Pensamentos inteligentes vêm apenas quando coisas estúpidas já foram feitas.

Somente aqueles que fazem tentativas absurdas podem alcançar o impossível. Albert Einstein

Bons amigos, bons livros e uma consciência adormecida são a vida ideal. Mark Twain

Você não pode voltar no tempo e mudar seu início, mas pode começar agora e mudar seu final.

Após um exame mais detalhado, geralmente fica claro para mim que essas mudanças que parecem vir com o passar do tempo não são, de fato, mudanças: apenas minha visão das coisas muda. (Franz Kafka)

E embora seja grande a tentação de percorrer dois caminhos ao mesmo tempo, não se pode jogar com o mesmo baralho tanto com o diabo quanto com Deus...

Aprecie aqueles com quem você pode ser você mesmo.
Sem máscaras, omissões e ambições.
E cuide deles, eles são enviados a você pelo destino.
Afinal, em sua vida existem apenas alguns deles

Para uma resposta afirmativa, apenas uma palavra é suficiente - “sim”. Todas as outras palavras são inventadas para dizer não. Dom Aminado

Pergunte a uma pessoa: "O que é felicidade?" e você vai descobrir o que ele mais sente falta.

Se você quer entender a vida, então pare de acreditar no que dizem e escrevem, mas observe e sinta. Anton Tchekhov

Não há nada no mundo mais destrutivo, mais insuportável do que a inação e a espera.

Transforme seus sonhos em realidade, trabalhe em ideias. Aqueles que riram de você antes começarão a invejar.

Recordes existem para serem quebrados.

Não perca tempo, invista nele.

A história da humanidade é a história de um número bastante pequeno de pessoas que acreditaram em si mesmas.

Você se esforçou até o limite? Você não vê mais sentido em viver? Então, você já está perto ... Perto da decisão de chegar ao fundo para sair dele e decidir ser feliz para sempre .. Então não tenha medo do fundo - use-o ....

Se você for honesto e franco, as pessoas o enganarão; ainda ser honesto e franco.

Uma pessoa raramente tem sucesso em alguma coisa se sua ocupação não lhe dá alegria. Dale Carnegie

Se pelo menos um ramo florido permanecer em sua alma, um pássaro cantante sempre pousará nele (sabedoria oriental)

Uma das leis da vida diz que assim que uma porta se fecha, outra se abre. Mas todo o problema é que olhamos para a porta trancada e não prestamos atenção na que está aberta. André Gide

Não julgue uma pessoa até falar com ela pessoalmente, porque tudo que você ouve é boato. Michael Jackson.

Primeiro eles te ignoram, depois riem de você, depois brigam com você, então você vence. Mahatma Gandhi

A vida humana é dividida em duas metades: durante a primeira metade eles avançam para a segunda, e durante a segunda voltam para a primeira.

Se você não faz nada sozinho, como pode ser ajudado? Você só pode dirigir um carro em movimento

Tudo será. Somente quando você decidir fazê-lo.

Neste mundo, você pode procurar por tudo, exceto amor e morte... Eles o encontrarão quando chegar a hora.

A satisfação interior, apesar do mundo de sofrimento ao redor, é um bem muito valioso. Sridhar Maharaj

Comece agora a viver a vida que você gostaria de ver no final. Marco Aurélio

Devemos viver cada dia como se fosse o último momento. Não temos um ensaio - temos uma vida. Não começamos a partir de segunda-feira - vivemos hoje.

Cada momento da vida é outra oportunidade.

Um ano depois, você olhará o mundo com outros olhos, e até essa árvore que cresce perto de sua casa parecerá diferente para você.

A felicidade não precisa ser buscada - ela deve ser. Osho

Quase todas as histórias de sucesso que conheço começaram com um homem deitado de costas, derrotado pelo fracasso. Jim Rohn

Toda longa jornada começa com um, o primeiro passo.

Ninguém é melhor do que você. Ninguém é mais inteligente do que você. Eles apenas começaram cedo. Brian Tracy

Quem corre cai. Quem rasteja não cai. Plínio, o Velho

É suficiente apenas entender que você vive no futuro, assim que você se encontra lá.

Eu escolho viver ao invés de existir. James Alan Hetfield

Quando você aprecia o que tem, e não vive em busca de ideais, então você realmente se torna feliz.

Somente aqueles que são piores do que nós pensam mal de nós, e aqueles que são melhores do que nós simplesmente não dependem de nós. Omar Khayyam

Às vezes um telefonema nos separa da felicidade... Uma conversa... Uma confissão...

Ao admitir sua fraqueza, a pessoa se torna forte. Honre Balzac

Aquele que humilha seu espírito é mais forte do que aquele que conquista cidades.

Quando uma oportunidade se apresenta, você deve aproveitá-la. E quando você o pegou, alcançou o sucesso - aproveite. Sinta a alegria. E deixar todo mundo ao redor chupar sua mangueira por serem bodes, quando eles não te deram nem um centavo. E então vá embora. Bonito. E deixar todos em estado de choque.

