No decorrer do desenvolvimento histórico, é claro, eles se somaram e se multiplicaram por muito tempo, sem conhecer as leis que regem essas operações. Somente nas décadas de 1920 e 1930, principalmente os matemáticos franceses e ingleses elucidaram as propriedades básicas dessas operações. Quem quiser se familiarizar com a história desta questão com mais detalhes, posso recomendar aqui, como farei repetidamente abaixo, a grande "Enciclopédia de Ciências Matemáticas".

Voltando ao nosso tópico, pretendo agora realmente enumerar as cinco leis básicas às quais a adição se reduz:

1) sempre representa um número, ou seja, a ação de adição é sempre viável sem exceções (ao contrário da subtração, que nem sempre é viável na região dos números positivos);

2) a soma é sempre determinada de forma única;

3) existe uma lei associativa, ou associativa: , de forma que os parênteses podem ser totalmente omitidos;

4) há uma lei comutativa ou comutativa:

5) a lei da monotonicidade vale: se , então .

Essas propriedades são compreensíveis sem maiores explicações, se tivermos diante de nossos olhos uma representação visual de um número como uma quantidade. Mas eles devem ser expressos estritamente formalmente, de modo que possam ser considerados no desenvolvimento estritamente lógico da teoria.

Quanto à multiplicação, existem basicamente cinco leis semelhantes às que acabamos de listar:

1) há sempre um número;

2) o produto é inequívoco,

3) a lei da combinação:

4) a lei da mobilidade:

5) a lei da monotonicidade: se , então

Finalmente, a conexão entre adição e multiplicação é estabelecida pela sexta lei:

6) a lei da distributividade, ou distributividade:

É fácil ver que todos os cálculos dependem exclusivamente dessas 11 leis. Vou me limitar a um exemplo simples, digamos multiplicar o número 7 por 12;

de acordo com a lei de distribuição

Nesta breve discussão, você aprenderá, é claro, as etapas individuais que executamos ao calcular no sistema decimal. Deixo para você resolver os exemplos mais complexos por conta própria. Indicaremos aqui apenas um resultado resumido: nossos cálculos numéricos consistem na aplicação repetida das onze principais disposições listadas acima, bem como na aplicação dos resultados de operações em números de um dígito memorizados (tábua de adição e tabuada de multiplicação).

No entanto, onde as leis da monotonicidade encontram sua aplicação? Em cálculos formais comuns, realmente não confiamos neles, mas eles se mostram necessários em problemas de um tipo um tanto diferente. Deixe-me lembrá-lo aqui do método que na contagem decimal é chamado de estimativa da magnitude do produto e do quociente. Esta é uma técnica da maior importância prática, que, infelizmente, ainda está longe de ser suficientemente conhecida na escola e entre os alunos, embora às vezes já se fale dela na segunda série; Limitar-me-ei aqui a um exemplo. Suponha que precisamos multiplicar 567 por 134 e, nesses números, os dígitos das unidades são estabelecidos - digamos, por meio de medições físicas - apenas de maneira muito imprecisa. Nesse caso, seria totalmente inútil calcular o produto com total precisão, pois tal cálculo ainda não nos garante o valor exato do número que nos interessa. Mas o que é realmente importante para nós é saber a ordem de grandeza do produto, ou seja, determinar em que número de dezenas ou centenas está o número. Mas a lei da monotonicidade realmente fornece essa estimativa diretamente, porque segue que o número desejado está contido entre 560-130 e 570-140. Mais uma vez, deixo o desenvolvimento posterior dessas considerações para você.

Em qualquer caso, você vê que em "cálculos de estimativa" é preciso usar constantemente as leis da monotonicidade.

Quanto à aplicação real de todas essas coisas no ensino escolar, não pode haver uma exposição sistemática de todas essas leis básicas de adição e multiplicação. O professor pode parar apenas nas leis da associativa, comutativa e distributiva, e apenas na transição para cálculos literais, derivando-os heuristicamente de exemplos numéricos simples e claros.

