O tópico deste tutorial em vídeo será as propriedades de movimento, bem como a tradução paralela. No início da lição, repetiremos mais uma vez o conceito de movimento, seus principais tipos - simetria axial e central. Depois disso, consideramos todas as propriedades do movimento. Vamos analisar o conceito de "transferência paralela", para que serve, vamos nomear suas propriedades.

Tema: Movimento

Lição: Movimento. Propriedades de movimento

Vamos provar o teorema: ao se mover, o segmento passa para o segmento.

Vamos decifrar a formulação do teorema com a ajuda da Fig. 1. Se as extremidades de um determinado segmento MN durante o movimento forem exibidas em alguns pontos M 1 e N 1, respectivamente, então qualquer ponto P do segmento MN irá necessariamente para algum ponto P 1 do segmento M 1 N 1, e vice-versa, a cada ponto Q 1 do segmento M 1 N 1 será exibido algum ponto Q do segmento MN.

Prova.

Como pode ser visto na figura, MN = MP + PN.

Deixe o ponto P ir para algum ponto P 1 "do plano. Da definição de movimento, segue-se que os comprimentos dos segmentos são iguais MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Destas igualdades segue-se que M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, ou seja, o ponto Р 1 "pertence ao segmento M 1 N 1 e coincide com o ponto P 1, caso contrário, ao invés da igualdade acima, a desigualdade do triângulo M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 seria verdadeira. provamos que ao mover, qualquer ponto, qualquer ponto P do segmento MN irá necessariamente para algum ponto P 1 do segmento M 1 N 1. A segunda parte do teorema (referente ao ponto Q 1) é provada exatamente na mesma maneira.

O teorema provado é válido para qualquer movimento!

Teorema: ao se mover, o ângulo entra em um ângulo igual.

Seja RAOB (Fig. 2). E seja dado algum movimento, no qual o vértice РО vai para o ponto О 1 , e os pontos A e B - respectivamente para os pontos А 1 e В 1 .

Considere os triângulos AOB e A 1 O 1 B 1 . De acordo com a condição do teorema, os pontos A, O e B se movem quando se deslocam para os pontos A 1, O 1 e B 1, respectivamente. Portanto, há uma igualdade de comprimentos AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 e AB \u003d A 1 B 1. Assim, AOB \u003d A 1 O 1 B 1 em três lados. Da igualdade dos triângulos segue a igualdade dos ângulos correspondentes O e O 1.

Assim, qualquer movimento preserva os ângulos.

Muitas consequências decorrem das propriedades básicas do movimento, em particular, que qualquer figura durante o movimento é mapeada em uma figura igual a ela.

Considere outro tipo de movimento - transferência paralela.

Transferência paralela em um determinado vetor é chamado de mapeamento do plano sobre si mesmo, no qual cada ponto M do plano vai para um ponto M 1 do mesmo plano que (Fig. 3).

Vamos provar isso a tradução paralela é um movimento.

Prova.

Considerar segmento arbitrário MN (Fig. 4). Deixe o ponto M se mover para o ponto M 1 durante a transferência paralela e o ponto N - para o ponto N 1. Neste caso, as condições de transferência paralela são cumpridas: e . Considere um quadrilátero

MM 1 N 1 N. Seus dois lados opostos (MM 1 e NN 1) são iguais e paralelos, conforme ditado pelas condições de tradução paralela. Portanto, este quadrilátero é um paralelogramo de acordo com um dos sinais deste último. Isso implica que os outros dois lados (MN e M 1 N 1) do paralelogramo têm comprimentos iguais, que deveria ser provado.

Assim, a transferência paralela é de fato um movimento.

Vamos resumir. Já estamos familiarizados com três tipos de movimento: simetria axial, simetria central e transferência paralela. Provamos que, ao se mover, um segmento passa para um segmento e um ângulo para um ângulo igual. Além disso, pode-se mostrar que uma linha reta passa por uma linha reta ao se mover e um círculo passa por um círculo de mesmo raio.

1. Atanasyan L. S. e outros. Graus de geometria 7-9. Tutorial para instituições educacionais. - M.: Educação, 2010.

2. Testes de geometria Farkov A. V.: 9ª série. Para o livro de L. S. Atanasyan e outros - M.: Exame, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometria, relato. para 7-11 células. em geral inst. - M.: Iluminismo, 1995.

1. Russo portal educacional ().

2. Festival ideias pedagógicas « Aula pública» ().

1. Atanasyan (ver referências), p. 293, § 1, item 114.

O teorema do movimento do centro de massa.

Em alguns casos, para determinar a natureza do movimento de um sistema (especialmente um corpo rígido), é suficiente conhecer a lei do movimento de seu centro de massa. Por exemplo, se você atirar uma pedra em um alvo, você não precisa saber como ela vai cair durante o voo, é importante estabelecer se ela atingirá o alvo ou não. Para isso, basta considerar o movimento de algum ponto desse corpo.

