Krivky druhého rádu na rovine sa nazývajú čiary definované rovnicami, v ktorých sú premenné súradnice X a r obsiahnuté v druhom stupni. Patria sem elipsa, hyperbola a parabola.
Všeobecný tvar rovnice krivky druhého rádu je nasledujúci:
kde A B C D E F- čísla a aspoň jeden z koeficientov A, B, C sa nerovná nule.
Pri riešení úloh s krivkami druhého rádu sa najčastejšie uvažuje s kanonickými rovnicami elipsy, hyperboly a paraboly. Dá sa k nim ľahko prejsť zo všeobecných rovníc, tomu bude venovaný príklad 1 úloh s elipsami.
Elipsa daná kanonickou rovnicou
Definícia elipsy. Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností bodov, nazývaných ohniská, je konštantný a väčší ako vzdialenosť medzi ohniskami.
Ohniská sú označené ako na obrázku nižšie.
Kanonická rovnica elipsy je:
kde a a b (a > b) - dĺžky poloosi, t.j. polovica dĺžok segmentov odrezaných elipsou na súradnicových osiach.
Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy je jej osou symetrie. Ďalšou osou symetrie elipsy je priamka prechádzajúca stredom úsečky kolmo na túto úsečku. Bodka O priesečník týchto čiar slúži ako stred symetrie elipsy alebo jednoducho stred elipsy.
Os x elipsy sa pretína v bodoch ( a, O) a (- a, O) a os y je v bodoch ( b, O) a (- b, O). Tieto štyri body sa nazývajú vrcholy elipsy. Segment medzi vrcholmi elipsy na osi x sa nazýva jeho hlavná os a na osi y - vedľajšia os. Ich segmenty od vrchu po stred elipsy sa nazývajú poloosi.
Ak a = b, potom rovnica elipsy nadobudne tvar . Toto je rovnica pre kruh s polomerom a, a kruh je špeciálny prípad elipsy. Elipsu možno získať z kruhu s polomerom a, ak ho stlačíte do a/b krát pozdĺž osi Oj .
Príklad 1 Skontrolujte, či je čiara daná všeobecnou rovnicou 
, elipsa.
rozhodnutie. Vykonávame transformácie všeobecnej rovnice. Aplikujeme prenos voľného člena na pravú stranu, členenie rovnice po členoch rovnakým číslom a redukciu zlomkov:
Odpoveď. Výsledná rovnica je kanonickou rovnicou elipsy. Preto je táto čiara elipsa.
Príklad 2 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej poloosi sú 5 a 4.
rozhodnutie. Pozrieme sa na vzorec pre kanonickú rovnicu elipsy a náhrady: hlavná poloos je a= 5, vedľajšia poloos je b= 4. Dostaneme kanonickú rovnicu elipsy:
Body a označené zelenou farbou na hlavnej osi, kde
volal triky.
volal výstrednosť elipsa.
Postoj b/a charakterizuje „sploštenosť“ elipsy. Čím menší je tento pomer, tým viac je elipsa predĺžená pozdĺž hlavnej osi. Stupeň predĺženia elipsy sa však častejšie vyjadruje pomocou excentricity, ktorej vzorec je uvedený vyššie. Pre rôzne elipsy sa excentricita mení od 0 do 1, pričom vždy zostáva menšia ako jedna.
Príklad 3 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak vzdialenosť medzi ohniskami je 8 a hlavnou osou je 10.
rozhodnutie. Robíme jednoduché závery:
Ak je hlavná os 10, potom jej polovica, t.j. poloos a = 5 ,
Ak je vzdialenosť medzi ohniskami 8, potom číslo c súradníc ohniska je 4.
Nahraďte a vypočítajte:
Výsledkom je kanonická rovnica elipsy:
Príklad 4 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej hlavná os je 26 a excentricita je .
rozhodnutie. Ako vyplýva z veľkosti hlavnej osi a rovnice excentricity, hlavná poloos elipsy a= 13. Z rovnice excentricity vyjadríme číslo c, potrebné na výpočet dĺžky vedľajšej poloosi:
.
Vypočítame druhú mocninu dĺžky vedľajšej poloosi:
Zostavíme kanonickú rovnicu elipsy:
Príklad 5 Určte ohniská elipsy dané kanonickou rovnicou.
rozhodnutie. Treba nájsť číslo c, ktorý definuje prvé súradnice ohnísk elipsy:
.
Dostaneme ohniská elipsy:
Príklad 6 Ohniská elipsy sú umiestnené na osi Vôl symetrické podľa pôvodu. Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak:
1) vzdialenosť medzi ohniskami je 30 a hlavná os je 34
2) vedľajšia os je 24 a jedno z ohniskov je v bode (-5; 0)
3) excentricita a jedno z ohniskov je v bode (6; 0)
Pokračujeme v riešení úloh na elipse spoločne
Ak - ľubovoľný bod elipsy (označený zelenou farbou na výkrese v pravej hornej časti elipsy) a - vzdialenosti k tomuto bodu od ohnísk, potom sú vzorce pre vzdialenosti nasledovné:
Pre každý bod patriaci do elipsy je súčet vzdialeností od ohnísk konštantnou hodnotou rovnajúcou sa 2 a.
Priame čiary definované rovnicami
volal riaditeľov elipsa (na výkrese - červené čiary pozdĺž okrajov).
Z vyššie uvedených dvoch rovníc vyplýva, že pre ktorýkoľvek bod elipsy
,
kde a sú vzdialenosti tohto bodu od smerových osí a .
Príklad 7 Daná elipsa. Napíšte rovnicu pre jej smerové čiary.
rozhodnutie. Pozrieme sa do rovnice smerovej čiary a zistíme, že je potrebné nájsť excentricitu elipsy, t.j. Všetky údaje k tomu sú. Vypočítame:
.
