Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, ktoré vám umožňujú jednoducho pracovať s obyčajnými zlomkami. LCM a sa najčastejšie používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.

Základné pojmy

Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktorým je X deliteľné bezo zvyšku. Napríklad deliteľ čísla 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkom celého čísla X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bezo zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je násobok 12.

Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ je 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže pri výpočtoch sa používa najväčší deliteľ GCD a najmenší násobok LCM. .

Najmenší deliteľ nedáva zmysel, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov má tendenciu k nekonečnu.

Nájdenie GCD

Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:

• postupné vyčíslenie deliteľov, výber spoločných pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
• rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
• Euklidov algoritmus;
• binárny algoritmus.

Dnes sú vo vzdelávacích inštitúciách najobľúbenejšie metódy rozkladu na hlavné faktory a euklidovský algoritmus. Ten sa zase používa pri riešení diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice, či je možné ju vyriešiť v celých číslach.

Nájdenie NOC

Najmenší spoločný násobok je tiež presne určený iteratívnym sčítaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:

LCM(X,Y) = X x Y/GCM(X,Y).

Napríklad, ak gcd(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najzrejmejším použitím LCM je nájsť spoločného menovateľa, ktorým je najmenší spoločný násobok dané zlomky.

Coprime čísla

Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. GCM pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia deliteľov a násobkov sa GCM pre coprime rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú koprimé, pretože nemajú spoločných deliteľov, a LCM(25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy rovnaké.

Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy na výpočet spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike ročníkov 5 a 6, avšak GCD a LCM sú kľúčové pojmy matematiky a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.

Príklady zo života

Spoločný menovateľ zlomkov

Najmenší spoločný násobok sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa viacerých zlomkov. Predpokladajme, že v aritmetickej úlohe je potrebné sčítať 5 zlomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Ak chcete pridať zlomky, výraz sa musí zredukovať na spoločného menovateľa, čím sa zníži problém s nájdením LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte 5 čísel v kalkulačke a zadajte hodnoty menovateľa do príslušných buniek. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte pre každý zlomok vypočítať ďalšie faktory, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Takže extra multiplikátory budú vyzerať takto:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takéto zlomky môžeme jednoducho sčítať a dostaneme výsledok v tvare 159/360. Zlomok znížime o 3 a uvidíme konečnú odpoveď - 53/120.

Riešenie lineárnych diofantických rovníc

Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na niekoľko rovníc na možnosť celočíselného riešenia. Najprv skontrolujte rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky zistíme gcd (150,8) = 2. Vydelte 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celé korene.

Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite gcd(1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je diofantínska rovnica v koeficiente riešiteľná .

Záver

GCD a LCM zohrávajú dôležitú úlohu v teórii čísel a samotné pojmy sú široko používané v rôznych oblastiach matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.

Definícia. Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ (gcd) tieto čísla.

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 24 a 35.
Deliteľmi 24 budú čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a deliteľmi 35 budú čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 majú len jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú nesúdeliteľné.

Definícia. Prirodzené čísla sa nazývajú nesúdeliteľné ak ich najväčší spoločný deliteľ (gcd) je 1.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD) možno nájsť bez vypisovania všetkých deliteľov daných čísel.

Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnutých do rozšírenia prvého z týchto čísel vypúšťame tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla (t. j. dve dvojky).
Zostávajú faktory 2 * 2 * 3. Ich súčin je 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36. Nájdeme aj najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel.

Nájsť najväčší spoločný deliteľ

2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel;
3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.

Ak sú všetky dané čísla deliteľné jedným z nich, potom toto číslo je najväčší spoločný deliteľ dané čísla.
Napríklad najväčší spoločný deliteľ 15, 45, 75 a 180 je 15, pretože delí všetky ostatné čísla: 45, 75 a 180.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) prirodzené čísla a a b sú najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch a a b. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 75 a 60 možno nájsť bez vypisovania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozložíme 75 a 60 na jednoduché faktory: 75 \u003d 3 * 5 * 5 a 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a doplníme k nim chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia druhého čísla (čiže faktory spojíme).
Dostaneme päť faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktorých súčin je 300. Toto číslo je najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Nájdite tiež najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel.

