• Vlastnosť 1 (zachovanie priamosti). Pri pohybe prechádzajú tri body ležiace na priamke do troch bodov ležiacich na priamke a bod ležiaci medzi dvoma ďalšími prechádza do bodu ležiaceho medzi obrazmi ďalších dvoch bodov (poradie ich vzájomného usporiadania je zachované) .

• Vlastnosť 2. Obraz segmentu v pohybe je segment.

• Vlastnosť 3. Obraz pohybujúcej sa priamky je priamka a obraz lúča je lúč.

• Vlastnosť 4. Pri pohybe je obrazom trojuholníka rovný trojuholník, obrazom roviny je rovina a rovnobežné roviny sú zobrazené na rovnobežné roviny, obrazom polroviny je polrovina.

• Vlastnosť 5. Pri pohybe je obrazom štvorstenu štvorsten, obrazom priestoru je celý priestor, obrazom polpriestoru je polopriestor.

• Vlastnosť 6. Pri pohybe sú zachované uhly, t.j. každý uhol je mapovaný na uhol rovnakého typu a rovnakej veľkosti. To isté platí pre dvojstenné uhly.

• Definícia. Paralelný prenos alebo v skratke prenos obrazca je jeho zobrazenie, pri ktorom sú všetky jeho body posunuté rovnakým smerom o rovnaké vzdialenosti, t.j. pri prekladaní sú každé dva body X a Y obrázku namapované na také body X" a Y", že XX" = YY".

• Hlavná prevodná vlastnosť:

• Paralelný preklad zachováva vzdialenosti a smery, t.j. X"Y" = XY.

• Z toho vyplýva, že paralelný prevod je pohyb zachovávajúci smer a naopak pohyb zachovávajúci smer je rovnobežný prevod.

• Aj z týchto tvrdení vyplýva, že skladba paralelných prekladov je paralelným prekladom.

• Paralelný posun obrázku je špecifikovaný zadaním jedného páru zodpovedajúcich bodov. Ak je napríklad naznačené, do ktorého bodu A“ daný bod A smeruje, tak tento posun je daný vektorom AA“ a to znamená, že všetky body sú posunuté o rovnaký vektor, t.j. XX" = AA" pre všetkých X bodov.

• Stredová symetria obrazca vzhľadom na O je také mapovanie tohto obrazca, ktoré spája s každým jeho bodom bod symetrický vzhľadom na O.

• Hlavná vlastnosť: Stredová symetria zachováva vzdialenosť a obracia smer. Inými slovami, akékoľvek dva body X a Y na obrázku F zodpovedajú bodom X" a Y" tak, že X"Y" = -XY.

• Z toho vyplýva, že stredová symetria je pohyb, ktorý mení smer na opačný a naopak, pohyb, ktorý mení smer na opačný, je stredová symetria.

• Stredová symetria obrázku je špecifikovaná zadaním jedného páru existujúcich bodov: ak je bod A mapovaný na A", potom stred symetrie je stredom segmentu AA".

• Zobrazenie obrazca, v ktorom každý jeho bod zodpovedá bodu, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na danú rovinu, sa nazýva odraz obrazca v tejto rovine (alebo zrkadlová symetria).

• O bodoch A a A" sa hovorí, že sú symetrické vzhľadom na rovinu, ak je úsečka AA" kolmá na túto rovinu a je ňou rozdelená na polovicu. Akýkoľvek bod roviny (považuje sa za symetrický vzhľadom na túto rovinu.

• Veta 1. Odraz v rovine zachováva vzdialenosti, a preto je pohybom.

• Veta 2. Pohyb, pri ktorom sú všetky body určitej roviny pevné, je odrazom v tejto rovine alebo identické zobrazenie.

• Zrkadlová symetria je špecifikovaná zadaním jedného páru zodpovedajúcich bodov, ktoré neležia v rovine symetrie: rovina symetrie prechádza stredom úsečky spájajúcej tieto body kolmo na ňu.

• Postava sa nazýva revolúcia, ak existuje taká priamka, akákoľvek rotácia okolo ktorej spája postavu so sebou, inými slovami, mapuje ju na seba. Takáto priamka sa nazýva os rotácie postavy. Najjednoduchšie rotačné telesá: guľa, pravý kruhový valec, pravý kruhový kužeľ.

