X 3 3 x 2 10 x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x 12

ax 2 bx c , kde a , b a c sú dané čísla a a 0 .

Štvorcovú trojčlennú os 2 bx c transformujeme nasledovne.

x2 :

koeficient

x):a x

čo je druhá mocnina čísla

V dôsledku toho dostaneme:

Teraz si to všimnite

Získajte

4a 2

Príklad. Vyberte celý štvorec.

2 x 12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

1. Vynásobte 8

x3 12 x 7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Faktorizujte

a2x3

3 y 3;

4 3 85

16 6

2 520 9 519

16 0,25

16 0,25

Definícia

Výrazy ako 2 x 2 + 3 x + 5 sa nazývajú štvorcová trojčlenka. Vo všeobecnom prípade je štvorcová trojčlenka vyjadrením tvaru a x 2 + b x + c, kde a, b, c a, b, c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Uvažujme štvorcovú trojčlenku x 2 - 4 x + 5 . Zapíšme si to v tomto tvare: x 2 - 2 2 x + 5. Pripočítajme k tomuto výrazu 2 2 a odčítame 2 2, dostaneme: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Všimnite si, že x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, takže x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Premena, ktorú sme urobili, sa nazýva "výber celého štvorca zo štvorcového trojčlenu".

Vyberte dokonalý štvorec zo štvorcového trojčlenu 9 x 2 + 3 x + 1 .

Všimnite si, že 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Potom `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Sčítaním a odčítaním k výslednému výrazu `(1/2)^2` dostaneme

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Ukážme si, ako sa metóda extrakcie celého štvorca zo štvorcového trojčlenu používa na rozklad štvorcového trojčlenu.

Vynásobte štvorcovú trojčlenku 4 x 2 - 12 x + 5 .

Zo štvorcového trojčlenu vyberieme úplný štvorec: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Teraz použite vzorec a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), dostaneme: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x -1).

Rozdeľte štvorcovú trojčlenku - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Teraz si všimnite, že 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

K výrazu 9 x 2 - 12 x pridáme člen 2 2, dostaneme:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Aplikujeme vzorec pre rozdiel štvorcov, máme:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Vynásobte štvorcovú trojčlenku 3 x 2 - 14 x - 5 .

Výraz 3 x 2 nemôžeme znázorniť ako druhú mocninu nejakého výrazu, pretože sme sa to ešte v škole neučili. Toto si prejdete neskôr a už v úlohe č.4 budeme študovať odmocniny. Ukážme si, ako môžeme rozložiť daný štvorcový trinom:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Ukážeme, ako sa metóda úplného štvorca používa na nájdenie najväčších alebo najmenších hodnôt štvorcového trinomu.
Uvažujme štvorcovú trojčlenku x 2 - x + 3 . Výber celého štvorca:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Všimnite si, že keď `x=1/2`, hodnota štvorcového trojčlenu je `11/4`, a keď `x!=1/2` sa k hodnote `11/4` pripočíta kladné číslo, takže získajte číslo väčšie ako 11/4. Najmenšia hodnota štvorcového trinomu je teda `11/4` a získa sa s `x=1/2`.

Nájdite najväčšiu hodnotu štvorcového trojčlenu - 16 2 + 8 x + 6 .

Zo štvorcového trojčlenu vyberieme úplný štvorec: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Pri `x=1/4` je hodnota štvorcového trojčlenu 7 a pri `x!=1/4` sa kladné číslo odpočíta od čísla 7, čiže dostaneme číslo menšie ako 7 . Číslo 7 je teda najväčšia hodnota štvorcového trinomu a získa sa s `x=1/4`.

Rozdeľte čitateľa a menovateľa na faktor `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` a zlomok zrušte.

Všimnite si, že menovateľ zlomku x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Čitateľa zlomku rozložíme na faktory pomocou metódy extrakcie celého štvorca zo štvorcového trojčlenu. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3).

Tento zlomok bol zredukovaný do tvaru `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` po zmenšení o (x - 3) dostaneme `(x+5)/(x-3 )“.

Vynásobte polynóm x 4 - 13 x 2 + 36.

