vezi și Rezolvarea grafică a unei probleme de programare liniară, Forma canonică a problemelor de programare liniară

Sistemul de constrângeri pentru o astfel de problemă constă din inegalități în două variabile:
și funcție obiectivă are forma F = C 1 X + C 2 y, care urmează să fie maximizat.

Să răspundem la întrebarea: ce perechi de numere ( X; y) sunt soluții ale sistemului de inegalități, adică satisfac fiecare dintre inegalități simultan? Cu alte cuvinte, ce înseamnă să rezolvi un sistem grafic?
Mai întâi trebuie să înțelegeți care este soluția unei inegalități liniare cu două necunoscute.
A rezolva o inegalitate liniară cu două necunoscute înseamnă a determina toate perechile de valori ale necunoscutelor pentru care inegalitatea este satisfăcută.
De exemplu, inegalitatea 3 X – 5y≥ 42 satisfac perechile ( X , y): (100, 2); (3, –10), etc. Problema este de a găsi toate astfel de perechi.
Luați în considerare două inegalități: topor + de≤ c, topor + de≥ c. Drept topor + de = cîmparte planul în două semiplane astfel încât coordonatele punctelor unuia dintre ele să satisfacă inegalitatea topor + de >c, iar cealaltă inegalitate topor + +de <c.
Într-adevăr, luați un punct cu coordonate X = X 0; apoi un punct situat pe o linie dreaptă și având o abscisă X 0 , are o ordonată

Lăsați pentru certitudine A<0, b>0, c>0. Toate punctele cu abscisă X 0 mai sus P(de exemplu, punct M), avea y M>y 0 și toate punctele sub punct P, cu abscisă X 0, au yN<y 0 . Pentru că X 0 este un punct arbitrar, atunci vor exista întotdeauna puncte pe o parte a liniei pentru care topor+ de > c, formând un semiplan, iar pe de altă parte, puncte pentru care topor + de< c.

Poza 1

Semnul de inegalitate în semiplan depinde de numere A, b , c.
Acest lucru duce la următoarea metodă solutie grafica sisteme inegalități liniare din două variabile. Pentru a rezolva sistemul, aveți nevoie de:

1. Pentru fiecare inegalitate, scrieți ecuația corespunzătoare inegalității date.
2. Construiți linii care sunt grafice ale funcțiilor date prin ecuații.
3. Pentru fiecare linie dreaptă, determinați semiplanul, care este dat de inegalitatea. Pentru a face acest lucru, luați punct arbitrar, care nu se află pe o linie dreaptă, înlocuiți coordonatele sale în inegalitate. dacă inegalitatea este adevărată, atunci semiplanul care conține punctul ales este soluția inegalității inițiale. Dacă inegalitatea este falsă, atunci semiplanul de pe cealaltă parte a dreptei este mulțimea soluțiilor acestei inegalități.
4. Pentru a rezolva un sistem de inegalități, este necesar să găsiți aria de intersecție a tuturor semiplanurilor care sunt soluția fiecărei inegalități din sistem.

Această zonă se poate dovedi goală, atunci sistemul de inegalități nu are soluții, este inconsecvent. În caz contrar, se spune că sistemul este consistent.
Poate exista un număr finit de soluții și set infinit. Zona poate fi un poligon închis sau poate fi nelimitată.

Să ne uităm la trei exemple relevante.

Exemplul 1. Rezolvați grafic sistemul:
X + y- 1 ≤ 0;
–2X- 2y + 5 ≤ 0.

• se consideră ecuațiile x+y–1=0 și –2x–2y+5=0 corespunzătoare inegalităților;
• să construim drepte date de aceste ecuații.

Figura 2

Să definim semiplanurile date de inegalități. Luați un punct arbitrar, fie (0; 0). Considera X+ y– 1 0, înlocuim punctul (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. prin urmare, în semiplanul în care se află punctul (0; 0), X + y – 1 ≤ 0, adică semiplanul situat sub linia dreaptă este soluția primei inegalități. Înlocuind acest punct (0; 0) în al doilea, obținem: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. în semiplanul în care se află punctul (0; 0), -2 X – 2y+ 5≥ 0 și am fost întrebați unde -2 X – 2y+ 5 ≤ 0, deci, într-un alt semiplan - în cel de deasupra dreptei.
Găsiți intersecția acestor două semiplane. Dreptele sunt paralele, deci planele nu se intersectează nicăieri, ceea ce înseamnă că sistemul acestor inegalități nu are soluții, este inconsecvent.

