Ak sa v blízkosti povrchu Zeme nachádza pevné teleso, potom na každý hmotný bod tohto telesa pôsobí gravitácia. Zároveň sú rozmery telesa v porovnaní s veľkosťou Zeme také malé, že gravitačné sily pôsobiace na všetky častice telesa možno považovať za navzájom paralelné.

Stred (bod S) sústavy paralelných tiažových síl všetkých bodov telesa sa nazývajú ťažisko tuhého telesa , a súčet gravitačných síl všetkých jeho hmotných bodov sa nazýva gravitácia konať podľa toho

Súradnice ťažiska tuhého telesa sú určené vzorcami:

kde sú súradnice bodov pôsobenia gravitácie k- materiálny bod.

Pre homogénne telo:

kde V je objem celého tela;

V k- objem k-tá častica.

Pre rovnomerný tenký plát:

kde S je plocha dosky;

S k- námestie k- oh časť taniera.

Pre riadok:

Kde L- dĺžka celej čiary;

L k- dĺžka kčasť riadku.

Metódy na určenie súradníc ťažísk telies:

Teoretické

Symetria. Ak má homogénne teleso rovinu, os alebo stred symetrie, potom jeho ťažisko leží buď v rovine symetrie, alebo na osi, alebo v strede symetrie.

Štiepenie. Ak je možné teleso rozdeliť na konečný počet takých častí, z ktorých každá je známa poloha ťažiska, potom je možné priamo vypočítať súradnice ťažiska celého telesa pomocou vyššie uvedených vzorcov.

Doplnenie. Táto metóda je špeciálnym prípadom metódy rozdeľovania. Platí pre telesá s výrezmi, ak sú známe ťažiska telesa bez výrezu a výrezu. Sú zahrnuté vo výpočtoch so znamienkom „-“.

integrácia. Keď sa telo nedá rozdeliť na časti, ktorých ťažisko je známe, použije sa integračná metóda, ktorá je univerzálna.

experimentálne

spôsob zavesenia. Telo je zavesené na dvoch alebo troch bodoch, ktoré z nich vykresľujú zvislé čiary. Ich priesečník je ťažisko.

Metóda váženia. Telo je umiestnené v rôznych častiach na váhe, čím sa určujú podporné reakcie. Zostavte rovnovážne rovnice, z ktorých sa určia súradnice ťažiska.

Pomocou teoretických metód, vzorcov na určovanie súradnice ťažiska najčastejšie homogénne telesá:

oblúk kruhu

Ťažisko tuhého telesa

ťažisko Tuhé teleso je geometrický bod, ktorý je s týmto telesom pevne spojený a je ťažiskom rovnobežných gravitačných síl pôsobiacich na jednotlivé elementárne častice telesa (obrázok 1.6).

Vektor polomeru tohto bodu

Obrázok 1.6

Pri homogénnom telese nezávisí poloha ťažiska telesa od materiálu, ale je určená geometrickým tvarom telesa.

Ak merná hmotnosť homogénneho telesa γ , hmotnosť elementárnej častice telesa

Pk = γΔVk (P = γV)

nahradiť vo vzorci určiť r C , máme

Odkiaľ, premietnutím na osi a prechodom na limit, získame súradnice ťažiska homogénneho objemu

Podobne pre súradnice ťažiska homogénneho povrchu s plochou S (Obrázok 1.7, a)

Obrázok 1.7

Pre súradnice ťažiska homogénnej čiary dĺžky L (Obrázok 1.7, b)

Metódy určovania súradníc ťažiska

Na základe všeobecných vzorcov získaných skôr je možné uviesť metódy na určenie súradníc ťažísk pevných telies:

Obrázok 1.8

Obrázok 1.9

11. Základné pojmy kinematiky. Bodová kinematika. Metódy na určenie pohybu bodu. Bodová rýchlosť a zrýchlenie.

Základné pojmy kinematiky

Kinematika- odvetvie mechaniky, ktoré študuje pohyb telies bez zohľadnenia príčin, ktoré tento pohyb vyvolali.

Hlavnou úlohou kinematiky je nájsť polohu telesa v ľubovoľnom časovom okamihu, ak je známa jeho poloha, rýchlosť a zrýchlenie v počiatočnom časovom okamihu.

mechanický pohyb- ide o zmenu vzájomnej polohy telies (alebo častí tela) v priestore v čase.

Na opis mechanického pohybu je potrebné zvoliť referenčný rámec.

Referenčný orgán- teleso (alebo skupina telies), brané v tomto prípade ako stacionárne, voči ktorému sa uvažuje pohyb iných telies.

Referenčný systém- ide o súradnicový systém priradený k referenčnému telesu a zvolenú metódu merania času (obr. 1).

Polohu telesa je možné určiť pomocou vektora polomeru r⃗ r→ alebo pomocou súradníc.

Vektor polomeru r⃗ r→ bodov Μ - usmernená priamka spájajúca počiatok O s bodkou Μ (obr. 2).

Koordinovať x bodov Μ je priemet konca vektora polomeru bodu Μ na nápravu Oh. Zvyčajne sa používa pravouhlý súradnicový systém. V tomto prípade poloha bodu Μ na priamke, rovine a v priestore sú určené jednotkou ( X), dva ( X, pri) a tri ( X, pri, z) čísla - súradnice (obr. 3).

V elementárnom kurze fyzici študujú kinematiku pohybu hmotného bodu.

Materiálny bod- teleso, ktorého rozmery za daných podmienok možno zanedbať.