Aplikujme na tento polynóm metódu úplného štvorca. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Ako som už poznamenal, v integrálnom počte neexistuje vhodný vzorec na integráciu zlomku. A preto je tu smutný trend: čím je zlomok „vymyslenejší“, tým ťažšie je nájsť z neho integrál. V tomto smere sa treba uchýliť k rôznym trikom, o ktorých teraz budem diskutovať. Pripravení čitatelia môžu okamžite použiť obsah:

• Metóda subsumovania pod znamienko diferenciálu pre jednoduché zlomky

Čitateľ Metóda umelej transformácie

Príklad 1

Mimochodom, uvažovaný integrál sa dá vyriešiť aj zmenou premennej metódy, označovaním , ale riešenie bude oveľa dlhšie.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál. Spustite kontrolu.

Toto je príklad „urob si sám“. Treba poznamenať, že tu už nebude fungovať metóda variabilnej náhrady.

Pozor dôležitá! Príklady č. 1, 2 sú typické a bežné. Najmä takéto integrály často vznikajú pri riešení iných integrálov, najmä pri integrácii iracionálnych funkcií (odmocnín).

Vyššie uvedená metóda funguje aj v prípade ak je najvyššia mocnina čitateľa väčšia ako najvyššia mocnina menovateľa.

Príklad 3

Nájdite neurčitý integrál. Spustite kontrolu.

Začnime s čitateľom.

Algoritmus výberu čitateľa je asi takýto:

1) V čitateli potrebujem usporiadať , ale tam . Čo robiť? Vložím do zátvoriek a vynásobím: .

2) Teraz sa pokúsim otvoriť tieto zátvorky, čo sa stane? . Hmm ... už lepšie, ale v čitateli nie je na začiatku žiadna dvojka. Čo robiť? Musíte vynásobiť:

3) Opätovné otvorenie držiakov: . A je tu prvý úspech! Potrebné sa ukázalo! Problém je však v tom, že sa objavil termín navyše. Čo robiť? Aby sa výraz nezmenil, musím do svojej konštrukcie pridať to isté:
. Život sa stal ľahším. Dá sa to znova zorganizovať v čitateli?

4) Môžete. Skúsime: . Rozbaľte zátvorky druhého termínu:
. Ospravedlňujeme sa, ale v predchádzajúcom kroku som mal, a nie . Čo robiť? Musíme vynásobiť druhý člen takto:

5) Pre overenie opäť otváram zátvorky v druhom termíne:
. Teraz je to normálne: získané z konečnej konštrukcie odseku 3! Ale opäť je tu malé „ale“, objavil sa ďalší výraz, čo znamená, že musím k svojmu výrazu pridať:

Ak je všetko vykonané správne, potom pri otvorení všetkých zátvoriek by sme mali dostať pôvodný čitateľ integrandu. Kontrolujeme:
Dobre.

takto:

Pripravený. V minulom semestri som aplikoval metódu privedenia funkcie pod diferenciál.

Ak nájdeme deriváciu odpovede a privedieme výraz k spoločnému menovateľovi, dostaneme presne pôvodný integrand. Uvažovaná metóda expanzie do súčtu nie je nič iné ako reverzná akcia, aby sa výraz dostal do spoločného menovateľa.

Algoritmus výberu čitateľa v takýchto príkladoch sa najlepšie vykoná na koncepte. S niektorými schopnosťami to pôjde aj psychicky. Pamätám si rekordnú dobu, keď som robil výber pre 11. mocninu a rozšírenie čitateľa trvalo takmer dva riadky Werdu.

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál. Spustite kontrolu.

Toto je príklad „urob si sám“.

Metóda subsumovania pod znamienko diferenciálu pre jednoduché zlomky

Prejdime k ďalšiemu typu zlomkov.
, , , (koeficienty a sa nerovnajú nule).

V skutočnosti už niekoľko prípadov s arcsínusom a arkustangentom v lekcii skĺzlo Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli. Takéto príklady sú vyriešené uvedením funkcie pod znamienko diferenciálu a následnou integráciou pomocou tabuľky. Tu je niekoľko typických príkladov s dlhým a vysokým logaritmom:

Príklad 5

Príklad 6

Tu je vhodné vyzdvihnúť tabuľku integrálov a riadiť sa akými vzorcami a ako prebieha transformácia. Poznámka, ako a prečoštvorce sú v týchto príkladoch zvýraznené. Najmä v príklade 6 musíme najskôr reprezentovať menovateľa ako , potom uveďte pod znamienko diferenciálu. A toto všetko musíte urobiť, aby ste mohli použiť štandardný tabuľkový vzorec .

