Pokračujeme v obľúbenej téme matematickej analýzy - deriváciách. V tomto článku sa naučíme, ako nájsť parciálne derivácie funkcie troch premenných: prvé deriváty a druhé deriváty. Čo potrebujete vedieť a ovládať látku? Neverte tomu, ale v prvom rade musíte vedieť nájsť „obyčajné“ derivácie funkcie jednej premennej – na vysokej alebo aspoň priemernej úrovni. Ak je to s nimi naozaj tesné, začnite lekciou Ako nájsť derivát? Po druhé, je veľmi dôležité prečítať si článok a pochopiť a vyriešiť, ak nie všetky, tak väčšinu príkladov. Ak sa to už stalo, kráčajte so mnou sebavedomou chôdzou, bude to zaujímavé, dokonca budete mať potešenie!
Metódy a princípy zisťovania parciálne derivácie funkcie troch premenných sú v skutočnosti veľmi podobné parciálnym derivačným funkciám dvoch premenných. Funkcia dvoch premenných, pripomínam, má tvar , kde „x“ a „y“ sú nezávislé premenné. Geometricky je funkcia dvoch premenných určitý povrch v našom trojrozmernom priestore.
Funkcia troch premenných má tvar , pričom premenné sa nazývajú nezávislýpremenných alebo argumenty, premenná sa volá závislá premenná alebo funkciu. Napríklad: - funkcia troch premenných
A teraz trochu o sci-fi filmoch a mimozemšťanoch. Často počujete o 4D, 5D, 10D atď. priestory. Nezmysel alebo nie?
Z funkcie troch premenných totiž vyplýva fakt, že všetky veci sa odohrávajú v štvorrozmernom priestore (v skutočnosti existujú štyri premenné). Grafom funkcie troch premenných je tzv hyperpovrch. Nedá sa to predstaviť, keďže žijeme v trojrozmernom priestore (dĺžka/šírka/výška). Aby ste sa so mnou nenudili, ponúkam kvíz. Položím pár otázok a tí, ktorí chcú, môžu skúsiť odpovedať:
- Existuje na svete štvrtý, piaty atď.? merania v zmysle filistínskeho chápania priestoru (dĺžka/šírka/výška)?
- Je možné postaviť štvorrozmerný, päťrozmerný atď. priestor v širšom zmysle slova? Teda uviesť príklad takéhoto priestoru v našom živote.
Dá sa cestovať do minulosti?
Je možné cestovať do budúcnosti?
- Existujú mimozemšťania?
Pre akúkoľvek otázku si môžete vybrať jednu zo štyroch odpovedí:
Áno / Nie (veda to zakazuje) / Veda nezakazuje / Neviem
Kto správne odpovie na všetky otázky, ten s najväčšou pravdepodobnosťou niečo vlastní ;-)
Počas hodiny budem postupne rozdávať odpovede na otázky, príklady nepreskakujte!
Vlastne leteli. A teraz dobrá správa: pre funkciu troch premenných platia pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií. Preto musíte byť dobrí v zvládaní „obyčajných“ deriváty funkcií jedna premenná. Rozdielov je veľmi málo!
Príklad 1
Riešenie: Je ľahké uhádnuť, že pre funkciu troch premenných existuje tri parciálne deriváty prvého rádu, ktoré sa označujú takto:
Alebo - čiastočná derivácia "x";
alebo - čiastočná derivácia vzhľadom na "y";
alebo - čiastočná derivácia vzhľadom na "z".
Viac sa používa zápis s ťahom, ale zostavovatelia zbierok, príručiek v podmienkach úloh veľmi radi používajú práve ťažkopádne zápisy - tak sa nestratte! Možno nie každý vie tieto „hrozné zlomky“ správne nahlas prečítať. Príklad: má znieť takto: „de u po de x“.
Začnime s x-deriváciou: . Keď nájdeme čiastočnú deriváciu vzhľadom na , potom premenné A sa považujú za konštanty (konštantné čísla). A derivácia akejkoľvek konštanty, milosť, sa rovná nule:
Okamžite dávajte pozor na dolný index - nikto vám nezakazuje označiť, že sú konštanty. Je to ešte pohodlnejšie, začiatočníkom odporúčam používať práve takýto záznam, je menšie riziko zámeny.
(1) Využijeme vlastnosti linearity derivácie, konkrétne vyberieme všetky konštanty zo znamienka derivácie. Upozorňujeme, že v druhom člene nie je potrebné konštantu vyberať: keďže „y“ je konštanta, potom je tiež konštantou. V termíne sú „obvyklá“ konštanta 8 a konštanta „zet“ vyňaté zo znamienka derivácie.
(2) Nájdeme najjednoduchšie derivácie, pričom nezabúdame, že sú to konštanty. Ďalej hrebeň odpoveď.
Čiastočná derivácia. Keď nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na "y", potom premenné A sa považujú za konštanty:
(1) Využívame vlastnosti linearity. A opäť si všimnite, že pojmy sú konštanty, čo znamená, že pre znamienko derivácie nie je potrebné nič vyberať.
(2) Nájdeme derivácie, pričom nezabúdame na konštanty. Zjednodušme odpoveď.
A nakoniec čiastočná derivácia. Keď nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na "z", potom premenné A sa považujú za konštanty:
Všeobecné pravidlo jasné a nenáročné: Keď nájdeme parciálnu deriváciupre akékoľvek nezávislá premenná tedadvaja ďalší nezávislé premenné sa považujú za konštanty.
Pri navrhovaní týchto úloh by ste mali byť mimoriadne opatrní, najmä nemôže stratiť predplatné(ktoré označujú, na ktorej premennej diferenciácii sa robí). Strata indexu bude VEĽKÁ CHYBA. Hmmm…. je smiešne, ak mi po takomto zastrašovaní budú niekde chýbať)
Príklad 2
Nájdite parciálne derivácie prvého rádu funkcie troch premenných
Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Dva zvažované príklady sú celkom jednoduché a po vyriešení niekoľkých podobných problémov sa dokonca aj čajník prispôsobí slovnému zásahu proti nim.
Pre vyloženie sa vráťme k prvej otázke kvízu: Je na svete štvrtá, piata atď.? merania v zmysle filistínskeho chápania priestoru (dĺžka/šírka/výška)?
