Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării triplului ordonat al vectorilor a → , b → , c → în spațiul tridimensional.
Pentru început, să lăsăm deoparte vectorii a → , b → , c → dintr-un punct. Orientarea triplei a → , b → , c → este dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → . Din direcția în care se face cea mai scurtă întoarcere de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → , se va determina forma triplul a → , b → , c →.
Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci triplul vectorilor a → , b → , c → se numește dreapta dacă în sensul acelor de ceasornic - stânga.
În continuare, luăm doi vectori necoliniari a → și b → . Să amânăm atunci vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Să construim un vector A D → = c → , care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C → . Astfel, atunci când construim vectorul A D → = c →, putem face două lucruri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).
Trio-ul ordonat de vectori a → , b → , c → poate fi, după cum am aflat, dreapta sau stânga în funcție de direcția vectorului.
Din cele de mai sus, putem introduce definiția unui produs vectorial. Această definiție dat pentru doi vectori definiți în sistem dreptunghiular coordonate spatiu tridimensional.
Definiția 1
Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:
- dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
- va fi perpendicular atât pe vectorul a → cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- lungimea sa este determinată de formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
- tripletul vectorilor a → , b → , c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.
produs vectorial vectorii a → și b → are următoarea notație: a → × b → .
Coordonatele încrucișate ale produsului
Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, este posibil să introduceți o a doua definiție a produsului încrucișat, care vă va permite să găsiți coordonatele sale din coordonatele date ale vectorilor.
Definiția 2
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) numiți vectorul c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , unde i → , j → , k → sunt vectori de coordonate.
Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant matrice pătrată de ordinul trei, unde prima linie sunt vectorii i → , j → , k → , a doua linie conține coordonatele vectorului a → , iar a treia linie conține coordonatele vectorului b → într-o coordonată dreptunghiulară dată sistem, acest determinant de matrice arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Expandând acest determinant peste elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Proprietăți încrucișate ale produsului
Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , apoi pe bază proprietățile determinante ale matricei următoarele proprietăți ale produsului vectorial:
- anticomutatie a → × b → = - b → × a → ;
- distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b → , unde λ este un număr real arbitrar.
Aceste proprietăți nu au dovezi complicate.
De exemplu, putem demonstra proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.
Dovada anticomutativității
Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă două rânduri ale matricei sunt schimbate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , care și demonstrează anticomutativitatea produsului vectorial.
Produs vectorial - Exemple și soluții
În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de sarcini.
În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date, dar trebuie să găsiți lungimea produsului încrucișat. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → b → sin ∠ a → , b → .
Exemplul 1
Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor a → și b → dacă a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 este cunoscută.
Decizie
Folosind definiția lungimii produsului vectorial al vectorilor a → și b → rezolvăm aceasta sarcina: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .
Răspuns: 15 2 2 .
Sarcinile de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, conțin un produs vectorial, lungimea acestuia etc. căutat prin coordonate cunoscute vectori dați a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) .
Pentru acest tip de sarcină, puteți rezolva o mulțime de opțiuni pentru sarcini. De exemplu, nu coordonatele vectorilor a → și b → , ci expansiunile lor în termeni de vectori de coordonate drăguț b → = b x i → + b y j → + b z k → și c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , sau vectorii a → și b → pot fi dați de coordonatele lor puncte de început și de sfârșit.
Luați în considerare următoarele exemple.
Exemplul 2
Doi vectori sunt stabiliți într-un sistem de coordonate dreptunghiular a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Găsiți produsul lor vectorial.
Decizie
Prin a doua definiție, găsim produsul vectorial al doi vectori în coordonate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + (( - 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Dacă scriem produsul încrucișat în termenii determinantului matricei, atunci soluția acest exemplu arată astfel: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Exemplul 3
Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor i → - j → și i → + j → + k → , unde i → , j → , k → - orte ale unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.
Decizie
Mai întâi, să găsim coordonatele produsului vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → în sistemul de coordonate dreptunghiular dat.
Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1 ; - 1 ; 0) și respectiv (1 ; 1 ; 1). Aflați lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1 ; - 1 ; 2) în sistemul de coordonate dat.
Găsim lungimea produsului vectorial prin formula (vezi secțiunea privind găsirea lungimii vectorului): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .
Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Exemplul 4
Într-un dreptunghi Sistemul cartezian coordonatele sunt coordonatele a trei puncte A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.
Decizie
Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și respectiv (0 ; 4 ; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C → , este evident că acesta este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C → , adică este soluția problemei noastre. Găsiți-l A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k → . este unul dintre vectorii perpendiculari.
Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea căruia, vom obține o soluție la problema dată.
Exemplul 5
Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și respectiv 4. Aflați lungimea produsului încrucișat 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .
Decizie
Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Prin proprietatea asociativității, scoatem coeficienții numerici dincolo de semnul produselor vectoriale din ultima expresie: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt egale cu 0, deoarece a → × a → = a → a → sin 0 = 0 și b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , atunci 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .
Din anticomutativitatea produsului vectorial rezultă - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .
Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
Prin condiție, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu π 2 . Acum rămâne doar să înlocuim valorile găsite în formulele corespunzătoare: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.
Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .
Lungimea produsului încrucișat al vectorilor prin definiție este a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Deoarece este deja cunoscut (de la curs şcolar) că aria unui triunghi este jumătate din produsul lungimilor celor două laturi ale sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre laturile date. Prin urmare, lungimea produsului vectorial este egală cu aria unui paralelogram - un triunghi dublat, și anume produsul laturilor sub formă de vectori a → și b → , îndepărtați dintr-un punct, de sinus. a unghiului dintre ele sin ∠ a → , b → .
Asta e sens geometric produs vectorial.
Semnificația fizică a produsului vectorial
În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct din spațiu.
Definiția 3
Sub momentul forței F → , aplicat punctului B , relativ la punctul A vom înțelege următorul produs vectorial A B → × F → .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
7.1. Definiţia cross product
Trei vectori necoplanari a , b și c , luați în ordinea indicată, formează un triplu drept dacă de la sfârșitul celui de-al treilea vector c se vede cea mai scurtă rotație de la primul vector a la al doilea vector b în sens invers acelor de ceasornic și unul stâng dacă în sensul acelor de ceasornic (vezi Fig. 16).
Produsul vectorial al unui vector a și al vectorului b se numește vector c, care:
1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c ^ a și c ^ b;
2. Are o lungime egală numeric cu aria paralelogramului construit pe vectorii a șib ca pe laterale (vezi fig. 17), i.e.
3. Vectorii a , b și c formează un triplu drept.
Produsul vectorial este notat cu a x b sau [a,b]. Din definiția unui produs vectorial, următoarele relații între ortele pe care le urmez direct, jși k(vezi fig. 18):
i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Să demonstrăm, de exemplu, că i xj \u003d k.
1) k ^ i , k ^ j;
2) |k |=1, dar | eu x j| = |i | |J| sin(90°)=1;
3) vectorii i , j și k formează un triplu drept (vezi Fig. 16).
7.2. Proprietăți încrucișate ale produsului
1. Când factorii sunt rearanjați, produsul vectorial își schimbă semnul, adică. și xb \u003d (b xa) (a se vedea Fig. 19).
Vectorii a xb și b xa sunt coliniari, au aceleași module (aria paralelogramului rămâne neschimbată), dar sunt direcționați opus (triplii a, b și xb și a, b, b x a de orientare opusă). Acesta este axb = -(bxa).
2. Produsul vectorial are Proprietate asociativăîn raport cu un factor scalar, adică l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).
Fie l >0. Vectorul l (a xb) este perpendicular pe vectorii a și b. Vector ( l topor b este de asemenea perpendiculară pe vectorii a şi b(vectorii a, l dar se află în același plan). Deci vectorii l(a xb) și ( l topor b coliniare. Este evident că direcțiile lor coincid. Au aceeasi lungime:
Asa de l(a xb)= l un xb. Se dovedește în mod similar pentru l<0.
3. Doi vectori nenuli a și b sunt coliniare dacă și numai dacă produsul lor vectorial este egal cu vectorul zero, adică și ||b<=>și xb \u003d 0.
În special, i *i =j *j =k *k =0 .
4. Produsul vectorial are o proprietate de distribuție:
(a+b) xs = a xs + b xs .
Accept fara dovezi.
7.3. Expresia încrucișată a produsului în termeni de coordonate
Vom folosi tabelul de produse vectoriale încrucișate i, jși k:
dacă direcția drumului cel mai scurt de la primul vector la al doilea coincide cu direcția săgeții, atunci produsul este egal cu al treilea vector, dacă nu se potrivește, al treilea vector este luat cu semnul minus.
Fie doi vectori a =a x i +a y j+az kși b=bx i+de către j+bz k. Să găsim produsul vectorial al acestor vectori înmulțindu-i ca polinoame (în funcție de proprietățile produsului vectorial):
Formula rezultată poate fi scrisă și mai scurt:
întrucât partea dreaptă a egalității (7.1) corespunde expansiunii determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele din primul rând.Egalitatea (7.2) este ușor de reținut.
7.4. Unele aplicații ale produsului încrucișat
Stabilirea coliniarității vectorilor
Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi
Conform definiției produsului încrucișat al vectorilor Ași b |a xb | =| a | * |b |sin g , adică S par = |a x b |. Și, prin urmare, D S \u003d 1/2 | a x b |.
Determinarea momentului de forță în jurul unui punct
Să fie aplicată o forță în punctul A F =AB lăsați-l să plece O- un punct din spațiu (vezi Fig. 20).
Din fizică se știe că cuplu F relativ la punct O numit vector M, care trece prin punct Oși:
1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;
2) egal numeric cu produsul dintre forță și umăr
3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B .
Prin urmare, M \u003d OA x F.
Aflarea vitezei liniare de rotație
Viteză v punctele M corp solid, rotindu-se cu viteza unghiulara wîn jurul unei axe fixe, este determinată de formula Euler v \u003d w x r, unde r \u003d OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).
Vector unitar- Acest vector, a cărui valoare absolută (modul) este egală cu unu. Pentru a desemna un vector unitar, vom folosi indicele e. Deci, dacă este dat un vector A, atunci vectorul său unitar va fi vectorul A e. Acest vector unitar indică în aceeași direcție cu vectorul însuși A, iar modulul său este egal cu unu, adică a e \u003d 1.
Evident, A= a A e (a - modulul vectorial A). Aceasta rezultă din regula prin care se realizează operația de înmulțire a unui scalar cu un vector.
Vectori unitari adesea asociat cu axele de coordonate ale sistemului de coordonate (în special, cu axele sistemului de coordonate carteziene). Direcții ale acestora vectori coincid cu direcțiile axelor corespunzătoare, iar originile lor sunt adesea combinate cu originea sistemului de coordonate.
Lasă-mă să-ți amintesc asta Sistemul de coordonate cartezieneîn spațiu se numește în mod tradițional un triplu de axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct numit origine. Axele de coordonate sunt de obicei notate cu literele X, Y, Z și sunt numite axa absciselor, axa ordonatelor și, respectiv, axa aplicată. Descartes însuși a folosit o singură axă, pe care au fost trasate abscisele. meritul de utilizare sisteme topoarele aparține elevilor săi. Prin urmare sintagma Sistemul de coordonate carteziene greșit din punct de vedere istoric. Mai bine vorbim dreptunghiular sistem de coordonate sau sistem de coordonate ortogonal. Cu toate acestea, nu vom schimba tradițiile și în viitor vom presupune că sistemele de coordonate carteziene și dreptunghiulare (ortogonale) sunt unul și același.
Vector unitar, îndreptată de-a lungul axei X, se notează i, vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Y, se notează j, A vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Z, se notează k. Vectori i, j, k numit orts(Fig. 12, stânga), au module unice, adică
i = 1, j = 1, k = 1.
topoare şi orts sistem de coordonate dreptunghiularîn unele cazuri au alte denumiri şi denumiri. Deci, axa de abscisă X poate fi numită axa tangentă, iar vectorul său unitar este notat τ (litera greacă mică tau), axa y este axa normală, vectorul său unitar este notat n, axa aplicată este axa binormalului, vectorul său unitar este notat b. De ce să schimbi numele dacă esența rămâne aceeași?
Faptul este că, de exemplu, în mecanică, atunci când se studiază mișcarea corpurilor, se folosește foarte des un sistem de coordonate dreptunghiulare. Deci, dacă sistemul de coordonate în sine este nemișcat, iar modificarea coordonatelor unui obiect în mișcare este urmărită în acest sistem nemișcat, atunci de obicei axele indică X, Y, Z și lor. orts respectiv i, j, k.
Dar adesea, atunci când un obiect se mișcă de-a lungul unui fel de traiectorie curbilinie (de exemplu, de-a lungul unui cerc), este mai convenabil să luăm în considerare procesele mecanice într-un sistem de coordonate care se mișcă cu acest obiect. Pentru un astfel de sistem de coordonate în mișcare sunt folosite alte denumiri ale axelor și ale vectorilor lor unitari. Este doar acceptat. În acest caz, axa X este direcționată tangențial la traiectoria în punctul în care se află în prezent acest obiect. Și atunci această axă nu se mai numește axa X, ci axa tangentă, iar vectorul ei unitar nu mai este notat i, A τ . Axa Y este îndreptată de-a lungul razei de curbură a traiectoriei (în cazul mișcării într-un cerc - spre centrul cercului). Și întrucât raza este perpendiculară pe tangente, axa se numește axa normalei (perpendiculară și normală sunt același lucru). Ortul acestei axe nu mai este notat j, A n. A treia axă (fostul Z) este perpendiculară pe cele două anterioare. Acesta este un binormal cu un vector b(Fig. 12, dreapta). Apropo, în acest caz sistem de coordonate dreptunghiular adesea denumite „naturale” sau naturale.
Definiție O colecție ordonată (x 1 , x 2 , ... , x n) n de numere reale se numește vector n-dimensional, iar numerele x i (i = ) - componente sau coordonate,
Exemplu. Dacă, de exemplu, o anumită fabrică de automobile trebuie să producă 50 de mașini, 100 de camioane, 10 autobuze, 50 de seturi de piese de schimb pentru mașini și 150 de seturi pentru camioane și autobuze pe schimb, atunci programul de producție al acestei fabrici poate fi scris ca: vector (50, 100, 10, 50, 150), care are cinci componente.
Notaţie. Vectorii sunt indicați cu litere mici aldine sau litere cu o bară sau săgeată în partea de sus, de exemplu, A sau. Cei doi vectori se numesc egal dacă au același număr de componente și componentele lor corespunzătoare sunt egale.
Componentele vectoriale nu pot fi interschimbate, de exemplu (3, 2, 5, 0, 1)și (2, 3, 5, 0, 1) vectori diferiți.
Operații pe vectori. muncă
X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) la un număr realλ numit vectorλ X= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).
sumăX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) și y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) se numește vector x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).
Spațiul vectorilor. N -spațiu vectorial dimensional R n este definit ca multimea tuturor vectorilor n-dimensionali pentru care sunt definite operatiile de inmultire cu numere reale si de adunare.
Ilustrație economică. O ilustrare economică a unui spațiu vectorial n-dimensional: spațiu al mărfurilor (bunuri). Sub marfă vom înțelege un bun sau un serviciu care a fost pus în vânzare la un anumit moment într-un anumit loc. Să presupunem că există un număr finit de bunuri disponibile n; cantităţile fiecăruia dintre ele achiziţionate de consumator se caracterizează printr-un set de bunuri
X= (x 1 , x 2 , ..., x n),
unde x i desemnează cantitatea celui de-al i-lea bun cumpărat de consumator. Vom presupune că toate bunurile au proprietatea de divizibilitate arbitrară, astfel încât orice cantitate nenegativă din fiecare dintre ele poate fi cumpărată. Atunci toate seturile posibile de bunuri sunt vectori ai spațiului bunurilor C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).
Independență liniară.
Sistem e 1 , e 2 , ... , e m vectori n-dimensionali se numesc dependent liniar dacă există astfel de numereλ 1 , λ 2 , ... , λ m , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, ceea ce satisface egalitateaλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; în caz contrar, acest sistem de vectori se numește liniar independent, adică această egalitate este posibilă numai în cazul în care toate 
. Semnificația geometrică a dependenței liniare a vectorilor în R 3, interpretate ca segmente direcționate, explică următoarele teoreme.
Teorema 1. Un sistem format dintr-un vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.
Teorema 2. Pentru ca doi vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca aceștia să fie coliniari (paraleli).
Teorema 3 . Pentru ca trei vectori să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari (în același plan).
Triple stânga și dreapta ale vectorilor. Un triplu de vectori necoplanari a, b, c numit dreapta, dacă observatorul de la originea lor comună ocolește capetele vectorilor a, b, cîn această ordine pare să meargă în sensul acelor de ceasornic. In caz contrar a, b, c -a lăsat triplu. Se numesc toate triplele din dreapta (sau stânga) ale vectorilor la fel de orientat.
Baza și coordonatele. Troica e 1, e 2 , e 3 vectori necoplanari în R 3 a sunat bază, și vectorii înșiși e 1, e 2 , e 3 - de bază. Orice vector A poate fi extins într-un mod unic în ceea ce privește vectorii de bază, adică poate fi reprezentat sub formă
A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)
numerele x 1 , x 2 , x 3 din expansiune (1.1) se numesc coordonateAîn bază e 1, e 2 , e 3 și sunt notate A(x 1 , x 2 , x 3).
Baza ortonormala. Dacă vectorii e 1, e 2 , e 3 sunt perpendiculare perechi și lungimea fiecăruia dintre ele este egală cu unu, atunci baza se numește ortonormal, iar coordonatele x 1 , x 2 , x 3 - dreptunghiular. Se vor nota vectorii de bază ai unei baze ortonormale i, j, k.
Vom presupune că în spațiu R 3 sistemul drept de coordonate carteziene dreptunghiulare (0, i, j, k}.
Produs vectorial. arta vectoriala A pe vector b numit vector c, care este determinată de următoarele trei condiții:
1. Lungimea vectorului c numeric egal cu aria paralelogramului construit pe vectori Ași b, adică
c=
|a||b| păcat( A^b).
2. Vector c perpendicular pe fiecare dintre vectori Ași b.
3. Vectori A, bși c, luate în această ordine, formează un triplu drept.
Pentru produs vectorial c se introduce denumirea c=[ab] sau
c = a
× b.
Dacă vectorii Ași b sunt coliniare, apoi păcat( a^b) = 0 și [ ab] = 0, în special, [ aa] = 0. Produse vectoriale ale orturilor: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.
Dacă vectorii Ași b dat în bază i, j, k coordonate A(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), atunci
Munca mixta. Dacă produsul încrucișat a doi vectori Ași b scalar înmulțit cu al treilea vector c, atunci se numește un astfel de produs de trei vectori produs mixtși este notat cu simbolul A bc.
Dacă vectorii a, bși cîn bază i, j, k stabilite de coordonatele lor
A(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), atunci
.
Produsul mixt are o interpretare geometrică simplă - este un scalar, în valoare absolută egală cu volumul unui paralelipiped construit pe trei vectori dați.
Dacă vectorii formează un triplu drept, atunci produsul lor mixt este un număr pozitiv egal cu volumul indicat; dacă cei trei a, b, c - stânga, atunci a b c<0 и V = - a b c, prin urmare V =|a b c|.
Coordonatele vectorilor întâlniți în problemele din primul capitol se presupune că sunt date relativ la baza ortonormală dreaptă. Vector unitar codirecțional cu vector A, notat cu simbolul A despre. Simbol r=OM notate cu vectorul raza punctului M, simbolurile a, AB sau|a|, | AB |se notează modulele vectorilor Ași AB.
Exemplu 1.2. Găsiți unghiul dintre vectori A= 2m+4nși b= m-n, Unde mși n- vectorii unitari si unghiul dintre mși n egal cu 120 o.
Decizie. Avem: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, deci a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 =
1-2(-0,5)+1 = 3, deci b = . În sfârșit avem: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.
Exemplul 1.3.Cunoașterea vectorilor AB(-3,-2,6) și î.Hr(-2,4,4), calculați înălțimea AD a triunghiului ABC.
Decizie. Notând aria triunghiului ABC cu S, obținem:
S = 1/2 î.Hr. Apoi AD=2S/BC, BC== 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC|.
AC=AB+BC, deci vectorul AC are coordonate
.
.
Exemplu 1.4 . Dați doi vectori A(11,10,2) și b(4,0,3). Găsiți vectorul unitar c, ortogonală la vectori Ași bși direcționat astfel încât triplul ordonat al vectorilor a, b, c avea dreptate.
Decizie.Să notăm coordonatele vectorului cîn raport cu baza ortonormală dreaptă dată în termeni de x, y, z.
În măsura în care c ⊥ a, c ⊥b, apoi ca= 0, cb= 0. După condiția problemei, se cere ca c = 1 și a b c >0.
Avem un sistem de ecuații pentru a afla x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
Din prima și a doua ecuație a sistemului obținem z = -4/3 x, y = -5/6 x. Înlocuind y și z în a treia ecuație, vom avea: x 2 = 36/125, de unde
x=±
. Condiție de utilizare a b c > 0, obținem inegalitatea
Ținând cont de expresiile pentru z și y, rescriem inegalitatea rezultată sub forma: 625/6 x > 0, de unde rezultă că x>0. Deci x = , y = - , z = - .
Definiție. Produsul vectorial al unui vector a (multiplicator) cu un vector (multiplicator) care nu este coliniar cu acesta este al treilea vector c (produs), care este construit după cum urmează:
1) modulul său este numeric egal cu suprafata paralelogramul din fig. 155), construit pe vectori, adică este egal cu direcția perpendiculară pe planul paralelogramului menționat;
3) în acest caz, se alege direcția vectorului c (dintre două posibile) astfel încât vectorii c să formeze un sistem de dreapta (§ 110).
Denumire: sau
Addendum la definiție. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci luând în considerare figura ca un paralelogram (condițional), este firesc să atribuiți o zonă zero. Deci produsul vectorial vectori coliniari este considerat egal cu vectorul nul.
Deoarece vectorului nul i se poate atribui orice direcție, această convenție nu contrazice elementele 2 și 3 ale definiției.
Observație 1. În termenul „produs vectorial”, primul cuvânt indică faptul că rezultatul acțiunii este un vector (spre deosebire de produs punctual; cf. § 104, remarca 1).
Exemplul 1. Găsiți produsul vectorial în care vectorii principali ai sistemului de coordonate drept (Fig. 156).
1. Deoarece lungimile vectorilor principali sunt egale cu unitatea de scară, aria paralelogramului (pătratului) este numeric egală cu unu. Prin urmare, modulul produsului vectorial este egal cu unu.
2. Deoarece perpendiculara pe plan este axa, produsul vectorial dorit este un vector coliniar cu vectorul k; și deoarece ambele au modulul 1, produsul încrucișat necesar este fie k, fie -k.
3. Dintre acești doi vectori posibili trebuie ales primul, întrucât vectorii k formează un sistem drept (iar vectorii formează unul stâng).
Exemplul 2. Găsiți produsul încrucișat
Decizie. Ca și în exemplul 1, concluzionăm că vectorul este fie k, fie -k. Dar acum trebuie să alegem -k, deoarece vectorii formează sistemul corect (și vectorii formează cel stâng). Asa de,
Exemplul 3 Vectorii au lungimi de 80, respectiv 50 cm și formează un unghi de 30°. Luând un metru ca unitate de lungime, găsiți lungimea produsului vectorial a
Decizie. Aria paralelogramului construit pe vectori este egală cu Lungimea produsului vectorial necesar este egală cu
Exemplul 4. Aflați lungimea produsului încrucișat al acelorași vectori, luând un centimetru ca unitate de lungime.
Decizie. Deoarece aria unui paralelogram construit pe vectori este egală cu lungimea produsului vectorial este de 2000 cm, i.e.
Dintr-o comparație a exemplelor 3 și 4, se poate observa că lungimea vectorului depinde nu numai de lungimile factorilor, ci și de alegerea unității de lungime.
sens fizic produs vectorial. Dintre numeroși mărimi fizice, reprezentată printr-un produs vectorial, se consideră doar momentul forței.
Fie A punctul de aplicare al forței.Momentul forței relativ la punctul O se numește produs vectorial.Deoarece modulul acestui produs vectorial este numeric egal cu aria paralelogramului (Fig. 157), modulul momentului este egal cu produsul bazei cu înălțimea, adică forța înmulțită cu distanța de la punctul O până la dreapta de-a lungul căreia acționează forța.
În mecanică, se demonstrează că pentru echilibrul unui corp rigid este necesar ca nu numai suma vectorilor reprezentând forțele aplicate corpului, ci și suma momentelor de forțe să fie egală cu zero. În cazul în care toate forțele sunt paralele cu același plan, adunarea vectorilor reprezentând momentele poate fi înlocuită cu adunarea și scăderea modulelor acestora. Dar pentru direcțiile arbitrare ale forțelor, o astfel de înlocuire este imposibilă. În conformitate cu aceasta, produsul încrucișat este definit exact ca un vector, și nu ca un număr.
