Determinants tiek aprēķināts tikai kvadrātveida matricām un ir n-tās kārtas vārdu summa. Detalizēts tā aprēķināšanas algoritms tiks aprakstīts gatavā risinājumā, kuru varēsiet saņemt uzreiz pēc nosacījuma ievadīšanas šajā tiešsaistes kalkulatorā. Šī ir pieejama un vienkārša iespēja iegūt detalizētu teoriju, jo risinājums tiks prezentēts ar detalizētu katra soļa skaidrojumu.

Norādījumi par šī kalkulatora lietošanu ir vienkārši. Lai tiešsaistē atrastu matricas noteicēju, vispirms ir jāizlemj par matricas lielumu un jāizvēlas tajā esošo kolonnu un attiecīgi rindu skaits. Lai to izdarītu, noklikšķiniet uz ikonas “+” vai “-”. Atliek tikai ievadīt vajadzīgos skaitļus un noklikšķināt uz “Aprēķināt”. Varat ievadīt gan veselus, gan daļskaitļus. Kalkulators veiks visu nepieciešamo darbu un sniegs jums gatavo rezultātu.

Lai kļūtu par matemātikas ekspertu, ir jāpraktizējas daudz un neatlaidīgi. Un tas nekad nesāpēs vēlreiz pārbaudīt sevi. Tāpēc, kad jums ir dots uzdevums aprēķināt matricas determinantu, ieteicams izmantot tiešsaistes kalkulatoru. Viņš tiks galā ļoti ātri, un dažu sekunžu laikā monitorā parādīsies gatavs risinājums. Tas nenozīmē, ka tiešsaistes kalkulatoram ir jāaizstāj tradicionālie aprēķini. Bet tas ir lielisks palīgs, ja vēlaties izprast matricas determinanta aprēķināšanas algoritmu. Turklāt šī ir lieliska iespēja pārbaudīt, vai tests nokārtots pareizi, un nodrošināties pret nesekmīgu vērtējumu.

Citas īpašības ir saistītas ar minora un algebriskā komplementa jēdzieniem

Nepilngadīga elementu sauc par determinantu, kas sastāv no elementiem, kas paliek pēc rindas un kolonnas, kuru krustpunktā šis elements atrodas, izsvītrošanas. Kārtības noteicošajam elementam minor ir secība . Mēs to apzīmēsim ar .

1. piemērs.Ļaujiet , Tad .

Šo minoru iegūst no A, nosvītrojot otro rindu un trešo kolonnu.

Algebriskais papildinājums elementu sauc par atbilstošo minoru, kas reizināts ar , t.i. , kur ir rindas un kolonnas numurs, kuras krustpunktā atrodas šis elements.

VIII.(Determinanta dekompozīcija pār kādas virknes elementiem). Determinants ir vienāds ar noteiktas rindas elementu un tiem atbilstošo algebrisko komplementu reizinājumu summu.

2. piemērs.Ļaujiet , Tad

3. piemērs. Atradīsim matricas determinantu , paplašinot to ar pirmās rindas elementiem.

Formāli šī teorēma un citas determinantu īpašības ir piemērojamas tikai matricu determinantiem, kas nav augstāki par trešo kārtu, jo mēs neesam aplūkojuši citus determinantus. Tālāk sniegtā definīcija ļaus mums paplašināt šīs īpašības uz jebkuras kārtas noteicošajiem faktoriem.

Matricas determinants pasūtījums ir skaitlis, ko aprēķina, secīgi piemērojot paplašināšanas teorēmu un citas determinantu īpašības.

Varat pārbaudīt, vai aprēķinu rezultāts nav atkarīgs no secības, kādā tiek lietotas iepriekš minētās īpašības un kurām rindām un kolonnām. Izmantojot šo definīciju, determinants tiek atrasts unikāli.

Lai gan šī definīcija nesatur skaidru formulu determinanta atrašanai, tā ļauj to atrast, reducējot to uz zemākas kārtas matricu determinantiem. Šādas definīcijas sauc atkārtojas.

4. piemērs. Aprēķiniet determinantu:

Lai gan faktorizācijas teorēmu var piemērot jebkurai dotās matricas rindai vai kolonnai, mazāk aprēķinu tiek iegūts, faktorējot kolonnu, kurā ir pēc iespējas vairāk nulles.

Tā kā matricā nav nulles elementu, mēs tos iegūstam, izmantojot īpašību VII. Reiziniet pirmo rindu secīgi ar skaitļiem un pievienojiet to rindām un iegūstiet:

Izvērsīsim iegūto determinantu pirmajā kolonnā un iegūstam:

jo determinants satur divas proporcionālas kolonnas.

Daži matricu veidi un to noteicošie faktori

Tiek izsaukta kvadrātveida matrica, kurā ir nulle elementi zem vai virs galvenās diagonāles (). trīsstūrveida.

To shematiskā struktūra attiecīgi izskatās šādi: vai

.

Lai aprēķinātu ceturtās vai augstākas kārtas matricas determinantu, varat izvērst determinantu pa rindu vai kolonnu vai izmantot Gausa metodi un samazināt determinantu līdz trīsstūrveida formai. Apskatīsim determinanta sadalīšanos rindā vai kolonnā.

