Uvažujme o definícii priamky v rovine, v ktorej sú premenné x, y funkciami tretej premennej t (nazývanej parameter):

Pre každú hodnotu t z nejakého intervalu zodpovedajú určité hodnoty X a y, a, teda určitý bod M(x, y) roviny. Kedy t prechádza cez všetky hodnoty z daného intervalu, potom bod M (x, y) opisuje nejaký riadok L. Rovnice (2.2) sa nazývajú parametrické rovnice priamky L.

Ak má funkcia x = φ(t) inverznú hodnotu t = Ф(x), potom dosadením tohto výrazu do rovnice y = g(t) dostaneme y = g(Ф(x)), ktoré určuje r ako funkcia X. V tomto prípade sa hovorí, že rovnice (2.2) definujú funkciu r parametricky.

Príklad 1 Nechať byť M (x, y) je ľubovoľný bod kruhu s polomerom R a sústredené v počiatku. Nechať byť t- uhol medzi osou Vôl a polomer OM(Pozri obrázok 2.3). Potom x, y vyjadrené prostredníctvom t:

Rovnice (2.3) sú parametrické rovnice kruhu. Vylúčme parameter t z rovníc (2.3). Aby sme to dosiahli, odmocnime každú z rovníc a spočítame ich, dostaneme: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) alebo x 2 + y 2 \u003d R 2 - kruhová rovnica v karteziánskom súradnicovom systéme. Definuje dve funkcie: Každá z týchto funkcií je daná parametrickými rovnicami (2.3), ale pre prvú funkciu a pre druhú .

Príklad 2. Parametrické rovnice

definujte elipsu s poloosami a, b(obr. 2.4). Vylúčenie parametra z rovníc t dostaneme kanonickú rovnicu elipsy:

Príklad 3. Cykloida je priamka opísaná bodom ležiacim na kružnici, ak sa táto kružnica valí bez skĺznutia po priamke (obr. 2.5). Uveďme si parametrické rovnice cykloidy. Nech je polomer valivého kruhu a, bodka M, popisujúci cykloidu, sa na začiatku pohybu zhodoval so vznikom.

Poďme určiť súradnice X, y bodov M po otočení kruhu o uhol t
(obr. 2.5), t = ÐMCB. Dĺžka oblúka MB rovná dĺžke segmentu OB, keďže sa kruh kotúľa bez pošmyknutia, tak

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - náklady = a (1 - náklady).

Takto sa získajú parametrické rovnice cykloidy:

Pri zmene parametra t od 0 do 2π kružnica sa otočí o jednu otáčku, pričom bod M opisuje jeden oblúk cykloidy. Rovnice (2.5) definujú r ako funkcia X. Hoci funkcia x = a(t - sint) má inverznú funkciu, ale nie je vyjadrená elementárnymi funkciami, teda funkciou y = f(x) nie je vyjadrený v termínoch elementárnych funkcií.

Uvažujme diferenciáciu funkcie danú parametricky rovnicami (2.2). Funkcia x = φ(t) na určitom intervale zmeny t má inverznú funkciu t = Ф(x), potom y = g(Ф(x)). Nechať byť x = φ(t), y = g(t) majú deriváty a x"t≠0. Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie y"x=y"txt"x. Na základe pravidla diferenciácie inverznej funkcie teda:

Výsledný vzorec (2.6) umožňuje nájsť deriváciu pre funkciu zadanú parametricky.

Príklad 4. Nechajte funkciu r, záleží na X, je nastavený parametricky:

rozhodnutie. .
Príklad 5 Nájdite Slope k dotyčnica k cykloide v bode M 0 zodpovedajúcom hodnote parametra .
rozhodnutie. Z cykloidných rovníc: y" t = asint, x" t = a (1 - cena), Preto

Sklon dotyčnice v bode M0 rovná hodnote at t 0 \u003d π / 4:

FUNKČNÝ DIFERENCIÁL

Nechajte funkciu v určitom bode x0 má derivát. A-priorita:
teda vlastnosťami limity (odsek. 1.8) , kde a je nekonečne malý ∆x → 0. Odtiaľ

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Keďže Δx → 0, druhý člen v rovnosti (2.7) je nekonečne malý vyšší rád v porovnaní s , preto sú Δy a f "(x 0) × Δx ekvivalentné, nekonečne malé (pre f "(x 0) ≠ 0).