Para encontrar essa lei, nos voltamos para as equações de movimento do sistema e somamos suas partes esquerda e direita termo a termo. Então obtemos:

Vamos transformar o lado esquerdo da igualdade. Da fórmula para o vetor raio do centro de massa, temos:

Tomando de ambas as partes desta igualdade a segunda derivada temporal e notando que a derivada da soma é igual à soma das derivadas, encontramos:

onde é a aceleração do centro de massa do sistema. Uma vez que, pela propriedade de forças do sistema, então, substituindo todos os valores encontrados, finalmente obtemos:

A equação e expressa o teorema sobre o movimento do centro de massa do sistema: o produto da massa do sistema pela aceleração do seu centro de massa é soma geométrica todas as forças externas que atuam no sistema. Comparando com a equação do movimento de um ponto material, obtemos outra expressão do teorema: o centro de massa do sistema se move como um ponto material, cuja massa é igual à massa de todo o sistema e ao qual são aplicadas todas as forças externas que atuam sobre o sistema.

Projetando ambos os lados da igualdade nos eixos coordenados, obtemos:

Essas equações são equações diferenciais de movimento do centro de massa em projeções nos eixos do sistema de coordenadas cartesianas.

O significado do teorema provado é o seguinte.

1) O teorema fornece uma justificativa para os métodos de dinâmica de pontos. Pode-se ver pelas equações que as soluções que obtemos, considerando o corpo dado como um ponto material, determinam a lei do movimento do centro de massa desse corpo, Essa. tem um significado muito específico.

Em particular, se o corpo se move para frente, seu movimento é completamente determinado pelo movimento do centro de massa. Assim, um corpo em movimento progressivo pode sempre ser considerado como um ponto material com massa, igual à massa corpo. Em outros casos, o corpo só pode ser considerado como ponto material quando, na prática, para determinar a posição do corpo, basta conhecer a posição de seu centro de massa.

2) O teorema permite, ao determinar a lei do movimento do centro de massa de qualquer sistema, excluir da consideração todas as forças internas anteriormente desconhecidas. Este é o seu valor prático.

Assim, o movimento do carro em um plano horizontal só pode ocorrer sob a ação de forças externas, forças de atrito que atuam nas rodas do lado da estrada. E a frenagem do carro também é possível apenas por essas forças, e não pelo atrito entre as pastilhas de freio e o tambor de freio. Se a estrada for lisa, por mais que as rodas travem, elas deslizarão e não irão parar o carro.

Ou após a explosão de um projétil voador (sob a ação de forças internas) partes, fragmentos dele, se espalharão de modo que seu centro de massa se mova ao longo da mesma trajetória.

O teorema do movimento do centro de massa de um sistema mecânico deve ser usado para resolver problemas em mecânica que requerem:

De acordo com as forças aplicadas a um sistema mecânico (na maioria das vezes a um corpo sólido), determine a lei do movimento do centro de massa;

De lei dada movimentos de corpos incluídos no sistema mecânico, encontre as reações de ligações externas;

Com base no movimento mútuo dado dos corpos incluídos no sistema mecânico, determine a lei do movimento desses corpos em relação a algum referencial fixo.

Usando este teorema, uma das equações de movimento de um sistema mecânico com vários graus de liberdade pode ser compilada.

Ao resolver problemas, as consequências do teorema sobre o movimento do centro de massa são frequentemente usadas sistema mecânico.

Corolário 1. Se vetor principal forças externas aplicadas a um sistema mecânico, zero, então o centro de massa do sistema está em repouso ou se move uniforme e retilíneo. Como a aceleração do centro de massa é zero, .

Corolário 2. Se a projeção do vetor principal de forças externas em qualquer eixo for igual a zero, então o centro de massa do sistema não muda sua posição em relação a esse eixo ou se move uniformemente em relação a ele.

Por exemplo, se duas forças começam a agir sobre o corpo, formando um par de forças (Fig. 38), então o centro de massa Com ele se moverá ao longo da mesma trajetória. E o próprio corpo vai girar em torno do centro de massa. E não importa onde algumas forças são aplicadas.

Aliás, em estática provamos que o efeito de um par em um corpo não depende de onde ele é aplicado. Aqui mostramos que a rotação do corpo será em torno do eixo central Com.

Fig.38

Teorema da variação do momento cinético.

Momento cinético de um sistema mecânico em relação a um centro fixo Oé uma medida do movimento do sistema em torno deste centro. Ao resolver problemas, geralmente não é o próprio vetor que é usado, mas suas projeções nos eixos de um sistema de coordenadas fixo, que são chamados de momentos cinéticos em relação ao eixo. Por exemplo, - o momento cinético do sistema em relação ao eixo fixo Oz .