Nunca se desespere. E se você já caiu em desespero, continue trabalhando em desespero.

Um passo decisivo à frente é o resultado de um bom chute por trás!

Na Rússia, você precisa ser famoso ou rico para ser tratado como qualquer pessoa na Europa é tratada. Konstantin Raikin

Tudo depende da sua atitude. (Chuck Norris)

Nenhum raciocínio pode mostrar a um homem o caminho que ele não quer ver Romain Rolland

O que você acredita se torna o seu mundo. Richard Matheson

É bom onde não estamos. Não estamos mais no passado e, portanto, parece bonito. Anton Tchekhov

Os ricos ficam mais ricos porque aprendem a superar dificuldades financeiras. Eles os veem como uma oportunidade de aprender, crescer, desenvolver e prosperar.

Todo mundo tem seu próprio inferno - não é necessariamente fogo e piche! Nosso inferno é uma vida desperdiçada! Onde os sonhos levam

Não importa o quanto você trabalhe, o principal é o resultado.

Só mãe tem as mãos mais carinhosas, o sorriso mais terno e o coração mais amoroso...

Os vencedores na vida sempre pensam no espírito: eu posso, eu quero, eu. Os perdedores, por outro lado, concentram seus pensamentos dispersos no que poderiam ter, poderiam fazer ou no que não poderiam fazer. Em outras palavras, os vencedores sempre assumem a responsabilidade por si mesmos, e os perdedores culpam as circunstâncias ou outras pessoas por seus fracassos. Denis Waitley.

A vida é uma montanha subindo lentamente, descendo rapidamente. Guy de Maupassant

As pessoas têm tanto medo de dar um passo em direção a uma nova vida que estão prontas para fechar os olhos para tudo o que não lhes convém. Mas é ainda mais assustador: acordar um dia e perceber que nem tudo está certo, errado, errado... Bernard Shaw

Amizade e confiança não podem ser compradas ou vendidas.

Sempre, em cada minuto de sua vida, mesmo quando estiver absolutamente feliz, tenha uma atitude em relação às pessoas ao seu redor: - Em qualquer caso, farei o que quiser, com ou sem você.

No mundo, apenas um pode escolher entre a solidão e a vulgaridade. Arthur Schopenhauer

Basta olhar para as coisas de maneira diferente, e a vida fluirá em uma direção diferente.

O ferro disse ao ímã: acima de tudo eu te odeio porque você atrai, não tendo força suficiente para arrastá-lo! Friedrich Nietzsche

Saiba viver mesmo quando a vida se torna insuportável. N. Ostrovsky

A imagem que você vê em sua mente acabará se tornando sua vida.

“A primeira metade da sua vida você se pergunta do que você é capaz, mas a segunda – e quem precisa disso?”

Nunca é tarde para definir um novo objetivo ou encontrar um novo sonho.

Controle seu destino ou alguém o fará.

ver beleza no feio
ver rios nos riachos...
quem sabe ser feliz durante a semana,
ele realmente é um homem de sorte! E. Asadov

Perguntou-se ao sábio:

Quantos tipos de amizade existem?

Quatro, ele respondeu.
Existem amigos, como comida - todos os dias você precisa deles.
Tem amigos, como remédios, você os procura quando se sente mal.
Há amigos, como uma doença, eles mesmos estão procurando por você.
Mas existem amigos como o ar - eles não são visíveis, mas estão sempre com você.

Eu me tornarei a pessoa que quero ser - se eu acreditar que me tornarei uma. Gandhi

Abra seu coração e ouça o que ele sonha. Siga o seu sonho, porque somente por meio daquele que não se envergonha de si mesmo, a glória do Senhor se manifestará. Paulo Coelho

Ser refutado não é nada a temer; um deve ter medo do outro - ser incompreendido. Emanuel Kant

Seja realista - exija o impossível! Che Guevara

Não adie seus planos se estiver chovendo lá fora.
Não desista dos seus sonhos se as pessoas não acreditarem em você.
Vão contra a natureza, gente. Você é uma pessoa. Você é forte.
E lembre-se - não há metas inatingíveis - há um alto coeficiente de preguiça, falta de engenhosidade e um estoque de desculpas.

Ou você cria o mundo, ou o mundo cria você. Jack Nicholson

Eu adoro quando as pessoas apenas sorriem. Você vai, por exemplo, em um ônibus e vê uma pessoa olhando pela janela ou mandando mensagens de texto e sorrindo. É tão bom para a alma. E eu quero sorrir também.

demonstração Uma sentença declarativa que pode ser considerada verdadeira ou falsa. Em álgebra, declarações simples são associadas a variáveis ​​lógicas (A, B, C, etc.)

variável booleanaé uma declaração simples.
As variáveis ​​booleanas são denotadas por letras latinas maiúsculas e minúsculas (a-z, A-Z) e podem assumir apenas dois valores - 1 se a declaração for verdadeira, ou 0 se a declaração for falsa.

