi saskaras ar problēmu - sekmīgi nokārtot GIA 9. klasē, vēlāk arī vienoto valsts eksāmenu.

Šogad matemātikas stundās iepazināmies ar lineārās funkcijas jēdzienu un mācījāmies veidot tās grafiku. Tika parādīts, ka šis viņas grafiks ir ņemts par pamatu funkcijas "modulis" konstruēšanai. Turklāt skolotāja teica, ka ir vienādojumi ar vienu un vairākiem moduļiem. Nolēmu papētīt šo tēmu dziļāk, jo īpaši tāpēc, ka tā man noderēs, kārtojot eksāmenus.

Priekšmets "Grafiskā metode vienādojumu risināšanai, kas satur absolūto vērtību"

Mērķis: pētīt iespēju racionāli veidot grafikus ar moduļiem vienādojumu risināšanai, kas satur moduli un parametru

Apgūt vienādojumu ar moduli risināšanas metožu teoriju.

Iemācīties atrisināt 1. pakāpes vienādojumus, kas satur absolūtās vērtības zīmi.

Klasificēt grafiskās metodes vienādojumu risināšanai.

Analizēt dažādu "moduļa" funkciju grafiku konstruēšanas metožu priekšrocības un trūkumus.

Uzziniet, kas ir parametrs

Lietojiet racionālas metodes, lai atrisinātu vienādojumus ar parametru

Objekts - metodes vienādojumu risināšanai ar moduli

Priekšmeta grafiskā metode vienādojumu risināšanai

Pētījuma metodes: teorētiskā un praktiskā:

teorētiskais - ir literatūras izpēte par pētniecības tēmu; Internets - informācija;

praktiski - tā ir literatūras pētījumos iegūtās informācijas analīze, rezultāti, kas iegūti, dažādos veidos risinot vienādojumus ar moduli;

vienādojumu risināšanas metožu salīdzināšana ir to izmantošanas racionalitātes priekšmets dažādu vienādojumu risināšanā ar moduli.

Jēdzieni un definīcijas

1.1.Jēdziens "modulis" tiek plaši lietots daudzās skolas matemātikas kursa sadaļās, piemēram, aptuvenā skaitļa absolūto un relatīvo kļūdu izpētē; ģeometrijā un fizikā tiek pētīti vektora un tā garuma (vektora moduļa) jēdzieni. Moduļa jēdziens tiek lietots augstākās izglītības iestādēs apgūstamajos augstākās matemātikas, fizikas un tehnisko zinātņu kursos.

Vārds "modulis" cēlies no latīņu vārda "modulus", kas tulkojumā nozīmē "mērīt". Šim vārdam ir daudz nozīmju, un to lieto ne tikai matemātikā, fizikā un tehnoloģijās, bet arī arhitektūrā, programmēšanā un citās eksaktajās zinātnēs.Tiek uzskatīts, ka Ņūtona skolnieks Kots ierosināja lietot šo terminu. Moduļa zīmi 19. gadsimtā ieviesa Veierštrāss.

Arhitektūrā modulis ir sākotnējā mērvienība, kas noteikta konkrētai arhitektūras struktūrai. Inženierzinātnēs tas ir termins, ko izmanto dažādās tehnoloģiju jomās, lai apzīmētu dažādus koeficientus un lielumus, piemēram, elastības modulis, piesaistes modulis. Matemātikā modulim ir vairākas nozīmes, bet es to traktēšu kā skaitļa absolūto vērtību.

Definīcija : Reāla skaitļa modulis (absolūtā vērtība). a pats numurs tiek izsaukts, ja a≥0 vai pretējs skaitlis - a, ja un nulles modulis ir nulle.

Modulis ir attālums uz koordinātu līnijas no nulles līdz punktam.

1.2. Vienādojums ar moduli ir vienādojums, kas satur mainīgo zem absolūtās vērtības zīmes (zem moduļa zīmes). Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes vai pierādīt, ka sakņu nav. Metodes vienādojumu risināšanai ar moduli:

1. Pēc moduļa definīcijas - "moduļa noņemšana". Lēmums ir balstīts uz definīciju.

2. Analītiskā metode - vienādojumu risināšana, izmantojot vienādojumā iekļauto izteiksmju transformācijas un moduļa īpašības.

3. Intervālu metode: moduļa paplašināšana uz intervāliem un pusintervāliem, ko veido moduļu "nulles".

4. Grafiskā metode. Šīs metodes būtība ir izveidot šo funkciju grafikus, kas attēlo vienādojuma kreiso un labo pusi. Ja grafiki krustojas, tad šo grafiku krustošanās punktu abscises būs šī vienādojuma saknes.

1.3.Funkciju grafiku zīmēšanas metodes ar moduli

1.3.1. A-prioritāte. Tiek konstruētas divas līnijas y=kx+b, kur x>0, y=-kx+b, kur x

1.3.2. Simetrijas metode. Grafs ir izveidots y \u003d kx + v, ja x> 0. Taisnes daļa pie x

1.3.3. Funkciju konvertēšana:

a) y=|x |+n grafiks tiek nobīdīts uz augšu pa y asi par vienībām

b) y=|x |-n grafiks tiek nobīdīts uz leju pa y asi

c) y=|x + n | grafiks tiek nobīdīts pa abscisu asi pa kreisi

d)y=|x -n | grafiks nobīdās pa labi pa x asi

1.3.4. intervāla metode. Koordinātu līnija ir sadalīta intervālos un pusintervālos ar moduļu nullēm. Tālāk, izmantojot moduļa definīciju, katram no atrastajiem laukumiem iegūstam vienādojumu, kas jāatrisina noteiktā intervālā un iegūst funkciju.

1.3.5. Nulles laukumu paplašināšanas metode. Gadījumā, ja ir vairāki moduļi, ērtāk moduļus neizvērst, bet izmantot šādu paziņojumu: moduļu algebriskā summa. n lineārās izteiksmes ir pa daļām lineāra funkcija, kuras grafiks sastāv no n+1 taisnu līniju segmenti.

Pēc tam grafiku var veidot atbilstoši n+2 punkti, n no kuriem ir moduļa iekšējo izteiksmju saknes, vēl viens ir patvaļīgs punkts ar mazākās no šīm saknēm abscisu un pēdējais ar lielākās saknes abscisu.

1.4. Mums ir vienādojums cirvis+b=c.Šajā vienādojumā X- nezināms a,b,c ir koeficienti, kas var iegūt dažādas skaitliskas vērtības. Šādi definētos koeficientus sauc par parametriem. Viens vienādojums ar parametriem nosaka vienādojumu kopu (visām iespējamām parametru vērtībām).

tie visi ir vienādojumi, kas definē vienādojumu ar parametriem cirvis+b=c.

Vienādojuma atrisināšana ar parametriem nozīmē:

Norādiet, kādām parametru vērtībām vienādojumā ir saknes un cik no tām dažādām parametru vērtībām.

Atrodiet visas sakņu izteiksmes un katrai no tām norādiet to parametru vērtības, kuriem šī izteiksme nosaka vienādojuma sakni.

1.5.Secinājumi:

Tādējādi ir dažādas metodes grafiku konstruēšanai ar moduli, kuras ir jāizpēta, lai noskaidrotu to racionālas pielietošanas iespējas.

Moduli un lietojumprogrammu saturošu funkciju grafiku konstruēšanas metožu analīze

3. Intervālu metode

4.Analītisks

3. Ligzdotie moduļi

|||x n| m||= a

1. Pēc moduļa definīcijas

2.Grafika

Secinājums: tādējādi vienādojumu klasifikācija sniedz mums vispārīgas metodes visu veidu vienādojumu risināšanai - tas pēc definīcijas ir modulis un grafiskā metode.

2.2.Grafiku veidošanas analīze.

2.2.1. Tips 1. Konstrukcija y=|x |

2.2.1.1.A-prior.

1. Mēs veidojam taisnu līniju y \u003d x

2. Atlasiet taisnes daļu pie x 0

3. Mēs veidojam taisnu līniju y \u003d -x

4. Atlasiet taisnes daļu pie x

2.2.1.2. Simetrijas metode

1. Mēs veidojam taisnu līniju y \u003d x

2. Mēs veidojam simetriju ap abscisu asi pie x

5. Atlasiet rindu daļas intervālos

2.2.2.2.Nulles apgabala paplašināšanas metode

1. Nulles: 3 un 1; paplašinātā platība: 2,4,0

2. Aprēķiniet vērtības 3,1,2,4,0 ir: -2, -2, -2, 0, 0

3. Sakārto punktus ar to koordinātām un savieno

Secinājums: Nulles laukuma paplašināšanas metode ir racionālāka

2.2.3. Tips 3. Ligzdotie moduļi - "matryoshka"

Un mēs pētām konstrukciju y=||x|-1|

2.2.3.1.Pēc moduļa definīcijas

Pēc galvenā moduļa definīcijas mums ir:

1) x>0 y=|x|-1

2. "Noņemiet" šo moduli:

Modulis: y=x-1, x>0 un y=-x+1 x

y=-x+1 x>0 y=x-1 x

3. Mēs veidojam diagrammas

2.2.3.2. Simetrijas metode

1. y=|x|-1

y=x-1, simetrija

2. Simetrija par grafa daļas abscisu, kur x-1

Secinājums: simetrijas metode ir racionālāka.