Ale na čo sa pozerať, skúste príklady č. 7,8 vyriešiť sami, hlavne, že sú dosť krátke:

Príklad 7

Príklad 8

Nájdite neurčitý integrál:

Ak si môžete overiť aj tieto príklady, potom sú vaše najlepšie rozlišovacie schopnosti veľmi rešpektované.

Metóda výberu plného štvorca

Integrály formulára, (koeficienty a nie sú rovné nule) sú vyriešené metóda výberu plného štvorca, ktorý sa už objavil v lekcii Geometrické transformácie grafov.

V skutočnosti sa takéto integrály redukujú na jeden zo štyroch tabuľkových integrálov, ktoré sme práve uvažovali. A to sa dosiahne pomocou známych skrátených vzorcov násobenia:

Vzorce sa používajú v tomto smere, to znamená, že myšlienkou metódy je umelo usporiadať výrazy v menovateli alebo a potom ich previesť na alebo.

Príklad 9

Nájdite neurčitý integrál

Toto je najjednoduchší príklad, kde s pojmom - jednotkový koeficient(a nie nejaké číslo alebo mínus).

Pozeráme sa na menovateľa, tu je celá vec jasne zredukovaná na prípad. Začnime s prevodom menovateľa:

Je zrejmé, že musíte pridať 4. A tak, aby sa výraz nezmenil - rovnaké štyri a odpočítať:

Teraz môžete použiť vzorec:

Po dokončení konverzie VŽDY je žiaduce vykonať spätný pohyb: všetko je v poriadku, nie sú žiadne chyby.

Čistý dizajn predmetného príkladu by mal vyzerať asi takto:

Pripravený. Prinesenie „voľnej“ komplexnej funkcie pod diferenciálne znamienko: by sa v zásade dalo zanedbať

Príklad 10

Nájdite neurčitý integrál:

Toto je príklad na samoriešenie, odpoveď je na konci hodiny.

Príklad 11

Nájdite neurčitý integrál:

Čo robiť, keď je vpredu mínus? V tomto prípade musíte zo zátvoriek vyňať mínus a usporiadať termíny v poradí, ktoré potrebujeme:. Neustále(v tomto prípade "dvojitý") nedotýkaj sa!

Teraz pridáme jeden do zátvoriek. Pri analýze výrazu dospejeme k záveru, že ho potrebujeme za zátvorkou - pridajte:

Tu je vzorec, použite:

VŽDY vykonávame kontrolu návrhu:
, ktorá mala byť overená.

Čistý dizajn príkladu vyzerá asi takto:

Komplikujeme úlohu

Príklad 12

Nájdite neurčitý integrál:

Tu s pojmom už nejde o jeden koeficient, ale o „päťku“.

(1) Ak sa konštanta nachádza v, potom ju okamžite vyjmeme zo zátvoriek.

(2) Vo všeobecnosti je vždy lepšie túto konštantu z integrálu vyňať, aby neprekážala.

(3) Je zrejmé, že všetko sa zredukuje na vzorec . Je potrebné pochopiť pojem, a to získať „dvojku“

(4) Áno, . Takže pridáme k výrazu a odčítame rovnaký zlomok.

(5) Teraz vyberte celý štvorec. Vo všeobecnom prípade je tiež potrebné vypočítať , ale tu máme dlhý logaritmický vzorec , a akcia nemá zmysel vykonávať, prečo - bude jasné o niečo nižšie.

(6) V skutočnosti môžeme použiť vzorec , len namiesto "x" máme, čo nepopiera platnosť tabuľkového integrálu. Presne povedané, chýba jeden krok - pred integráciou mala byť funkcia uvedená pod diferenciálne znamienko: , ale ako som už viackrát poznamenal, často sa to zanedbáva.

(7) V odpovedi pod koreňom je žiaduce otvoriť všetky zátvorky späť:

Zložité? V integrálnom počte to nie je najťažšie. Uvažované príklady však nie sú také zložité, pretože vyžadujú dobrú výpočtovú techniku.

Príklad 13

Nájdite neurčitý integrál:

Toto je príklad „urob si sám“. Odpovedzte na konci lekcie.