Správna odpoveď: Veda to nezakazuje.. Všetky základné matematické axiomatiky, vety, matematické aparáty sú krásne a konzistentné pracovať v priestore akejkoľvek dimenzie. Je možné, že niekde vo Vesmíre existujú hyperplochy, ktoré nepodliehajú našej mysli, napríklad štvorrozmerná hyperplocha, ktorá je daná funkciou troch premenných. Alebo možno sú vedľa nás hyperplochy alebo dokonca sme v nich priamo, len naše videnie, iné zmyslové orgány, vedomie sú schopné vnímať a chápať len tri dimenzie.
Vráťme sa k príkladom. Áno, ak je niekto silne zaťažený kvízom, je lepšie prečítať si odpovede na nasledujúce otázky po tom, ako sa naučíte nájsť parciálne derivácie funkcie troch premenných, inak vám v priebehu článku vytiahnem celý mozog =)
Okrem najjednoduchších Príkladov 1,2 sú v praxi úlohy, ktoré možno nazvať malým hlavolamom. Takéto príklady mi, na moju zlosť, z oka vypadli, keď som lekciu vytvoril. Parciálne derivácie funkcií dvoch premenných. Nahradenie strateného času:
Príklad 3
Riešenie: Zdá sa, že „všetko je jednoduché“, ale prvý dojem klame. Pri hľadaní čiastkových derivátov budú mnohí hádať na kávovej usadenine a robiť chyby.
Rozoberme príklad dôsledne, jasne a jasne.
Začnime parciálnou deriváciou vzhľadom na x. Keď nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na „x“, potom sa premenné považujú za konštanty. Preto je index našej funkcie tiež konštantou. Pre figuríny odporúčam nasledovné riešenie: na koncepte zmeňte konštantu na konkrétne kladné celé číslo, napríklad na „päť“. Výsledkom je funkcia jednej premennej:
alebo to mozes napisat aj takto:
Toto moc funkcia s komplexnou bázou (sínus). Autor:
Teraz si to pamätajte takto:
Na čistej kópii by riešenie malo byť samozrejme vypracované takto:
Nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na "y", považujú sa za konštanty. Ak je "x" konštanta, potom je to tiež konštanta. Na koncepte robíme rovnaký trik: nahradíme napríklad 3, "Z" - nahradíme to rovnakým "päť". Výsledkom je opäť funkcia jednej premennej:
Toto demonštrácie funkcia s komplexným exponentom. Autor: pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:
Teraz si zapamätajte našu náhradu:
Takto:
Na čistej kópii by samozrejme mal dizajn vyzerať pekne:
A zrkadlový prípad s čiastočnou deriváciou vzhľadom na "z" (- konštanty):
S určitými skúsenosťami môže byť analýza vykonaná mentálne.
Vykonávame druhú časť úlohy - skladáme diferenciál prvého rádu. Je to veľmi jednoduché, analogicky s funkciou dvoch premenných je diferenciál prvého rádu zapísaný vzorcom:
V tomto prípade:
A potom biznis. Všimol som si, že v praktických úlohách sa vyžaduje, aby sa úplný diferenciál 1. rádu funkcie troch premenných zostavoval oveľa menej často ako pri funkcii dvoch premenných.
Zábavný príklad riešenia „urob si sám“:
Príklad 4
Nájdite parciálne derivácie prvého rádu funkcie troch premenných a vytvorte totálny diferenciál prvého rádu
Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Ak máte nejaké ťažkosti, použite zvažovaný "chainikov" algoritmus, zaručene pomôže. A ďalší užitočný tip - neponáhľaj sa. Takéto príklady rýchlo neriešim ani ja.
Odbočíme a analyzujeme druhú otázku: Je možné postaviť štvorrozmerný, päťrozmerný atď. priestor v širšom zmysle slova? Teda uviesť príklad takéhoto priestoru v našom živote.
Správna odpoveď: Áno. A je to veľmi jednoduché. Napríklad k dĺžke/šírke/výške pridáme štvrtý rozmer – čas. Populárny štvorrozmerný časopriestor a známa teória relativity starostlivo ukradnutá Einsteinom od Lobačevského, Poincarého, Lorentza a Minkowského. To tiež nevie každý. Prečo dostal Einstein Nobelovu cenu? Vo vedeckom svete nastal strašný škandál a Nobelov výbor formuloval zásluhy plagiátora takto: "Za všeobecný prínos k rozvoju fyziky." Takže to je všetko. Einsteinova značka triedy C je čistá propagácia a PR.
K uvažovanému štvorrozmernému priestoru je ľahké pridať piatu dimenziu, napríklad: atmosférický tlak. A tak ďalej, tak ďalej, tak ďalej, koľko rozmerov nastavíte vo svojom modeli – toľko ich bude. V širšom zmysle slova žijeme vo viacrozmernom priestore.
Pozrime sa na niekoľko typických úloh:
Príklad 5
Nájdite parciálne derivácie prvého rádu v bode
Riešenie:Úloha v tejto formulácii sa v praxi často vyskytuje a zahŕňa nasledujúce dve činnosti:
– musíte nájsť parciálne derivácie prvého rádu;
– potrebujete vypočítať hodnoty parciálnych derivácií 1. rádu v bode .
Rozhodujeme sa:
(1) Máme komplexnú funkciu a prvým krokom je derivácia arkustangensu. Pri tom vlastne pokojne používame tabuľkový vzorec pre deriváciu arkustangensu. Autor: pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie výsledok treba vynásobiť deriváciou vnútornej funkcie (vloženie): .
(2) Využívame vlastnosti linearity.
(3) A vezmeme zostávajúce derivácie, pričom nezabúdame, že sú to konštanty.
Podľa podmienky zadania je potrebné nájsť hodnotu nájdenej parciálnej derivácie v bode . Dosaďte súradnice bodu v nájdenej derivácii:
Výhodou tejto úlohy je skutočnosť, že ďalšie parciálne derivácie sa nachádzajú veľmi podobným spôsobom:
Ako vidíte, šablóna riešenia je takmer rovnaká.
Vypočítajme hodnotu nájdenej parciálnej derivácie v bode:
A nakoniec derivácia vzhľadom na „z“:
Pripravený. Riešenie by sa dalo formulovať aj inak: najprv nájdite všetky tri parciálne derivácie a potom vypočítajte ich hodnoty v bode . Zdá sa mi však, že vyššie uvedená metóda je pohodlnejšia - práve našli čiastočný derivát a okamžite, bez opustenia pokladnice, vypočítali jeho hodnotu v určitom bode.
