Dôkaz vzorca .
=
= 
=
keďže sínus a kosínus nezávisia od sčítania uhla, ktorý je násobkom
A táto rovnosť je už zrejmá, pretože ide o trigonometrickú formu komplexného čísla.
Logaritmus teda existuje pre všetky body v rovine okrem nuly. Pre skutočné kladné číslo je argument 0, takže táto nekonečná množina bodov je 
, to znamená, že jedna z hodnôt, konkrétne at , bude padať na skutočnú os. Ak vypočítame logaritmus záporného čísla, dostaneme , čiže množina bodov je posunutá nahor a žiadny z nich nepadá na reálnu os.
Zo vzorca je zrejmé, že iba keď je argument pôvodného čísla nula, jedna z hodnôt logaritmu pripadá na skutočnú os. A to zodpovedá pravej poloosi, a preto sa v rámci školskej matematiky uvažovalo iba o logaritmoch kladných čísel. Logaritmy záporných a imaginárnych čísel tiež existujú, ale nemajú jedinú hodnotu na reálnej osi.
Nasledujúci nákres ukazuje, kde sa v rovine nachádzajú všetky hodnoty logaritmu kladného čísla. Jeden z nich je na skutočnej osi, ostatné sú nad a pod , , atď. Pre záporné alebo komplexné číslo je argument nenulový, takže táto postupnosť bodov je posunutá vertikálne, výsledkom čoho nie sú žiadne body na reálnej osi.
Príklad. Vypočítajte .
Riešenie. Definujme modul čísla (rovnajúci sa 2) a argument 180 0 , teda . Potom = 
.
Príloha 1. Otázky na dôkaz (na lístky).
Prednáška č.1
1. Dokážte vzorec pre integráciu po častiach.
Prednáška č.2
1. Dokážte, že zmena , kde r = LCM (r 1 ,...,r k) redukuje integrál na integrál racionálneho zlomku.
2. Dokážte, že substitúcia znižuje integrál tvaru 
k integrálu racionálneho zlomku.
3. Odvoďte transformačné vzorce pre sínus a kosínus
Pre univerzálnu trigonometrickú zmenu .
4. Dokážte, že v prípade, že funkcia je nepárna vzhľadom na kosínus, náhrada redukuje integrál na racionálny zlomok.
5. Dokážte, že v prípade, keď
náhrada: redukuje integrál na racionálny zlomok.
6. Dokážte, že pre integrál tvaru 
7. Dokážte vzorec 
8. Dokážte, že pre integrál tvaru 
náhrada má svoj vlastný integrál k racionálnemu zlomku.
9. Dokážte, že pre integrál tvaru 
náhrada redukuje integrál na racionálny zlomok.
Prednáška č.3
1. Dokážte, že funkcia 
je primitívnym derivátom funkcie .
2. Dokážte Newtonov-Leibnizov vzorec: 
.
3. Dokážte vzorec pre dĺžku explicitne danej krivky:
.
4. Dokážte vzorec pre dĺžku krivky v polárnych súradniciach 
Prednáška č. 4
Dokážte vetu: konverguje, konverguje.
Prednáška č. 5
1. Odvoďte (dokážte) vzorec pre plochu explicitne daného povrchu 
.
2. Odvodenie vzorcov pre prechod do polárnych súradníc.
3. Odvodenie Jacobiho determinantu polárnych súradníc.
4. Odvodenie vzorcov na prechod na valcové súradnice.
5. Odvodenie Jacobiho determinantu cylindrických súradníc.
6. Odvodenie vzorcov na prechod do sférických súradníc:
.
Prednáška č. 6
1. Dokážte, že náhrada redukuje homogénnu rovnicu na rovnicu so separovateľnými premennými.
2. Odvoďte všeobecný tvar riešenia lineárnej homogénnej rovnice.
3. Odvoďte všeobecný pohľad na riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice Lagrangeovou metódou.
4. Dokážte, že náhrada redukuje Bernoulliho rovnicu na lineárnu rovnicu.
Prednáška číslo 7.
1. Dokážte, že náhrada znižuje poradie rovnice o k.
2. Dokážte, že náhrada znižuje poradie rovnice o jednu 
.
3. Dokážte vetu: Funkcia je riešením lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice a má charakteristický koreň.
4. Dokážte vetu, že lineárna kombinácia riešení lineárneho homogénneho dif. rovnica je aj jej riešením.
5. Dokážte vetu o ukladaní riešení: Ak - riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou, a - riešenie tej istej diferenciálnej rovnice, ale s pravou stranou, potom je riešením súčet. rovnice s pravou stranou.
Prednáška číslo 8.
1. Dokážte vetu, že systém funkcií je lineárne závislý.
2. Dokážte vetu, že existuje n lineárne nezávislých riešení lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice rádu n.
3. Dokážte, že ak 0 je koreň násobnosti , potom systém riešení zodpovedajúci tomuto odmocninu má tvar .
Prednáška číslo 9.