V menovateli sú integrály s koreňmi, ktoré sa pomocou náhrady redukujú na integrály uvažovaného typu, o nich si môžete prečítať v článku Komplexné integrály, ale je určený pre vysoko pripravených študentov.

Uvedenie čitateľa pod znamienko diferenciálu

Toto je posledná časť lekcie, ale integrály tohto typu sú celkom bežné! Ak sa nahromadila únava, možno je lepšie čítať zajtra? ;)

Integrály, ktoré budeme uvažovať, sú podobné integrálom z predchádzajúceho odseku, majú tvar: alebo (koeficienty a nie sú rovné nule).

To znamená, že v čitateli máme lineárnu funkciu. Ako vyriešiť takéto integrály?

Online kalkulačka.
Výber druhej mocniny dvojčlenu a rozklad štvorcového trojčlenu.

Tie. problémy sa obmedzujú na hľadanie čísel \(p, q \) a \(n, m \)

Program nielen dáva odpoveď na problém, ale zobrazuje aj proces riešenia.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, pre rodičov na ovládanie riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať domácu úlohu z matematiky či algebry hotovú čo najrýchlejšie? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný výcvik a/alebo výcvik vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Ak nepoznáte pravidlá zadávania štvorcového trojčlenu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie štvorcového polynómu

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Čísla je možné zadávať ako celé čísla alebo zlomky.
Okrem toho je možné zadávať zlomkové čísla nielen vo forme desatinných miest, ale aj vo forme obyčajného zlomku.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch môže byť zlomková časť od celého čísla oddelená bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta takto: 2,5x – 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Pri zadávaní výrazu môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa pri riešení najprv zjednoduší zavedený výraz.
Napríklad: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Podrobný príklad riešenia

Výber štvorca dvojčlenu.$$ ax^2+bx+c \šípka doprava a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\vľavo (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ odpoveď:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizácia.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \vpravo) = $$ $$ 2 \vľavo (x -1 \vpravo) \vľavo (x +2 \vpravo) $$ odpoveď:$$2x^2+2x-4 = 2 \ľavý (x -1 \vpravo) \ľavý (x +2 \vpravo) $$

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Extrakcia štvorcového dvojčlenu zo štvorcového trojčlenu

Ak je štvorcová trinomická ax 2 + bx + c reprezentovaná ako a (x + p) 2 + q, kde p a q sú reálne čísla, potom hovoria, že od štvorcová trojčlenka, štvorec dvojčlenu je zvýraznený.

Vyberme druhú mocninu dvojčlenu z trojčlenu 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Aby sme to dosiahli, predstavujeme 6x ako súčin 2 * 3 * x a potom pridáme a odčítame 3 2 . Dostaneme:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

To. my vybral druhú mocninu dvojčlenu zo štvorcového trojčlenu a ukázal, že:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Ak je štvorcová trojčlenná os 2 +bx+c reprezentovaná ako a(x+n)(x+m), kde n a m sú reálne čísla, potom sa operácia považuje za vykonanú faktorizácia štvorcového trojčlenu.

Ukážme si na príklade, ako sa táto transformácia vykonáva.

Rozložme štvorcovú trojčlenku na faktor 2x 2 +4x-6.

Vyberme koeficient a zo zátvoriek, t.j. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformujme výraz v zátvorkách.
Aby sme to dosiahli, predstavujeme 2x ako rozdiel 3x-1x a -3 ako -1*3. Dostaneme:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

To. my faktorizujte štvorcovú trojčlenku a ukázal, že:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Všimnite si, že faktorizácia štvorcového trinomu je možná len vtedy, ak má kvadratická rovnica zodpovedajúca tomuto trinomu korene.
Tie. v našom prípade je možné rozdeliť trojčlenku 2x 2 +4x-6, ak má kvadratická rovnica 2x 2 +4x-6 =0 korene. V procese faktorizácie sme zistili, že rovnica 2x 2 +4x-6 =0 má dva korene 1 a -3, pretože s týmito hodnotami sa rovnica 2(x-1)(x+3)=0 zmení na skutočnú rovnosť.

V tejto lekcii si pripomenieme všetky predtým študované metódy faktorizácie polynómu a zvážime príklady ich aplikácie, okrem toho budeme študovať novú metódu - metódu úplného štvorca a naučíme sa, ako ju aplikovať pri riešení rôznych problémov.

