V priebehu historického vývoja samozrejme dlho pribúdali a množili sa bez toho, aby si boli vedomí zákonitostí, ktorými sa tieto operácie riadia. Až v 20. a 30. rokoch 20. storočia hlavne francúzski a anglickí matematici objasnili základné vlastnosti týchto operácií. Kto sa chce bližšie zoznámiť s históriou tejto otázky, tomu tu môžem odporučiť, ako to budem opakovane robiť nižšie, veľkú „Encyklopédiu matematických vied“.

Keď sa vrátim k našej téme, chcem teraz skutočne vymenovať päť základných zákonov, na ktoré sa sčítanie redukuje:

1) vždy predstavuje číslo, inými slovami, sčítanie je vždy možné bez akýchkoľvek výnimiek (na rozdiel od odčítania, ktoré nie je vždy možné v oblasti kladných čísel);

2) súčet je vždy jednoznačne určený;

3) existuje asociačný alebo asociačný zákon: , takže zátvorky možno úplne vynechať;

4) existuje komutatívny alebo komutatívny zákon:

5) platí zákon monotónnosti: ak , tak .

Tieto vlastnosti sú pochopiteľné bez ďalšieho vysvetľovania, ak máme pred očami vizuálne znázornenie čísla ako veličiny. Ale musia byť vyjadrené striktne formálne, aby sa na ne dalo spoľahnúť v ďalšom striktne logickom vývoji teórie.

Pokiaľ ide o násobenie, existuje predovšetkým päť zákonov, ktoré sú podobné tým, ktoré sú práve uvedené:

1) vždy existuje číslo;

2) produkt je jednoznačný,

3) zákon kombinácie:

4) zákon mobility:

5) zákon monotónnosti: ak , potom

Nakoniec, spojenie medzi sčítaním a násobením je stanovené šiestym zákonom:

6) zákon distributívnosti alebo distributivity:

Je ľahké vidieť, že všetky výpočty sa spoliehajú výlučne na týchto 11 zákonov. Obmedzím sa na jednoduchý príklad, povedzme vynásobenie čísla 7 12;

podľa distribučného zákona

V tejto krátkej diskusii sa samozrejme dozviete jednotlivé kroky, ktoré robíme pri výpočte v desiatkovej sústave. Nechám na vás, aby ste si zložitejšie príklady vyriešili sami. Uvedieme tu len súhrnný výsledok: naše numerické výpočty spočívajú v opakovanej aplikácii jedenástich hlavných ustanovení uvedených vyššie, ako aj v aplikácii výsledkov operácií na zapamätaných jednociferných číslach (sčítacia tabuľka a násobilka).

Kde však nájdu uplatnenie zákony monotónnosti? V bežných, formálnych výpočtoch sa na ne naozaj nespoliehame, ale v problémoch trochu iného druhu sa ukazujú ako nevyhnutné. Tu vám pripomeniem metódu, ktorá sa v desiatkovom počítaní nazýva odhadom veľkosti súčinu a kvocientu. Ide o techniku ​​najväčšieho praktického významu, ktorá, žiaľ, v škole a medzi žiakmi ešte zďaleka nie je dostatočne známa, hoci sa o nej príležitostne hovorí už na druhom stupni; Tu sa obmedzím na príklad. Predpokladajme, že potrebujeme vynásobiť 567 číslom 134 a v týchto číslach sú číslice jednotiek stanovené – povedzme fyzikálnymi meraniami – len veľmi nepresne. V tomto prípade by bolo úplne zbytočné počítať produkt s plnou presnosťou, keďže takýto výpočet nám stále nezaručuje presnú hodnotu čísla, ktoré nás zaujíma. Čo je však pre nás naozaj dôležité, je poznať rádovú veľkosť produktu, teda určiť, v akom počte desiatok či stoviek to číslo leží. Ale zákon monotónnosti vám skutočne dáva tento odhad priamo, pretože z neho vyplýva, že požadované číslo sa nachádza medzi 560-130 a 570-140. Ďalší vývoj týchto úvah opäť nechávam na vás.

V každom prípade vidíte, že pri „odhadových výpočtoch“ treba neustále používať zákony monotónnosti.

Čo sa týka samotnej aplikácie všetkých týchto vecí v školskom vyučovaní, o systematickom výklade všetkých týchto základných zákonov sčítania a násobenia nemôže byť ani reči. Učiteľ sa môže zastaviť iba pri zákonoch asociatívnych, komutatívnych a distributívnych a potom iba pri prechode k doslovným výpočtom, ktoré ich heuristicky odvodzuje z jednoduchých a jasných číselných príkladov.

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

22. 10. 2015 Práca v triede

Nájdite dĺžku úsečky AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a

11 + 16 = 27 (ovocie) 16 + 11 = 27 (ovocie) Zmení sa celkový počet plodov, keď sa preusporiadajú pojmy? Máša nazbierala 11 jabĺk a 16 hrušiek. Koľko ovocia bolo v Mášinom košíku?

Vytvorte doslovný výraz a napíšte slovné vyhlásenie: „súčet sa nezmení z preskupenia výrazov“ a + b \u003d b + a Komutatívny zákon sčítania

(5 + 7) + 3 = 15 (hračky) Aký je najjednoduchší spôsob počítania? Máša zdobila vianočný stromček. Zavesila 5 vianočných gúľ, 7 šišiek a 3 hviezdičky. Koľko hračiek Masha celkovo zavesila? (7 + 3) + 5 = 15 (hračky)

Vytvorte doslovný výraz na písanie slovného vyhlásenia: „Ak chcete pridať tretí výraz k súčtu dvoch výrazov, môžete k prvému výrazu pridať súčet druhého a tretieho výrazu“ (a + b) + c \u003d a + (b + c) Kombinačný zákon sčítania

Počítajme: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Naučte sa rýchlo počítať!

Platia pre násobenie rovnaké zákony ako pre sčítanie? a b = b a (a b) c = a (b c)

b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 S = a b = b a S = 12 15 = =15 12 = 180

a b = b a (a b) c = a (b c) Zákon komutatívneho násobenia Zákon asociačného násobenia

Vypočítajme: 25 756 4 = (25 4) 756= 75600 8 (956 125) = = (8 125) 956 = = 1000 956 = 956000 Naučiť sa rýchlo počítať!

TÉMA LEKCIE: Na čom dnes pracujeme na lekcii? Formulujte tému lekcie.

212 (1 stĺpec), 214 (a, b, c), 231, 230 V triede Domáce úlohy 212 (2 stĺpce), 214 (d, e, f), 253

K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky

Vývoj lekcie matematiky v 5. ročníku „Zákony aritmetických operácií“ obsahuje textový súbor a prezentáciu na lekciu. Táto lekcia opakuje komutatívne a asociatívne zákony a predstavuje ...

Zákony aritmetických operácií

Táto prezentácia je pripravená na hodinu matematiky v 5. ročníku na tému „Zákony aritmetických operácií“ (učebnica I.I. Zubarev, A.G. Mordkovich)....

Lekcia učenia sa nového materiálu pomocou ESM....

Zákony aritmetických operácií

Prezentácia vznikla tak, aby názorne sprevádzala vyučovaciu hodinu v 5. ročníku na tému „Aritmetické operácie s celými číslami“. Predstavuje výber úloh pre všeobecné aj samostatné riešenia.

rozvoj hodiny Matematika ročník 5 Zákony aritmetických operácií

rozvoj hodiny Matematika 5. ročník Zákony aritmetických operácií Číslo p / p Štruktúra abstraktu Obsah anotácie 1231 Meno Malyasova Lyudmila Gennadievna 2 Pozícia, predmet vyučovaný Ma...

18. – 19. október 2010

Predmet: "ZÁKONY ARITMETICKÝCH ČINNOSTÍ"

Cieľ: oboznámiť žiakov so zákonitosťami aritmetických operácií.

Ciele lekcie:

na konkrétnych príkladoch odhaliť komutatívne a asociatívne zákony sčítania a násobenia, naučiť ich aplikovať pri zjednodušovaní výrazov;

formovať schopnosť zjednodušovať výrazy;

práca na rozvoji logického myslenia a reči detí;

pestovať samostatnosť, zvedavosť, záujem o predmet.

UUD: schopnosť konať pomocou znakovo-symbolických symbolov,

schopnosť vybrať si dôvody, kritériá na porovnávanie, porovnávanie, hodnotenie a klasifikáciu objektov.

Vybavenie: učebnica, TVET, prezentácia

Ryža. 30 Obr. 31

Pomocou obrázku 30 vysvetlite, prečo je rovnosť pravdivá

a + b = b + a.

Táto rovnosť vyjadruje známu vlastnosť sčítania. Skúste si spomenúť na ktorý.

Skontrolujte si:

Suma sa zmenou miesta podmienok nemení

Táto nehnuteľnosť je komutatívny zákon sčítania.

Akú rovnosť možno napísať na obrázku 31? Aká vlastnosť sčítania vyjadruje túto rovnosť?

Otestujte sa.

Z obrázku 31 vyplýva, že (a + b) + c = a + (b + c): ak sa k tretiemu členu pripočíta súčet dvoch členov, získa sa rovnaký počet ako pri pripočítaní súčtu druhého a tretieho členu k prvému členu.