1. Pomocou exponenciálneho tvaru dokážte, že pri násobení komplexných čísel sa moduly násobia a argumenty sa sčítavajú.
2. Dokážte De Moivreov vzorec pre stupeň n
3. Dokážte vzorec pre koreň rádu n komplexného čísla
4. Dokážte to 
A 
sú zovšeobecnenia sínusu a kosínusu, t.j. pre reálne čísla tieto vzorce dávajú sínus (kosínus).
5. Dokážte vzorec pre logaritmus komplexného čísla:
Dodatok 2
Malé a ústne otázky o znalosti teórie (pre kolokviá).
Prednáška č.1
1. Čo je to primitívny a neurčitý integrál, ako sa líšia?
2. Vysvetlite, prečo je tiež primitívny.
3. Napíšte vzorec na integráciu po častiach.
4. Aká náhrada je potrebná vo forme integrálu a ako odstraňuje korene?
5. Napíšte typ rozšírenia integrandu racionálneho zlomku na najjednoduchšie v prípade, že všetky korene sú rôzne a skutočné.
6. Napíšte typ rozšírenia integrandu racionálnych zlomkov na jednoduché v prípade, že všetky korene sú reálne a existuje jeden násobok násobnosti k.
Prednáška číslo 2.
1. Napíšte, aký je rozklad racionálneho zlomku na najjednoduchšie v prípade, keď má menovateľ faktor 2 stupne so záporným diskriminantom.
2. Aká náhrada redukuje integrál na racionálny zlomok?
3. Čo je univerzálna trigonometrická substitúcia?
4. Aké zámeny sa robia v prípadoch, keď je funkcia pod znamienkom integrálu nepárna vzhľadom na sínus (kosínus)?
5. Aké substitúcie sa vykonávajú, ak integrand obsahuje výrazy , , alebo .
Prednáška číslo 3.
1. Definícia určitého integrálu.
2. Uveďte niektoré hlavné vlastnosti určitého integrálu.
3. Napíšte Newtonov-Leibnizov vzorec.
4. Napíšte vzorec pre objem rotačného telesa.
5. Napíšte vzorec pre dĺžku explicitnej krivky.
6. Napíšte vzorec pre dĺžku parametrickej krivky.
Prednáška číslo 4.
1. Definícia nevlastného integrálu (pomocou limity).
2. Aký je rozdiel medzi nevlastnými integrálmi 1. a 2. druhu.
3. Uveďte jednoduché príklady na konvergentné integrály 1. a 2. druhu.
4. Pre ktoré integrály (T1) konvergujú.
5. Ako súvisí konvergencia s konečnou hranicou primitívnej derivácie (T2)
6. Čo je nevyhnutným znakom konvergencie, jej formulácia.
7. Znak porovnávania v konečnej podobe
8. Test porovnania v limitujúcej forme.
9. Definícia násobného integrálu.
Prednáška číslo 5.
1. Zmena poradia integrácie, ukážte na najjednoduchšom príklade.
2. Napíšte vzorec pre plochu povrchu.
3. Čo sú polárne súradnice, napíšte prechodové vzorce.
4. Aký je jakobián systému polárnych súradníc?
5. Čo sú valcové a guľové súradnice, aký je ich rozdiel.
6. Aký je jakobián cylindrických (sférických) súradníc.
Prednáška číslo 6.
1. Čo je diferenciálna rovnica 1. rádu (všeobecný pohľad).
2. Čo je to diferenciálna rovnica 1. rádu riešená vzhľadom na deriváciu. Daj nejaký príklad.
3. Čo je rovnica s oddeliteľnými premennými.
4. Čo je všeobecné, partikulárne riešenie, Cauchyho podmienky.
5. Čo je to homogénna rovnica, aká je všeobecná metóda na jej riešenie.
6. Čo je lineárna rovnica, aký je algoritmus jej riešenia, čo je Lagrangeova metóda.
7. Čo je to Bernoulliho rovnica, algoritmus na jej riešenie.
Prednáška číslo 7.
1. Aké nahradenie je potrebné pre rovnicu tvaru .
2. Aké nahradenie je potrebné pre rovnicu tvaru .
3. Na príkladoch ukážte, ako sa dá vyjadriť ako .
4. Čo je lineárna diferenciálna rovnica rádu n.
5. Čo je to charakteristický polynóm, charakteristická rovnica.
6. Formulujte vetu, na ktorej r funkcia je riešením lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice.
7. Formulujte vetu, že lineárna kombinácia riešení lineárnej homogénnej rovnice je aj jej riešením.
8. Formulujte vetu o imponovaní riešenia a jej dôsledky.
9. Čo sú lineárne závislé a lineárne nezávislé sústavy funkcií, uveďte niekoľko príkladov.
10. Čo je Wronského determinant systému n funkcií, uveďte príklad Wronského determinantu pre systémy LZS a LNS.
Prednáška číslo 8.