Tento model sa používa v prípadoch, keď sú lineárne rozmery uvažovaných telies oveľa menšie ako všetky ostatné vzdialenosti v danom probléme alebo keď sa teleso pohybuje dopredu.

Translačný nazývaný pohyb telesa, pri ktorom sa priamka prechádzajúca cez ľubovoľné dva body telesa pohybuje, pričom zostáva rovnobežná sama so sebou. Pri translačnom pohybe všetky body telesa opisujú rovnaké trajektórie a v každom okamihu majú rovnaké rýchlosti a zrýchlenia. Preto na opísanie takéhoto pohybu telesa stačí opísať pohyb jeho jedného ľubovoľného bodu.

Ďalej bude slovo "telo" chápané ako "hmotný bod".

Čiara, ktorú pohybujúce sa teleso opisuje v určitej vzťažnej sústave, sa nazýva trajektórie. V praxi sa tvar trajektórie nastavuje pomocou matematických vzorcov ( r = f(X) - rovnica trajektórie) alebo znázornené na obrázku. Typ trajektórie závisí od výberu referenčného systému. Napríklad trajektória voľne padajúceho telesa v aute, ktoré sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro, je priama zvislá čiara v referenčnom rámci spojenom s autom a parabola v referenčnom rámci spojenom so Zemou. .

V závislosti od typu trajektórie sa rozlišuje priamočiary a krivočiary pohyb.

Cesta s- skalárna fyzikálna veličina určená dĺžkou dráhy opísanej telesom za určitý čas. Cesta je vždy pozitívna: s > 0.

sťahovanieΔr⃗ Δr→ telesá za určitý čas - usmernený úsek priamky spájajúcej začiatočný (bod. M 0) a konečné (bod M) poloha tela (pozri obr. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

kde r⃗ r→ a r⃗ 0 r→0 sú polomerové vektory telesa v týchto časoch.

Projekcia posunu na os Vôl

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Kde X 0 a X- súradnice telesa v počiatočných a konečných časových okamihoch.

Modul posunutia nemôže byť väčší ako dráha

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Znamienko rovnosti sa vzťahuje na prípad priamočiareho pohybu, ak sa smer pohybu nemení.

Keď poznáme posunutie a počiatočnú polohu tela, môžeme nájsť jeho polohu v čase t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗; r→=r→0+Ar→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+ARx;y=y0+Δry.

Rýchlosť

Priemerná rýchlosť hυ⃗ i hυ→i je vektorová fyzikálna veličina, ktorá sa číselne rovná pomeru posunu k časovému intervalu, počas ktorého k nemu došlo, a smeruje pozdĺž posunu (obr. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗. hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

Jednotkou SI pre rýchlosť sú metre za sekundu (m/s).

Priemerná rýchlosť zistená týmto vzorcom charakterizuje pohyb iba v tej časti trajektórie, pre ktorú je definovaná. Na inej časti trajektórie to môže byť iné.

Niekedy využívajú priemernú rýchlosť cesty

hυi=sΔt hυi=sΔt

Kde s je dráha prejdená v časovom intervale Δ t. Priemerná rýchlosť dráhy je skalárna hodnota.

Okamžitá rýchlosťυ⃗ υ→ teleso - rýchlosť telesa v danom čase (alebo v danom bode trajektórie). Rovná sa limitu, ku ktorému smeruje priemerná rýchlosť v nekonečne malom časovom intervale υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Tu r⃗ ′ r→ ′ je časová derivácia vektora polomeru.

V projekcii na os Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Okamžitá rýchlosť telesa smeruje tangenciálne k trajektórii v každom bode v smere pohybu (pozri obr. 4).

Zrýchlenie

Priemerné zrýchlenie- fyzikálna veličina, ktorá sa číselne rovná pomeru zmeny rýchlosti k času, počas ktorého k nej došlo:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Vektor ha⃗ i ha→i smeruje rovnobežne s vektorom zmeny rýchlosti Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) smerom ku konkávnosti trajektórie (obr. 5).

Okamžité zvýšenie:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

Jednotkou SI pre zrýchlenie sú metre za sekundu na druhú (m/s2).

Vo všeobecnom prípade je okamžité zrýchlenie nasmerované pod uhlom k rýchlosti. Keď poznáte trajektóriu, môžete určiť smer rýchlosti, ale nie zrýchlenie. Smer zrýchlenia je určený smerom výsledných síl pôsobiacich na teleso.

Pri priamočiarom pohybe so zvyšujúcou sa rýchlosťou modulo (obr. 6, a) sú vektory a⃗ a→ a υ⃗ 0 υ→0 spolusmerované (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) a projekcia zrýchlenia na smer pohyb je pozitívny.

Pri priamočiarom pohybe s klesajúcim modulom rýchlosti (obr. 6, b) sú smery vektorov a⃗ a→ a υ⃗ 0 υ→0 opačné (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) a priemet zrýchlenia na smer pohybu je záporný.

Vektor a⃗ a→ pri krivočiarom pohybe možno rozložiť na dve zložky smerujúce pozdĺž rýchlosti a⃗ τ a→τ a kolmo na rýchlosť a⃗ n a→n (obr. 1.7), a⃗ τ a→τ pohybu, a⃗ n a→n - normálové zrýchlenie, charakterizujúce rýchlosť zmeny smeru vektora rýchlosti pri krivočiarom pohybe Modul zrýchlenia a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2+an2.

Metódy na určenie pohybu bodu

Na určenie pohybu bodu môžete použiť jednu z nasledujúcich troch metód:

1) vektor, 2) súradnica, 3) prirodzený.

1. Vektorová metóda na určenie pohybu bodu.

Nechajte bod M sa pohybuje vzhľadom na nejaký referenčný rámec Oxyz. Polohu tohto bodu je možné kedykoľvek určiť nastavením vektora jeho polomeru nakresleného z počiatku O presne tak M(obr. 3).

Obr.3

Keď sa bodka pohne M vektor sa bude časom meniť v absolútnej hodnote aj v smere. Preto je premenný vektor (funkčný vektor) závislý od argumentu t:

Rovnosť definuje zákon pohybu bodu vo vektorovej forme, pretože vám umožňuje kedykoľvek zostrojiť zodpovedajúci vektor a nájsť polohu pohybujúceho sa bodu.

Lokus koncov vektora , t.j. hodograf tohto vektora určuje trajektóriu pohybujúceho sa bodu.

2. Súradnicový spôsob určenia pohybu bodu.

Polohu bodu možno priamo určiť jeho kartézskymi súradnicami x, y, z(obr. 3), ktorý sa pri pohybe bodu bude časom meniť. Poznať pohybový zákon bodu, t.j. jeho polohu v priestore v ktoromkoľvek časovom okamihu, je potrebné poznať hodnoty súradníc bodu pre každý časový okamih, t.j. poznať závislosti

x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).

Rovnice sú pohybové rovnice bodu v pravouhlých karteziánskych súradniciach. Určujú pohybový zákon bodu súradnicovou metódou určenia pohybu.

Pre získanie rovnice trajektórie je potrebné vylúčiť parameter t z pohybových rovníc.

Je ľahké stanoviť vzťah medzi vektorovou a súradnicovou metódou definície pohybu.

Vektor rozložíme na zložky pozdĺž súradnicových osí:

kde r x, r y, rz - vektorové projekcie na osi; – jednotkové vektory smerujúce pozdĺž osí, orty osí.

Keďže začiatok vektora je v počiatku, projekcie vektora sa budú rovnať súradniciam bodu M. Preto

Ak je pohyb bodu daný v polárnych súradniciach

r=r(t), φ = φ(t),

kde r je polárny polomer, φ je uhol medzi polárnou osou a polárnym polomerom, potom tieto rovnice vyjadrujú rovnicu trajektórie bodu. Vylúčením parametra t dostaneme

r = r(φ).

Príklad 1 Pohyb bodu je daný rovnicami

Obr.4

Ak chcete vylúčiť čas, parameter t, zistíme z prvej rovnice sin2t=x/2, z druhej cos2t=y/3. Potom ho štvorčekujeme a pridáme. Keďže sin 2 2t+cos 2 2t=1, dostaneme . Toto je rovnica elipsy s poloosami 2 cm a 3 cm (obr. 4).

Počiatočná poloha bodu M 0 (kedy t\u003d 0) je určená súradnicami x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm.

Po 1 sek. bod bude na svojom mieste M 1 so súradnicami

x 1 \u003d 2sin2 \u003d 2 ∙ 0,91 \u003d 1,82 cm, y 1 \u003d 2cos2=3 ∙ (-0,42) \u003d -1,25 cm.

Poznámka.

Pohyb bodu je možné špecifikovať aj pomocou iných súradníc. Napríklad valcové alebo guľové. Medzi nimi budú nielen lineárne rozmery, ale aj uhly. V prípade potreby sa môžete zoznámiť s úlohou pohybu podľa cylindrických a sférických súradníc z učebníc.

3. Prirodzený spôsob určenia pohybu bodu.

Obr.5

Prirodzený spôsob špecifikácie pohybu je vhodné použiť v prípadoch, keď je vopred známa trajektória pohybujúceho sa bodu. Nechajte krivku AB je trajektória bodu M keď sa pohybuje vzhľadom na referenčný systém Oxyz(obr.5) Vyberme si nejaký pevný bod na tejto trajektórii O", ktorý budeme brať ako počiatok a nastavíme kladný a záporný referenčný smer na trajektóriu (ako na súradnicovej osi).

Potom poloha bodu M na trajektórii bude jednoznačne určená krivočiarou súradnicou s, ktorá sa rovná vzdialenosti od bodu O' k veci M merané pozdĺž oblúka trajektórie a brané so zodpovedajúcim znakom. Pri pohybe bod M presúva na pozície M 1 , M 2,.... preto tá vzdialenosť s sa časom zmení.

Poznať polohu bodu M na trajektóriu kedykoľvek, musíte poznať závislosť

Rovnica vyjadruje pohybový zákon bodu M pozdĺž trajektórie. Funkcia s= f(t) musí byť jednohodnotová, spojitá a diferencovateľná.

Pre kladný referenčný smer oblúkovej súradnice s sa berie smer pohybu bodu v momente, keď zaujíma polohu O. Treba mať na pamäti, že rovnica s \u003d f (t) neurčuje zákon pohybu. bodu v priestore, keďže na určenie polohy bodu v priestore potrebujete poznať aj trajektóriu bodu s počiatočnou polohou bodu na ňom a pevný kladný smer. Pohyb bodu sa teda považuje za daný prirodzeným spôsobom, ak je známa trajektória a rovnica (alebo zákon) pohybu bodu po trajektórii.

