Muitos de todos numeros reais pode ser imaginado como uma união de três conjuntos: um conjunto de números positivos, um conjunto de números negativos e um conjunto constituído por um número - o número zero. Para indicar que o número A positivo, use a gravação uma > 0, para indicar um número negativo use outra notação a< 0 .

A soma e o produto de números positivos também são números positivos. Se o número A negativo, então o número -A positivo (e vice-versa). Para qualquer número positivo a existe um número positivo a número racional R, O que R< а . Esses fatos fundamentam a teoria das desigualdades.

Por definição, a desigualdade a > b (ou, o que dá no mesmo, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, ou seja, se o número a - b for positivo.

Considere, em particular, a desigualdade A< 0 . O que significa esta desigualdade? De acordo com a definição acima, isso significa que 0 - uma > 0, ou seja -uma > 0 ou, em outras palavras, qual é o número -A positivamente. Mas isso acontece se e somente se o número A negativo. Então desigualdade A< 0 significa que o número mas negativo.

A notação também é frequentemente usada ab(ou, o que é o mesmo, BA).
Registro ab, por definição, significa que ou uma > b, ou uma = b. Se considerarmos o registro ab como uma declaração indefinida, então em notação lógica matemática pode ser escrito

(a-b) [(a > b) V (a = b)]

Exemplo 1. As desigualdades 5 0, 0 0 são verdadeiras?

A desigualdade 5 0 é declaração complexa composto por dois declarações simples conectado pelo conectivo lógico “ou” (disjunção). Ou 5 > 0 ou 5 = 0. A primeira afirmação 5 > 0 é verdadeira, a segunda afirmação 5 = 0 é falsa. Pela definição de disjunção, uma afirmação tão complexa é verdadeira.

A entrada 00 é discutida de forma semelhante.

Desigualdades da forma uma > b, uma< b vamos chamá-los de estritos, e desigualdades da forma ah, ah- não é rigoroso.

Desigualdades uma > b E c > d(ou A< b E Com< d ) serão chamadas de desigualdades com o mesmo significado, e desigualdades uma > b E c< d - desigualdades de significado oposto. Observe que esses dois termos (desigualdades de significado igual e oposto) referem-se apenas à forma de escrita das desigualdades, e não aos próprios fatos expressos por essas desigualdades. Então, em relação à desigualdade A< b desigualdade Com< d é uma desigualdade de mesmo significado, e na notação d>c(significando a mesma coisa) - uma desigualdade de significado oposto.

Junto com desigualdades da forma a> b, ab são usadas as chamadas desigualdades duplas, ou seja, desigualdades da forma A< с < b , ac< b , a< cb ,
acb. Por definição, um registro

A< с < b (1)
significa que ambas as desigualdades são válidas:

A< с E Com< b.

As desigualdades têm um significado semelhante acb, ac< b, а < сb.

A dupla desigualdade (1) pode ser escrita da seguinte forma:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

e dupla desigualdade uma ≤ c ≤ b pode ser escrito da seguinte forma:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Passemos agora à apresentação das propriedades básicas e regras de atuação sobre as desigualdades, tendo concordado que neste artigo as cartas a, b, c representam números reais, e n significa número natural.

1) Se a > b e b > c, então a > c (transitividade).

Prova.

Já que por condição uma > b E b > c, então os números uma - b E b-c são positivos e, portanto, o número uma - c = (a - b) + (b - c), como a soma dos números positivos, também é positivo. Isto significa, por definição, que uma > c.

2) Se a > b, então para qualquer c a desigualdade a + c > b + c é válida.

Prova.

Porque uma > b, então o número uma - b positivamente. Portanto, o número (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b também é positivo, ou seja,
a + c > b + c.

3) Se a + b > c, então a > b - c, isto é, qualquer termo pode ser transferido de uma parte da desigualdade para outra, alterando o sinal deste termo para o oposto.

A prova segue da propriedade 2) é suficiente para ambos os lados da desigualdade a + b > c Adicionar número -b.

4) Se a > b e c > d, então a + c > b + d, ou seja, ao somar duas desigualdades de mesmo significado, obtém-se uma desigualdade de mesmo significado.

Prova.

Em virtude da definição de desigualdade, é suficiente mostrar que a diferença
(a + c) - (b + c) positivo. Essa diferença pode ser escrita da seguinte forma:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Já que de acordo com a condição do número uma - b E cd são positivos, então (a + c) - (b + d) também há um número positivo.

Consequência. Das regras 2) e 4) segue-se próxima regra subtração de desigualdades: se uma > b, c > d, Que uma - d > b - c(para prova basta aplicar ambos os lados da desigualdade a + c > b + d Adicionar número - cd).

5) Se a > b, então para c > 0 temos ac > bc, e para c< 0 имеем ас < bc.

Em outras palavras, quando ambos os lados da desigualdade são multiplicados, nem número positivo o sinal de desigualdade é preservado (ou seja, uma desigualdade de mesmo significado é obtida), e quando multiplicado por um número negativo o sinal de desigualdade muda para o oposto (ou seja, uma desigualdade de significado oposto é obtida.

Prova.

Se uma > b, Que uma - bé um número positivo. Portanto, o sinal da diferença ac-bc = táxi) corresponde ao sinal do número Com: Se Comé um número positivo, então a diferença ac-bcé positivo e portanto ac > bс, e se Com< 0 , então essa diferença é negativa e, portanto, aC - ac positivo, ou seja, aC > ac.

6) Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd, isto é, se todos os termos de duas desigualdades de mesmo significado são positivos, então ao multiplicar essas desigualdades termo por termo, obtém-se uma desigualdade de mesmo significado.

Prova.

Nós temos ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Porque c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, então ac - bd > 0, ou seja, ac > bd.

Comente. Da prova fica claro que a condição d > 0 na formulação da propriedade 6) não tem importância: para que esta propriedade seja válida, basta que as condições sejam atendidas a > b > 0, c > d, c > 0. Se (se as desigualdades forem satisfeitas uma > b, c > d) números a, b, c nem todos serão positivos, então a desigualdade ac > bd pode não ser cumprido. Por exemplo, quando A = 2, b =1, c= -2, d= -3 temos uma > b, c > d, mas a desigualdade ac > bd(ou seja, -4 > -3) falhou. Assim, a exigência de que os números a, b, c sejam positivos na formulação da propriedade 6) é essencial.

7) Se a ≥ b > 0 e c > d > 0, então (divisão das desigualdades).

Prova.

Nós temos O numerador da fração do lado direito é positivo (ver propriedades 5), 6)), o denominador também é positivo. Por isso,. Isso prova a propriedade 7).

Comente. Observemos um importante caso especial regra 7), obtida quando a = b = 1: se c > d > 0, então. Assim, se os termos da desigualdade são positivos, então ao passar para os recíprocos obtemos uma desigualdade de sentido oposto. Convidamos os leitores a verificarem que esta regra também é válida em 7) Se ab > 0 e c > d > 0, então (divisão das desigualdades).

Prova. Que.

Provamos acima várias propriedades de inequações escritas usando o sinal > (mais). No entanto, todas essas propriedades poderiam ser formuladas usando o sinal < (menos), uma vez que a desigualdade b< а significa, por definição, o mesmo que desigualdade uma > b. Além disso, como é fácil verificar, as propriedades provadas acima também são preservadas para desigualdades não estritas. Por exemplo, a propriedade 1) para desigualdades não estritas terá próxima visualização: Se ab e bc, Que ac.

É claro que o que foi dito acima não limita as propriedades gerais das desigualdades. Há também linha inteira desigualdades visão geral relacionado à consideração de potência, exponencial, logarítmica e funções trigonométricas. A abordagem geral para escrever este tipo de desigualdades é a seguinte. Se alguma função y =f(x) aumenta monotonicamente no segmento [a, b], então para x 1 > x 2 (onde x 1 e x 2 pertencem a este segmento) temos f (x 1) >f(x 2). Da mesma forma, se a função y =f(x) diminui monotonicamente no intervalo [a, b], então quando x 1 > x 2 (onde x 1 E X 2 pertencem a este segmento) temos f(x 1)< f(x 2 ). É claro que o que foi dito não difere da definição de monotonicidade, mas esta técnica é muito conveniente para memorizar e escrever desigualdades.

Assim, por exemplo, para qualquer número natural n a função y = xn está aumentando monotonicamente ao longo do raio {0} {0} }