Definiție. Produsul vectorial al unui vector a (multiplicator) cu un vector (multiplicator) care nu este coliniar cu acesta este al treilea vector c (produs), care este construit după cum urmează:

1) modulul său este numeric egal cu suprafata paralelogramul din fig. 155), construit pe vectori, adică este egal cu direcția perpendiculară pe planul paralelogramului menționat;

3) în acest caz, se alege direcția vectorului c (dintre două posibile) astfel încât vectorii c să formeze un sistem de dreapta (§ 110).

Denumire: sau

Addendum la definiție. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci luând în considerare figura ca un paralelogram (condițional), este firesc să atribuiți o zonă zero. Prin urmare, produsul vectorial al vectorilor coliniari este considerat egal cu vectorul nul.

Deoarece vectorului nul i se poate atribui orice direcție, această convenție nu contrazice elementele 2 și 3 ale definiției.

Observație 1. În termenul „produs vectorial”, primul cuvânt indică faptul că rezultatul acțiunii este un vector (spre deosebire de produs punctual; cf. § 104, remarca 1).

Exemplul 1. Găsiți produsul vectorial în care vectorii principali ai sistemului de coordonate drept (Fig. 156).

1. Deoarece lungimile vectorilor principali sunt egale cu unitatea de scară, aria paralelogramului (pătratului) este numeric egală cu unu. Prin urmare, modulul produsului vectorial este egal cu unu.

2. Deoarece perpendiculara pe plan este axa, produsul vectorial dorit este un vector, vector coliniar la; și deoarece ambele au modulul 1, produsul încrucișat necesar este fie k, fie -k.

3. Dintre acești doi vectori posibili trebuie ales primul, întrucât vectorii k formează un sistem drept (iar vectorii formează unul stâng).

Exemplul 2. Găsiți produsul încrucișat

Decizie. Ca și în exemplul 1, concluzionăm că vectorul este fie k, fie -k. Dar acum trebuie să alegem -k, deoarece vectorii formează sistemul corect (și vectorii formează cel stâng). Asa de,

Exemplul 3 Vectorii au lungimi de 80, respectiv 50 cm și formează un unghi de 30°. Luând un metru ca unitate de lungime, găsiți lungimea produsului vectorial a

Decizie. Aria unui paralelogram construit pe vectori este egală cu Lungimea produsului vectorial dorit este egală cu

Exemplul 4. Aflați lungimea produsului încrucișat al acelorași vectori, luând un centimetru ca unitate de lungime.

Decizie. Deoarece aria paralelogramului construit pe vectori este egală cu lungimea produsului vectorial este de 2000 cm, i.e.

Compararea exemplelor 3 și 4 arată că lungimea vectorului depinde nu numai de lungimile factorilor, ci și de alegerea unității de lungime.

Semnificația fizică a produsului vectorial. Dintre numeroși mărimi fizice, reprezentată printr-un produs vectorial, se consideră doar momentul forței.

Fie A punctul de aplicare al forței.Momentul forței relativ la punctul O se numește produs vectorial.Deoarece modulul acestui produs vectorial este numeric egal cu aria paralelogramului (Fig. 157), modulul momentului este egal cu produsul bazei cu înălțimea, adică forța înmulțită cu distanța de la punctul O până la dreapta de-a lungul căreia acționează forța.

În mecanică se demonstrează că pentru echilibru corp solid este necesar ca nu numai suma vectorilor reprezentând forțele aplicate corpului să fie egală cu zero, ci și suma momentelor forțelor. În cazul în care toate forțele sunt paralele cu același plan, adunarea vectorilor reprezentând momentele poate fi înlocuită cu adunarea și scăderea modulelor acestora. Dar pentru direcțiile arbitrare ale forțelor, o astfel de înlocuire este imposibilă. În conformitate cu aceasta, produsul încrucișat este definit exact ca un vector, și nu ca un număr.