1. Akú vlastnosť má Wronského determinant, ak je systém lineárne závislou funkciou.
2. Koľko lineárne nezávislých riešení lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice rádu n existuje.
3. Definícia FSR (základného systému riešení) lineárnej homogénnej rovnice rádu č.
4. Koľko funkcií obsahuje SRF?
5. Napíšte tvar sústavy rovníc na nájdenie Lagrangeovou metódou pre n=2.
6. Napíšte typ konkrétneho riešenia v prípade, keď
7. Čo je to lineárna sústava diferenciálnych rovníc, napíšte nejaký príklad.
8. Čo je autonómny systém diferenciálnych rovníc.
9. Fyzikálny význam sústavy diferenciálnych rovníc.
10. Napíšte, z akých funkcií pozostáva FSR systému rovníc, ak sú známe vlastné hodnoty a vlastné vektory hlavnej matice tohto systému.
Prednáška číslo 9.
1. Čo je pomyselná jednotka.
2. Čo je to konjugované číslo a čo sa stane, keď sa vynásobí originálom.
3. Aký je goniometrický, exponenciálny tvar komplexného čísla.
4. Napíšte Eulerov vzorec.
5. Čo je modul, argument komplexného čísla.
6. čo sa deje s modulmi a argumentmi počas násobenia (delenia).
7. Napíšte De Moivreov vzorec pre stupeň n.
8. Napíšte vzorec pre koreň rádu č.
9. Napíšte zovšeobecnené sínusové a kosínusové vzorce pre komplexný argument.
10. Napíšte vzorec pre logaritmus komplexného čísla.
Príloha 3. Úlohy z prednášok.
Prednáška č.1
Príklad. . Príklad. .
Príklad. . Príklad. .
Príklad. Príklad. .
Príklad. 
. Príklad. 
.
Prednáška č.2
Príklad. . Príklad. .
Príklad. . Príklad. .
Príklad. . Príklad.. , kde, číslo .
Príklad. Rozdeľte v exponenciálnom tvare.
Príklad. Nájdite podľa De Moivreovho vzorca.
Príklad. Nájdite všetky koreňové hodnoty.
Uvádzajú sa hlavné vlastnosti logaritmu, graf logaritmu, oblasť definície, množina hodnôt, základné vzorce, nárast a pokles. Zvažuje sa nájdenie derivácie logaritmu. Rovnako ako integrál, rozširovanie mocninného radu a reprezentácia pomocou komplexných čísel.
ObsahDoména, množina hodnôt, vzostupná, zostupná
Logaritmus je monotónna funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti logaritmu sú uvedené v tabuľke.
| doména | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Rozsah hodnôt | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotónne | zvyšuje monotónne | klesá monotónne |
| Nuly, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| Priesečníky s osou y, x = 0 | Nie | Nie |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Súkromné hodnoty
Volá sa základný 10 logaritmus desiatkový logaritmus a je označený takto:
základný logaritmus e volal prirodzený logaritmus:
Základné logaritmické vzorce
Vlastnosti logaritmu vyplývajúce z definície inverznej funkcie:
Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky
Vzorec na nahradenie bázy
Logaritmus je matematická operácia logaritmu. Pri logaritmovaní sa súčin faktorov prevedie na súčty členov.
Potenciácia je matematická operácia inverzná k logaritmu. Pri potenciácii sa daný základ pozdvihne na silu výrazu, na ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov prevedú na súčin faktorov.
Dôkaz základných vzorcov pre logaritmy
Vzorce súvisiace s logaritmami vyplývajú zo vzorcov pre exponenciálne funkcie az definície inverznej funkcie.
Zvážte vlastnosť exponenciálnej funkcie
.
Potom
.
Použite vlastnosť exponenciálnej funkcie
:
.
Dokážme vzorec zmeny bázy.
;
.
Pri nastavení c = b máme:
Inverzná funkcia
Prevrátená hodnota základného logaritmu a je exponenciálna funkcia s exponentom a.
Ak potom
Ak potom
Derivácia logaritmu
Derivácia logaritmu modulo x :
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >
Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu, musíte ho zredukovať na základňu e.
;
.
Integrálne
Integrál logaritmu sa vypočíta integráciou po častiach : .
takže,
Výrazy z hľadiska komplexných čísel
Zvážte funkciu komplexných čísel z:
.
Vyjadrime komplexné číslo z cez modul r a argument φ
:
.
Potom pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
Avšak, argument φ
nie je jasne definovaný. Ak dáme
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.
Preto logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.
Rozšírenie výkonového radu
Pre rozšírenie sa uskutoční:
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
Skutočný logaritmus
Logaritmus reálnych čísel a b dáva zmysel so style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Najpoužívanejšie sú nasledujúce typy logaritmov.
Ak za premennú považujeme logaritmické číslo, dostaneme logaritmická funkcia, Napríklad: . Táto funkcia je definovaná na pravej strane číselného radu: X> 0 , je tam spojitá a diferencovateľná (pozri obr. 1).
Vlastnosti
prirodzené logaritmy
Pre rovnosť
| (1) |
najmä
Tento rad konverguje rýchlejšie a navyše ľavá strana vzorca teraz môže vyjadrovať logaritmus akéhokoľvek kladného čísla.
Vzťah k desiatkovému logaritmu: .
Desatinné logaritmy
Ryža. 2. Log meradlo
Logaritmy na základ 10 (symbol: lg a) pred vynálezom kalkulačiek boli široko používané na výpočty. Nejednotná stupnica desiatkových logaritmov sa bežne používa aj na posuvné pravidlá. Podobná stupnica sa široko používa v rôznych oblastiach vedy, napríklad:
- Chémia - aktivita vodíkových iónov ().
- Hudobná teória - hudobná stupnica, vo vzťahu k frekvenciám hudobných zvukov.
Logaritmická škála je tiež široko používaná na identifikáciu exponentu v exponenciálnych závislostiach a koeficientu v exponente. Zároveň má graf vykreslený na logaritmickej stupnici pozdĺž jednej alebo dvoch osí formu priamky, ktorá sa ľahšie študuje.
Komplexný logaritmus
Viachodnotová funkcia
Riemannov povrch
Komplexná logaritmická funkcia je príkladom Riemannovej plochy; jeho pomyselnú časť (obr. 3) tvorí nekonečné množstvo špirálovito stočených konárov. Tento povrch je jednoducho spojený; jeho jediná nula (prvého rádu) sa získa pomocou z= 1 , špeciálne body: z= 0 a (vetvové body nekonečného rádu).
Riemannova plocha logaritmu je univerzálnym pokrytím komplexnej roviny bez bodu 0 .
Historický náčrt
Skutočný logaritmus
Potreba zložitých výpočtov v 16. storočí rýchlo rástla a veľká časť ťažkostí bola spojená s násobením a delením viacciferných čísel. Koncom storočia prišli viacerí matematici takmer súčasne s nápadom: nahradiť časovo náročné násobenie jednoduchým sčítaním, porovnávaním geometrických a aritmetických postupností pomocou špeciálnych tabuliek, pričom geometrická bude pôvodná. Potom je delenie automaticky nahradené nemerateľne jednoduchším a spoľahlivejším odčítaním. Ako prvý túto myšlienku zverejnil vo svojej knihe Aritmetická integra»Michael Stiefel, ktorý sa však vážnejšie nesnažil realizovať svoj nápad.
V 20. rokoch 17. storočia Edmund Wingate a William Oughtred vynašli prvé logaritmické pravítko, ešte pred príchodom vreckových kalkulačiek, nepostrádateľného nástroja pre inžinierov.
Logaritmus blízky modernému chápaniu - ako operácia inverzná k umocňovaniu - sa prvýkrát objavil u Wallisa a Johanna Bernoulliho a nakoniec bol legalizovaný Eulerom v 18. storočí. V knihe „Úvod do analýzy nekonečna“ () Euler poskytol moderné definície exponenciálnych aj logaritmických funkcií, rozšíril ich do mocninných radov a osobitne si všimol úlohu prirodzeného logaritmu.
Euler má tiež zásluhu na rozšírení logaritmickej funkcie na komplexnú oblasť.
Komplexný logaritmus
Prvé pokusy rozšíriť logaritmy na komplexné čísla uskutočnili na prelome 17. a 18. storočia Leibniz a Johann Bernoulli, ale nepodarilo sa im vytvoriť holistickú teóriu – predovšetkým z dôvodu, že samotný koncept logaritmu ešte nebol jasný. definované. Diskusia o tejto otázke bola najprv medzi Leibnizom a Bernoullim a v polovici XVIII storočia medzi d'Alembertom a Eulerom. Bernoulli a d'Alembert verili, že je potrebné definovať log(-x) = log(x). Kompletnú teóriu logaritmov záporných a komplexných čísel publikoval Euler v rokoch 1747-1751 a v podstate sa nelíši od modernej.
Hoci spor pokračoval (D'Alembert obhajoval svoj názor a podrobne ho argumentoval v článku vo svojej Encyklopédii a v iných dielach), Eulerov názor rýchlo získal všeobecné uznanie.
Logaritmické tabuľky
Logaritmické tabuľky
Z vlastností logaritmu vyplýva, že namiesto časovo náročného násobenia viacciferných čísel stačí nájsť (podľa tabuliek) a sčítať ich logaritmy a následne potenciovať pomocou tých istých tabuliek, tj. nájdite hodnotu výsledku podľa jeho logaritmu. Delenie sa líši len tým, že logaritmy sa odčítajú. Laplace povedal, že vynález logaritmov "predĺžil život astronómov" tým, že výrazne urýchlil proces výpočtu.
Pri presúvaní desatinnej čiarky v čísle na nčíslic, hodnota dekadického logaritmu tohto čísla sa zmení o n. Napríklad lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Z toho vyplýva, že pre čísla v rozsahu od 1 do 10 stačí urobiť tabuľku desiatkových logaritmov.
