Nech G=(p 0 =e, p 1 , …, p r ) je nejaká permutačná grupa definovaná na množine X = (1, 2, …, n) s identitou e=p 0 s rovnakou permutáciou. Vzťah x~y definujeme nastavením x~y, čo je ekvivalentné tvrdeniu, že existuje p patriace do G(p(x)=y). Zavedený vzťah je vzťahom ekvivalencie, to znamená, že spĺňa tri axiómy:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Nech A je ľubovoľná množina.
Definícia: Binárna relácia δ=A*A je relácia ekvivalencie (označuje sa a ~ b), ak spĺňajú nasledujúce axiómy:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a - reflexivita;
2) a ~ b ⇒ b ~ a - komutatívnosť;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - tranzitivita

označujeme a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Definícia: Rozdelenie množiny A je rodina párovo disjunktných podmnožín z A, v spojení (v súčte) dáva všetky A.
А= ∪А i, А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Podmnožiny A i sa nazývajú komnožiny oddielu.

Veta: každý vzťah ekvivalencie definovaný na A zodpovedá nejakému deleniu množiny A. Každému deleniu množiny A zodpovedá nejaký vzťah ekvivalencie na množine A.

Stručne povedané, existuje korešpondencia jedna ku jednej medzi triedami všetkých vzťahov ekvivalencie definovaných na množine A a triedou všetkých oddielov množiny A.

Dôkaz: nech σ je vzťah ekvivalencie na množine A. Nech a ∈ A.

Zostavme množinu: К a =(x ∈ A,: x~a ) – všetky prvky ekvivalentné a. Množina (notácia) sa nazýva trieda ekvivalencie vzhľadom na ekvivalenciu σ. Všimnite si, že ak b patrí ku Ka, potom b~a. Ukážme, že a~b⇔K a =K b . Vskutku, nech a~b. Vezmite ľubovoľný prvok c, ktorý patrí do K a . Potom c~a, a~b, c~b, c patrí do Kb a teda Kb patrí do K a . Skutočnosť, že Ka patrí do Kb, je znázornená podobne. Preto Kb=Ka.
Nech teraz Kb =Ka. Potom a patrí do K a = K b , a patrí do K b , a~b. Čo bolo potrebné ukázať.

Ak 2 triedy K a a Kb majú spoločný prvok c, potom K a = K b . Ak c patrí ku Ka a Kb, potom b~c, c~a, b~a => Ka = Kb.

Preto sa rôzne triedy ekvivalencie buď nepretínajú alebo pretínajú a potom sa zhodujú. Každý prvok c z A patrí len do jednej triedy ekvivalencie K c. Preto systém neprekrývajúcich sa tried ekvivalencie v priesečníku dáva celú množinu A. A preto je tento systém rozdelením množiny A do tried ekvivalencie.

Obráťme: Nech A = súčet alebo A i je delením A. Zaveďme vzťah a~b na A, keďže a~b ⇔ a,b patria do rovnakej triedy oddielov. Tento vzťah spĺňa nasledujúce axiómy:

1) a ~ a (sú v rovnakej triede);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, t.j. zavedený vzťah ~ je vzťah ekvivalencie.

Komentujte:
1) rozdelenie množiny A na jednoprvkové podmnožiny a rozdelenie množiny A, pozostávajúce iba z množiny A, sa nazýva triviálne (nevlastné) rozdelenie.

2) Rozdelenie A na jednoprvkové podmnožiny zodpovedá vzťahu ekvivalencie, ktorým je rovnosť.

3) Časť A pozostávajúca z jednej triedy A zodpovedá vzťahu ekvivalencie obsahujúcej A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — akýkoľvek vzťah ekvivalencie definovaný na nejakej množine rozdeľuje túto množinu na párovo disjunktné triedy nazývané triedy ekvivalencie.

Definícia: Množinu tried ekvivalencie množiny A nazývame koeficientovou množinou A/σ množiny A podľa ekvivalencie σ.

