Continuamos o tópico favorito da análise matemática - derivados. Neste artigo, aprenderemos como encontrar derivadas parciais de uma função de três variáveis: primeiras derivadas e segundas derivadas. O que você precisa saber e ser capaz de dominar o material? Não acredite, mas, primeiro, você precisa ser capaz de encontrar as derivadas "comuns" de uma função de uma variável - em um nível alto ou pelo menos médio. Se estiver muito apertado com eles, comece com uma lição Como encontrar a derivada? Em segundo lugar, é muito importante ler o artigo e compreender e resolver, senão todos, a maioria dos exemplos. Se isso já foi feito, então caminhe comigo com um andar confiante, vai ser interessante, você vai até ter prazer!

Métodos e princípios de encontrar derivadas parciais de uma função de três variáveis são realmente muito semelhantes às funções derivadas parciais de duas variáveis. A função de duas variáveis, relembro, tem a forma , onde "x" e "y" são variáveis ​​independentes. Geometricamente, uma função de duas variáveis ​​é uma certa superfície em nosso espaço tridimensional.

A função de três variáveis ​​tem a forma , enquanto as variáveis ​​são chamadas independentevariáveis ou argumentos, a variável é chamada variável dependente ou função. Por exemplo: - uma função de três variáveis

E agora um pouco sobre filmes de ficção científica e alienígenas. Você costuma ouvir sobre 4D, 5D, 10D, etc. espaços. Bobagem ou não?
Afinal, a função de três variáveis ​​implica no fato de que todas as coisas ocorrem em um espaço quadridimensional (na verdade, existem quatro variáveis). O gráfico de uma função de três variáveis ​​é o chamado hipersuperfície. É impossível imaginar, pois vivemos em um espaço tridimensional (comprimento/largura/altura). Para que você não fique entediado comigo, ofereço um questionário. Vou fazer algumas perguntas, e quem quiser pode tentar respondê-las:

- Existe um quarto, quinto, etc. no mundo? medidas no sentido da compreensão burguesa do espaço (comprimento/largura/altura)?

- É possível construir um quadridimensional, pentadimensional, etc. espaço no sentido amplo da palavra? Ou seja, para dar um exemplo de tal espaço em nossa vida.

É possível viajar ao passado?

É possível viajar para o futuro?

- Os extraterrestres existem?

Para qualquer pergunta, você pode escolher uma das quatro respostas:
Sim / Não (a ciência proíbe isso) / A ciência não proíbe / Não sei

Quem responder todas as perguntas corretamente, provavelmente possui alguma coisa ;-)

Aos poucos, darei respostas às perguntas durante a aula, não pule os exemplos!

Na verdade, eles voaram. E agora a boa notícia: para uma função de três variáveis, valem as regras de diferenciação e a tabela de derivadas. É por isso que você precisa ser bom em administrar o "comum" derivadas de funções uma variável. Existem pouquíssimas diferenças!

Exemplo 1

Solução:É fácil adivinhar que para uma função de três variáveis ​​existem três derivadas parciais de primeira ordem, que são denotadas da seguinte forma:

Ou - derivada parcial de "x";
ou - derivada parcial em relação a "y";
ou - derivada parcial em relação a "z".

A notação com um traço é mais usada, mas os compiladores de coleções, manuais nas condições de tarefas gostam muito de usar apenas notações complicadas - então não se perca! Talvez nem todo mundo saiba ler corretamente essas "frações terríveis" em voz alta. Exemplo: deve ser lido da seguinte forma: “de u po de x”.

Vamos começar com a derivada de x: . Quando encontramos a derivada parcial em relação a , então as variáveis E são considerados constantes (números constantes). E a derivada de qualquer constante, oh, graça, é igual a zero:

Preste atenção imediatamente ao subscrito - ninguém o proíbe de marcar que são constantes. É ainda mais conveniente, recomendo que os iniciantes usem apenas esse registro, há menos risco de confusão.

(1) Usamos as propriedades da linearidade da derivada, em particular, retiramos todas as constantes do sinal da derivada. Observe que no segundo termo, a constante não precisa ser retirada: como o “y” é uma constante, também é uma constante. No termo, a constante "usual" 8 e a constante "zet" são retiradas do sinal da derivada.

(2) Encontramos as derivadas mais simples, sem esquecer que são constantes. Em seguida, penteie a resposta.

Derivativo parcial . Quando encontramos a derivada parcial em relação a "y", então as variáveis E são consideradas constantes:

(1) Usamos as propriedades de linearidade. E, novamente, observe que os termos são constantes, o que significa que nada precisa ser retirado para o sinal da derivada.

(2) Encontramos derivadas, não esquecendo que constantes. Vamos simplificar a resposta.

E, finalmente, a derivada parcial. Quando encontramos a derivada parcial em relação a "z", então as variáveis E são consideradas constantes:

Regra geralóbvio e despretensioso: Quando encontramos a derivada parcialpara qualquer variável independente, entãodois outros variáveis ​​independentes são consideradas constantes.

Ao projetar essas tarefas, você deve ser extremamente cuidadoso, em particular, não pode perder assinaturas(que indicam em qual variável a diferenciação é feita). A perda do índice será uma GRANDE FALHA. Hmmm…. é engraçado se, depois de tanta intimidação, eu mesmo sentirei falta deles em algum lugar)

Exemplo 2

Encontre derivadas parciais de primeira ordem de uma função de três variáveis

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

Os dois exemplos considerados são bastante simples e, tendo resolvido vários problemas semelhantes, até um bule se adaptará a reprimi-los verbalmente.

Para descarregar, voltemos à primeira pergunta do questionário: existe um quarto, quinto, etc. no mundo? medidas no sentido da compreensão burguesa do espaço (comprimento/largura/altura)?