Je zaujímavé poznamenať, že geometricky je bod veľmi skutočným bodom v našom trojrozmernom priestore. Hodnoty funkcie, derivácie sú už štvrtým rozmerom a nikto nevie, kde sa geometricky nachádza. Ako sa hovorí, nikto sa plazil po vesmíre s páskou, nekontroloval.
Len čo filozofická téma opäť pominie, zamyslime sa nad treťou otázkou: Je možné cestovať do minulosti?
Správna odpoveď: Nie. Cestovanie do minulosti je v rozpore s druhým termodynamickým zákonom o nezvratnosti fyzikálnych procesov (entropia). Tak sa prosím neponárajte do bazéna bez vody, udalosť sa dá prehrať len vo videu =) Ľudová múdrosť prišla s opačným svetským zákonom z dôvodu: "Sedemkrát meraj, raz rež." Aj keď je v skutočnosti smutná vec, čas je jednosmerný a nezvratný, nikto z nás zajtra neomrzí. A rôzne sci-fi filmy ako "Terminátor" z vedeckého hľadiska sú úplný nezmysel. Je to absurdné aj z pohľadu filozofie – keď Následok, vracajúci sa do minulosti, môže zničiť vlastnú Príčinu. .
Zaujímavejšie s derivátom vzhľadom na „z“, aj keď je to stále takmer rovnaké:
(1) Vyberieme konštanty zo znamienka derivácie.
(2) Tu opäť súčin dvoch funkcií, z ktorých každá závisí zo „živej“ premennej „z“. V zásade môžete použiť vzorec pre deriváciu kvocientu, ale je jednoduchšie ísť inou cestou - nájsť deriváciu produktu.
(3) Derivát je tabuľkový derivát. Druhý člen obsahuje už známu deriváciu komplexnej funkcie.
Príklad 9
Nájdite parciálne derivácie prvého rádu funkcie troch premenných
Toto je príklad „urob si sám“. Zamyslite sa nad tým, ako je racionálnejšie nájsť jednu alebo druhú čiastočnú deriváciu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Predtým, ako pristúpite k posledným príkladom lekcie a zvážte parciálne deriváty druhého rádu funkcie troch premenných, všetkých ešte raz rozveselím štvrtou otázkou:
Je možné cestovať do budúcnosti?
Správna odpoveď: Veda to nezakazuje.. Paradoxne neexistuje žiadny matematický, fyzikálny, chemický či iný prírodovedný zákon, ktorý by zakazoval cestovanie do budúcnosti! Zdá sa to ako nezmysel? Ale takmer každý v živote mal predtuchu (a nepodloženú žiadnymi logickými argumentmi), že sa stane tá či oná udalosť. A stalo sa! Odkiaľ pochádzali informácie? Z budúcnosti? Fantastické filmy o cestovaní do budúcnosti a, mimochodom, predpovede všetkých druhov veštcov, psychikov nemožno nazvať takým nezmyslom. Aspoň veda to nevyvrátila. Všetko je možné! Takže, keď som bol v škole, CD a ploché monitory z filmov mi pripadali ako neuveriteľná fantázia.
Známa komédia „Ivan Vasilyevič mení povolanie“ je polovičná fikcia (maximálne). Žiadny vedecký zákon nezakazoval Ivanovi Hroznému byť v budúcnosti, ale je nemožné, aby dve papriky boli v minulosti a plnili povinnosti kráľa.
Pojem funkcie mnohých premenných
Nech je n-premenných a každému x 1, x 2 ... x n z určitej množiny x je priradená definícia. číslo Z, potom na množine x je daná funkcia Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) mnohých premenných.
X - oblasť definovaných funkcií
x 1, x 2 ... x n - nezávislá premenná (argumenty)
Z - funkcia Príklad: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Objem valca)
Uvažujme Z \u003d f (x; y) - f-tion 2 premenných x (x 1, x 2 nahradené x, y). Výsledky sa analogicky prenášajú na iné funkcie mnohých premenných. Oblasť definovania funkcie 2 premenných je celá šnúra štvorca (ooh) alebo jej časť. Mn-v hodnote th funkcie 2 premenných - povrchu v 3-rozmernom priestore.
Techniky vytvárania grafov: - Rassm-t rez povrchom štvorca || súradnicové štvorce.
Príklad: x \u003d x 0, zn. štvorec X || 0yz y \u003d y 0 0xz Typ funkcie: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)
Napríklad: Z=x2 +y2-2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Kruh paraboly (stred(0;1)
Limity a spojitosť funkcií dvoch premenných
Nech je dané Z = f (x; y), potom A je limita f-tionu v m.(x 0, y 0), ak pre ľubovoľne malú hodnotu. číslo E>0 podstatné meno-t kladné číslo b>0, ktoré pre všetky x,y spĺňa |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z \u003d f (x; y) je spojité v t (x 0, y 0), ak: - je definované v tomto t; - má konečný limit v x, smerujúci k x 0 a y k y 0; - táto hranica = hodnota funkcie v t (x 0, y 0), t.j. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0) Ak je funkcia spojitá v každom. t.mn-va X, potom je v tejto oblasti súvislá Diferenciálna funkcia, jej geovýznam. Použitie dif-la v približných hodnotách. dy=f’(x)∆x – diferenciálna funkcia dy=dx, t.j. dy=f '(x)dx, ak y=x Z pohľadu geológa je funkčný diferenciál prírastok ordináty dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v bode s os x 0. Dif-l sa používa pri výpočte cca. funkčné hodnoty podľa vzorca: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x Čím bližšie je ∆x k x, tým je výsledok presnejší. Parciálne derivácie prvého a druhého rádu Derivát prvého rádu (ktorý sa nazýva súkromný) A. Nech x, y sú prírastky nezávislých premenných x a y v niektorom bode z oblasti X. Potom hodnotu rovnajúcu sa z = f(x + x, y + y) = f(x, y) nazývame celkovým prírastkom v bode x 0, y 0. Ak premennú x a prírastok y zafixujeme, dostaneme z y = y, + f (x, x). Parciálna derivácia premennej y je definovaná obdobne, t.j. Parciálna derivácia funkcie 2 premenných sa nachádza podľa rovnakých pravidiel ako pre funkcie jednej premennej. Rozdiel je v tom, že pri derivácii funkcie vzhľadom na premennú x sa y považuje za konšt. a pri derivácii vzhľadom na y sa za x považuje konšt. Izolované konšty sú spojené s funkciou s operáciami sčítania/odčítania. Pridružené konštrukty sú spojené s funkciou pomocou operácií násobenia/delenia. Derivát izolovanej konšt = 0 1.4.Totálny diferenciál funkcie 2 premenných a jeho aplikácie