A quantidade de movimento de um sistema mecânico é a soma de impulso pontos e corpos incluídos neste sistema. Considere maneiras de determinar o momento angular ponto material e um corpo sólido várias ocasiões seus movimentos.

Para um ponto material com uma massa com velocidade, o momento angular em torno de algum eixo Ozé definido como o momento do vetor momento deste ponto em relação ao eixo selecionado:

O momento angular de um ponto é considerado positivo se, do lado da direção positiva do eixo, o movimento do ponto ocorrer no sentido anti-horário.

Se um ponto faz um movimento complexo, para determinar seu momento angular, o vetor momento deve ser considerado como a soma das quantidades de movimentos relativos e portáteis (Fig. 41)

Mas , onde é a distância do ponto ao eixo de rotação, e

Arroz. 41

A segunda componente do vetor momento angular pode ser definida da mesma forma que o momento da força em torno do eixo. Quanto ao momento da força, o valor é zero se o vetor velocidade relativa estiver no mesmo plano que o eixo de rotação translacional.

A quantidade de movimento de um corpo rígido em relação a um centro fixo pode ser definida como a soma de duas componentes: a primeira caracteriza a parte translacional do movimento do corpo juntamente com seu centro de massa, a segunda caracteriza o movimento do sistema em torno do centro de massa:

Se o corpo realiza movimento de translação, então o segundo componente é igual a zero

O momento cinético de um corpo rígido é calculado de forma mais simples quando ele gira em torno de um eixo fixo.

onde é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação.

O teorema sobre a variação do momento angular de um sistema mecânico quando ele se move em torno de um centro fixo é formulado da seguinte forma: a derivada do tempo total do vetor momento angular de um sistema mecânico em relação a algum centro fixo O em magnitude e direção é igual ao momento principal de forças externas aplicadas ao sistema mecânico, definido em relação ao mesmo centro

Onde - ponto principal todas as forças externas sobre o centro O.

Ao resolver problemas em que os corpos são considerados girando em torno de um eixo fixo, eles usam o teorema da mudança no momento angular em relação a um eixo fixo

Quanto ao teorema do movimento do centro de massa, o teorema da variação do momento angular tem consequências.

Corolário 1. Se o momento principal de todas as forças externas em relação a algum centro fixo é igual a zero, então o momento cinético do sistema mecânico em relação a esse centro permanece inalterado.

Corolário 2. Se o momento principal de todas as forças externas em torno de algum eixo fixo é igual a zero, então o momento cinético do sistema mecânico em torno desse eixo permanece inalterado.

O teorema da mudança de quantidade de movimento é utilizado para resolver problemas em que se considera o movimento de um sistema mecânico, constituído por um corpo central girando em torno de um eixo fixo, e um ou mais corpos, cujo movimento está associado ao central. ser realizado por meio de roscas, os corpos podem se mover ao longo da superfície do corpo central ou em seus canais devido a forças internas. Usando este teorema, pode-se determinar a dependência da lei de rotação do corpo central da posição ou movimento dos demais corpos.

Movimentos planos e suas propriedades. Exemplos de movimento. Classificação dos movimentos. Grupo de movimento. Aplicando o movimento à resolução de problemas

Movimento- esta é uma transformação de figuras, em que as distâncias entre os pontos são preservadas. Se duas figuras são combinadas exatamente umas com as outras por meio do movimento, essas figuras são iguais, iguais.

Movimentoé uma transformação bijetiva φ do plano π, sob a qual para quaisquer pontos diferentes X, Y є π a relação XY  φ(X)φ(Y) é satisfeita.

Propriedades do movimento:

1. Composição φ ◦ ψ dois movimentos ψ , φ é um movimento.

Doc-in: Deixe a figura F traduzido pelo movimento ψ em uma figura F ', e a figura F ’ é traduzido pelo movimento φ em uma figura F ''. Deixe o ponto X figuras F vai ao ponto X ' formas F ’, e durante o segundo movimento, o ponto X ' formas F ' vai ao ponto X '' figuras F ''. Então a transformação da figura F em uma figura F '', em que um ponto arbitrário X figuras F vai ao ponto X '' figuras F '', preserva a distância entre os pontos e, portanto, também é um movimento.

A gravação da música sempre começa a partir do último movimento, porque o resultado da composição é a imagem final - ela é colocada de acordo com o original: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Se φ – movimento, depois transformação φ -1 também é um movimento.

Doc-in: Deixe a transformação da forma F em uma figura F ' traduz vários pontos figuras F em vários pontos da figura F '. Deixe um ponto arbitrário X figuras F sob esta transformação vai a um ponto X ' formas F ’.