Je dôležité poznamenať, že oblúková súradnica bodu s sa líši od dráhy σ, ktorú bod prejde pozdĺž trajektórie. Bod pri svojom pohybe prejde určitou dráhou σ, ktorá je funkciou času t. Prejdená vzdialenosť σ sa však zhoduje so vzdialenosťou s len vtedy, keď sa funkcia s = f(t) mení monotónne s časom, t.j. keď sa bod pohybuje rovnakým smerom. Predpokladajme, že bod M prechádza z M 1 do M 2 . Poloha bodu v M 1 zodpovedá času t 1 a poloha bodu v M 2 zodpovedá času t 2 . Rozložme časový interval t 2 - t 1 na veľmi malé časové intervaly ∆t 1 (i = 1,2, …n) tak, aby sa v každom z nich bod pohyboval jedným smerom. Označme zodpovedajúci prírastok oblúkovej súradnice ako ∆s i . Dráha σ prejdená bodom bude kladná:

Ak je pohyb bodu daný súradnicovým spôsobom, prejdená vzdialenosť je určená vzorcom

kde dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

teda

Príklad 2 Bod sa pohybuje po priamke, podľa zákona s=2t+3 (cm) (obr. 6).

Obr.6

Na začiatku pohybu, v t=0 s=OM 0 = s 0 = 3 cm Poloha bodu M 0 sa volá počiatočná poloha. Pri t = 1 s, s = OMi = 5 cm.

Samozrejme za 1 sek. bod prešiel vzdialenosť M 0 M 1 = 2 cm. Takže s- toto nie je dráha, ktorú bod prešiel, ale vzdialenosť od začiatku k bodu.

Vektor bodovej rýchlosti

Jednou z hlavných kinematických charakteristík pohybu bodu je vektorová veličina nazývaná rýchlosť bodu. Pojem bodová rýchlosť pri rovnomernom priamočiarom pohybe patrí medzi elementárne pojmy.

Rýchlosť- miera mechanického stavu tela. Charakterizuje rýchlosť zmeny polohy tela vzhľadom na daný referenčný systém a je vektorovou fyzikálnou veličinou.

Jednotkou merania rýchlosti je m/s. Často sa používajú iné jednotky, napríklad km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Pohyb bodu sa nazýva rovnomerný, ak sú prírastky vektora polomeru bodu za rovnaké časové intervaly navzájom rovnaké. Ak je trajektória bodu priamka, potom sa pohyb bodu nazýva priamočiary.

Pre rovnomerný priamočiary pohyb

∆r= v∆t, (1)

Kde v je konštantný vektor.

Vektor v sa nazýva rýchlosť priamočiareho a rovnomerný pohyb ju úplne určuje.

Zo vzťahu (1) je vidieť, že rýchlosť priamočiareho a rovnomerného pohybu je fyzikálna veličina, ktorá určuje pohyb bodu za jednotku času. Od (1) máme

vektorový smer v znázornené na obr. 6.1.

Obr.6.1

Pri nerovnomernom pohybe tento vzorec nie je vhodný. Najprv predstavme pojem priemernej rýchlosti bodu za určité časové obdobie.

Pohyblivý bod nech je v čase t tehotná M, určený polomerovým vektorom , a v momente t 1 prichádza do polohy M 1 určený vektorom (obr. 7). Potom pohyb bodu za čas ∆t=t 1 -t určuje vektor, ktorý nazveme vektorom pohybu bodu. Z trojuholníka OMM 1 ukazuje, že; teda,

Ryža. 7

Pomer vektora posunutia bodu k príslušnému časovému intervalu dáva vektorovú hodnotu, ktorá sa nazýva rýchlosť bodu spriemerovaná v absolútnej hodnote a smere za časový interval ∆t:

Rýchlosť bodu v danom čase t je vektorová veličina v, ku ktorej smeruje priemerná rýchlosť vcf, keď sa časový interval ∆t blíži k nule:

Takže vektor rýchlosti bodu v danom časovom okamihu sa rovná prvej derivácii vektora polomeru bodu vzhľadom na čas.

Od obmedzujúceho smeru seč MM 1 je dotyčnica, potom vektor rýchlosti bodu v danom časovom okamihu smeruje tangenciálne k trajektórii bodu v smere pohybu.

Určenie rýchlosti bodu súradnicovou metódou určenia pohybu

Vektor bodovej rýchlosti, keďže r x =x, r y =y, r z =z, nájdeme:

Priemet rýchlosti bodu na súradnicové osi sa teda rovnajú prvým deriváciám zodpovedajúcich súradníc bodu vzhľadom na čas.

Keď poznáme projekcie rýchlosti, zistíme jej modul a smer (t. j. uhly α, β, γ, ktoré zviera vektor v so súradnicovými osami) pomocou vzorcov

Číselná hodnota rýchlosti bodu v danom čase sa teda rovná prvej derivácii vzdialenosti (krivková súradnica) s bodov v čase.

Vektor rýchlosti smeruje po dotyčnici k trajektórii, ktorú vopred poznáme.

Určenie rýchlosti bodu prirodzeným spôsobom určenia pohybu

Veľkosť rýchlosti môže byť definovaná ako limit (∆r je dĺžka tetivy MM 1):

kde ∆s je dĺžka oblúka MM 1. Prvá hranica sa rovná jednej, druhá hranica je derivácia ds/dt.

Preto je rýchlosť bodu prvou časovou deriváciou zákona o pohybe:

Vektor rýchlosti je nasmerovaný, ako bolo stanovené skôr, tangenciálne k trajektórii. Ak je hodnota rýchlosti momentálne väčšia ako nula, potom je vektor rýchlosti nasmerovaný v kladnom smere.

Vektor bodového zrýchlenia

Zrýchlenie- vektorová fyzikálna veličina charakterizujúca rýchlosť zmeny rýchlosti. Ukazuje, ako veľmi sa mení rýchlosť telesa za jednotku času.

Jednotka zrýchlenia SI je meter za sekundu na druhú. k príslušnému časovému intervalu ∆t určuje vektor priemerného bodového zrýchlenia za tento časový interval:

Stredný vektor zrýchlenia má rovnaký smer ako vektor , t.j. smeruje ku konkávnosti trajektórie.

Zrýchlenie bodu v danom čase t sa nazýva vektorová hodnota, ku ktorej smeruje priemerné zrýchlenie, keď sa časový interval ∆t blíži k nule: Vektor zrýchlenia bodu v danom časovom okamihu sa rovná prvej derivácii vektora rýchlosti alebo druhej derivácii polomeru. -vektor bodu vzhľadom na čas.

Zrýchlenie bodu je nulové iba vtedy, keď je rýchlosť bodu v je konštantná ako vo veľkosti, tak aj v smere: to zodpovedá iba priamočiaremu a rovnomernému pohybu.

Poďme zistiť, ako sa vektor nachádza vo vzťahu k trajektórii bodu. Pri priamočiarom pohybe je vektor nasmerovaný pozdĺž priamky, po ktorej sa bod pohybuje. smeruje ku konkávnosti trajektórie a leží v rovine prechádzajúcej dotyčnicou k trajektórii v bode M a priamka rovnobežná s dotyčnicou v susednom bode M 1 (obr. 8). V limite, keď bod M má tendenciu M, táto rovina zaberá polohu takzvanej súvislej roviny, t.j. rovina, v ktorej nastáva nekonečne malá rotácia dotyčnice k trajektórii pri elementárnom posunutí pohybujúceho sa bodu. Preto vo všeobecnom prípade vektor zrýchlenia leží v súvislej rovine a smeruje ku konkávnosti krivky.

Určenie zrýchlenia súradnicovou metódou určenia pohybu

Vektor zrýchlenia bodu v priemete na os dostaneme:

tie. priemet zrýchlenia bodu na súradnicové osi sa rovnajú prvým deriváciám priemetov rýchlosti alebo druhým deriváciám zodpovedajúcich súradníc bodu v čase. Modul a smer zrýchlenia možno zistiť zo vzorcov

Obr.10

Projekcie zrýchlenia a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2. Od priemetu vektora zrýchlenia na os X sa rovná nule a na osi r- je záporné, potom vektor zrýchlenia smeruje zvisle nadol a jeho hodnota je konštantná, nezávisí od času.

Prvým objavom Archimeda v mechanike bolo zavedenie pojmu ťažisko, t.j. dôkaz, že v každom telese je jediný bod, v ktorom sa môže sústrediť jeho hmotnosť bez narušenia rovnovážneho stavu.

Ťažisko telesa je bod tuhého telesa, ktorým prechádza výslednica všetkých tiažových síl pôsobiacich na elementárne hmoty tohto telesa v ľubovoľnej polohe v priestore.

Ťažisko mechanického systému nazýva sa bod, voči ktorému je celkový moment tiaže pôsobiaci na všetky telesá sústavy rovný nule.

Jednoducho povedané, ťažisko- toto je bod, na ktorý pôsobí gravitačná sila bez ohľadu na polohu samotného tela. Ak je telo jednotné, ťažisko zvyčajne sa nachádza v geometrickom strede tela. Teda ťažisko v homogénnej kocke alebo homogénnej guli sa zhoduje s geometrickým stredom týchto telies.

Ak sú rozmery telesa malé v porovnaní s polomerom Zeme, potom môžeme predpokladať, že gravitačné sily všetkých častíc telesa tvoria sústavu paralelných síl. Ich výslednica je tzv gravitácia a stredom týchto paralelných síl je ťažisko tela.

Súradnice ťažiska telesa je možné určiť pomocou vzorcov (obr. 7.1):

, , ,

Kde - telesná hmotnosť x i, y i, z i– súradnice elementárnej častice, hmotnosť P i;.

Vzorce na určenie súradníc ťažiska telesa sú presné, prísne vzaté, len keď je teleso rozdelené na nekonečný počet nekonečne malých elementárnych častíc s hmotnosťou P i. Ak je počet častíc, na ktoré je telo mentálne rozdelené, konečný, potom vo všeobecnom prípade budú tieto vzorce približné, pretože súradnice x i, y i, z i v tomto prípade ich možno určiť len s presnosťou veľkosti častíc. Čím menšie sú tieto častice, tým menšiu chybu urobíme pri výpočte súradníc ťažiska. K presným výrazom je možné dospieť iba v dôsledku prechodu na limit, keď veľkosť každej častice má tendenciu k nule a ich počet sa zvyšuje donekonečna. Ako viete, takáto limita sa nazýva určitý integrál. Preto vlastné určenie súradníc ťažísk telies vo všeobecnom prípade vyžaduje nahradenie súčtov im zodpovedajúcimi integrálmi a aplikáciu metód integrálneho počtu.

Ak je hmota vo vnútri tuhého telesa alebo mechanického systému rozložená nerovnomerne, potom sa ťažisko presunie do časti, kde je ťažšia.

Ťažisko telesa nemusí byť vždy dokonca umiestnené vo vnútri samotného telesa. Takže napríklad ťažisko bumerangu je niekde v strede medzi koncami bumerangu, ale mimo samotného tela bumerangu.