7.1. Definiţia cross product

Trei vectori necoplanari a , b și c , luați în ordinea indicată, formează un triplu drept dacă de la sfârșitul celui de-al treilea vector c se vede cea mai scurtă rotație de la primul vector a la al doilea vector b în sens invers acelor de ceasornic și unul stâng dacă în sensul acelor de ceasornic (vezi Fig. 16).

Produsul vectorial al unui vector a și al vectorului b se numește vector c, care:

1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c ^ a și c ^ b;

2. Are o lungime egală numeric cu aria paralelogramului construit pe vectorii a șib ca pe laterale (vezi fig. 17), i.e.

3. Vectorii a , b și c formează un triplu drept.

produs vectorial notată a x b sau [a,b]. Din definiția unui produs vectorial, următoarele relații între ortele pe care le urmez direct, jși k(vezi fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Să demonstrăm, de exemplu, că i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, dar | eu x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vectorii i , j și k formează un triplu drept (vezi Fig. 16).

7.2. Proprietăți încrucișate ale produsului

1. Când factorii sunt rearanjați, produsul vectorial își schimbă semnul, adică. și xb \u003d (b xa) (a se vedea Fig. 19).

Vectorii a xb și b xa sunt coliniari, au aceleași module (aria paralelogramului rămâne neschimbată), dar sunt direcționați opus (triplii a, b și xb și a, b, b x a de orientare opusă). Acesta este axb = -(bxa).

2. Produsul vectorial are Proprietate asociativăîn raport cu un factor scalar, adică l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Fie l >0. Vectorul l (a xb) este perpendicular pe vectorii a și b. Vector ( l a) x b este de asemenea perpendiculară pe vectorii a şi b(vectorii a, l dar se află în același plan). Deci vectorii l(a xb) și ( l a) x b coliniare. Este evident că direcțiile lor coincid. Au aceeasi lungime:

Asa de l(a xb)= l un xb. Se dovedește în mod similar pentru l<0.

3. Doi vectori nenuli a și b sunt coliniare dacă și numai dacă produsul lor vectorial este egal cu vectorul zero, adică și ||b<=>și xb \u003d 0.

În special, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produsul vectorial are o proprietate de distribuție:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Accept fara dovezi.

7.3. Expresia încrucișată a produsului în termeni de coordonate

Vom folosi tabelul de produse vectoriale încrucișate i, jși k:

dacă direcția drumului cel mai scurt de la primul vector la al doilea coincide cu direcția săgeții, atunci produsul este egal cu al treilea vector, dacă nu se potrivește, al treilea vector este luat cu semnul minus.

Fie doi vectori a =a x i +a y j+az kși b=bx i+de către j+bz k. Să găsim produsul vectorial al acestor vectori înmulțindu-i ca polinoame (în funcție de proprietățile produsului vectorial):

Formula rezultată poate fi scrisă și mai scurt:

întrucât partea dreaptă a egalității (7.1) corespunde expansiunii determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele din primul rând.Egalitatea (7.2) este ușor de reținut.

7.4. Unele aplicații ale produsului încrucișat

Stabilirea coliniarității vectorilor

Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi

Conform definiției produsului încrucișat al vectorilor Ași b |a xb | =| a | * |b |sin g , adică S par = |a x b |. Și, prin urmare, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Determinarea momentului de forță în jurul unui punct

Să fie aplicată o forță în punctul A F =AB lăsați-l să plece O- un punct din spațiu (vezi Fig. 20).

Din fizică se știe că cuplu F relativ la punct O numit vector M, care trece prin punct Oși:

1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;

2) egal numeric cu produsul dintre forță și umăr

3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B .

Prin urmare, M \u003d OA x F.

Aflarea vitezei liniare de rotație

Viteză v punctul M al unui corp rigid care se rotește cu o viteză unghiulară wîn jurul unei axe fixe, este determinată de formula Euler v \u003d w x r, unde r \u003d OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).