Resposta correta: A ciência não o proíbe.. Todas as axiomáticas matemáticas fundamentais, teoremas, aparatos matemáticos são belos e consistente trabalhar no espaço de qualquer dimensão. É possível que em algum lugar do Universo existam hipersuperfícies que não estão sujeitas à nossa mente, por exemplo, uma hipersuperfície quadridimensional, que é dada por uma função de três variáveis. Ou talvez existam hipersuperfícies próximas a nós ou mesmo estejamos bem nelas, apenas nossa visão, outros órgãos dos sentidos, a consciência são capazes de perceber e compreender apenas três dimensões.

Voltemos aos exemplos. Sim, se alguém estiver sobrecarregado com um questionário, é melhor ler as respostas para as perguntas a seguir depois de aprender como encontrar as derivadas parciais de uma função de três variáveis, caso contrário, tirarei todo o cérebro para você no curso do artigo =)

Além dos exemplos mais simples 1,2, na prática existem tarefas que podem ser chamadas de pequenos quebra-cabeças. Tais exemplos, para minha irritação, sumiram de vista quando criei a lição. Derivadas parciais de funções de duas variáveis. Recuperar o tempo perdido:

Exemplo 3

Solução: Parece ser “tudo é simples”, mas a primeira impressão engana. Ao encontrar derivadas parciais, muitos adivinham na borra de café e cometem erros.

Vamos analisar o exemplo de forma consistente, clara e clara.

Vamos começar com a derivada parcial em relação a x. Quando encontramos a derivada parcial em relação a "x", então as variáveis ​​são consideradas constantes. Portanto, o índice da nossa função também é uma constante. Para manequins, recomendo a seguinte solução: no rascunho, altere a constante para um inteiro positivo específico, por exemplo, para “cinco”. O resultado é uma função de uma variável:
ou você também pode escrever assim:

Esse poder função com base complexa (seno). Por :

Agora lembre-se que , assim:

Em uma cópia limpa, é claro, a solução deve ser redigida assim:

Encontramos a derivada parcial em relação a "y", são consideradas constantes. Se "x" é uma constante, então também é uma constante. No rascunho, fazemos o mesmo truque: substituímos, por exemplo, por 3, "Z" - vamos substituir pelo mesmo "cinco". O resultado é novamente uma função de uma variável:

Esse demonstração função com um expoente complexo. Por a regra de diferenciação de uma função complexa:

Agora lembre-se da nossa substituição:

Por isso:

Em uma cópia limpa, é claro, o design deve ficar bonito:

E um caso espelhado com derivada parcial em relação a "z" (- constantes):

Com alguma experiência, a análise pode ser realizada mentalmente.

Realizamos a segunda parte da tarefa - compomos um diferencial de primeira ordem. É muito simples, por analogia com uma função de duas variáveis, a diferencial de primeira ordem é escrita pela fórmula:

Nesse caso:

E negócios então. Observo que, em problemas práticos, a diferencial completa de 1ª ordem de uma função de três variáveis ​​deve ser compilada com muito menos frequência do que para uma função de duas variáveis.

Um exemplo divertido para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 4

Encontre derivadas parciais de primeira ordem de uma função de três variáveis ​​e faça uma diferencial total de primeira ordem

Solução completa e resposta no final da lição. Se você tiver alguma dificuldade, use o considerado algoritmo de "chainikov", com certeza ajudará. E outra dica útil - não se apresse. Tais exemplos não são resolvidos rapidamente nem mesmo por mim.

Divagamos e analisamos a segunda questão: É possível construir uma estrutura quadridimensional, pentadimensional, etc. espaço no sentido amplo da palavra? Ou seja, para dar um exemplo de tal espaço em nossa vida.

Resposta correta: Sim. E é muito fácil. Por exemplo, adicionamos uma quarta dimensão ao comprimento/largura/altura - tempo. O popular espaço-tempo quadridimensional e a conhecida teoria da relatividade foram cuidadosamente roubados por Einstein de Lobachevsky, Poincaré, Lorentz e Minkowski. Nem todo mundo sabe também. Por que Einstein ganhou o Prêmio Nobel? Houve um escândalo terrível no mundo científico, e o Comitê do Nobel formulou o mérito do plagiador da seguinte forma: "Pela contribuição geral para o desenvolvimento da física." Então é isso. A marca grau C do Einstein é pura promoção e relações públicas.

É fácil acrescentar uma quinta dimensão ao espaço quadridimensional considerado, por exemplo: a pressão atmosférica. E assim por diante, quantas dimensões você definir em seu modelo - haverá tantas. No sentido amplo da palavra, vivemos em um espaço multidimensional.

Vejamos mais algumas tarefas típicas:

Exemplo 5

Encontre derivadas parciais de primeira ordem em um ponto

Solução: Uma tarefa nesta formulação é frequentemente encontrada na prática e envolve as duas ações a seguir:
– você precisa encontrar derivadas parciais de primeira ordem;
– você precisa calcular os valores das derivadas parciais de 1ª ordem no ponto .

Nós decidimos:

(1) Temos uma função complexa, e o primeiro passo é calcular a derivada do arco tangente. Ao fazer isso, de fato, usamos calmamente a fórmula tabular para a derivada do arco tangente. Por a regra de diferenciação de uma função complexa o resultado deve ser multiplicado pela derivada da função interna (embedding): .

(2) Usamos as propriedades de linearidade.

(3) E tomamos as restantes derivadas, não esquecendo que são constantes.

De acordo com a condição de atribuição, é necessário encontrar o valor da derivada parcial encontrada no ponto . Substitua as coordenadas do ponto na derivada encontrada:

A vantagem dessa tarefa é o fato de que outras derivadas parciais são encontradas de maneira muito semelhante:

Como você pode ver, o modelo de solução é quase o mesmo.