Dostaneme rovnicu smerovej čiary elipsy:
Príklad 8 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej ohniská sú body a smerové čiary sú priamky.
Definícia. Elipsa je ťažisko bodov v rovine, súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota (za predpokladu, že táto hodnota je väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami).
Označme ohniská cez vzdialenosť medzi nimi - cez , a konštantnú hodnotu rovnajúcu sa súčtu vzdialeností od každého bodu elipsy k ohniskám, cez (podľa podmienky ).
Zostavme kartézsky súradnicový systém tak, aby ohniská boli na osi x a počiatok súradníc sa zhodoval so stredom segmentu (obr. 44). Potom budú mať ohniská nasledujúce súradnice: ľavé ohnisko a pravé ohnisko. Odvoďme rovnicu elipsy v nami zvolenom súradnicovom systéme. Na tento účel zvážte ľubovoľný bod elipsy. Podľa definície elipsy je súčet vzdialeností od tohto bodu k ohniskám:
Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi dostaneme teda
Pre zjednodušenie túto rovnicu zapíšeme do tvaru
Potom získame druhú mocninu oboch strán rovnice
alebo po zrejmých zjednodušeniach:
Teraz opäť odmocníme obe strany rovnice, po čom budeme mať:
alebo po rovnakých transformáciách:
Pretože podľa podmienky v definícii elipsy je potom kladné číslo. Zavádzame notáciu
Potom bude mať rovnica nasledujúci tvar:
Podľa definície elipsy súradnice ktoréhokoľvek z jej bodov spĺňajú rovnicu (26). Ale rovnica (29) je dôsledkom rovnice (26). Preto spĺňa aj súradnice ľubovoľného bodu elipsy.
Dá sa ukázať, že súradnice bodov, ktoré neležia na elipse, nespĺňajú rovnicu (29). Rovnica (29) je teda rovnicou elipsy. Nazýva sa to kanonická rovnica elipsy.
Stanovme tvar elipsy pomocou jej kanonickej rovnice.
Najprv si všimnite, že táto rovnica obsahuje iba párne mocniny x a y. To znamená, že ak nejaký bod patrí do elipsy, potom zahŕňa aj bod, ktorý je symetrický s bodom okolo osi x, a bod, ktorý je symetrický s bodom okolo osi y. Elipsa má teda dve na seba kolmé osi súmernosti, ktoré sa v nami zvolenom súradnicovom systéme zhodujú so súradnicovými osami. Osi symetrie elipsy sa nazývajú osi elipsy a ich priesečník - stred elipsy. Os, na ktorej sa nachádzajú ohniská elipsy (v tomto prípade os x), sa nazýva ohnisková os.
Najprv v prvej štvrtine určíme tvar elipsy. Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu (28) vzhľadom na y:
Je zrejmé, že tu, keďže y nadobúda imaginárne hodnoty pre . S nárastom z 0 na a klesá y z b na 0. Časť elipsy ležiaca v prvej štvrtine bude oblúk ohraničený bodmi B (0; b) a ležiaci na súradnicových osiach (obr. 45). S použitím symetrie elipsy sme dospeli k záveru, že elipsa má tvar znázornený na obr. 45.
Priesečníky elipsy s osami sa nazývajú vrcholy elipsy. Zo symetrie elipsy vyplýva, že okrem vrcholov má elipsa ešte dva vrcholy (pozri obr. 45).
Segmenty a spájajúce protiľahlé vrcholy elipsy, ako aj ich dĺžky, sa nazývajú hlavná a vedľajšia os elipsy. Čísla a a b sa nazývajú hlavné a vedľajšie poloosi elipsy.
Pomer polovice vzdialenosti medzi ohniskami k hlavnej poloosi elipsy sa nazýva excentricita elipsy a zvyčajne sa označuje písmenom:
Od , potom je excentricita elipsy menšia ako jedna: Excentricita charakterizuje tvar elipsy. Zo vzorca (28) skutočne vyplýva, že z toho je zrejmé, že čím menšia je excentricita elipsy, tým menej sa jej vedľajšia poloosi b líši od hlavnej poloosi a, t.j. čím menej je elipsa predĺžená (pozdĺž ohniska os).
V obmedzujúcom prípade, keď dostanete kruh s polomerom a: , alebo . Ohniská elipsy sa zároveň spájajú v jednom bode - v strede kruhu. Excentricita kruhu je nula:
Spojenie medzi elipsou a kružnicou možno zistiť z iného uhla pohľadu. Ukážme, že elipsu s poloosami a a b môžeme považovať za priemet kružnice s polomerom a.
Uvažujme dve roviny P a Q, ktoré medzi sebou zvierajú taký uhol a, pre ktorý (obr. 46). Zostrojme súradnicový systém v rovine P a Oxy systém v rovine Q so spoločným počiatkom O a spoločnou osou x zhodnou s priesečníkom rovín. Uvažujme v rovine P kružnicu
so stredom v počiatku a polomere a. Nech je ľubovoľne zvolený bod kružnice, je jej priemetom do roviny Q a nech je priemetom bodu M na os Ox. Ukážme, že bod leží na elipse s poloosami a a b.
Elipsa je miesto bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom F_1 a F_2 je konštantná hodnota (2a), väčšia ako vzdialenosť (2c) medzi týmito danými bodmi (obr. 3,36, a). Táto geometrická definícia vyjadruje ohnisková vlastnosť elipsy.
Ohnisková vlastnosť elipsy
Body F_1 a F_2 sa nazývajú ohniská elipsy, vzdialenosť medzi nimi 2c=F_1F_2 je ohnisková vzdialenosť, stred O segmentu F_1F_2 je stred elipsy, číslo 2a je dĺžka hlavnej osi elipsy. elipsy (respektíve číslo a je hlavnou poloosou elipsy). Segmenty F_1M a F_2M spájajúce ľubovoľný bod M elipsy s jej ohniskami sa nazývajú ohniskové polomery bodu M . Úsečka spájajúca dva body elipsy sa nazýva tetiva elipsy.