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Legendas dos slides:

22/10/15 Aula

Encontre o comprimento do segmento AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a

11 + 16 = 27 (frutas) 16 + 11 = 27 (frutas) O número total de frutas mudará quando os termos forem rearranjados? Masha coletou 11 maçãs e 16 peras. Quantas frutas havia na cesta de Masha?

Componha uma expressão literal para escrever uma declaração verbal: “a soma não mudará de um rearranjo dos termos” a + b \u003d b + a Lei comutativa da adição

(5 + 7) + 3 = 15 (brinquedos) Qual é a maneira mais fácil de contar? Masha estava decorando a árvore de Natal. Ela pendurou 5 bolas de Natal, 7 cones e 3 estrelas. Quantos brinquedos Masha pendurou no total? (7 + 3) + 5 = 15 (brinquedos)

Componha uma expressão literal para escrever uma declaração verbal: “Para adicionar um terceiro termo à soma de dois termos, você pode adicionar a soma do segundo e terceiro termos ao primeiro termo” (a + b) + c \u003d a + (b + c) Lei de combinação da adição

Vamos calcular: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Aprenda a contar rápido!

As mesmas leis se aplicam à multiplicação e à adição? a b = b a (a b) c = a (b c)

b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 S = a b = b a S = 12 15 = =15 12 =180

a b = b a (a b) c = a (b c) Lei da multiplicação comutativa Lei da multiplicação associativa

Vamos calcular: 25 756 4 = (25 4) 756= 75600 8 (956 125) = = (8 125) 956 = = 1000 956 = 956000 Aprendendo a contar rápido!

TÓPICO DA LIÇÃO: Em que estamos trabalhando hoje na lição? Formule o tema da aula.

212 (1 coluna), 214 (a, b, c), 231, 230 Na aula Tarefa de casa 212 (2 colunas), 214 (d, e, f), 253

Sobre o tema: desenvolvimentos metodológicos, apresentações e notas

O desenvolvimento de uma aula de matemática do 5º ano "Leis das operações aritméticas" inclui um arquivo de texto e uma apresentação para a aula. Esta aula repete as leis comutativas e associativas, introduzindo ...

Leis das operações aritméticas

Esta apresentação é preparada para uma aula de matemática na 5ª série sobre o tema "Leis das operações aritméticas" (livro de I.I. Zubarev, A.G. Mordkovich)....

Uma lição sobre como aprender um novo material usando o ESM....

Leis das operações aritméticas

A apresentação foi criada para acompanhar visualmente a aula do 5º ano sobre o tema “Operações aritméticas com números inteiros”. Apresenta uma seleção de tarefas para soluções gerais e independentes.

desenvolvimento da lição Matemática 5ª série Leis das operações aritméticas

desenvolvimento da lição Matemática 5ª série Leis das operações aritméticas Nº p / p Estrutura abstrata Conteúdo da anotação 1231 Nome Malyasova Lyudmila Gennadievna 2 Posição, assunto ensinado Ma...

18 a 19 de outubro de 2010

Assunto: "LEIS DAS AÇÕES ARITMÉTICAS"

Alvo: apresentar aos alunos as leis das operações aritméticas.

Lições objetivas:

revelar com exemplos concretos as leis comutativas e associativas da adição e da multiplicação, para ensiná-las a aplicar na simplificação de expressões;

formar a capacidade de simplificar expressões;

trabalhar no desenvolvimento do pensamento lógico e da fala das crianças;

cultivar independência, curiosidade, interesse pelo assunto.

UUD: a capacidade de agir com símbolos simbólicos de signos,

a capacidade de escolher os fundamentos, critérios de comparação, comparação, avaliação e classificação de objetos.

Equipamento: livro didático, TVET, apresentação

Arroz. 30 Fig. 31

Usando a Figura 30, explique por que a igualdade é verdadeira

a + b = b + a.

Essa igualdade expressa a conhecida propriedade da adição. Tente lembrar qual.

Verifique você mesmo:

O valor não muda com a mudança dos lugares dos termos

Esta propriedade é lei comutativa da adição.

Que igualdade pode ser escrita na Figura 31? Que propriedade da adição expressa essa igualdade?

Teste-se.

Da figura 31 segue-se que (a + b) + c = a + (b + c): se a soma de dois termos for adicionada ao terceiro termo, então o mesmo número será obtido ao somar a soma dos segundo e terceiro termos ao primeiro termo.

