Prova da fórmula .

=

= =

uma vez que o seno e o cosseno não dependem da adição de um ângulo que é múltiplo de

E essa igualdade já é óbvia, pois essa é a forma trigonométrica de um número complexo.

Assim, o logaritmo existe para todos os pontos do plano, exceto para o zero. Para um número real positivo, o argumento é 0, então este conjunto infinito de pontos é , ou seja, um dos valores, a saber, em , recairá sobre o eixo real. Se calcularmos o logaritmo de um número negativo, obtemos , ou seja, o conjunto de pontos é deslocado para cima e nenhum deles cai sobre o eixo real.

Pode-se ver na fórmula que somente quando o argumento do número original é zero, um dos valores do logaritmo cai no eixo real. E isso corresponde ao semi-eixo certo, e é por isso que no curso de matemática escolar foram considerados apenas os logaritmos dos números positivos. Os logaritmos dos números negativos e imaginários também existem, mas não possuem um único valor no eixo real.

O desenho a seguir mostra onde estão localizados no plano todos os valores do logaritmo de um número positivo. Um deles está no eixo real, os demais estão acima e abaixo de , , e assim por diante. Para um número negativo ou complexo, o argumento é diferente de zero, então essa sequência de pontos é deslocada verticalmente, resultando em nenhum ponto no eixo real.

Exemplo. Calcule.

Solução. Vamos definir o módulo do número (igual a 2) e o argumento 180 0 , ou seja . Então = .

Apêndice 1. Questões para comprovação (para tíquetes).

Aula #1

1. Prove a fórmula de integração por partes.

Aula #2

1. Prove que a variação , onde r = LCM (r 1 ,...,r k) reduz a integral à integral de uma fração racional.

2. Prove que a substituição reduz a integral da forma ao integral de uma fração racional.

3. Derive as fórmulas de transformação para seno e cosseno

Para a mudança trigonométrica universal.

4. Prove que no caso em que a função é ímpar em relação ao cosseno, a substituição reduz a integral a uma fração racional.

5. Prove que no caso em que

substituição: reduz a integral a uma fração racional.

6. Prove que para uma integral da forma

7. Prove a fórmula

8. Prove que para uma integral da forma a substituição tem sua própria integral para uma fração racional.

9. Prove que para uma integral da forma a substituição reduz a integral a uma fração racional.

Aula #3

1. Prove que a função é a antiderivada da função .

2. Prove a fórmula de Newton-Leibniz: .

3. Prove a fórmula para o comprimento de uma curva dada explicitamente:

.

4. Prove a fórmula para o comprimento de uma curva dada em coordenadas polares

Aula #4

Prove o teorema: converge, converge.

Aula #5

1. Derive (comprove) a fórmula para a área de uma superfície explicitamente dada .

2. Derivação de fórmulas para a transição para coordenadas polares.

3. Derivação do determinante de Jacobi das coordenadas polares.

4. Derivação de fórmulas de transição para coordenadas cilíndricas.

5. Derivação do determinante de Jacobi de coordenadas cilíndricas.

6. Derivação de fórmulas para a transição para coordenadas esféricas:

.

Aula #6

1. Prove que a substituição reduz a equação homogênea a uma equação com variáveis ​​separáveis.

2. Deduza a forma geral da solução de uma equação linear homogénea.

3. Obtenha uma visão geral da solução de uma equação linear não homogênea pelo método de Lagrange.

4. Prove que a substituição reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear.

Palestra número 7.

1. Prove que a substituição diminui a ordem da equação em k.

2. Prove que a substituição diminui a ordem da equação em um .

3. Prove o teorema: A função é uma solução de uma equação diferencial homogênea linear e tem uma raiz característica.

4. Prove o teorema de que uma combinação linear de soluções de uma diferença linear homogênea. a equação é também a sua solução.

5. Prove o teorema sobre a imposição de soluções: Se - a solução de uma equação diferencial linear não homogênea com o lado direito, e - a solução da mesma equação diferencial, mas com o lado direito, então a soma é a solução da equação com o lado direito.

Palestra número 8.

1. Prove o teorema de que o sistema de funções é linearmente dependente.

2. Prove o teorema de que existem n soluções linearmente independentes de uma equação diferencial homogênea linear de ordem n.

3. Prove que se 0 é uma raiz de multiplicidade , então o sistema de soluções correspondente a esta raiz tem a forma .

Palestra número 9.

1. Prove usando a forma exponencial que ao multiplicar números complexos, os módulos são multiplicados e os argumentos são adicionados.