Transformação da forma F ' em uma figura F , em que o ponto X ' vai ao ponto X , é chamada de transformação inversa do dado . Para cada movimento φ é possível definir o movimento inverso, que é denotado φ -1 .

Assim, a transformação movimento reverso, também é um movimento.

É óbvio que a transformação φ -1 satisfaz as igualdades: f◦f-1 = f-1◦f = ε , Onde ε é a exibição idêntica.

3. Associatividade de composições: Seja φ 1 , φ 2 , φ 3 – movimentos voluntários. Então φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

O fato de a composição dos movimentos ter a propriedade de associatividade nos permite determinar o grau φ com indicador natural n .

Vamos colocar φ 1= φ e φn+1= φn◦ φ , E se n≥ 1 . Assim o movimento φn obtido por n -múltiplo aplicação consistente movimentos φ .

4. Preservação da retilineidade: Pontos situados em uma linha reta, ao se moverem, passam para pontos situados em uma linha reta, e a ordem de sua posição relativa é preservada.

Isso significa que se os pontos UMA ,B ,C deitado em uma linha reta (tais pontos são chamados colineares), vá para os pontos A 1 ,B1 ,C1 , então esses pontos também estão na linha; se ponto B fica entre os pontos UMA e C , então o ponto B1 fica entre os pontos A 1 e C1 .

Doc. Deixe o ponto B Em linha reta CA fica entre os pontos UMA e C . Vamos provar que os pontos A 1 ,B1 ,C1 deite na mesma linha.

Se os pontos A 1 ,B1 ,C1 não estão em uma linha reta, então eles são os vértices de algum triângulo A 1 B 1 C 1 . então A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

Pela definição de movimento, segue que CA <AB +BC .

No entanto, pela propriedade de medir segmentos CA =AB +BC .

Chegamos a uma contradição. Então o ponto B1 fica entre os pontos A 1 e C1 .

Vamos dizer o ponto A 1 fica entre os pontos B1 , e C1 . Então A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , e, portanto AB +CA =BC . Mas isso é contrário à igualdade. AB +BC =CA .

Assim, ponto A 1 não fica entre os pontos B1 , e C1 .

Pode-se provar da mesma forma que o ponto C1 não pode ficar entre pontos A 1 e B1 . Porque de três pontos A 1 ,B1 ,C1 um está entre dois outros, então este ponto só pode ser B1 . O teorema está completamente provado.

Consequência. Ao se mover, uma linha reta é mapeada para uma linha reta, um raio para um raio, um segmento para um segmento e um triângulo para um triângulo igual.

Se denotarmos por X o conjunto de pontos do plano e por φ(X) a imagem do conjunto X sob o movimento de φ, ou seja, o conjunto de todos os pontos da forma φ(x), onde x є X, então podemos dar uma formulação mais correta desta propriedade:

Seja φ um movimento, A, B, C três pontos colineares diferentes.

Então os pontos φ(A), φ(B), φ(C) também são colineares.

Se l é uma linha, então φ(l) também é uma linha.

Se o conjunto X é um raio (segmento, semiplano), então o conjunto φ(X) também é um raio (segmento, semiplano).

5. Ao mover, os ângulos entre as vigas são preservados.

Doc. Deixe ser AB e CA - dois raios emanados de um ponto UMA não está na mesma linha reta. Ao se mover, esses raios se transformam em algumas meias-linhas (raios) A 1 B 1 e A 1 C 1 . Porque movimento preserva distâncias, então triângulos abc e A 1 B 1 C 1 são iguais de acordo com o terceiro critério para a igualdade dos triângulos (se os três lados de um triângulo são respectivamente iguais aos três lados de outro triângulo, então esses triângulos são iguais). Da igualdade dos triângulos segue a igualdade dos ângulos BAC e B 1 A 1 C 1 , que deveria ser provado.

6. Qualquer movimento preserva a co-direção dos raios e a mesma orientação das bandeiras.

Raios l A e Libra chamado co-direcional(orientado de forma semelhante, designação: l A Libra ) se um deles estiver contido no outro, ou se forem combinados por uma transferência paralela. BandeiraF = (π l , l o)é a união do semiplano πl e viga ei.

Ponto O - o início da bandeira, viga ei começando no ponto O - mastro de bandeira πl - semiplano com limite eu .

Doc. Deixe ser φ - Movimento voluntário l A Libra -raios codirecionais com origens em pontos MAS e NO respectivamente. Vamos introduzir a notação: l A1 = φ (l A ), A 1 = φ (MAS ), lB1= φ (Libra ),EM 1 = φ (MAS ).Se os raios l A e Libra estão na mesma linha reta, então, em virtude da codiretividade, um deles está contido no outro. Considerando que l A  Libra , Nós temos φ (l A )  φ (Libra ), ou seja, l A1 lB1 (o símbolo  denota a inclusão ou igualdade de um subconjunto de elementos a um conjunto de elementos). lA, lB mentir em linhas diferentes, então deixe n = (AB ). Então existe tal semiplano n , que lA, lB  n . Daqui φ (l A ),φ (Libra ) φ (n ). Na medida em que φ (n ) é um semiplano e seu contorno contém pontos A 1 e EM 1 , novamente obtemos isso lA, lB co-dirigido.