Matricas determinants ir vienāds ar determinanta rindas elementu summu, kas reizināta ar to algebriskajiem papildinājumiem:

Paplašināšanās par i- tā līnija.

Matricas determinants ir vienāds ar determinanta kolonnas elementu summu, kas reizināta ar to algebriskajiem papildinājumiem:

Paplašināšanās par j- tā līnija.

Lai atvieglotu matricas determinanta sadalīšanu, parasti izvēlas rindu/kolonnu, kurā ir maksimālais nulles elementu skaits.

Piemērs

Atradīsim ceturtās kārtas matricas determinantu.

Mēs paplašināsim šo noteicošo kolonnu pēc kolonnas №3

Elementa vietā izveidosim nulli a 4 3 =9. Lai to izdarītu no līnijas №4 atņem no atbilstošajiem līnijas elementiem №1 reizināts ar 3 .
Rezultāts tiek ierakstīts rindā №4 Visas pārējās rindas tiek pārrakstītas bez izmaiņām.

Tāpēc mēs visus elementus padarījām par nullēm, izņemot a 1 3 = 3 kolonnā № 3 . Tagad mēs varam turpināt šīs kolonnas noteicošā faktora paplašināšanu.

Mēs redzam, ka tikai termins №1 nepārvēršas par nulli, visi pārējie termini būs nulles, jo tie tiek reizināti ar nulli.
Tas nozīmē, ka mums ir jāpaplašina tikai viens noteicošais faktors:

Mēs izvērsīsim šo noteicošo rindu pēc rindas №1 . Veiksim dažas transformācijas, lai atvieglotu turpmākos aprēķinus.

Mēs redzam, ka šajā rindā ir divi identiski skaitļi, tāpēc mēs atņemam no kolonnas №3 kolonna №2 , un ierakstiet rezultātu kolonnā №3 , tas nemainīs determinanta vērtību.

Tālāk mums elementa vietā jāizveido nulle a 1 2 = 4. Šim nolūkam mums ir kolonnas elementi №2 reizināt ar 3 un atņemiet no tā atbilstošos kolonnas elementus №1 reizināts ar 4 . Rezultāts tiek ierakstīts kolonnā №2 Visas pārējās kolonnas tiek pārrakstītas bez izmaiņām.

Bet mēs nedrīkstam aizmirst to, ja mēs reizinām kolonnu №2 ieslēgts 3 , tad viss noteicošais faktors palielināsies par 3 . Un, lai tas nemainītos, tas nozīmē, ka tas ir jāsadala 3 .

Vingrinājums. Aprēķiniet determinantu, sadalot to kādas rindas vai kolonnas elementos.

Risinājums. Vispirms veiksim elementāras transformācijas determinanta rindās, izveidojot pēc iespējas vairāk nulles vai nu rindā, vai kolonnā. Lai to izdarītu, vispirms atņemiet deviņas trešdaļas no pirmās rindas, piecas trešdaļas no otrās un trīs trešdaļas no ceturtās, mēs iegūstam:

Sadalīsim iegūto determinantu pirmās kolonnas elementos:

Mēs arī paplašināsim iegūto trešās kārtas determinantu rindas un kolonnas elementos, iepriekš iegūstot nulles, piemēram, pirmajā kolonnā. Lai to izdarītu, no pirmās rindas atņemiet otrās divas rindiņas un no trešās - otro:

Atbilde.

12. Slough 3. orderis

1. Trijstūra noteikums

Shematiski šo noteikumu var attēlot šādi:

To elementu reizinājums pirmajā determinantā, kurus savieno taisnas līnijas, tiek ņemts ar plus zīmi; līdzīgi otrajam noteicējam atbilstošos reizinājumus ņem ar mīnusa zīmi, t.i.

2. Sarrusa likums

Pa labi no determinanta pievieno pirmās divas kolonnas un ņem elementu reizinājumus galvenajā diagonālē un tai paralēlajās diagonālēs ar plus zīmi; un sekundārās diagonāles un tai paralēlo diagonāļu elementu reizinājumus ar mīnusa zīmi:

3. Determinanta paplašināšana rindā vai kolonnā

Determinants ir vienāds ar determinanta rindas elementu un to algebrisko komplementu reizinājumu summu. Parasti tiek atlasīta rinda/kolonna, kurā ir nulles. Rinda vai kolonna, pa kuru tiek veikta sadalīšana, tiks norādīta ar bultiņu.

Vingrinājums. Izvēršot pirmo rindu, aprēķiniet determinantu

Risinājums.

Atbilde.

4. Determinanta reducēšana līdz trīsstūra formai

Izmantojot elementāras pārveidojumus pa rindām vai kolonnām, determinants tiek reducēts līdz trīsstūrveida formai un pēc tam tā vērtība atbilstoši determinanta īpašībām ir vienāda ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

Piemērs

Vingrinājums. Aprēķināt determinantu izveidojot to trīsstūrveida formā.

Risinājums. Vispirms mēs izveidojam nulles pirmajā kolonnā zem galvenās diagonāles. Visas transformācijas būs vieglāk izpildāmas, ja elements ir vienāds ar 1. Lai to izdarītu, mēs apmainīsim determinanta pirmo un otro kolonnu, kas, atbilstoši determinanta īpašībām, liks tam mainīt zīmi uz pretī: