Definir fator. relações de equivalência

Seja G=(p 0 =e, p 1 , …, p r ) algum grupo de permutação definido no conjunto X = (1, 2, …, n) com identidade e=p 0 pela permutação idêntica. Definimos a relação x~y estabelecendo x~y, o que equivale a dizer que existe um p pertencente a G(p(x)=y). A relação introduzida é uma relação de equivalência, ou seja, satisfaz três axiomas:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Seja A um conjunto arbitrário.
Definição: Uma relação binária δ=A*A é uma relação de equivalência (denotada a ~ b) se satisfizer os seguintes axiomas:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a - reflexividade;
2) a ~ b ⇒ b ~ a - comutatividade;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - transitividade

denotado por a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Definição: Uma partição de um conjunto A é uma família de subconjuntos disjuntos aos pares de A, em união (em soma) dando todo A.
А= ∪А i , А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Os subconjuntos A i são chamados de co-conjuntos da partição.

Teorema: cada relação de equivalência definida em A corresponde a alguma partição do conjunto A. Cada partição do conjunto A corresponde a alguma relação de equivalência no conjunto A.

Resumidamente, existe uma correspondência biunívoca entre as classes de todas as relações de equivalência definidas no conjunto A e a classe de todas as partições do conjunto A.

Prova: seja σ uma relação de equivalência em um conjunto A. Seja a ∈ A.

Vamos construir um conjunto: К a =(x ∈ A,: x~a ) – todos os elementos equivalentes a a. O conjunto (notação) é chamado de classe de equivalência em relação à equivalência σ. Note que se b pertence a K a , então b~a. Vamos mostrar que a~b⇔K a =K b . De fato, seja a~b. Tome um elemento arbitrário c pertence a K a . Então c~a, a~b, c~b, c pertence a K b e portanto K b pertence a K a . O fato de K a pertencer a K b é mostrado de forma semelhante. Portanto, K b = K a .
Seja agora K b = K a . Então a pertence a K a = K b , a pertence a K b , a~b. Que é o que precisava ser mostrado.

Se 2 classes K a e K b têm um elemento comum c, então K a = K b . De fato, se c pertence a K a e K b , então b~c, c~a, b~a => K a = K b .

Portanto, diferentes classes de equivalência não se cruzam ou se cruzam e então coincidem. Todo elemento c de A pertence a apenas uma classe de equivalência K c. Portanto, o sistema de classes de equivalência não sobrepostas na interseção dá todo o conjunto A. E, portanto, este sistema é uma partição do conjunto A em classes de equivalência.

Recibo: Seja A = soma ou A i uma partição de A. Vamos introduzir a relação a~b em A, pois a~b ⇔ a,b pertencem à mesma classe de partição. Esta relação satisfaz os seguintes axiomas:

1) a ~ a (estão na mesma classe);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, ou seja a relação introduzida ~ é uma relação de equivalência.

Comente:
1) a partição do conjunto A em subconjuntos de um elemento e a partição de A, consistindo apenas no conjunto A, é chamada de partição trivial (imprópria).

2) A divisão de A em subconjuntos de um elemento corresponde à relação de equivalência, que é a igualdade.

3) A partição A, composta por uma classe A, corresponde a uma relação de equivalência contendo A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — qualquer relação de equivalência definida em algum conjunto divide esse conjunto em classes disjuntas chamadas de classes de equivalência.

Definição: O conjunto de classes de equivalência do conjunto A é denominado conjunto de fatores A/σ do conjunto A pela equivalência σ.

Definição: Um mapeamento p:A→A/σ tal que p(A)=[a] σ é chamado de mapeamento canônico (natural).

Qualquer relação de equivalência definida em um conjunto divide esse conjunto em classes disjuntas aos pares, denominadas classes de equivalência.

Seja R uma relação binária em um conjunto X. A relação R é chamada reflexivo , se (x, x) О R para todo x О X; simétrico – se (x, y) О R implica (y, x) О R; o número transitivo 23 corresponde à variante 24 se (x, y) Î R e (y, z) Î R implica (x, z) Î R.

Exemplo 1

Diremos que x í X tem em comum com elemento y í X se o conjunto
x Ç y não está vazio. A relação a ter em comum será reflexiva e simétrica, mas não transitiva.

relação de equivalência em X é chamada de relação reflexiva, transitiva e simétrica. É fácil ver que R Í X ´ X será uma relação de equivalência se e somente se as inclusões ocorrerem:

Id X Í R (reflexividade),

R -1 Í R (simetria),

R ° R Í R (transitividade).

Na verdade, essas três condições são equivalentes ao seguinte:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

dividindo conjunto X é o conjunto A de subconjuntos disjuntos pareados a í X tais que UA = X. Com cada partição de A, podemos associar uma relação de equivalência ~ em X definindo x ~ y se x e y são elementos de algum a í A .

A cada relação de equivalência ~ em X corresponde uma partição A, cujos elementos são subconjuntos, cada um dos quais consiste nos elementos da relação ~. Esses subconjuntos são chamados aulas de equivalência . Esta partição A é chamada de conjunto de fatores do conjunto X em relação a ~ e é denotada por: X/~.

Vamos definir a relação ~ no conjunto w de números naturais estabelecendo x ~ y se os restos após a divisão de x e y por 3 forem iguais. Então w/~ consiste em três classes de equivalência correspondentes aos restos 0, 1 e 2.

relação de pedido

Uma relação binária R em um conjunto X é chamada antisimétrico , se de x R y e y R x segue: x = y. Uma relação binária R em um conjunto X é chamada relação de ordem , se é reflexivo, antisimétrico e transitivo. É fácil ver que isso é equivalente às seguintes condições:

1) Id X Í R (reflexividade),

2) R Ç R -1 (antissimetria),

3) R ° R Í R (transitividade).

Um par ordenado (X, R) consistindo de um conjunto X e uma relação de ordem R em X é chamado conjunto parcialmente ordenado .

Exemplo 1

Seja X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Como R satisfaz as condições 1–3, então (X, R) é um conjunto parcialmente ordenado. Para os elementos x = 2, y = 3, nem x R y nem y R x são verdadeiros. Tais elementos são chamados incomparável . Normalmente, a relação de ordem é denotada por £. No exemplo acima, 0 £ 1 e 2 £ 2, mas não é verdade que 2 £ 3.


Exemplo 2

Deixar< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Os elementos x, y О X de um conjunto parcialmente ordenado (X, £) são chamados comparável , se x £ y ou y £ x.

O conjunto parcialmente ordenado (X, £) é chamado linearmente ordenado ou corrente se quaisquer dois de seus elementos forem comparáveis. O conjunto do Exemplo 2 será ordenado linearmente, mas o conjunto do Exemplo 1 não.

Um subconjunto A Í X de um conjunto parcialmente ordenado (X, £) é chamado limitado de cima , se existe um elemento x í X tal que a £ x para todo a í A. Um elemento x í X é chamado o melhor em X se y £ x para todo y О X. Um elemento x О X é chamado de maximal se não houver elementos y О X diferentes de x para os quais x £ y. No exemplo 1, os elementos 2 e 3 serão os máximos, mas não os maiores. O restrição inferior subconjuntos, elementos mínimos e mínimos. No exemplo 1, o elemento 0 seria o menor e o mínimo. No exemplo 2, 0 também tem essas propriedades, mas (w, t) não tem nem o maior nem o elemento máximo.


Teoria de conjuntos. Conceitos Básicos

A teoria dos conjuntos é a definição fundamental da matemática moderna. Foi criado por Georg Kantor na década de 1860. Ele escreveu: "Muitos são muitos pensados ​​como um todo único." O conceito de conjunto é um dos conceitos básicos e indefinidos da matemática. Não se resume a outros conceitos mais simples. Portanto, não pode ser definido, mas apenas explicado. Assim, um conjunto é uma associação em um todo de objetos que são bem distinguíveis por nossa intuição ou nosso pensamento; um conjunto de alguns objetos definidos por uma característica comum.

Por exemplo,

1. Muitos residentes da cidade de Voronezh

2. Conjunto de pontos do plano

3. O conjunto dos números naturais ℕ, etc.

Os conjuntos são geralmente denotados por letras latinas maiúsculas ( A,B,C etc). Os objetos que compõem um determinado conjunto são chamados de seus elementos. Os elementos de um conjunto são indicados por minúsculas letras latinas ( a, b, c etc). Se x- definir e, em seguida, gravar x∈X significa que xé um elemento do conjunto x ou o que x pertence ao conjunto x, e o registro x∉X esse elemento x não pertence ao conjunto x. Por exemplo, seja ℕ o conjunto dos números naturais. Então 5 ℕ , A 0,5∉ℕ .