În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorși produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar și vor fi mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este să nu greșești CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice

Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei bile. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja mai ușor!

În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, între paranteze drepte cu cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literaturi educaționale, denumirile pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!

Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Reamintim una dintre formulele geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este de așa natură încât, în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Obținem a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii , adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca urmare deget mare- produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate ai o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produs vectorial al vectorilor coliniari

Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci . Strict vorbind, produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este pur și simplu egal cu zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector și însuși:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice, poate fi necesar tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să pornim un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Decizie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) După condiţie se cere să se constate pătrat paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să fie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va fi returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o problemă deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important în termeni practici. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discuta si proprietatea, uneori se numeste anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?

4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Decizie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.

(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

E timpul să aruncăm lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Decizie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula . Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!

(1) Înlocuim expresii ale vectorilor .

(2) Folosind legi distributive, deschideți parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului dorit:

Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, dat în baza ortonormală , se exprimă prin formula:

Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia superioară a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor în a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Decizie: Testul se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Deci vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Aici, probabil, sunt toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometric și câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:

Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.

În primul rând, definiția și imaginea:

Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată:

Să ne aruncăm în definiție:

2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca faptul evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

A-prioriu produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. În termeni simpli, produsul mixt poate fi negativ: .

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.

În acest articol, ne vom opri asupra conceptului de produs încrucișat a doi vectori. Vom da definițiile necesare, vom scrie o formulă pentru găsirea coordonatelor unui produs vectorial, vom enumera și vom justifica proprietățile acestuia. După aceea, ne vom opri asupra semnificației geometrice a produsului încrucișat a doi vectori și vom lua în considerare soluțiile diferitelor exemple tipice.

Navigare în pagină.

Definiția unui produs vectorial.

Înainte de a da o definiție a unui produs încrucișat, să ne ocupăm de orientarea unui triplu ordonat de vectori în spațiul tridimensional.

Să amânăm vectorii dintr-un punct. În funcție de direcția vectorului, triplul poate fi la dreapta sau la stânga. Să vedem de la sfârșitul vectorului cum cea mai scurtă viraj de la vector la . Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci se numește triplul vectorilor dreapta, in caz contrar - stânga.

Acum să luăm doi vectori necoliniari și . Lăsați vectorii deoparte și din punctul A. Să construim un vector care este perpendicular pe și și în același timp. Evident, atunci când construim un vector, putem face două lucruri, oferindu-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

În funcție de direcția vectorului, triplul ordonat al vectorilor poate fi dreapta sau stânga.

Deci ne-am apropiat de definiția unui produs vectorial. Este dat pentru doi vectori dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiție.

Produs vectorial al doi vectoriși , dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se numește vector astfel încât

Produsul încrucișat al vectorilor și este notat ca .

Coordonatele produsului vectorial.

Acum dăm a doua definiție a unui produs vectorial, care ne permite să găsim coordonatele acestuia din coordonatele vectorilor dați și.

Definiție.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs încrucișat a doi vectori și este un vector, unde sunt vectori de coordonate.

Această definiție ne oferă produsul încrucișat sub formă de coordonate.

Produsul vectorial este reprezentat în mod convenabil ca un determinant al unei matrice pătrate de ordinul al treilea, al cărui prim rând este ortele, al doilea rând conține coordonatele vectorului, iar al treilea rând conține coordonatele vectorului într-un anumit rând. sistem de coordonate dreptunghiular:

Dacă extindem acest determinant cu elementele primului rând, atunci obținem egalitate din definiția produsului vectorial în coordonate (dacă este necesar, consultați articolul):

Trebuie remarcat faptul că forma coordonată a produsului încrucișat este pe deplin conformă cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. În plus, aceste două definiții ale unui produs încrucișat sunt echivalente. Dovada acestui fapt poate fi găsită în cartea indicată la finalul articolului.

Proprietățile produsului vectorial.