2.2.4. Apkoposim rezultātu analīzi tabulā:

Zināšanas un prasmes

trūkumi

A-prior

Moduļa definīcija

Zināt: kā tiek noteiktas taisnu līniju punktu koordinātas

Prast izvēlēties taisnas līnijas daļu pēc nevienlīdzības

Apgrūtinoši risinājumi

Liela zināšanu apjoma pielietošana

"Noņemot" moduli, jūs varat kļūdīties

Simetrijas metode

Zināt un prast pielietot funkciju transformāciju

Veidojiet simetriju ap abscisu asi

Atstarpes metode

Atrodiet moduļa nulles

Definējiet intervālus un pusintervālus

Paplašināt moduļus

Aprēķināt moduļus

Atnesiet līdzīgus nosacījumus

Veidojiet taisnas līnijas

Apgrūtinoši risinājumi

Daudzi aprēķini un transformācijas, noņemot nulles

Tas aizņem ilgu laiku

Intervālu un pusintervālu definīcijas pareizība

Nulles apgabala paplašināšanas metode

Atrodiet moduļa nulles

Jāspēj paplašināt nulles apgabalu

Jāprot aprēķināt moduļus šajos punktos

Lai varētu veidot punktus pēc to koordinātām

Kļūdu pielaide aprēķinos

Funkciju transformācijas metode

Zināt konvertēšanas algoritmu

Lai varētu veidot punktus pēc to koordinātām

Prast aprēķināt punktu koordinātas

Prast pielietot konvertēšanas algoritmu

Zināšanas par diagrammu transformācijas algoritmiem

Secinājums: analizējot tabulu, secinām, ka simetrijas un nulles apgabala paplašināšanas metode ir visracionālākā, jo satur vismazāk veidojamo darbību, kas nozīmē, ka tās ietaupa laiku.

2.3.Racionālu metožu pielietošana grafu konstruēšanā, lai atrisinātu vienādojumus ar moduli un parametru

2.3.1. Atrisiniet vienādojumu:

Mēs veidojam y=

un y=0,5-x

2. Paplašinātā platība: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Zīmējam segmentus un starus

2.3.2. IZMANTOT 2009. gadu Atrodiet visas a vērtības, katrai no kurām vienādojums

, ir tieši 1 sakne. a = 7. Paveiktā darba gaitā varējām izpētīt un analizēt dažādas grafiku zīmēšanas metodes. Grafiku konstruēšanas metožu analīzes un salīdzināšanas rezultātā tika iegūti šādi secinājumi:

Algebriskas problēmas tulkošana valodā G rafikovs izvairās no apgrūtinošiem risinājumiem;

Risinot vienādojumus, kas satur moduli un parametru, grafiskā metode ir vizuālāka un salīdzinoši vienkāršāka;

Veidojot grafikus, kas satur 2 moduļus un “matrjošku”, simetrijas metode ir praktiskāka;

Lai gan grafiskais vienādojumu atrisināšanas veids ir aptuvens, jo precizitāte ir atkarīga no izvēlētā vienības segmenta, zīmuļa biezuma, līniju krustošanās leņķiem utt., bet šī metode ļauj novērtēt vienādojumu sakņu skaitu vienādojumu risināšanai ar parametru.

Ņemot vērā, ka viens no populārākajiem uzdevumiem USE un GIA ir vienādojumi ar moduli, tad mans galvenais rezultāts ir tāds, ka spēju grafiski atrisināt vienādojumus ar moduli un parametru.

Bibliogrāfija

1. Dankova I. "Pirmsprofila apmācība matemātikā", Maskava, 2006.

2. Ārpusstundu darbs matemātikā. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratova: Licejs, 2003.

3.Matemātika. Mācību grāmata, ko rediģēja Ant L.Ya., Maskavas tilts, 1994.

4. Matemātika. 8.-9. klase: izvēles kursu kolekcija. Izdevums-2.Autors-sastādītājs: M.E. Kozina., Volgograda: Skolotājs, 2007

5. Yastrebinetsky G.A. Uzdevumi ar parametriem. M, 2006. gads

Moduļa n definīcija Reālā skaitļa x modulis (absolūtā vērtība), t.i. | x|, pats šis skaitlis tiek izsaukts, ja tas nav negatīvs, un šis skaitlis tiek pieņemts ar pretēju zīmi, ja tas ir negatīvs

1. Moduļa īpašības 1. | a b | = | a | | b | jebkuriem skaitļiem a un b 2. | |= 3. ja pie ≠ 0 | a |2= a 2 jebkuram skaitlim a

n n 2. Vienkāršākais no vienādojumiem, kas satur moduļus, ir formas vienādojums | f(x) | = a, kur, a ≥ 0. Šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai. [Ja

n n n Formas | vienādojumi f(x) | = g(x), kur f(x), g(x) ir dažas reālā mainīgā x funkcijas. 1) G(x) 0 sākotnējais vienādojums ir ekvivalents kopai Γ f(x) = g(x), Lf(x) = -g(x).

Piemērs 2. Atrisiniet vienādojumu | 1 – 2 x | = 3 x - 2 n Risinājums: Ņemiet vērā, ka Zx 2≥ 0, t.i., x ≥ vai x є (; +∞) Kopā x є (; + ∞) dotais vienādojums ir ekvivalents divu vienādojumu kombinācijai: 1) 2 x \u003d 3x-2 X 1 \u003d 2) 1 2 x \u003d (3x 2) X 2 \u003d 1 n Kopš

n n Tagad apsveriet vienādojumus ar formu | un 1 x – 1|+ | un 2 x - 2 | + … + | anx – vn | \u003d ax + b, kur a 1, a 2, a 3, ..., an, in 1, in 2, in 3 ir daži skaitļi, kas pieder R, x ir reāls mainīgais, kas konstruēts saskaņā ar šādu shēmu. Dotā vienādojuma mainīgā pieļaujamo vērtību diapazons ir sadalīts kopās, katrā no kurām apakšmoduļu izteiksmju zīmes ir nemainīgas. Katrā šādā kopā sākotnējais vienādojums tiek aizstāts (ņemot vērā apakšmoduļu izteiksmju zīmes) ar ekvivalentu vienādojumu, kas nesatur absolūtās vērtības. Šādi iegūtās vienādojumu kopas atrisinājumu savienība ir dotā vienādojuma atrisinājums.

Piemērs 3. Atrisiniet vienādojumu | 2 x+5 | | 3 x | = 0,5 n n n Risinājums. Mainīgā lieluma pieļaujamo vērtību diapazons ir visa ciparu ass. Atradīsim punktus, kur apakšmoduļa izteiksmes ir vienādas ar 0: 2 x+5=0, t.i., x1= 2, 5; 3 x = 0, t.i., x2 = 3.

n n n n n ∞; 2, 5) (2, 5; 3) (З; + ∞) 2 х + 5 + + 3–х + + Tādējādi sākotnējais vienādojums | 2x+5 | | 3 x | \u003d 0,5 ir vienāds ar vienādojumu kopu: 1) x

n 2) pie 2,5 ≤ x

3. Tagad apskatīsim dažus apgalvojumus, kuru pielietojums ļauj būtiski vienkāršot vienādojumu atrisināšanu ar moduļiem. n n n Paziņojums 1. Vienlīdzība | a+b | = | a | + | in | ir patiesa, ja av ≥ 0. Pierādījums. Patiešām, pēc abas šīs vienādības daļas kvadrātā, mēs iegūstam | a+b |2 = |a|2 + 2|av | + |in|2 a 2 + 2 av + in 2 = a 2 + 2|av |+ in 2 , no kurienes | av | = av Un pēdējā vienādība būs patiesa av ≥ 0. 2. apgalvojums. Vienādība | a-c | = | a | + | in | ir taisnība, ja av ≤ 0. Pierādījums. Pierādījumam pietiek ar vienlīdzību | a+b | = | a | + | in | aizstāt v ar -v, tad a(-v) ≥ 0, no kurienes av ≤ 0

n n Paziņojums 3. Vienlīdzība | a | + | in | = a + b atbilst a ≥ 0 un b ≥ 0. Pierādījums. Ņemot vērā četrus gadījumus a ≥ 0 un ≥ 0; a ≥ 0 un

Piemērs 4. Atrisiniet vienādojumu: | 2 x 2| = |x3 2 | + | 2 x x 3 | n n n Risinājums: Kopš |х3 2 | + | 2 x x 3 | = |x3 2 + 2 x x3 |, tad visas vienādojuma saknes ir starp nevienādības (x3 2)(2 x - x3) atrisinājumiem ≥ 0 (1. apgalvojums). Atrisināsim šo nevienādību ar intervālu metodi; x(x3 - 2)(x2 - 2)≥ 0 x(x3 - 2)(x +)≤ 0 + + + 0 x Atbilde: [ ; 0]U[ ; ]

4. Citos piemēros nemaz nevajadzētu steigties ar moduļu izpaušanu, vispirms jāizskata izteiksme kopumā. 7. piemērs. Atrisiniet vienādojumu: n "Veselumā" var iegūt divu daļu reizinājumu. vienāds ar 1 tikai trīs gadījumos: n a) ja daļas ir savstarpēji apgrieztas , t.i., x+1= x+2 un | x+1| = | x+2|, bet tas nav iespējams nevienam x. n b) ja katrs no tiem ir vienāds ar 1, tad iegūstam un. No pirmā vienādojuma izriet x+1>0 x > 1. No otrā vienādojuma iegūstam x+2>0 x> 2. Vispārīgais risinājums: x> 1. c) ja katrs no tiem ir vienāds ar 1, tad iegūstam u. No pirmā vienādojuma izriet x + 1

n n n

Kursa galvenais saturs

Skaitļa absolūtā vērtība. Pamatīpašības (1h).

Skaitļa vai moduļa absolūtās vērtības noteikšana. Definīcijas analītiskais ieraksts. ģeometriskā nozīme. Pamatīpašības. Vēstures atsauce.