Vamos aplicar o movimento φ para sinalizadores orientados de forma idêntica F= (π l ,l A ), G= (πm ,m B ). Considere o caso em que os pontos UMA e B partida. Se em linha reta eu e m são diferentes, então a mesma orientação dos sinalizadores significa que (1) l A πm , m A  π'l , ou (2) l A π'm ,m A  πl . Sem perda de generalidade, podemos assumir que a condição (1) é satisfeita. Então φ (l A )  φ (πm ), φ (m A )  φ (π'l ). Isso implica a mesma orientação das bandeiras φ (F ) e φ (G ).Se o direto eu ,m corresponder, então ou F=G ou F = G'. Segue-se que as bandeiras φ (F ) e φ (G ) são igualmente orientados.

Deixe agora pontos UMA e B diferente. Denotado por n linha reta ( AB ). É claro que existem raios codirecionais n / D e nB e meio avião n tal que a bandeira F 1 = (πn, nA ) é co-dirigido com F , e a bandeira G 1 = (π n , n B , ) é co-dirigido com G. Meios φ (F ) e φ (G ) são igualmente orientados.O teorema está provado.

Exemplos de movimento:

1) translação paralela - tal transformação de uma figura na qual todos os pontos da figura se movem na mesma direção pela mesma distância.

2) simetria em relação a uma linha reta (simetria axial ou espelhada). transformação σ figuras F em uma figura F', onde cada um de seus pontos X vai ao ponto X', que é simétrica em relação à linha dada eu, é chamado de transformação de simetria em relação à linha eu. Ao mesmo tempo, os números F e F' chamado de simétrico em relação à linha eu.

3) vire o ponto. Ao virar o avião ρ em torno deste ponto Oé chamado de movimento em que cada raio que emana desse ponto gira no mesmo ângulo α na mesma direção

"Investigação de movimentos planos e algumas de suas propriedades". página 21 de 21

Investigação de movimentos planos

e algumas de suas propriedades

Contente

Da história do desenvolvimento da teoria dos movimentos.

Definição e propriedades dos movimentos.

Congruência de figuras.

Tipos de movimentos.

4.1. Transferência paralela.

4.2. Virar.

4.3. Simetria em relação a uma linha reta.

4.4. Simetria deslizante.

5. Estudo de propriedades especiais de simetria axial.

6. Investigação da possibilidade da existência de outros tipos de movimentos.

7. Teorema da mobilidade. Dois tipos de movimentos.

8. Classificação dos movimentos. Teorema de Chall.

Movimentos como conjunto de transformações geométricas.

Aplicação de movimentos na resolução de problemas.

Literatura.

História do desenvolvimento da teoria dos movimentos.

O primeiro que começou a provar algumas proposições geométricas é considerado o antigo matemático grego Tales de Mileto(625-547 aC). Foi graças a Tales que a geometria começou a se transformar de um conjunto de regras práticas em uma verdadeira ciência. Antes de Tales, as provas simplesmente não existiam!

Como Tales conduziu suas provas? Para isso, ele usou movimentos.

Movimento - esta é uma transformação de figuras, em que as distâncias entre os pontos são preservadas. Se duas figuras são combinadas exatamente umas com as outras por meio do movimento, essas figuras são iguais, iguais.

Foi assim que Tales provou vários dos primeiros teoremas da geometria. Se o plano é girado como um todo rígido em torno de algum ponto O 180º, feixe OA vai para a sua continuação OA ’ . Com tamanha girando (também chamado simetria central centrado O ) cada ponto MAS move-se para um ponto MAS ’ , que O é o ponto médio do segmento AA ’ (Figura 1).

Fig.1 Fig.2

Deixe ser O - vértice comum dos cantos verticais AOB e MAS ’ OV ’ . Mas então fica claro que ao girar 180°, os lados de um dos dois ângulos verticais passarão apenas para os lados do outro, ou seja, estes dois cantos estão alinhados. Isto significa que os ângulos verticais são iguais (Fig. 2).

Provando a igualdade dos ângulos na base de um triângulo isósceles, Tales usou simetria axial : ele combinou as duas metades de um triângulo isósceles dobrando o desenho ao longo da bissetriz do ângulo no vértice (Fig. 3). Da mesma forma, Tales provou que o diâmetro divide o círculo.