Pre zaistenie nákladu je veľmi dôležitá poloha ťažiska. Práve v tomto bode sa uplatňujú gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na záťaž v procese pohybu. Čím vyššie je ťažisko telesa alebo mechanického systému, tým je náchylnejší na prevrátenie.

Ťažisko tela sa zhoduje s ťažiskom.

Akékoľvek teleso možno považovať za súbor hmotných bodov, ktoré napríklad môžeme považovať za molekuly. Nech sa teleso skladá z n hmotných bodov s hmotnosťou m1, m2, ...mn.

ťažisko tela, pozostávajúci z n hmotných bodov, sa nazýva bod (v geometrickom zmysle), ktorého polomerový vektor je určený vzorcom:

Tu je R1 vektor polomeru bodu s číslom i (i = 1, 2, ... n).

Táto definícia vyzerá nezvyčajne, no v skutočnosti udáva polohu samotného ťažiska, o ktorom máme intuitívnu predstavu. Napríklad ťažisko tyče bude v jej strede. Súčet hmotností všetkých bodov zahrnutých v menovateli vyššie uvedeného vzorca sa nazýva hmotnosť telesa. telesná hmotnosť volal súčet hmotností všetkých jeho bodov: m = m1 + m2 + ... + mn .

V symetrických homogénnych telesách sa CM vždy nachádza v strede symetrie alebo leží na osi symetrie, ak obrazec nemá stred symetrie. Ťažisko môže byť umiestnené ako vo vnútri tela (disk, štvorec, trojuholník), tak aj mimo neho (prsteň, rám, štvorec).

Pre človeka závisí pozícia CM od prijatého držania tela. V mnohých športoch je dôležitou súčasťou úspechu schopnosť udržať rovnováhu. Takže v gymnastike, akrobacii

veľké množstvo prvkov bude zahŕňať rôzne typy rovnováhy. Schopnosť udržať rovnováhu je dôležitá pri krasokorčuľovaní, pri korčuľovaní, kde má opora veľmi malú plochu.

Podmienky rovnováhy pre teleso v pokoji sú súčasná rovnosť nule súčtu síl a súčtu momentov síl pôsobiacich na teleso.

Poďme zistiť, akú polohu by mala zaujať os rotácie, aby teleso na nej pripevnené zostalo v rovnováhe pod pôsobením gravitácie. Aby sme to urobili, rozbijeme teleso na veľa malých kúskov a nakreslíme gravitačné sily, ktoré na ne pôsobia.

V súlade s pravidlom momentov je pre rovnováhu potrebné, aby súčet momentov všetkých týchto síl okolo osi bol rovný nule.

Dá sa ukázať, že pre každé teleso existuje jedinečný bod, v ktorom sa súčet momentov tiaže okolo ktorejkoľvek osi prechádzajúcej týmto bodom rovná nule. Tento bod sa nazýva ťažisko (zvyčajne sa zhoduje s ťažiskom).

Ťažisko tela (CG) volal bod, okolo ktorého je súčet gravitačných momentov pôsobiacich na všetky častice telesa rovný nule.

Gravitačné sily teda nespôsobujú otáčanie telesa okolo ťažiska. Preto by všetky gravitačné sily mohli byť nahradené jedinou silou, ktorá pôsobí na tento bod a rovná sa gravitačnej sile.

Na štúdium pohybov tela športovca sa často zavádza pojem spoločné ťažisko (CGG). Hlavné vlastnosti ťažiska:

Ak je teleso upevnené na osi prechádzajúcej cez ťažisko, potom gravitácia nespôsobí jeho otáčanie;

Ťažisko je bod pôsobenia gravitácie;

V rovnomernom poli sa ťažisko zhoduje s ťažiskom.

Rovnováha je poloha tela, v ktorej môže zostať v pokoji ľubovoľne dlho. Pri vychýlení telesa z rovnovážnej polohy sa zmenia sily, ktoré naň pôsobia, a rovnováha síl sa naruší.

Existujú rôzne typy rovnováhy (obr. 9). Je zvykom rozlišovať tri typy rovnováhy: stabilnú, nestabilnú a ľahostajnú.

Stabilná rovnováha (obr. 9, a) je charakterizovaná skutočnosťou, že telo sa pri vychýlení vráti do pôvodnej polohy. V tomto prípade vznikajú sily alebo momenty síl, ktoré majú tendenciu vrátiť teleso do pôvodnej polohy. Príkladom je poloha tela s hornou oporou (napríklad zavesené na hrazde), kedy pri akýchkoľvek odchýlkach má telo tendenciu vrátiť sa do pôvodnej polohy.

Indiferentná rovnováha (obr. 9, b) je charakteristická tým, že pri zmene polohy telesa nevznikajú žiadne sily ani momenty síl, ktoré majú tendenciu vracať teleso do pôvodnej polohy alebo teleso z neho ďalej odstraňovať. U ľudí je to zriedkavý jav. Príkladom je stav beztiaže na vesmírnej lodi.

Nestabilná rovnováha (obr. 9, c) sa pozoruje, keď pri malých odchýlkach telesa vznikajú sily alebo momenty síl, ktoré majú tendenciu ešte viac vychýliť teleso z jeho počiatočnej polohy. Takýto prípad možno pozorovať, keď sa osoba, ktorá stojí na podpere veľmi malej plochy (oveľa menšej ako plocha jeho dvoch nôh alebo dokonca jednej nohy), odchýli na stranu.