Dizendo exemplo:

Função booleana- esta é uma instrução complexa, obtida como resultado da realização de operações lógicas em instruções simples.

Para a formação de declarações complexas, o método mais comumente usado operações lógicas básicas, expresso usando conectivos lógicos "e", "ou", "não".
Por exemplo,

Muitas pessoas não gostam de clima úmido..

Seja A = "Muitas pessoas gostam de clima úmido." Obtemos uma função lógica F(A) = não A.

Pacotes “NÃO”, “E”, “OU” são substituídos por operações lógicas inversão , conjunção , disjunção . Isso é operações lógicas básicas, que pode ser usado para escrever qualquer expressão lógica.

Fórmula booleana (expressão lógica) - uma fórmula contendo apenas valores lógicos e sinais de operações lógicas. O resultado da avaliação de uma fórmula lógica é VERDADEIRO (1) ou FALSO (0).

O valor de uma função lógica depende dos valores das variáveis ​​lógicas incluídas nela. Portanto, o valor de uma função lógica pode ser determinado usando uma tabela especial ( tabelas verdade), que lista todos os valores possíveis das variáveis ​​booleanas de entrada e seus valores de função correspondentes.

Operações lógicas básicas (básicas):

1. Multiplicação lógica (conjunção), de lat. konjunctio - eu conecto:
Combinando duas (ou várias) instruções em uma usando a união AND;
em linguagens de programação - E.
Notação convencional: /\ , , and, and.
Na álgebra dos conjuntos, as conjunções correspondem à operação de interseção de conjuntos.

Uma conjunção é verdadeira se e somente se todas as afirmações nela contidas forem verdadeiras.

Exemplo:
Considere a declaração composta "2 2 = 4 e 3 3 = 10". Vejamos algumas afirmações simples:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (porque esta é uma afirmação falsa)
Portanto, a função lógica F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (de acordo com a tabela verdade), ou seja, esta afirmação composta é falsa.

2. Adição lógica (disjunção), de lat. disjunctio - distingo:
Combinando duas (ou mais) instruções em uma usando a união OR;
em linguagens de programação - Ou.
Notação: \/, +, ou, ou.
Na álgebra dos conjuntos, a disjunção corresponde à operação de união dos conjuntos.

Uma disjunção é falsa se e somente se todas as afirmações nela contidas forem falsas.

Exemplo:
Considere a declaração composta "2 2 = 4 ou 2 2 = 5". Vamos destacar declarações simples:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (porque esta é uma afirmação verdadeira)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (porque esta é uma afirmação falsa)
Portanto, a função lógica F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (de acordo com a tabela verdade), ou seja, esta afirmação composta é verdadeira.

3. Negação (inversão), de lat. InVersion - eu inverto:

Corresponde à partícula NÃO, as frases são ERRADO, O QUE ou NÃO É VERDADE, O QUE;
em linguagens de programação - Não;
Designação: não A, ¬A, não
Na álgebra dos conjuntos, a negação lógica corresponde à operação de complemento a um conjunto universal.

Inversi i de uma variável booleana é verdadeiro se a própria variável for falsa e, inversamente, o inverso é falso se a variável for verdadeira.

Exemplo:

A \u003d (duas vezes dois são quatro) \u003d 1.

¬A= ( Não é verdade que duas vezes dois é igual a quatro = 0.

Considere a afirmação A: A Lua é o satélite da Terra“; então ¬A será formulado da seguinte forma: “ A lua não é um satélite da terra“.

Considere a afirmação: "Não é verdade que 4 é divisível por 3." Denote por A a afirmação simples "4 é divisível por 3". Então a forma lógica da negação desta afirmação tem a forma ¬A

Prioridade das operações lógicas:

As operações em uma expressão booleana são executadas da esquerda para a direita, incluindo parênteses dentro Next ok:
1. inversão;
2. conjunção;
3. disjunção;
Os parênteses são usados ​​para alterar a ordem especificada das operações lógicas.

Expressões lógicas compostasálgebras proposicionais são chamadas fórmulas.
O valor verdadeiro ou falso de uma fórmula pode ser determinado pelas leis da álgebra da lógica, sem se referir ao significado:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - verdadeiro
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - false

Negação, conjunção, disjunção.

Nosso raciocínio é feito de afirmações. Por exemplo, na conclusão “Alguns pássaros voam; portanto, alguns pássaros voadores" inclui duas declarações diferentes.

Uma declaração é uma formação mais complexa do que um nome. Ao decompor as instruções em partes mais simples, sempre obtemos um ou outro nome. Digamos que a afirmação "O sol é uma estrela" inclui os nomes "Sol" e "estrela" como suas partes.

Uma afirmação é uma frase gramaticalmente correta, tomada em conjunto com o significado (conteúdo) expresso por ela, e que é verdadeiro ou falso.

O conceito de uma declaração é um dos conceitos-chave iniciais da lógica. Como tal, não permite uma definição precisa que seja igualmente aplicável em suas diversas seções. É claro que qualquer afirmação descreve uma determinada situação, afirmando ou negando algo sobre ela, e é verdadeira ou falsa.