Špeciálnym prípadom obratu okolo priamky je obrat o 180 (. Pri otáčaní okolo priamky a o 180 (každý bod A smeruje do takého bodu A, „že priamka a je kolmá na úsečku AA“ a pretína ju v strede. Takéto body A a A „hovoria, že sú symetrické okolo osi a. Preto rotácia o 180 (približne priamka sa nazýva osová súmernosť v priestore.

Pohyb

Mapovanie roviny na seba

• Každý bod roviny je spojený s nejakým bodom tej istej roviny a ktorýkoľvek bod roviny je spojený s nejakým bodom. Potom to hovoria mapovanie lietadla na seba.

• Osová súmernosť je zobrazenie roviny na seba.

• Stredová symetria je tiež mapovaním roviny na seba.

Pojem pohybu

• Osová súmernosť má dôležitú vlastnosť - je rovinné mapovanie, ktoré zachováva vzdialenosť medzi bodmi.

• Pohyb roviny je mapovaním roviny na seba so zachovaním vzdialeností.

• Stredová symetria roviny je tiež mapovaním roviny na seba

TEOREM #1

• Pri pohybe sa segment zobrazí na segmente.

TEOREM #1

• Dané: segment MN.

• Dokázať: 1.MN sa zobrazí pri danom pohybe M1N1 ;2.P sa zobrazí v P1;

Dôkaz

• I.1)MP+PN=MN(z podmienky)

• 2) pretože pri pohybe sa udržiava vzdialenosť =>M1N1=MN, M1P1=MP a N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 PATRIACE DO M1N1 =>MN body zobrazené v segmente M1N1

• II. Nech P1 je ľubovoľný bod M1N1 a bod P pre daný pohyb je zobrazený na P1

• Zo vzťahu rovnosti (1) a M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>P patrí do MN.

Dôsledok

• Z vety č.1 vyplýva, že pri pohybe sa každá strana trojuholníka zobrazuje na rovnakú úsečku => trojuholník sa zobrazuje na trojuholník s rovnakými stranami, teda pri pohybe na rovnaký trojuholník. Z vety č. 1 vyplýva, že pri pohybe:

• 1) priamka sa mapuje na priamku;

• 2) lúč k lúču;

• 3) uhol - uhol, ktorý sa mu rovná.

Prekrytia a pohyby

• Údaj Ф sa rovná obrázku Ф1, ak možno obrázok Ф skombinovať s útvarom Ф1. Pod umiestnením útvaru Ф na obrázku Ф1 rozumieme nejaké zobrazenie útvaru Ф na obrázku Ф1. V tomto prípade nie iba body obrazca Ф, ale aj ktorýkoľvek bod roviny sa mapuje do určitého bodu roviny , t.j. prekrytie je mapovanie roviny na seba.

• Prekrytia sú také zobrazenia roviny na seba, ktoré majú vlastnosti vyjadrené v axiómach. Umožňujú nám dokázať všetky tie vlastnosti uloženia, ktoré si predstavujeme vizuálne a ktoré využívame pri riešení problémov

Veta #2

• Pri prekrývaní sa rôzne body mapujú na rôzne body.

Dôkaz

Predpokladajme, že to tak nie je, t.j. v určitej polohe sa zobrazia niektoré body A a B, v Ф2=Ф1, teda s určitým prekrytím, sa v Ф1 zobrazí Ф2. Ale to je nemožné, pretože overlay je zobrazenie a pri akomkoľvek zobrazení sa iba jeden bod roviny dostane do jednej roviny s C => pri prekrytí sa segment zobrazí na rovnakom segmente. Nech sa konce A a B segmentu AB pri prekrytí zobrazia v A1 a B1. Potom sa AB namapuje na A1 B1 => AB=A1B1. Keďže rovnaké segmenty majú rovnakú dĺžku, potom je prekrytie mapovaním roviny na seba, pričom sa zachováva vzdialenosť, t.j. každé prekrytie je pohybom roviny.

Veta #3

• Akýkoľvek pohyb je prekrytie.

Veta #3

• Dané: g-ľubovoľný pohyb trojuholníka ABC sa zobrazuje do trojuholníka A1 B1 C1

• f- prekrytie, v ktorom sú body A,B,C zobrazené v A1 B1 C1 .

• Dokážte: g je to isté ako f.

Dôkaz

Predpokladajme, že g sa nezhoduje s f=> v rovine je aspoň jeden bod M, ktorý sa pri pohybe g zobrazí na M1, a keď sa f prekryje, na M2. Pretože vzdialenosť je zachovaná pod zobrazeniami f a g, potom AM=A1M1, AM=A1M2, t.j. bod A1 je rovnako vzdialený od M1 a M2=>A1,B1 a C1 ležia na kolmici k M1 M2.To je však nemožné, pretože vrcholy trojuholníka A1B1C1 neležia na tej istej priamke.G sa teda zhoduje s f, t.j. pohyb g je prekrytie.

Dôsledok

• Pri pohybe je ľubovoľná figúrka namapovaná na rovnakú figúrku.

Paralelný prenos

• Nech a je daný vektor. Paralelný prenos na vektor a sa nazýva zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený do takého bodu M1, že vektor MM1 sa rovná vektoru a

Veta #4

• Paralelný preklad je pohyb, t.j. samomapovanie roviny, ktoré zachováva vzdialenosti.

Veta #4

• Dané: Pri paralelnom prenose do a sú M a N mapované na M1 a N1.

• Dokázať: MN=M1N1.

Dôkaz

• Pretože MM1=a, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 a MM1=NN1 => MM1NN1-paralelogram =>MN=M1N1, t.j. vzdialenosť medzi M a N = vzdialenosť medzi M1 a N1.

• Paralelný preklad teda zachováva vzdialenosť medzi bodmi, a preto predstavuje pohyb.

Otočte sa

Otáčaním lietadla okolo bodu O pod uhlom a sa nazýva zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený do takého bodu M1, že OM = OM1 a uhol MOM1 je rovný a. V tomto prípade zostáva bod O na mieste, t.j. sa zobrazí sám o sebe a všetky ostatné body sa otáčajú okolo bodu O rovnakým smerom - v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.

Veta #5

• Obrat je pohyb, t.j. vzdialenostné mapovanie roviny na seba.

Veta #5

• Dané: O - stred otáčania d- uhol otáčania proti smeru hodinových ručičiek

• Dokážte: MN=M1N1

Dôkaz

• Predpokladajme, že táto rotácia mapuje M a N na M1 a N1.

• Trojuholník OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, uhol MON=uhol M1ON1) Z tejto rovnosti vyplýva, že MN=M1N1, t.j. vzdialenosť medzi M a N = vzdialenosť medzi M1 a N1.

• Rotácia zachováva vzdialenosť medzi bodmi, a preto predstavuje pohyb.

Dané: Uhol AOB a uhol A1O1B1.

• Dané: Uhol AOB a uhol A1O1B1.

• Dokážte, že pri pohybe je uhol mapovaný na rovnaký uhol.

ROZHODNUTIE

Uhol AOB nech sa pri danom pohybe namapuje na uhol А1О1В1 a body А.О.в sa namapujú na body А1, О1, В1. keďže sa počas pohybu zachovávajú vzdialenosti, potom OA \u003d O1A1, OB \u003d O1B1. Ak uhol AOB nie je rozvinutý, potom sú trojuholníky AOB a A1O1B1 rovnaké na troch stranách, a teda uhol AOB \u003d uhol A1O1v1. Ak je rozvinutý uhol AOB, potom je rozvinutý uhol A1O1B1, takže sú rovnaké.

• Úloha č. 2

ROZHODNUTIE

• Trojuholníky ABC a A1B1C1 sú rovnaké na troch stranách. Preto dochádza k prekrývaniu, t. j. pohybu, pri ktorom sú body A, B a C mapované v tomto poradí do bodov A1, B1 a C1. Tento pohyb je jediným pohybom, pri ktorom sú body A, B a C mapované na body A1B1 a C1. .

• Úloha číslo 3. Nakreslite trojuholník ABC, vektor MM1, ktorý nie je rovnobežný so žiadnou stranou trojuholníka, a vektor a, ktorý je rovnobežný so stranou AC. Zostrojte trojuholník A1B1C1, ktorý získame z trojuholníka ABC paralelným prenosom: a) na vektor MM1; b) vektor a.

• Vzhľadom na to:

• rozhodnutie

b) Rozhodnutie

• b) Rozhodnutie

zhrnutie ďalších prezentácií

"Stredná čiara lichobežníka"- Stredná čiara lichobežníka. A. MN je stredná čiara lichobežníka ABCD. V trojuholníku môžete postaviť ... stredné čiary. Stredná čiara trojuholníka má vlastnosť … MN = ? AB. Definícia strednej čiary lichobežníka. Veta o strednej čiare lichobežníka. D. Pokračujte vo vete: MN || AB.

"Elipsová rovnica"- Autori: Gololobova O. 9. ročník Negrova O. 9. ročník Dolgova K. 9. ročník. Definícia elipsy. Ako súvisia vlastnosti elipsy s vlastnosťami iných „pozoruhodných“ kriviek? 2. Odvodili sme kanonickú rovnicu elipsy. Pokrok vo výskume. Výsledky výskumu: 4. Určiť hlavné parametre elipsy: Cieľ: Štúdium hlavných parametrov elipsy. 3. Postavil elipsu.

"Tálesova veta"- Verí sa, že Thales bol prvý, kto študoval pohyb Slnka v nebeskej sfére. Thalesova veta. Po Thalesovi je pomenovaná geometrická veta. Nakreslíme priamku EF cez bod B2 rovnobežnú s priamkou A1A3. Astronómia. Geometria. Vlastnosťou rovnobežníka A1A2=FB2, A2A3=B2E. Milézsky materialista. A keďže A1A2=A2A3, potom FB2=B2E. Thales je všeobecne známy ako geometer.

"Problémy s kruhom a kruhom"- 2. Odpoveď: S=25? cm2; C=10? pozri Riešenie problémov. 1. Obvod a plocha kruhu.

"Geometria pravidelných mnohouholníkov"- O každom pravidelnom mnohouholníku môžete opísať kruh, a to iba jeden. Odvodíme vzorec na výpočet uhla an pravidelného n-uholníka. Vezmite ľubovoľné tri vrcholy mnohouholníka A1A2...An, napríklad A1, A2, A3. Dokážme teraz jedinečnosť takéhoto kruhu. Stred pravidelného mnohouholníka. Veta o strede pravidelného mnohouholníka. Jedinečnosť takejto kružnice vyplýva z jedinečnosti kružnice opísanej okolo trojuholníka.

"Geometria pohybu stupeň 9"- Axiálny. Osová súmernosť. Stredová a osová symetria. Veta. Druhy pohybov. Otočte sa. Prekrytie. Akýkoľvek pohyb je prekrytie. Osová symetria Stredová symetria Rovnobežný posun Rotácia. Paralelný prenos. Pohyb. stredová symetria. Pojem pohybu. Geometria 9. ročník. Centrálne. Pri pohybe sa segment zobrazí na segmente.

Mapovanie roviny na seba

Definícia 1

Mapovanie roviny na seba- je to taká korešpondencia s každým bodom roviny ľubovoľného bodu tej istej roviny, v ktorej každý bod roviny bude priradený k akémukoľvek bodu.

Príkladom zobrazenia roviny na seba môže byť osová súmernosť (obr. 1a) a stredová súmernosť (obr. 1b).

Obrázok 1. a) osová súmernosť; b) stredová súmernosť

Pojem pohybu

Teraz predstavíme definíciu pohybu.

Definícia 2

Pohyb roviny je také mapovanie roviny na seba, pri ktorom sú zachované vzdialenosti (obr. 2).

Obrázok 2. Príklad pohybu

Vety súvisiace s pojmom pohyb

Dôkaz.

Dostaneme segment $MN$. Nech je bod $M$ zobrazený do bodu $M_1$ tejto roviny pre daný pohyb roviny a bod $N$ je zobrazený na bod $N_1$ tejto roviny. Vezmite ľubovoľný bod $P$ segmentu $MN$. Nech je namapovaný do bodu $\ P_1$ tejto roviny (obr. 3).