Obrázok 9 Rovnováha tela: stabilný (a), ľahostajný (b), nestabilný (c)

Popri vymenovaných typoch rovnováhy telies v biomechanike prichádza do úvahy ešte jeden typ rovnováhy - obmedzene stabilná. Tento typ rovnováhy sa vyznačuje tým, že teleso sa môže vrátiť do svojej východiskovej polohy, ak sa z nej odchýli do určitej hranice, napríklad určenej hranicou opornej oblasti. Ak odchýlka prekročí túto hranicu, rovnováha sa stane nestabilnou.

Hlavnou úlohou pri zabezpečovaní rovnováhy ľudského tela je zabezpečiť, aby projekcia GCM tela bola v oblasti podpory. V závislosti od druhu činnosti (udržiavanie statickej polohy, chôdza, beh a pod.) a požiadaviek na stabilitu sa frekvencia a rýchlosť nápravných úkonov mení, ale procesy udržiavania rovnováhy sú rovnaké.

Rozloženie hmoty v ľudskom tele

Hmotnosť tela a hmotnosti jednotlivých segmentov sú veľmi dôležité pre rôzne aspekty biomechaniky. V mnohých športoch je potrebné poznať rozloženie hmoty, aby sa vyvinula správna technika vykonávania cvikov. Na analýzu pohybov ľudského tela sa používa metóda segmentácie: konvenčne sa delí na určité segmenty. Pre každý segment sa určí jeho hmotnosť a poloha ťažiska. V tabuľke. 1 definuje hmotnosti častí tela v relatívnych jednotkách.

Stôl 1. Hmotnosti častí tela v relatívnych jednotkách

Často sa namiesto pojmu ťažisko používa iný pojem – ťažisko. V rovnomernom ťažisku sa ťažisko vždy zhoduje s ťažiskom. Poloha ťažiska spoja je indikovaná ako jeho vzdialenosť od osi proximálneho kĺbu a je vyjadrená vo vzťahu k dĺžke spoja branej ako jednotka.

V tabuľke. 2 je znázornená anatomická poloha ťažísk rôznych častí tela.

Tabuľka 2 Ťažiská častí tela

Časť tela	Poloha ťažiska
Bedro	Dĺžka spoja 0,44
Shin	Dĺžka spoja 0,42
Rameno	Dĺžka odkazu 0,47
Predlaktie	Dĺžka spoja 0,42
trupu
Hlava
Kefa
Noha
Rameno	Dĺžka odkazu 0,47
Predlaktie	Dĺžka spoja 0,42
trupu	0,44 vzdialenosť od priečnej osi ramenných kĺbov k osi bedra
Hlava	Nachádza sa v oblasti tureckého sedla sfenoidálnej kosti (projekcia spredu medzi obočím, zo strany - 3,0 - 3,5 nad vonkajším zvukovodom)
Kefa	V oblasti hlavy tretej metakarpálnej kosti
Noha	Na priamke spájajúcej kalkaneálny tuberkulum kalkanea s koncom druhého prsta vo vzdialenosti 0,44 od prvého bodu
Všeobecné ťažisko vo vertikálnej polohe tela	Nachádza sa v hlavnom postoji v oblasti panvy, pred krížovou kosťou

Vyhliadka: tento článok bol zobrazený 11269 krát

Pdf Vyberte jazyk... Ruština Ukrajinčina Angličtina

Krátka recenzia

Celý materiál sa stiahne vyššie po výbere jazyka

Preskúmanie

Rameno páky je tuhé teleso, ktoré má nehybnú os otáčania a je pôsobené silami ležiacimi v rovine kolmej na túto os.

Ak je páka v pokoji, potom je algebraický súčet momentov všetkých síl pôsobiacich na páku vo vzťahu k referenčnému bodu nula.

Ľubovoľný rovinný systém síl - ide o sústavu síl, ktorých pôsobiace čiary sú umiestnené v rovine nezávisle.

Pomocou Poinsotovej metódy v strede redukcie O sa získa sústava síl a sústava dvojíc, z ktorých momenty sa rovnajú momentom zodpovedajúcej sily voči stredu redukcie.

Hlavný vektorový systém sa nazýva vektor, ktorý sa rovná geometrickému súčtu všetkých síl sústavy.

Hlavný bod systému vzhľadom na stred O v rovine sa nazýva algebraický súčet momentov síl sústavy voči stredu redukcie O.

Hlavný vektor nezávisí od výberu stredu redukcie O. Hlavný moment síl závisí od stredu redukcie.

Základná veta statiky o privedení sústavy síl do daného stredu : Akákoľvek plochá ľubovoľná sústava síl pôsobiaca na absolútne tuhé teleso, keď sa redukuje na ľubovoľne zvolený stred O, môže byť nahradená jednou silou rovnajúcou sa hlavnému vektoru sústavy a aplikovanou v redukčnom strede O a jednou dvojicou s moment rovný hlavnému momentu sústavy okolo stredu O.

Uvažujú sa prípady redukcie plochej sústavy síl na jednoduchšiu formu.

Podmienky rovnováhy pre ľubovoľnú rovinnú sústavu síl.

1. Podmienky geometrickej rovnováhy : pre rovnováhu rovinnej ľubovoľnej sústavy síl je potrebné a postačujúce, aby hlavný vektor a hlavný moment sústavy boli rovné nule

2. Podmienky analytickej rovnováhy .

Základná forma podmienok rovnováhy: Pre rovnováhu ľubovoľnej plochej sústavy síl je potrebné a postačujúce, aby súčet priemetov všetkých síl na súradnicové osi a súčet ich momentov vzhľadom na ľubovoľný stred, ktorý leží v rovine pôsobenia síl sa rovnajú nule.