Galvenais mērķis ir sistematizēt un vispārināt skolēnu zināšanas par tēmu “Absolūtā vērtība”, kuras viņi ieguvuši 6. un 8. klasē; apsvērt absolūtās vērtības ģeometrisko nozīmi un galvenās īpašības; sniedz vēsturisku pamatojumu terminu “modulis” un “moduļa zīme” ieviešanai; aplūkosim piemērus, kuru risinājums ir balstīts uz moduļa definīciju.

Vienādojumu atrisināšana ar moduļiem (3 stundas).

Lineāru, kvadrātvienādojumu ar moduļiem, kā arī absolūtu vērtību saturošu vienādojumu ar parametriem risināšana.

primārais mērķis– izteiksmes ģeometriskā interpretācija un tās izmantošana formas vienādojumu risināšanai; apsvērt lineāro vienādojumu risinājumu, pamatojoties uz moduļa definīciju; absolūtās vērtības zīmi saturošu kvadrātvienādojumu atrisinājums, kā arī absolūto vērtību saturošu vienādojumu grafisks risinājums ar parametriem.

Nevienādību risināšana ar moduļiem (3 stundas).

Lineāro, kvadrātveida nevienādību ar moduļiem, kā arī absolūto vērtību saturošu nevienādību risinājums ar parametriem.

primārais mērķis- attīstīt prasmi ar moduli dažādos veidos atrisināt lineārās nevienādības (izmantojot ģeometrisko nozīmi, nevienādību kvadrātā, izmantojot dubultvienādību); absolūtās vērtības zīmi saturošas kvadrātvienādības, izmantojot kvadrāta funkcijas grafika shematisko skici, kā arī intervāla metodi; sniegt priekšstatu par absolūtu vērtību saturošu nevienādību atrisināšanu ar parametriem.

Intervāla metode (2h).

Absolūtu vērtību saturošu vienādojumu un nevienādību atrisināšana, izmantojot intervālu metodi.

primārais mērķis - mācīt skolēniem ar intervālu metodi atrisināt vienādojumus un nevienādības, kas satur absolūtu vērtību; formulēt teorēmu, uz kuras pamata tiek meklēti noturības intervāli; atrast moduļa nulles.

Formas , , nevienādības atrisinātas ar ekvivalentu pāreju palīdzību (2h).

Formas nevienlīdzības atrisināšana, izmantojot līdzvērtīgas pārejas uz nevienlīdzību kopu, bet nevienlīdzības - uz nevienlīdzību sistēmu.

primārais mērķis- nostiprināt ekvivalences jēdzienu, kas skolēniem zināms no 8. klases; formulēt (un pierādīt “spēcīgā” klasē) īpašību līdzvērtīgai pārejai no nevienlīdzības uz kopu un no nevienlīdzības uz sistēmu.

Absolūtās vērtības īpašību pielietojums vienādojumu un nevienādību risināšanā (1h).

Atrisināt vienādojumus un nevienādības (lineāras, kvadrātveida, augstākas par otro pakāpi), kā arī vienādojumu un nevienādību sistēmas, izmantojot absolūtās vērtības īpašības.

primārais mērķis– nepieciešamības gadījumā atkārtojiet moduļa galvenās īpašības; iemācīt studentiem atrisināt vienādojumus un nevienādības (lineāros, kvadrātiskos, grādus virs otrās), kā arī vienādojumu un nevienādību sistēmas, izmantojot absolūtās vērtības īpašības; parādīt grafiskos paņēmienus, rakstot atbildi; paplašinām vienādojumu klasi ar moduli (aplūkosim vienādojumu ar diviem mainīgajiem).

Vienādojumu un nevienādību risinājums ar moduli uz koordinātu taisnes (1h).

Lineāru vienādojumu un nevienādību risinājums ar moduli uz koordinātu taisnes.

primārais mērķis- atkārtojiet formulu attālumam starp diviem punktiem A ( x 1) un B( x 2) koordinātu līnija; iemācīt studentiem atrisināt vienādojumus un nevienādības ar moduli uz koordinātu taisnes.

Sakņu modulis un transformācija (1h).

Moduļa jēdziena pielietojums, darbojoties ar aritmētiskajām saknēm. Iracionālu izteiksmju transformācija, kuras risinājumā tiek izmantots modulis.

primārais mērķis– attīstīt prasmi veikt kvadrātsakni saturošu izteiksmju transformācijas, kurās tiek izmantots modulis.

Modulis un iracionālie vienādojumi (2 stundas).

Iracionālu vienādojumu atrisināšana, izmantojot pilna kvadrāta metodi vai jauna mainīgā ieviešana.

primārais mērķis- atkārtojiet skolēniem no 8. klases zināmo iracionālo vienādojumu definīciju; ar piemēriem parādīt iracionālu vienādojumu risinājumu, kas saistīts ar moduļa lietošanas nepieciešamību.

Izglītības un tematiskais plāns

Nr p / lpp	Priekšmets	Stundu skaits	Nodarbību vadīšanas forma	kontroles forma	Izglītības produkta nosaukums
1	Skaitļa absolūtā vērtība. Pamatīpašības.	1	lekcija	-	-
2	Vienādojumu risinājums ar moduļiem: Lineārs; kvadrāts; Ar opcijām.	1	darbnīca darbnīca apgūt jaunu materiālu	kontroles uzdevumu risinājums kontroles uzdevumu risinājums darba burtnīcu pārbaude	-
5	Nevienādību risināšana ar moduļiem: Lineārs; kvadrāts; Ar opcijām.	1	darbnīca apgūt jaunu materiālu	mājasdarbu pārbaude atbildes uz jautājumiem darba burtnīcu pārbaude	-
8	intervāla metode.	1	apvienotā nodarbība sacensību nodarbība	atbildes uz jautājumiem salīdzinošās pārskatīšanas nodarbība	-
10	Ar ekvivalentu pāreju palīdzību atrisinātas formas , , nevienādību atrisinājums.	1	apgūt jaunu materiālu pētāmā materiāla konsolidācija	čeku piezīmes matemātiskais diktāts	-
12	Absolūtās vērtības īpašību pielietojums vienādojumu un nevienādību risināšanā.	1		mutiska nopratināšana	-
13	Vienādojumu un nevienādību risinājums ar moduli uz koordinātu taisnes.	1	zināšanu vispārināšana un sistematizēšana	patstāvīgs darbs	-
14	Sakņu modulis un transformācija.	1	darbnīca	Grupas darbs	-
15	Moduļu un iracionālie vienādojumi.	1	ZUN pārbaude un labošana konsultācija	mājas pārbaude atbildes uz jautājumiem	-
17	Ofseta.	1	kontroles vai pārbaudes darbs	-	pamata kontūras sastādīšana

Literatūras saraksts skolotājam

• Golubevs V.I. Skaitļa absolūtā vērtība konkursa eksāmenos matemātikā (pamatojoties uz valsts vadošo augstskolu materiāliem).- Ļvova: Quantor, 1991.g.
• Golubevs V. Efektīvas metodes problēmu risināšanai par tēmu “Absolūtā vērtība” .- M .: Chistye Prudy, 2006.
• Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. Pirmsprofila apmācība 9. klašu skolēniem matemātikā.- M .: 5 par zināšanām, 2006.g.
• Rurukins A.N. Rokasgrāmata intensīvai gatavošanās eksāmenam matemātikā “Izlaidums, iestāšanās, IZMANTOŠANA 5+” .- M .: VAKO, 2006.
• Smykalova E.V. Matemātika (moduļi, parametri, polinomi), pirmsprofila apmācība, 8.-9.klase - Sanktpēterburga: SMIO-Press, 2006.g.

Literatūras saraksts studentiem

• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika. Uzziņas materiāli.- M .: Izglītība, 1988.g.
• Dorofejevs G.V., Potapovs M.K., Rozovs N.K. Matemātikas rokasgrāmata augstskolu reflektantiem. - M .: Nauka, 1973.
• Zorins V.V. Matemātikas rokasgrāmata reflektantiem uz augstskolām. - M .: Augstskola, 1974.
• Ivļevs B.M., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P., Shvartsburd S.I. Paaugstinātas sarežģītības problēmas algebrā un analīzes sākums. - M .: Izglītība, 1990.
• Kalniņš R.A. Algebra un elementārās funkcijas, izdevniecība Nauka, fizikālās un matemātiskās literatūras pamatizdevums.- M.: Nauka, 1975.
• Krulikovskis N.N. Matemātiskās problēmas pretendentiem - Tomska: red. Tomskas Universitāte, 1973.
• Ņesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Iestājpārbaudījumu uzdevumi matemātikā.- M.: Nauka, 1986.
• Šarigins I.F. Matemātika vidusskolēniem, Maskava, Drofa, 1995.g.

Metodiskie materiāli

1. nodarbība: Skaitļa absolūtās vērtības (skaitļa moduļa), tā ģeometriskās nozīmes un pamatīpašību noteikšana.

Reālā skaitļa a absolūto vērtību (vai moduli) sauc par pašu skaitli, ja tas nav negatīvs, un šo skaitli, kas ņemts ar pretēju zīmi, ja tas ir negatīvs.

Skaitļa a modulis ir apzīmēts šādi:. Izveidojot saikni starp skaitļa moduli un pašu skaitli, mēs iegūstam definīcijas analītisko ierakstu:

=

Par skaitļa moduli sauc arī attālumu no sākuma līdz punktam, kas attēlo šo skaitli uz koordinātu līnijas. Tas ir kas ģeometriskā nozīme modulis. Tas. tiek lietoti skaitļa termini “modulis”, “absolūtā vērtība” vai “absolūtā vērtība”. Saskaņā ar augstāk minēto definīciju = 5, = 3, =0. Skaitļa moduli var definēt arī kā lielāko no skaitļiem a un - a.