2. Prove a fórmula de De Moivre para grau n

3. Prove a fórmula para a raiz de ordem n de um número complexo

4. Prove que E

são generalizações de seno e cosseno, ou seja, para números reais, essas fórmulas fornecem um seno (cosseno).

5. Prove a fórmula do logaritmo de um número complexo:

Apêndice 2

Questões pequenas e orais sobre conhecimentos da teoria (para colóquios).

Aula #1

1. O que é a antiderivada e a integral indefinida, como elas diferem?

2. Explique por que ela também é antiderivada.

3. Escreva uma fórmula para integração por partes.

4. Qual substituição é necessária na forma integral e como ela elimina as raízes?

5. Escreva o tipo de expansão do integrando de uma fração racional em frações mais simples no caso em que todas as raízes são diferentes e reais.

6. Escreva o tipo de expansão do integrando de frações racionais em frações simples no caso em que todas as raízes são reais e há uma raiz múltipla de multiplicidade k.

Palestra número 2.

1. Escreva qual é a decomposição de uma fração racional nas mais simples no caso em que o denominador tem fator de 2 graus com discriminante negativo.

2. Que substituição reduz a integral a uma fração racional?

3. O que é uma substituição trigonométrica universal?

4. Que substituições são feitas nos casos em que a função sob o sinal integral é ímpar em relação ao seno (cosseno)?

5. Quais substituições são feitas se o integrando contiver as expressões , , ou .

Palestra número 3.

1. Definição de integral definida.

2. Liste algumas das principais propriedades da integral definida.

3. Escreva a fórmula de Newton-Leibniz.

4. Escreva a fórmula do volume de um corpo de revolução.

5. Escreva a fórmula para o comprimento de uma curva explícita.

6. Escreva a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica.

Palestra número 4.

1. Definição de integral imprópria (com a ajuda de um limite).

2. Qual é a diferença entre integrais impróprias de 1º e 2º tipo.

3. Dê exemplos simples de integrais convergentes de 1º e 2º tipo.

4. Para quais integrais (T1) convergem.

5. Como a convergência está relacionada ao limite finito da antiderivada (T2)

6. Qual é o sinal necessário de convergência, sua formulação.

7. Sinal de comparação na forma final

8. Teste de comparação na forma limitante.

9. Definição de integral múltiplo.

Palestra número 5.

1. Mudando a ordem de integração, mostre no exemplo mais simples.

2. Escreva a fórmula da área da superfície.

3. O que são coordenadas polares, escreva fórmulas de transição.

4. Qual é o Jacobiano do sistema de coordenadas polares?

5. O que são coordenadas cilíndricas e esféricas, qual é a sua diferença.

6. Qual é o Jacobiano de coordenadas cilíndricas (esféricas).

Palestra número 6.

1. O que é uma equação diferencial de 1ª ordem (visão geral).

2. O que é uma equação diferencial de 1ª ordem, resolvida em relação à derivada. Dê algum exemplo.

3. O que é uma equação com variáveis ​​separáveis.

4. O que é uma solução geral, particular, condições de Cauchy.

5. O que é uma equação homogênea, qual é o método geral para resolvê-la.

6. O que é uma equação linear, qual é o algoritmo para resolvê-la, qual é o método de Lagrange.

7. Qual é a equação de Bernoulli, o algoritmo para resolvê-la.

Palestra número 7.

1. Qual substituição é necessária para uma equação da forma .

2. Qual substituição é necessária para uma equação da forma .

3. Mostre com exemplos como pode ser expresso como .

4. O que é uma equação diferencial linear de ordem n.

5. O que é um polinômio característico, uma equação característica.

6. Formule um teorema no qual r a função é uma solução de uma equação diferencial homogênea linear.

7. Formule um teorema segundo o qual uma combinação linear de soluções de uma equação linear homogênea também é sua solução.

8. Formule o teorema de imposição de solução e seus corolários.

9. O que são sistemas de funções linearmente dependentes e linearmente independentes? Dê alguns exemplos.

10. Qual é o determinante Wronsky de um sistema de n funções, dê um exemplo do determinante Wronsky para sistemas LZS e LNS.

Palestra número 8.