Definícia: Zobrazenie p:A→A/σ také, že p(A)=[a] σ sa nazýva kanonické (prirodzené) zobrazenie.

Akýkoľvek vzťah ekvivalencie definovaný na množine rozdeľuje túto množinu na párovo disjunktné triedy, nazývané triedy ekvivalencie.

Nech R je binárna relácia na množine X. Relácia R sa nazýva reflexné , ak (x, x) О R pre všetky x О X; symetrické – ak (x, y) О R znamená (y, x) О R; tranzitívne číslo 23 zodpovedá variantu 24, ak (x, y) Î R a (y, z) Î R implikujú (x, z) Î R.

Príklad 1

Povieme, že x н X má spoločné s prvkom y н X ak množina
x З y nie je prázdne. Vzťah mať spoločné bude reflexívny a symetrický, ale nie tranzitívny.

Vzťah ekvivalencie na X sa nazýva reflexívny, tranzitívny a symetrický vzťah. Je ľahké vidieť, že R Н X ´ X bude vzťahom ekvivalencie vtedy a len vtedy, ak dôjde k inklúziám:

Id X Í R (reflexivita),

R -1 Í R (symetria),

R ° R Í R (prechodnosť).

V skutočnosti sú tieto tri podmienky ekvivalentné nasledujúcim:

Id X Í R, R-1 = R, R ° R = R.

štiepenie množina X je množina A párovo disjunktných podmnožín a н X taká, že UA = X. S každým rozdelením A môžeme priradiť vzťah ekvivalencie ~ na X nastavením x ~ y, ak x a y sú prvky nejakého a н A .

Každému vzťahu ekvivalencie ~ na X zodpovedá oddiel A, ktorého prvky sú podmnožiny, z ktorých každá pozostáva z prvkov vo vzťahu ~. Tieto podmnožiny sa nazývajú triedy ekvivalencie . Tento oddiel A sa nazýva množina faktorov množiny X vzhľadom na ~ a označuje sa: X/~.

Definujme vzťah ~ na množine w prirodzených čísel nastavením x ~ y, ak sa zvyšky po delení x a y 3 rovnajú. Potom w/~ pozostáva z troch tried ekvivalencie zodpovedajúcich zvyškom 0, 1 a 2.

Objednávkový vzťah

Binárny vzťah R na množine X sa nazýva antisymetrický , ak z x Ry a y Rx vyplýva: x = y. Binárny vzťah R na množine X sa nazýva objednávkový vzťah , ak je reflexný, antisymetrický a tranzitívny. Je ľahké vidieť, že to zodpovedá nasledujúcim podmienkam:

1) Id X Í R (reflexivita),

2) R Ç R -1 (antisymetria),

3) R ° R Í R (prechodnosť).

Nazýva sa usporiadaná dvojica (X, R) pozostávajúca z množiny X a poradia R na X čiastočne objednaná súprava .

Príklad 1

Nech X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Keďže R spĺňa podmienky 1–3, potom (X, R) je čiastočne usporiadaná množina. Pre prvky x = 2, y = 3 nie je pravdivé ani x R y, ani y R x. Takéto prvky sú tzv neporovnateľné . Zvyčajne sa vzťah objednávky označuje £. Vo vyššie uvedenom príklade 0 £ 1 a 2 £ 2, ale nie je pravda, že 2 £ 3.

Príklad 2

Nechaj< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Volajú sa prvky x, y О X čiastočne usporiadanej množiny (X, £). porovnateľné , ak x £ y alebo y £ x.

Volá sa čiastočne usporiadaná množina (X, £). lineárne usporiadané alebo reťaz ak sú akékoľvek dva jeho prvky porovnateľné. Množina v príklade 2 bude lineárne usporiadaná, ale množina v príklade 1 nie.