Uma afirmação é considerada verdadeira se a descrição dada por ela corresponder à situação real, e falsa se não corresponder a ela. "Verdadeiro" e "falso" são chamados de valores de verdade da proposição.

A partir de declarações individuais de diferentes maneiras, você pode construir novas declarações. Assim, a partir das afirmações “O vento está soprando” e “Está chovendo”, podem ser formadas afirmações mais complexas “O vento está soprando e está chovendo”, “Ou o vento está soprando ou está chovendo”, “Se está está chovendo, o vento está soprando”, etc. Expressões “e”, “ou, ou”, “se, então”, etc., que servem para formar declarações complexas, são chamadas de conectivos lógicos.

Uma instrução é chamada simples se não incluir outras instruções como suas partes.

Uma declaração é complexa se for obtida com a ajuda de conectivos lógicos de outras declarações mais simples.

Essa parte da lógica, que descreve as conexões lógicas de proposições que não dependem da estrutura de proposições simples, é chamada de teoria geral da dedução.

Negação - um conectivo lógico, com a ajuda do qual uma nova declaração é obtida de uma determinada declaração, de modo que, se a declaração original for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Uma afirmação negativa consiste na afirmação original e na negação, geralmente expressa pelas palavras "não", "não é verdade isso". Uma proposição negativa é, portanto, uma proposição composta: inclui como parte uma proposição distinta dela. Por exemplo, a negação da afirmação "10 é um número par" é a afirmação "10 não é um número par" (ou: "Não é verdade que 10 é um número par").

Como resultado da conexão de duas declarações com a ajuda da palavra "e", obtemos uma declaração complexa chamada conjunção. As declarações conectadas dessa maneira são chamadas de membros de uma conjunção. Por exemplo, se as afirmações "Hoje está quente" e "Ontem estava frio" são combinadas desta forma, obtém-se a conjunção "Hoje está quente e ontem estava frio".

Uma conjunção é verdadeira somente se ambas as afirmações nela forem verdadeiras; se pelo menos um de seus termos for falso, então toda a conjunção é falsa.

A definição de uma conjunção, bem como as definições de outros conectivos lógicos que servem para formar enunciados complexos, baseia-se nas seguintes duas suposições:

toda proposição (tanto simples quanto complexa) tem um e apenas um de dois valores de verdade: é verdadeira ou falsa;

o valor de verdade de uma declaração composta depende apenas dos valores de verdade das declarações incluídas nela e da maneira como elas estão logicamente conectadas entre si.

Essas suposições parecem simples. Tendo-os aceitado, entretanto, deve-se descartar a ideia de que, junto com afirmações verdadeiras e falsas, também pode haver afirmações que são indefinidas em termos de seu valor de verdade (como, digamos, “Em cinco anos, neste momento, choverá com trovões” etc.). Também é necessário renunciar ao fato de que o valor de verdade de um enunciado composto também depende da "conexão no significado" dos enunciados que estão sendo combinados.

Na linguagem comum, duas declarações são conectadas pela união "e" quando estão relacionadas em conteúdo ou significado. A natureza dessa conexão não é totalmente clara, mas é claro que não consideraríamos a conjunção "Ele vestiu um casaco e eu fui para a universidade" como uma expressão que faz sentido e pode ser verdadeira ou falsa. Embora as afirmações “2 é um número primo” e “Moscou é uma cidade grande” sejam verdadeiras, também não estamos inclinados a considerar a conjunção “2 é um número primo e Moscou é uma cidade grande” verdadeira, uma vez que seu constituinte declarações não estão relacionadas em significado.

Simplificando o significado da conjunção e de outros conectivos lógicos e, para isso, abandonando o obscuro conceito de "conexão de enunciados pelo sentido", a lógica torna o significado desses conectivos mais amplo e ao mesmo tempo mais claro.

Ao conectar duas declarações com a palavra "ou", obtemos uma disjunção dessas declarações. As declarações que formam uma disjunção são chamadas de membros da disjunção.

A palavra "ou" na linguagem cotidiana tem dois significados diferentes. Às vezes significa "um ou outro, ou ambos", e às vezes "um ou outro, mas não os dois juntos". A afirmação “Esta temporada quero ir à Dama de Espadas ou à Aida” permite a possibilidade de visitar a ópera duas vezes. Na declaração “Ele estuda na Universidade de Moscou ou Leningrado”, entende-se que a pessoa em questão estuda em apenas uma dessas universidades.

O primeiro significado de "ou" é chamado de não exclusivo. Tomada nesse sentido, a disjunção de dois enunciados significa apenas que, de acordo com pelo menos uma dessas afirmações é verdadeira, sejam ambas verdadeiras ou não. Tomada no segundo sentido exclusivo, a disjunção de duas afirmações afirma que uma delas é verdadeira e a outra é falsa.