Fig.3 Fig.4

Thales aplicado e outro movimento - transferência paralela , em que todos os pontos da figura são deslocados em uma determinada direção pela mesma distância. Com sua ajuda, ele provou o teorema que agora leva seu nome:

se segmentos iguais são colocados de lado em um lado do ângulo e linhas paralelas são desenhadas através das extremidades desses segmentos até que se cruzem com o segundo lado do ângulo, então segmentos iguais também serão obtidos no outro lado do ângulo(Fig. 4).

Nos tempos antigos, a ideia de movimento também foi usada pelos famosos Euclides, o autor de "Beginnings" - um livro que sobreviveu mais de dois milênios. Euclides foi contemporâneo de Ptolomeu I, que governou no Egito, Síria e Macedônia de 305-283 aC.

Os movimentos estavam implicitamente presentes, por exemplo, no raciocínio de Euclides ao provar os sinais de igualdade dos triângulos: "Vamos impor um triângulo a outro de tal maneira". De acordo com Euclides, duas figuras são chamadas iguais se podem ser "combinadas" por todos os seus pontos, ou seja, movendo uma figura como um todo sólido, pode-se sobrepô-la com precisão a uma segunda figura. Para Euclides, o movimento ainda não era um conceito matemático. O sistema de axiomas estabelecido pela primeira vez por ele nos "Princípios" tornou-se a base de uma teoria geométrica chamada geometria euclidiana.

Nos tempos modernos, o desenvolvimento de disciplinas matemáticas continua. A geometria analítica foi criada no século XI. Professor de Matemática na Universidade de Bolonha Boaventura Cavalieri(1598-1647) publica o ensaio "Geometria, enunciada de uma nova forma com a ajuda do contínuo indivisível". Segundo Cavalieri, qualquer figura plana pode ser considerada como um conjunto de linhas paralelas ou "traços" que uma linha deixa ao se mover paralela a si mesma. Da mesma forma, uma ideia é dada sobre os corpos: eles são formados durante o movimento dos planos.

O desenvolvimento posterior da teoria do movimento está associado ao nome do matemático e historiador da ciência francês Michel Chal(1793-1880). Em 1837, publicou a obra "Revisão histórica da origem e desenvolvimento dos métodos geométricos". No processo de sua própria pesquisa geométrica, Schall prova o teorema mais importante:

todo movimento de preservação de orientação de um plano é

translação ou rotação paralela,

qualquer movimento de mudança de orientação de um plano é axial

simetria ou simetria deslizante.

A prova do teorema de Chall está completa no item 8 deste resumo.

Um importante enriquecimento que a geometria deve ao século XIX é a criação da teoria das transformações geométricas, em particular, a teoria matemática dos movimentos (deslocamentos). Por esta altura, havia a necessidade de dar uma classificação de todos os sistemas geométricos existentes. Este problema foi resolvido por um matemático alemão Christian Félix Klein(1849-1925).

Em 1872, assumindo o cargo de professor na Universidade de Erlangen, Klein deu uma palestra sobre "Uma revisão comparativa das mais recentes pesquisas geométricas". A ideia apresentada por ele de repensar toda a geometria com base na teoria dos movimentos foi chamada de "Programa Erlangen".

Segundo Klein, para construir uma geometria específica, você precisa especificar um conjunto de elementos e um grupo de transformações. A tarefa da geometria é estudar aquelas relações entre elementos que permanecem invariantes sob todas as transformações de um determinado grupo. Por exemplo, a geometria de Euclides estuda as propriedades das figuras que permanecem inalteradas durante o movimento. Em outras palavras, se uma figura é obtida de outra por movimento (tais figuras são chamadas de congruentes), então essas figuras têm a mesma propriedades geométricas.

Nesse sentido, os movimentos formam a base da geometria, e os cinco axiomas de congruência são destacados por um grupo independente no sistema de axiomas da geometria moderna. Este sistema de axiomas completo e bastante rigoroso, resumindo todos os estudos anteriores, foi proposto pelo matemático alemão David Gilbert(1862-1943). Seu sistema de vinte axiomas, divididos em cinco grupos, foi publicado pela primeira vez em 1899 no livro "Fundamentos de Geometria".

Em 1909, um matemático alemão Friedrich Schur(1856-1932), seguindo as ideias de Thales e Klein, desenvolveu outro sistema de axiomas da geometria - baseado na consideração dos movimentos. Em seu sistema, em particular, em vez do grupo de axiomas de congruência de Hilbert, um grupo de três axiomas de movimento.

Os tipos e algumas propriedades importantes dos movimentos são discutidos em detalhes neste ensaio, mas podem ser brevemente expressos da seguinte forma: os movimentos formam um grupo que define e determina a geometria euclidiana.

Definição e propriedades dos movimentos.