Prvé tabuľky logaritmov publikoval John Napier ( ), a obsahovali iba logaritmy goniometrických funkcií a s chybami. Nezávisle od neho uverejnil svoje tabuľky Jost Burgi, priateľ Keplera (). V roku 1617 Oxfordský profesor matematiky Henry Briggs publikoval tabuľky, ktoré už obsahovali desiatkové logaritmy samotných čísel, od 1 do 1000, s 8 (neskôr 14) číslicami. Chyby však boli aj v tabuľkách Briggs. Prvé bezchybné vydanie založené na tabuľkách Vega () sa objavilo až v roku 1857 v Berlíne (Bremiverove tabuľky).
V Rusku boli prvé tabuľky logaritmov publikované v roku 1703 za účasti L. F. Magnitského. V ZSSR bolo vydaných niekoľko zbierok tabuliek logaritmov.
- Bradis V.M.Štvormiestne matematické tabuľky. 44. vydanie, M., 1973.
Plán:
- Úvod
- 1
Skutočný logaritmus
- 1.1 Vlastnosti
- 1.2 logaritmická funkcia
- 1.3 prirodzené logaritmy
- 1.4 Desatinné logaritmy
- 2
Komplexný logaritmus
- 2.1 Definícia a vlastnosti
- 2.2 Príklady
- 2.3 Analytické pokračovanie
- 2.4 Riemannov povrch
- 3
Historický náčrt
- 3.1 Skutočný logaritmus
- 3.2 Komplexný logaritmus
- 4 Logaritmické tabuľky
- 5 Aplikácie Literatúra
Poznámky
Úvod
Ryža. 1. Grafy logaritmických funkcií
Logaritmus čísla b podľa rozumu a (z gréčtiny. λόγος - "slovo", "postoj" a ἀριθμός - „číslo“) je definované ako ukazovateľ stupňa, do ktorého musí byť základňa zvýšená a získať číslo b. Označenie: . Z definície vyplýva, že položky a sú rovnocenné.
Napríklad preto, že .
1. Reálny logaritmus
Logaritmus reálnych čísel a b dáva zmysel, keď . Ako viete, exponenciálna funkcia r = a X je monotónna a každá hodnota trvá len raz a rozsah jej hodnôt obsahuje všetky kladné reálne čísla. To znamená, že hodnota skutočného logaritmu kladného čísla vždy existuje a je jednoznačne určená.
Najpoužívanejšie sú nasledujúce typy logaritmov.
1.1. Vlastnosti
Dôkaz
Dokážme to.
(pretože podľa podmienky bc > 0). ■
Dôkaz
Dokážme to
(pretože podľa podmienky ■
Dôkaz
Použime na to totožnosť. Obe strany identity logaritmujeme na základ c. Dostaneme:
Dôkaz
Dokážme to.
(pretože b p> 0 podľa podmienky). ■
Dôkaz
Dokážme to
Dôkaz
Zoberte logaritmus ľavej a pravej strany k základni c :
Ľavá strana: Pravá strana:
Rovnosť výrazov je zrejmá. Keďže logaritmy sú rovnaké, potom sú v dôsledku monotónnosti logaritmickej funkcie aj samotné výrazy rovnaké. ■
1.2. logaritmická funkcia
Ak za premennú považujeme logaritmické číslo, dostaneme logaritmická funkcia r= log a X (pozri obr. 1). Je definovaný na . Rozsah hodnôt: .
Funkcia sa prísne zvyšuje pre a> 1 a striktne sa znižuje na 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Rovno X= 0 je ľavá vertikálna asymptota, pretože at a> 1 a pri 0< a < 1 .
Derivácia logaritmickej funkcie je:
Dôkaz
I. Dokážme to
Zapíšme si identitu e ln X = X a odlíšiť jeho ľavú a pravú stranu
Dostaneme to, z čoho to vyplýva
II. Dokážme to
Logaritmická funkcia implementuje izomorfizmus medzi multiplikatívnou grupou kladných reálnych čísel a aditívnou grupou všetkých reálnych čísel.
1.3. prirodzené logaritmy
Vzťah k desiatkovému logaritmu: .
Ako je uvedené vyššie, derivácia prirodzeného logaritmu má jednoduchý vzorec:
Z tohto dôvodu sa prirodzené logaritmy používajú hlavne v matematickom výskume. Často sa objavujú pri riešení diferenciálnych rovníc, štúdiu štatistických závislostí (napríklad rozloženie prvočísel) atď.
Neurčitý integrál prirodzeného logaritmu sa dá ľahko nájsť integráciou po častiach:
Rozšírenie Taylorovho radu možno znázorniť takto:
keď je rovnosť
| (1) |
najmä
Tento rad konverguje rýchlejšie a navyše ľavá strana vzorca teraz môže vyjadrovať logaritmus akéhokoľvek kladného čísla.
1.4. Desatinné logaritmy
Ryža. 2a. Logaritmická stupnica
Ryža. 2b. Logaritmická stupnica so symbolmi
Logaritmy na základ 10 (symbol: lg a) pred vynálezom kalkulačiek boli široko používané na výpočty. Nejednotná stupnica desiatkových logaritmov sa zvyčajne používa aj na posuvné pravidlá. Podobná stupnica sa používa v mnohých oblastiach vedy, napríklad:
- Fyzika - intenzita zvuku (decibely).