Em vez de (a + b) + c, assim como | em vez de a + (b + c), você pode simplesmente escrever a + b + c.

Esta propriedade é lei associativa da adição.

Em matemática, as leis das operações aritméticas são escritas como em || forma verbal, e na forma de igualdades usando letras:

Explique como, usando as leis da adição, você pode simplificar os seguintes cálculos e realizá-los:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Usando a Figura 32, explique por que a igualdade é verdadeira ab = b A.

Você adivinhou qual lei ilustra essa igualdade? Pode-se argumentar que para

As mesmas leis se aplicam à multiplicação e à adição? Tente formulá-los

e depois teste você mesmo:

Usando as leis da multiplicação, calcule oralmente os valores das seguintes expressões:

214. a) 76 5 2; c) 69 125 8; e) 8 941 125; B C

b) 465 25 4; d) 4 213 5 5; f) 2 5 126 4 25.

215. Encontre a área do retângulo ABCD(Fig. 33) de duas maneiras.

216. Usando a Figura 34, explique por que a equação é verdadeira: a(b + c) = ab + ac.

Arroz. 34 Que propriedade das operações aritméticas ela expressa?

Teste-se. Essa igualdade ilustra a seguinte propriedade: ao multiplicar um número por uma soma, você pode multiplicar esse número por cada termo e somar os resultados.

Esta propriedade pode ser formulada de outra maneira: a soma de dois ou mais produtos contendo o mesmo fator pode ser substituída pelo produto deste fator e a soma dos outros fatores.

Esta propriedade é outra lei das operações aritméticas - distributivo. Como você pode ver, a formulação verbal desta lei é muito complicada, e a linguagem matemática é o meio que a torna concisa e compreensível:

Pense em como realizar os cálculos verbalmente nas tarefas nº 217 - 220 e faça-os.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 16 + 38 16;

b) 85 47 + 53 85; f) 85 44 + 44 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Faça um desenho em seu caderno para comprovar a igualdade. A ( b - c) = a b - ás

222. Calcule oralmente aplicando a lei distributiva: a) 6 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

223. Calcule oralmente: a) 34 84 - 24 84; c) 51 78 - 51 58;

b) 45 40 - 40 25; d) 63 7 – 7 33

224 Calcule: a) 560 188 - 880 56; c) 490 730 - 73 900;

b) 84 670 - 640 67; d) 36 3400 - 360 140.

Calcule verbalmente usando as técnicas conhecidas por você:

225. a) 13 5 + 71 5; c) 87 5 - 23 5; e) 43 25 + 25 17;

b) 58 5 - 36 5; d) 48 5 + 54 5; f) 25 67 - 39 25.

226. Sem realizar cálculos, compare os valores das expressões:

a) 258 (764 + 548) e 258 764 + 258 545; c) 532 (618 – 436) e 532 618 –532 436;

b) 751 (339 + 564) e 751 340 + 751 564; d) 496 (862 - 715) e 496 860 - 496 715.

227. Preencha a tabela:

Você teve que fazer algum cálculo para preencher a segunda linha?

228. Como este produto mudará se os fatores forem alterados da seguinte forma:

229. Escreva quais números naturais estão localizados no raio de coordenadas:

a) à esquerda do número 7; c) entre os números 2895 e 2901;

b) entre os números 128 e 132; d) à direita do número 487, mas à esquerda do número 493.

230. Insira sinais de ação para obter a igualdade correta: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15? 17 = 8;

b) 40? 15? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 . Uma caixa contém meias azuis e a outra caixa contém meias brancas. Existem 20 pares de meias azuis a mais do que brancas, e apenas 84 laras de meias em duas caixas. Quantos pares de meias de cada cor?

232 . A loja tem três tipos de cereais: trigo sarraceno, cevadinha e arroz, num total de 580 kg. Se 44 ​​kg de trigo sarraceno, 18 kg de cevada e 29 kg de arroz fossem vendidos, a massa de cereais de todos os tipos seria a mesma. Quantos quilogramas de cada tipo de cereal estão disponíveis na loja.