Po určení počiatočného uhla natočenia sa vypočíta priehyb úseku A.

2.3, znázornené na obr. 2.3 bodkovanou čiarou, sa zavádza v prípadoch, keď je priehyb určený v úseku, ktorý je mimo oblasti pôsobenia rozloženého zaťaženia.

Uhol natočenia úseku B sa vypočíta podľa vzorca (2.20), v ktorom by sa malo postupovať

2.2.2. Mohrov integrál.

Mohrov univerzálny vzorec na výpočet elastických posunov v tyčových systémoch je prirodzeným zovšeobecnením Castiglianovho vzorca. Pre lineárne elastické tyčové systémy má formu Castigliano formu

Δ TO-generalizované posunutie sekcie K,

R K je zovšeobecnená sila zodpovedajúca zovšeobecnenému posunutiu Δ TO,

U je funkcia potenciálnej energie.

Potenciálna energia je kvadratickou funkciou síl a pre ohybové prvky sa píše ako

(2.22)

Vo veľkej väčšine prípadov sa zanedbáva vplyv priečnej sily na veľkosť potenciálnej energie. Spojením vzorcov (2.21) a (2.22) dostaneme

(2.23)

Parciálna derivácia zodpovedá funkcii ohybového momentu spôsobeného pôsobením jedinej zovšeobecnenej sily pôsobiacej v reze K v smere požadovaného pohybu. Vzorec (2.23) napísaný ako

(2.24)

definuje konkrétnu formu univerzálneho Mohrovho vzorca aplikovaného na definíciu posunov v ohybových prvkoch.

V praxi sa používa graficko-analytická metóda na výpočet Mohrovho integrálu (Vereščaginova metóda).

- oblasť diagramu zaťaženia (diagram ohybového momentu od pôsobenia daného zaťaženia);

- ordináta jedného diagramu (čistosť ohybového momentu z pôsobenia jedinej zovšeobecnenej sily), meraná pod stredom diagramu zaťaženia.

Výpočet Mohrovho integrálu pomocou Vereshchaginovho vzorca vo vzdelávacej literatúre sa nazýva „násobenie“ diagramov.

V mnohých prípadoch je pri výpočte Mohrovho integrálu vhodné použiť Simpsonov vzorec

(2.26)

kde indexy "n", "s", "k" označujú začiatok, stred a koniec časti násobených diagramov.

Príklad 2 Určte priehyb sekcie A a uhol natočenia úseku IN nosníky uvažované v príklade 1 (obr. 2.4.a).

Vypočítajte Mohrov integrál pomocou Simpsonovho vzorca.

Na určenie priehybu úseku A nákladu M p(obr.2.4.b) a jednoduché (obr.2.4.c) krivky ohybových momentov.

Vynásobením zaťaženia a jednotkových diagramov ohybových momentov podľa Simpsonovho vzorca sa získa

Na určenie uhla natočenia referenčného úseku IN druhý samostatný diagram ohybového momentu je zostavený z pôsobenia jediného momentu aplikovaného v reze IN nosníky (obr. 2.4.d).

Hodnota uhla natočenia sa určí vynásobením zaťaženia a jednotkových (obr. 2.4.d) diagramov ohybových momentov.

Poznámka. Znamienko mínus v odpovediach znamená, že smery skutočných posunov sekcií A A IN budú opačné ako smery posunov zodpovedajúcich jednotlivým zovšeobecneným silám.

2.3. staticky neurčité lúče
(Metóda síl odhalenia statickej neurčitosti)

Staticky neurčité nosníky obsahujú "extra" spojenia (pri odstránení nadbytočných spojení sa nosníky stanú staticky určitými). Počet nadbytočných spojení určuje stupeň statickej neurčitosti problému.

Staticky určitý geometricky nemenný nosník, získaný z daného staticky neurčitého odstránením nadbytočných spojení, sa nazýva hlavný systém silovej metódy.

Algoritmus riešenia staticky neurčitých nosníkov silovou metódou je uvažovaný na príklade kedysi staticky neurčitého nosníka (obr. 2.5.a).

Riešenie úlohy začína výberom hlavného systému metódy síl (obr. 2.5.b). Je potrebné poznamenať, že toto nie je jediná možnosť výberu hlavného systému (najmä je možné odstrániť vnútorné prepojenia umiestnením závesu).

Podstata metódy síl spočíva v negácii posunov v smere vzdialeného spojenia. Matematicky je táto podmienka zapísaná ako rovnica kompatibility posunu

, (2.27)

δ 11 - pohyb v smere prerušeného spojenia, spôsobený pôsobením jedinej hodnoty neznámej reakcie vzdialeného spojenia (obr. 2.5.c)

Δ 1P - pohyb v smere padnutého spoja, spôsobený pôsobením daného zaťaženia (obr. 2.5.d)

Výpočet posunov δ 11 , Δ 1P sa robí podľa Simpsonovho vzorca.

Koeficient δ 11 kanonickej rovnice metódy síl určíme vynásobením jednotkového diagramu (obr. 2.5.e) sebou samým.

Koeficient Δ 1Р kanonickej rovnice silovej metódy sa vypočíta vynásobením jednotky (obr. 2.5.e) a zaťaženia (obr. 2.5. d) diagram

Z riešenia rovnice (2.27) sa určí reakcia x1 prídavné pripojenie

Táto etapa riešenia zodpovedá odhaleniu statickej neurčitosti problému.

Graf ohybového momentu MX(obr. 2.5.h) v staticky neurčitom nosníku je postavený podľa vzorca

(2.28)

Na obr. 2.5.g ukazuje "opravený" jednoduchý diagram, ktorého všetky súradnice sú zvýšené x1 raz.

Uvažovaný algoritmus na riešenie staticky neurčitých úloh metódou síl je vhodný aj na riešenie staticky neurčitých úloh s krútením, s osovým zaťažením, ako aj s komplexnou deformáciou tyče.

2.4. Stabilita stlačených tyčí

Pre úplné pochopenie fungovania konštrukcie spolu s výpočtami pevnosti a tuhosti sú potrebné výpočty stability stlačených a stlačených ohýbaných prvkov.