Pomer e=\frac(c)(a) sa nazýva excentricita elipsy. Z definície (2a>2c) vyplýva, že 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometrická definícia elipsy, vyjadrujúci jeho ohniskovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou elipsy:
Skutočne si predstavme pravouhlý súradnicový systém (obr. 3.36, c). Stred O elipsy sa považuje za počiatok súradnicového systému; priamku prechádzajúcu ohniskami (ohniskovú os alebo prvú os elipsy) berieme ako os x (kladný smer na nej z bodu F_1 do bodu F_2); priamka kolmá na ohniskovú os a prechádzajúca stredom elipsy (druhá os elipsy) sa berie ako os y (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém Oxy bol správny ).
Formulujme rovnicu elipsy pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohnísk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pre ľubovoľný bod M(x,y) patriaci do elipsy máme:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Zapísaním tejto rovnosti v súradnicovom tvare dostaneme:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Prenesieme druhý radikál na pravú stranu, odmocníme obe strany rovnice a dáme podobné výrazy:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Šípka doľava ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Po delení 4 odmocníme obe strany rovnice:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Označenie b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dostaneme b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Vydelením oboch častí a^2b^2\ne0 sa dostaneme ku kanonickej rovnici elipsy:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Preto je zvolený súradnicový systém kanonický.
Ak sa ohniská elipsy zhodujú, potom je elipsa kruhová (obr. 3.36.6), keďže a=b. V tomto prípade ľubovoľný pravouhlý súradnicový systém s počiatkom v bode O\ekviv F_1\ekviv F_2 a rovnica x^2+y^2=a^2 je rovnica kruhu so stredom O a polomerom a .
Spätným uvažovaním je možné ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.49), a iba oni patria do ťažiska bodov nazývaného elipsa. Inými slovami, analytická definícia elipsy je ekvivalentná jej geometrickej definícii, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť elipsy.
Vlastnosť adresára elipsy
Smerové čiary elipsy sú dve priame čiary prechádzajúce rovnobežne s osou kanonického súradnicového systému v rovnakej vzdialenosti \frac(a^2)(c) od nej. Pre c=0, keď je elipsa kruh, neexistujú žiadne smerové čiary (môžeme predpokladať, že smerové čiary sú nekonečne odstránené).
Elipsa s excentricitou 0
Napríklad pre ohnisko F_2 a smerovku d_2 (obr. 3.37.6) je podmienka \frac(r_2)(\rho_2)=e možno napísať v súradnicovom tvare:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Zbaviť sa iracionality a nahradiť e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dospejeme ku kanonickej rovnici elipsy (3.49). Podobné úvahy možno vykonať pre ohnisko F_1 a smerovú čiaru d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Elipsová rovnica v polárnych súradniciach
Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme F_1r\varphi (obr.3.37,c a 3.37(2)) má tvar
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kde p=\frac(b^2)(a) je ohniskový parameter elipsy.
Skutočne, zvoľme ľavé ohnisko F_1 elipsy ako pól polárneho súradnicového systému a lúč F_1F_2 ako polárnu os (obr. 3.37, c). Potom pre ľubovoľný bod M(r,\varphi) , podľa geometrickej definície (ohniskovej vlastnosti) elipsy, máme r+MF_2=2a . Vyjadríme vzdialenosť medzi bodmi M(r,\varphi) a F_2(2c,0) (pozri ):
\begin(zarovnané)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (zarovnané)
Preto v súradnicovom tvare má rovnica elipsy F_1M+F_2M=2a tvar
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Izolujeme radikál, odmocníme obe strany rovnice, vydelíme 4 a dáme podobné výrazy:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Vyjadríme polárny polomer r a vykonáme substitúciu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Geometrický význam koeficientov v rovnici elipsy
Nájdite priesečníky elipsy (pozri obr. 3.37, a) so súradnicovými osami (vrcholy zllipov). Ak do rovnice dosadíme y=0, nájdeme priesečníky elipsy s osou x (s ohniskovou osou): x=\pm a . Preto je dĺžka segmentu ohniskovej osi uzavretého v elipse rovná 2a. Tento segment, ako je uvedené vyššie, sa nazýva hlavná os elipsy a číslo a je hlavná poloos elipsy. Dosadením x=0 dostaneme y=\pm b . Preto je dĺžka segmentu druhej osi elipsy uzavretého vo vnútri elipsy rovná 2b. Tento segment sa nazýva vedľajšia os elipsy a číslo b sa nazýva vedľajšia poloos elipsy.
naozaj, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a a rovnosť b=a získame len v prípade c=0, keď je elipsa kružnica. Postoj k=\frac(b)(a)\leqslant1 sa nazýva kontrakčný faktor elipsy.
Poznámky 3.9
1. Priamky x=\pm a,~y=\pm b ohraničujú hlavný obdĺžnik v súradnicovej rovine, vo vnútri ktorej sa nachádza elipsa (pozri obr. 3.37, a).