1. Que propriedade tem o determinante de Wronsky se o sistema é uma função linearmente dependente?

2. Quantas soluções linearmente independentes de uma equação diferencial homogênea linear de ordem n existem.

3. Definição do FSR (sistema fundamental de soluções) de uma equação linear homogênea de ordem n.

4. Quantas funções estão contidas no SRF?

5. Escreva a forma do sistema de equações para encontrar pelo método de Lagrange para n=2.

6. Anote o tipo de solução particular no caso em que

7. O que é um sistema linear de equações diferenciais, escreva algum exemplo.

8. O que é um sistema autônomo de equações diferenciais.

9. Significado físico do sistema de equações diferenciais.

10. Escreva em quais funções consiste o FSR de um sistema de equações se os autovalores e autovetores da matriz principal desse sistema forem conhecidos.

Palestra número 9.

1. O que é uma unidade imaginária.

2. O que é um número conjugado e o que acontece quando ele é multiplicado pelo original.

3. Qual é a forma exponencial trigonométrica de um número complexo.

4. Escreva a fórmula de Euler.

5. Qual é o módulo, o argumento de um número complexo.

6. o que acontece com módulos e argumentos durante a multiplicação (divisão).

7. Escreva a fórmula de De Moivre para o grau n.

8. Escreva a fórmula para a raiz de ordem n.

9. Escreva as fórmulas generalizadas de seno e cosseno para o argumento complexo.

10. Escreva a fórmula do logaritmo de um número complexo.

Apêndice 3. Tarefas das aulas teóricas.

Aula #1

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo. .

Aula #2

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo.. , onde, número .

Exemplo. Divida na forma exponencial.

Exemplo. Encontre pela fórmula de De Moivre.

Exemplo. Encontre todos os valores raiz.

São dadas as principais propriedades do logaritmo, o gráfico do logaritmo, o domínio de definição, o conjunto de valores, as fórmulas básicas, o aumento e a diminuição. Encontrar a derivada do logaritmo é considerado. Assim como integral, expansão e representação de séries de potências por meio de números complexos.

Contente

Domínio, conjunto de valores, ascendente, descendente

O logaritmo é uma função monotônica, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo são apresentadas na tabela.

Domínio	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Faixa de valores	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monótono	aumenta monotonicamente	diminui monotonicamente
Zeros, y= 0	x= 1	x= 1
Pontos de interseção com o eixo y, x = 0	Não	Não
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

valores privados

O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal e está marcado assim:

logaritmo base e chamado Logaritmo natural:

Fórmulas logarítmicas básicas

Propriedades do logaritmo seguindo a definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Logaritmo é a operação matemática de obter um logaritmo. Ao tomar um logaritmo, os produtos dos fatores são convertidos em somas de termos.
A potenciação é uma operação matemática inversa ao logaritmo. Ao potencializar, a base fornecida é elevada à potência da expressão na qual a potencialização é realizada. Nesse caso, as somas dos termos são convertidas em produtos dos fatores.

Prova das fórmulas básicas para logaritmos

As fórmulas relacionadas aos logaritmos decorrem das fórmulas para funções exponenciais e da definição de uma função inversa.

Considere a propriedade da função exponencial
.
Então
.
Aplique a propriedade da função exponencial
:
.

Vamos provar a fórmula de mudança de base.
;
.
Definindo c = b , temos:

Função inversa

O recíproco da base um logaritmo é a função exponencial com expoente a.

Se então

Se então

Derivada do logaritmo

Derivada do logaritmo módulo x :
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >

Para encontrar a derivada de um logaritmo, ela deve ser reduzida à base e.
;
.

Integrante

A integral do logaritmo é calculada integrando por partes: .
Então,

Expressões em termos de números complexos

Considere a função de número complexo z:
.
Vamos expressar um número complexo z via módulo r e argumento φ :
.
Então, usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou

No entanto, o argumento φ não claramente definido. Se colocarmos
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.

Portanto, o logaritmo, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potência

Para , a expansão ocorre:

Referências:
EM. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.

Veja também:

logaritmo real

Logaritmo de um número real log a b faz sentido com style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Os mais amplamente utilizados são os seguintes tipos de logaritmos.

Se considerarmos um número logarítmico como uma variável, obtemos função logarítmica, Por exemplo: . Esta função é definida no lado direito da reta numérica: x> 0 , é contínua e diferenciável lá (ver Fig. 1).

Propriedades

logaritmos naturais

Para , a igualdade

(1)

Em particular,

Essa série converge mais rapidamente e, além disso, o lado esquerdo da fórmula agora pode expressar o logaritmo de qualquer número positivo.