Okrem návrhového zaťaženia môžu byť inžinierske objekty vystavené dodatočným, vo výpočte neuvedeným, malým poruchám, ktoré môžu spôsobiť nekonštrukčné deformácie prvkov objektu (zakrivenie osi stlačených prvkov, priestorové ohyby plochého zakriveného prvku). Výsledok takéhoto dodatočného nárazu závisí od intenzity zaťažení pôsobiacich na konštrukčný prvok. Pre každý prvok existuje určitá kritická hodnota zaťaženia, nad ktorou malá náhodná porucha spôsobí nevratnú nenávrhovú deformáciu. Tento stav objektu je nebezpečný.

Elastická línia nosníka - os nosníka po deformácii.

Vychýlenie lúča $y$ - translačný pohyb ťažiska v priečnom smere lúča. Vychýlenie nahor sa považuje za pozitívne, nadol- 'priestranný.

Elastická priamková rovnica - matematický zápis závislosti $y(x)$ (vychýlenie po dĺžke lúča).

Šípka vychýlenia $f = (y_(\max ))$ - maximálna hodnota priehybu lúča po dĺžke.

Uhol natočenia sekcie $\varphi $ - uhol, o ktorý sa úsek otočí pri deformácii nosníka. Uhol natočenia sa považuje za pozitívny, ak sa časť otáča proti smeru hodinových ručičiek a naopak.

Uhol natočenia úseku sa rovná uhlu sklonu pružnej línie. Funkcia zmeny uhla natočenia po dĺžke lúča sa teda rovná prvej derivácii funkcie vychýlenia $\varphi (x) = y"(x)$.

Pri ohýbaní teda zvažujemedva druhy pohybu- vychýlenie a uhol natočenia úseku.

Účel definície posunu

Pohyby v tyčových systémoch (najmä v nosníkoch) sú určené na zabezpečenie podmienok tuhosti (prehyby sú obmedzené stavebnými predpismi).

Okrem toho je definícia posunov potrebná na výpočet pevnosti staticky nevyčnievajúcich systémov.

Diferenciálna rovnica pružnej čiary (zakrivená os) nosníka

V tejto fáze je potrebné stanoviť závislosť posunov nosníka od vonkajšieho zaťaženia, spôsobu upevnenia, rozmerov nosníka a materiálu. Pre úplné riešenie úlohy je potrebné získať funkciu vychýlenia $y(x)$ po celej dĺžke nosníka. Je celkom zrejmé, že posuny v nosníku závisia od deformácií každej sekcie. Predtým sme získali závislosť zakrivenia prierezu nosníka od ohybového momentu pôsobiaceho v tomto reze.

$\frac(1)(\rho ) = \frac(M)((EI))$.

Zakrivenie priamky je určené jej rovnicou $y(x)$ ako

$\frac(1)(\rho ) = \frac((y))((((\left((1 + ((\left((y) \right))^2)) \right))^(3/2))))$ ,

kde $y"$ a $y$ - respektíve prvá a druhá derivácia funkcie vychýlenia so súradnicou X.

Z praktického hľadiska je možné tento zápis zjednodušiť. Vlastne $y" = \varphi $- uhol natočenia úseku v reálnych konštrukciách nemôže byť veľký, spravidla nie väčší ako 1 stupeň= 0,017 rad . Potom $1 + (\left((y") \right)^2) = 1 + (0,017^2) = 1,000289 \približne 1$, to znamená, že môžeme predpokladať, že $\frac(1)(\rho ) = y" = \frac(((d^2)y))((d(x^2)))))) Tak sme dostalirovnica elastickej priamky nosníka(diferenciálna rovnica ohnutej osi nosníka). Túto rovnicu prvýkrát získal Euler.

$\frac(((d^2)y))((d(x^2))) = \frac((M(x)))((EI)).$

Získaná diferenciálna závislosť ukazuje vzťahmedzi posunmi a vnútornými silami v nosníkoch. S prihliadnutím na diferenciálnu závislosť medzi priečnou silou, ohybovým momentom a priečnym zaťažením ukážeme obsah derivácií funkcie priehybu.

$y(x)$ - funkcia vychýlenia;

$y"(x) = \varphi (x)$ - funkcia uhla natočenia;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ - funkcia zmeny ohybového momentu;

$EI \cdot y""(x) = M"(x) = Q(x)$- funkcia zmeny šmykovej sily;

$EI \cdot (y^(IV))(x) = M"(x) = q(x)$- funkcia zmeny priečneho zaťaženia.

Prednáška 13 (pokračovanie). Príklady riešení pre výpočet posunov metódou Mohr-Vereshchagin a úlohy na samostatné riešenie

Definícia posunov v nosníkoch

Príklad 1

Určte pohyb bodu TO nosníkov (pozri obr.) pomocou Mohrovho integrálu.

Riešenie.

1) Z vonkajšej sily zostavíme rovnicu ohybového momentu M F .

2) Aplikujte v bode TO jednotková sila F = 1.

3) Rovnicu ohybového momentu napíšeme z jednotkovej sily.

4) Určite posuny

Príklad 2

Určte pohyb bodu TO lúče podľa Vereshchaginovej metódy.

Riešenie.

1) Vytvárame schému nákladu.

2) V bode K pôsobíme jednotkovou silou.

3) Vytvoríme jeden diagram.

4) Určte priehyb

Príklad 3

Určte uhly natočenia na podperách A A IN

Riešenie.

Vytvárame diagramy z daného zaťaženia az jednotlivých momentov aplikovaných v rezoch A A IN(pozri obr.). Požadované posuny sa určujú pomocou Mohrových integrálov

,

, ktoré sa vypočítavajú podľa Vereščaginovho pravidla.

Nájdenie parametrov diagramu

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

a potom uhly natočenia na podperách A A IN

Príklad 4

Určte uhol natočenia úseku S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

Určenie podporných reakcií R A =R B ,

, , R A = R B = qa.

Zostavíme diagramy ohybového momentu z daného zaťaženia a z jedného momentu pôsobiaceho v reze S, kde sa hľadá uhol natočenia. Mohrov integrál sa vypočíta podľa Vereshchaginovho pravidla. Nájdenie parametrov diagramu

C 2 = -C 1 = -1/4,

a pozdĺž nich požadovaný posun

Príklad 5

Určte priehyb v reze S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

Diagram M F(obr. b)

Podporné reakcie:

BE: , ,

, R B + R E = F, R E = 0;

AB: , R A = R IN = F; , .