O símbolo V denotará uma disjunção no sentido não exclusivo, para uma disjunção no sentido exclusivo será utilizado o símbolo V. Tabelas para dois tipos de disjunção mostram que uma disjunção não exclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das afirmações nela contidas é verdadeira, e falsa somente quando ambos os seus membros são falsos; Uma disjunção exclusiva é verdadeira quando apenas um de seus termos é verdadeiro, e é falsa quando ambos os termos são verdadeiros ou ambos são falsos.

Em lógica e matemática, a palavra "ou" é sempre usada em um sentido não exclusivo.

A decomposição de alguma declaração em partes simples e indecomponíveis dá dois tipos de expressões, chamadas símbolos próprios e impróprios. A peculiaridade dos próprios símbolos é que eles têm algum conteúdo, mesmo tomados por eles mesmos. Estes incluem nomes (denotando alguns volumes), não resolvidos (referindo-se a alguma área de objetos), declarações (descrevendo algumas situações e sendo verdadeiras ou falsas). Símbolos impróprios não possuem conteúdo independente, mas em combinação com um ou mais símbolos próprios formam expressões complexas que já possuem conteúdo independente. Símbolos impróprios incluem, em particular, conectivos lógicos usados ​​para formar declarações complexas a partir de simples: "... e ...", "... ou ...", "ou ... ou ..." , “ se..., então...”, “... então e só quando...”, “nem... nem...”, “não... mas...”, “... mas não...”, “não é verdade que...”, etc. A própria palavra, digamos “ou”, não denota nenhum objeto. Mas em combinação com dois símbolos próprios, denotativos, esta palavra dá um novo símbolo denotativo: das duas declarações "Carta recebida" e "Telegrama enviado" - uma nova declaração "Carta recebida ou telegrama enviado".

A tarefa central da lógica é a separação dos esquemas de raciocínio corretos dos incorretos e a sistematização dos primeiros. A correção lógica é determinada pela forma lógica. Para revelá-lo, deve-se abstrair das partes significativas do argumento (símbolos próprios) e focar nos símbolos não próprios que representam essa forma em sua forma mais pura. Daí o interesse da lógica formal por palavras que normalmente não chamam a atenção, como “e”, “ou”, “se, então”, etc.

Uma declaração é uma formação mais complexa do que um nome. Ao decompor as instruções em partes mais simples, sempre obtemos um ou outro nome. Digamos que a afirmação "O sol é uma estrela" inclui os nomes "Sol" e "estrela" como suas partes.

Dizendo - uma frase gramaticalmente correta, tomada em conjunto com o significado (conteúdo) expresso por ela, e que é verdadeiro ou falso.

O conceito de enunciado é um dos conceitos-chave iniciais da lógica moderna. Como tal, não permite uma definição precisa que seja igualmente aplicável em suas diversas seções.

Uma afirmação é considerada verdadeira se a descrição dada por ela corresponder à situação real, e falsa se não corresponder a ela. "Verdadeiro" e "falso" são chamados de "valores-verdade das proposições".

A partir de declarações individuais de diferentes maneiras, você pode construir novas declarações. Por exemplo, a partir das afirmações “O vento está soprando” e “Está chovendo”, afirmações mais complexas podem ser formadas “O vento está soprando e está chovendo”, “Ou o vento está soprando ou está chovendo”, “Se está chovendo, então o vento está soprando”, etc.

A declaração é chamada simples, se não incluir outras declarações como suas partes.

A declaração é chamada complicado se for obtido com a ajuda de conectivos lógicos de outras instruções mais simples.

Vamos considerar as formas mais importantes de construir declarações complexas.

declaração negativa consiste na afirmação original e negação, geralmente expressa pelas palavras "não", "não é verdade que". Uma proposição negativa é, portanto, uma proposição composta: inclui como parte uma proposição distinta dela. Por exemplo, a negação da afirmação "10 é um número par" é a afirmação "10 não é um número par" (ou: "Não é verdade que 10 é um número par").

Vamos denotar as declarações por letras A, B, C,... O significado completo do conceito de negação de um enunciado é dado pela condição: se o enunciado MASé verdadeira, sua negação é falsa, e se MAS falso, sua negação é verdadeira. Por exemplo, como a afirmação "1 é um número inteiro positivo" é verdadeira, sua negação "1 não é um número inteiro positivo" é falsa, e como "1 é um número primo" é falsa, sua negação "1 não é um número primo" " é verdade.

Combinando duas declarações com a palavra "e" dá uma declaração composta chamada conjunção. As declarações conectadas dessa maneira são chamadas de "termos de conjunção".

Por exemplo, se as afirmações "Hoje está quente" e "Ontem estava frio" são combinadas desta forma, obtém-se a conjunção "Hoje está quente e ontem estava frio".

Uma conjunção é verdadeira somente se ambas as afirmações nela forem verdadeiras; se pelo menos um de seus termos for falso, então toda a conjunção é falsa.