Nech z = f(x,y), potom tz = Parciálna derivácia 2. rádu Pre spojité funkcie 2 premenných sa zmiešané parciálne derivácie 2. rádu a zhodujú. Použitie parciálnych derivácií na určenie parciálnych derivácií funkcií max a min sa nazýva extrémy. A. Body sa nazývajú max alebo min z = f(x,y), ak existujú také segmenty, že pre všetky x a y z tohto okolia f(x,y) T. Ak je daný extrémny bod funkcie 2 premenných, potom sa hodnota parciálnych derivácií v tomto bode rovná 0, t.j. , Body, v ktorých parciálne derivácie prvého rádu sa nazývajú stacionárne alebo kritické. Preto sa na nájdenie extrémnych bodov funkcie 2 premenných používajú dostatočné extrémne podmienky. Nech je funkcia z = f(x,y) dvakrát diferencovateľná a nech je stacionárny bod, 1) a maxA<0, minA>0. 1.4.(*)úplný diferenciál. Geometrický význam diferenciálu. Aplikácia diferenciálu v približných výpočtoch
O. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v nejakom okolí v bodoch . Funkcia f(x) sa nazýva diferencovateľná v bode, ak je jej prírastok v tomto bode Kde A je konštantná hodnota nezávislá od , v pevnom bode x, - nekonečne malá v . Relatívne lineárna funkcia A sa nazýva diferenciál funkcie f(x) v bode a označuje sa df() alebo dy. Teda výraz (1) možno písať ako Funkčný diferenciál vo výraze (1) má tvar dy = A . Ako každá lineárna funkcia je definovaná pre akúkoľvek hodnotu Pre zjednodušenie zápisu diferenciálu sa prírastok označuje ako dx a nazýva sa diferenciál nezávislej premennej x. Preto sa diferenciál zapíše ako dy = Adx. Ak je funkcia f(x) diferencovateľná v každom bode nejakého intervalu, potom jej diferenciál je funkciou dvoch premenných - bodu x a premennej dx: T. Aby bola funkcia y = g(x) v určitom bode diferencovateľná, je potrebné a postačujúce, aby v tomto bode mala deriváciu, pričom (*) Dôkaz. Nevyhnutnosť. Nech je funkcia f(x) diferencovateľná v bode , t.j. Preto existuje derivácia f'() a rovná sa A. Preto dy = f'()dx Primeranosť. Nech existuje derivácia f'(), t.j. = f'(). Potom krivka y = f(x) je dotyčnicový segment. Ak chcete vypočítať hodnotu funkcie v bode x, vezmite si bod v niektorom z jej okolia, takže nie je ťažké nájsť f() a f’()/ Všeobecný princíp hľadania parciálnych derivácií druhého rádu funkcie troch premenných je podobný princípu hľadania parciálnych derivácií druhého rádu funkcie dvoch premenných. Aby ste našli parciálne derivácie druhého rádu, musíte najskôr nájsť parciálne derivácie prvého rádu alebo v inom zápise: Existuje deväť parciálnych derivátov druhého rádu. Prvou skupinou sú druhé deriváty vzhľadom na rovnaké premenné: Alebo - druhá derivácia vzhľadom na "x"; Alebo - druhá derivácia vzhľadom na "y"; Alebo - druhá derivácia vzhľadom na "z". Druhá skupina je zmiešanéčiastočné deriváty 2. rádu, je ich šesť: alebo - zmiešané derivácia "podľa x y"; alebo - zmiešané derivácia "by y x"; alebo - zmiešané derivát "by x z"; alebo - zmiešané derivát "po zet x"; alebo - zmiešané derivácia "podľa hry z"; alebo - zmiešané derivát "po z y". Rovnako ako v prípade funkcie dvoch premenných sa pri riešení problémov môžeme zamerať na nasledujúce rovnosti zmiešaných derivácií druhého rádu: Poznámka: Presne povedané, nie je to vždy tak. Pre rovnosť zmiešaných derivátov je potrebné splniť požiadavku ich kontinuity. Pre každý prípad niekoľko príkladov, ako túto hanbu prečítať nahlas: - "dva ťahy dvakrát za y"; - „de two y po de zet square“; - „dva ťahy na x na z“; - „de dva y po de z po de y“. Príklad 10 Nájdite všetky parciálne derivácie prvého a druhého rádu pre funkciu troch premenných: Riešenie: Najprv nájdeme parciálne derivácie prvého rádu: Vezmeme nájdený derivát a odlíšiť ho "y": Vezmeme nájdený derivát a odlíšiť ho "x": Rovnosť je hotová. Dobre. Zaoberáme sa druhou dvojicou zmiešaných derivátov. Vezmeme nájdený derivát a odlíšiť ho "z": Vezmeme nájdený derivát a odlíšiť ho "x": Rovnosť je hotová. Dobre. Podobne sa zaoberáme treťou dvojicou zmiešaných derivátov: Rovnosť je hotová. Dobre. Po vykonanej práci je zaručené, že po prvé sme správne našli všetky parciálne derivácie 1. rádu a po druhé, správne sme našli aj zmiešané parciálne derivácie 2. rádu. Zostáva nájsť tri ďalšie parciálne deriváty druhého rádu, tu by ste sa mali čo najviac sústrediť, aby ste sa vyhli chybám: Pripravený. Opäť platí, že úloha nie je ani tak náročná ako objemná. Riešenie možno skrátiť a označovať ako rovnosti zmiešaných parciálnych derivácií, ale v tomto prípade nedôjde k overeniu. Preto je lepšie nájsť si čas Všetky deriváty (okrem toho to môže vyžadovať učiteľ), alebo v krajnom prípade skontrolovať návrh. Príklad 11 Nájdite všetky parciálne derivácie prvého a druhého rádu pre funkciu troch premenných Toto je príklad „urob si sám“. Riešenia a odpovede:
Príklad 2:Riešenie:
Príklad 4:Riešenie:
Nájdime parciálne derivácie prvého rádu. Zložíme celkový diferenciál prvého rádu: Príklad 6:Riešenie:
M(1, -1, 0):
Príklad 7:Riešenie:
Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu v bodeM(1, 1, 1):
Príklad 9:Riešenie:
Príklad 11:Riešenie:
Nájdite parciálne derivácie prvého rádu: Nájdite parciálne derivácie druhého rádu: Integrály 8.1. Neurčitý integrál. Podrobné príklady riešení Začnime študovať tému Neurčitý integrál" a tiež podrobne analyzovať príklady riešení najjednoduchších (a nie celkom) integrálov. Ako obvykle, obmedzíme sa na minimálnu teóriu, ktorá je v početných učebniciach, našou úlohou je naučiť sa riešiť integrály. Čo potrebujete vedieť, aby ste látku úspešne zvládli? Aby ste sa vyrovnali s integrálnym počtom, musíte byť schopní nájsť deriváty, aspoň na priemernej úrovni. Nebude to zbytočná skúsenosť, ak máte za sebou niekoľko desiatok alebo lepšie sto samostatne nájdených derivátov. Prinajmenšom by ste sa nemali nechať zmiasť úlohou odlíšiť najjednoduchšie a najbežnejšie funkcie. Zdalo by sa, kde sú vôbec derivácie, ak sa v článku bavíme o integráloch?! A tu je tá vec. Faktom je, že hľadanie derivátov a hľadanie neurčitých integrálov (diferenciácia a integrácia) sú dve vzájomne inverzné akcie, ako je sčítanie / odčítanie alebo násobenie / delenie. Bez zručnosti a akej-takej skúsenosti s hľadaním derivátov sa teda, žiaľ, nedá ďalej napredovať. V tejto súvislosti budeme potrebovať nasledujúce metodické materiály: Tabuľka derivátov A Tabuľka integrálov. Aké sú ťažkosti pri štúdiu neurčitých integrálov? Ak v derivátoch existuje striktne 5 pravidiel diferenciácie, tabuľka derivátov a pomerne jasný algoritmus akcií, potom v integráloch je všetko iné. Existujú desiatky integračných metód a techník. A ak bola metóda integrácie pôvodne zvolená nesprávne (to znamená, že neviete, ako ju vyriešiť), integrál môže byť „prepichnutý“ doslova celé dni, ako skutočný rebus, snažiac sa všimnúť si rôzne triky a triky. Niektorým sa to dokonca páči. Mimochodom, pomerne často sme od študentov (nie humanitných vied) počuli názor typu: „Nikdy som nemal záujem riešiť limitu alebo deriváciu, ale integrály sú úplne iná záležitosť, je to vzrušujúce, vždy je tu túžba „rozbiť“ zložitý integrál.“ Stop. Dosť bolo čierneho humoru, prejdime k týmto veľmi neurčitým integrálom. Keďže existuje veľa spôsobov riešenia, kde potom čajník začne študovať neurčité integrály? V integrálnom počte sú podľa nás tri piliere alebo akási „os“, okolo ktorej sa točí všetko ostatné. V prvom rade by ste mali dobre rozumieť najjednoduchším integrálom (tento článok). Potom musíte lekciu podrobne vypracovať. TOTO JE NAJDÔLEŽITEJŠIA RECEPCIA! Možno dokonca najdôležitejší článok zo všetkých článkov venovaných integrálom. A do tretice si určite prečítajte integrácia po častiach, pretože integruje širokú triedu funkcií. Ak ovládate aspoň tieto tri lekcie, potom už „nie sú dve“. Môže vám byť odpustené, že to neviete integrály goniometrických funkcií, integrály zlomkov, integrály zlomkových racionálnych funkcií, integrály iracionálnych funkcií (odmocniny), ale ak sa „dostanete do kaluže“ pri metóde výmeny alebo metóde integrácie dielov, bude to veľmi, veľmi zlé. Začnime teda jednoducho. Pozrime sa na tabuľku integrálov. Podobne ako pri deriváciách si všimneme niekoľko integračných pravidiel a tabuľku integrálov niektorých elementárnych funkcií. Akýkoľvek tabuľkový integrál (a vlastne každý neurčitý integrál) má tvar: Poďme rovno k notácii a pojmom: - integrálna ikona. - integrandová funkcia (písaná písmenom "s"). – ikona rozdielu. Čo to je, zvážime veľmi skoro. Hlavná vec je, že pri písaní integrálu a počas riešenia je dôležité nestratiť túto ikonu. Bude tam viditeľná chyba. je integrand alebo "výplň" integrálu. – primitívny funkciu. – . Netreba sa zaťažovať pojmami, tu je najdôležitejšie, že v akomkoľvek neurčitom integráli sa k odpovedi pridáva konštanta. Vyriešiť neurčitý integrál znamená nájsťsúbor primitívnych funkcií z daného integrandu Pozrime sa ešte raz na záznam: Pozrime sa na tabuľku integrálov. Čo sa deje? Naše ľavé časti sa otáčajú na ďalšie funkcie: . Zjednodušme si definíciu: Vyriešte neurčitý integrál - to znamená PREMENIŤ ho na neurčitú (až konštantnú) funkciu pomocou niektorých pravidiel, techník a tabuľky.
Vezmime si napríklad tabuľkový integrál Podobne ako v prípade derivácií, na to, aby sme sa naučili nájsť integrály, nie je potrebné vedieť, čo je to integrál alebo priraďovacia funkcia z teoretického hľadiska. Stačí vykonať transformácie podľa niektorých formálnych pravidiel. Takže v prípade Keďže diferenciácia a integrácia sú opačné operácie, pre každý primitívny prvok, ktorý sa nájde správne, platí toto: Inými slovami, ak je správna odpoveď diferencovaná, potom treba získať pôvodný integrand. Vráťme sa k rovnakému tabuľkovému integrálu Overme si platnosť tohto vzorca. Zoberieme deriváciu pravej strany: je pôvodný integrand. Mimochodom, bolo jasnejšie, prečo je konštanta vždy priradená k funkcii. Pri diferenciácii sa konštanta vždy zmení na nulu. Vyriešte neurčitý integrál znamená to nájsť kopa všetky primitívne deriváty a nie nejakú samostatnú funkciu. V uvažovanom tabuľkovom príklade , , , atď. - všetky tieto funkcie sú riešením integrálu . Riešení je nekonečne veľa, preto píšu stručne: Akýkoľvek neurčitý integrál je teda dostatočne jednoduchý na kontrolu. Toto je určitá kompenzácia veľkého počtu integrálov rôznych typov. Prejdime na konkrétne príklady. Začnime, ako pri štúdiu derivátu, dvoma pravidlami integrácie: Ako vidíte, pravidlá sú v podstate rovnaké ako pre deriváty. Niekedy sú tzv vlastnosti linearity integrálne. Príklad 1 Nájdite neurčitý integrál. Spustite kontrolu. Riešenie: Je pohodlnejšie previesť to ako. (1) Uplatnenie pravidla (2) Podľa pravidla Okrem toho v tomto kroku pripravujeme korene a stupne integrácie. Rovnako ako pri diferenciácii musia byť korene zastúpené vo forme . Korene a stupne, ktoré sa nachádzajú v menovateli - pohyb nahor.