- Astronómia je stupnica pre jasnosť hviezd.
- Chémia - aktivita vodíkových iónov (pH).
- Seizmológia - Richterova stupnica.
- Hudobná teória - hudobná stupnica, vo vzťahu k frekvenciám hudobných zvukov.
- História je logaritmická časová mierka.
Logaritmická škála je tiež široko používaná na identifikáciu exponentu v exponenciálnych závislostiach a koeficientu v exponente. Zároveň má graf vykreslený na logaritmickej stupnici pozdĺž jednej alebo dvoch osí formu priamky, ktorá sa ľahšie študuje.
2. Komplexný logaritmus
2.1. Definícia a vlastnosti
Pre komplexné čísla je logaritmus definovaný rovnakým spôsobom ako skutočný. V praxi sa takmer výlučne používa prirodzený komplexný logaritmus, ktorý označujeme a definujeme ako množinu všetkých komplexných čísel z také že e z = w . Komplexný logaritmus existuje pre ľubovoľný a jeho skutočná časť je jednoznačne určená, zatiaľ čo imaginárny má nekonečný počet hodnôt. Z tohto dôvodu sa nazýva viachodnotová funkcia. Ak si predstavte w v exponenciálnom tvare:
,potom sa logaritmus nájde podľa vzorca:
Tu je skutočný logaritmus, r = | w | , k je ľubovoľné celé číslo. Hodnota získaná, keď k= 0 sa volá hlavný význam zložitý prirodzený logaritmus; je zvykom brať hodnotu argumentu v intervale (− π,π] . Príslušná (už jednohodnotová) funkcia je tzv. hlavná pobočka logaritmus a označuje sa . Niekedy označujú aj hodnotu logaritmu, ktorá neleží na hlavnej vetve.
Zo vzorca vyplýva:
- Skutočná časť logaritmu je určená vzorcom:
- Logaritmus záporného čísla sa zistí podľa vzorca:
Keďže komplexné goniometrické funkcie súvisia s exponenciálou (Eulerov vzorec), komplexný logaritmus, ako inverzná hodnota exponenciálnej funkcie, súvisí s inverznými goniometrickými funkciami. Príklad takéhoto spojenia:
2.2. Príklady
Tu je hlavná hodnota logaritmu pre niektoré argumenty:
Pri prevode zložitých logaritmov by ste mali byť opatrní, berúc do úvahy, že sú viachodnotové, a preto rovnosť týchto výrazov nevyplýva z rovnosti logaritmov žiadnych výrazov. Príklad nesprávneho uvažovania:
iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(- i) = 2(− iπ / 2) = - iπ - zjavná absurdita.Všimnite si, že hlavná hodnota logaritmu je vľavo a hodnota zo základnej vetvy je vpravo ( k= − 1). Dôvodom chyby je neopatrné používanie vlastnosti, čo vo všeobecnosti v zložitom prípade znamená celú nekonečnú množinu hodnôt logaritmu, a nielen hlavnú hodnotu.
2.3. Analytické pokračovanie
Ryža. 3. Komplexný logaritmus (imaginárna časť)
Logaritmus komplexného čísla možno definovať aj ako analytické pokračovanie reálneho logaritmu do celej komplexnej roviny. Nech krivka Γ začína na 1, neprechádza nulou a nepretína zápornú časť reálnej osi. Potom hlavná hodnota logaritmu v koncovom bode w krivku Γ možno určiť podľa vzorca:
Ak je Γ jednoduchá krivka (bez sebapriesečníkov), potom na čísla ležiace na nej možno bez obáv použiť logaritmické identity, napr.
Ak je dovolené, aby krivka Γ pretínala zápornú časť reálnej osi, potom prvý takýto priesečník prenesie výsledok z vetvy hlavnej hodnoty do susednej vetvy a každý nasledujúci priesečník spôsobí podobný posun pozdĺž vetiev logaritmickej funkcie ( pozri obrázok).
Z analytického pokračovacieho vzorca vyplýva, že na ktorejkoľvek vetve logaritmu
Pre akýkoľvek kruh S uzatvárajúc bod 0:
Integrál sa odoberá v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek). Táto identita je základom teórie zvyškov.
Analytické pokračovanie komplexného logaritmu možno definovať aj pomocou vyššie uvedeného radu (1), zovšeobecneného na prípad komplexného argumentu. Z typu expanzie však vyplýva, že v jednotke sa rovná nule, to znamená, že séria sa vzťahuje iba na hlavnú vetvu viachodnotovej funkcie komplexného logaritmu.
2.4. Riemannov povrch
Komplexná logaritmická funkcia je príkladom Riemannovej plochy; jeho pomyselnú časť (obr. 3) tvorí nekonečné množstvo vetiev stočených do tvaru špirály. Tento povrch je jednoducho spojený; jeho jediná nula (prvého rádu) sa získa pomocou z= 1 , špeciálne body: z= 0 a (vetvové body nekonečného rádu).
Riemannova plocha logaritmu je univerzálnym pokrytím komplexnej roviny bez bodu 0 .