2. Elipsu možno definovať ako ťažisko bodov získané kontrakciou kružnice na jej priemer.
V skutočnosti, nech v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy má kruhová rovnica tvar x^2+y^2=a^2 . Pri stlačení na os x s faktorom 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Dosadením x=x" a y=\frac(1)(k)y" do rovnice kružnice dostaneme rovnicu pre súradnice obrazu M"(x",y") bodu M(x ,y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} keďže b=k\cdot a . Toto je kanonická rovnica elipsy. 3. Súradnicové osi (kanonického súradnicového systému) sú osami symetrie elipsy (nazývané hlavné osi elipsy) a jej stred je stredom symetrie. Ak totiž bod M(x,y) patrí do elipsy . potom do tej istej elipsy patria aj body M"(x,-y) a M""(-x,y) , symetrické k bodu M vzhľadom na súradnicové osi. 4. Z rovnice elipsy v polárnom súradnicovom systéme r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(pozri obr. 3.37, c), je objasnený geometrický význam ohniskového parametra - to je polovica dĺžky tetivy elipsy prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na ohniskovú os (r = p pri \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Excentricita e charakterizuje tvar elipsy, a to rozdiel medzi elipsou a kružnicou. Čím väčšie e, tým je elipsa predĺžená a čím bližšie je e k nule, tým bližšie je elipsa ku kruhu (obr. 3.38, a). Ak vezmeme do úvahy, že e=\frac(c)(a) a c^2=a^2-b^2 , dostaneme e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} kde k je kontrakčný faktor elipsy, 0 6. Rovnica \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 pre 7. Rovnica \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definuje elipsu so stredom v bode O "(x_0, y_0), ktorej osi sú rovnobežné so súradnicovými osami (obr. 3.38, c). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú pomocou paralelného posunu (3.36). Pre a=b=R platí rovnica (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje kružnicu s polomerom R so stredom v bode O"(x_0,y_0) . Parametrická rovnica elipsy v kanonickom súradnicovom systéme má tvar \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Nahradením týchto výrazov do rovnice (3.49) dospejeme k základnej trigonometrickej identite \cos^2t+\sin^2t=1. Príklad 3.20. nakresliť elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 v kanonickom súradnicovom systéme Oxy . Nájdite poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu, pomer strán, ohniskový parameter, rovnice smerovej čiary. rozhodnutie. Porovnaním danej rovnice s kanonickou určíme poloosi: a=2 - hlavná poloos, b=1 - vedľajšia poloos elipsy. Postavíme hlavný obdĺžnik so stranami 2a=4,~2b=2 so stredom v počiatku (obr.3.39). Vzhľadom na symetriu elipsy ju pasujeme do hlavného obdĺžnika. V prípade potreby určíme súradnice niektorých bodov elipsy. Napríklad dosadením x=1 do rovnice elipsy dostaneme \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Preto body so súradnicami \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- patrí do elipsy. Vypočítajte kompresný pomer k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ohnisková vzdialenosť 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); výstrednosť e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ohniskový parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Zostavíme priamkové rovnice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Šípka vľavo~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). 11.1. Základné pojmy Zvážte čiary definované rovnicami druhého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice Koeficienty rovnice sú reálne čísla, ale aspoň jedno z čísel A, B alebo C je nenulové. Takéto čiary sa nazývajú čiary (krivky) druhého rádu. Ďalej bude stanovené, že rovnica (11.1) definuje v rovine kružnicu, elipsu, hyperbolu alebo parabolu. Skôr ako pristúpime k tomuto tvrdeniu, preštudujme si vlastnosti vymenovaných kriviek. 11.2. Kruh Potom z podmienky získame rovnicu Rovnicu (11.2) spĺňajú súradnice ľubovoľného bodu na danej kružnici a nevyhovujú jej súradnice žiadneho bodu, ktorý neleží na kružnici. Volá sa rovnica (11.2). kanonická rovnica kruhu Konkrétne, za predpokladu a , dostaneme rovnicu kruhu so stredom v počiatku Kruhová rovnica (11.2) bude mať po jednoduchých transformáciách tvar . Pri porovnaní tejto rovnice so všeobecnou rovnicou (11.1) krivky druhého rádu je ľahké vidieť, že pre rovnicu kruhu sú splnené dve podmienky: 1) koeficienty pri x2 a y2 sa navzájom rovnajú; 2) neexistuje žiadny člen obsahujúci súčin xy aktuálnych súradníc. Uvažujme o inverznom probléme. Vložením do rovnice (11.1) dostaneme hodnoty a Transformujme túto rovnicu: Z toho vyplýva, že rovnica (11.3) definuje kruh pod podmienkou Ak Vyhovujú mu súradnice jedného bodu Ak 11.3. Elipsa Kanonická rovnica elipsy Elipsa
je množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom tejto roviny, tzv. triky
, je konštantná hodnota väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami. Na odvodenie rovnice elipsy zvolíme súradnicový systém tak, že ohniská F1 a F2 ležia na osi a počiatok sa zhoduje so stredom segmentu Ž 1 Ž 2. Potom budú mať ohniská tieto súradnice: a . Nech je ľubovoľný bod elipsy. Potom podľa definície elipsy, t.j. Toto je v skutočnosti rovnica elipsy. Rovnicu (11.5) transformujeme do jednoduchšieho tvaru takto: Ako a>s, potom . Položme Potom posledná rovnica nadobúda tvar resp Dá sa dokázať, že rovnica (11.7) je ekvivalentná pôvodnej rovnici. Volá sa kanonická rovnica elipsy