Poznámka: na rozdiel od derivácií sa korene v integráloch nemusia vždy redukovať do tvaru a posuňte stupne nahor.
Napríklad, - toto je hotový tabuľkový integrál, ktorý už bol vypočítaný pred vami a všetky druhy čínskych trikov ako úplne zbytočné. Podobne: - toto je tiež tabuľkový integrál, nemá zmysel uvádzať zlomok vo forme . Pozorne si preštudujte tabuľku!
(3) Všetky integrály sú tabuľkové. Transformáciu vykonáme pomocou tabuľky pomocou vzorcov: pre funkciu napájania - Treba poznamenať, že tabuľkový integrál je špeciálnym prípadom vzorca pre výkonovú funkciu: Neustále C stačí pridať raz na koniec výrazu
(namiesto ich uvádzania za každým integrálom).
(4) Získaný výsledok zapíšeme v kompaktnejšom tvare, keď sú všetky stupne tvaru opäť reprezentujú ako odmocniny a mocniny so záporným exponentom sa vrátia späť na menovateľa. Vyšetrenie. Ak chcete vykonať kontrolu, musíte rozlíšiť prijatú odpoveď: Počiatočné integrand, teda integrál bol nájdený správne. Od toho, čo tancovali, sa k tomu vrátili. Je dobré, keď sa príbeh s integrálom skončí len tak. Z času na čas existuje trochu iný prístup ku kontrole neurčitého integrálu, keď nie derivácia, ale diferenciál je prevzatý z odpovede: V dôsledku toho získame nie integrand, ale integrand. Nebojte sa konceptu diferenciálu. Diferenciál je derivácia vynásobená dx.
Pre nás však nie sú dôležité teoretické jemnosti, ale čo ďalej s týmto diferenciálom. Rozdiel sa zobrazí nasledovne: ikona d
odstrániť, dať ťah vpravo nad zátvorku, priradiť násobilku na koniec výrazu dx
: Prijaté iniciály integrand, teda integrál je nájdený správne. Ako vidíte, rozdiel sa týka hľadania derivátu. Druhý spôsob kontroly sa mi páči menej, pretože musím dodatočne kresliť veľké zátvorky a ťahať ikonu diferenciálu dx
až do konca testu. Aj keď je to správnejšie, alebo "pevnejšie", alebo čo. V skutočnosti sa o druhom spôsobe overovania dalo mlčať. Pointa nie je v metóde, ale v tom, že sme sa naučili otvárať diferenciál. Opäť. Rozdiel sa prejavuje takto: 1) ikona d odstrániť; 2) umiestnite ťah vpravo nad zátvorku (označenie derivátu); 3) na koniec výrazu priradíme súčiniteľ dx
. Napríklad: Zapamätaj si to. Uvažovanú techniku budeme veľmi skoro potrebovať. Príklad 2 Keď nájdeme neurčitý integrál, VŽDY sa snažíme skontrolovať Navyše je na to skvelá príležitosť. Nie všetky typy úloh vo vyššej matematike sú z tohto pohľadu darom. Nezáleží na tom, že overenie sa pri kontrolných úlohách často nevyžaduje, nikto a nič nebráni tomu, aby sa vykonalo na návrhu. Výnimku je možné urobiť len pri nedostatku času (napríklad na teste, skúške). Osobne vždy kontrolujem integrály a nedostatok overenia považujem za hack a zle splnenú úlohu. Príklad 3 Nájdite neurčitý integrál: Riešenie: Pri analýze integrálu vidíme, že pod integrálom máme súčin dvoch funkcií a dokonca aj umocnenie celého výrazu. Bohužiaľ, na poli integrálnej bitky Nie dobré a pohodlné vzorce na integráciu súčinu a kvocientu ako: Preto, keď je daný súčin alebo kvocient, vždy má zmysel zistiť, či je možné transformovať integrand na súčet? Uvažovaný príklad je prípad, keď je to možné. Najprv uvádzame úplné riešenie, komentáre budú nižšie. (1) Používame starý dobrý vzorec pre druhú mocninu súčtu pre akékoľvek reálne čísla, čím sa zbavíme stupňa nad spoločnou zátvorkou. mimo zátvorky a použitím skráteného vzorca násobenia v opačnom smere: . Príklad 4 Nájdite neurčitý integrál Spustite kontrolu. Toto je príklad samoriešenia. Na konci lekcie odpovedzte a dokončite riešenie. Príklad 5 Nájdite neurčitý integrál V tomto príklade je integrand zlomkom. Keď vidíme zlomok v integrande, prvou myšlienkou by mala byť otázka: „Je možné sa tohto zlomku nejako zbaviť, alebo ho aspoň zjednodušiť?“. Všimli sme si, že menovateľ obsahuje osamelý koreň "x". Jeden v poli nie je bojovník, čo znamená, že čitateľa môžete rozdeliť na menovateľ termín podľa termínu: Nekomentujeme akcie so zlomkovými mocninami, pretože sa o nich opakovane diskutovalo v článkoch o derivácii funkcie. Ak vás stále mätie taký príklad ako a nikto nedostane správnu odpoveď, Všimnite si tiež, že riešenie preskočí jeden krok, a to uplatnenie pravidiel Príklad 6 Nájdite neurčitý integrál. Spustite kontrolu. Toto je príklad samoriešenia. Na konci lekcie odpovedzte a dokončite riešenie. Vo všeobecnom prípade so zlomkami v integráloch nie je všetko také jednoduché, ďalší materiál o integrácii zlomkov niektorých typov nájdete v článku: Integrácia niektorých zlomkov. Ale predtým, ako prejdete na vyššie uvedený článok, musíte si prečítať lekciu: Náhradná metóda v neurčitom integráli. Faktom je, že sčítanie funkcie podľa diferenciálnej metódy alebo metódy zmeny premennej je kľúčový bod pri štúdiu témy, pretože sa nachádza nielen „v čistých úlohách náhradnej metódy“, ale aj v mnohých iných variantoch integrálov. Riešenia a odpovede:
Príklad 2: Riešenie: Príklad 4: Riešenie: V tomto príklade sme použili vzorec zníženého násobenia