Deslocando cada ponto desta figura de alguma forma, uma nova figura é obtida. Diz-se que este número é recebido transformação deste. A transformação de uma figura em outra é chamada de movimento se preserva as distâncias entre os pontos, ou seja, traduz quaisquer dois pontos X e S uma forma por ponto X ’ e S ’ outra figura para que XY = X ’S ’.

Definição. Transformação de forma que preserva a distância

entre os pontos é chamado de movimento desta figura.

! Comente: o conceito de movimento na geometria está ligado à ideia usual de deslocamento. Mas se, falando de deslocamento, imaginarmos um processo contínuo, então em geometria apenas as posições inicial e final (imagem) da figura nos importarão. Essa abordagem geométrica difere da física.

Ao mover-se, diferentes pontos correspondem a diferentes imagens, e cada ponto X uma figura é colocada em correspondência com a única ponto X ’ outra figura. Esse tipo de transformação é chamado bijetivo ou bijetivo.

Com relação aos movimentos, em vez do termo "igualdade" de figuras (retas, segmentos, planos, etc.), o termo é usado "congruência" e o símbolo é usado  . O símbolo є é usado para indicar pertencimento. Com isso em mente, podemos dar uma definição mais correta de movimento:

O movimento é uma transformação bijetiva φ do plano π, sob a qual para qualquer

vários pontos X, Y є π a relação XY  φ (X ) φ (S ).

O resultado da execução sucessiva de dois movimentos é chamado composição. Se o movimento for feito primeiro φ , seguido de movimento ψ , então a composição desses movimentos é denotada por ψ ◦ φ .

O exemplo mais simples de movimento é a exibição de identidade (é costume denotar - ε ), em que cada ponto X , pertencente ao plano, este ponto em si é comparado, ou seja. ε (X ) = X .

Vamos considerar algumas propriedades importantes dos movimentos.

C propriedade 1.

Lema 2. 1. Composiçãoφ ◦ ψ dois movimentosψ , φ é um movimento.

Prova.

Deixe a figura F traduzido pelo movimento ψ em uma figura F ', e a figura F ’ é traduzido pelo movimento φ em uma figura F ''. Deixe o ponto X figuras F vai ao ponto X ' formas F ’, e durante o segundo movimento, o ponto X ' formas F ' vai ao ponto X '' figuras F ''. Então a transformação da figura F em uma figura F '', em que um ponto arbitrário X figuras F vai ao ponto X '' figuras F '', preserva a distância entre os pontos e, portanto, também é um movimento.

Observe que a gravação de uma composição sempre começa a partir do último movimento, porque o resultado da composição é a imagem final - ela é colocada de acordo com o original:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C propriedade 2.

Lema 2.2 . Se umφ – movimento, depois transformaçãoφ -1 também é um movimento.

Prova.

Deixe a transformação da forma F em uma figura F ’ traduz os vários pontos da figura F em vários pontos da figura F '. Deixe um ponto arbitrário X figuras F sob esta transformação vai a um ponto X ' formas F ’.

Transformação da forma F ' em uma figura F , em que o ponto X ' vai ao ponto X , é chamado transformação inversa à dada. Para cada movimento φ é possível definir o movimento inverso, que é denotado φ -1 .

Argumentando de forma semelhante à prova da propriedade 1, podemos verificar que uma transformação inversa a um movimento também é um movimento.

É óbvio que a transformação φ -1 satisfaz as igualdades:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , Onde ε é a exibição idêntica.

Propriedade 3 (associatividade de composições).

Lema 2.3. Seja φ 1 , φ 2 , φ 3 - movimentos voluntários. Então φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

O fato de a composição dos movimentos ter a propriedade de associatividade nos permite determinar o grau φ com um indicador natural n .

Vamos colocar φ 1 = φ e φ n+1 = φ n ◦ φ , E se n ≥ 1 . Assim o movimento φ n obtido por n - aplicação sequencial múltipla de movimento φ .

C propriedade 4 (mantendo a retidão).

Teorema 2. 1. Pontos situados na mesma linha reta, ao se mover, passam para pontos,

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Os movimentos preservam as distâncias e, portanto, preservam todas as propriedades geométricas das figuras, pois são determinadas pelas distâncias. Neste ponto, obteremos o máximo propriedades gerais movimentos, citando evidências nos casos em que não são óbvias.

Propriedade 1. Três pontos situados na mesma linha reta, ao se mover, vão em três pontos situados na mesma linha reta, e três pontos não situados na mesma linha reta, em três pontos não situados na mesma linha reta.

Deixe o movimento traduzir pontos em pontos, respectivamente. Então as igualdades valem

Se os pontos A, B, C estão na mesma linha reta, então um deles, por exemplo, o ponto B está entre os outros dois. Neste caso e das igualdades (1) segue que . E esta igualdade significa que o ponto B está entre os pontos A e C. A primeira afirmação está provada. A segunda decorre da primeira e da reversibilidade do movimento (por contradição).