Vypočítame momenty v charakteristických bodoch, M B = 0, M C = Fa a zostavte diagram ohybového momentu z daného zaťaženia.

Diagram(obr. c).

v sekcii S, kde sa hľadá priehyb, aplikujeme jednotkovú silu a zostavíme z nej krivku ohybového momentu, pričom najprv vypočítame reakcie podpery. BE - , , = 2/3; , , = 1/3 a potom momenty v charakteristických bodoch , , .

2. Stanovenie požadovaného priehybu. Použime Vereshchaginovo pravidlo a predbežne vypočítame parametre diagramu a:

,

Odklon sekcie S

Príklad 6

Určte priehyb v reze S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

S. Pomocou Vereshchaginovho pravidla vypočítame parametre diagramov ,

a nájdite požadovanú odchýlku

Príklad 7

Určte priehyb v reze S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

1. Konštrukcia diagramov ohybových momentov.

Podporné reakcie:

, , R A = 2qa,

, R A + R D = 3qa, R D = qa.

Zostavíme diagramy ohybových momentov z daného zaťaženia a z jednotkovej sily pôsobiacej v bode S.

2. Definícia posunov. Na výpočet Mohrovho integrálu používame Simpsonov vzorec, ktorý postupne aplikujeme na každú z troch sekcií, na ktoré je lúč rozdelený.

ZápletkaAB :

Zápletkaslnko :

ZápletkaS D :

Požadovaný posun

Príklad 8

Určte priehyb sekcie A a uhol natočenia úseku E pre daný lúč (obr. A).

Riešenie.

1. Konštrukcia diagramov ohybových momentov.

Diagram M F(ryža. V). Po určení podporných reakcií

, , R B = 19qa/8,

, R D = 13qa/8, zostavujeme diagramy priečnej sily Q a ohybový moment M F z daného zaťaženia.

Diagram(obr. e). v sekcii A, kde sa hľadá priehyb, aplikujeme jednotkovú silu a zostavíme z nej diagram ohybového momentu.

Diagram(obr. e). Tento diagram je vytvorený z jedného momentu aplikovaného v reze E, kde sa hľadá uhol natočenia.

2. Definícia posunov. Odklon sekcie A nachádzame pomocou Vereščaginovho pravidla. Diagram M F na parcelách slnko A CD rozbijeme na jednoduché časti (obr. d). Potrebné výpočty sú uvedené vo forme tabuľky.

	-qa 3 /6	2qa 3 /3	-qa 3 /2				-qa 3 /2
C i
		-qa 4 /2	5qa 4 /12	-qa 4 /6	-qa 4 /12			-qa 4 /24

Dostaneme .

Znamienko mínus vo výsledku znamená, že bod A sa nepohybuje nadol, ako smerovala jednotková sila, ale nahor.

Uhol natočenia sekcie E nachádzame dvoma spôsobmi: Vereščaginovým pravidlom a Simpsonovým vzorcom.

Podľa Vereshchaginovho pravidla násobenie diagramov M F a , Analogicky s predchádzajúcim, dostaneme

,

Aby sme našli uhol natočenia pomocou Simpsonovho vzorca, vypočítame predbežné ohybové momenty v strede sekcií:

Požadovaný posun, zvýšený v EI X raz,

Príklad 9

Určte, pri akej hodnote koeficientu k priehyb sekcie S sa bude rovnať nule. S zistenou hodnotou k vytvorte diagram ohybového momentu a znázornite približný pohľad na pružnú čiaru nosníka (pozri obr.).

Riešenie.

Zostavíme diagramy ohybových momentov z daného zaťaženia a z jednotkovej sily pôsobiacej v reze S, kde sa hľadá priehyb.

Podľa zadania V C= 0. Na druhej strane . Integrálny na pozemku AB vypočítané podľa Simpsonovho vzorca a na pozemku slnko podľa Vereščaginovho pravidla.

Zisťujeme vopred

Presun sekcie S ,

Odtiaľ , .

S zistenou hodnotou k určiť hodnotu reakcie podpory v bode A: , , , na základe čoho zistíme polohu krajného bodu na diagrame M podľa stavu .

Podľa hodnôt momentu v charakteristických bodoch

zostavíme diagram ohybového momentu (obr. d).

Príklad 10

IN konzolový nosník znázornený na obrázku.

Riešenie.

M z pôsobenia vonkajšej sústredenej sily F: M IN = 0, M A = –F 2l(zápletka je lineárna).

Podľa stavu problému je potrebné určiť vertikálny posun pri IN bodov IN konzolový nosník, tak jednotkový diagram zostavíme z pôsobenia zvislej jednotkovej sily F i = 1 aplikovaný v bode IN.

Vzhľadom na to, že konzolový nosník pozostáva z dvoch sekcií s rôznou tuhosťou v ohybe, schémy a M násobíme pomocou Vereshchaginovho pravidla pre sekcie oddelene. Pozemky M a prvý oddiel vynásobíme vzorcom a diagramy druhej časti - ako oblasť diagramu M druhá sekcia fl 2 / 2 ordinovať 2 l/3 diagramy druhého rezu pod ťažiskom trojuholníkového diagramu M rovnakej oblasti.

V tomto prípade vzorec dáva:

Príklad 11.

Určte vertikálny pohyb bodu IN jednopoľový nosník znázornený na obrázku. Nosník má konštantnú ohybovú tuhosť po celej svojej dĺžke EI.

Riešenie.

Zostavíme diagram ohybových momentov M z pôsobenia vonkajšieho rozloženého zaťaženia: M A = 0; M D = 0;

Aplikujte na mieste IN jednotková vertikálna sila F i = 1 a zostavte schému (pozri obr.):

kde R a = 2/3;

Kde R d = 1/3, takže M a = 0; M d = 0; .

Uvažovaný nosník rozdelíme na 3 sekcie. Násobenie diagramov 1. a 3. oddielu nespôsobuje ťažkosti, keďže násobíme trojuholníkové diagramy. Aby bolo možné aplikovať Vereshchaginovo pravidlo na 2. sekciu, rozdelili sme diagram M 2. rez na dve zložky diagramu: pravouhlý a parabolický s plochou (pozri tabuľku).