Se o conjunto Y consiste em elementos do conjunto x, então eles dizem que Yé um subconjunto do conjunto x e denotar Y⊂X(ou Y⊆X). Por exemplo, o conjunto dos inteiros ℤ é um subconjunto dos números racionais ℚ .

Se para dois conjuntos x E Y há duas inclusões ao mesmo tempo X Y E Y X, ou seja xé um subconjunto do conjunto Y E Yé um subconjunto do conjunto x, então os conjuntos x E Y são formados pelos mesmos elementos. Tais conjuntos x E Y são chamados iguais e escreva: X=Y.

O termo conjunto vazio é freqüentemente usado - Ø é um conjunto que não contém nenhum elemento. É um subconjunto de qualquer conjunto.

Os seguintes métodos podem ser usados ​​para descrever conjuntos.

Formas de especificar conjuntos

1. Enumeração de objetos. Usado apenas para conjuntos finitos.

Por exemplo, X \u003d (x1, x2, x3 ... x n). Registro Y ={1, 4, 7, 5} significa que o conjunto consiste em quatro números 1, 4, 7, 5 .

2. Indicação da propriedade característica dos elementos do conjunto.

Para isso, algumas propriedades são definidas R, que permite determinar se um elemento pertence a um conjunto. Este método é mais versátil.

X=(x: P(x))

(um monte de x consiste em tais elementos x, para o qual a propriedade R(x)).

Um conjunto vazio pode ser especificado especificando suas propriedades: Ø=(x: x≠x)

Você pode construir novos conjuntos com a ajuda dos já existentes, usando operações em conjuntos.

Operações em conjuntos

1. Uma união (soma) é um conjunto que consiste em todos esses elementos, cada um dos quais pertence a pelo menos um dos conjuntos A ou EM.

A ∪ B \u003d (x: x A ou x B).

2. Uma interseção (produto) é um conjunto que consiste em todos os elementos, cada um dos quais pertence simultaneamente a um conjunto A, e muitos EM.

A∩B=(x: x A e x B).

3. Diferença de conjuntos A E EMé chamado de conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto EM.

A \ B \u003d (x: x A e x B)

4. Se Aé um subconjunto do conjunto EM. aquele conjunto BA chamado complemento do conjunto A para muitos EM e denotar A'.

5. A diferença simétrica de dois conjuntos é o conjunto A∆B=(A\B) (BA)

N- o conjunto de todos os números naturais;
Z- o conjunto de todos os inteiros;
Q- o conjunto de todos os números racionais;
R- o conjunto de todos os números reais;
C- o conjunto de todos os números complexos;
Z0é o conjunto de todos os inteiros não negativos.

Propriedades de operações em conjuntos:

1. Um B=B A (união comutativa)

2. Um B=B A (comutatividade da intersecção)

3. A(B C)=(A EM) C (associatividade sindical)

4. Um (EM C)=(A EM) C (associatividade de interseção)

5. Um (EM C)=(A EM) (A C) (1 lei da distributividade)

6. Um (EM C)=(A EM) (A C) (2ª lei distributiva)

7. Um Ø=A

8. Um U = U

9. A Ø= Ø

10. A U=A

11. (A B)'=A' B' (Lei de Morgan)

12. (A B)'=A' B' (Lei de Morgan)

13. A (A B) \u003d A (lei da absorção)

14. A (A B) \u003d A (lei da absorção)

Vamos provar a propriedade nº 11. (A B)'=A' EM'

Pela definição de conjuntos iguais, precisamos provar duas inclusões 1) (A B)' ⊂A' EM';

2) A' B'⊂(A EM)'.

Para provar a primeira inclusão, considere um elemento arbitrário x∈(A B)'=X\(A∪B). Significa que x∈X, x∉ A∪B. Daí segue que x∉A E x∉B, É por isso x∈X\A E x∈X\B, que significa x∈A’∩B’. Por isso, (A B)'⊂A' EM'

Reciprocamente, se x∈A' EM', Que x pertence simultaneamente a conjuntos A', B', que significa x∉A E x∉B. Segue que x∉ A EM, É por isso x∈(A EM)'. Por isso, A' B'⊂(A EM)'.

Então, (A B)'=A' EM'

Um conjunto formado por dois elementos, no qual a ordem dos elementos é definida, é chamado de par ordenado. Parênteses são usados ​​para escrevê-lo. (x 1, x 2)- um conjunto de dois elementos em que x 1 é considerado o primeiro elemento e x 2 - o segundo. casais (x 1, x 2) E (x 2, x 1), Onde x 1 ≠ x 2 são considerados diferentes.

Um conjunto composto por n elementos, no qual a ordem dos elementos é definida, é chamado de conjunto ordenado de n elementos.

O produto cartesiano é um conjunto arbitrário X 1 , X 2 ,…, Xn conjuntos ordenados de n elementos, onde x 1 X 1 , x 2 X 2 ,…, x n Xn

X 1 Xn

Se os conjuntos X 1 , X 2 ,…, Xn corresponder (X 1 \u003d X 2 \u003d ... \u003d X n), então seu produto é denotado Xn.

Por exemplo, ℝ 2 é o conjunto de pares ordenados de números reais.

Relações de equivalência. fator de ajuste

Dado um conjunto, novos conjuntos podem ser construídos considerando o conjunto de alguns subconjuntos. Nesse caso, costuma-se falar não de um conjunto de subconjuntos, mas de uma família ou classe de subconjuntos.

Em várias questões, a classe de tais subconjuntos de um determinado conjunto é considerada A, que não se interceptam e cuja união coincide com A. Se este conjunto A pode ser representado como uma união de seus subconjuntos disjuntos emparelhados, costuma-se dizer que A dividido em classes. A classificação é realizada com base em alguma característica.

Deixar x não é um conjunto vazio, então qualquer subconjunto R do trabalho x xé chamada de relação binária no conjunto x. Se um casal (x,y) incluído em R, digamos que o elemento x está em relação R Com no.

Por exemplo, relacionamentos x=y, x≥y são relações binárias no conjunto ℝ.

relação binária R no set xé chamada de relação de equivalência se:

1. (x, x) R; x X (propriedade de reflexividade)

2. (x, y) R => (y, x) R (propriedade simétrica)

3. (x, y) R, (y, z) R, então (x,z) R (propriedade de transitividade)

Se um casal (x,y) entrou em uma relação de equivalência, então x e y são chamados equivalentes (x~y).

1.Deixe ℤ é um conjunto de inteiros, m≥1é um número inteiro. Defina a relação de equivalência R sobre ℤ para que n~k, Se n-k dividido por m. Vamos verificar se as propriedades são satisfeitas na relação dada.

1. Reflexividade.

Para qualquer um n∈ℤ ℤ de tal modo que (p,p)∈R

rr=0. Porque 0∈ ℤ , Que (p,p)∈ℤ.

2. Simetria.

De (n,k) ∈R segue que existe р∈ ℤ, O que n-k=mp;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ, por isso (k,n) ∈R.

3. Transitividade.

De que (n,k) ∈R, (k, q) ∈R segue-se que existem p 1 E p 2 ∈ ℤ, O que n-k=mp 1 E k-q=mp2. Somando essas expressões, obtemos que n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. É por isso (n,q) ∈ ℤ.

2. Considere o conjunto x todos os segmentos direcionados do espaço ou plano . =(A, B). Vamos introduzir a relação de equivalência R sobre x.

∼ (\displaystyle \sim). Então o conjunto de todas as classes de equivalência é chamado conjunto de fatores e é denotado. A partição de um conjunto em classes de elementos equivalentes é chamada de fatoração.

Exibição de X (\displaystyle X) no conjunto de classes de equivalência X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) chamado mapeamento de fator. Devido às propriedades da relação de equivalência, a partição em conjuntos é única. Isso significa que as classes que contêm ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X) ou não se cruzam ou coincidem completamente. Para qualquer elemento x ∈ X (\displaystyle x\in X) alguma classe é definida exclusivamente a partir de X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ), em outras palavras, existe um mapeamento sobrejetivo de X (\displaystyle X) V X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). A classe que contém x (\displaystyle x), às vezes denotado [x] (\displaystyle [x]).

Se o conjunto é fornecido com uma estrutura, geralmente o mapeamento X → X / ∼ (\displaystyle X\para X/\!\sim ) pode ser usado para fornecer um conjunto de fatores X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) a mesma estrutura, como topologia. Neste caso, o conjunto X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) com a estrutura induzida é chamado espaço quociente.

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    ✪ 3. Aulas de equivalência

    ✪ Set Theory Aula 3 Parte 1

    ✪ Teoria dos conjuntos Aula 3 Parte 2

    ✪ Teoria dos conjuntos Aula 3 Parte 3

    Legendas

Fatore o espaço por subespaço

Freqüentemente, a relação de equivalência é introduzida da seguinte maneira. Deixar X (\displaystyle X)- linear espaço , e L (\displaystyle L)é algum subespaço linear. Então dois elementos x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\em X) de tal modo que x − y ∈ L (\displaystyle x-y\in L), são chamados equivalente. Isso é denotado x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). O espaço obtido como resultado da fatoração é chamado espaço quociente por subespaço L (\displaystyle L). Se X (\displaystyle X) expande em uma soma direta X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), então existe um isomorfismo de M (\displaystyle M) V X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). Se X (\displaystyle X)é um espaço de dimensão finita, então o espaço quociente X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))) também é de dimensão finita e dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim ))=\dim X-\dim L).

Exemplos

. Podemos considerar o conjunto de fatores X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Função f (\displaystyle f) define uma correspondência um-para-um natural entre X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) E Y (\displaystyle Y).

É razoável usar a fatoração de conjuntos para obter espaços normados a partir de espaços seminormados, espaços com produto interno a partir de espaços com produto quase interno, etc. Para isso, introduz-se a norma de uma classe, respectivamente, igual à norma de um elemento arbitrário dela, e o produto escalar de classes como o produto escalar de elementos arbitrários de classes. Por sua vez, a relação de equivalência é introduzida da seguinte forma (por exemplo, para formar um espaço quociente normado): é introduzido um subconjunto do espaço seminormado original, composto por elementos com seminorma zero (aliás, é linear , ou seja, é um subespaço) e considera-se que dois elementos são equivalentes se a sua diferença pertencer a este mesmo subespaço.

Se um determinado subespaço de um espaço linear é introduzido para fatorar um espaço linear e assume-se que se a diferença de dois elementos do espaço original pertence a esse subespaço, então esses elementos são equivalentes, então o conjunto de fatores é um espaço linear e é chamado de espaço fatorial.


definir fator

Conjuntos.


Uma relação de ordem parcial em um conjunto x é uma relação binária que é antisimétrica, reflexiva e transitiva e é denotada por
como um par:


Uma relação binária é chamada de tolerância se for reflexiva e simétrica.


Uma relação binária é chamada de quasiordem se for irreflexiva, antisimétrica e transitiva (pré-ordem).


Uma relação binária é chamada de ordem estrita se for reflexiva e transitiva.


Uma operação algébrica enária em um conjunto M é uma função



é uma operação unária;


é uma operação binária;


- operação triária.


Operação algébrica binária −

é uma operação que atribui a cada par ordenado do conjunto M algum elemento do conjunto M.


Propriedades:


1) Comutatividade:


2) Associatividade:


elemento neutro

Define M para uma operação algébrica binária

O elemento é denominado:




  • Fator conjuntosé o conjunto de classes de equivalência deste conjuntos. A relação de ordem parcial em multidão x é chamado de relação binária...


  • Próxima questão." Fator conjuntos. Fator conjuntos- agregado. Formas multiplicativas e aditivas.


  • Fator conjuntos- agregado.
    Um monte de- um conjunto de certos e diferentes objetos concebíveis como um todo único.


  • Uma função multiplicativa é uma... mais detalhes ». Fator conjuntos. Fator conjuntosé o conjunto de classes de equivalência deste conjuntos.


  • Na realidade, o processo de produção é mais complicado e seu produto é resultado do uso. conjuntos fatores.


  • A qualidade das decisões gerenciais depende conjuntos fatores, o mais significativo dos quais pode ser n.


  • A otimização das decisões de levantamento de capital é um processo de pesquisa conjuntos fatores afetando os resultados esperados...

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