Relação com o logaritmo decimal: .

logaritmos decimais

Arroz. 2. Escala de registro

Logaritmos na base 10 (símbolo: lg a) antes da invenção das calculadoras eram amplamente utilizadas para cálculos. A escala não uniforme de logaritmos decimais também é comumente aplicada às réguas de cálculo. Uma escala semelhante é amplamente utilizada em vários campos da ciência, por exemplo:

• Química - a atividade de íons de hidrogênio ().
• Teoria musical - a escala musical, em relação às frequências dos sons musicais.

A escala logarítmica também é amplamente utilizada para identificar o expoente em dependências exponenciais e o coeficiente no expoente. Ao mesmo tempo, um gráfico traçado em escala logarítmica ao longo de um ou dois eixos assume a forma de uma linha reta, que é mais fácil de estudar.

logaritmo complexo

função multivalorada

superfície de Riemann

A função logarítmica complexa é um exemplo de superfície de Riemann; sua parte imaginária (Fig. 3) consiste em um número infinito de ramos torcidos como uma espiral. Esta superfície é simplesmente conectada; seu único zero (de primeira ordem) é obtido por z= 1 , pontos especiais: z= 0 e (pontos de ramificação de ordem infinita).

A superfície de Riemann do logaritmo é a cobertura universal para o plano complexo sem o ponto 0 .

Contorno histórico

logaritmo real

A necessidade de cálculos complexos no século 16 cresceu rapidamente, e grande parte da dificuldade estava associada à multiplicação e divisão de números de vários dígitos. No final do século, vários matemáticos, quase simultaneamente, tiveram a ideia: substituir a demorada multiplicação pela simples adição, comparando progressões geométricas e aritméticas em tabelas especiais, enquanto a geométrica será a original. Então a divisão é automaticamente substituída por uma subtração imensuravelmente mais simples e confiável. Ele foi o primeiro a publicar essa ideia em seu livro Aritmética integra»Michael Stiefel, que, no entanto, não fez grandes esforços para implementar sua ideia.

Na década de 1620, Edmund Wingate e William Oughtred inventaram a primeira régua de cálculo, antes do advento das calculadoras de bolso, uma ferramenta indispensável para um engenheiro.

Uma compreensão próxima da moderna do logaritmo - como uma operação inversa à exponenciação - apareceu pela primeira vez em Wallis e Johann Bernoulli e foi finalmente legalizada por Euler no século XVIII. No livro "Introduction to the Analysis of Infinite" (), Euler deu definições modernas de funções exponenciais e logarítmicas, expandiu-as em séries de potências e notou especialmente o papel do logaritmo natural.

Euler também tem o mérito de estender a função logarítmica ao domínio complexo.

logaritmo complexo

As primeiras tentativas de estender logaritmos a números complexos foram feitas na virada dos séculos XVII para XVIII por Leibniz e Johann Bernoulli, mas eles falharam em criar uma teoria holística - principalmente porque o próprio conceito de logaritmo ainda não era claramente definiram. A discussão sobre esta questão foi primeiro entre Leibniz e Bernoulli, e em meados do século XVIII - entre d'Alembert e Euler. Bernoulli e d'Alembert acreditavam que era necessário definir log(-x) = log(x). A teoria completa dos logaritmos de números negativos e complexos foi publicada por Euler em 1747-1751 e essencialmente não é diferente da teoria moderna.

Embora a disputa continuasse (D'Alembert defendeu seu ponto de vista e o argumentou em detalhes em um artigo em sua Enciclopédia e em outras obras), o ponto de vista de Euler rapidamente ganhou reconhecimento universal.

tabelas logarítmicas

tabelas logarítmicas

Segue-se das propriedades do logaritmo que, em vez da demorada multiplicação de números de vários dígitos, basta encontrar (de acordo com as tabelas) e adicionar seus logaritmos e, em seguida, realizar a potencialização usando as mesmas tabelas, ou seja, encontre o valor do resultado pelo seu logaritmo. Fazer a divisão difere apenas porque os logaritmos são subtraídos. Laplace disse que a invenção dos logaritmos "prolongou a vida dos astrônomos", acelerando muito o processo de cálculo.

Ao mover o ponto decimal em um número para n dígitos, o valor do logaritmo decimal deste número é alterado por n. Por exemplo, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Segue-se que basta fazer uma tabela de logaritmos decimais para números no intervalo de 1 a 10.