Propriedade 2. Um segmento é transformado em segmento pelo movimento.

Sejam as extremidades do segmento AB associadas pelo movimento f aos pontos A e B. Tome qualquer ponto X do segmento AB. Então, como na prova da propriedade 1, pode-se estabelecer que sua imagem - um ponto está no segmento AB entre os pontos A e B. Além disso, cada ponto

Y do segmento AB é a imagem de algum ponto Y do segmento AB. Ou seja, o ponto Y, que é removido do ponto A a uma distância A Y. Portanto, o segmento AB é transferido por movimento para o segmento AB.

Propriedade 3. Ao se mover, um raio se torna um raio, uma linha reta - em uma linha reta.

Prove essas afirmações você mesmo. Propriedade 4. Um triângulo é convertido em triângulo pelo movimento, um semiplano em semiplano, um plano em um plano, planos paralelos- em planos paralelos.

O triângulo ABC é preenchido com segmentos conectando o vértice A com os pontos X lado oposto BC (Fig. 26.1). O movimento atribuirá ao segmento BC algum segmento BC e ao ponto A - ponto A, não estando na linha BC. A cada segmento AX, este movimento atribuirá um segmento AX, onde o ponto X se encontra em BC. Todos esses segmentos AX preencherão o triângulo ABC.

O triângulo entra nele

Um semiplano pode ser representado como uma união de triângulos em expansão infinita, em que um lado está na fronteira do semiplano

(Fig. 26.2). Portanto, o semiplano passará para o semiplano ao se mover.

Da mesma forma, um plano pode ser representado como uma união de triângulos em expansão infinita (Fig. 26.3). Portanto, ao se mover, um plano é mapeado em um plano.

Como o movimento preserva as distâncias, as distâncias entre as figuras não mudam ao se mover. Disso se segue, em particular, que durante os movimentos planos paralelos passam para planos paralelos.

Propriedade 5. Ao se mover, a imagem de um tetraedro é um tetraedro, a imagem de um meio-espaço é um meio-espaço, a imagem de um espaço é o espaço inteiro.

Tetraedro ABCD é a união de segmentos de linha que ligam o ponto D com todos os pontos possíveis X triângulo ABC(Fig. 26.4). Ao se mover, os segmentos são mapeados para segmentos e, portanto, o tetraedro se transformará em um tetraedro.

Um semi-espaço pode ser representado como uma união de tetraedros em expansão cujas bases estão no plano limite do semi-espaço. Portanto, ao se mover, a imagem de um meio-espaço será um meio-espaço.

O espaço pode ser pensado como uma união de tetraedros em expansão infinita. Portanto, ao se mover, o espaço é mapeado em todo o espaço.

Propriedade 6. Ao mover, os ângulos são preservados, ou seja, cada ângulo é mapeado em um ângulo do mesmo tipo e da mesma magnitude. O mesmo vale para os ângulos diedros.

Ao se mover, um semiplano é mapeado em um semiplano. Como ângulo convexoé a interseção de dois semiplanos, e um ângulo não convexo e um ângulo diedro são a união de semiplanos, então, ao se mover, o ângulo convexo passa para um ângulo convexo e o não convexo

ângulo diedro e ângulo diedro, respectivamente, em um ângulo não convexo e diedro.

Deixe os raios a e b, emanados do ponto O, serem mapeados nos raios a e b, emanados do ponto O. Pegue o triângulo OAB com vértices A no raio a e B no raio b (Fig. 26.5) . Ele aparecerá em triângulo igual BAB com vértices A no raio a e B no raio b. Portanto, os ângulos entre os raios a, b e a, b são iguais. Portanto, ao se mover, as magnitudes dos ângulos são preservadas.

Consequentemente, a perpendicularidade das linhas retas e, portanto, da linha e do plano, é preservada. Lembrando as definições do ângulo entre uma linha reta e um plano e as quantidades ângulo diedro, descobrimos que os valores desses ângulos são preservados.

Propriedade 7. Os movimentos preservam as superfícies e os volumes dos corpos.

De fato, como o movimento preserva a perpendicularidade, o movimento da altura (triângulos, tetraedros, prismas etc.) se traduz em alturas (as imagens desses triângulos, tetraedros, prismas etc.). Nesse caso, os comprimentos dessas alturas serão preservados. Portanto, as áreas dos triângulos e os volumes dos tetraedros são preservados durante os movimentos. Isso significa que tanto as áreas dos polígonos quanto os volumes dos poliedros serão preservados. As áreas das superfícies curvas e os volumes dos corpos limitados por tais superfícies são obtidos limitar transições nas áreas de superfícies poliédricas e volumes de corpos poliédricos. Portanto, eles são preservados durante os movimentos.