. Elipsa je krivka druhého rádu. Štúdium tvaru elipsy podľa jej rovnice Stanovme tvar elipsy pomocou jej kanonickej rovnice. 1. Rovnica (11.7) obsahuje x a y len v párnych mocninách, takže ak bod patrí elipse, patria do nej aj body ,,. Z toho vyplýva, že elipsa je symetrická vzhľadom na osi a , ako aj vzhľadom na bod , ktorý sa nazýva stred elipsy. 3. Z rovnice (11.7) vyplýva, že každý člen na ľavej strane nepresahuje jednu, t.j. existujú nerovnosti a alebo a . Preto všetky body elipsy ležia vo vnútri obdĺžnika tvoreného priamkami. 4. V rovnici (11.7) je súčet nezáporných členov a rovný jednej. V dôsledku toho, keď jeden člen rastie, druhý klesá, to znamená, že ak sa zvyšuje, potom klesá a naopak. Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že elipsa má tvar znázornený na obr. 50 (oválny uzavretý oblúk). Viac o elipse Tvar elipsy závisí od pomeru. Keď sa elipsa zmení na kruh, rovnica elipsy (11.7) nadobudne tvar . Ako charakteristika tvaru elipsy sa častejšie používa pomer. Pomer polovice vzdialenosti medzi ohniskami k hlavnej poloosi elipsy sa nazýva excentricita elipsy a o6o sa označuje písmenom ε ("epsilon"): s 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде To ukazuje, že čím menšia je excentricita elipsy, tým menej sploštená bude elipsa; ak dáme ε = 0, potom sa elipsa zmení na kruh. Existujú vzorce Priame čiary sú tzv Z rovnosti (11.6) vyplýva, že . Ak , potom rovnica (11.7) definuje elipsu, ktorej hlavná os leží na osi Oy a vedľajšia os leží na osi Ox (pozri obr. 52). Ohniská takejto elipsy sú v bodoch a , kde 11.4. Hyperbola Kanonická rovnica hyperboly Hyperbola
množina všetkých bodov roviny sa nazýva modul rozdielu vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom tejto roviny, tzv. triky
, je konštantná hodnota, menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami. Na odvodenie rovnice hyperboly zvolíme súradnicový systém tak, že ohniská F1 a F2 ležať na osi a počiatok sa zhodoval so stredom segmentu Ž 1 Ž 2(pozri obr. 53). Potom budú mať ohniská súradnice a Nech je ľubovoľný bod hyperboly. Potom podľa definície hyperboly Hyperbola je priamka druhého rádu. Skúmanie tvaru hyperboly podľa jej rovnice Stanovme tvar hyperboly pomocou jej kakonickej rovnice. 1. Rovnica (11.9) obsahuje x a y len v párnych mocninách. Preto je hyperbola symetrická vzhľadom na osi a , ako aj vzhľadom na bod , ktorý je tzv. stred hyperboly.
2. Nájdite priesečníky hyperboly so súradnicovými osami. Ak dosadíme rovnicu (11.9), nájdeme dva priesečníky hyperboly s osou : a . Vložením (11.9) dostaneme , čo nemôže byť. Preto hyperbola nepretína os y. Body a sú tzv
vrcholy
hyperboly a segment reálna os
, úsečka - skutočná poloos
hyperbola. Úsečka spájajúca body sa nazýva
pomyselná os
, číslo b - pomyselná os
. Obdĺžnik so stranami 2a a 2b volal hlavný obdĺžnik hyperboly
. 3. Z rovnice (11.9) vyplýva, že minuend nie je menší ako jedna, t.j. že alebo . To znamená, že body hyperboly sú umiestnené napravo od priamky (pravá vetva hyperboly) a naľavo od priamky (ľavá vetva hyperboly). 4. Z rovnice (11.9) hyperboly vidno, že keď sa zväčší, potom aj zväčší. Vyplýva to zo skutočnosti, že rozdiel si udržiava konštantnú hodnotu rovnú jednej. Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že hyperbola má tvar znázornený na obrázku 54 (krivka pozostávajúca z dvoch neohraničených vetiev). Asymptoty hyperboly
Čiara L sa nazýva asymptota Ukážme, že hyperbola má dve asymptoty: Keďže priamky (11.11) a hyperbola (11.9) sú vzhľadom na súradnicové osi symetrické, stačí uvažovať len tie body naznačených priamok, ktoré sa nachádzajú v prvom kvadrante. Vezmite na priamku bod N, ktorý má rovnakú os x ako bod na hyperbole Ako vidíte, ako sa x zvyšuje, menovateľ zlomku sa zvyšuje; čitateľ je konštantná hodnota. Preto dĺžka segmentu Pri konštrukcii hyperboly (11.9) je vhodné najskôr zostrojiť hlavný obdĺžnik hyperboly (pozri obr. 57), nakresliť čiary prechádzajúce protiľahlými vrcholmi tohto obdĺžnika - asymptoty hyperboly a označiť vrcholy a , hyperbolu. . Rovnica rovnostrannej hyperboly. ktorých asymptoty sú súradnicové osi Asymptoty rovnostrannej hyperboly majú rovnice, a preto sú osi súradnicových uhlov. Uvažujme rovnicu tejto hyperboly v novom súradnicovom systéme (pozri obr. 58), získanom zo starého pootočením súradnicových osí o uhol. Na otáčanie súradnicových osí používame vzorce: Dosadíme hodnoty x a y do rovnice (11.12): Rovnica rovnostrannej hyperboly, pre ktorú sú osi Ox a Oy asymptoty, bude mať tvar . Viac o hyperbole výstrednosť