Prírastok funkcie Δy teda pozostáva z dvoch členov, z ktorých prvý f "(x 0) × Δx je Hlavná časť prírastky Δy, lineárne vzhľadom na Δx (pre f "(x 0) ≠ 0).

Diferenciál funkcia f(x) v bode x 0 sa nazýva hlavná časť prírastku funkcie a označuje sa: D Y alebo df(x0). teda

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Príklad 1 Nájdite diferenciál funkcie D Y a prírastok funkcie Δy pre funkciu y \u003d x 2, keď:
1) svojvoľné X a A X; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

rozhodnutie

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Ak x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, potom Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40 x 0,1 = 4.

Rovnosť (2.7) píšeme v tvare:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Prírastok Δy sa líši od diferenciálu D Y do infinitezimálneho vyššieho rádu v porovnaní s Δx, preto sa pri približných výpočtoch používa približná rovnosť Δy ≈ dy, ak je Δx dostatočne malá.

Ak vezmeme do úvahy, že Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), dostaneme približný vzorec:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Príklad 2. Vypočítajte približne.

rozhodnutie. Zvážte:

Pomocou vzorca (2.10) dostaneme:

Preto ≈ 2,025.

Zvážte geometrický význam diferenciálu df(x0)(obr. 2.6).

Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie y = f (x) v bode M 0 (x0, f (x 0)), nech φ je uhol medzi dotyčnicou KM0 a osou Ox, potom f "(x 0 ) = tgφ. Z ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). PN je však prírastok tečnovej súradnice, keď sa x mení z x 0 na x 0 + Δx.

Preto sa diferenciál funkcie f(x) v bode x 0 rovná prírastku dotyčnice y.

Poďme nájsť diferenciál funkcie
y=x. Pretože (x)" = 1, potom dx = 1 × Δx = Δx. Predpokladáme, že diferenciál nezávislej premennej x sa rovná jej prírastku, teda dx = Δx.

Ak x je ľubovoľné číslo, potom z rovnosti (2.8) dostaneme df(x) = f "(x)dx, odkiaľ .
Derivácia funkcie y = f(x) sa teda rovná pomeru jej diferenciálu k diferenciálu argumentu.

Zvážte vlastnosti diferenciálu funkcie.

Ak sú u(x), v(x) diferencovateľné funkcie, potom sú platné nasledujúce vzorce:

Na dôkaz týchto vzorcov sa používajú odvodené vzorce pre súčet, súčin a kvocient. Dokážme napríklad vzorec (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Uvažujme diferenciál komplexnej funkcie: y = f(x), x = φ(t), t.j. y = f(φ(t)).

Potom dy = y" t dt, ale y" t = y" x ×x" t, takže dy = y" x x" t dt. berúc do úvahy,

že x" t = dx, dostaneme dy = y" x dx =f "(x)dx.

Diferenciál komplexnej funkcie y \u003d f (x), kde x \u003d φ (t), má teda tvar dy \u003d f "(x) dx, rovnako ako keď x je nezávislá premenná. Táto vlastnosť sa volá tvarovo invariantný diferenciál a.

Doteraz sme uvažovali o rovniciach priamok na rovine, ktoré priamo súvisia s aktuálnymi súradnicami bodov týchto priamok. Často sa však používa iný spôsob špecifikácie riadku, pri ktorom sa aktuálne súradnice považujú za funkcie tretej premennej.

Nech sú dané dve funkcie premennej

uvažované pre rovnaké hodnoty t. Potom ktorákoľvek z týchto hodnôt t zodpovedá určitej hodnote a určitej hodnote y, a teda určitému bodu. Keď premenná t prechádza všetkými hodnotami z oblasti definície funkcie (73), bod opisuje nejakú priamku С v rovine. Rovnice (73) sa nazývajú parametrické rovnice tejto priamky a premenná sa nazýva parameter.

Predpokladajme, že funkcia má inverznú funkciu Dosadením tejto funkcie do druhej z rovníc (73) dostaneme rovnicu

vyjadrenie y ako funkcie

Zhodneme sa na tom, že táto funkcia je daná parametricky rovnicami (73). Prechod z týchto rovníc do rovnice (74) sa nazýva eliminácia parametra. Pri parametricky definovaných funkciách nie je vylúčenie parametra nielen nevyhnutné, ale ani nie vždy prakticky možné.

V mnohých prípadoch je oveľa pohodlnejšie, ak vezmeme do úvahy rôzne hodnoty parametra, potom pomocou vzorcov (73) vypočítať zodpovedajúce hodnoty argumentu a funkcie y.