Druhá forma podmienok rovnováhy: Pre rovnováhu ľubovoľnej rovinnej sústavy síl je potrebné a postačujúce, aby súčet momentov všetkých síl okolo ľubovoľných dvoch stredov A a B a súčet ich priemetov na os, ktorá nie je kolmá na priamku AB, boli rovná nule.

Tretia forma podmienok rovnováhy (rovnica troch momentov): Pre rovnováhu plochej ľubovoľnej sústavy síl je potrebné a postačujúce, aby súčet momentov všetkých síl o ľubovoľných troch stredoch A, B a C, neležiacich na jednej priamke, bol rovný nule.

Stred paralelných síl

Sústavu rovnobežných síl smerujúcich jedným smerom nemožno vyvážiť ani zredukovať na dvojicu síl, vždy má výslednicu.

Čiara pôsobenia výslednice je rovnobežná so silami. Poloha bodu jeho pôsobenia závisí od veľkosti a polohy bodov pôsobenia síl sústavy.

Stred paralelných síl - bod C je bod pôsobenia výslednej sústavy rovnobežných síl.
Polohu stredu rovnobežných síl - bod C, určujú súradnice tohto bodu

Ťažisko tuhého telesa a jeho súradnice

Ťažisko tela - geometrický bod nemenne spojený s týmto telesom, na ktorý sa uplatňuje výslednica tiažových síl jednotlivých častíc telesa, t.j. telesná hmotnosť v priestore.

Súradnice ťažiska sa určujú podobne ako súradnice stredu rovnobežných síl C (), zložených z tiažových síl častíc telesa.

Poloha ťažiska homogénneho telesa závisí len od jeho geometrického tvaru a rozmerov a nezávisí od vlastností materiálu, z ktorého je teleso vyrobené.

Súčet súčinov elementárnych oblastí, ktoré tvoria plochý obrazec, algebraickými hodnotami ich vzdialeností k nejakej osi, sa nazýva statický moment plochy plochého obrazca.

Statický moment plocha plochého útvaru sa rovná súčinu plochy obrázku algebraickou vzdialenosťou od ťažiska k tejto osi. Jednotkou merania pre statický moment je [cm3].
statický moment plochy plochého útvaru vzhľadom na os, ktorá prechádza ťažiskom obrázku, sa rovná nule.

Telesná hmotnosť je výsledkom gravitačných síl jednotlivých častíc telesa.

Metódy určenia polohy ťažiska .

1. Metóda symetrie : Ak má homogénne teleso rovinu, os alebo stred súmernosti, potom ťažisko leží buď v rovine súmernosti, alebo na osi súmernosti, alebo v strede súmernosti. v strede je čiara dĺžky. Ťažisko kružnice (alebo kružnice) polomeru je v jej strede, t.j. v priesečníku priemerov. Ťažisko rovnobežníka, kosoštvorca alebo rovnobežnostena je v priesečníku uhlopriečok. Ťažisko pravidelného mnohouholníka je v strede vpísanej alebo opísanej kružnice.
2. Metóda vytyčovania : Ak je možné teleso rozdeliť na konečný počet prvkov (objemov, rovín, čiar), pre každý z nich je známa poloha ťažiska, potom súradnice ťažiska celého telesa možno určiť pomocou poznať hodnoty prvkov priamo podľa vzorcov
3. Doplnková metóda (negatívne roviny): Ak má teleso rezané prvky, tak pri rozdeľovaní na prvky sa odpočítava rezaná časť (plocha, objem) od súčtu, t.j. rezané prvky majú záporné hodnoty plochy alebo objemu

Formát: pdf

Veľkosť: 700 KV

Jazyk: ruský, ukrajinský

Príklad výpočtu čelného ozubeného kolesa
Príklad výpočtu čelného ozubeného kolesa. Uskutočnil sa výber materiálu, výpočet prípustných napätí, výpočet dotykovej a ohybovej pevnosti.

Príklad riešenia problému ohýbania lúča
V príklade sú vykreslené diagramy priečnych síl a ohybových momentov, nájde sa nebezpečný úsek a vyberie sa I-nosník. V úlohe je analyzovaná konštrukcia diagramov pomocou diferenciálnych závislostí, je realizovaná porovnávacia analýza rôznych prierezov nosníkov.

Príklad riešenia problému krútenia hriadeľa
Úlohou je otestovať pevnosť oceľového hriadeľa pre daný priemer, materiál a dovolené napätia. Pri riešení sa zostavujú diagramy krútiacich momentov, šmykových napätí a uhlov skrútenia. Vlastná hmotnosť hriadeľa sa neberie do úvahy

Príklad riešenia problému ťah-stlačenie tyče
Úlohou je otestovať pevnosť oceľovej tyče pri daných dovolených napätiach. Pri riešení sa vytvárajú grafy pozdĺžnych síl, normálových napätí a posunov. Vlastná hmotnosť tyče sa neberie do úvahy

Aplikácia vety o zachovaní kinetickej energie
Príklad riešenia úlohy aplikácie vety o zachovaní kinetickej energie mechanického systému

Určenie rýchlosti a zrýchlenia bodu podľa daných pohybových rovníc
Príklad riešenia úlohy určenia rýchlosti a zrýchlenia bodu podľa daných pohybových rovníc

Určovanie rýchlostí a zrýchlení bodov tuhého telesa pri rovinnoparalelnom pohybe
Príklad riešenia úlohy určenia rýchlostí a zrýchlení bodov tuhého telesa pri rovinnoparalelnom pohybe