As primeiras tabelas de logaritmos foram publicadas por John Napier (), e continham apenas os logaritmos de funções trigonométricas, e com erros. Independentemente dele, Jost Burgi, amigo de Kepler, publicou suas tabelas (). Em 1617, o professor de matemática de Oxford, Henry Briggs, publicou tabelas que já incluíam os logaritmos decimais dos próprios números, de 1 a 1000, com 8 (mais tarde 14) dígitos. Mas também havia erros nas tabelas de Briggs. A primeira edição livre de erros baseada nas tabelas Vega () apareceu apenas em 1857 em Berlim (tabelas Bremiver).

Na Rússia, as primeiras tabelas de logaritmos foram publicadas em 1703 com a participação de L. F. Magnitsky. Várias coleções de tabelas de logaritmos foram publicadas na URSS.

• Bradis V. M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. 44ª edição, M., 1973.

Plano:

Introdução

• 1 logaritmo real
  • 1.1 Propriedades
  • 1.2 função logarítmica
  • 1.3 logaritmos naturais
  • 1.4 logaritmos decimais
• 2 logaritmo complexo
  • 2.1 Definição e propriedades
  • 2.2 Exemplos
  • 2.3 continuação analítica
  • 2.4 superfície de Riemann
• 3 Contorno histórico
  • 3.1 logaritmo real
  • 3.2 logaritmo complexo
• 4 tabelas logarítmicas
• 5 Aplicações
Literatura
Notas

Introdução

Arroz. 1. Gráficos de funções logarítmicas

Logaritmo de um número b Por razão a (do grego. λόγος - "palavra", "atitude" e ἀριθμός - “número”) é definido como um indicador do grau em que a base deve ser elevada a para obter o número b. Designação: . Segue-se da definição que as entradas e são equivalentes.

Por exemplo, porque .

1. Logaritmo real

Logaritmo de um número real log a b faz sentido quando . Como você sabe, a função exponencial y = a x é monotônico e cada valor assume apenas uma vez, e o intervalo de seus valores contém todos os números reais positivos. Isso implica que o valor do logaritmo real de um número positivo sempre existe e é determinado exclusivamente.

Os mais amplamente utilizados são os seguintes tipos de logaritmos.

1.1. Propriedades

Prova

Vamos provar isso.

(porque pela condição bc > 0). ■

Prova

Vamos provar que

(porque por condição ■

Prova

Vamos usar a identidade para provar isso. Nós logaritmamos ambos os lados da identidade para a base c. Nós temos:

Prova

Vamos provar isso.

(porque b p> 0 por condição). ■

Prova

Vamos provar que

Prova

Pegue o logaritmo dos lados esquerdo e direito para a base c :

Lado esquerdo: Lado direito:

A igualdade de expressões é óbvia. Como os logaritmos são iguais, devido à monotonicidade da função logarítmica, as próprias expressões são iguais. ■

1.2. função logarítmica

Se considerarmos um número logarítmico como uma variável, obtemos função logarítmica y= registro a x (ver fig. 1). É definido em . Faixa de valores: .

A função é estritamente crescente para a> 1 e estritamente decrescente em 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Direto x= 0 é a assíntota vertical esquerda, porque em a> 1 e em 0< a < 1 .

A derivada da função logarítmica é:

Prova

I. Vamos provar que

Vamos anotar a identidade e ln x = x e diferencie seus lados esquerdo e direito

Nós obtemos isso, de onde segue que

II. Vamos provar que

A função logarítmica implementa um isomorfismo entre o grupo multiplicativo de números reais positivos e o grupo aditivo de todos os números reais.

1.3. logaritmos naturais

Relação com o logaritmo decimal: .

Como dito acima, a derivada do logaritmo natural tem uma fórmula simples:

Por esta razão, os logaritmos naturais são usados ​​principalmente em pesquisas matemáticas. Eles geralmente aparecem ao resolver equações diferenciais, estudar dependências estatísticas (por exemplo, a distribuição de números primos), etc.

A integral indefinida do logaritmo natural é fácil de encontrar integrando por partes:

A expansão em série de Taylor pode ser representada da seguinte forma:
quando a igualdade

(1)

Em particular,

Essa série converge mais rapidamente e, além disso, o lado esquerdo da fórmula agora pode expressar o logaritmo de qualquer número positivo.

1.4. logaritmos decimais

Arroz. 2a. Escala logarítmica

Arroz. 2b. Escala logarítmica com símbolos

Logaritmos na base 10 (símbolo: lg a) antes da invenção das calculadoras eram amplamente utilizadas para cálculos. A escala não uniforme de logaritmos decimais geralmente também é aplicada às réguas de cálculo. Uma escala semelhante é usada em muitos campos da ciência, por exemplo:

• Física - intensidade sonora (decibéis).
• Astronomia é uma escala para o brilho das estrelas.
• Química - atividade dos íons de hidrogênio (pH).
• Sismologia - escala de Richter.
• Teoria musical - a escala musical, em relação às frequências dos sons musicais.
• A história é uma escala de tempo logarítmica.