Ťažisko parabolickej časti pozemku M leží v strede časti 2.

Teda vzorec pri použití pravidla Vereshchagin dáva:

Príklad 12.

Určte maximálny priehyb dvojnosného nosníka zaťaženého rovnomerne rozloženým zaťažením intenzity q(pozri obr.).

Riešenie.

Nájdenie ohybových momentov:

Od danej záťaže

Z jednotkovej sily aplikovanej v bode S, kde sa hľadá priehyb.

Vypočítame požadované maximálne vychýlenie, ktoré sa vyskytuje v priemernom úseku lúča

Príklad 13

Určte priehyb v bode IN lúč znázornený na obrázku.

Riešenie.

Zostavíme diagramy ohybových momentov z daného zaťaženia a jednotkovej sily pôsobiacej v bode IN. Na znásobenie týchto diagramov je potrebné rozdeliť lúč na tri časti, pretože jeden diagram je obmedzený tromi rôznymi priamkami.

Operácia násobiacich diagramov v druhej a tretej časti sa vykonáva jednoducho. Ťažkosti vznikajú pri výpočte plochy a súradníc ťažiska hlavného diagramu v prvej časti. V takýchto prípadoch konštrukcia vrstvených diagramov výrazne zjednodušuje riešenie problému. V tomto prípade je vhodné vziať jednu zo sekcií podmienečne ako pevnú a zostaviť diagramy z každej záťaže, pričom sa k tejto sekcii približuje sprava a zľava. Odporúča sa brať rez v mieste zlomeniny na diagrame jednoduchého zaťaženia ako pevný.

Stratifikovaný diagram, v ktorom je rez braný ako pevný IN, znázornené na obrázku. Po vypočítaní plôch jednotlivých častí stratifikovaného diagramu a zodpovedajúcich súradníc jedného diagramu dostaneme

Príklad 14

Určte posuny v bodoch 1 a 2 nosníka (obr. a).

Riešenie.

Tu sú diagramy M A Q pre lúč pri A= 2 m; q= 10 kN/m; S=1,5A; M=0,5qa 2 ; R=0,8qa; M 0 =M; = 200 MPa (obr. b A V).

Určme vertikálny posun stredu rezu, kde sa uplatňuje sústredený moment. Za týmto účelom uvažujme lúč v stave pôsobenia iba sústredenej sily pôsobiacej v bode 1 kolmom na os lúča (v smere požadovaného posunutia) (obr. d).

Vypočítajme podporné reakcie zostavením troch rovnovážnych rovníc

Vyšetrenie

Reakcie nájdené správne.

Ak chcete zostaviť diagram, zvážte tri časti (obr. d).

1 pozemok

2 pozemok

3 pozemok

Na základe týchto údajov zostavíme diagram (obr. e) zo strany natiahnutých vlákien.

Určujeme podľa Mohrovho vzorca pomocou Vereshchaginovho pravidla. V tomto prípade môže byť krivkový diagram v oblasti medzi podperami znázornený ako súčet troch diagramov. Šípka

Znamienko mínus znamená, že bod 1 sa pohybuje nahor (v opačnom smere).

Definujme vertikálny posun bodu 2, kde pôsobí sústredená sila. Za týmto účelom uvažujme lúč v stave pôsobenia iba sústredenej sily pôsobiacej v bode 2 kolmom na os lúča (v smere požadovaného posunutia) (obr. e).

Diagram je zostavený podobne ako predchádzajúci.

Bod 2 sa posúva nahor.

Určme uhol natočenia úseku, kde pôsobí sústredený moment.

Nosník je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením. Ohybová tuhosť prierezu nosníka je konštantná a rovná sa . Priehyb v strede rozpätia nosníka sa rovná ....

Konzolový nosník v reze AB je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením intenzity q. Prierezová ohybová tuhosť je po celej dĺžke konštantná. Uhol natočenia sekcie B, sa v absolútnej hodnote rovná...

Zostavme diagram ohybových momentov z daného zaťaženia (). Potom zostavíme diagram z jediného momentu () aplikovaného v sekcii IN. Určme uhol natočenia úseku IN. Aby sme to dosiahli, vynásobíme diagramy z daného zaťaženia a jediného momentu. Na ľavej strane je výsledok násobenia nula. V pravej časti sú oba diagramy lineárne. Ak vezmeme plochu z jedného pozemku, dostaneme: . Znamienko mínus označuje, že sekcia IN sa otáča v smere opačnom ako je smer jednotkového momentu. Pri násobení diagramov môžete vziať oblasť diagramu nákladu a ordinátu s diagramom jednotky (ako je znázornené na obrázku).

Úloha 25

S touto možnosťou nakladania, v tyči obdĺžnikového (nie štvorcového) prierezu, kombinácia ... ..

Pri excentrickom ťahu (stlačení) tyče v priereze, ....

Pozdĺžna sila a ohybový moment

V ľubovoľnom pravouhlom priereze tyče pôsobia vnútorné silové faktory: N- pozdĺžna sila; a - ohybové momenty. Preto existuje kombinácia...

Natiahnutie a čisté šikmé ohýbanie

Ohybové momenty môžu byť pridané geometricky. Rovina pôsobenia celkového ohybového momentu sa nebude zhodovať so žiadnou z hlavných stredových rovín tyče. Preto je tu kombinácia napätia a čistého šikmého ohýbania.

Na obrázku je znázornený diagram zaťaženia kruhovej tyče. V ľubovoľnej sekcii tyče v sekcii II je kombinácia ...

Ploché priečne ohýbanie s krútením a ťahom

Tyč v druhej časti prerežeme s prierezom a ľavú časť vyhodíme.

Z podmienok rovnováhy zvyšnej časti zistíme

Pre kruhový prierez () môže byť šikmý ohyb redukovaný na plochý ohyb, ak sa geometricky sčítajú ohybové momenty, šmykové sily a. Preto v druhom priereze máme plochý priečny ohyb s krútením a ťahom.

Typy deformácií sekcií tyče sú ...

I - ohýbanie s krútením, II- plochý ohyb

Obrázky znázorňujú odrezané časti tyče. Šmykové sily nie sú bežne znázornené. takže šikmý ohyb na mieste II možno redukovať na plochý ohybový moment . Poloha zapnutá ja sila spôsobuje deformáciu - ploché ohýbanie s krútením. Poloha zapnutá II- plochý ohyb.