3. Historický náčrt
3.1. Skutočný logaritmus
Potreba zložitých výpočtov v 16. storočí rýchlo rástla a veľká časť ťažkostí bola spojená s násobením a delením viacciferných čísel, ako aj s extrakciou koreňov. Koncom storočia prišli viacerí matematici takmer súčasne s nápadom: nahradiť časovo náročné násobenie jednoduchým sčítaním, porovnávaním geometrických a aritmetických postupností pomocou špeciálnych tabuliek, pričom geometrická bude pôvodná. Potom je delenie automaticky nahradené nemerateľne jednoduchším a spoľahlivejším odčítaním a extrakciou odmocniny stupňa n redukuje na delenie logaritmu výrazu radikálu n. Ako prvý túto myšlienku zverejnil vo svojej knihe Aritmetická integra» Michael Stiefel, ktorý sa však vážnejšie nesnažil realizovať svoj nápad.
V roku 1614 škótsky amatérsky matematik John Napier publikoval esej v latinčine s názvom „ Popis úžasnej logaritmickej tabuľky"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Mal stručný popis logaritmov a ich vlastností, ako aj 8-miestne tabuľky logaritmov sínusov, kosínusov a dotyčníc s krokom 1". logaritmus, navrhnutý Napierom, sa presadil vo vede. Napier načrtol teóriu logaritmov vo svojej ďalšej knihe „ Zostavte úžasnú tabuľku logaritmov"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), ktorý posmrtne vydal v roku 1619 jeho syn.
Koncept funkcie ešte neexistoval a Napier určoval logaritmus kinematicky, porovnávajúc rovnomerný a logaritmicky pomalý pohyb; napríklad definoval logaritmus sínusu takto:
Logaritmus daného sínusu je číslo, ktoré sa vždy aritmeticky zväčšovalo rovnakou rýchlosťou, ako začal geometricky klesať úplný sínus.
V modernej notácii môže byť Napierov kinematický model reprezentovaný diferenciálnou rovnicou: dx/x = -dy/M, kde M je škálovací faktor zavedený s cieľom urobiť z hodnoty celé číslo s požadovaným počtom číslic (desatinné čísla sa vtedy ešte veľmi nepoužívali). Napier získal M = 10000000.
Presne vzaté, Napier zoradil nesprávnu funkciu, ktorá sa teraz nazýva logaritmus. Ak jeho funkciu označíme ako LogNap(x), potom súvisí s prirodzeným logaritmom takto:
LogNap (M) = 0, to znamená, že logaritmus "plného sínusu" je nula - to je to, čo Napier hľadal svojou definíciou. .
Hlavná vlastnosť Napierovho logaritmu: ak veličiny tvoria geometrickú postupnosť, potom ich logaritmy tvoria aritmetickú postupnosť. Pravidlá pre logaritmus pre nepierovské funkcie sa však líšili od pravidiel pre moderný logaritmus.
Napríklad, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).
Bohužiaľ, všetky hodnoty v Napierovej tabuľke obsahovali výpočtovú chybu po šiestej číslici. To však nebránilo tomu, aby nová metóda výpočtu získala veľkú popularitu a mnohí európski matematici vrátane Keplera sa ujali zostavovania logaritmických tabuliek. Už o 5 rokov neskôr, v roku 1619, londýnsky učiteľ matematiky John Spydell ( John Spidell) znovu publikoval Napierove tabuľky, transformované tak, že sa v skutočnosti stali tabuľkami prirodzených logaritmov (hoci Spydell zachoval škálovanie na celé čísla). Termín „prirodzený logaritmus“ zaviedol taliansky matematik Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) v polovici XVI storočia.
V 20. rokoch 17. storočia Edmund Wingate a William Oughtred vynašli prvé logaritmické pravítko, ešte pred príchodom vreckových kalkulačiek, nepostrádateľného nástroja pre inžinierov.
V blízkosti moderného chápania logaritmu - ako operácia inverzná k zvyšovaniu moci - sa prvýkrát objavil u Wallisa a Johanna Bernoulliho a nakoniec bol legalizovaný Eulerom v 18. storočí. Euler vo svojej knihe Introduction to the Analysis of Infinites (1748) poskytol moderné definície exponenciálnych aj logaritmických funkcií, rozšíril ich do mocninných radov a zdôraznil úlohu prirodzeného logaritmu.
Euler má tiež zásluhu na rozšírení logaritmickej funkcie na komplexnú oblasť.
3.2. Komplexný logaritmus
Prvé pokusy rozšíriť logaritmy na komplexné čísla urobili na prelome 17.-18. storočia Leibniz a Johann Bernoulli, ale nepodarilo sa im vytvoriť holistickú teóriu – predovšetkým z toho dôvodu, že pojem logaritmu ako taký ešte nebol jasný. definované. Diskusia o tejto otázke bola najprv medzi Leibnizom a Bernoullim a v polovici XVIII storočia medzi d'Alembertom a Eulerom. Bernoulli a d'Alembert verili, že je potrebné definovať log(-x) = log(x). Kompletnú teóriu logaritmov záporných a komplexných čísel publikoval Euler v rokoch 1747-1751 a v podstate sa nelíši od modernej.