Na linguagem comum, duas declarações são conectadas pela união "e" quando estão relacionadas em conteúdo ou significado. A natureza dessa conexão não é totalmente clara, mas é claro que não consideraríamos a conjunção "Ele foi para o casaco e eu fui para a universidade" como uma expressão que faz sentido e pode ser verdadeira ou falsa. Embora as afirmações “2 é um número primo” e “Moscou é uma cidade grande” sejam verdadeiras, também não estamos inclinados a considerar a conjunção “2 é um número primo e Moscou é uma cidade grande” verdadeira, pois os componentes dessas declarações não estão relacionadas em significado. Simplificando o significado da conjunção e de outros conectivos lógicos e para isso, abandonando o vago conceito de "conexão de enunciados por sentido", a lógica torna o significado desses conectivos tanto mais amplo quanto mais específico.

Conectar duas frases com a palavra "ou" dá disjunção Estas declarações. As declarações que formam uma disjunção são chamadas de "membros da disjunção".

A palavra "ou" na linguagem cotidiana tem dois significados diferentes. Às vezes significa "um ou outro, ou ambos", e às vezes "um ou outro, mas não os dois juntos". Por exemplo, a afirmação “Esta temporada eu quero ir para a Dama de Espadas ou para Aida” permite a possibilidade de visitar o honorário duas vezes. Na declaração "Ele estuda em Moscou ou na Universidade de Yaroslavl" entende-se que a pessoa mencionada estuda apenas em uma dessas universidades.

O primeiro sentido de "ou" é chamado não exclusivo. Tomada nesse sentido, a disjunção de duas afirmações significa que pelo menos uma dessas afirmações é verdadeira, sejam ambas verdadeiras ou não. Tirada na segunda exclusivo ou em sentido estrito, a disjunção de duas proposições afirma que uma das proposições é verdadeira e a outra é falsa.

Uma disjunção não exclusiva é verdadeira quando pelo menos uma de suas afirmações é verdadeira, e falsa somente quando ambos os termos são falsos.

Uma disjunção exclusiva é verdadeira quando apenas um de seus termos é verdadeiro, e é falsa quando ambos os termos são verdadeiros ou ambos são falsos.

Em lógica e matemática, a palavra "ou" é quase sempre usada em um sentido não exclusivo.

Afirmação condicional - uma declaração complexa, geralmente formulada usando o link "se..., então..." e estabelecendo aquele evento, estado, etc. é em um sentido ou outro a base ou condição para o outro.

Por exemplo: “Se há fogo, então há fumaça”, “Se um número é divisível por 9, é divisível por 3”, etc.

Uma instrução condicional é composta de duas instruções mais simples. Aquele ao qual a palavra "se" é prefixada é chamado Fundação, ou antecedente(anterior), a declaração que vem depois da palavra "that" é chamada consequência, ou consequente(subseqüente).

Ao afirmar um enunciado condicional, queremos dizer, em primeiro lugar, que não pode acontecer o que é dito em seu fundamento, mas o que é dito na consequência está ausente. Em outras palavras, não pode acontecer que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.

Em termos de uma declaração condicional, os conceitos de uma condição suficiente e necessária são geralmente definidos: um antecedente (base) é uma condição suficiente para um consequente (consequência), e um consequente é uma condição necessária para um antecedente. Por exemplo, a verdade da afirmação condicional "Se a escolha é racional, então a melhor alternativa disponível é escolhida" significa que a racionalidade é uma razão suficiente para escolher a melhor opção disponível, e que escolher tal opção é uma condição necessária para sua racionalidade.

Uma função típica de uma declaração condicional é fundamentar uma declaração referindo-se a outra declaração. Por exemplo, o fato de a prata ser eletricamente condutora pode ser justificado referindo-se ao fato de ser um metal: "Se a prata é um metal, é eletricamente condutora".

A conexão entre o justificador e o justificado (fundamentos e consequências) expressa pela declaração condicional é difícil de caracterizar de uma forma geral, e apenas às vezes a natureza dela é relativamente clara. Essa conexão pode ser, em primeiro lugar, a conexão de consequência lógica que ocorre entre as premissas e a conclusão da conclusão correta (“Se todas as criaturas multicelulares vivas são mortais, e a água-viva é tal criatura, então ela é mortal”); em segundo lugar, pela lei da natureza (“Se o corpo for submetido ao atrito, ele começará a aquecer”); em terceiro lugar, por causalidade (“Se a Lua está no nodo de sua órbita na lua nova, ocorre um eclipse solar”); em quarto lugar, regularidade social, regra, tradição, etc. (“Se a sociedade muda, a pessoa também muda”, “Se o conselho é razoável, deve ser executado”).

A conexão expressa pelo enunciado condicional geralmente está ligada à convicção de que a consequência necessariamente “segue” da razão e que existe alguma lei geral, tendo sido capaz de formular a qual poderíamos deduzir logicamente a consequência da razão.

Por exemplo, a afirmação condicional “Se o bismuto é um metal é plástico”, por assim dizer, implica a lei geral “Aqui os metais são plásticos”, o que torna o consequente desta afirmação uma consequência lógica do seu antecedente.