Volá sa podmnožina A Í X čiastočne usporiadanej množiny (X, £). ohraničené zhora , ak existuje prvok x н X taký, že a £ x pre všetky a н A. Prvok x н X sa nazýva najväčší v X, ak y £ x pre všetky y О X. Prvok x О X sa nazýva maximálny, ak neexistujú žiadne prvky y О X odlišné od x, pre ktoré x £ y. V príklade 1 budú prvky 2 a 3 maximálne, ale nie najväčšie. The spodné obmedzenie podmnožiny, najmenšie a minimálne prvky. V príklade 1 by prvok 0 bol najmenší aj minimálny. V príklade 2 má 0 tiež tieto vlastnosti, ale (w, t) nemá ani najväčší, ani maximálny prvok.

Teória množín. Základné pojmy

Teória množín je základnou definíciou modernej matematiky. Vytvoril ho Georg Kantor v 60. rokoch 19. storočia. Napísal: "Mnoho je mnoho myslených ako jeden celok." Pojem množina je jedným zo základných, nedefinovaných pojmov matematiky. Neprichádza k iným, jednoduchším pojmom. Preto sa nedá definovať, ale dá sa len vysvetliť. Množina je teda asociácia do jedného celku predmetov, ktoré sú dobre rozlíšiteľné našou intuíciou alebo našou myšlienkou; súbor nejakých objektov definovaných spoločným znakom.

Napríklad,

1. Mnoho obyvateľov mesta Voronež

2. Množina bodov roviny

3. Množina prirodzených čísel ℕ atď.

Sady sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami ( A, B, C atď.). Objekty, ktoré tvoria danú množinu, sa nazývajú jej prvky. Prvky súpravy sú označené malými latinskými písmenami ( a, b, c atď.). Ak X– nastavte, potom nahrajte x∈X znamená to X je prvkom súpravy X alebo čo X patrí do sady X a záznam x∉X ten prvok X nepatrí do sady X. Napríklad nech ℕ je množina prirodzených čísel. Potom 5 ℕ , A 0,5∉ℕ .

Ak súprava Y pozostáva z prvkov súpravy X, potom to hovoria Y je podmnožinou množiny X a označujú Y⊂X(alebo Y⊆X). Napríklad množina celých čísel ℤ je podmnožina racionálnych čísel ℚ .

Ak na dve sady X A Y existujú dve inklúzie súčasne X Y A Y X, t.j. X je podmnožinou množiny Y A Y je podmnožinou množiny X, potom súpravy X A Y sa skladajú z rovnakých prvkov. Takéto súpravy X A Y sa nazývajú rovní a píšu: X=Y.

Často sa používa termín prázdna množina - Ø je množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok. Je to podmnožina akejkoľvek množiny.

Na opis množín možno použiť nasledujúce metódy.

Spôsoby špecifikácie množín

1. Enumerácia objektov. Používa sa len pre konečné množiny.

Napríklad, X \u003d (x1, x2, x3 ... x n). Záznam Y ={1, 4, 7, 5} znamená, že množina pozostáva zo štyroch čísel 1, 4, 7, 5 .

2. Označenie charakteristickej vlastnosti prvkov súpravy.

Na tento účel je nastavená určitá vlastnosť R, ktorá vám umožňuje určiť, či prvok patrí do množiny. Táto metóda je všestrannejšia.

X=(x: P(x))

(kopa X pozostáva z takýchto prvkov X, za ktorú nehnuteľnosť R(x)).

Prázdna množina môže byť špecifikovaná zadaním jej vlastností: Ø=(x: x≠x)

Nové množiny môžete zostavovať pomocou už daných, pomocou operácií na množinách.

Operácie na súpravách

1. Zväz (súčet) je množina pozostávajúca zo všetkých tých prvkov, z ktorých každý patrí aspoň do jednej z množín A alebo IN.

A ∪ B \u003d (x: x A alebo x B).