Príklad 6: Riešenie: Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli. Príklady riešení V tejto lekcii sa zoznámime s jedným z najdôležitejších a najbežnejších trikov, ktorý sa používa pri riešení neurčitých integrálov - metódou zmeny premennej. Pre úspešné zvládnutie materiálu sú potrebné počiatočné znalosti a integračné zručnosti. Ak máte v integrálnom počte pocit prázdnej plnej čajovej kanvice, mali by ste sa najprv oboznámiť s materiálom Neurčitý integrál. Príklady riešení, kde je prístupnou formou vysvetlené, čo je to integrál a podrobne sú rozobraté základné príklady pre začiatočníkov. Technicky je metóda zmeny premennej v neurčitom integráli implementovaná dvoma spôsobmi: – Uvedenie funkcie pod znamenie diferenciálu. – Skutočná zmena premennej. V skutočnosti ide o to isté, no dizajn riešenia vyzerá inak. Začnime jednoduchším prípadom. Parciálne derivácie funkcií viacerých premenných sú funkciami tých istých premenných. Tieto funkcie zase môžu mať parciálne derivácie, ktoré budeme nazývať druhé parciálne derivácie (alebo parciálne derivácie druhého rádu) pôvodnej funkcie. Napríklad funkcia dvoch premenných má štyri parciálne derivácie druhého rádu, ktoré sú definované a označené takto: Funkcia troch premenných má deväť parciálnych derivácií druhého rádu: Parciálne derivácie tretieho a vyššieho rádu funkcie viacerých premenných sa definujú a označujú podobným spôsobom: parciálna derivácia rádu funkcie viacerých premenných je parciálna derivácia prvého rádu parciálnej derivácie rádu tej istej funkcie. Napríklad parciálna derivácia tretieho rádu funkcie je parciálna derivácia prvého rádu vzhľadom na y parciálnej derivácie druhého rádu. Druhá alebo vyššia parciálna derivácia vzhľadom na niekoľko rôznych premenných sa nazýva zmiešaná parciálna derivácia. Napríklad parciálne deriváty sú zmiešané parciálne derivácie funkcie dvoch premenných. Príklad. Nájdite zmiešané parciálne derivácie funkcie druhého rádu Riešenie. Hľadanie parciálnych derivácií prvého rádu Potom nájdeme zmiešané parciálne derivácie druhého rádu Vidíme, že zmiešané parciálne derivácie, ktoré sa líšia iba v poradí diferenciácie, t. j. v poradí, v ktorom sa diferenciácia vzhľadom na rôzne premenné vykonáva, sa ukázali byť identicky rovnaké. Tento výsledok nie je náhodný. Čo sa týka zmiešaných parciálnych derivácií, platí nasledujúca veta, ktorú akceptujeme bez dôkazu. Funkcie dvoch premenných, parciálne derivácie, diferenciály a gradient Téma 5.Funkcie dvoch premenných. parciálne deriváty Definícia funkcie dvoch premenných, spôsoby nastavenia. Súkromné deriváty. Gradientová funkcia jednej premennej Nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie dvoch premenných v uzavretej ohraničenej oblasti 1. Definícia funkcie viacerých premenných, spôsoby nastavenia Pre funkcie dvoch premenných Pre vizuálnu reprezentáciu funkcie dvoch premenných nyh aplikovať úrovňové čiary. Príklad
.
Pre funkciu Graf lineárnej funkcie je lietadlo vo vesmíre. Pre funkciu je grafom rovina prechádzajúca bodmi Riadky na úrovni funkcií sú rovnobežné priamky, ktorých rovnica Pre lineárna funkcia dvoch premenných Graf funkcií 0 1 2 X Riadky na úrovni funkcií Súkromné proiderivačné funkcie dvoch premenných Zvážte funkciu volal čiastočný prírastok funkcie premennou v bode Podobne definované čiastočný prírastok funkciepodľa premennej: . Označeniečiastočná derivácia vzhľadom na: Parciálna derivácia funkcie vzhľadom na premennú Označenia: Na nájdenie parciálnej derivácie Podobne nájsť parciálnu deriváciu vzhľadom na premennú premenná sa považuje za konštantnú Príklad
. Pre funkciu Parciálna derivácia funkcie Nájdite čiastočnú deriváciu funkcie vzhľadom na , za predpokladu, že je konštantná: Vypočítajme hodnoty parciálnych derivácií pre Parciálne deriváty druhého rádu
funkcie viacerých premenných sa nazývajú parciálne derivácie parciálnych derivácií prvého rádu. Napíšme parciálne derivácie 2. rádu pre funkciu: Ak sú zmiešané parciálne derivácie funkcie viacerých premenných v určitom bode spojité Príklad.
Pre funkciu nájdite parciálne derivácie druhého rádu Riešenie Zmiešaná parciálna derivácia sa nájde postupným derivovaním prvej funkcie Derivácia sa nachádza tak, že sa najskôr derivuje funkcia vzhľadom na , potom derivácia vzhľadom na . Zmiešané parciálne deriváty sú si navzájom rovné: 3. Gradient funkcie dvoch premenných gradientové vlastnosti Príklad
. Daná funkcia Riešenie Nájdite súradnice gradientu - parciálne derivácie. Na mieste 4. Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie dvoch premenných v uzavretej ohraničenej oblasti Formulácia problému.
Nechajte na rovine uzavretú ohraničenú oblasť Dôležité je extrémny problém, ktorej matematický model obsahuje lineárne obmedzenia (rovnice, nerovnosti) a lineárne funkciu Formulácia problému.
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie pod obmedzeniami
Pretože neexistujú žiadne kritické body pre lineárnu funkciu mnohých premenných vnútri oblasti Grafické riešenie sústavy lineárnych nerovníc Pre grafické riešenie tohto problému je potrebné vedieť graficky riešiť sústavy lineárnych nerovníc s dvoma premennými. Postup: Všimnite si, že nerovnosť Príklad.
Vyriešte graficky nerovnosť Napíšeme rovnicu hraničnej čiary Súradnice bodu Riešenie Príklad.