A escala logarítmica também é amplamente utilizada para identificar o expoente em dependências exponenciais e o coeficiente no expoente. Ao mesmo tempo, um gráfico traçado em escala logarítmica ao longo de um ou dois eixos assume a forma de uma linha reta, que é mais fácil de estudar.

2. Logaritmo complexo

2.1. Definição e propriedades

Para números complexos, o logaritmo é definido da mesma forma que o real. Na prática, utiliza-se quase exclusivamente o logaritmo complexo natural, que denotamos e definimos como o conjunto de todos os números complexos z de tal modo que e z = c . O logaritmo complexo existe para qualquer , e sua parte real é determinada de forma única, enquanto a imaginária tem um número infinito de valores. Por esse motivo, é chamada de função multivalorada. se imaginar c na forma exponencial:

,

então o logaritmo é encontrado pela fórmula:

Aqui está o logaritmo real, r = | c | , ké um inteiro arbitrário. O valor obtido quando k= 0 é chamado importância principal logaritmo natural complexo; é comum tomar o valor do argumento no intervalo (− π,π] . A função correspondente (já de valor único) é chamada ramo principal logaritmo e é denotado por . Às vezes também denotam o valor do logaritmo, que não se encontra no ramo principal.

Da fórmula segue:

• A parte real do logaritmo é determinada pela fórmula:

• O logaritmo de um número negativo é encontrado pela fórmula:

Como as funções trigonométricas complexas estão relacionadas com o exponencial (fórmula de Euler), o logaritmo complexo, como o inverso da função exponencial, está relacionado com as funções trigonométricas inversas. Um exemplo dessa conexão:

2.2. Exemplos

Aqui está o valor principal do logaritmo para alguns argumentos:

Você deve ter cuidado ao converter logaritmos complexos, levando em consideração que eles são multivalorados e, portanto, a igualdade dessas expressões não decorre da igualdade dos logaritmos de nenhuma expressão. Exemplo de raciocínio errado:

euπ = ln(− 1) = ln((− eu) 2) = 2ln(- eu) = 2(− euπ / 2) = − euπ - um absurdo óbvio.

Observe que o valor principal do logaritmo está à esquerda e o valor do ramo subjacente está à direita ( k= − 1 ). O motivo do erro é o uso descuidado da propriedade, que, de um modo geral, no caso complexo implica todo o conjunto infinito de valores do logaritmo, e não apenas o valor principal.

2.3. continuação analítica

Arroz. 3. Logaritmo complexo (parte imaginária)

O logaritmo de um número complexo também pode ser definido como a continuação analítica do logaritmo real para todo o plano complexo. Deixe a curva Γ começar em 1, não passe por zero e não intercepte a parte negativa do eixo real. Então o valor principal do logaritmo no ponto final c A curva Γ pode ser determinada pela fórmula:

Se Γ é uma curva simples (sem auto-interseções), então, para os números que estão sobre ela, identidades logarítmicas podem ser aplicadas sem medo, por exemplo

Se a curva Γ puder cruzar a parte negativa do eixo real, a primeira dessas interseções transfere o resultado do ramo de valor principal para o ramo vizinho, e cada interseção subsequente causa um deslocamento semelhante ao longo dos ramos da função logarítmica ( Veja a figura).

Segue-se da fórmula de continuação analítica que em qualquer ramo do logaritmo

Para qualquer círculo S fechando o ponto 0:

A integral é tomada no sentido positivo (sentido anti-horário). Essa identidade fundamenta a teoria dos resíduos.

Pode-se também definir a continuação analítica do logaritmo complexo usando a série (1) acima, generalizada para o caso de um argumento complexo. No entanto, decorre do tipo de expansão que é igual a zero na unidade, ou seja, a série refere-se apenas ao ramo principal da função multivalorada do logaritmo complexo.

2.4. superfície de Riemann

A função logarítmica complexa é um exemplo de superfície de Riemann; sua parte imaginária (Fig. 3) consiste em um número infinito de ramos torcidos em forma de espiral. Esta superfície é simplesmente conectada; seu único zero (de primeira ordem) é obtido por z= 1 , pontos especiais: z= 0 e (pontos de ramificação de ordem infinita).