Vēsturiskā atsauce: terminu “modulus” (no latīņu valodas modulus – mērs) ieviesa angļu matemātiķis R. Kotess (1682-1716), bet moduļa zīmi – vācu matemātiķis K. Veierštrāss (1815-1897), g. 1841. gads.

Galvenās moduļa īpašības:

Apsveriet piemērus, kuru risinājums ir balstīts uz moduļa definīciju.

Nr.1. Atrisiniet vienādojumu =4.

Pēc moduļa definīcijas; X=4 vai X=-4.

Nr. 2. Atrisiniet vienādojumu: \u003d 3.

Vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai:

Kur: x 1=2 un x 2=-1.

Nr. 3. Atrisiniet vienādojumu: \u003d -2.

Pēc īpašības 1: jebkura reāla skaitļa modulis ir nenegatīvs skaitlis, mēs secinām, ka risinājuma nav.

Nr. 4. Atrisiniet vienādojumu: = X–5.

Tam pašam īpašumam 1: X–50, X 5.

Nr.5. Atrisiniet vienādojumu: + X=0.

=- x, X 0.

Nr. 6. Atrisiniet vienādojumu: = X+2.

Atšķirībā no iepriekšējā piemēra, šī vienādojuma labajā pusē ir izteiksme ar mainīgo. Tāpēc vienādojumam ir risinājums ar nosacījumu X+20, t.i. x-2. Tad mums ir:

2x+1=x+2 vai

2x + 1 \u003d - x - 2.

Tas. plkst x-2, mums ir:

Atrisiniet vienādojumus:

Nodarbība #2. Lineāro vienādojumu risināšana ar moduļiem.

Risinot lineāros vienādojumus, tiek izmantota vai nu skaitļa moduļa ģeometriskā nozīme, vai arī moduļa zīmes paplašinājums. Apsveriet piemēru: atrisiniet vienādojumu

a) Mēs izmantojam skaitļa moduļa ģeometrisko nozīmi. Vienādojumu ierakstīsim formā: +=7. Tad d=х–5- attālums no punkta X uz 5. punktu skaitļu rindā, f \u003d x - (-2)- attālums no punkta X uz punktu (-2).Atbilstoši uzdevuma nosacījumam šo attālumu summa d+f=7. Uzzīmēsim punktus 5 un -2 uz skaitļa taisnes. Ir viegli pārbaudīt, vai jebkuram skaitlim no segmenta [-2;5] attālumu summa d+f vienāds ar nogriežņa AB garumu, t.i. 7. Tikpat vienkārši ir iestatīt punktus X<2 vai x>5 attālumu summa d+f>7. Tāpēc vienādojuma risinājums ir intervāls.

b) Atvērsim moduļa zīmi. Lai to izdarītu, skaitļu rindā novietojiet punktus -2 un 5. Šie punkti sadala to trīs intervālos. Apsveriet moduļu zīmes katrā no intervāliem.

1. intervālā (X<-2) mēs iegūstam: -(x–5)–(x+2)=7 vai –x+5–x–2=7 vai - 2x+3=7, no kurienes mēs iegūstam: x=-2. Bet šis punkts nav iekļauts aplūkotajā intervālā. Tātad x=-2 nav risinājums.

2. intervālā: X mēs iegūstam: -(x–5)+(x+2)=7 vai 7=7. Tā kā izrādījās pareizā vienādība, jebkurš punkts no šī intervāla ir šī vienādojuma risinājums.

3. intervālā (x>5) mēs iegūstam: (x-5)+(x+2)=7 vai 2x-3=7, kur x=5. Punkts x=5 nav iekļauts aplūkotajā intervālā un nav vienādojuma risinājums.

Tātad šī vienādojuma risinājums ir: -2x5.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet vienādojumus:

Nodarbība numur 3. Kvadrātvienādojumu ar moduli atrisināšana.

Apsveriet kvadrātvienādojumu risinājumu ar moduļiem, izmantojot piemērus:

Nr.1. atrisināt vienādojumu

Mēs ieviešam nomaiņu =y, pēc tam plkst pie 0 vienādojums kļūst:

y 2 –6y+8=0, no kurienes y 1 = 2 un y 2 = 4. a x= 2 vai -2; 4 vai -4.

Nr.2. Atrisiniet vienādojumu:

Vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai: Kur X=1.

Nr.3. Atrisiniet vienādojumu:

2X – 1.

Vienādojumam ir risinājums ar nosacījumu, ka 2 X–10, un vienlīdzība ir iespējama ar nosacījumu: izteiksmju vērtības x 2 + x-1 un 2 X-1 ir vienādi vai pretēji. Tas. mums ir: x0.5. Izveidosim vienādojumus: x 2 + x–1=2X-1 vai x 2+X–1=-(2X- viens); kuru atrisinot, mēs iegūstam

Nr.4. Atrodiet vienādojuma saknes: .

Mēs attēlojam šo vienādojumu šādā formā: = X 2-1, no kurienes:

x - 1 \u003d x 2 - 1,

vai x - 1 \u003d - (x 2 - 1).

x 2 - 1 ar x - 1 un x 1.Atrisinot vienādojumus, iegūstam no pirmā: x=0 un x=1, no otrā: x=-2 un x=1.

Atbilde: x=1; x=-2.

Nr.5. Atrodiet vienādojuma veselu skaitļu saknes: = .

Izmantojot moduļa definīciju, mēs secinām, ka vienlīdzība ir iespējama, ja izteiksmju vērtības x–x 2–1 un 2x+3–x 2 ir vienādi vai pretēji, t.i. šis vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai:

Atrisinot kopu, mēs iegūstam šī vienādojuma saknes: x=-4;-0,5;2. Veseli skaitļi starp tiem: -4 un 2.

Nr.6. Atrisiniet vienādojumu: \u003d 2x 2 -3x + 1.

Apzīmē izteiksmi 3x-1-2x 2 vēstule a. Tad šis vienādojums iegūs šādu formu: =-a. Pamatojoties uz moduļa definīcijas analītisko apzīmējumu, varam secināt, ka šis vienādojums ir līdzvērtīgs nevienādībai: 3x-1-2x 2 0, kuru atrisinot, mēs saņemam atbildi: x0.5 un x1.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam.

Atrisiniet vienādojumu:

Nr. 1. \u003d x 2 + x-20.

Nr.2. + 3x -5=0,

Nr.3. =(x–1)(x+1),

Nr.4. x 2 -6 + 5 \u003d 0,

Nr.5. x 2 + 8 = 9,

Nr. 6. \u003d x 2 -6x + 6,

Nr.7. x = -8.

Nodarbība numur 4. Absolūtu vērtību saturošu vienādojumu ar parametriem risinājums.

Apsveriet piemēru: atrisiniet vienādojumu ar parametru

Veidosim funkciju grafikus y=3–x un y=. Grafiks y=3–x fiksēts un nav atkarīgs no parametra. Grafiks y= iegūts no funkcijas grafika y=, atkarīgs no parametra a. Tātad, aplūkosim 3 gadījumus:

Šajā gadījumā, kā redzams attēlā, a<3 . Šo funkciju grafiki krustojas vienā punktā B. Aplūkosim trijstūri ABC, kurā leņķis A ir vienāds ar leņķi B un ir vienāds ar 45 0, šajā trijstūrī uzzīmējam VD augstumu. Jo trijstūris ABC ir vienādsānu, tad BD ir arī šī trijstūra mediāna. Tāpēc punkta D abscise X=(a + 3)/2.

Šis gadījums notiek, kad a=3. Tad funkciju grafiki sakrīt pa segmentu AB un jebkura šī stara punkta abscisa ir šī vienādojuma atrisinājums, t.i. X<3.

Šajā gadījumā a>3. Redzams, ka funkciju grafiki nekrustojas, t.i. nav kopīgu punktu. Tāpēc vienādojumam nav risinājuma.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet vienādojumus:

Nr.3. (a–2)=a–2,

Nr.4. a 2 x 2 + a \u003d 0.

Nodarbība numur 5. Lineāro nevienādību risinājums ar moduļiem.

Nevienādības, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes, tiek atrisinātas dažādos veidos; Apskatīsim diezgan vienkāršu piemēru:

Nr. 1. Atrisiniet nevienlīdzību:

Pirmais veids: mums ir: >4,

Ģeometriski izteiksme nozīmē attālumu uz koordinātu līnijas starp punktiem X un 2.5. Tāpēc mums ir jāatrod visi šādi punkti X, kas atrodas vairāk nekā 2 attālumā no punkta 2.5, ir punkti no intervāliem X<0,5 un x>4,5.

Otrs veids: Tā kā abas dotās nevienādības daļas ir nenegatīvas, mēs abas šīs nevienādības daļas izlīdzināsim kvadrātā: 2 >4 2 .

(2x–5) 2 > 4 2,

(2х–5) 2–16>0,

(2х–5–4) (2х–5+4)>0,

2(x–4,5) 2(x–0,5)>0,

(x–4,5) (x–0,5)>0.

Izmantojot intervāla metodi, mēs iegūstam: X<0 ,5 un x>4,5.

Trešais veids: izteiksme 2x-5 var būt nenegatīvs vai negatīvs. Tie. mums ir divu sistēmu komplekts:

Kur: X<0,5 un x>4,5.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

Piemērs Nr. 2. Atrisiniet nevienlīdzību:<3.

Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga divu sistēmu kombinācijai:

No pirmās sistēmas mēs iegūstam 2x<5 , no otrā -1<х<2 . Apvienojot šos divus risinājumus, mēs iegūstam: -1<х<5 .

3. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību: 3 x+3.

Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga dubultajai nevienlīdzībai -х-33х–3х+3 vai sistēma

Mums ir : 0x3.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet nevienādības:

№1. <3х+1,

№3. ->-2.

Nodarbība numur 6. Kvadrātisko nevienādību risināšana ar moduļiem.

Apsveriet piemēru Nr. 1. Atrisiniet nevienlīdzību: +x–2<0 .

Šo nevienlīdzību var atrisināt ar intervāla metodi. Apsveriet citu risinājumu, pamatojoties uz šādu apgalvojumu: jebkurai a vērtībai nevienādība ir līdzvērtīga nevienādību sistēmai: ,un nevienlīdzībair ekvivalents nevienādību kopai.

Tāpēc mūsu nevienlīdzība ir līdzvērtīga nevienlīdzību sistēmai: to atrisinot, iegūstam:

Pierakstīsim atbildi: (1-;2-).

2. piemērs. Atrodiet veselus nevienlīdzības risinājumus: 2x–x 2. Problēma ir reducēta uz divu nevienlīdzību sistēmu kopas atrisināšanu:

Mēs atrisinām pirmo sistēmu: no pirmās nevienlīdzības mums ir: x1; x2.

no otrā: 2x 2 –5x+20, vai 0,5x2.

Atzīmējuši pirmās sistēmas pirmās un otrās nevienādības atrastos atrisinājumus uz koordinātu taisnes, atrodam atrisinājumu krustpunktu.

Tas. 0,5x1 un x=2. Šis ir pirmās sistēmas risinājums.

Mēs atrisinām otro sistēmu: no pirmās nevienlīdzības mums ir: 1<х<2 , no otrā: -(x 2-3x + 2) 2x-x 2, vai – х 2 +3х–2–2х+ х 2 0, vai x2.

Atzīmējot atrastos otrās sistēmas pirmās un otrās nevienādības atrisinājumus uz koordinātu taisnes, iegūstam: 1<х<2 . Šis ir otrās sistēmas risinājums.

Atrasto risinājumu apvienošana nevienlīdzību sistēmām 0,5x1; x=2; viens , mēs iegūstam: 0,5x2 utt. būs veseli risinājumi x=1 un x=2.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet nevienlīdzības:

№3. <3х–3,

Nr.4. x 2 -3+2>0,

Nr.5. x 2<3,

Nr.6. x 2 -6x+7-<0,

Nr.7. 3+x2 –7>0,

№8. >.

Nodarbība numur 7. Absolūto vērtību saturošu nevienādību risināšana ar parametriem.

Piemērs. Par kādām vērtībām a patiesā nevienlīdzība: cirvis 2 +4+a+3<0 ?

Plkst x0 mums ir cirvis 2 + 4x + a + 3<0 . Senioru koeficients a jābūt negatīvam, diskriminantam jābūt mazākam par nulli.

a<0, Д=16–4a (a+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; a<-4 un a>1;

parabolas augšdaļas abscisa x 0 \u003d -b / 2a \u003d - 4 / 2a \u003d -2 / a 0, kur a<-4 .

Plkst X<0 mums ir cirvis 2 -4x + a + 3<0 . Līdzīgi strīdoties, mēs iegūstam: a<-4 .

Atbilde: kad a<-4 šī nevienlīdzība attiecas uz visām x reālajām vērtībām.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Atrisiniet nevienādības ar parametriem:

Nr.2. (ha)<0,

Nr.3. Vai ir a vērtības, kurām ir nevienlīdzība cirvis 2 >2+5 nav risinājumu?

8.–9. nodarbība. Intervālu metode vienādojumu un moduli saturošu nevienādību risināšanai.

Apsveriet intervālu metodi, izmantojot vienādojuma risināšanas piemēru

-+3-2=x+2.

Lai atrisinātu šo nevienlīdzību, ir nepieciešams paplašināt moduļus. Lai to izdarītu, mēs izvēlamies intervālus, no kuriem katrā izteiksmē zem moduļa zīmes ir tikai pozitīvas vai negatīvas vērtības. Šādu intervālu atrašana balstās uz teorēmu: ja intervālā (a; c) funkcija f ir nepārtraukta un nepazūd, tad šajā intervālā tā saglabā nemainīgu zīmi.

Lai izceltu noturības intervālus, mēs atrodam punktus, kuros pazūd zem moduļa rakstītās izteiksmes:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Iegūtie punkti sadalīs līniju vajadzīgajos intervālos. Definēsim izteiksmju zīmes

х+1, х, х–1, х–2 šajos intervālos:

Ņemot vērā zīmes, mēs atvērsim moduļus. Rezultātā mēs iegūstam sistēmu kopu, kas ir līdzvērtīga šim vienādojumam:

Pēdējais komplekts tiek samazināts līdz formai:

Sistēmu kopuma un šī vienādojuma atrisinājums: -2; X 2.

Izmantotā tehnika tiek saukta intervāla metode. To izmanto arī nevienlīdzību risināšanai.

Atrisiniet nevienādību: +x–2<0.

1) Atrodiet izteiksmes nulles: x 2-3x.

x 1 = 0, x 2 = 3.

2) Sadaliet koordinātu līniju intervālos un uzstādiet izteiksmes zīmi x 2-3x katrā intervālā:

3) Izvērsīsim moduli:

Pirmās sistēmas risinājums: , otrās sistēmas risinājums. Šīs nevienlīdzības risinājums: .

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

№3

10.–11. nodarbība. Formu nevienādību atrisinājums , izmantojot līdzvērtīgas pārejas.

Apsveriet formas un . Mēs pieņemam šādu teorēmu bez pierādījumiem: jebkurai nevienlīdzības vērtībaiir līdzvērtīga nevienlīdzības un nevienlīdzības sistēmaiir ekvivalents nevienādību kopai

Apsveriet piemēru: atrisiniet nevienlīdzību: >x+2.

Izmantojot formulēto teorēmu, mēs pārejam uz nevienādību kopu:

Sistēma un nevienlīdzība 0x>2 nav risinājumu. Tāpēc populācijas (un dotās nevienlīdzības) risinājums ir X.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam:

Nodarbības numurs 12. Absolūtās vērtības īpašību pielietojums vienādojumu un nevienādību risināšanā.

Risinot dažus uzdevumus, tiek izmantotas moduļa īpašības. (Ja nepieciešams, atkārtojiet tos, skatiet darbību Nr. 1).

Ilustrēsim moduļa īpašību pielietojumu, risinot šādus piemērus.

Nodarbības mērķi:

izglītojošs:

• dažādu vienādojumu risināšanas veidu atkārtošana, kas satur moduļa zīmi;
• vienādojumu risināšana dažādos veidos;
• vienādojumu risināšana iestājeksāmenos Maskavas Valsts universitātē;
• vienādojumu risinājums, kas satur moduļa zīmi un parametru;

izglītojošs:

• uzmanības attīstība;
• prasmes pareizi un skaidri pierakstīt risinājumu attīstība;
• attīstot spēju uzklausīt klasesbiedru skaidrojumu;
• spēju pārbaudīt savu lēmumu attīstība;

izstrādājot:

• attīstīt spēju atrast racionālāko risināšanas veidu;
• matemātiskās domāšanas attīstība;
• spēju pamatot savu lēmumu attīstīšana;
• spēju vispārināt iegūtās zināšanas attīstīšana;
• spēju attīstīšana atrisināt vienādojumus ar parametru;

Aprīkojums:

• tāfele;
• izdales materiāls ar uzdevumu nosacījumiem darbam grupās;
• dators;
• projektors;
• ekrāns.

Zināšanas, prasmes, iemaņas.

Nodarbības rezultātā skolēniem jāatkārto moduļa zīmi saturošu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, jāiemācās risināt līdzīgus vienādojumus skolas noslēguma un konkursa eksāmenu līmenī, jāmācās izprast un jāprot rast risinājumu vienādojumus, kas satur parametrs.

NODARBĪBU LAIKĀ

1) Atkārtojiet skaitļa moduļa definīciju un veidus, kā to paplašināt atkarībā no argumenta zīmes.

2) Atkārtojiet galvenās metodes, lai atrisinātu vienādojumus, kas satur izteiksmes moduļus:

a) vienādojumu risināšana, atverot moduli ārējā veidā;

b) vienādojumu risināšana, atverot moduli no iekšpuses;

c) moduļus saturošu vienādojumu atrisināšana ar mainīgo metodi;

d) vienādojumu atrisināšana, kas satur vairākus moduļus;

e) vienādojumu risināšana, kas vienlaikus satur moduļus un parametrus.

3) Vienādojumu risināšana ar dažādām metodēm (darbs grupās).

4) Konkursa eksāmenu vienādojumu risināšana (izmantojot datoru).

5) Moduļus un parametrus saturošu vienādojumu risināšana vienlaikus (izmantojot tāfeli, datoru un projektoru).

6) Nodarbības rezumēšana, atzīmes.

Materiāli nodarbībai:

1. Katram no norādītajiem vienādojumiem izvēlieties risinājuma metodi un atrisiniet to (risinājums uz tāfeles un burtnīcās).

a) | 5 - 4x | = 1

b) | 6x2 _ 5x + 1 | = 5x - 6x2 - 1

c) x2 + 3|x+1| - 1 = 0

d) | x - 2| + |x + 4| = 8

e) 2|x + 2| + 3 = (x + 2)2

Atbildes: a) 1; 1,5; b) ; 1; d) -5; 3; e) -5; viens.