Zvážte príklady.

Príklad 1. Nech je ľubovoľný bod kružnice so stredom v počiatku a polomere R. Kartézske súradnice x a y tohto bodu sú vyjadrené jeho polárnym polomerom a polárnym uhlom, ktorý tu označíme t, nasledovne ( pozri I, § 3, bod 3):

Rovnice (75) sa nazývajú parametrické rovnice kruhu. Parametrom v nich je polárny uhol, ktorý sa mení od 0 do.

Ak sa rovnice (75) odmocnia a pridajú po členoch, potom z dôvodu identity bude parameter eliminovaný a získa sa rovnica kruhu v karteziánskom súradnicovom systéme, ktorá definuje dve základné funkcie:

Každá z týchto funkcií je špecifikovaná parametricky rovnicami (75), ale rozsahy variácií parametrov pre tieto funkcie sú rôzne. Pre prvého; grafom tejto funkcie je horný polkruh. Pre druhú funkciu je jej grafom dolný polkruh.

Príklad 2. Uvažujme súčasne elipsu

a kružnica so stredom v počiatku a polomere a (obr. 138).

Ku každému bodu M elipsy priradíme bod N kružnice, ktorý má rovnakú úsečku ako bod M a nachádza sa s ním na tej istej strane osi Ox. Poloha bodu N, a teda bodu M, je úplne určená polárnym uhlom bodu t. V tomto prípade pre ich spoločnú úsečku získame nasledujúci výraz: x \u003d a. Nájdeme ordinátu v bode M z rovnice elipsy:

Znamienko je zvolené, pretože ordináta v bode M a ordináta v bode N musia mať rovnaké znamienka.

Pre elipsu sa teda získajú nasledujúce parametrické rovnice:

Tu sa parameter t zmení z 0 na .

Príklad 3. Uvažujme kružnicu so stredom v bode a) a polomerom a, ktorá sa zjavne dotýka osi x v počiatku (obr. 139). Predpokladajme, že je to tento kruh, ktorý sa otáča bez skĺznutia pozdĺž osi x. Potom bod M kruhu, ktorý sa v počiatočnom okamihu zhodoval s počiatkom, opisuje priamku, ktorá sa nazýva cykloida.

Odvodíme parametrické rovnice cykloidy, pričom ako parameter t berieme uhol natočenia kružnice MSW pri pohybe jej pevného bodu z polohy O do polohy M. Potom pre súradnice a y bodu M získame tieto výrazy:

Vzhľadom k tomu, že kruh sa valí pozdĺž osi bez skĺznutia, dĺžka segmentu OB sa rovná dĺžke oblúka VM. Pretože dĺžka oblúka VM sa rovná súčinu polomeru a a stredového uhla t, potom . Takže . Ale preto,

Tieto rovnice sú parametrické rovnice cykloidy. Pri zmene parametra t z 0 na kruh vykoná jednu úplnú otáčku. Bod M bude opisovať jeden oblúk cykloidy.

Vylúčenie parametra t tu vedie k ťažkopádnym výrazom a je prakticky nepraktické.

Parametrická definícia čiar sa používa najmä v mechanike a čas zohráva úlohu parametra.

Príklad 4. Určme dráhu strely vystrelenej z pištole s počiatočnou rýchlosťou pod uhlom a k horizontu. Zanedbaný je odpor vzduchu a rozmery strely, ktorá sa považuje za hmotný bod.

Vyberme si súradnicový systém. Pre počiatok súradníc berieme východiskový bod strely z ústia. Nasmerujme os Ox horizontálne a os Oy - vertikálne, pričom ich umiestnime do rovnakej roviny s ústím pištole. Ak by neexistovala žiadna gravitačná sila, projektil by sa pohyboval pozdĺž priamky zvierajúcej uhol a s osou Ox a v čase t by projektil prekonal vzdialenosť. V dôsledku zemskej gravitácie musí strela v tomto momente vertikálne klesnúť o hodnotu. Preto sú v skutočnosti v čase t súradnice strely určené vzorcami:

Tieto rovnice sú konštanty. Pri zmene t sa zmenia aj súradnice bodu trajektórie strely. Rovnice sú parametrické rovnice trajektórie strely, v ktorej parametrom je čas

Vyjadrenie z prvej rovnice a jej dosadenie

druhá rovnica, dostaneme rovnicu dráhy strely v tvare Toto je rovnica paraboly.