Vamos calcular o valor da derivada parcial encontrada no ponto:

E por fim, a derivada em relação a "z":

Preparar. A solução também poderia ser formulada de outra forma: primeiro, encontre todas as três derivadas parciais e, em seguida, calcule seus valores no ponto . Mas, parece-me, o método acima é mais conveniente - eles apenas encontraram a derivada parcial e imediatamente, sem sair da caixa registradora, calcularam seu valor em um ponto.

É interessante notar que, geometricamente, um ponto é um ponto muito real em nosso espaço tridimensional. Os valores da função, derivadas já são a quarta dimensão, e ninguém sabe onde ela está localizada geometricamente. Como se costuma dizer, ninguém rastejou pelo Universo com uma fita métrica, não verificou.

Assim que o tema filosófico se foi novamente, vamos considerar a terceira questão: É possível viajar para o passado?

Resposta correta: Não. Viajar para o passado contradiz a segunda lei da termodinâmica sobre a irreversibilidade dos processos físicos (entropia). Então, por favor, não mergulhe em uma piscina sem água, o evento só pode ser reproduzido no vídeo =) A sabedoria popular surgiu com a lei mundana oposta por um motivo: "Meça sete vezes, corte uma vez." Embora, de fato, seja uma coisa triste, o tempo é unidirecional e irreversível, nenhum de nós parecerá mais jovem amanhã. E vários filmes de ficção científica como "Terminator" do ponto de vista científico são um absurdo completo. Também é absurdo do ponto de vista da filosofia - quando a Consequência, voltando ao passado, pode destruir sua própria Causa. .

Mais interessante com a derivada em relação a "z", embora ainda seja quase o mesmo:

(1) Tiramos as constantes do sinal da derivada.

(2) Aqui novamente o produto de duas funções, cada um dos quais depende da variável "ao vivo" "z". Em princípio, você pode usar a fórmula da derivada do quociente, mas é mais fácil ir para o outro lado - encontrar a derivada do produto.

(3) Uma derivada é uma derivada tabular. O segundo termo contém a já familiar derivada de uma função complexa.

Exemplo 9

Encontre derivadas parciais de primeira ordem de uma função de três variáveis

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Pense em como é mais racional encontrar uma ou outra derivada parcial. Solução completa e resposta no final da lição.

Antes de prosseguir para os exemplos finais da lição e considerar derivadas parciais de segunda ordem funções de três variáveis, mais uma vez vou animar a todos com a quarta pergunta:

É possível viajar para o futuro?

Resposta correta: A ciência não o proíbe.. Paradoxalmente, não há nenhuma lei matemática, física, química ou outra ciência natural que proíba as viagens ao futuro! Parece bobagem? Mas quase todos na vida tiveram uma premonição (e não apoiada por nenhum argumento lógico) de que este ou aquele evento aconteceria. E aconteceu! De onde veio a informação? Do futuro? Assim, filmes fantásticos sobre viagens para o futuro e, aliás, as previsões de todos os tipos de adivinhos, médiuns não podem ser chamados de absurdos. Pelo menos, a ciência não refutou isso. Tudo é possível! Então, quando eu estava na escola, CDs e monitores de tela plana de filmes pareciam uma fantasia incrível para mim.

A conhecida comédia "Ivan Vasilyevich muda de profissão" é meio ficção (no máximo). Nenhuma lei científica proibia Ivan, o Terrível, de estar no futuro, mas é impossível que duas pimentas estejam no passado e cumpram as funções de um rei.

O conceito de uma função de muitas variáveis

Sejam n variáveis ​​e cada x 1, x 2 ... x n de um certo conjunto x recebe uma definição. o número Z, então no conjunto x a função Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) de muitas variáveis ​​é dada.

X - área de funções definidas

x 1, x 2 ... x n - variável independente (argumentos)

Z - exemplo de função: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (volume do cilindro)

Considere Z \u003d f (x; y) - f-ção de 2 variáveis ​​x (x 1, x 2 substituído por x, y). Os resultados são por analogia transferidos para outras funções de muitas variáveis. A área de definição da função de 2 variáveis ​​é todo o cordão do quadrado (ooh) ou parte dele. Mn-no valor da enésima função de 2 variáveis ​​- a superfície em um espaço tridimensional.

Técnicas de construção de gráficos: - Secção Rassm-t sobre a superfície do quadrado || quadrados coordenados.

Exemplo: x \u003d x 0, zn. quadrado X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tipo de função: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

Por exemplo: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Círculo da parábola(centro(0;1)

Limites e continuidade de funções de duas variáveis

Seja dado Z = f (x; y), então A é o limite da f-ção em m. (x 0, y 0), se para qualquer put arbitrariamente pequeno. número E>0 substantivo-t número positivo b>0, que para todo x,y satisfazendo |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) é contínuo em t. (x 0, y 0), se: - é definido neste t .; - tem um finito limite em x, tendendo para x 0 e y para y 0; - este limite = valor

funções em t. (x 0, y 0), ou seja, limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Se a função é contínua em cada. t. mn-va X, então é contínuo nesta área

Função diferencial, seu geosignificado. O uso de dif-la em valores aproximados.

dy=f'(x)∆x - função diferencial

dy = dx, ou seja dy=f '(x)dx se y=x

Do ponto de vista de um geólogo, um diferencial de função é um incremento na ordenada da tangente desenhada para o gráfico da função em um ponto com abscissa x 0

Dif-l é usado no cálculo de aprox. valores da função de acordo com a fórmula: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Quanto mais próximo ∆x estiver de x, mais preciso será o resultado.

Derivadas parciais de primeira e segunda ordem

Derivada de primeira ordem (que é chamada privada)

A. Sejam x, y os incrementos das variáveis ​​independentes x e y em algum ponto da região X. Então o valor igual a z = f(x + x, y + y) = f(x, y) é chamado de incremento total no ponto x 0, y 0. Se a variável x for fixa e a variável y for incrementada por y, então obtemos zу = f(x, y, + y) – f(x, y)

A derivada parcial da variável y é definida de forma semelhante, ou seja,

A derivada parcial de uma função de 2 variáveis ​​é encontrada de acordo com as mesmas regras das funções de uma variável.