Exemplul 2. Găsiți grafic soluții ale sistemului de inegalități:

Figura 3
1. Notați ecuațiile corespunzătoare inegalităților și construiți drepte.
X + 2y– 2 = 0

X	2	0
y	0	1

y – X – 1 = 0

X	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. După ce am ales punctul (0; 0), determinăm semnele inegalităților în semiplanuri:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, adică. X + 2y– 2 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, adică y –X– 1 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 + 2 =2 ≥ 0, adică y+ 2 ≥ 0 în semiplanul de deasupra dreptei.
3. Intersecția acestor trei semiplane va fi o zonă care este un triunghi. Nu este dificil să găsiți vârfurile regiunii ca puncte de intersecție ale dreptelor corespunzătoare


În acest fel, DAR(–3; –2), LA(0; 1), DIN(6; –2).

Să luăm în considerare încă un exemplu, în care domeniul rezultat al soluției sistemului nu este limitat.

În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților. Să vorbim clar despre cum să construim o soluție la inegalități cu exemple clare!

Înainte de a lua în considerare soluția inegalităților cu exemple, să ne ocupăm de conceptele de bază.

Introducere în inegalități

inegalitate se numește expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație >, . Inegalitățile pot fi atât numerice, cât și alfabetice.
Inegalitățile cu două semne de relație se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Inegalitățile care conțin semnul > sau sau nu sunt stricte.
Soluția inegalității este orice valoare a variabilei pentru care această inegalitate este adevărată.
"Rezolvați inegalitatea" înseamnă că trebuie să găsiți setul tuturor soluțiilor sale. Există diverse metode de rezolvare a inegalităților. Pentru soluții pentru inegalități utilizați o dreaptă numerică care este infinită. De exemplu, rezolvarea inegalitatii x > 3 este un interval de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, deci punctul de pe linie este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă.
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x=3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna evidențiat paranteze. Semnul înseamnă „apartenere”.
Luați în considerare cum să rezolvați inegalitățile folosind un alt exemplu cu semnul:
x2
-+
Valoarea x=2 este inclusă în setul de soluții, astfel încât paranteza pătrată și punctul de pe linie sunt notate cu un cerc umplut.
Răspunsul va fi: x .

Următoarele sunt rezolvate în același mod. sisteme de inegalităţi.

Sistemul inegalităților Se obișnuiește să se numească orice set de două sau mai multe inegalități care conțin o cantitate necunoscută.

Această formulare este ilustrată în mod clar, de exemplu, de astfel sisteme de inegalităţi:

Rezolvați sistemul de inegalități - înseamnă a găsi toate valorile unei variabile necunoscute pentru care se realizează fiecare inegalitate a sistemului sau a demonstra că nu există astfel de .

Deci, pentru fiecare individ inegalități de sistem calculați variabila necunoscută. În plus, din valorile rezultate, le selectează numai pe cele care sunt adevărate atât pentru prima cât și pentru a doua inegalități. Prin urmare, la înlocuirea valorii alese, ambele inegalități ale sistemului devin corecte.

Să analizăm soluția mai multor inegalități:

Plasați unul sub cealaltă pereche de linii numerice; pune valoarea pe partea de sus X, sub care prima inegalitate o ( X> 1) devin adevărate, iar în partea de jos, valoarea X, care sunt soluția celei de-a doua inegalități ( X> 4).

Prin compararea datelor de pe linii numerice, rețineți că soluția pentru ambele inegalităților va fi X> 4. Răspunde, X> 4.

Exemplul 2

Calculând primul inegalitate obținem -3 X< -6, или X> 2, al doilea - X> -8 sau X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, sub care primul inegalitatea sistemului, iar pe linia numerică inferioară, toate acele valori X, sub care se realizează a doua inegalitate a sistemului.

Comparând datele, constatăm că ambele inegalităților va fi implementat pentru toate valorile X plasat de la 2 la 8. Seturi de valori X denota dubla inegalitate 2 < X< 8.

Exemplul 3 Sa gasim