Derivácia funkcie danej implicitne.
Derivácia parametricky definovanej funkcie

V tomto článku zvážime dve ďalšie typické úlohy, ktoré sa často vyskytujú v testoch vo vyššej matematike. Pre úspešné zvládnutie materiálu je potrebné vedieť nájsť deriváty aspoň na priemernej úrovni. Ako nájsť deriváty prakticky od začiatku sa môžete naučiť v dvoch základných lekciách a Derivácia zloženej funkcie. Ak je všetko v poriadku s rozlišovacími schopnosťami, tak poďme.

Derivácia funkcie definovanej implicitne

Alebo skrátka derivácia implicitnej funkcie. Čo je to implicitná funkcia? Najprv si pripomeňme samotnú definíciu funkcie jednej premennej:

Funkcia jednej premennej je pravidlo, že každej hodnote nezávislej premennej zodpovedá jedna a len jedna hodnota funkcie.

Premenná sa volá nezávislá premenná alebo argument.
Premenná sa volá závislá premenná alebo funkciu .

Doteraz sme zvažovali funkcie definované v explicitné formulár. Čo to znamená? Dohodnime si zhrnutie na konkrétnych príkladoch.

Zvážte funkciu

Vidíme, že vľavo máme osamelé „y“ a vpravo - iba x. Teda funkcia výslovne vyjadrené ako nezávislá premenná .

Zoberme si ďalšiu funkciu:

Tu sú premenné a umiestnené "zmiešané". A akýmkoľvek spôsobom nemožné vyjadrite „Y“ iba prostredníctvom „X“. Aké sú tieto metódy? Prenášanie pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, zátvorky, hádzanie faktorov podľa pravidla proporcie atď. Prepíšte rovnosť a skúste vyjadriť „y“ explicitne:. Môžete krútiť a otáčať rovnicu celé hodiny, ale neuspejete.

Dovoľte mi uviesť: - príklad implicitná funkcia.

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že implicitná funkcia existujú(ale nie vždy), má graf (rovnako ako „normálna“ funkcia). To isté platí pre implicitnú funkciu. existujú prvá derivácia, druhá derivácia atď. Ako sa hovorí, všetky práva sexuálnych menšín sú rešpektované.

A v tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť deriváciu funkcie danej implicitne. Nie je to také ťažké! Všetky pravidlá diferenciácie, tabuľka derivácií elementárnych funkcií zostávajú v platnosti. Rozdiel je v jednom zvláštnom bode, ktorý teraz zvážime.

Áno, a poviem vám dobrú správu - úlohy uvedené nižšie sa vykonávajú podľa pomerne tuhého a jasného algoritmu bez kameňa pred tromi stopami.

Príklad 1

1) V prvej fáze zavesíme ťahy na obe časti:

2) Používame pravidlá linearity derivácie (prvé dve pravidlá lekcie Ako nájsť derivát? Príklady riešení):

3) Priama diferenciácia.
Ako odlíšiť a úplne pochopiteľné. Čo robiť, keď sú pod ťahmi „hry“?

- len na hanbu, derivácia funkcie sa rovná jej derivácii: .

Ako sa odlíšiť
Tu máme komplexná funkcia. prečo? Zdá sa, že pod sínusom je iba jedno písmeno "Y". Faktom však je, že iba jedno písmeno "y" - JE FUNKCIOU SAMA O SEBE(pozri definíciu na začiatku lekcie). Sínus je teda vonkajšia funkcia, je to vnútorná funkcia. Používame pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie :

Produkt je odlíšiteľný podľa bežného pravidla :

Všimnite si, že je to tiež zložitá funkcia, každá „otočná hračka“ je komplexná funkcia:

Samotný návrh riešenia by mal vyzerať asi takto:


Ak existujú zátvorky, otvorte ich:

4) Na ľavej strane zhromažďujeme pojmy, v ktorých je „y“ s ťahom. Na pravej strane - prenášame všetko ostatné:

5) Na ľavej strane vyberieme deriváciu zo zátvoriek:

6) A podľa pravidla proporcie umiestnime tieto zátvorky do menovateľa pravej strany:

Derivát sa našiel. Pripravený.