A diferença é que ao diferenciar uma função em relação à variável x, y é considerado const, e ao diferenciar em relação a y, x é considerado const.

Consts isoladas são conectadas à função com operações de adição/subtração.

As consts associadas são conectadas à função com operações de multiplicação/divisão.

Derivada de const isolada = 0

1.4.Diferencial total de uma função de 2 variáveis ​​e suas aplicações

Seja z = f(x,y), então

tz = - é chamado de incremento completo

Derivada parcial de 2ª ordem

Para funções contínuas de 2 variáveis, as derivadas parciais mistas de 2ª ordem e coincidem.

O uso de derivadas parciais para determinar as derivadas parciais das funções max e min são chamados de extremos.

A. Os pontos são chamados de máximo ou mínimo z = f(x,y) se houver alguns segmentos tais que para todos os x e y desta vizinhança f(x,y)

T. Se for dado um ponto extremo de uma função de 2 variáveis, então o valor das derivadas parciais neste ponto é igual a 0, ou seja, ,

Os pontos nos quais as derivadas parciais de primeira ordem são chamadas estacionárias ou críticas.

Portanto, para encontrar os pontos extremos de uma função de 2 variáveis, são usadas condições extremas suficientes.

Seja a função z = f(x,y) duas vezes diferenciável e o ponto estacionário,

1) , e máxA<0, minA>0.

1.4.(*)diferencial completo. O significado geométrico do diferencial. Aplicação do diferencial em cálculos aproximados

O. Deixe a função y = f(x) ser definida em alguma vizinhança nos pontos . Uma função f(x) é dita diferenciável em um ponto se seu incremento neste ponto , onde é representado na forma (1)

Onde A é um valor constante independente de , em um ponto fixo x, - infinitamente pequeno em . Uma função relativamente linear A é chamada de diferencial da função f(x) em um ponto e é denotada por df() ou dy.

Assim, a expressão (1) pode ser escrita como ().

A função diferencial na expressão (1) tem a forma dy = A . Como qualquer função linear, ela é definida para qualquer valor enquanto o incremento da função deve ser considerado apenas para aqueles para os quais + pertence ao domínio da função f(x).

Por conveniência de notação do diferencial, o incremento é denotado por dx e é chamado de diferencial da variável independente x. Portanto, o diferencial é escrito como dy = Adx.

Se a função f(x) é diferenciável em cada ponto de algum intervalo, então seu diferencial é uma função de duas variáveis ​​- o ponto x e a variável dx:

T. Para que a função y = g(x) seja diferenciável em algum ponto , é necessário e suficiente que ela tenha uma derivada neste ponto, enquanto

(*)Prova. Necessidade.

Seja a função f(x) diferenciável no ponto , ou seja, . Então

Portanto, a derivada f'() existe e é igual a A. Portanto dy = f'()dx

Adequação.

Seja uma derivada f'(), ou seja = f'(). Então a curva y = f(x) é um segmento tangente. Para calcular o valor de uma função em um ponto x, tome um ponto em alguma de suas vizinhanças, de forma que não seja difícil encontrar f() e f’()/

O princípio geral de encontrar derivadas parciais de segunda ordem de uma função de três variáveis ​​é semelhante ao princípio de encontrar derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis.

Para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, você deve primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem ou, em outra notação:

Existem nove derivadas parciais de segunda ordem.

O primeiro grupo são as segundas derivadas em relação às mesmas variáveis:

Ou - a segunda derivada em relação a "x";

Ou - a segunda derivada em relação a "y";

Ou - a segunda derivada em relação a "z".

O segundo grupo é misturado derivadas parciais de 2ª ordem, existem seis delas:

Ou - misturado derivada "por x y";

Ou - misturado derivada "por y x";

Ou - misturado derivada "por x z";

Ou - misturado derivado "po zet x";

Ou - misturado derivado "pelo jogo z";

Ou - misturado derivada "po z y".

Como no caso de uma função de duas variáveis, ao resolver problemas, pode-se focar nas seguintes igualdades de derivadas mistas de segunda ordem:

Nota: Estritamente falando, nem sempre é esse o caso. Para a igualdade das derivadas mistas, é necessário cumprir o requisito de sua continuidade.

Por via das dúvidas, alguns exemplos de como ler esta desgraça em voz alta:

- "duas braçadas duas vezes por ano";

- “de dois y po de zet quadrado”;

- “dois golpes em x em z”;

- “de dois y po de z po de y”.

Exemplo 10

Encontre todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem para uma função de três variáveis:

.

Solução: Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem:

Tomamos a derivada encontrada

e diferenciá-lo por "y":

Tomamos a derivada encontrada

e diferenciá-lo por "x":

A igualdade está feita. Multar.

Lidamos com o segundo par de derivadas mistas.

Tomamos a derivada encontrada

e diferenciá-lo por "z":

Tomamos a derivada encontrada

e diferenciá-lo por "x":

A igualdade está feita. Multar.

Da mesma forma, lidamos com o terceiro par de derivadas mistas:

A igualdade está feita. Multar.

Após o trabalho realizado, é garantido que, em primeiro lugar, encontramos corretamente todas as derivadas parciais de 1ª ordem e, em segundo lugar, também encontramos corretamente as derivadas parciais mistas de 2ª ordem.

Resta encontrar mais três derivadas parciais de segunda ordem, aqui, para evitar erros, você deve se concentrar o máximo possível:

Preparar. Novamente, a tarefa não é tão difícil quanto volumosa. A solução pode ser abreviada e referida como igualdades de derivadas parciais mistas, mas neste caso não haverá verificação. Então é melhor ter tempo e encontrar Todos derivativos (além disso, isso pode ser exigido pelo professor) ou, em casos extremos, verificar um rascunho.