Úloha 26

Pri danom zaťažení tyče (sila leží v rovine ) vzniká maximálne normálové napätie v bode ....

Obdĺžniková tyč s rozmermi je zaťažená, ako je znázornené na obrázku. Pevnosť, rozmery sú uvedené. Sila leží v rovine. Hodnota normálneho napätia v bode je...

(pretože

po výmene)

Maximálne normálové napätie v ťahu v obdĺžnikovej tyči s rozmermi a je rovné . Dĺžka tyče l nastaviť. Význam sily F rovná sa.…

Maximálne normálne ťahové napätie sa vyskytuje v bode IN nachádza sa v sekcii nekonečne blízko ukotvenia.

Vzhľadom na to, že v danom úseku a v bode IN spôsobujú naťahovanie, dostaneme Preto hodnota sily

Sú uvedené grafy rozloženia normálových napätí v priereze tyče. Šikmý ohyb pri danom zaťažení tyče zodpovedá schéme …

Z fyzického znázornenia procesu ohýbania je zrejmé, že horné vrstvy tyče budú natiahnuté a spodné budú stlačené. Navyše pri šikmom ohybe prechádza neutrálna čiara ťažiskom prierezu. Preto je možnosť 3 správna.

Úloha 27

Pevnosť stĺpa, keď je bod pôsobenia tlakovej sily odstránený z ťažiska prierezu…….

Znižuje sa

Bodom prechádza priamka pôsobenia tlakovej sily TO obrys jadra úseku. Neutrálna línia zaberá pozíciu……

(pretože )

Tyč je v excentrickej kompresii. Na nebezpečných miestach prierezu máme ______________ napätý stav.

Lineárne

Pri excentrickom stlačení vznikajú v priereze tyče dva vnútorné silové faktory: pozdĺžna sila a ohybový moment. Preto napätia v ktoromkoľvek bode prierezu budú súčtom normálových napätí axiálneho stlačenia a normálových napätí z čistého, všeobecne šikmého, ohybu. V dôsledku toho máme v nebezpečných bodoch prierezu lineárny stav napätia.

Úloha 28

Schéma zaťaženia tyče s kruhovým prierezom je znázornená na obrázku. Nebezpečný bod...

Kruhová tyč s priemerom a výškou je zaťažená dvoma silami ležiacimi v rovine. Hodnota ekvivalentného napätia v bode je podľa teórie veľkých šmykových napätí ... ... (šmykové napätia pri výpočtoch nezohľadňujte)

Tyč okrúhleho prierezu s priemerom je vyrobená z plastu. Hodnota sily. Ekvivalentné napätie v nebezpečnom bode tyče je podľa teórie najväčších šmykových napätí...

52 MPa

Nebezpečný úsek pod daným zaťažením prúta bude na konci. Vplyv priečnych síl zanedbávame. Hodnoty vypínacích momentov a krútiaceho momentu v nebezpečnej časti sú znázornené na obrázku.

Pomocou teórie najväčších šmykových napätí nájdeme ekvivalentné napätie v nebezpečnom bode: alebo Po dosadení daných hodnôt a dostaneme

Tyč pracuje na ohybových a torzných deformáciách. Stav napätia, ktorý sa vyskytuje v nebezpečnom bode prierezu kruhovej tyče, sa nazýva ...

plochý

Ak sa elementárny objem otočí okolo normály k vonkajšej valcovej ploche, potom je možné nájsť jeho polohu, v ktorej sa tangenciálne napätia na jeho stranách budú rovnať nule a normálové napätia (hlavné napätia) sa nebudú rovnať nule. Pretože normálové napätie pozdĺž hornej strany (jedno z hlavných napätí) je nulové, stav napätia je plochý.

Zlomená tyč okrúhleho prierezu s priem d nabitý silou F. Dĺžky úsekov sú rovnaké a rovnaké Hodnota maximálneho ekvivalentného napätia v tyči podľa teórie najväčších šmykových napätí je ...

Nebezpečný úsek v tyči je nekonečne blízko k zakončeniu. V tomto úseku pôsobí ohybový moment a krútiaci moment Na základe teórie maximálnych šmykových napätí je ekvivalentné napätie v nebezpečnom bode kruhového prierezu určené vzorcom kde preto,

Obdĺžniková tyč zažíva ohybové deformácie v dvoch rovinách a krútenie. Stresový stav, ktorý sa vyskytuje na nebezpečných miestach, bude ...

Lineárne a ploché

Pri posudzovaní napätosti v nebezpečných miestach pravouhlého prierezu, keď sa pracuje na ohybových deformáciách v dvoch rovinách a krútení, sa kontrolujú tri body: uhlový, v strede dlhej a v strede krátkych strán. V rohovom bode vznikajú len normálové napätia. Preto bude stav napätia lineárny. V bodoch umiestnených v strede dlhej a krátkej strany spolu s normálnymi napätiami. objavia sa dotyčnice. Preto v týchto bodoch bude stresový stav plochý.

Úloha 29

Prierezová ohybová tuhosť pozdĺž dĺžky nosníka je konštantná. Veľkosť je nastavená. Hodnota sily, pri ktorej dôjde k vychýleniu koncového úseku IN bude to isté...

Zakrivená tyč s polomerom je zaťažená silou.Udáva sa ohybová tuhosť prierezu. Vertikálny pohyb sekcie IN rovná sa….

(pretože )

Úloha. Pre nosník určte posuny v t. A, IN, S, D, vyberte časť dvoch kanálov z podmienky pevnosti, skontrolujte tuhosť, zobrazte zakrivenú os nosníka. Materiál - oceľ St3, povolený pohyb.

1. Poďme definovať podporné reakcie.

Hodnotu podporných reakcií aplikujeme na výpočtová schéma

2. Budovanie diagram momentov od daného zaťaženia - diagram zaťaženia M F .

Pretože pri rovnomerne rozloženom zaťažení je čiara parabolická krivka, potom je na jej kreslenie potrebný ďalší bod - vložíme T. TO uprostred nákladu.

Vytvorenie diagramu M F z daného zaťaženia.

3. Vyberieme časť dvoch kanálov:

Vyberáme 2 kanály č. 33 cm 3.