Deoarece produsul vectorial în coordonate poate fi reprezentat ca determinant al matricei , următoarele pot fi fundamentate cu ușurință pe baza proprietățile produsului vectorial:

Ca exemplu, să demonstrăm proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.

A-prioriu și . Știm că valoarea determinantului unei matrice este inversată atunci când două rânduri sunt schimbate, deci, , care demonstrează proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial.

Produs vectorial - exemple și soluții.

Practic, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, sunt date lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei și este necesar să se găsească lungimea produsului încrucișat. În acest caz, se utilizează formula .

Exemplu.

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor și dacă este cunoscută .

Decizie.

Știm din definiție că lungimea produsului încrucișat al vectorilor și este egală cu produsul lungimilor vectorilor și multiplicat cu sinusul unghiului dintre ei, prin urmare, .

Răspuns:

.

Sarcinile de al doilea tip sunt asociate cu coordonatele vectorilor, în care produsul vectorial, lungimea acestuia sau altceva este căutat prin coordonatele vectorilor dați. și .

Există multe opțiuni diferite disponibile aici. De exemplu, nu coordonatele vectorilor și , ci expansiunile lor în vectori de coordonate ai formei și , sau vectori și pot fi specificate prin coordonatele punctelor lor de început și de sfârșit.

Să luăm în considerare exemplele tipice.

Exemplu.

Doi vectori sunt dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular . Găsiți produsul lor vectorial.

Decizie.

Conform celei de-a doua definiții, produsul încrucișat al doi vectori în coordonate se scrie astfel:

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi scris produsul vectorial prin determinant

Răspuns:

.

Exemplu.

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor și , unde sunt ortele sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Decizie.

Mai întâi, găsiți coordonatele produsului vectorial într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat.

Deoarece vectorii și au coordonatele și respectiv (dacă este necesar, vezi coordonatele articolului unui vector într-un sistem de coordonate dreptunghiulare), atunci prin a doua definiție a unui produs încrucișat avem

Adică produsul vectorial are coordonate în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea unui produs vectorial ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale (am obținut această formulă pentru lungimea unui vector în secțiunea privind găsirea lungimii unui vector):

Răspuns:

.

Exemplu.

Coordonatele a trei puncte sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector care este perpendicular pe și în același timp.

Decizie.

Vectori și au coordonatele și, respectiv (vezi articolul găsirea coordonatelor unui vector prin coordonatele punctelor). Dacă găsim produsul încrucișat al vectorilor și , atunci prin definiție este un vector perpendicular atât pe cât și pe, adică este soluția problemei noastre. Să-l găsim

Răspuns:

este unul dintre vectorii perpendiculari.

În sarcinile de al treilea tip, se verifică abilitățile de utilizare a proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea proprietăților, se aplică formulele corespunzătoare.

Exemplu.

Vectorii și sunt perpendiculari, iar lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului vectorial .

Decizie.

Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie

În virtutea proprietății asociative, scoatem coeficienții numerici pentru semnul produselor vectoriale din ultima expresie:

Produse vectoriale și sunt egale cu zero, deoarece și , apoi .

Deoarece produsul vectorial este anticomutativ, atunci .

Deci, folosind proprietățile produsului vectorial, am ajuns la egalitate .

Prin condiție, vectorii și sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu . Adică avem toate datele pentru a găsi lungimea necesară

Răspuns:

.

Sensul geometric al produsului vectorial.

Prin definiție, lungimea produsului încrucișat al vectorilor este . Și de la cursul de geometrie de liceu, știm că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi ale triunghiului și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, lungimea produsului încrucișat este egală cu dublul aria unui triunghi cu laturile vectorilor și , dacă sunt deoparte dintr-un punct. Cu alte cuvinte, lungimea produsului încrucișat al vectorilor și este egală cu aria unui paralelogram cu laturile și și un unghi între ele egal cu . Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.