A superfície de Riemann do logaritmo é a cobertura universal para o plano complexo sem o ponto 0 .

3. Esboço histórico

3.1. logaritmo real

A necessidade de cálculos complexos no século 16 cresceu rapidamente, e grande parte da dificuldade estava associada à multiplicação e divisão de números de vários dígitos, bem como à extração de raízes. No final do século, vários matemáticos, quase simultaneamente, tiveram a ideia: substituir a demorada multiplicação pela simples adição, comparando progressões geométricas e aritméticas em tabelas especiais, enquanto a geométrica será a original. Então a divisão é substituída automaticamente por uma subtração imensuravelmente mais simples e confiável, e a extração da raiz do grau n reduz-se a dividir o logaritmo da expressão radical por n. Ele foi o primeiro a publicar essa ideia em seu livro Aritmética integra» Michael Stiefel, que, no entanto, não fez grandes esforços para implementar sua ideia.

Em 1614, o matemático amador escocês John Napier publicou um ensaio em latim intitulado " Descrição da incrível tabela de logaritmos"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Continha uma breve descrição dos logaritmos e suas propriedades, bem como tabelas de 8 dígitos de logaritmos de senos, cossenos e tangentes, com passo de 1". logaritmo, proposto por Napier, consolidou-se na ciência. Napier delineou a teoria dos logaritmos em seu outro livro " Construindo uma incrível tabela de logaritmos"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicado postumamente em 1619 por seu filho.

O conceito de função ainda não existia, e Napier determinou o logaritmo cinematicamente, comparando movimento lento uniforme e logaritmicamente; por exemplo, ele definiu o logaritmo do seno da seguinte maneira:

O logaritmo de um determinado seno é um número que sempre aumenta aritmeticamente na mesma proporção em que o seno completo começa a diminuir geometricamente.

Na notação moderna, o modelo cinemático de Napier pode ser representado por uma equação diferencial: dx/x = -dy/M, onde M é um fator de escala introduzido para tornar o valor um número inteiro com o número necessário de dígitos (os decimais ainda não eram amplamente usados ​​na época). Napier tomou M = 10000000.

Estritamente falando, Napier tabulou a função errada, que agora é chamada de logaritmo. Se denotamos sua função como LogNap(x), então ela está relacionada ao logaritmo natural da seguinte forma:

Obviamente, LogNap(M) = 0, ou seja, o logaritmo do "seno completo" é zero - foi isso que Napier buscou com sua definição. .

A principal propriedade do logaritmo de Napier: se as quantidades formam uma progressão geométrica, seus logaritmos formam uma progressão aritmética. No entanto, as regras para o logaritmo da função não-Pieriana diferiam das regras para o logaritmo moderno.

Por exemplo, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Infelizmente, todos os valores da tabela de Napier continham um erro computacional após o sexto dígito. No entanto, isso não impediu que o novo método de cálculo ganhasse grande popularidade, e muitos matemáticos europeus, incluindo Kepler, começaram a compilar tabelas logarítmicas. Já 5 anos depois, em 1619, o professor de matemática de Londres John Spydell ( John Spidell) republicou as tabelas de Napier, transformadas para que realmente se tornassem tabelas de logaritmos naturais (embora Spydell tenha mantido a escala para números inteiros). O termo "logaritmo natural" foi cunhado pelo matemático italiano Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) em meados do século XVI.

Na década de 1620, Edmund Wingate e William Oughtred inventaram a primeira régua de cálculo, antes do advento das calculadoras de bolso, uma ferramenta indispensável para um engenheiro.

Perto da compreensão moderna do logaritmo - como uma operação inversa para elevar a uma potência - apareceu pela primeira vez em Wallis e Johann Bernoulli e foi finalmente legalizado por Euler no século XVIII. No livro Introduction to the Analysis of Infinites (1748), Euler deu definições modernas de funções exponenciais e logarítmicas, expandiu-as em séries de potências e notou especialmente o papel do logaritmo natural.

Euler também tem o mérito de estender a função logarítmica ao domínio complexo.

3.2. logaritmo complexo

As primeiras tentativas de estender logaritmos a números complexos foram feitas na virada dos séculos XVII para XVIII por Leibniz e Johann Bernoulli, mas eles falharam em criar uma teoria holística - principalmente porque o próprio conceito de logaritmo ainda não era claramente definiram. A discussão sobre esta questão foi primeiro entre Leibniz e Bernoulli, e em meados do século XVIII - entre d'Alembert e Euler. Bernoulli e d'Alembert acreditavam que era necessário definir log(-x) = log(x). A teoria completa dos logaritmos de números negativos e complexos foi publicada por Euler em 1747-1751 e essencialmente não é diferente da teoria moderna.