Skontrolujme to silu vybraný úsek.

Trvanlivosť je zaručená.

4. Definujte posunutie v daných bodoch. Odstránime všetko zaťaženie z nosníka. Na určenie lineárne pohyby(odklony) platia jednotková sila ( F=1 ) a určiť rohu pohyby - jediný moment .

bodov A A IN sú podpery a podľa okrajových podmienok v sklopných podperách vychýlenie nie je možné, ale je prítomný uhlový pohyb. V bodoch S A D bude dochádzať k lineárnym (vychýleniam) aj uhlovým pohybom (uhly rotácie).

Poďme definovať uhlové posunutie V T. A . Prihlasujeme sa do A jediný moment(ryža. b ). Staviame ep, určujeme v ňom potrebné súradnice. (ryža. V ).

Ep súradnice. M F– všetky pozitívne, ep. - To isté.

Definujeme posuny Mohrova metóda.

Poďme definovať moment zotrvačnosti Ja x pre sekciu.

Modul pružnosti E pre St3 E= 2 10 5 MPa = 2 10 8 kPa. potom:

Uhol natočenia φ A sa ukázalo pozitívne, znamená to, že uhol natočenia úseku sa zhoduje so smerom jednotkového momentu.

Poďme definovať uhol natočeniaφ V. ( ryža .d,d)

Teraz definujme posuny v t. S (lineárne a uhlové). Aplikujeme jednu silu (obr. e ), určite podporné reakcie a zostavte ep. z jednej sily (obr. a ).

Zvážte ryža. e.

Budujeme ep. :

Poďme definovať vychýlenie v t. S.

Na určenie uhla natočenia v t. S Aplikujme jeden moment (obr. h ), určite podporné reakcie a zostrojte diagram jednotlivých momentov (obr. A ).

(znamenie "— " hovorí že reakciu R A smerované dozadu. Ukážeme si to na schéme výpočtu - obr. h ).

Budujeme ep. ,

Pretože m=1 aplikovaný vr. S rozpätie nosníka, potom moment v t. S definovať z ľava aj z prava.

Poďme definovať vychýlenie v bode C.

(znak „-“ to naznačuje uhol otáčania smeruje proti smeru jediného momentu)

Podobne definujeme lineárne a uhlové posuny v tzv. D .

Poďme definovať pri D . (ryža. Komu ).

Budujeme ep. (ryža. l ) :

Poďme definovať φ D (ryža. m ):

Budujeme ep. - (ryža. n ).

Poďme definovať uhol natočenia:

(uhol natočenia smeruje v smere opačnom k ​​jednotkovému momentu).

Teraz sa poďme ukázať zakrivená os lúča (elastická čiara), ktorá sa pôsobením zaťaženia stala priamou osou. Ak to chcete urobiť, nakreslite počiatočné polohu osi a na stupnici odložíme vypočítané posuny (obr. O ).

Skontrolujme to tuhosť trámy, kde f- maximálny priehyb.

Maximálna odchýlka - tuhosť nie je zaručená.

To. v tomto probléme sme sa presvedčili, že sekcie vybrané z podmienky pevnosti (v tomto prípade sekcia dvoch kanálov) nie vždy spĺňajú podmienky tuhosti.

Úloha. Určte vodorovné posunutie voľného konca rámu Mohrovým integrálom

1. Vytvorte výraz ohybový moment M F od prúd zaťaženie.

2. Z nosníka odstránime všetky zaťaženia a v mieste, kde je potrebné určiť posun, pôsobíme jednotkovou silou (ak určujeme lineárny posun) alebo jediným momentom (ak určujeme uhlový posun) v smere požadovaného posunu. V našom probléme aplikujeme horizontálnu jednotkovú silu. Napíšte výraz pre ohybový moment.

Definujeme momenty z jedného zaťaženia F=1

Výpočtom horizontálny pohyb:

Pohyb je pozitívny. To znamená, že zodpovedá smeru jednotkovej sily.

Integrál, Mohrov vzorec. V zakrivenom nosníku určite horizontálne posunutie bodu A. Tuhosť v rámci celej dĺžky nosníka je konštantná.

Os lúča je vyznačená pomocou parabola, ktorého rovnica je:

Vzhľadom na to, že lúč bez ťahu a dosť mierne sklonená (f/v = 3/15 = 0,2), zanedbávame vplyv pozdĺžnych a priečnych síl. Preto na určenie posunutia používame vzorec:

Pretože tuhosť EJ je konštantná, To:

Vytvorte výraz M1 pre skutočný stav lúča ( 1. štát) (ryža. A):

Odstránime všetky zaťaženia z nosníka a aplikujeme v bode A horizontálna jednotková sila ( 2. štát) (ryža. b). Vytvárame výraz pre:

Vypočítame požadované posun do bodu A :

Podpísať mínus to naznačuje pohyblivý bod A proti smeru jednotkovej sily, t.j. tento bod sa pohybuje horizontálne doľava.

Integrál, Mohrov vzorec Určte uhol natočenia sklopnej podpery D pre rám s určitými podpernými reakciami sú tuhosti prvkov uvedené na konštrukčnom diagrame.

Vytvorte výraz M 1, pomocou schémy systému v 1. stave. M 1 je funkciou vnútorného ohybového momentu na silovom úseku pre daný nosník alebo rám z pôsobenia daných zaťažení 1. stavu.

Uvoľníme rám od zaťaženia, aplikujeme jediný moment na podpore D, dostaneme systém druhý štát.

Robíme výrazy - to je funkcia vnútorného ohybového momentu na výkonovej časti pre pomocný systém 2. stavu, zaťažený jediné úsilie:Nájdeme požadované posunutie - uhol rotácie pozdĺž vzorec (integrál):
Hodnota uhla natočenia je kladná, čo znamená, že smer zodpovedá zvolenému smeru jednotlivého momentu.

Integrál (Mohrov vzorec). Pre rám definujte horizontálne posunutie bodu C. Tuhosť prvkov je znázornená na obrázku. Daný systém nazývame systémom najprvštátov. . Skladáme pre každý prvok výraz M₁, použitím schéma 1. stavu sústavy:

Odstránime všetky bremená z rámu a dostaneme 2 stav rámu, pričom sa aplikuje v smere požadovaného posunu horizontálna jednotková sila. Skladáme vyjadrenie jednotlivých momentov: . Vypočítajte podľa vzorec (integrál) požadovaný posun :

Potom dostaneme:

Podpísať mínus to naznačuje smer pohybu je opačný ako smer jednotkovej sily.