Predmet:Faktorizácia polynómov

lekcia:Faktorizácia polynómov. Metóda výberu plného štvorca. Kombinácia metód

Pripomeňme si hlavné metódy faktorizácie polynómu, ktoré boli študované skôr:

Metóda vyňatia spoločného súčiniteľa zo zátvoriek, teda súčiniteľa, ktorý je prítomný vo všetkých členoch polynómu. Zvážte príklad:

Pripomeňme, že jednočlen je súčinom mocnín a čísel. V našom príklade majú oba členy nejaké spoločné, identické prvky.

Vyberme teda spoločný faktor zo zátvoriek:

;

Pripomeňme, že vynásobením vykresleného násobiteľa zátvorkou môžete skontrolovať správnosť vykreslenia.

metóda zoskupovania. Nie vždy je možné z polynómu vyňať spoločný faktor. V tomto prípade je potrebné rozdeliť jeho členov do skupín tak, že v každej skupine môžete vybrať spoločný faktor a pokúsiť sa ho rozdeliť tak, aby sa po vyňatí faktorov v skupinách objavil spoločný faktor pre skupinu. celý výraz a expanzia by mohla pokračovať. Zvážte príklad:

Zoskupte prvý výraz so štvrtým, druhý s piatym a tretí so šiestym:

Vyberme si spoločné faktory v skupinách:

Výraz má spoločný faktor. Vyberme si to:

Aplikácia skrátených vzorcov násobenia. Zvážte príklad:

;

Napíšme výraz podrobne:

Očividne máme pred sebou vzorec na druhú mocninu rozdielu, keďže existuje súčet druhých mocnín dvoch výrazov a od toho sa odčíta ich dvojitý súčin. Poďme podľa vzorca:

Dnes sa naučíme iný spôsob - metódu výberu plného štvorca. Vychádza zo vzorcov druhej mocniny súčtu a druhej mocniny rozdielu. Pripomeňte si ich:

Vzorec pre druhú mocninu súčtu (rozdielu);

Zvláštnosťou týchto vzorcov je, že obsahujú druhé mocniny dvoch výrazov a ich dvojitý súčin. Zvážte príklad:

Napíšeme výraz:

Takže prvý výraz je a druhý.

Na vytvorenie vzorca pre druhú mocninu súčtu alebo rozdielu nestačí dvojitý súčin výrazov. Je potrebné pridať a odčítať:

Poďme zbaliť celú druhú mocninu súčtu:

Transformujme výsledný výraz:

Aplikujeme vzorec rozdielu štvorcov, pripomeňme si, že rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov je súčinom a súčtom ich rozdielu:

Táto metóda teda spočíva predovšetkým v tom, že je potrebné identifikovať výrazy a a b, ktoré sú na druhú mocninu, teda určiť, ktoré výrazy sú v tomto príklade odmocnené. Potom musíte skontrolovať prítomnosť dvojitého súčinu, a ak tam nie je, pridajte ho a odčítajte, význam príkladu sa tým nezmení, ale polynóm je možné rozdeliť pomocou vzorcov pre štvorec. súčtu alebo rozdielu a rozdielu druhých mocnín, ak je to možné.

Prejdime k riešeniu príkladov.

Príklad 1 – faktorizácia:

Nájdite výrazy na druhú:

Napíšme si, aký by mal byť ich dvojitý súčin:

Pripočítajme a odčítame dvojitý súčin:

Zbalíme celú druhú mocninu súčtu a dáme podobné:

Budeme písať podľa vzorca rozdielu štvorcov:

Príklad 2 - vyriešte rovnicu:

;

Na ľavej strane rovnice je trojčlenka. Treba si to odrátať. Používame vzorec druhej mocniny rozdielu:

Máme druhú mocninu prvého výrazu a dvojitý súčin, druhá mocnina druhého výrazu chýba, sčítajme a odčítajme:

Zbalíme celý štvorec a dáme podobné výrazy:

Použime vzorec rozdielu štvorcov:

Takže máme rovnicu

Vieme, že súčin sa rovná nule iba vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Na základe toho napíšeme rovnice:

Poďme vyriešiť prvú rovnicu:

Poďme vyriešiť druhú rovnicu:

Odpoveď: alebo

;

Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade - vyberieme druhú mocninu rozdielu.