Je zaujímavé poznamenať, že každá funkcia môže byť prepísaná implicitne. Napríklad funkcia možno prepísať takto: . A rozlíšiť to podľa práve uvažovaného algoritmu. V skutočnosti sa frázy „implicitná funkcia“ a „implicitná funkcia“ líšia v jednej sémantickej nuancii. Fráza „implicitne definovaná funkcia“ je všeobecnejšia a správnejšia, - táto funkcia je daná implicitne, ale tu môžete vyjadriť "y" a prezentovať funkciu explicitne. Výraz „implicitná funkcia“ znamená „klasickú“ implicitnú funkciu, keď „y“ nemožno vyjadriť.

Druhý spôsob riešenia

Pozor! S druhou metódou sa môžete zoznámiť iba vtedy, ak viete, ako ju s istotou nájsť parciálne deriváty. Počet začiatočníci a nechápaví prosím nečítajte a preskočte tento odsek, inak bude hlava úplný chaos.

Nájdite deriváciu implicitnej funkcie druhým spôsobom.

Všetky výrazy presunieme na ľavú stranu:

A zvážte funkciu dvoch premenných:

Potom sa naša derivácia dá nájsť podľa vzorca
Poďme nájsť parciálne derivácie:

takto:

Druhé riešenie umožňuje vykonať kontrolu. Je však nežiaduce vypracovať pre nich konečnú verziu úlohy, pretože parciálne derivácie sú zvládnuté neskôr a študent, ktorý študuje tému „Derivácia funkcie jednej premennej“, by nemal parciálne derivácie poznať.

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Na obe časti zavesíme ťahy:

Používame pravidlá linearity:

Hľadanie derivátov:

Rozbalenie všetkých zátvoriek:

Všetky výrazy prenesieme na ľavú stranu, zvyšok na pravú stranu:

Konečná odpoveď:

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Úplné riešenie a ukážka návrhu na konci lekcie.

Nie je nezvyčajné, že po diferenciácii sa objavia zlomky. V takýchto prípadoch sa musia zlomky zlikvidovať. Pozrime sa na ďalšie dva príklady.

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Obe časti uzavrieme pod ťahmi a použijeme pravidlo linearity:

Diferencujeme pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie a pravidlo diferenciácie kvocientu :

Rozšírenie zátvoriek:

Teraz sa musíme zbaviť zlomku. Dá sa to urobiť neskôr, ale racionálnejšie je to urobiť hneď. Menovateľ zlomku je . Vynásobte na . V detaile to bude vyzerať takto:

Niekedy po diferenciácii sa objavia 2-3 frakcie. Ak by sme mali napríklad o jeden zlomok viac, potom by sa operácia musela opakovať – vynásobiť každý termín každej časti na

Na ľavej strane sme to dali zo zátvoriek:

Konečná odpoveď:

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Toto je príklad „urob si sám“. Jediná vec v ňom je, že predtým, ako sa zbavíte zlomku, musíte sa najskôr zbaviť trojposchodovej štruktúry samotného zlomku. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Derivácia parametricky definovanej funkcie

Nenapínajte, aj v tomto odseku je všetko celkom jednoduché. Všeobecný vzorec parametricky danej funkcie si môžete zapísať, ale aby bolo jasné, hneď napíšem konkrétny príklad. V parametrickom tvare je funkcia daná dvoma rovnicami: . Často sa rovnice píšu nie pod zložené zátvorky, ale postupne:,.

Premenná sa nazýva parameter a môže nadobúdať hodnoty od „mínus nekonečna“ po „plus nekonečno“. Zvážte napríklad hodnotu a dosaďte ju do oboch rovníc: . Alebo ľudsky: "ak sa x rovná štyrom, potom y sa rovná jednej." Na rovine súradníc môžete označiť bod a tento bod bude zodpovedať hodnote parametra. Podobne môžete nájsť bod za ľubovoľnú hodnotu parametra „te“. Čo sa týka „obyčajnej“ funkcie, pre amerických Indiánov parametricky danej funkcie sú tiež rešpektované všetky práva: môžete vykresliť graf, nájsť deriváty atď. Mimochodom, ak je potrebné zostaviť graf parametricky danej funkcie, môžete použiť môj program.

V najjednoduchších prípadoch je možné funkciu reprezentovať explicitne. Vyjadríme parameter z prvej rovnice: a dosaďte ho do druhej rovnice: . Výsledkom je obyčajná kubická funkcia.

V „ťažších“ prípadoch takýto trik nefunguje. Ale na tom nezáleží, pretože existuje vzorec na nájdenie derivácie parametrickej funkcie:

Nájdeme deriváciu „hráča vzhľadom na premennú te“:

Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľky derivátov platia, samozrejme, pre písmeno , teda v procese hľadania derivátov nie je žiadna novinka. Stačí mentálne nahradiť všetky "x" v tabuľke písmenom "te".