Hoci spor pokračoval (D'Alembert obhajoval svoj názor a podrobne ho argumentoval v článku vo svojej Encyklopédii a v iných dielach), Eulerov názor rýchlo získal všeobecné uznanie.
4. Logaritmické tabuľky
Logaritmické tabuľky
Z vlastností logaritmu vyplýva, že namiesto časovo náročného násobenia viachodnotových čísel stačí nájsť (z tabuliek) a sčítať ich logaritmy a následne pomocou tých istých tabuliek potenciovať, teda nájsť hodnotu výsledku podľa jeho logaritmu. Delenie sa líši len tým, že logaritmy sa odčítajú. Laplace povedal, že vynález logaritmov "predĺžil život astronómov" tým, že výrazne urýchlil proces výpočtu.
Pri presúvaní desatinnej čiarky v čísle na nčíslic, hodnota dekadického logaritmu tohto čísla sa zmení o n. Napríklad lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Z toho vyplýva, že pre čísla v rozsahu od 1 do 10 stačí urobiť tabuľku desiatkových logaritmov.
Prvé tabuľky logaritmov publikoval John Napier (1614) a obsahovali iba logaritmy goniometrických funkcií a s chybami. Nezávisle od neho Joost Burgi, priateľ Keplera, vydal svoje tabuľky (1620). V roku 1617 Oxfordský profesor matematiky Henry Briggs publikoval tabuľky, ktoré už obsahovali desiatkové logaritmy samotných čísel, od 1 do 1000, s 8 (neskôr 14) číslicami. Chyby však boli aj v tabuľkách Briggs. Prvé neomylné vydanie založené na tabuľkách Vega (1783) sa objavilo až v roku 1857 v Berlíne (Bremiverove tabuľky).
V Rusku boli prvé tabuľky logaritmov publikované v roku 1703 za účasti L. F. Magnitského. V ZSSR bolo vydaných niekoľko zbierok tabuliek logaritmov.
- Bradis V.M.Štvormiestne matematické tabuľky. 44. vydanie, M., 1973.
Bradisove tabuľky (1921) sa používali vo vzdelávacích inštitúciách a v inžinierskych výpočtoch, ktoré nevyžadovali veľkú presnosť. Obsahovali mantisy desiatkových logaritmov čísel a goniometrických funkcií, prirodzené logaritmy a niektoré ďalšie užitočné výpočtové nástroje.
- Vega G. Tabuľky sedemciferných logaritmov, 4. vydanie, M., 1971.
Profesionálna zbierka pre presné výpočty.
- Päťmiestne tabuľky prirodzených hodnôt goniometrických veličín, ich logaritmy a logaritmy čísel, 6. vydanie, M.: Nauka, 1972.
- Tabuľky prirodzených logaritmov, 2. vydanie, v 2 zväzkoch, Moskva: Nauka, 1971.
V súčasnosti, s rozšírením kalkulačiek, potreba používať tabuľky logaritmov zmizla.
M, vlastnosť (komplexná analýza).
logaritmická funkcia
Logaritmická funkcia je funkcia tvaru f(x) = logax, definovaná pre
Doména: . Rozsah hodnôt: . Funkcia je striktne rastúca pre a > 1 a striktne klesajúca pre 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Čiara x = 0 je ľavá vertikálna asymptota, pretože pre a > 1 a pre 0< a < 1.
Derivácia logaritmickej funkcie je:
Logaritmická funkcia implementuje izomorfizmus medzi multiplikatívnou grupou kladných reálnych čísel a aditívnou grupou všetkých reálnych čísel.
Komplexný logaritmus
Definícia a vlastnosti
Pre komplexné čísla je logaritmus definovaný rovnakým spôsobom ako skutočný. V praxi sa takmer výlučne používa prirodzený komplexný logaritmus, ktorý označujeme a definujeme ako množinu všetkých komplexných čísel z takých, že ez = w. Komplexný logaritmus existuje pre každého a jeho skutočná časť je jednoznačne určená, zatiaľ čo imaginárny má nekonečný počet hodnôt. Z tohto dôvodu sa nazýva viachodnotová funkcia. Ak reprezentujeme w v exponenciálnom tvare:
potom sa logaritmus nájde podľa vzorca:
Tu -- skutočný logaritmus, r = | w | , k je ľubovoľné celé číslo. Hodnota získaná, keď k = 0, sa nazýva hlavná hodnota komplexného prirodzeného logaritmu; je zvykom brať hodnotu argumentu v ňom v intervale (? p, p]. Príslušná (už jednohodnotová) funkcia sa nazýva hlavná vetva logaritmu a označuje sa. Niekedy je hodnota logaritmu, ktorý neleží na hlavnej vetve sa označuje aj.
Zo vzorca vyplýva:
Skutočná časť logaritmu je určená vzorcom:
Logaritmus záporného čísla sa nájde podľa vzorca.