Namiesto (a + b) + c, rovnako ako | namiesto a + (b + c) môžete jednoducho napísať a + b + c.

Táto nehnuteľnosť je asociatívny zákon sčítania.

V matematike sú zákony aritmetických operácií zapísané ako v | | slovesná forma a vo forme rovnosti pomocou písmen:

Vysvetlite, ako môžete pomocou zákonov sčítania zjednodušiť nasledujúce výpočty a vykonať ich:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Pomocou obrázku 32 vysvetlite, prečo je rovnosť pravdivá ab = b A.

Uhádli ste, ktorý zákon ilustruje túto rovnosť? Dá sa tvrdiť, že pre

Platia pre násobenie rovnaké zákony ako pre sčítanie? Skúste ich sformulovať

a potom sa otestuj:

Pomocou zákonov násobenia vypočítajte hodnoty nasledujúcich výrazov ústne:

214. a) 76 5 2; c) 69 125 8; e) 8 941 125; B C

b) 465 25 4; d) 4 213 5 5; f) 2 5 126 4 25.

215. Nájdite oblasť obdĺžnika A B C D(obr. 33) dvoma spôsobmi.

216. Pomocou obrázku 34 vysvetlite, prečo platí rovnica: a(b + c) = ab + ac.

Ryža. 34 Akú vlastnosť aritmetických operácií vyjadruje?

Otestujte sa. Táto rovnosť ilustruje nasledujúcu vlastnosť: pri násobení čísla súčtom môžete toto číslo vynásobiť každým výrazom a pridať výsledky.

Táto vlastnosť môže byť formulovaná iným spôsobom: súčet dvoch alebo viacerých produktov obsahujúcich rovnaký faktor možno nahradiť súčinom tohto faktora a súčtom ostatných faktorov.

Táto vlastnosť je ďalším zákonom aritmetických operácií - distributívny. Ako vidíte, slovná formulácia tohto zákona je veľmi ťažkopádna a matematický jazyk je prostriedkom, ktorý ho robí stručným a zrozumiteľným:

Zamyslite sa nad tým, ako verbálne vykonať výpočty v úlohách č. 217 - 220 a urobte ich.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 16 + 38 16;

b) 85 47 + 53 85; f) 85 44 + 44 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Urobte si nákres do zošita, aby ste dokázali rovnosť. A ( b - c) = a b - eso

222. Vypočítajte ústne použitím distributívneho zákona: a) 6 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

223. Vypočítajte ústne: a) 34 84 - 24 84; c) 51 78 - 51 58;

b) 45 40 - 40 25; d) 63 7 – 7 33

224 Vypočítajte: a) 560 188 - 880 56; c) 490 730 - 73 900;

b) 84 670 - 640 67; d) 36 3400 – 360 140.

Vypočítajte slovne pomocou techník, ktoré poznáte:

225. a) 135 + 715; c) 87 5 - 23 5; e) 43 25 + 25 17;

b) 58 5 - 36 5; d) 48 5 + 54 5; f) 25 67 - 39 25.

226. Bez vykonania výpočtov porovnajte hodnoty výrazov:

a) 258 (764 + 548) a 258 764 + 258 545; c) 532 (618 – 436) a 532 618 –532 436;

b) 751 (339 + 564) a 751 340 + 751 564; d) 496 (862 - 715) a 496 860 - 496 715.

227. Vyplňte tabuľku:

Museli ste urobiť nejaké výpočty, aby ste vyplnili druhý riadok?

228. Ako sa tento produkt zmení, ak sa faktory zmenia takto:

229. Napíšte, aké prirodzené čísla sa nachádzajú na lúči súradníc:

a) naľavo od čísla 7; c) medzi číslami 2895 a 2901;

b) medzi číslami 128 a 132; d) vpravo od čísla 487, ale vľavo od čísla 493.

230. Vložte akčné znaky, aby ste získali správnu rovnosť: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15 ? 17 = 8;

b) 40? 15 ? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 . Jedna krabica obsahuje modré ponožky a druhá krabica obsahuje biele ponožky. Modrých ponožiek je o 20 párov viac ako bielych a v dvoch krabiciach je len 84 lara ponožiek. Koľko párov ponožiek z každej farby?

232 . V predajni sú tri druhy obilnín: pohánka, perličkový jačmeň a ryža, spolu 580 kg. Ak by sa predalo 44 kg pohánky, 18 kg jačmeňa a 29 kg ryže, potom by sa hmotnosť obilnín všetkých druhov stala rovnakou. Koľko kilogramov jednotlivých druhov obilnín je dostupných v obchode.