Tanto na linguagem comum quanto na linguagem da ciência, uma declaração condicional, além da função de justificação, também pode desempenhar várias outras tarefas: formular uma condição que não está relacionada a nenhuma lei ou regra geral implícita (“Se quero, vou cortar meu manto”); corrigir qualquer sequência (“Se o verão passado foi seco, então este ano está chuvoso”); expressar descrença de uma forma peculiar (“Se você resolver este problema, vou provar o último teorema de Fermat”); oposição (“Se o sabugueiro cresce no jardim, então um tio mora em Kiev”), etc. A multiplicidade e heterogeneidade das funções de uma declaração condicional complica significativamente sua análise.

O uso de uma declaração condicional está associado a certos fatores psicológicos. Assim, geralmente formulamos tal afirmação apenas se não sabemos com certeza se seu antecedente e consequente são verdadeiros ou não. Caso contrário, seu uso parece antinatural ("Se o algodão é um metal, é um condutor elétrico").

A declaração condicional encontra uma aplicação muito ampla em todas as áreas do raciocínio. Na lógica, geralmente é representado por declaração implicativa, ou implicações. Ao mesmo tempo, a lógica esclarece, sistematiza e simplifica o uso de “se..., então...”, liberta-o da influência de fatores psicológicos.

A lógica é abstraída, em particular, do fato de que, dependendo do contexto, a conexão entre a razão e a consequência, característica de um enunciado condicional, pode ser expressa usando não apenas “se ..., então ... ”, mas também outros meios linguísticos. Por exemplo, “Como a água é um líquido, ela transfere pressão uniformemente em todas as direções”, “Embora a plasticina não seja um metal, é plástica”, “Se uma árvore fosse um metal, seria eletricamente condutora”, etc. Essas e outras declarações semelhantes são representadas na linguagem da lógica por meio de implicação, embora o uso de “se... então...” nelas não seja inteiramente natural.

Ao afirmar a implicação, afirmamos que não pode acontecer que sua fundação ocorra e sua consequência não exista. Em outras palavras, uma implicação é falsa apenas se a razão for verdadeira e a consequência for falsa.

Essa definição pressupõe, como as definições anteriores de conectivos, que toda proposição é verdadeira ou falsa, e que o valor de verdade de uma proposição composta depende apenas dos valores de verdade de suas proposições componentes e da maneira como elas estão conectadas.

Uma implicação é verdadeira quando tanto sua razão quanto sua consequência são verdadeiras ou falsas; é verdadeira se sua razão for falsa e sua consequência for verdadeira. Somente no quarto caso, quando a razão é verdadeira e a consequência falsa, a implicação é falsa.

A implicação não implica que as declarações MAS e NO de alguma forma relacionados uns aos outros em termos de conteúdo. Em caso de verdade NO dizendo "se MAS, então NO" verdade independentemente de MAS verdadeiro ou falso, e está conectado em significado com NO ou não.

Por exemplo, as seguintes afirmações são consideradas verdadeiras: “Se há vida no Sol, então duas vezes dois é igual a quatro”, “Se o Volga é um lago, então Tóquio é uma grande vila”, etc. A condicional também é verdadeira quando MAS falso, e mais uma vez indiferente, verdadeiro NO ou não, e está relacionado em conteúdo a MAS ou não. As seguintes afirmações são verdadeiras: “Se o Sol é um cubo, então a Terra é um triângulo”, “Se duas vezes dois é igual a cinco, então Tóquio é uma cidade pequena”, etc.

No raciocínio comum, é improvável que todas essas afirmações sejam consideradas significativas, e muito menos verdadeiras.

Embora a implicação seja útil para muitos propósitos, ela não se encaixa no entendimento usual de associação condicional. A implicação cobre muitas características importantes do comportamento lógico da declaração condicional, mas ao mesmo tempo não é uma descrição suficientemente adequada dela.

No último meio século, tentativas vigorosas foram feitas para reformar a teoria da implicação. Ao mesmo tempo, não se tratava de abandonar o conceito de implicação descrito, mas de introduzir, junto com ele, outro conceito que levasse em conta não apenas os valores de verdade dos enunciados, mas também sua conexão no conteúdo.

Intimamente relacionado com a implicação equivalência,às vezes chamado de "dupla implicação".

A equivalência é uma afirmação complexa “L se e somente se B”, formada a partir das afirmações de Lee V e decomposta em duas implicações: “se MAS, então B" e "se B, então MAS". Por exemplo: "Um triângulo é equilátero se e somente se for equiângulo." O termo "equivalência" também denota o vínculo "..., se e somente se ...", com a ajuda do qual essa declaração complexa é formada a partir de duas declarações. Em vez de “se e somente se”, “se e somente se”, “se e somente se”, etc. podem ser usados ​​para este fim.