Obrázok 3. Mapovanie segmentov na segmenty počas pohybu

Keďže bod $P$ patrí do segmentu $MN$, rovnosť

Pretože podľa definície pohybu sú vzdialenosti zachované

Preto

Preto bod $P_1$ leží na segmente $M_1N_1$. Vzhľadom na svojvoľnosť výberu bodu $P_1$ získame, že segment $MN$ bude počas pohybu mapovaný na segment $M_1N_1$. Rovnosť týchto segmentov bezprostredne vyplýva z definície pohybu.

Veta bola dokázaná.

Veta 2

Pri pohybe je trojuholník mapovaný na rovnaký trojuholník.

Dôkaz.

Dajme nám trojuholník $ABC$. Podľa vety 1 segment $AB$ ide do segmentu $A_1B_1$, segment $AC$ ide do segmentu $A_1C_1$, segment $BC$ ide do segmentu $B_1C_1$ a $(AB=A) _1B_1$, $(AC =A)_1C_1$, $(BC=B)_1C_1$. Preto podľa III kritéria rovnosti trojuholníkov prechádza trojuholník $ABC$ do svojho rovnostranného trojuholníka $A_1B_1C_1$.

Veta bola dokázaná.

Podobne to možno dokázať lúč je mapovaný na lúč, uhol je mapovaný na jeho rovnaký uhol.

Aby sme sformulovali nasledujúcu vetu, najprv zavedieme nasledujúcu definíciu.

Definícia 3

prekrytie sa nazýva taký pohyb roviny, ktorý má tieto axiómy:

1. Ak sa konce dvoch segmentov počas pohybu zhodujú, potom sa samotné segmenty zhodujú.
2. Od začiatku akéhokoľvek lúča môžete odložiť segment rovný danému segmentu a navyše iba jeden.
3. V ľubovoľnej polrovine z akéhokoľvek lúča možno vyčleniť uhol rovný danému neroztiahnutému uhlu a iba jeden.
4. Akákoľvek postava sa rovná sama sebe.
5. Ak sa obrázok 1 rovná obrázku 2, potom sa obrázok 2 rovná obrázku 1.
6. Ak sa obrázok 1 rovná obrázku 2 a obrázok 2 sa rovná obrázku 3, potom sa obrázok 1 rovná obrázku 3.

Veta 3

Akýkoľvek pohyb je prekrytie.

Dôkaz.

Uvažujme pohyb $g$ trojuholníka $ABC$. Podľa vety 2, keď sa $g$ pohybuje, trojuholník $ABC$ prechádza do svojho rovnakého trojuholníka $A_1B_1C_1$. Definíciou rovnakých trojuholníkov dostaneme, že existuje prekrytie $f$ mapujúce body $A,B\ a\ C$ na body $A_1,B_1\ a\ C_1$. Dokážme, že $g$ sa zhoduje s $f$.

Predpokladajme naopak, že $g$ nie je to isté ako $f$. Potom je tu aspoň jeden bod $M$, ktorý, keď sa $g$ pohne, ide do bodu $M_1$ a keď sa $f$ prekryje, prejde do bodu $M_2$. Keďže vzdialenosti sú zachované pre $f$ a $g$, máme

To znamená, že bod $A_1$ je rovnako vzdialený od bodov $M_1$ a $M_2$. Podobne získame, že body $B_1\ a\ C_1$ sú rovnako vzdialené od bodov $M_1$ a $M_2$. Body $A_1,B_1\ a\ C_1$ teda ležia na priamke kolmej na úsečku $M_1M_2$ a prechádzajúcej jej stredom. To nie je možné, pretože body $A_1,B_1\ a\ C_1$ neležia na tej istej priamke. Preto sa pohyb $g$ zhoduje s uložením $f$.

Veta bola dokázaná.

Príklad úlohy o koncepte pohybu

Príklad 1

Dokážte, že pri pohybe je uhol mapovaný na rovnaký uhol.

Dôkaz.

Dajme nám uhol $AOB$. Nechajte body $A,\ O\ a\ B$ mapovať na body $A_1,\ O_1\ a\ B_1$ pre daný pohyb. Podľa vety 2 dostaneme, že trojuholník $AOB$ je zobrazený na trojuholníku $A_1O_1B_1$ a tieto trojuholníky sú si navzájom rovné. Preto $\uhol AOB=\uhol A_1O_1B_1$.