2. Priesečník (súčin) je množina pozostávajúca zo všetkých prvkov, z ktorých každý súčasne patrí ako množina A, a mnoho IN.

A∩B=(x: x A a x B).

3. Rozdiel sád A A IN sa nazýva súbor pozostávajúci zo všetkých prvkov, ktoré patria do súboru A a nepatria do sady IN.

A \ B \u003d (x: x A a x B)

4. Ak A je podmnožinou množiny IN. Tá sada B/A nazývaný doplnok množiny A pre mnohých IN a označujú A'.

5. Symetrický rozdiel dvoch množín je množina A∆B=(A\B) (B\A)

N- množina všetkých prirodzených čísel;
Z- množina všetkých celých čísel;
Q- množina všetkých racionálnych čísel;
R- množina všetkých reálnych čísel;
C- množina všetkých komplexných čísel;
Z0 je množina všetkých nezáporných celých čísel.

Vlastnosti operácií na množinách:

1. A B = B A (komutatívna únia)

2. A B = B A (komutivita priesečníka)

3. A(B C) = (A IN) C (odborová asociativita)

4. A (IN C) = (A IN) C (asociativita priesečníka)

5. A (IN C) = (A IN) (A C) (1 zákon distribúcie)

6. A (IN C) = (A IN) (A C) (2. distributívny zákon)

7. A Ø=A

8. A U=U

9. A Ø= Ø

10. A U=A

11. (A B)'=A' B' (de Morganov zákon)

12. (A B)'=A' B' (de Morganov zákon)

13. A (A B) \u003d A (zákon absorpcie)

14. A (A B) \u003d A (zákon absorpcie)

Dokážme nehnuteľnosť č.11. (A B)'=A' IN'

Definíciou rovnakých množín musíme dokázať dve inklúzie 1) (A B)' ⊂A' IN';

2) A' B'⊂ (A IN)'.

Na dôkaz prvého zahrnutia zvážte ľubovoľný prvok x∈(A B)'=X\(A∪B). Znamená to, že x∈X, x∉ A∪B. Z toho teda vyplýva x∉A A x∉B, Preto x∈X\A A x∈X\B, čo znamená x∈A’∩B’. teda (A B)'⊂A' IN'

Naopak, ak x∈A' IN', To X súčasne patrí do množín A', B', čo znamená x∉A A x∉B. Z toho vyplýva x∉ A IN, Preto x∈(A IN)'. teda A' B'⊂ (A IN)'.

takže, (A B)'=A' IN'

Množina pozostávajúca z dvoch prvkov, v ktorých je definované poradie prvkov, sa nazýva usporiadaná dvojica. Na jeho zápis sa používajú zátvorky. (x 1, x 2)- dvojprvková množina, v ktorej sa x 1 považuje za prvý prvok a x 2 - za druhý. Páry (x 1, x 2) A (x 2, x 1), Kde x 1 ≠ x 2 sa považujú za odlišné.

Množina pozostávajúca z n prvkov, v ktorej je definované poradie prvkov, sa nazýva usporiadaná množina n prvkov.

Kartézsky súčin je ľubovoľná množina X1, X2,…, Xn usporiadané množiny n prvkov, kde x 1 X1, x 2 X 2,…, x n X n

X 1 X n

Ak súpravy X1, X2,…, Xn zápas (X 1 \u003d X 2 \u003d ... \u003d X n), potom je ich produkt označený Xn.

Napríklad, ℝ 2 je množina usporiadaných párov reálnych čísel.

Vzťahy ekvivalencie. set-faktor

Pri danej množine je možné zostrojiť nové množiny tak, že vezmeme do úvahy množinu niektorých podmnožín. V tomto prípade sa zvyčajne nehovorí o množine podmnožín, ale o rodine alebo triede podmnožín.