hyperbola (11.9) je pomer vzdialenosti medzi ohniskami k hodnote skutočnej osi hyperboly, označený ε: Pretože pre hyperbolu je excentricita hyperboly väčšia ako jedna: . Excentricita charakterizuje tvar hyperboly. Z rovnosti (11.10) totiž vyplýva, že t.j. a To ukazuje, že čím menšia je excentricita hyperboly, tým menší je pomer jej poloosí, čo znamená, že čím viac je jej hlavný obdĺžnik predĺžený. Excentricita rovnostrannej hyperboly je . naozaj, Ohniskové polomery Priame čiary sa nazývajú smerové čiary hyperboly. Keďže pre hyperbolu ε > 1, potom . To znamená, že pravá smerová čiara je umiestnená medzi stredom a pravým vrcholom hyperboly, ľavá smerová čiara je medzi stredom a ľavým vrcholom. Smerové čiary hyperboly majú rovnakú vlastnosť ako smerové čiary elipsy. Krivka definovaná rovnicou je tiež hyperbola, ktorej skutočná os 2b je umiestnená na osi Oy a imaginárna os 2 a- na osi Ox. Na obrázku 59 je znázornená ako bodkovaná čiara. Je zrejmé, že hyperboly a majú spoločné asymptoty. Takéto hyperboly sa nazývajú konjugované. 11.5. Parabola Rovnica kanonickej paraboly Parabola je množina všetkých bodov v rovine, z ktorých každý je rovnako vzdialený od daného bodu, nazývaného ohnisko, a danej priamky, nazývanej priamka. Vzdialenosť od ohniska F k smerovej priamke sa nazýva parameter paraboly a označuje sa p (p > 0). 1. V rovnici (11.13) je premenná y zahrnutá v párnom stupni, čo znamená, že parabola je symetrická podľa osi Ox; os x je os symetrie paraboly. 2. Keďže ρ > 0, z (11.13) vyplýva, že . Preto je parabola umiestnená napravo od osi y. 3. Keď máme y \u003d 0. Parabola teda prechádza počiatkom. 4. S neobmedzeným nárastom x sa neobmedzene zvyšuje aj modul y. Parabola má tvar (tvar) znázornený na obrázku 61. Bod O (0; 0) sa nazýva vrchol paraboly, segment FM \u003d r sa nazýva ohniskový polomer bodu M. Rovnice , , ( p>0) definujú aj paraboly, sú znázornené na obrázku 62 Je ľahké ukázať, že graf štvorcovej trojčlenky, kde , B a C sú ľubovoľné reálne čísla, je parabolou v zmysle jej definície vyššie. 11.6. Všeobecná rovnica čiar druhého rádu Rovnice kriviek druhého rádu s osami symetrie rovnobežnými so súradnicovými osami Najprv nájdime rovnicu elipsy so stredom v bode, ktorého osi symetrie sú rovnobežné so súradnicovými osami Ox a Oy a poloosi sa rovnajú a a b. Umiestnime do stredu elipsy O 1 počiatok nového súradnicového systému, ktorého osi a poloosi a a b(pozri obr. 64): A nakoniec, paraboly zobrazené na obrázku 65 majú zodpovedajúce rovnice. Rovnica Rovnice elipsy, hyperboly, paraboly a rovnice kružnice po transformáciách (otvoriť zátvorky, presunúť všetky členy rovnice jedným smerom, priniesť rovnaké členy, zaviesť nový zápis pre koeficienty) možno napísať pomocou jedinej rovnice formulár kde koeficienty A a C sa súčasne nerovnajú nule. Vzniká otázka: určuje niektorá rovnica tvaru (11.14) jednu z kriviek (kružnica, elipsa, hyperbola, parabola) druhého rádu? Odpoveď dáva nasledujúca veta. Veta 11.2. Rovnica (11.14) vždy definuje: buď kružnicu (pre A = C), alebo elipsu (pre A C > 0), alebo hyperbolu (pre A C< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Všeobecná rovnica druhého rádu Zvážte teraz všeobecnú rovnicu druhého stupňa s dvoma neznámymi: Od rovnice (11.14) sa líši prítomnosťou člena so súčinom súradníc (B¹ 0). Pootočením súradnicových osí o uhol a je možné túto rovnicu transformovať tak, aby v nej chýbal člen so súčinom súradníc. Použitie vzorcov pre osi sústruženia Vyjadrime staré súradnice z hľadiska nových: Uhol a volíme tak, aby koeficient pri x "y" zanikol, t.j. aby rovnosť Keď sa teda osi pootočia o uhol a, ktorý spĺňa podmienku (11.17), rovnica (11.15) sa zredukuje na rovnicu (11.14). Záver: všeobecná rovnica druhého rádu (11.15) definuje na rovine (okrem prípadov degenerácie a rozpadu) tieto krivky: kružnica, elipsa, hyperbola, parabola. Poznámka: Ak A = C, potom rovnica (11.17) stráca zmysel. V tomto prípade cos2α = 0 (pozri (11.16)), potom 2α = 90°, t.j. α = 45°. Takže pri A = C by mal byť súradnicový systém otočený o 45 °. Elipsa je miesto bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom F_1 a F_2 je konštantná hodnota (2a), väčšia ako vzdialenosť (2c) medzi týmito danými bodmi (obr. 3,36, a). Táto geometrická definícia vyjadruje ohnisková vlastnosť elipsy. Body F_1 a F_2 sa nazývajú ohniská elipsy, vzdialenosť medzi nimi 2c=F_1F_2 je ohnisková vzdialenosť, stred O segmentu F_1F_2 je stred elipsy, číslo 2a je dĺžka hlavnej osi elipsy. elipsy (respektíve číslo a je hlavnou poloosou elipsy). Segmenty F_1M a F_2M spájajúce ľubovoľný bod M elipsy s jej ohniskami sa nazývajú ohniskové polomery bodu M . Úsečka spájajúca dva body elipsy sa nazýva tetiva elipsy. Pomer e=\frac(c)(a) sa nazýva excentricita elipsy. Z definície (2a>2c) vyplýva, že 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). Geometrická definícia elipsy, vyjadrujúci jeho ohniskovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou elipsy: Skutočne si predstavme pravouhlý súradnicový systém (obr. 3.36, c). Stred O elipsy sa považuje za počiatok súradnicového systému; priamku prechádzajúcu ohniskami (ohniskovú os alebo prvú os elipsy) berieme ako os x (kladný smer na nej z bodu F_1 do bodu F_2); priamka kolmá na ohniskovú os a prechádzajúca stredom elipsy (druhá os elipsy) sa berie ako os y (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém Oxy bol správny ). Formulujme rovnicu elipsy pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohnísk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pre ľubovoľný bod M(x,y) patriaci do elipsy máme: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. Zapísaním tejto rovnosti v súradnicovom tvare dostaneme: \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. Prenesieme druhý radikál na pravú stranu, odmocníme obe strany rovnice a dáme podobné výrazy: (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Šípka doľava ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx. Po delení 4 odmocníme obe strany rovnice: A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). Označenie b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dostaneme b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Vydelením oboch častí a^2b^2\ne0 sa dostaneme ku kanonickej rovnici elipsy: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. Preto je zvolený súradnicový systém kanonický. Ak sa ohniská elipsy zhodujú, potom je elipsa kruhová (obr. 3.36.6), keďže a=b. V tomto prípade ľubovoľný pravouhlý súradnicový systém s počiatkom v bode O\ekviv F_1\ekviv F_2 a rovnica x^2+y^2=a^2 je rovnica kruhu so stredom O a polomerom a . Spätným uvažovaním je možné ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.49), a iba oni patria do ťažiska bodov nazývaného elipsa. Inými slovami, analytická definícia elipsy je ekvivalentná jej geometrickej definícii, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť elipsy. Smerové čiary elipsy sú dve priame čiary prechádzajúce rovnobežne s osou kanonického súradnicového systému v rovnakej vzdialenosti \frac(a^2)(c) od nej. Pre c=0, keď je elipsa kruh, neexistujú žiadne smerové čiary (môžeme predpokladať, že smerové čiary sú nekonečne odstránené). Elipsa s excentricitou 0 Napríklad pre ohnisko F_2 a smerovku d_2 (obr. 3.37.6) je podmienka \frac(r_2)(\rho_2)=e možno napísať v súradnicovom tvare: \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Zbaviť sa iracionality a nahradiť e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dospejeme ku kanonickej rovnici elipsy (3.49). Podobné úvahy možno vykonať pre ohnisko F_1 a smerovú čiaru d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e. Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme F_1r\varphi (obr.3.37,c a 3.37(2)) má tvar R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) kde p=\frac(b^2)(a) je ohniskový parameter elipsy. V skutočnosti zvoľme ľavé ohnisko F_1 elipsy ako pól polárneho súradnicového systému a lúč F_1F_2 ako polárnu os (obr. 3.37, c). Potom pre ľubovoľný bod M(r,\varphi) , podľa geometrickej definície (ohniskovej vlastnosti) elipsy, máme r+MF_2=2a . Vyjadríme vzdialenosť medzi bodmi M(r,\varphi) a F_2(2c,0) (pozri bod 2 v poznámkach 2.8): \begin(zarovnané)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (zarovnané) Preto v súradnicovom tvare má rovnica elipsy F_1M+F_2M=2a tvar R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. Izolujeme radikál, odmocníme obe strany rovnice, vydelíme 4 a dáme podobné výrazy: R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. Vyjadríme polárny polomer r a vykonáme substitúciu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Q.E.D. Nájdite priesečníky elipsy (pozri obr. 3.37, a) so súradnicovými osami (vrcholy zllipov). Ak do rovnice dosadíme y=0, nájdeme priesečníky elipsy s osou x (s ohniskovou osou): x=\pm a . Preto je dĺžka segmentu ohniskovej osi uzavretého v elipse rovná 2a. Tento segment, ako je uvedené vyššie, sa nazýva hlavná os elipsy a číslo a je hlavná poloos elipsy. Dosadením x=0 dostaneme y=\pm b . Preto je dĺžka segmentu druhej osi elipsy uzavretého vo vnútri elipsy rovná 2b. Tento segment sa nazýva vedľajšia os elipsy a číslo b sa nazýva vedľajšia poloos elipsy. naozaj, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a a rovnosť b=a získame len v prípade c=0, keď je elipsa kružnica. Postoj k=\frac(b)(a)\leqslant1 sa nazýva kontrakčný faktor elipsy. Poznámky 3.9 1. Priamky x=\pm a,~y=\pm b ohraničujú hlavný obdĺžnik v súradnicovej rovine, vo vnútri ktorej sa nachádza elipsa (pozri obr. 3.37, a). 2. Elipsu možno definovať ako ťažisko bodov získané kontrakciou kružnice na jej priemer. V skutočnosti, nech v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy má kruhová rovnica tvar x^2+y^2=a^2 . Pri stlačení na úsečku s faktorom 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Dosadením x=x" a y=\frac(1)(k)y" do rovnice kružnice dostaneme rovnicu pre súradnice obrazu M"(x",y") bodu M(x ,y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} keďže b=k\cdot a . Toto je kanonická rovnica elipsy. 3. Súradnicové osi (kanonického súradnicového systému) sú osami symetrie elipsy (nazývané hlavné osi elipsy) a jej stred je stredom symetrie. Ak totiž bod M(x,y) patrí do elipsy . potom do tej istej elipsy patria aj body M"(x,-y) a M""(-x,y) , symetrické k bodu M vzhľadom na súradnicové osi. 4. Z rovnice elipsy v polárnom súradnicovom systéme r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(pozri obr. 3.37, c), je objasnený geometrický význam ohniskového parametra - je to polovica dĺžky tetivy elipsy prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na ohniskovú os ( r = p pri \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Excentricita e charakterizuje tvar elipsy, a to rozdiel medzi elipsou a kružnicou. Čím väčšie e, tým je elipsa predĺžená a čím bližšie je e k nule, tým bližšie je elipsa ku kruhu (obr. 3.38, a). Ak vezmeme do úvahy, že e=\frac(c)(a) a c^2=a^2-b^2 , dostaneme E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} kde k je kontrakčný faktor elipsy, 0 6. Rovnica \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 pre