Embora a disputa continuasse (D'Alembert defendeu seu ponto de vista e o argumentou em detalhes em um artigo em sua Enciclopédia e em outras obras), o ponto de vista de Euler rapidamente ganhou reconhecimento geral.

4. Tabelas logarítmicas

tabelas logarítmicas

Segue-se das propriedades do logaritmo que, em vez da demorada multiplicação de números com vários valores, basta encontrar (a partir de tabelas) e adicionar seus logaritmos e, em seguida, realizar a potencialização usando as mesmas tabelas, ou seja, encontrar o valor do resultado pelo seu logaritmo. Fazer a divisão difere apenas porque os logaritmos são subtraídos. Laplace disse que a invenção dos logaritmos "prolongou a vida dos astrônomos", acelerando muito o processo de cálculo.

Ao mover o ponto decimal em um número para n dígitos, o valor do logaritmo decimal deste número é alterado por n. Por exemplo, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Segue-se que basta fazer uma tabela de logaritmos decimais para números no intervalo de 1 a 10.

As primeiras tabelas de logaritmos foram publicadas por John Napier (1614), e continham apenas logaritmos de funções trigonométricas, e com erros. Independentemente dele, Joost Burgi, amigo de Kepler, publicou suas tabelas (1620). Em 1617, o professor de matemática de Oxford, Henry Briggs, publicou tabelas que já incluíam os logaritmos decimais dos próprios números, de 1 a 1000, com 8 (mais tarde 14) dígitos. Mas também havia erros nas tabelas de Briggs. A primeira edição infalível baseada nas tabelas Vega (1783) apareceu apenas em 1857 em Berlim (tabelas Bremiver).

Na Rússia, as primeiras tabelas de logaritmos foram publicadas em 1703 com a participação de L. F. Magnitsky. Várias coleções de tabelas de logaritmos foram publicadas na URSS.

• Bradis V. M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. 44ª edição, M., 1973.

As tabelas de Bradis (1921) foram utilizadas em instituições de ensino e em cálculos de engenharia que não exigiam grande precisão. Eles continham mantissas de logaritmos decimais de números e funções trigonométricas, logaritmos naturais e algumas outras ferramentas úteis de cálculo.

• Veja G. Tabelas de logaritmos de sete dígitos, 4ª edição, M., 1971.

Coleção profissional para cálculos precisos.

• Tabelas de cinco dígitos de valores naturais de quantidades trigonométricas, seus logaritmos e logaritmos de números, 6ª ed., M .: Nauka, 1972.
• Tabelas de logaritmos naturais, 2ª edição, em 2 volumes, Moscou: Nauka, 1971.

Atualmente, com a disseminação das calculadoras, a necessidade de usar tabelas de logaritmos desapareceu.

M, Recurso (análise complexa).

função logarítmica

Uma função logarítmica é uma função da forma f(x) = logax, definida por

Domínio: . Faixa de valores: . A função é estritamente crescente para a > 1 e estritamente decrescente para 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

A reta x = 0 é a assíntota vertical esquerda, pois para a > 1 e para 0< a < 1.

A derivada da função logarítmica é:

A função logarítmica implementa um isomorfismo entre o grupo multiplicativo de números reais positivos e o grupo aditivo de todos os números reais.

logaritmo complexo

Definição e propriedades

Para números complexos, o logaritmo é definido da mesma forma que o real. Na prática, utiliza-se quase exclusivamente o logaritmo complexo natural, que denotamos e definimos como o conjunto de todos os números complexos z tais que ez = w. O logaritmo complexo existe para qualquer um, e sua parte real é determinada de forma única, enquanto o imaginário tem um número infinito de valores. Por esse motivo, é chamada de função multivalorada. Se representarmos w na forma exponencial:

então o logaritmo é encontrado pela fórmula:

Aqui -- logaritmo real, r = | w | , k é um inteiro arbitrário. O valor obtido quando k = 0 é chamado de valor principal do logaritmo natural complexo; é comum tomar o valor do argumento no intervalo (? p, p). A função correspondente (já com valor único) é chamada de ramo principal do logaritmo e é denotada. Às vezes, o valor do logaritmo que não se encontra no ramo principal também é denotado por.

Da fórmula segue:

A parte real do logaritmo é determinada pela fórmula:

O logaritmo de um número negativo é encontrado pela fórmula.