Pre oceľový nosník vyberte rozmery prierezu pozostávajúceho z dvoch I-nosníkov na základe podmienok pevnosti pre normálne napätia, vytvorte diagramy lineárnych a uhlových posunov. Vzhľadom na to:

Nebudeme uvádzať výpočet podporných reakcií a hodnoty diagramu zaťaženia (diagram ohybových momentov), ​​ukážeme ho bez výpočtov. takže, záťažový diagram momentov:

Zároveň na diagrame M nemajú hodnoty ohybových momentov žiadne znaky, vlákna, ktoré zažívajú kompresia. Ako je možné vidieť z diagramu, nebezpečné sekcia: M C \u003d M max \u003d 86,7 kNm.

Vyberme si sekciu z dva I-nosníky. Od silových podmienkach:

Podľa výberu I-nosník č. 27a, ktorý I x 1 \u003d 5500 cm 3, v \u003d 27 cm. skutočná hodnota axiálny moment odporu celého úseku W x \u003d 2I x 1 / (h / 2) \u003d 2 5500 / (27/2) \u003d 815 cm 3.

Vypočítajte lineárne a uhlové pohybyčasť nosníka metóda, uplatnenie . Výber počtu sekcií potrebných na vykreslenie diagramov lineárneho a uhlového posunu v nosníku závisí od počtu sekcií a povahy diagramu ohybového momentu. V uvažovanom nosníku medzi ne patria sekcie A B C D(patria hranice výkonové časti) a časti 1, 2, 3– v strede sekcií (určenie posunov v týchto sekciách sa zvyšuje presnosť vykresľovania).

Sekcia A. Ako je známe, lineárny posun sekcie v sklopnej podpere yA=0.

Kalkulovať uhlové posunutie θ a pomocný systém zaťažujeme jedinou dvojicou síl - momentom rovným jednej
Rovnováhy rovnováhy

Riešením rovníc rovnováhy dostaneme:

Určte hodnoty momentov v charakteristických úsekoch

Zápletka AD:

IN uprostred sekcie AB význam ohybový moment diagramu zaťaženia M F rovná sa f=73,3 1- 80 1 2 /2=33,3 kNm

Definujeme uhlové posunutie sekcie A Autor:

Uhlový posun sekcie A smeruje proti smeru hodinových ručičiek(oproti pôsobeniu jediného momentu).

Sekcia B

Aplikujeme v sekcii B sila rovná jednej, na určenie lineárne posunov a zostavte jeden diagram momentov

Rovnovážne rovnice:

Z riešenia rovníc rovnováhy vyplýva:

Určujeme hodnoty momentov v charakteristické časti:

Definujeme lineárny pohyb y V.

Lineárny pohyb y V = 3,65 x 10-3 m odoslaná hore(oproti pôsobeniu jednotkovej sily).

Na určenie uhlového posunu v reze B použijeme jediný moment a stavať jediný diagram momentov.

V dôsledku "násobenia" jedného diagramu a diagramu nákladu dostaneme uhlový pohyb:

proti smeru hodinových ručičiek.

Sekcia C.

Lineárny pohyb:

Uhlový pohyb:

Uhlový pohyb smerovaný v smere hodinových ručičiek.

Úsek D. Lineárny pohyb v tejto časti rovná sa nule.

Uhlový pohyb:

Uhlový pohyb smerovaný v smere hodinových ručičiek.

Ďalšie sekcie:

Časť 1 (z=0,5ℓ)

Uhlový pohyb:

Uhlový pohyb smerovaný proti smeru hodinových ručičiek.

Podobne vytvoríme jednotlivé diagramy pre sekciu 2 (z=1,5ℓ) a sekciu 3 (z=2,5ℓ), nájdeme posuny.

Použitie pravidla znamienka pre lineárne posuny hore - plus, dole - mínus a pre uhlové posuny proti smeru hodinových ručičiek je kladné, v smere hodinových ručičiek je záporné, budova diagramy lineárnych a uhlových posunov y a θ.

Pre lúč určte maximálne vychýlenie a maximálny uhol natočenia.

Kvôli symetrii nákladu podporné reakcie A = B = ql/2

Diferenciálna rovnica zakrivenej osi lúča:

Túto rovnicu integrujeme dvakrát. Po prvej integrácii dostaneme rovnicu pre uhly natočenia:

(A)

Po druhej integrácii dostaneme rovnicu vychýlenia:

(b)

Je potrebné definovať hodnotu integračné konštanty - C a D. Poďme si ich definovať z okrajových podmienok. V sekciách A a B má nosník kĺbové podpery, Prostriedky priehyby v nich sú rovné nule. Preto máme hraničné podmienky:

1) z = 0, y= 0.

2) z = l, y= 0.

Používame prvá okrajová podmienka: z = 0, r = 0.

Potom od (b) máme:

Druhá okrajová podmienka pri z = l dáva:

, kde:

Konečne sa dostávame.

Rovnica uhla natočenia:

Rovnica deformácie:

Keď je uhol natočenia nula a priehyb bude maximálny:

Podpísať mínus hovorí, že s akceptovaným kladným smerom osi nahor, priehyb bude smerom nadol.

Uhol natočenia má najväčšiu hodnotu na referenčných úsekoch, napr

Znamienko mínus znamená, že uhol natočenia pri z = 0 riadený v smere hodinových ručičiek.

Pre rám je potrebné určiť uhol natočenia úseku 1 a horizontálny pohyb sekcie 2 .

Vzhľadom na to: L=8 m, F=2 kN, q=1 kN/m, h=6 m, momenty zotrvačnosti I 1 =I, I 2 =2I

1. Určite reakcie podpory a zostavte diagram zaťaženia:

a) Určite podporné reakcie:

Kontrola prebehla. Vertikálne reakcie sú správne definované. Ak chcete určiť horizontálne reakcie, musíte použiť vlastnosť pántu, menovite zapísať rovnicu momentov vzhľadom na záves zo všetkých síl, umiestnené na jednej strane rámu.