Exemplo 11

Encontre todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem para uma função de três variáveis

.

Este é um exemplo faça-você-mesmo.

Soluções e respostas:

Exemplo 2:Solução:

Exemplo 4:Solução: Vamos encontrar derivadas parciais de primeira ordem.

Compomos a diferencial total de primeira ordem:

Exemplo 6:Solução: M(1, -1, 0):

Exemplo 7:Solução: Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem no pontoM(1, 1, 1):

Exemplo 9:Solução:

Exemplo 11:Solução: Vamos encontrar derivadas parciais de primeira ordem:

Vamos encontrar derivadas parciais de segunda ordem:

.

Integrais

8.1. Integral indefinida. Exemplos Detalhados de Soluções

Vamos começar a estudar o assunto Integral indefinida", e também analisar em detalhes exemplos de soluções para as integrais mais simples (e nem tanto). Como de costume, vamos nos limitar à teoria mínima que está em vários livros didáticos, nossa tarefa é aprender a resolver integrais.

O que você precisa saber para dominar o material com sucesso? Para lidar com o cálculo integral, você precisa ser capaz de encontrar derivadas, pelo menos em um nível médio. Não será uma experiência supérflua se você tiver várias dezenas, ou melhor, uma centena de derivados encontrados independentemente atrás de você. No mínimo, você não deve se confundir com a tarefa de diferenciar as funções mais simples das mais comuns.

Ao que parece, onde estão as derivadas, se estamos falando de integrais no artigo?! E aqui está a coisa. O fato é que encontrar derivadas e encontrar integrais indefinidos (diferenciação e integração) são duas ações mutuamente inversas, como adição/subtração ou multiplicação/divisão. Assim, sem uma habilidade e algum tipo de experiência em encontrar derivadas, infelizmente, não se pode avançar mais.

Nesse sentido, precisaremos dos seguintes materiais metodológicos: tabela de derivativos E Tabela de integrais.

Qual é a dificuldade de estudar integrais indefinidas? Se nas derivadas existem estritamente 5 regras de diferenciação, uma tabela de derivadas e um algoritmo de ações bastante claro, então nas integrais tudo é diferente. Existem dezenas de métodos e técnicas de integração. E, se o método de integração foi inicialmente escolhido incorretamente (ou seja, você não sabe como resolvê-lo), a integral pode ser "picada" literalmente por dias, como um rebus real, tentando perceber vários truques e truques. Alguns até gostam.

A propósito, muitas vezes ouvimos de estudantes (não de humanidades) opiniões como: “Nunca tive interesse em resolver o limite ou a derivada, mas integrais são um assunto completamente diferente, é emocionante, sempre há um desejo de “quebrar “uma integral complexa”. Parar. Chega de humor negro, vamos passar para essas integrais bem indefinidas.

Como há muitas maneiras de resolver, então onde um bule começa a estudar integrais indefinidas? No cálculo integral, a nosso ver, existem três pilares ou uma espécie de “eixo” em torno do qual tudo gira. Em primeiro lugar, você deve ter um bom entendimento das integrais mais simples (este artigo).

Então você precisa elaborar a lição em detalhes. ESTA É A RECEPÇÃO MAIS IMPORTANTE! Talvez até o artigo mais importante de todos os artigos dedicados às integrais. E em terceiro lugar, certifique-se de ler Integração por partes, porque integra uma ampla classe de funções. Se você dominar pelo menos essas três lições, já haverá "não duas". Você pode ser perdoado por não saber integrais de funções trigonométricas, integrais de frações, integrais de funções racionais fracionárias, integrais de funções irracionais (raízes), mas se você “entrar em uma poça” no método de substituição ou no método de integração por partes, será muito, muito ruim.

Então, vamos começar simples. Vamos ver a tabela de integrais. Como nas derivadas, notamos várias regras de integração e uma tabela de integrais de algumas funções elementares. Qualquer integral tabular (e de fato qualquer integral indefinida) tem a forma:

Vamos direto à notação e aos termos:

- ícone integral.

- função integrando (escrita com a letra "s").

– ícone diferencial. O que é, vamos considerar muito em breve. O principal é que, ao escrever a integral e durante a solução, é importante não perder esse ícone. Haverá uma falha perceptível.

é o integrando ou "recheio" da integral.

– antiderivada função.

– . Não há necessidade de ser carregado de termos, o mais importante aqui é que em qualquer integral indefinida, uma constante é adicionada à resposta.

Resolver uma integral indefinida significa encontrarconjunto de funções antiderivadas do integrando dado

Vamos dar uma olhada na entrada novamente:

Vamos ver a tabela de integrais.

O que está acontecendo? Nossas partes esquerdas estão virando a outras funções: .

Vamos simplificar nossa definição:

Resolva a integral indefinida - significa TRANSFORMAR em uma função indefinida (até uma constante) , usando algumas regras, técnicas e uma tabela.

Tomemos, por exemplo, a integral de tabela . O que aconteceu? O registro simbólico se transformou em um conjunto de funções antiderivadas.

Como no caso das derivadas, para aprender a encontrar integrais não é necessário saber o que é uma integral, ou uma função antiderivada do ponto de vista teórico. Basta realizar as transformações de acordo com algumas regras formais. Então, no caso não é necessário entender por que a integral se transforma em exatamente. Você pode tomar esta e outras fórmulas como garantidas. Todo mundo usa eletricidade, mas poucas pessoas pensam em como os elétrons correm pelos fios.

Como a diferenciação e a integração são operações opostas, para qualquer antiderivada encontrada corretamente, o seguinte é verdadeiro:

Em outras palavras, se a resposta correta for diferenciada, então o integrando original deve ser obtido.