Vo viacerých otázkach sa uvažuje o triede takýchto podmnožín daného súboru A, ktoré sa nepretínajú a ktorých zväzok sa zhoduje s A. Ak táto sada A môže byť reprezentované ako spojenie jeho párovo disjunktných podmnožín, je to zvykom hovoriť A rozdelené do tried. Klasifikácia sa vykonáva na základe nejakého znaku.

Nechaj X nie je prázdna množina, potom akákoľvek podmnožina R z práce X X sa nazýva binárny vzťah na množine X. Ak pár (x, y) zahrnuté v R, povedzme, že prvok x je vo vzťahu R s pri.

Napríklad vzťahy x=y, x≥y sú binárne vzťahy na množine ℝ.

binárny vzťah R na scéne X sa nazýva vzťah ekvivalencie, ak:

1. (x, x) R; X X (vlastnosť reflexie)

2. (x, y) R => (y, x) R (symetrická vlastnosť)

3. (x, y) R (y, z) R, potom (x,z) R (vlastnosť tranzitivity)

Ak pár (x, y) vstúpili do vzťahu ekvivalencie, potom sa x a y nazývajú ekvivalentné (x~y).

1.Nech ℤ je množina celých čísel, m≥1 je celé číslo. Definujte vzťah ekvivalencie R na ℤ takže n~k, Ak n-k deleno m. Skontrolujme, či sú vlastnosti na danom vzťahu splnené.

1. Reflexivita.

Pre hocikoho n∈ℤ ℤ také že (p,p)∈R

rr=0. Pretože 0∈ ℤ , To (p,p)∈ℤ.

2. Symetria.

Od (n,k) ∈R z toho vyplýva, že existuje р∈ ℤ, Čo n-k = t;

k-n = m(-p), -p∈ ℤ, teda (k,n) ∈R.

3. Prechodnosť.

Z čoho (n,k) ∈R, (k, q) ∈R z toho vyplýva, že existujú p 1 A p 2 ∈ ℤ, Čo n-k=t A k-q = mp2. Pridaním týchto výrazov to dostaneme n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. Preto (n,q) ∈ ℤ.

2. Zvážte súbor X všetky smerované segmenty priestoru alebo roviny . =(A, B). Uveďme vzťah ekvivalencie R na X.

∼ (\displaystyle \sim ). Potom sa zavolá množina všetkých tried ekvivalencie nastavený faktor a je označený. Rozdelenie množiny do tried ekvivalentných prvkov sa nazýva jej faktorizácia.

Zobraziť od X (\displaystyle X) do množiny tried ekvivalencie X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) volal mapovanie faktorov. Vďaka vlastnostiam vzťahu ekvivalencie je rozdelenie na množiny jedinečné. To znamená, že triedy obsahujúce ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X) buď sa nepretínajú, alebo sa úplne zhodujú. Pre akýkoľvek prvok x ∈ X (\displaystyle x\in X) niektorá trieda je jednoznačne definovaná z X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ), inými slovami, existuje surjektívne mapovanie z X (\displaystyle X) V X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Trieda obsahujúca x (\displaystyle x), niekedy označované [ x ] (\displaystyle [x]).

Ak je súbor vybavený štruktúrou, potom často mapovaním X → X / ∼ (\displaystyle X\to X/\!\sim ) možno použiť na dodanie sady faktorov X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) rovnakú štruktúru, ako je topológia. V tomto prípade súprava X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) s indukovanou štruktúrou je tzv kvocientový priestor.

Encyklopedický YouTube

1 / 4

✪ 3. Triedy ekvivalencie

✪ Prednáška z teórie množín 3. časť 1

✪ Teória množín Prednáška 3 2. časť

✪ Teória množín 3. časť 3. časť

titulky

Faktor priestor podpriestor

Vzťah ekvivalencie sa často zavádza nasledovne. Nechaj X (\displaystyle X)- lineárny priestor a L (\displaystyle L) je nejaký lineárny podpriestor. Potom dva prvky x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X) také že x − y ∈ L (\displaystyle x-y\in L), sa volajú ekvivalent. Toto je označené x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). Priestor získaný v dôsledku faktorizácie sa nazýva podielový priestor podpriestorom L (\displaystyle L). Ak X (\displaystyle X) expanduje do priamej sumy X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), potom existuje izomorfizmus z M (\displaystyle M) V X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). Ak X (\displaystyle X) je konečný-dimenzionálny priestor, potom kvocientový priestor X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))) je tiež konečnorozmerný a dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim ))=\dim X-\dim L).

Príklady

. Môžeme zvážiť množinu faktorov X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Funkcia f (\displaystyle f) nastavuje prirodzenú korešpondenciu jedna ku jednej medzi X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) A Y (\displaystyle Y).

Je rozumné použiť faktorizáciu množín na získanie normovaných priestorov z polonormovaných priestorov, priestorov s vnútorným súčinom z priestorov s takmer vnútorným súčinom atď. Na tento účel sa zavádza norma triedy, resp. rovná norme jeho ľubovoľný prvok a skalárny súčin tried ako skalárny súčin ľubovoľných prvkov tried. Na druhej strane sa vzťah ekvivalencie zavedie nasledovne (napríklad na vytvorenie normovaného kvocientového priestoru): zavedie sa podmnožina pôvodného seminormovaného priestoru pozostávajúca z prvkov s nulovou seminormou (mimochodom, je lineárna , teda ide o podpriestor) a dva prvky sa považujú za ekvivalentné, ak ich rozdiel patrí do toho istého podpriestoru.

Ak sa na faktorizáciu lineárneho priestoru zavedie určitý podpriestor lineárneho priestoru a predpokladá sa, že ak rozdiel dvoch prvkov pôvodného priestoru patrí do tohto podpriestoru, potom sú tieto prvky ekvivalentné, potom je množinou faktorov lineárny priestor a sa nazýva faktorový priestor.

nastavený faktor

Súpravy.

Relácia čiastočného poriadku na množine x je binárna relácia, ktorá je antisymetrická, reflexná a tranzitívna a označuje sa ako
ako pár:

Binárny vzťah sa nazýva tolerancia, ak je reflexívny a symetrický.

Binárny vzťah sa nazýva kváziporadie, ak je ireflexívny, antisymetrický a tranzitívny (predporadie).

Binárny vzťah sa nazýva striktný poriadok, ak je reflexívny a tranzitívny.

Enárna algebraická operácia na množine M je funkcia

je unárna operácia;

je binárna operácia;

- triárna prevádzka.

Binárna algebraická operácia −

je operácia, ktorá každej usporiadanej dvojici z množiny M priradí nejaký prvok množiny M.

Vlastnosti:

1) Komutivita:

2) Asociativita:

neutrálny prvok

Nastaví M pre binárnu algebraickú operáciu

Prvok sa volá:

• 
  Faktor súpravy je množina tried ekvivalencie tohto súpravy. Vzťah čiastkovej objednávky na množstvo x sa nazýva binárna relácia...


• 
  Ďalšia otázka." Faktor súpravy. Faktor súpravy- agregát. Multiplikatívne a aditívne formy.


• 
  Faktor súpravy- agregát.
  Kopa- súbor určitých a rôznych predmetov mysliteľných ako jeden celok.


• 
  Multiplikatívna funkcia je... viac podrobností ». Faktor súpravy. Faktor súpravy je množina tried ekvivalencie tohto súpravy.


• 
  V skutočnosti je proces výroby zložitejší a jeho produkt je výsledkom používania. súpravy faktory.


• 
  Kvalita manažérskych rozhodnutí závisí od súpravy faktory, z ktorých najvýznamnejší môže byť n.


• 
  Optimalizácia rozhodnutí o zvyšovaní kapitálu je výskumný proces súpravy faktory ovplyvňuje očakávané výsledky...