7. Rovnica \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definuje elipsu so stredom v bode O "(x_0, y_0), ktorej osi sú rovnobežné so súradnicovými osami (obr. 3.38, c). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú pomocou paralelného posunu (3.36). Pre a=b=R platí rovnica (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje kružnicu s polomerom R so stredom v bode O"(x_0,y_0) . Parametrická rovnica elipsy v kanonickom súradnicovom systéme má tvar \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Vskutku, dosadením týchto výrazov do rovnice (3.49) dospejeme k základnej trigonometrickej identite \cos^2t+\sin^2t=1 . Príklad 3.20. nakresliť elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 v kanonickom súradnicovom systéme Oxy . Nájdite poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu, pomer strán, ohniskový parameter, rovnice smerovej čiary. rozhodnutie. Porovnaním danej rovnice s kanonickou určíme poloosi: a=2 - hlavná poloos, b=1 - vedľajšia poloos elipsy. Postavíme hlavný obdĺžnik so stranami 2a=4,~2b=2 so stredom v počiatku (obr.3.39). Vzhľadom na symetriu elipsy ju pasujeme do hlavného obdĺžnika. V prípade potreby určíme súradnice niektorých bodov elipsy. Napríklad dosadením x=1 do rovnice elipsy dostaneme \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Preto body so súradnicami \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- patrí do elipsy. Vypočítajte kompresný pomer k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ohnisková vzdialenosť 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); výstrednosť e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ohniskový parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Zostavíme priamkové rovnice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Šípka vľavo~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Parametrická rovnica elipsy
Najjednoduchšia krivka druhého rádu je kruh. Pripomeňme, že kružnica s polomerom R so stredom v bode je množinou všetkých bodov Μ roviny, ktoré spĺňajú podmienku. Nech má bod v pravouhlom súradnicovom systéme súradnice x 0, y 0 a - ľubovoľný bod kružnice (pozri obr. 48).
(11.2)
.
(11.4)
. Jeho stred je v bode 
a polomer
.
, potom rovnica (11.3) má tvar
.
. V tomto prípade hovoria: „kruh sa zvrhol do bodu“ (má nulový polomer).
, potom rovnica (11.4), a teda ekvivalentná rovnica (11.3), nebude určovať žiadnu priamku, pretože pravá strana rovnice (11.4) je záporná a ľavá strana nie je záporná (povedzme: „imaginárny kruh“).
Označte ohniská podľa F1 a F2, vzdialenosť medzi nimi v 2 c a súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu elipsy k ohnisku - až 2 a(pozri obr. 49). Podľa definície 2 a > 2c, t.j. a
> c.
(11.6)
(11.7)
2. Nájdite priesečníky elipsy so súradnicovými osami. Uvedením nájdeme dva body a , v ktorých os pretína elipsu (pozri obr. 50). Vložením rovnice (11.7) nájdeme priesečníky elipsy s osou: a . bodov A 1 ,
A2 , B1, B2 volal vrcholy elipsy. Segmenty A 1 A2 a B1 B2, ako aj ich dĺžky 2 a a 2 b sa nazývajú resp hlavné a vedľajšie osi elipsa. čísla a a b sa nazývajú veľké a malé, resp. nápravové hriadele elipsa.
Nech M(x; y) je ľubovoľný bod elipsy s ohniskami F 1 a F 2 (pozri obr. 51). Dĺžky segmentov F 1 M=r 1 a F 2 M = r 2 sa nazývajú ohniskové polomery bodu M. samozrejme,
Veta 11.1. Ak je vzdialenosť od ľubovoľného bodu elipsy k nejakému ohnisku, d je vzdialenosť od toho istého bodu k priamke zodpovedajúcej tomuto ohnisku, potom je pomer konštantnou hodnotou rovnajúcou sa excentricite elipsy:
.
Označte ohniská podľa F1 a F2 vzdialenosť medzi nimi 2s a modul rozdielu vzdialeností od každého bodu hyperboly k ohniskám 2a. A-priorstvo 2a < 2s, t.j. a < c.
alebo , t.j. po zjednodušeniach, ako sa to urobilo pri odvodení rovnice elipsy, dostaneme
kanonická rovnica hyperboly
(11.9)
(11.10)
neohraničenej krivky K, ak vzdialenosť d od bodu M krivky K k tejto priamke smeruje k nule, keď sa bod M pohybuje pozdĺž krivky K od začiatku neurčito. Obrázok 55 znázorňuje koncept asymptoty: priamka L je asymptota krivky K.
(11.11)
(pozri obr. 56) a nájdite rozdiel ΜN medzi ordinátami priamky a vetvou hyperboly:
ΜN má tendenciu k nule. Pretože ΜN je väčšia ako vzdialenosť d od bodu Μ k priamke, potom d ešte viac smeruje k nule. Čiary sú teda asymptoty hyperboly (11.9).
Hyperbola (11.9) sa nazýva rovnostranná, ak sú jej poloosi rovnaké (). Jeho kanonická rovnica
(11.12)
.
a 
pre body pravej vetvy hyperboly majú tvar a a pre ľavú - 
a 
.
Na odvodenie parabolickej rovnice zvolíme súradnicový systém Oxy tak, že os Oxy prechádza ohniskom F kolmo na smerovú čiaru v smere od smerovej čiary k F a počiatok O sa nachádza v strede medzi ohniskom a smerovou čiarou. (pozri obr. 60). Vo vybranom systéme má ohnisko F súradnice a rovnica smerovej čiary má tvar , alebo .
Ohnisková vlastnosť elipsy
Vlastnosť adresára elipsy
Elipsová rovnica v polárnych súradniciach
Geometrický význam koeficientov v rovnici elipsy
Parametrická rovnica elipsy
Aby bolo možné vykonávať výpočty, musia byť povolené ovládacie prvky ActiveX!