Komu nájsť najmenší spoločný násobok niekoľko prirodzených čísel, potrebujete:
1) rozložiť ich na hlavné faktory;
2) napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;
4) nájdite súčin výsledných faktorov.

Všimnite si, že ak je jedno z týchto čísel deliteľné všetkými ostatnými číslami, potom je toto číslo najmenším spoločným násobkom týchto čísel.
Napríklad najmenší spoločný násobok 12, 15, 20 a 60 by bol 60, pretože je deliteľný všetkými danými číslami.

Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) a jeho študenti študovali problematiku deliteľnosti čísel. Číslo, ktoré sa rovná súčtu všetkých jeho deliteľov (bez samotného čísla), nazývali dokonalé číslo. Napríklad čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sú dokonalé. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, 33 550 336. Pytagorejci poznali iba prvé tri dokonalé čísla. Štvrtý - 8128 - sa stal známym v 1. storočí. n. e. Piata - 33 550 336 - bola nájdená v 15. storočí. Do roku 1983 už bolo známych 27 dokonalých čísel. Doteraz však vedci nevedia, či existujú nepárne dokonalé čísla, či existuje najväčšie dokonalé číslo.
Záujem starovekých matematikov o prvočísla je spôsobený tým, že každé číslo je buď prvočíslo, alebo môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, to znamená, že prvočísla sú ako tehly, z ktorých sa skladá zvyšok prirodzených čísel.
Pravdepodobne ste si všimli, že prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne – v niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Ale čím ďalej sa v číselnom rade pohybujeme, tým sú prvočísla zriedkavejšie. Vynára sa otázka: existuje posledné (najväčšie) prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid (3. storočie pred Kristom) vo svojej knihe „Začiatky“, ktorá bola dvetisíc rokov hlavnou učebnicou matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa, teda za každým prvočíslom je párne číslo. väčšie prvočíslo.
Na nájdenie prvočísel prišiel s takouto metódou iný grécky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zapísal si všetky čísla od 1 po nejaké číslo a potom prečiarkol jednotku, ktorá nie je prvočíslom ani zloženým číslom, potom prečiarkol cez jednotku všetky čísla po 2 (čísla, ktoré sú násobkom 2, t.j. 4, 6, 8 atď.). Prvé zostávajúce číslo po 2 bolo 3. Potom sa po dvojke prečiarkli všetky čísla po 3 (čísla, ktoré sú násobkami 3, t.j. 6, 9, 12 atď.). nakoniec ostali neprečiarknuté len prvočísla.

Matematické výrazy a úlohy si vyžadujú množstvo ďalších vedomostí. NOC je jednou z hlavných, obzvlášť často používaná v téme.Téma sa študuje na strednej škole, pričom nie je zvlášť náročná na pochopenie látky, pre človeka znalého mocniny a násobilky nebude ťažké vybrať potrebné čísla a nájdite výsledok.

Definícia

Spoločný násobok je číslo, ktoré možno úplne rozdeliť na dve čísla súčasne (a a b). Najčastejšie sa toto číslo získa vynásobením pôvodných čísel a a b. Číslo musí byť deliteľné oboma číslami naraz, bez odchýlok.

NOC je krátky názov, ktorý je prevzatý z prvých písmen.

Spôsoby, ako získať číslo

Na nájdenie LCM nie je vždy vhodná metóda násobenia čísel, oveľa lepšie sa hodí pre jednoduché jednociferné alebo dvojciferné čísla. Je zvykom deliť sa na faktory, čím väčšie číslo, tým viac faktorov bude.

Príklad č. 1

Pre najjednoduchší príklad školy zvyčajne berú jednoduché, jednociferné alebo dvojciferné čísla. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu úlohu, nájsť najmenší spoločný násobok čísel 7 a 3, riešenie je celkom jednoduché, stačí ich vynásobiť. Výsledkom je číslo 21, menšie číslo jednoducho neexistuje.

Príklad č. 2

Druhá možnosť je oveľa náročnejšia. Uvádzajú sa čísla 300 a 1260, nájdenie LCM je povinné. Na vyriešenie úlohy sa predpokladajú tieto akcie:

Rozklad prvého a druhého čísla na najjednoduchšie faktory. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prvá etapa bola dokončená.