Vector unitar- Acest vector, a cărui valoare absolută (modul) este egală cu unu. Pentru a desemna un vector unitar, vom folosi indicele e. Deci, dacă este dat un vector A, atunci vectorul său unitar va fi vectorul A e. Acest vector unitar indică în aceeași direcție cu vectorul însuși A, iar modulul său este egal cu unu, adică a e \u003d 1.

Evident, A= a A e (a - modulul vectorial A). Aceasta rezultă din regula prin care se realizează operația de înmulțire a unui scalar cu un vector.

Vectori unitari adesea asociat cu axele de coordonate ale sistemului de coordonate (în special, cu axele sistemului de coordonate carteziene). Direcții ale acestora vectori coincid cu direcțiile axelor corespunzătoare, iar originile lor sunt adesea combinate cu originea sistemului de coordonate.

Lasă-mă să-ți amintesc asta Sistemul de coordonate cartezieneîn spațiu se numește în mod tradițional un triplu de axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct numit origine. Axele de coordonate sunt de obicei notate cu literele X, Y, Z și sunt numite axa absciselor, axa ordonatelor și, respectiv, axa aplicată. Descartes însuși a folosit o singură axă, pe care au fost trasate abscisele. meritul de utilizare sisteme topoarele aparține elevilor săi. Prin urmare sintagma Sistemul de coordonate carteziene greșit din punct de vedere istoric. Mai bine vorbim dreptunghiular sistem de coordonate sau sistem de coordonate ortogonal. Cu toate acestea, nu vom schimba tradițiile și în viitor vom presupune că sistemele de coordonate carteziene și dreptunghiulare (ortogonale) sunt unul și același.

Vector unitar, îndreptată de-a lungul axei X, se notează i, vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Y, se notează j, A vector unitar, îndreptat de-a lungul axei Z, este notat k. Vectori i, j, k numit orts(Fig. 12, stânga), au module unice, adică
i = 1, j = 1, k = 1.

topoare şi orts sistem de coordonate dreptunghiularîn unele cazuri au alte denumiri şi denumiri. Deci, axa de abscisă X poate fi numită axa tangentă, iar vectorul său unitar este notat τ (litera greacă mică tau), axa y este axa normală, vectorul său unitar este notat n, axa aplicată este axa binormalului, vectorul său unitar este notat b. De ce să schimbi numele dacă esența rămâne aceeași?

Faptul este că, de exemplu, în mecanică, atunci când se studiază mișcarea corpurilor, se folosește foarte des un sistem de coordonate dreptunghiulare. Deci, dacă sistemul de coordonate în sine este nemișcat, iar modificarea coordonatelor unui obiect în mișcare este urmărită în acest sistem nemișcat, atunci de obicei axele indică X, Y, Z și lor. orts respectiv i, j, k.

Dar adesea, atunci când un obiect se mișcă de-a lungul unui fel de traiectorie curbilinie (de exemplu, de-a lungul unui cerc), este mai convenabil să luăm în considerare procesele mecanice într-un sistem de coordonate care se mișcă cu acest obiect. Pentru un astfel de sistem de coordonate în mișcare sunt utilizate alte nume ale axelor și ale vectorilor lor unitari. Este doar acceptat. În acest caz, axa X este direcționată tangențial la traiectoria în punctul în care se află în prezent acest obiect. Și atunci această axă nu se mai numește axa X, ci axa tangentă, iar vectorul ei unitar nu mai este notat i, A τ . Axa Y este îndreptată de-a lungul razei de curbură a traiectoriei (în cazul mișcării într-un cerc - spre centrul cercului). Și întrucât raza este perpendiculară pe tangente, axa se numește axa normalei (perpendiculară și normală sunt același lucru). Ortul acestei axe nu mai este notat j, A n. A treia axă (fostul Z) este perpendiculară pe cele două anterioare. Acesta este un binormal cu un vector b(Fig. 12, dreapta). Apropo, în acest caz sistem de coordonate dreptunghiular adesea denumite „naturale” sau naturale.