Vamos voltar para a mesma integral de tabela .

Vamos verificar a validade desta fórmula. Tomamos a derivada do lado direito:

é o integrando original.

A propósito, ficou mais claro por que uma constante é sempre atribuída a uma função. Ao diferenciar, uma constante sempre se transforma em zero.

Resolva a integral indefinida significa encontrar um monte de todos antiderivadas, e não uma única função. No exemplo tabular considerado, , , , etc. - todas essas funções são a solução da integral . Existem infinitas soluções, então eles escrevem brevemente:

Assim, qualquer integral indefinida é fácil de verificar. Esta é uma compensação para um grande número de integrais de diferentes tipos.

Vamos passar para exemplos específicos. Vamos começar, como no estudo da derivada, com duas regras de integração:

- constante C pode (e deve) ser retirado do sinal integral.

– a integral da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) de duas integrais. Esta regra é válida para qualquer número de termos.

Como você pode ver, as regras são basicamente as mesmas dos derivativos. Às vezes são chamados propriedades de linearidade integrante.

Exemplo 1

Encontre a integral indefinida.

Execute uma verificação.

Solução:É mais conveniente convertê-lo como.

(1) Aplicando a regra . Não esqueça de anotar o ícone do diferencial dx sob cada integral. Por que sob cada um? dxé um multiplicador completo. Se você pintar em detalhes, o primeiro passo deve ser escrito da seguinte forma:

.

(2) De acordo com a regra retiramos todas as constantes dos sinais das integrais. Note que no último termo tg 5 é uma constante, também tiramos.

Além disso, nesta etapa preparamos as raízes e graus para a integração. Da mesma forma que na diferenciação, as raízes devem ser representadas na forma . Raízes e graus localizados no denominador - movem-se para cima.

Observação: ao contrário das derivadas, as raízes nas integrais nem sempre precisam ser reduzidas à forma , e mova os graus para cima.

Por exemplo, - esta é uma integral tabular pronta, que já foi calculada antes de você, e todos os tipos de truques chineses como completamente desnecessário. De forma similar: - esta também é uma integral tabular, não faz sentido representar uma fração na forma . Estude a tabela com cuidado!

(3) Todas as integrais são tabulares. Realizamos a transformação usando a tabela, usando as fórmulas: , E

para uma função de potência - .

Deve-se notar que a integral de tabela é um caso especial da fórmula para uma função de potência: .

Constante C basta adicioná-lo uma vez no final da expressão

(em vez de colocá-los após cada integral).

(4) Escrevemos o resultado obtido de forma mais compacta, quando todos os graus da forma

novamente representam como raízes, e as potências com um expoente negativo são redefinidas de volta para o denominador.

Exame. Para realizar a verificação, você precisa diferenciar a resposta recebida:

Inicial integrando, ou seja, a integral foi encontrada corretamente. Do que dançaram, ao que voltaram. É bom quando a história com a integral termina assim.

De vez em quando, há uma abordagem ligeiramente diferente para verificar a integral indefinida, quando não a derivada, mas a diferencial é retirada da resposta:

.

Como resultado, obtemos não um integrando, mas um integrando.

Não tenha medo do conceito de diferencial.

O diferencial é a derivada multiplicada por dx.

Porém, não são as sutilezas teóricas que nos interessam, mas o que fazer a seguir com esse diferencial. O diferencial é revelado da seguinte forma: ícone d remova, coloque um traço à direita acima do colchete, atribua um multiplicador no final da expressão dx :

Original recebido integrando, ou seja, a integral é encontrada corretamente.

Como você pode ver, o diferencial se resume a encontrar a derivada. Eu gosto menos da segunda maneira de verificar, pois tenho que desenhar colchetes grandes e arrastar o ícone diferencial dx até o final do teste. Embora seja mais correto, ou "mais sólido", ou algo assim.

De fato, foi possível manter silêncio sobre o segundo método de verificação. A questão não está no método, mas no fato de termos aprendido a abrir o diferencial. De novo.

O diferencial é revelado da seguinte forma:

1) ícone d remover;

2) coloque um traço à direita acima do colchete (a designação da derivada);

3) no final da expressão atribuímos um fator dx .

Por exemplo:

Lembre-se disso. Vamos precisar da técnica considerada muito em breve.

Exemplo 2

.

Quando encontramos uma integral indefinida, SEMPRE tentamos verificar Além disso, há uma grande oportunidade para isso. Nem todos os tipos de problemas em matemática superior são um presente desse ponto de vista. Não importa que a verificação muitas vezes não seja necessária nas tarefas de controle, ninguém, e nada impede que seja realizada em um rascunho. Uma exceção pode ser feita apenas quando não há tempo suficiente (por exemplo, no teste, exame). Pessoalmente, sempre verifico integrais e considero a falta de verificação um hack e uma tarefa mal concluída.

Exemplo 3

Encontre a integral indefinida:

. Execute uma verificação.

Solução: Analisando a integral, vemos que sob a integral temos o produto de duas funções, e ainda a exponenciação da expressão inteira. Infelizmente, no campo da batalha integral Não bom e confortável fórmulas para integrar o produto e o quociente como: ou .

Assim, quando se dá um produto ou um quociente, faz sempre sentido ver se é possível transformar o integrando em soma? O exemplo considerado é o caso quando é possível.

Primeiro, damos a solução completa, os comentários estarão abaixo.

(1) Usamos a boa e velha fórmula do quadrado da soma para quaisquer números reais, eliminando o grau acima do colchete comum. fora dos colchetes e aplicando a fórmula de multiplicação abreviada na direção oposta: .

Exemplo 4

Encontre a integral indefinida

Execute uma verificação.

Este é um exemplo de auto-resolução. Resposta e solução completa no final da lição.