Nájdeme deriváciu "x vzhľadom na premennú te":

Teraz zostáva len nahradiť nájdené deriváty do nášho vzorca:

Pripravený. Derivácia, rovnako ako samotná funkcia, závisí aj od parametra .

Čo sa týka zápisu, namiesto zápisu do vzorca by sme ho mohli jednoducho napísať bez dolného indexu, keďže ide o „obyčajnú“ deriváciu „podľa x“. Ale v literatúre sa vždy nájde nejaký variant, takže nebudem vybočovať zo štandardu.

Príklad 6

Používame vzorec

V tomto prípade:

takto:

Znakom hľadania derivácie parametrickej funkcie je fakt, že pri každom kroku je výhodné čo najviac zjednodušiť výsledok. Takže v uvažovanom príklade som pri hľadaní otvoril zátvorky pod koreňom (aj keď som to možno neurobil). Je veľká šanca, že pri nahrádzaní a do vzorca sa veľa vecí dobre zredukuje. Aj keď, samozrejme, existujú príklady s nemotornými odpoveďami.

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie zadanej parametricky

Toto je príklad „urob si sám“.

V článku Najjednoduchšie typické problémy s deriváciou uvažovali sme o príkladoch, v ktorých bolo potrebné nájsť druhú deriváciu funkcie. Pre parametricky zadanú funkciu môžete nájsť aj druhú deriváciu a tá sa zistí podľa nasledujúceho vzorca: . Je celkom zrejmé, že ak chcete nájsť druhú deriváciu, musíte najprv nájsť prvú deriváciu.

Príklad 8

Nájdite prvú a druhú deriváciu parametricky zadanej funkcie

Najprv nájdime prvú deriváciu.
Používame vzorec

V tomto prípade:

Nájdené deriváty dosadíme do vzorca. Pre jednoduchosť používame trigonometrický vzorec:

Logaritmická diferenciácia

Derivácie elementárnych funkcií

Základné pravidlá diferenciácie

Funkčný diferenciál

Hlavná lineárna časť prírastku funkcie A D X v definícii diferencovateľnosti funkcie

D f=f(X)-f(X 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

sa nazýva diferenciál funkcie f(X) v bode X 0 a označené

df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.

Rozdiel závisí od bodu X 0 a od prírastku D X. Na D X pričom sa na to pozeráme ako na nezávislú premennú, takže v každom bode je diferenciál lineárnou funkciou prírastku D X.

Ak uvažujeme ako funkciu f(X)=x, potom dostaneme dx= D x, dy=Adx. To je v súlade s Leibnizovou notáciou

Geometrická interpretácia diferenciálu ako prírastku tečnovej ordináty.

Ryža. 4.3

1) f= konšt , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Dôsledok. (porov(X))¢=cf¢(X), (c 1 f 1 (X)+…+c n f n(X))¢= c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)

4) f=u/v, v(X 0)¹0 a derivácia teda existuje f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Pre stručnosť budeme označovať u=u(X), u 0 =u(X 0), potom

Prejazd na limit v D x® 0 získame požadovanú rovnosť.

5) Derivácia komplexnej funkcie.

Veta. Ak sú tam f¢(X 0), g¢(X 0)a x 0 =g(t 0), potom v niektorom susedstve t 0 komplexná funkcia f(g(t)), je diferencovateľná v bode t 0 a

Dôkaz.

f(X)-f(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ a( X)(x-x 0), XÎ U(X 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(X 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Vydeľte obe strany tejto rovnosti ( t - t 0) a prejsť na limit pri t®t 0 .

6) Výpočet derivácie inverznej funkcie.

Veta. Nech f je spojité a striktne monotónne zapnuté[a,b]. Nech v bode x 0 Î( a,b)existuje f¢(X 0)¹0 , potom inverzná funkcia x=f -1 (r)má v bode y 0 derivát rovný

Dôkaz. My veríme f prísne monotónne rastúce teda f -1 (r) je spojitý, monotónne narastajúci na [ f(a),f(b)]. Položme r 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0 = D X,

y-y 0 = D r. Kvôli spojitosti inverznej funkcie D r®0 Þ D X®0, máme

Prejdením na limit získame požadovanú rovnosť.