2. Darbs grupās (katra grupa saņem aploksni ar uzdevumu un kartīti veiktā darba vērtēšanai un pašvērtēšanai).

Reitinga kartes veids. (2.pielikums)

Vērtēšanas kritēriji:

“5” - neatkarīgi atrisināja 5 vienādojumus dažādos veidos;

“4” - dažādos veidos atrisināja 5 vienādojumus un saņēma vienu konsultāciju no grupas dalībniekiem;

“3” - dažādos veidos atrisināja 5 vienādojumus un saņēma divas vai trīs konsultācijas no grupas dalībniekiem;

“2” - piedzīvojis grūtības vienādojumu risināšanā un pastāvīgi konsultējies ar grupas dalībniekiem;

Vērtējumu nosaka grupa pēc apspriešanas un pats skolēns, gala vērtējumu nosaka skolotājs.

KARTE Nr.1

a) | 3x-3 | = 6;

b) | x 2 - 3x - 10 | \u003d 3x - x 2 + 10;

c) 1/|x| + 1/(x + 1) = 2;

d) | x 2 - 9 | + | x - 2| = 5;

e) | x - 1| + | x - 2| + | x - 3| = x.

KARTE Nr.2

a) | 3-2x | = 4;

b) | x 2 - 3x + 2 | \u003d 3x - x 2 - 2;

c) 2/|x - 1| + 4/(x + 3) = 3;

d) | x 2 - 8x | - 9 = 0;

e) | x - 3 | + | x + 2 | - | x - 4 | = 3.

KARTE Nr.3

a) | 5x-4 | = 6;

b) x 2 + 2| x - 1 | - 1 = 0;

c) | x 2 - 2x | - 3 = 0;

d) (x - 3,5) 2 + 2| x - 3,5 | = 1,25;

e) | x + 2 | - | x - 3 | + | x - 1 | = 1.

3. Konkursa eksāmenu vienādojumu risināšana.

a) Atrisiniet vienādojumu: |||| x -3 | - 1 | + 2 | - 3| = 1

Atvērsim moduli ārējā veidā, mēs iegūstam divu vienādojumu kopu:

||| x - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = 1 un ||| x - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = -1, pārveidojot, ko iegūstam:

||| x-3 | - 1 | + 2 | = 4 un ||| x - 3 | - 1 | + 2 | = 2.

Atvērsim moduli vēlreiz ārēji, mēs iegūstam četru vienādojumu kopu:

|| x - 3 | - 1 | + 2 = 4; || x - 3 | - 1 | + 2 = -4; || x - 3 | - 1 | + 2 = 2 un

|| x - 3 | - 1 | + 2 = -2.

Mēs vēlreiz pārveidojam iegūtos vienādojumus:

|| x - 3 | - 1 | = 2; || x - 3 | - 1 | = -6; || x-3 | - 1 | = 0 un || x - 3 | - 1 | = -4.

Ir viegli redzēt, ka otrajam un ceturtajam no iegūtajiem vienādojumiem nav atrisinājuma, jo modulis nevar iegūt negatīvas vērtības.

Turpmāka moduļu paplašināšana noved pie atbildes: x = 0; 2; 4; 6.

b) Kā mājas uzdevums tiek piedāvāts atrisināt šādus vienādojumus:

|| x - 2 | - 4 | = 3;

|||| x + 1| - 5 | + 1| - 2 | = 2;

|||| x + 3| - 2 | + 1 | - 3| = 3;

|| 2x - 7 | - x | = 7 - x;

|| x - 1 | - x - 3 | + x = 4;

|| 2x - 1 | - x - 3 | = 4 - x.

4. Vienādojumu atrisināšana ar parametru.

Tiek ierosināts noteikt vienādojuma sakņu skaitu atkarībā no parametra vērtības a un atrisiniet šo vienādojumu divos veidos: analītiski un grafiski:

| x 2 - 2x - 3 | = a.

a) Grafisks vienādojuma risināšanas veids:

Lai atrisinātu šo vienādojumu, ir nepieciešams uzzīmēt šādu funkciju grafikus: y 1 = |x 2 - 2x - 3| un y 2 = a. Pirmās funkcijas grafiks ir parabola, kurā funkcijas negatīvo vērtību laukums ir samērots ar mainīgā lieluma pozitīvo vērtību apgabalu plkst par asi X. Otrās funkcijas grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla asij X.

To ir viegli redzēt, kad a‹0 iegūtie grafiki nekrustojas, kas norāda, ka šim vienādojumam nav risinājumu. Plkst a = 0 mums ir divi grafiku krustošanās punkti un līdz ar to divi risinājumi: x = -1 un x = 3. Pie 0 Ir četri grafiku krustošanās punkti, un risinājumi izskatās šādi:

Plkst a = Ir trīs risinājumi: x 1 \u003d 1 - 22 un x 2 \u003d 1 + 22 un x 3 \u003d x 4 \u003d 1.

Plkst a›4 risinājumi, kā arī grafiku krustošanās punkti ir tikai divi:

b) Analītiskais vienādojuma risināšanas veids:

Pirmo secinājumu var izdarīt uzreiz: a> 0, jo modulis nevar pieņemt negatīvas vērtības. Tādējādi plkst a‹0 risinājumu nav. Plkst a\u003d 0 atrisinām kvadrātvienādojumu: x 2 - 2x - 3 \u003d 0, kura atrisinājums ir x 1 \u003d -1 un x 2 \u003d 3. a›0 mēs risinām divus vienādojumus atsevišķi:

x 2 - 2x - 3 = a(1) un x 2 - 2x - 3 = - a (2).

Vienādojumam (1) ir divi risinājumi jebkurai parametra vērtībai a> 0. Vienādojumam (2) ir divi risinājumi tikai 0‹ a‹4, šīm parametra vērtībām kvadrātvienādojuma (2) diskriminants ir pozitīvs, un vienādojuma saknes ir līdzīgas x 3 un x 4, kas atrodami grafiskajā risinājumā. Plkst a= 4 (2) vienādojuma diskriminants ir vienāds ar 0, (2) vienādojuma atrisinājums ir vienāds un vienāds ar 1.

Jebkāda veida risināšanas rezultātā tiek saņemta šāda atbilde:

Plkst a‹0 nav risinājumu;

Plkst a= 0x = -1; 3.

0 4:

Plkst a = 4: x 1 \u003d 1 - 22 un x 2 \u003d 1 + 22, un x 3 = 4 \u003d 1.

Plkst a>4:

c) Kā mājas uzdevums ir ierosināts noteikt vienādojuma sakņu skaitu atkarībā no parametra a vērtībām:

1) | 5 + 2x - x 2 | = a; 2) x 2 - 6|x| +5= a; 3) x 2 - 3|x| = a.

5. Nodarbības rezumēšana, atzīmes.

Vienādojumi un to sistēmas, kas satur absolūtās vērtības zīmi
(metodiskā izstrāde)

1. punkts. Pamatinformācija.

Punkts 1. Skaitļa absolūtās vērtības noteikšana. Vienkāršāko vienādojumu risinājums.

Iepazīšanos ar skaitļa absolūtās vērtības (skaitļa moduļa) jēdzienu labāk sākt ar tā ģeometrisko interpretāciju: ģeometrijā modulis ir attālums no punkta, kas attēlo doto skaitli uz skaitļa ass vai koordinātu plaknes līdz. izcelsme. Tātad skaitlis 5 atrodas uz skaitliskās ass pa labi no nulles, un skaitlis -5 atrodas pa kreisi no nulles, bet attālumi no punktiem, kas attēlo šos skaitļus, līdz sākumam ir vienādi un vienādi ar 5. skaitļa a absolūtās vērtības vērtību apzīmē iekavās: .
Grafiski izskaidrosim moduļa ģeometrisko definīciju:

Attiecīgi tiek izveidota noteikta lieluma moduļa algebriskā definīcija:

.
Tagad apskatīsim vienkāršākos (bet materiāla izpratnei svarīgos) vienādojumus, kas ietver absolūtās vērtības zīmi. Ar to mēs domājam kādu algebrisku izteiksmi, kas satur nezināmu mainīgo.

A. Formas vienādojumi, kur a ir dots skaitlis. (viens)
Precizēsim priekšā esošo uzdevumu: ja x ir (1) vienādojuma atrisinājums, tad saskaņā ar moduļa ģeometrisko definīciju punkts f uz reālās taisnes atrodas attālumā a no sākuma. Tāpēc, ja a0, tad mums ir divi nepieciešamie punkti: f1=-a, f2=a.

Tādējādi vienādojumam (1): priekš a0 ir vienādojumu u risinājumi.
Īsumā, pēdējais paziņojums ir uzrakstīts šādi:

Tas skan: vienādojuma atrisinājumu kopa a>0 ir vienādojumu un atrisinājumu kopu savienība.

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumus: a) ; b) ; iekšā) ; G) .

Risinājumi:
a) 
Atbilde: x1=1 ; x2=6.

B) => risinājumu nav, jo jebkuras vērtības modulis (absolūtā vērtība) nevar būt negatīvs.
Atbilde: Risinājumu nav.

B) 
Atbilde: x1=-3; x2=0.

D) 
Atbilde: x1=-3; x2=3.

Piemērs 2. Atrisiniet vienādojumus: a) ; b) .

Risinājumi:
a) saskaņā ar (1) šajā gadījumā = , t.i. f(x)≥2. Tāpēc vienādojumam nav atrisinājumu.
Atbilde: Risinājumu nav.