Exemplo 5

Encontre a integral indefinida

. Execute uma verificação.

Neste exemplo, o integrando é uma fração. Quando vemos uma fração no integrando, o primeiro pensamento deve ser a pergunta: “É possível de alguma forma se livrar dessa fração, ou pelo menos simplificá-la?”.

Notamos que o denominador contém uma raiz solitária de "x". Alguém no campo não é um guerreiro, o que significa que você pode dividir o numerador no denominador termo a termo:

Não comentamos sobre ações com potências fracionárias, pois elas foram discutidas repetidamente em artigos sobre a derivada de uma função.

Se você ainda está confuso com um exemplo como

e ninguém consegue a resposta certa,

Observe também que a solução pula uma etapa, ou seja, a aplicação das regras , . Normalmente, com uma certa experiência na resolução de integrais, essas regras são consideradas um fato óbvio e não são descritas em detalhes.

Exemplo 6

Encontre a integral indefinida. Execute uma verificação.

Este é um exemplo de auto-resolução. Resposta e solução completa no final da lição.

No caso geral, com frações em integrais, nem tudo é tão simples, material adicional sobre a integração de frações de alguns tipos pode ser encontrado no artigo: Integração de algumas frações. Mas, antes de passar para o artigo acima, você precisa ler a lição: Método de substituição em integral indefinida. O fato é que somar uma função sob um diferencial ou um método de mudança de variável é ponto chave no estudo do tema, uma vez que é encontrado não apenas "em atribuições puras para o método de substituição", mas também em muitas outras variedades de integrais.

Soluções e respostas:

Exemplo 2: Solução:

Exemplo 4: Solução:

Neste exemplo, usamos a fórmula de multiplicação reduzida

Exemplo 6: Solução:

O método de alterar uma variável em uma integral indefinida. Exemplos de solução

Nesta lição, conheceremos um dos truques mais importantes e comuns usados ​​​​na solução de integrais indefinidas - o método de mudança de variável. Para o domínio bem-sucedido do material, são necessários conhecimentos iniciais e habilidades de integração. Se houver uma sensação de um bule de chá cheio e vazio no cálculo integral, primeiro você deve se familiarizar com o material Integral indefinida. Exemplos de solução, onde é explicado de forma acessível o que é uma integral e exemplos básicos para iniciantes são analisados ​​em detalhes.

Tecnicamente, o método de alterar uma variável em uma integral indefinida é implementado de duas maneiras:

– Colocar a função sob o sinal do diferencial.

– A mudança real de variável.

Na verdade, é a mesma coisa, mas o design da solução parece diferente. Vamos começar com um caso mais simples.

Derivadas parciais de funções de várias variáveis ​​são funções das mesmas variáveis. Essas funções, por sua vez, podem ter derivadas parciais, que chamaremos de segundas derivadas parciais (ou derivadas parciais de segunda ordem) da função original.

Assim, por exemplo, uma função de duas variáveis ​​tem quatro derivadas parciais de segunda ordem, que são definidas e denotadas da seguinte forma:

Uma função de três variáveis ​​tem nove derivadas parciais de segunda ordem:

As derivadas parciais da ordem de terceira e superior de uma função de várias variáveis ​​são definidas e denotadas de maneira semelhante: a derivada parcial da ordem de uma função de várias variáveis ​​é a derivada parcial de primeira ordem da derivada parcial da ordem da mesma função.

Por exemplo, a derivada parcial de terceira ordem de uma função é a derivada parcial de primeira ordem em relação a y da derivada parcial de segunda ordem

Uma segunda derivada parcial ou superior tomada em relação a várias variáveis ​​diferentes é chamada de derivada parcial mista.

Por exemplo, derivadas parciais

são derivadas parciais mistas de uma função de duas variáveis.

Exemplo. Encontre derivadas parciais mistas de segunda ordem de uma função

Solução. Encontrando derivadas parciais de primeira ordem

Então encontramos as derivadas parciais mistas de segunda ordem

Vemos que derivadas parciais mistas e que diferem apenas na ordem de diferenciação, ou seja, na sequência em que a diferenciação com respeito a várias variáveis ​​é realizada, acabaram sendo identicamente iguais. Este resultado não é acidental. Com relação às derivadas parciais mistas, vale o seguinte teorema, que aceitamos sem demonstração.

Funções de duas variáveis, derivadas parciais, diferenciais e gradiente

Tópico 5.Funções de duas variáveis.

derivadas parciais

Definição de uma função de duas variáveis, formas de configuração.

Derivativos privados.

Função gradiente de uma variável

Encontrando os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis ​​em uma área delimitada fechada

1. Definição de uma função de várias variáveis, formas de configuração

Para funções de duas variáveis
domínio de definição é algum conjunto de pontos em um plano
, e o intervalo é a lacuna no eixo
.

Para uma apresentação visual funções de duas variáveis nyh aplicar linhas de nível.

Exemplo . Para função
construir um gráfico e linhas de nível. Escreva a equação para uma linha de nível passando por um ponto
.

Gráfico de função linearé avião no espaço.

Para uma função, o gráfico é um plano que passa pelos pontos
,
,
.

Linhas de nível de função são retas paralelas cuja equação
.

Para função linear de duas variáveis
linhas de nível são dadas pela equação
e representar uma família de retas paralelas no plano.

4

gráfico de funções 0 1 2 X

Linhas de nível de recurso

Proi privadofunções derivadas de duas variáveis

Considere a função
. Vamos dar uma variável no ponto
incremento arbitrário
, saindo valor variável inalterado. Incremento de função correspondente

chamado incremento parcial de uma função por variável no ponto
.

Da mesma forma definido incremento parcial de uma funçãopor variável: .

Designaçãoderivada parcial em relação a: , ,
,
.

Derivada parcial de uma função em relação a uma variável chamado de limite :

Designações: , ,
,
.