7) Derivácia párnej funkcie je nepárna, derivácia nepárnej funkcie je párna.

Skutočne, ak x®-x 0 , potom - x® x 0 , Preto

Pre párnu funkciu pre nepárnu funkciu

1) f= konšt., f¢(X)=0.

2) f(X)=x, f¢(X)=1.

3) f(X)=e x, f¢(X)= e x ,

4) f(X)=a x,(a x)¢ = x ln a.

5) ln a.

6) f(X)=ln X ,

Dôsledok. (derivácia párnej funkcie je nepárna)

7) (X m )¢= m X m-1 , X>0, X m =e m ln X .

8) (hriech X)¢= cos X,

9) (kos X)¢=- hriech X,(kos X)¢= (hriech( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2) = - hriech X.

10) (tg X)¢= 1/cos 2 X.

11) (ctg X)¢= -1/sin2 X.

16) sh X, ch X.

f(x),, z čoho vyplýva, že f¢(X)=f(X)(ln f(X))¢ .

Rovnaký vzorec možno získať inak f(X)=e ln f(X) , f¢=e ln f(X) (ln f(X))¢.

Príklad. Vypočítajte deriváciu funkcie f=x x.

=x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Umiestnenie bodov na rovine

sa bude nazývať graf funkcie, daná parametricky. Hovoria tiež o parametrickej definícii funkcie.

Poznámka 1. Ak x, y nepretržite zapnuté [a,b] a X(t) v segmente prísne monotónne (napríklad prísne monotónne rastúce), potom na [ a,b], a=x(a) ,b=x(b) funkcia definovaná f(X)=y(t(X)), kde t(X) – funkcia inverzná k x(t). Graf tejto funkcie je rovnaký ako graf funkcie

Ak rozsah parametricky definovanú funkciu možno rozdeliť na konečný počet segmentov ,k= 1,2,…,n, na každom z nich funkciu X(t) je prísne monotónna, potom sa parametricky definovaná funkcia rozkladá na konečný počet obyčajných funkcií f k(X)=y(t -1 (X)) s rozsahom [ X(a k), X(b k)] pre stúpajúce oblasti X(t) a s doménami [ X(b k), X(a k)] pre zostupné úseky funkcie X(t). Takto získané funkcie sa nazývajú jednohodnotové vetvy parametricky definovanej funkcie.

Na obrázku je znázornený graf parametricky definovanej funkcie

So zvolenou parametrizáciou doménou definície je rozdelená do piatich sekcií prísnej monotónnosti funkcie sin(2 t), presne tak: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , a podľa toho sa graf rozdelí na päť jednohodnotových vetiev zodpovedajúcich týmto sekciám.

Ryža. 4.4

Ryža. 4.5

Môžete si zvoliť inú parametrizáciu rovnakého lokusu bodov

V tomto prípade budú takéto pobočky len štyri. Budú zodpovedať oblastiam prísnej monotónnosti tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ funkcie hriech (2 t).

Ryža. 4.6

Štyri úseky monotónnosti funkcie sin(2 t) na segmente dlhom.

Ryža. 4.7

Obrázok oboch grafov na jednom obrázku umožňuje približne znázorniť graf parametricky danej funkcie s využitím oblastí monotónnosti oboch funkcií.

Zoberme si napríklad prvú vetvu zodpovedajúcu segmentu tÎ . Na konci tejto časti je funkcia x= hriech (2 t) nadobúda hodnoty -1 a 1 , takže táto vetva bude definovaná na [-1,1] . Potom sa musíte pozrieť na oblasti monotónnosti druhej funkcie y= cos( t), ona má dve oblasti monotónnosti . To nám umožňuje povedať, že prvá vetva má dva segmenty monotónnosti. Po nájdení koncových bodov grafu ich môžete spojiť rovnými čiarami, aby ste naznačili povahu monotónnosti grafu. Keď to urobíme s každou vetvou, získame oblasti monotónnosti jednohodnotových vetiev grafu (na obrázku sú zvýraznené červenou farbou)

Ryža. 4.8

Prvá samostatná vetva f 1 (X)=y(t(X)) , zodpovedajúce sekcii bude určený pre Xн[-1,1] . Prvá samostatná vetva tÎ , XО[-1,1].

Všetky ostatné tri vetvy budú mať tiež množinu [-1,1] ako doménu .

Ryža. 4.9

Druhá vetva tÎ XО[-1,1].