Atbilde: x1=-5; x2=0; x3=2; x4=7.

B. (2) un (3) formas vienādojumi.
Tā kā jebkuras izteiksmes modulis ir nenegatīva vērtība, tādēļ, ja x ir (2) vienādojuma atrisinājums, tad arī šī vienādojuma labā puse ir nenegatīva, t.i. . Bet tad tā paša vienādojuma kreisajā pusē pēc definīcijas ir vienkārši. Secinājums: saskaņā ar obligātu nosacījumu mēs esam nonākuši pie identitātes, tāpēc nevienlīdzības risinājumi vienlaikus būs (2) vienādojuma risinājumi.
Līdzīgi argumentējot, iegūstam, ka visi nevienādības atrisinājumi ir vienādojuma (3) atrisinājumi.

Piemērs 3. Atrisiniet vienādojumus: a) ; b) ; in) .
Risinājumi:
a) 
Atbilde:.

B) 
Atbilde:.

C. (4) formas vienādojumi.
Ja x ir (4) vienādojuma atrisinājums, tad saskaņā ar moduļa ģeometrisko definīciju attālumi uz reālās taisnes no punktiem f un g līdz sākumam ir vienādi, t.i. vai nu punkti f un g sakrīt (mums ir:), vai arī ir simetriski viens otram attiecībā uz koordinātu izcelsmi (mums ir:). Tātad

Kā īpašs ir jāmin vienādojums.
Šī vienādojuma risinājumi ir visi x, kuriem izteiksme ir definēta.

Piemērs 4. Atrisiniet vienādojumus: a) ; b) ; iekšā) ; G) .

Risinājumi:

A) Šis vienādojums ir formas vienādojums, kur. Šī funkcija ir definēta jebkuram reālam x, tāpēc x ir jebkura.
Atbilde: x - jebkura.

B) 
Atbilde:.

B) 
.
Atbilde:.

Piezīme: jo  , tad abas vienādojuma (4) daļas var likt kvadrātā, atbrīvojoties no moduļiem, un starp iegūtā vienādojuma saknēm mums nebūs neviena “lieka”.
Piemēram: , no kurienes mēs iegūstam.

D. Formas vienādojumi. (5)
Mums ir: izteiksmju summa, kas pēc definīcijas nav negatīva, ir vienāda ar nulli. Tāpēc katram no vārdiem ir jābūt vienādam ar nulli. Jo tad un tikai tad un tikai tad, ja (5) vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai: .
Šo sistēmu racionālāk ir atrisināt šādi: izvēloties no vienādojumiem vienkāršāku, atrodiet tā risinājumus un pārbaudiet to atbilstību visai sistēmai, aizvietojot atlikušajā vienādojumā.

Piemērs 5. Atrisiniet vienādojumus: a) ;
b) .

Risinājumi:

BET)
Pirmajā vienādojumā pārmaiņus aizstājam x=-1 un x=1, iegūstam, ka abi sistēmas vienādojumi ir izpildīti tikai pie x=-1.
Atbilde: x=-1.

B) Šis vienādojums ir līdzvērtīgs (ekvivalents) sistēmai:

Atbilde: x=-2.
2. punkts. Intervālu metode. Vienkāršāko sistēmu risinājums.

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina vienādojums. Saskaņā ar moduļa algebrisko definīciju:

Tādējādi punkts x=2 sadala skaitlisko asi divos intervālos, no kuriem katrā izteiksmes x-2 modulārās iekavas tiek izvērstas atšķirīgi:

Tāpēc sākotnējā vienādojuma risinājums tiek reducēts uz divu iespējamo situāciju secīgu apsvēršanu:
a) Pieņemsim, ka x ir arī sākotnējā vienādojuma risinājums.
Tad mums ir: , kas atbilst nosacījumam a). Tāpēc tas ir sākotnējā vienādojuma risinājums.
b) Pieņemsim, ka x ir sākotnējā vienādojuma risinājums, un
Tad mums ir: , kas neatbilst nosacījumam b). Tāpēc tas nav sākotnējā vienādojuma risinājums.
Aplūkotajam vienādojumam ir viena sakne: .

Intervālu metode ir īpaši noderīga, ja vienādojumā ir vairākas modulāras iekavas. Vienīgās grūtības ir noteikt skaidru darbību secību, tāpēc ļoti ieteicams ievērot šādu plānu:

1) Nosakiet visas nezināmā vērtības, pie kurām izteiksmes zem moduļa zīmēm izzūd vai kļūst nenoteiktas, un atzīmējiet iegūtos punktus uz reālās ass.
2) Atrisiniet sākotnējo vienādojumu katrā no identificētajiem skaitliskiem intervāliem.
3) Apvienojiet atrastos risinājumus kopīgā atbildē.

Pirmā posma beigās ir lietderīgi precīzi pierakstīt, kā atkarībā no nezināmā stāvokļa uz skaitliskās ass tiek izvērstas katras moduļa iekavas.

Vingrinājums: izvērsiet izteiksmē moduļu iekavas.
Pirmkārt, mēs ņemam vērā iekšējās iekavas: pie tātad mēs atzīmējam punktu uz skaitliskās ass.
Tad mēs apsveram ārējās iekavas: mēs atrisinām vienādojumu (risinājums tiek veikts ar iepriekš minēto intervālu metodi:

Pirmajam vienādojumam nav sakņu, bet otrā vienādojuma saknes ir skaitļi 1 un -1, bet x=1 neizpilda nosacījumu).
Turklāt, izvēloties patvaļīgu x, kas ir lielāks par -1, piemēram, x=0, mēs pārliecināmies, ka x>-1 ; izvēloties patvaļīgu x, kas ir mazāks par -1, piemēram, x=-2, mēs pārliecināmies, ka x

Rezultātā uz skaitliskās ass tiek atzīmēti punkti x=-1 un x=0. Katrā no iegūtajiem intervāliem sākotnējā izteiksmes moduļi tiek izvērsti “ķēdē” (*):

Pie;
plkst;
plkst.

Piemērs 6. Atrisiniet vienādojumus: a) ; b) ; iekšā) ; G) .
Risinājumi:

A) I posms.
. Tātad:
.

II posms.
1) Tātad sākotnējam vienādojumam būs šāda forma: .

2). Tātad sākotnējam vienādojumam būs forma: kas neatbilst aplūkojamajam segmentam, tāpēc šajā intervālā sākotnējam vienādojumam nav sakņu.
3) Tātad sākotnējais vienādojums iegūs formu: kas atbilst aplūkotajam pusintervālam, tātad sākotnējais vienādojums.
III posms.
Vienādojumam nav atrisinājumu pirmajā un otrajā skaitliskā intervālā. Trešajā mēs saņēmām lēmumu.
Atbilde:.

B) I posms.
Tātad:

Mums ir šādi skaitliskie intervāli:

II posms.
1) Tātad sākotnējais vienādojums būs šāds:
Mēs saņēmām pareizo skaitlisko vienādību, tāpēc jebkurš no šī pusintervāla ir sākotnējā vienādojuma risinājums!
2). Mēs esam, paplašinot moduļus atbilstoši pirmā posma rezultātiem: kas atbilst apskatāmajam segmentam, tāpēc ir risinājums sākotnējam vienādojumam.
3) Paplašiniet moduļus:
Mēs saņēmām nepareizu skaitlisko vienādību, tāpēc šajā pusintervālā sākotnējam vienādojumam nav sakņu.

III posms.
Pirmajā intervālā:
Otrajā intervālā:
Trešajā intervālā: nav risinājumu.
Rezultāts:
Atbilde:

C) I posms.
Vispirms mēs apsveram "iekšējo" moduli, pēc tam "ārējo":
1) x=0 pie x=0 =>
2)
Šis vienādojums ir jāatrisina atsevišķi. Ņemiet vērā, ka vērā ņemamie skaitļu intervāli jau ir zināmi (sk. (*)):
kad mums nav risinājumu
kad mums ir
bet x1 neatbilst nosacījumam.
Tātad,.
Pati izteiksme ir pozitīva (piemēram, x=10:) un negatīva (piemēram, x=1:). Tātad:

Mums ir šādi skaitliskie intervāli:

II posms.
Pie katras spraugas vispirms atveriet ārējos moduļu kronšteinus, pēc tam iekšējos.
1) .
: , kas atbilst aplūkotajam intervālam, tāpēc sākotnējam vienādojumam ir risinājums.
2) .
: .
Pārbaudīsim atrasto sakņu atbilstību dotajam segmentam: - acīmredzot, tagad pārbaudīsim, vai sakarība ir apmierināta

Acīmredzot, t.i. ir sveša sakne.
3) .
: . Pārbaudīsim iegūtā atbilstību dotajam pusintervālam: ir sākotnējā vienādojuma sakne.

III posms.
;
;
.
Atbilde:.

D) Šī vienādojuma iezīme ir nezināma daudzuma klātbūtne daļdaļas saucējā, tāpēc katrā skaitliskā intervālā ir jāatrod vienādojuma definīcijas domēns (OOU).

Mums ir divi pusintervāli:

II posms.
1) Paplašinot moduli un vienkāršojot, iegūstam vienādojumu.
OOU: . Attiecībā uz , mēs acīmredzami iegūstam pareizo vienlīdzību no ĶV, t.i. visi sākotnējā vienādojuma risinājumi.
2) paplašinot moduli un vienkāršojot, iegūstam OOC vienādojumu: . Tātad, kas atbilst aplūkotajam pusintervālam, ir sākotnējā vienādojuma risinājums.

Atbilde:.

B. Vienkāršu vienādojumu sistēmu risinājums, kas satur absolūtās vērtības zīmi, nedrīkst radīt grūtības: parasti pietiek ar studentiem zināmo aizstāšanas metodi.

7. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmas:
a B C D)

Risinājumi:
a) No sistēmas pirmā vienādojuma iegūstam:
Pēc tam pēc aizstāšanas (*) otrais vienādojums būs šādā formā:
.
Saskaņā ar (*): plkst.
Atbilde:

B) No sistēmas pirmā vienādojuma iegūstam:
.
Jo no sistēmas otrā vienādojuma mēs iegūstam
attiecīgi x=2.
Kad no sistēmas otrā vienādojuma iegūstam y=-5.
Atbilde:.

C) No sistēmas otrā vienādojuma iegūstam:
.
Jo no pirmā vienādojuma mēs iegūstam.
Jo no pirmā vienādojuma mēs iegūstam; attiecīgi, .
Atbilde:.

D) Šajā gadījumā ir vieglāk izmantot saskaitīšanas metodi un atrisināt iegūto vienādojumu - intervāla metodi.
.

1) mēs nesaņemam risinājumus;
2) mēs saņemam.
Secinājums: un tagad no pirmā vienādojuma mēs iegūstam.
Atbilde:.

3. punkts. Racionālās risināšanas metodes: vienkārši ģeometriski un algebriski apsvērumi, intervālu metodes vispārināšana, mainīgā lieluma maiņa.

A. Daži vienkārši vienādojumi pieļauj skaidru ģeometrisku interpretāciju, to risinājums ir ievērojami vienkāršots - "nepiemērotie" skaitliskie intervāli tiek nekavējoties izslēgti no izskatīšanas.
Vispirms parādīsim, ka ģeometriski pastāv attālums starp skaitļu ass punktiem, kas attēlo skaitļus un. Lai to izdarītu, uz skaitliskās ass, kur mēs jau esam atzīmējuši un pārvietojuši izcelsmi uz punktu. Mainīsies punktu koordinātas:

Attālums starp punktiem un šo, saskaņā ar jauno atskaites sistēmu, ir attālums starp punktiem un, t.i.

Piemērs 8. Atrisiniet vienādojumus: a) b) c) d) e) .

Risinājumi:
a) Uz skaitliskās ass ir jānorāda tāds x, lai attālumu summa no x līdz 1 un no x līdz 3 būtu vienāda ar 3 vienībām. Attālums starp 1 un 3 ir 2 vienības, tātad (pretējā gadījumā). Izrādās, ka x atrodas vai nu pa kreisi no 1, vai pa labi no 3 - kādā attālumā no tiem, un jebkurā gadījumā. Tāpēc, kur.

Tagad ir viegli atrast divas x vērtības.
Atbilde:.
b) Uz reālās ass ir jānorāda tādi punkti 2x, ka attālums no 2x līdz -2 ir par 9,12 vienībām lielāks par attālumu no 2x līdz 7.
Ja, aplūkotā starpība vienmēr ir -9;
Ja, aplūkotā starpība vienmēr ir vienāda ar 9;
Ja aplūkotā starpība ir mazāka vai vienāda ar 9.
Ļaujiet, piemēram:

Tad.
Atbilde: Risinājumu nav.

C) Pārrakstīsim vienādojumu formā. Tāpēc vēlamais x atrodas trīs reizes tuvāk 3 nekā 2:

=> nav risinājumu, jo x vienmēr ir tuvāk 2 nekā 3;
"ar aci",;
=> "ar aci", .
Atbilde:.

D) Šis piemērs parāda, ka skaitliskās ass “stingrs” sadalījums intervālos var būt ļoti noderīgs (nepārklājot skatu):

Risinājumu nav;
(atbilst aplūkotajam pusintervālam);
risinājumu nav.
Atbilde:.

E) Sāksim ar intervāla metodi:

Tagad mēs atzīmējam, ka dotajā segmentā un ārpus tā. Tāpēc ir jēga apsvērt vienādojumu tikai šajā segmentā, un mēs iegūstam: . Acīmredzot x=2.
Atbilde:.

B. Pētot vienādojuma labās un kreisās puses diapazonus, bieži vien ir iespējams vienkāršot risinājuma gaitu, izslēdzot acīmredzami nepiemērotas nezināmā vērtības.

Piemērs 9. Atrisiniet vienādojumus: a) b) c) d) .

Risinājumi:

A) Vienādojuma kreisā puse nav negatīva jebkuram x, un labā puse ir negatīvs skaitlis.
Atbilde: Risinājumu nav.

B) Vienādojuma kreisā puse ir nenegatīva jebkuram x, tādēļ, ja x ir risinājums, tad arī labā puse ir nenegatīva. Tādējādi pietiek ņemt vērā tikai x vērtības no apgabala, t.i. Bet tad mēs saņēmām nepareizu vienlīdzību.
Atbilde: Risinājumu nav.
c) Izteiksme ir pozitīva jebkuram x, tāpēc ārējās modulārās iekavas var noņemt. Turklāt, ja x ir risinājums, tad arī labā puse ir pozitīva, tāpēc pietiek ņemt vērā x no reģiona. Tad mēs iegūstam (atbilst reģionam).
Atbilde:.

D) Divu nenegatīvu terminu summa ir vienāda ar 1, ja katrs no terminiem nepārsniedz vienību: Tā kā, tad norādītajā segmentā iegūstam Ja, tad, acīmredzot, kas mums neder. Tātad, ja x ir risinājums, tad. Un šajā pusintervālā mēs iegūstam
Ir skaidrs, ka tā ir sveša sakne.
Atbilde:.

C. Apsveriet (1) formas vienādojumus
Atrisinot šo vienādojumu ar intervālu metodi, iegūstam vienādojumu tiem intervāliem, kur un vienādojumu intervāliem, kur. Ir skaidrs, ka nav jēgas izskatīt katru intervālu atsevišķi - pietiek tos sadalīt divās norādītajās grupās: katram ir jāatrisina atbilstošais vienādojums un jāpārbauda iegūtās saknes atbilstībai nosacījumu kopai. Tādējādi

Iespējams arī cits variants: ir skaidrs, ka starp vienādojuma atrisinājumiem (1) vienādojuma patiesās saknes būs tās, kurām gadījumam veicot līdzīgu argumentāciju, iegūstam

Kuru iespēju izvēlēties, ir atkarīgs no funkciju veida, piemēram, ja vienkāršāk ir aizvietot vienādojumu risinājumus verifikācijai, tad saprātīgāk ir izmantot pirmo metodi.

10. piemērs. Atrisiniet vienādojumus: a)
b) c).

Risinājumi:

A) Pieņemsim
Tad mums ir
Pieņemsim
Tad mums nav risinājumu.
Tagad pārbaudīsim iegūtās saknes. Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu:
. Jo abas saknes ir patiesas.
Atbilde:

B) Pieņemsim
Tad mums nav risinājumu.
Pieņemsim
Tad mums ir
Lai noteiktu šo sakņu patiesumu, pārbaudām nosacījuma izpildi Iegūstam: Acīmredzot sakne ir sveša. Pārbaudīsim, vai tā ir patiesība. Tā kā, tas ir, uzskatītā nevienlīdzība nav izpildīta.
Atbilde: Risinājumu nav.

C) Pārrakstīsim vienādojumu: Izmantojam šādu grafisko ilustrāciju: (šeit ir funkciju un grafiki).

Tagad ir skaidrs, ka iegūtie skaitliskie intervāli ir jāapvieno šādās trīs grupās:
viens). Mēs iegūstam (atbilst nosacījumam).
2) Mēs saņemam
risinājumu nav.
3) Mēs saņemam
risinājumu nav.
Atbilde:.

D. Dažas izteiksmes aizstāšanas metode ar jaunu burtisku mainīgo ir labi zināma. Var tikai atzīmēt, ka, risinot vienādojumus, kas satur moduli, bieži vien ir iespējams nekavējoties ierobežot jauna mainīgā lieluma izmaiņu diapazonu.
11. piemērs. Atrisiniet vienādojumus vai vienādojumu sistēmu: a) ;
b) ;
iekšā)

Risinājumi:
a) Aizstājot jauno mainīgo, mēs iegūstam sistēmu, kas nozīmē, ka un ir iegūtā vienādojuma saknes.
Atbilde:.

B) Aizstājot izteiksmi ar jaunu mainīgo, iegūstam vienādojumu. Mēs iegūstam:
. Atliek atrisināt šos vienādojumus.
Atbilde:.

C) Pārrakstīsim vienādojumu šādā formā:
Acīmredzot ir divas iespējas:
1)
2) Aizstāsim ar jaunu mainīgo. Ņemiet vērā, ka saskaņā ar aizstāšanas nozīmi un saskaņā ar šī vienādojuma ODZ, t.i. (*) Un vienādojums iegūs formu. Kopš mēs saņemam
Ņemot vērā (*), mēs beidzot saņemam
Tātad, aizstājot ar, mēs iegūstam
Tā kā aizstāšanas nozīmē mēs iegūstam

Kontroles uzdevumi uz §1.
1) Atrisiniet, izmantojot skaitļa moduļa definīciju:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) .

2) Atrisiniet "standarta" vienādojumus:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) .

3) Atrisiniet pēc intervāla metodes:
a) b); c) d) e) f) g) h) i) j) k) m) n) o) p) p) c) t) y) f) x) h)

4) Atrisiniet racionālā veidā:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) m) n)

5) Atrisiniet vienādojumu sistēmas:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) m) n) o) p) p)