Test prešiel, čo znamená horizontálne reakcie sú definované správne.

b) Zostavíme diagram zaťaženia - diagram z daného zaťaženia. Zostavíme schému nákladu na natiahnutých vláknach.

Rám rozdeľujeme na časti. Na každom úseku načrtneme úseky na začiatku a na konci úseku a v úsekoch s rozloženým zaťažením ďalší úsek v strede. V každom reze určíme hodnotu vnútorného ohybového momentu podľa pravidla: ohybový moment sa rovná algebraickému súčtu momentov všetkých vonkajších síl nachádzajúcich sa na jednej strane rezu vzhľadom na stred tohto rezu. Znamenkové pravidlo pre ohybový moment: Moment sa považuje za pozitívny, ak natiahne spodné vlákna.

staviame diagram nákladu.

2. Určite uhol natočenia sekcie (1)

a) Aby ste mohli určiť uhol natočenia špecifikovaného úseku, potrebujete načrtnite pôvodný rám bez vonkajšieho zaťaženia a aplikujte na daný rez jeden moment.

Najprv definujeme reakcie:

Znamienko „-“ znamená, že úsek je otočený proti smeru jediného momentu, t.j. v smere hodinových ručičiek.

3. Určite horizontálne posunutie sekcie (2).

a) Na určenie vodorovného posunu v naznačenom reze je potrebné načrtnúť pôvodný rám bez vonkajšieho zaťaženia a na daný rez pôsobiť jednotkovou silou v horizontálnom smere.

Definujte reakcie:

staviame jediná zápletka momentov

.

Pre nosník určte lineárne a uhlové posuny v bodoch A, B, C po výbere úseku I-nosníka z podmienky pevnosti.

Vzhľadom na to:a= 2 m,b= 4 m, s = 3 m,F= 20 kN, M = 18 kNm,q= 6 kN/m, aadm= 160 MPa, E = 210 5 MPa

1) Nakreslíme schému nosníka, určíme reakcie podpory. Pri tvrdom ukončení je 3 reakcie — vertikálne a horizontálne, a kotviaci bod. Pretože neexistujú žiadne horizontálne zaťaženia, zodpovedajúca reakcia je nulová. Aby sme našli reakcie v bode E, skladáme rovnovážne rovnice.

∑Fy = 0 q7-F+RE =0

RE = -q7+F=-67+20=-22kN(značka to naznačuje

Poďme nájsť kotviaci moment v tuhom uchytení, pre ktorý riešime momentovú rovnicu vzhľadom na ľubovoľný zvolený bod.

∑M C: -ME -RE 9-F6-q77/2-M=0

ME =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(značka to naznačuje reakcia je nasmerovaná opačným smerom, ukazujeme to na diagrame)

2) Zostavíme diagram zaťaženia M F - diagram momentov od daného zaťaženia.

Na zostavenie diagramov momentov nájdeme momenty v charakteristických bodoch. IN bod B určiť momenty z pravej aj ľavej strany, keďže v tomto bode sa uplatňuje moment.

Na vytvorenie diagramu momentu na línii pôsobenia rozloženého zaťaženia (sekcie AB a BC) potrebujeme dodatočné body nakresliť krivku. Definujme momenty v strede tieto oblasti. Toto sú momenty v stredných bodoch sekcií AB a BC 15,34 kNm a 23,25 kNm. staviame diagram nákladu.

3) Na určenie lineárnych a uhlových posunov v bode je potrebné v tomto bode použiť v prvom prípade, jednotková sila (F=1) a vykresliť momenty, v druhom prípade, jediný moment (M=1) a nakreslite momentový diagram. Vytvárame diagramy z jednotkových zaťažení pre každý bod - A, B a C.

4) Na zistenie posunov použijeme Simpsonov vzorec.

Kde l i - dĺžka úseku;

EI i- tuhosť nosníka na mieste;

M F– hodnoty ohybových momentov zo záťažového diagramu, resp na začiatku, v strede a na konci úseku;

– hodnoty ohybových momentov z jedného diagramu, resp na začiatku, v strede a na konci časti.

Ak sú súradnice diagramov umiestnené na jednej strane osi lúča, potom sa pri násobení berie do úvahy znamienko „+“, ak z rôznych, potom znamienko „-“.

Ak sa výsledok ukázal so znamienkom „-“, požadovaný pohyb v smere sa nezhoduje so smerom zodpovedajúceho jednotkového silového faktora.

Zvážte aplikácia Simpsonovho vzorca na príklade určenia posunov v bode A.

Poďme definovať vychýlenie, vynásobením diagramu zaťaženia diagramom z jednotkovej sily.

Vychýlenie sa ukázalo so znakom "-". znamená požadovaný posun smer sa nezhoduje so smerom jednotkovej sily (nasmerovanej nahor).

Poďme definovať uhol natočenia, vynásobením diagramu zaťaženia diagramom z jedného okamihu.

Uhol natočenia je so znakom "-". to znamená, že požadovaný pohyb v smere sa nezhoduje so smerom zodpovedajúceho jednotlivého momentu (smerovaného proti smeru hodinových ručičiek).

5) Na určenie konkrétnych hodnôt posunutia je potrebné vybrať sekciu. Vyberieme časť I-lúča

Kde Mmax- Toto maximálny moment na diagrame momentu zaťaženia

Vyberáme podľa I-nosník č. 30 s Š x \u003d 472 cm 3 a I x \u003d 7080 cm 4

6) Určujeme posuny v bodoch, odhaľujúce tuhosť prierezu: E - modul pozdĺžnej pružnosti materiálu alebo modul (2 10 5 MPa),J x - osový moment zotrvačnosti úseku

Priehyb v bode A (hore)

Uhol otáčania (proti smeru hodinových ručičiek)

Najprv postavme diagram nákladu z daného zaťaženia. Oblasť diagramu nákladu má zakrivený tvar a rovná sa:

Teraz odoberme zaťaženie z nosníka a aplikujeme ho v bode, kde je potrebné určiť posun jednotkovej sily na určenie priehybu A jediný moment na určenie uhla natočenia. staviame diagramy z jednotlivých zaťažení.

Ťažisko nákladného pozemku je na diaľku jedna štvrtina(pozri diagram)

Súradnice diagramov jednotiek oproti ťažisku diagramu nákladu:

Správca pod .