Se os conectivos lógicos são definidos em termos de verdadeiro e falso, então uma equivalência é verdadeira se e somente se ambas as suas declarações constituintes tiverem o mesmo valor de verdade, ou seja, quando ambos são verdadeiros ou ambos são falsos. Assim, uma equivalência é falsa quando uma das afirmações nela é verdadeira e a outra é falsa.

Frases simples e complexas. Negação de uma declaração

A lógica matemática, cujas bases foram lançadas por G. Leibniz no século XVII, formou-se como disciplina científica apenas em meados do século XIX, graças ao trabalho dos matemáticos J. Boole e O. Morgan, que criaram a álgebra da lógica.

1. Um enunciado é qualquer sentença declarativa que se sabe ser verdadeira ou falsa. As declarações podem ser expressas usando palavras, bem como sinais matemáticos, químicos e outros. aqui estão alguns exemplos:

b) 2+6>8 (declaração falsa),

c) a soma dos números 2 e 6 é maior que o número 8 (falsa afirmação);

d) II + VI > VII (afirmação verdadeira);

e) dentro de nossa Galáxia existem civilizações extraterrestres (esta afirmação é, sem dúvida, verdadeira ou falsa, mas ainda não se sabe qual dessas possibilidades é verdadeira).

É claro que as afirmações b) ec) significam a mesma coisa, mas são expressas de forma diferente. Em geral, escreveremos afirmações como esta: a: (A lua é um satélite da Terra); b:(existe um número real x tal que 2x+5=15); c: (todos os triângulos são isósceles).

Nem toda frase é uma afirmação. Por exemplo, frases exclamativas e interrogativas não são declarações ("De que cor é esta casa?", "Beba suco de tomate!", "Pare!", etc.). Nem são declarações e definições, por exemplo, "Vamos chamar de mediana o segmento que liga o vértice do triângulo com o ponto médio do lado oposto." Aqui apenas o nome de algum objeto é definido. Assim as definições, mas podem ser verdadeiras ou falsas, apenas registram o uso aceito dos termos. As frases "Ele tem olhos cinzas" ou "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" não são declarações - elas não indicam de que tipo de pessoa estão falando ou em que x consideram igualdade. Tais sentenças com um membro desconhecido (variável) são chamadas declarações indefinidas. Observe que a frase "Algumas pessoas têm olhos cinzentos" ou "Para todos x a igualdade x 2 - 4x + 3 = 0" já é uma afirmação (a primeira delas é verdadeira e a segunda é falsa).

2. Uma declaração que pode ser decomposta em partes será chamada de complexa, e uma declaração que não pode ser decomposta mais - simples. Por exemplo, a afirmação "Hoje às 16h eu estava na escola, e às 18h eu fui à pista de patinação" consiste em duas partes "Hoje às 16h eu estava na escola" e "Hoje às 18h eu fui ao pista de patinação ". Ou esta declaração: "a função y \u003d ax 2 + bx + c é contínua e diferenciável para todos os valores X" consiste em duas declarações simples: "A função y = ax 2 + bx + c é contínua para todos os valores de x" e "a função y = ax 2 + bx + c é diferenciável para todos os valores de x".

Assim como outros números podem ser obtidos a partir de números dados usando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, também novas declarações são obtidas de declarações dadas usando operações que têm nomes especiais: conjunção, disjunção, implicação, equivalência, negação. Embora esses nomes pareçam incomuns, eles significam apenas a conhecida conexão de frases individuais com conectivos "e", "ou", "se ... então ...", "se e somente se ...", bem como como a adição das partículas "não" à declaração,

3. A negação de uma proposição a é tal que a é falsa se a for verdadeira e a é verdadeira se a for falsa. A designação a é lida assim: "Não a", ou "Não é verdade que a". Vamos tentar entender essa definição com exemplos. Considere as seguintes afirmações:

a: (Hoje às 12h eu estava na pista de patinação);

b: (Hoje eu estava na pista de patinação não às 12h);

c: (Eu estava na pista de patinação às 12h, hoje não);

d:(Hoje às 12h eu estava na escola);

e: (Hoje estive na pista de patinação às 15h);

f:(Hoje às 12h não estava na pista de patinação);

À primeira vista, todas as proposições b - f negam a proposição a. Mas na verdade não é. Se você ler atentamente o significado da afirmação b, notará que ambas as afirmações a e b podem se revelar falsas ao mesmo tempo - isso será assim se hoje eu não estivesse na pista de patinação. O mesmo se aplica às afirmações a e c, a e a. E as afirmações a e e podem ser verdadeiras (se, por exemplo, eu estava patinando das 11 às 4 da tarde) e ao mesmo tempo falsas (se hoje eu não estava na pista). E somente a proposição f tem a seguinte propriedade: é verdadeira se a proposição a for falsa, e falsa se a proposição a for verdadeira. Portanto, a afirmação f é a negação da afirmação a, ou seja, f = a. A tabela a seguir mostra o relacionamento entre as instruções a e ;

As letras "i" e "l" são abreviações para as palavras "true" e "false", respectivamente. Essas palavras em lógica são chamadas de valores de verdade. A tabela é chamada de tabela verdade.