Druhá fáza zahŕňa prácu s už získanými údajmi. Každé z prijatých čísel sa musí podieľať na výpočte konečného výsledku. Pre každý faktor je najväčší počet výskytov prevzatý z pôvodných čísel. LCM je bežné číslo, preto sa v ňom musia do posledného opakovať faktory z čísel, aj tie, ktoré sú prítomné v jednej kópii. Obe počiatočné čísla majú vo svojom zložení čísla 2, 3 a 5, v rôznych stupňoch, 7 je len v jednom prípade.

Ak chcete vypočítať konečný výsledok, musíte do rovnice vziať každé číslo v najväčšej z ich reprezentovaných mocnín. Zostáva len znásobiť a získať odpoveď, pri správnom vyplnení sa úloha bez vysvetlenia zapadá do dvoch krokov:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To je celá úloha, ak sa pokúsite vypočítať požadované číslo vynásobením, odpoveď určite nebude správna, pretože 300 * 1260 = 378 000.

Vyšetrenie:

6300 / 300 = 21 - pravda;

6300 / 1260 = 5 je správne.

Správnosť výsledku sa zisťuje kontrolou – delením LCM oboma pôvodnými číslami, ak je číslo v oboch prípadoch celé, tak je odpoveď správna.

Čo znamená NOC v matematike

Ako viete, v matematike neexistuje jediná zbytočná funkcia, táto nie je výnimkou. Najbežnejším účelom tohto čísla je priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi. Čo sa zvyčajne študuje v 5. – 6. ročníku strednej školy. Je to tiež dodatočný spoločný deliteľ pre všetky násobky, ak sú takéto podmienky v probléme. Takýto výraz môže nájsť násobok nielen dvoch čísel, ale aj oveľa väčšieho čísla - tri, päť atď. Čím viac čísel - tým viac akcií v úlohe, ale zložitosť sa nezvýši.

Napríklad pri číslach 250, 600 a 1500 musíte nájsť ich celkový LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - tento príklad podrobne popisuje faktorizáciu bez redukcie.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Na zostavenie výrazu je potrebné uviesť všetky faktory, v tomto prípade sú uvedené 2, 5, 3 - pre všetky tieto čísla je potrebné určiť maximálny stupeň.

Pozor: všetky násobiče sa musia podľa možnosti úplne zjednodušiť a rozložiť na úroveň jednotlivých číslic.

Vyšetrenie:

1) 3000 / 250 = 12 - pravda;

2) 3000 / 600 = 5 - pravda;

3) 3000 / 1500 = 2 je správne.

Táto metóda nevyžaduje žiadne triky ani schopnosti na úrovni génia, všetko je jednoduché a prehľadné.

Inač

V matematike veľa súvisí, veľa sa dá vyriešiť dvoma alebo viacerými spôsobmi, to isté platí aj o hľadaní najmenšieho spoločného násobku, LCM. V prípade jednoduchých dvojciferných a jednociferných čísel možno použiť nasledujúci spôsob. Zostaví sa tabuľka, v ktorej je multiplikátor zadaný vertikálne, multiplikátor horizontálne a súčin je uvedený v pretínajúcich sa bunkách stĺpca. Tabuľku môžete zobraziť pomocou čiary, vezme sa číslo a výsledky vynásobenia tohto čísla celými číslami sa zapíšu do riadku, od 1 do nekonečna, niekedy stačí 3-5 bodov, podrobí sa druhé a ďalšie čísla na rovnaký výpočtový proces. Všetko sa deje, kým sa nenájde spoločný násobok.

Vzhľadom na čísla 30, 35, 42 musíte nájsť LCM, ktorý spája všetky čísla:

1) Násobky 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 atď.

2) Násobky 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 atď.

3) Násobky 42: 84, 126, 168, 210, 252 atď.

Je zrejmé, že všetky čísla sú dosť odlišné, jediné spoločné číslo medzi nimi je 210, takže to bude LCM. Medzi procesmi spojenými s týmto výpočtom je aj najväčší spoločný deliteľ, ktorý sa počíta podľa podobných princípov a často sa s ním stretávame v susedných problémoch. Rozdiel je malý, ale dostatočne významný, LCM zahŕňa výpočet čísla, ktoré je deliteľné všetkými danými počiatočnými hodnotami a GCD predpokladá výpočet najväčšej hodnoty, ktorou sa počiatočné čísla delia.

Najväčší spoločný deliteľ

Definícia 2

Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a číslo $a$ sa nazýva násobok $b$.

Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ pre $a$ aj $b$.

Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je ten najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a na jeho označenie sa používa zápis:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​alebo \ D \ (a;b) $

Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel:

1. Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

Príklad 1

Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$gcd=2\cdot 11=22$

Príklad 2

Nájdite GCD monomiálov 63 $ a 81 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:

Rozložme čísla na prvočísla

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.

Príklad 3

Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.

rozhodnutie:

Nájdite množinu deliteľov $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Teraz nájdime množinu deliteľov $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Nájdeme priesečník týchto množín: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. Takže najväčší spoločný deliteľ 48 $ a 60 $ je 12 $.

Definícia NOC

Definícia 3

spoločný násobok prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.

Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné originálom. Napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločnými násobkami čísla $50,100,150,200 $ atď.

Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a označí sa LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$

Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, potrebujete:

1. Rozložte čísla na prvočísla
2. Vypíšte faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla, a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého čísla a nepokračujte k prvému

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to

Rozložte čísla na prvočísla

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom

pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nejdú do prvého

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často časovo veľmi náročné. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidov algoritmus.

Vyhlásenia, na ktorých je založený Euklidov algoritmus:

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b

Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne znižovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.

Vlastnosti GCD a LCM

1. Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
2. Ak $a\vdots b$ , potom K$(a;b)=a$

Ak K$(a;b)=k$ a $m$-prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$

Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$

Pre všetky prirodzené čísla $a$ a $b$ je rovnosť

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Každý spoločný deliteľ $a$ a $b$ je deliteľ $D(a;b)$

Najmenší spoločný násobok dvoch čísel priamo súvisí s najväčším spoločným deliteľom týchto čísel. Toto prepojenie medzi GCD a NOC je definovaný nasledujúcou vetou.

Veta.

Najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel aab sa rovná súčinu čísel aab deleného najväčším spoločným deliteľom čísel aab , tj. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Dôkaz.

Nechať byť M je nejaký násobok čísel a a b. To znamená, že M je deliteľné a a podľa definície deliteľnosti existuje nejaké celé číslo k také, že rovnosť M=a·k platí. Ale M je deliteľné aj b, potom a k je deliteľné b.

Označte gcd(a, b) ako d . Potom môžeme zapísať rovnosti a=a 1 ·d a b=b 1 ·d a a 1 =a:dab 1 =b:d budú prvočísla. Preto podmienku získanú v predchádzajúcom odseku, že a k je deliteľné b, možno preformulovať takto: a 1 d k je deliteľné b 1 d , a to je vzhľadom na vlastnosti deliteľnosti ekvivalentné podmienke, že a 1 k je deliteľné b jedna .

Musíme si tiež zapísať dva dôležité dôsledky z uvažovanej vety.

Spoločné násobky dvoch čísel sú rovnaké ako násobky ich najmenšieho spoločného násobku.

To je pravda, pretože akýkoľvek spoločný násobok M čísel aab je definovaný rovnosťou M=LCM(a, b) t pre nejakú celočíselnú hodnotu t .

Najmenší spoločný násobok kladných čísel aab sa rovná ich súčinu.

Zdôvodnenie tejto skutočnosti je celkom zrejmé. Keďže a a b sú rovnaké ako prvé, potom gcd(a, b)=1 , teda LCM(a,b)=ab: GCD(a,b)=ab:l=ab.

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku troch alebo viacerých čísel možno zredukovať na postupné hľadanie LCM dvoch čísel. Ako sa to robí, je naznačené v nasledujúcej vete: a 1 , a 2 , …, a k sa zhodujú so spoločnými násobkami čísel m k-1 a ak sa teda zhodujú s násobkami m k . A keďže najmenší kladný násobok čísla m k je samotné číslo m k, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2 , …, a k je m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Vinogradov I.M. Základy teórie čísel.
• Mikhelovič Sh.Kh. Teória čísel.
• Kulikov L.Ya. a iné Zbierka úloh z algebry a teórie čísel: Učebnica pre študentov fiz.-mat. odbornosti pedagogických ústavov.