Zostrojte oblasť riešenia sústavy nerovností Riešenia nerovností sú: 1) 2) 3) 4) - polrovina nad osou x, to znamená priamka ( Oblasť prípustných riešení daný systém lineárnych nerovností je množina bodov nachádzajúcich sa vo vnútri a na hranici štvoruholníka Geometrická reprezentácia lineárnej funkcie (úrovňové čiary a gradient) Opravme hodnotu Poďme stavať gradient- vektor Príklad
. Vykreslite čiary úrovne a prechod prvkov Úrovňové čiary na , , sú rovné Geometrické vyjadrenie problému.
Nájdite v oblasti riešenia systému lineárnych nerovností bod, cez ktorý prechádza čiara úrovne, zodpovedajúci najväčšej (najmenšej) hodnote lineárnej funkcie s dvoma premennými. Sekvenovanie: 4. Nájdite súradnice bodu A riešením sústavy rovníc priamok pretínajúcich sa v bode A a vypočítajte najmenšiu hodnotu funkcie 
- sa nazýva plný prírastok
, kde je zastúpené v tvare (1)
().
pričom prírastok funkcie treba uvažovať len pri tých, pre ktoré + patrí do definičného oboru funkcie f(x).. Potom
.
.
.
. Čo sa stalo? Symbolický záznam sa zmenil na súbor primitívnych funkcií.nie je vôbec potrebné chápať, prečo sa integrál mení na presne. Tento a ďalšie vzorce môžete považovať za samozrejmosť. Každý používa elektrinu, ale len málo ľudí premýšľa o tom, ako elektróny prebiehajú pozdĺž drôtov. .
- stály C môže (a malo by) byť vyňaté z integrálneho znamienka.
– integrál súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) dvoch integrálov. Toto pravidlo platí pre ľubovoľný počet termínov.
. Nezabudnite si zapísať ikonu rozdielu dx pod každým integrálom. Prečo pod každým? dxje plný multiplikátor. Ak maľujete podrobne, potom by mal byť prvý krok napísaný takto:
.vyberieme všetky konštanty zo znamienok integrálov. Všimnite si, že v poslednom termíne tg 5 je konštanta, tiež ju vytiahneme.
, A
.
.
.
.
. Spustite kontrolu.
alebo 
.
. Spustite kontrolu.
, . Zvyčajne, s určitými skúsenosťami s riešením integrálov, sa tieto pravidlá považujú za samozrejmú skutočnosť a nie sú podrobne opísané.
doména definície
je nejaký množina bodov na rovine
a rozsah je medzera na osi 
.
zostavte graf a zarovnajte čiary. Napíšte rovnicu pre čiaru úrovne prechádzajúcej bodom 
.
, 
, 
.
.
úrovňové čiary sú dané rovnicou 
a reprezentovať rodina rovnobežných čiar v rovine.
4
. Dajme premennú 
v bode 
ľubovoľný prírastok 
, opúšťať premenlivá hodnota 
nezmenené. Zodpovedajúci prírastok funkcie
.
, 
,
, 
.
nazývaný limit :
, 
,
, 
.
v súvislosti s premennou sa používajú pravidlá pre diferenciáciu funkcie jednej premennej, za predpokladu, že premenná je konštantná.
.
nájsť parciálne derivácie 
, 
a vypočítajte ich hodnoty v bode 
.
premennou je za predpokladu, že je konštantná:
, 
:
; 
.
; 
;
; 
.
; 
atď.
, potom oni navzájom rovnocenné v tomto bode. Pre funkciu dvoch premenných teda hodnoty zmiešaných parciálnych derivácií nezávisia od poradia diferenciácie:
.
A 
.
vzhľadom na (za predpokladu konštanty), potom diferenciácia derivácie 
podľa (za predpokladu konštanty).
.
. Nájdite prechod 
v bode 
a postaviť ho.
gradient
rovná sa . Vektorový štart 
v bode a koniec v bode .
5 
je daná sústavou nerovností tvaru 
. Je potrebné nájsť body v oblasti, v ktorej funkcia nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty.
.
(2.1)
(2.2)
. (2.3)
, potom sa dosiahne len optimálne riešenie, ktoré poskytuje cieľovú funkciu s extrémom na okraji regiónu. Pre oblasť definovanú lineárnymi obmedzeniami sú možné extrémne body rohové body. To nám umožňuje zvážiť riešenie problému grafická metóda.
definuje pravá súradnicová polrovina(od osi 
) a nerovnosť 
- horná súradnicová polrovina(od osi 
).
.
a zostaviť ho z dvoch bodov, napr. 
A 
. Priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny.
uspokojiť nerovnosť ( 
je pravda), čo znamená, že súradnice všetkých bodov polroviny obsahujúcej bod vyhovujú nerovnosti. Riešením nerovnosti budú súradnice bodov polroviny nachádzajúcich sa vpravo od hraničnej čiary vrátane bodov na hranici. Požadovaná polrovina je na obrázku zvýraznená.
systém nerovností sa nazýva prípustné, ak sú jeho súradnice nezáporné , . Súbor prípustných riešení sústavy nerovností tvorí oblasť, ktorá sa nachádza v prvej štvrtine súradnicovej roviny.
- polrovina umiestnená vľavo a nižšie vzhľadom na priamku ( 
) 
;
je polrovina umiestnená v pravej dolnej polrovine vzhľadom na priamku ( 
) 
;
- polrovina umiestnená napravo od priamky ( 
) 
;
) 
.
0 
, ktorý je križovatkaštyri polovičné roviny.
, dostaneme rovnicu 
, ktorý geometricky vymedzuje priamku. V každom bode nadobúda priama funkcia hodnotu 
a je nivelačná čiara. dávať 
rôzne hodnoty, napr. 
, ... , dostaneme množinu čiar úrovne - sada paralelných
priamy.
, ktorých súradnice sa rovnajú hodnotám koeficientov premenných vo funkcii 
. Tento vektor je: 1) kolmý na každú priamku (rovinnú čiaru) 
; 2) ukazuje smer nárastu účelovej funkcie.
.
, 
, 
, navzájom paralelné. Gradient je vektor kolmý na každú čiaru úrovne.Grafické zistenie najväčších a najmenších hodnôt lineárnej funkcie v regióne
. Podobne - pre bod B a najväčšiu hodnotu funkcie 
. postavené na bodoch.premenné Súkromnéderivátyfunkcie niekoľko premenných a diferenciačnej techniky. Extrémne funkciedvapremenných a jeho nevyhnutné...