Para encontrar a derivada parcial
com relação a uma variável, as regras para diferenciar uma função de uma variável são usadas, assumindo que a variável é constante.

Da mesma forma, para encontrar a derivada parcial em relação a uma variável variável é considerada constante .

Exemplo . Para função
encontrar derivadas parciais
,
e calcule seus valores em um ponto
.

Derivada parcial de uma função
por variável está sob a suposição de que é constante:

Encontre a derivada parcial da função em relação a , supondo que seja constante:

Vamos calcular os valores das derivadas parciais para
,
:

;
.

Derivadas parciais de segunda ordem funções de várias variáveis ​​são chamadas derivadas parciais de derivadas parciais de primeira ordem.

Vamos escrever as derivadas parciais de 2ª ordem para a função:

;
;

;
.

;
etc.

Se as derivadas parciais mistas de uma função de várias variáveis ​​são contínuas em algum ponto
, depois eles iguais entre si neste ponto. Assim, para uma função de duas variáveis, os valores das derivadas parciais mistas não dependem da ordem de diferenciação:

.

Exemplo. Para uma função, encontre derivadas parciais de segunda ordem
E
.

Solução

A derivada parcial mista é encontrada por diferenciação sucessiva primeiro da função em relação a (assumindo constante), então diferenciando a derivada
por (assumindo constante).

A derivada é encontrada diferenciando primeiro a função em relação a , depois a derivada em relação a .

As derivadas parciais mistas são iguais entre si:
.

3. Gradiente de uma função de duas variáveis

propriedades de gradiente

Exemplo . Dada uma função
. Localizar Gradiente
no ponto
e construí-lo.

Solução

Encontre as coordenadas do gradiente - derivadas parciais.

No ponto
gradiente é igual a . Início do vetor
no ponto e termina no ponto .

5

4. Encontrando os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis ​​em uma região limitada fechada

Formulação do problema. Deixe no plano um domínio limitado fechado
é dado por um sistema de desigualdades da forma
. É necessário encontrar pontos na região em que a função assume os maiores e menores valores.

Importante é problema extremo, cujo modelo matemático contém linear restrições (equações, desigualdades) e linear função
.

Formulação do problema. Encontre os maiores e menores valores de uma função
(2.1)

sob restrições

(2.2)

. (2.3)

Como não há pontos críticos para uma função linear de muitas variáveis dentroáreas
, então a solução ótima que fornece a função objetivo com um extremo é alcançada apenas na orla da região. Para a área definida por restrições lineares, os possíveis pontos extremos são pontos de canto. Isso nos permite considerar a solução do problema método gráfico.

Solução gráfica de um sistema de desigualdades lineares

Para resolver este problema graficamente, é necessário ser capaz de resolver graficamente sistemas de desigualdades lineares com duas variáveis.

Procedimento:

Note que a desigualdade
define semiplano de coordenada direita(do eixo
) e a desigualdade
- semiplano de coordenada superior(do eixo
).

Exemplo. Resolva a desigualdade graficamente
.

Nós escrevemos a equação da linha de fronteira
e construí-lo a partir de dois pontos, por exemplo,
E
. Uma linha reta divide um plano em dois semiplanos.

Coordenadas do ponto
satisfaz a desigualdade (
é verdadeiro), o que significa que as coordenadas de todos os pontos do semiplano que contém o ponto satisfazem a desigualdade. A solução da inequação serão as coordenadas dos pontos do semiplano localizados à direita da linha de fronteira, incluindo os pontos da fronteira. O semiplano desejado é destacado na figura.

Solução
sistema de desigualdades é chamado admissível, se suas coordenadas forem não negativas , . O conjunto de soluções admissíveis para o sistema de desigualdades forma uma área que se localiza no primeiro quarto do plano coordenado.

Exemplo. Construa a área de solução do sistema de inequações

As soluções das inequações são:

1)
- semiplano localizado à esquerda e abaixo em relação à reta ( )
;

2)
é um semiplano localizado no semiplano inferior direito em relação à reta ( )
;

3)
- o semiplano localizado à direita da linha reta ( )
;

4) - um semiplano acima do eixo das abcissas, ou seja, uma linha reta ( )
.

0

Domínio de soluções admissíveis dado sistema de desigualdades lineares é o conjunto de pontos localizados dentro e na fronteira do quadrilátero
, qual é interseção quatro semiplanos.

Representação geométrica de uma função linear

(linhas de nível e gradiente)

Vamos corrigir o valor
, obtemos a equação
, que define geometricamente uma linha reta. Em cada ponto, a função direta assume o valor e é linha de nível. Dando vários valores, por exemplo,

, ... , obtemos um conjunto de linhas de nível - conjunto de paralelo direto.

Vamos construir gradiente- vetor
, cujas coordenadas são iguais aos valores dos coeficientes das variáveis ​​na função
. Este vetor é: 1) perpendicular a cada linha reta (linha de nível)
; 2) mostra a direção de aumento da função objetivo.

Exemplo . Linhas de nível de plotagem e gradiente de recurso
.

Linhas de nível em , , são retas

,
,

, paralelas entre si. O gradiente é um vetor perpendicular a cada linha de nível.

Descoberta gráfica dos maiores e menores valores de uma função linear em uma região

Enunciado geométrico do problema. Encontre na área de solução do sistema de desigualdades lineares o ponto por onde passa a linha de nível, correspondente ao maior (menor) valor de uma função linear com duas variáveis.

Sequenciamento:

4. Encontre as coordenadas do ponto A resolvendo o sistema de equações de linhas que se cruzam no ponto A e calcule o menor valor da função
. Da mesma forma - para o ponto B e o maior valor da função
. construído em pontos.variáveis Privadoderivadosfunções diversos variáveis e técnica de diferenciação. Extremo funçõesdoisvariáveis e o necessário dele...