Ryža. 4.10

Tretia vetva tÎ Xн[-1,1]

Ryža. 4.11

Štvrtá vetva tÎ Xн[-1,1]

Ryža. 4.12

Komentujte 2. Rovnaká funkcia môže mať rôzne parametrické priradenia. Rozdiely sa môžu týkať oboch funkcií samotných X(t),y(t) , a domény definície tieto funkcie.

Príklad rôznych parametrických priradení tej istej funkcie

a tн[-1, 1] .

Poznámka 3. Ak x,y sú súvislé , X(t)- v segmente prísne monotónne a existujú deriváty y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, potom existuje f¢(X 0)= .

Naozaj,.

Posledný príkaz sa vzťahuje aj na jednohodnotové vetvy parametricky definovanej funkcie.

4.2 Deriváty a diferenciály vyšších rádov

Vyššie derivácie a diferenciály. Diferenciácia funkcií daná parametricky. Leibnizov vzorec.

Funkciu je možné definovať niekoľkými spôsobmi. Závisí to od pravidla, ktoré sa používa pri jeho nastavovaní. Explicitná forma definície funkcie je y = f (x) . Sú prípady, kedy je jeho popis nemožný alebo nepohodlný. Ak existuje množina párov (x; y), ktoré je potrebné vypočítať pre parameter t za interval (a; b). Na vyriešenie systému x = 3 náklady t y = 3 sin t s 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definícia parametrickej funkcie

Z toho vyplýva, že x = φ (t) , y = ψ (t) sú definované pre hodnotu t ∈ (a ; b) a majú inverznú funkciu t = Θ (x) pre x = φ (t) , potom hovoríme o stanovení parametrickej rovnice funkcie v tvare y = ψ (Θ (x)) .

Existujú prípady, keď na štúdium funkcie je potrebné hľadať deriváciu vzhľadom na x. Uvažujme vzorec pre deriváciu parametricky danej funkcie tvaru y x " = ψ " (t) φ " (t) , hovorme o derivácii 2. a n-tého rádu.

Odvodenie vzorca pre deriváciu parametricky danej funkcie

Máme, že x = φ (t) , y = ψ (t) , definované a diferencovateľné pre t ∈ a ; b , kde x t " = φ " (t) ≠ 0 a x = φ (t) , potom existuje inverzná funkcia tvaru t = Θ (x) .

Na začiatok by ste mali prejsť od parametrickej úlohy k explicitnej. Aby ste to dosiahli, musíte získať komplexnú funkciu v tvare y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , kde je argument x .

Na základe pravidla na nájdenie derivácie komplexnej funkcie dostaneme, že y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

To ukazuje, že t = Θ (x) a x = φ (t) sú inverzné funkcie zo vzorca inverznej funkcie Θ "(x) = 1 φ" (t) , potom y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ" (t) .

Prejdime k úvahe o riešení niekoľkých príkladov pomocou tabuľky derivácií podľa pravidla diferenciácie.

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie x = t 2 + 1 y = t .

rozhodnutie

Podľa podmienky máme, že φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, teda dostaneme, že φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Je potrebné použiť odvodený vzorec a odpoveď napísať v tvare:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

odpoveď: y x" = 12 t x = t2 + 1.

Pri práci s deriváciou funkcie parameter t špecifikuje vyjadrenie argumentu x cez rovnaký parameter t, aby sa nestratilo spojenie medzi hodnotami derivácie a parametricky špecifikovanou funkciou s argumentom, ku ktorému tieto hodnoty zodpovedajú.

Na určenie derivácie druhého rádu parametricky danej funkcie je potrebné použiť vzorec pre deriváciu prvého rádu na výslednej funkcii, potom dostaneme, že

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Príklad 2

Nájdite derivácie 2. a 2. rádu danej funkcie x = cos (2 t) y = t 2 .

rozhodnutie

Podmienkou získame, že φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Potom po transformácii

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Z toho vyplýva, že y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Dostaneme, že tvar derivácie 1. rádu je x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Aby ste to vyriešili, musíte použiť odvodený vzorec druhého rádu. Dostávame výraz ako

y x "" \u003d - t sin (2 t) φ "t \u003d - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Potom nastavte deriváciu 2. rádu pomocou parametrickej funkcie

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Podobné riešenie je možné riešiť inou metódou. Potom

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2 t)" = 2

Preto to chápeme

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

odpoveď: y "" x \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Podobne sa nachádzajú derivácie vyššieho rádu s parametricky špecifikovanými funkciami.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter