O dvoch trojuholníkoch sa hovorí, že sú zhodné, ak sa môžu prekrývať. Obrázok 1 zobrazuje rovnaké trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1. Každý z týchto trojuholníkov môže byť superponovaný na iný, takže sú úplne kompatibilné, to znamená, že ich vrcholy a strany sú spárované. Je jasné, že v tomto prípade budú uhly týchto trojuholníkov kombinované v pároch.

Ak sú teda dva trojuholníky rovnaké, potom sa prvky (t. j. strany a uhly) jedného trojuholníka rovnajú prvkom druhého trojuholníka. Poznač si to v rovnakých trojuholníkoch proti príslušným rovnakým stranám(t. j. prekrývajúce sa pri prekrývaní) ležať v rovnakých uhloch a späť: protiľahlé zodpovedajúce rovnaké uhly ležia rovnaké strany.

Takže napríklad v rovnakých trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1, znázornených na obrázku 1, ležia rovnaké uhly C a C 1 proti rovnakým stranám AB a A 1 B 1. Rovnosť trojuholníkov ABC a A 1 B 1 C 1 budeme označovať takto: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ukazuje sa, že rovnosť dvoch trojuholníkov možno určiť porovnaním niektorých ich prvkov.

Veta 1. Prvý znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sa takéto trojuholníky rovnajú (obr. 2).

Dôkaz. Uvažujme trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1, v ktorých AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (pozri obr. 2). Dokážme, že Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Pretože ∠ A \u003d ∠ A 1, potom trojuholník ABC možno položiť na trojuholník A 1 B 1 C 1 tak, že vrchol A je zarovnaný s vrcholom A 1 a strany AB a AC sa na lúče A 1 B 1 a A 1 C jeden . Pretože AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, strana AB bude kombinovaná so stranou A 1 B 1 a strana AC - so stranou A 1 C 1; najmä body B a B1, C a C1 sa budú zhodovať. Preto budú strany BC a B 1 C 1 zarovnané. Takže trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sú úplne kompatibilné, čo znamená, že sú rovnaké.

Veta 2 sa dokazuje podobne metódou superpozície.

Veta 2. Druhý znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa strana a dva k nej priľahlé uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dva k nej priľahlé uhly iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (obr. 34).

Komentujte. Na základe vety 2 je stanovená veta 3.

Veta 3. Súčet akýchkoľvek dvoch vnútorných uhlov trojuholníka je menší ako 180°.

Veta 4 vyplýva z poslednej vety.

Veta 4. Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako akýkoľvek vnútorný uhol, ktorý s ním nesusedí.

Veta 5. Tretí znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sa tieto trojuholníky rovnajú ().

Príklad 1 V trojuholníkoch ABC a DEF (obr. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Porovnajte trojuholníky ABC a DEF. Aký uhol v trojuholníku DEF sa rovná uhlu B?

rozhodnutie. Tieto trojuholníky sú rovnaké v prvom znamienku. Uhol F trojuholníka DEF sa rovná uhla B trojuholníka ABC, pretože tieto uhly ležia oproti zodpovedajúcim rovnakým stranám DE a AC.

Príklad 2 Segmenty AB a CD (obr. 5) sa pretínajú v bode O, ktorý je stredom každého z nich. Čomu sa rovná segment BD, ak je segment AC 6 m?

rozhodnutie. Trojuholníky AOC a BOD sú rovnaké (podľa prvého kritéria): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikálne), AO = OB, CO = OD (podľa podmienok).
Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva rovnosť ich strán, teda AC = BD. Ale keďže podľa podmienky AC = 6 m, tak BD = 6 m.

Dôkaz: Na A 1 B 1 C 1 vložíme ABC tak, aby sa bod A 1 zhodoval s A. Keďže AC \u003d A 1 C 1, potom podľa axiómy odkladania segmentov bude bod C 1 zhodný s C. Keďže A \u003d A 1 , potom sa podľa axiómy uhlov rozloženia bude lúč A 1 B 1 zhodovať s lúčom AB. Pretože AB \u003d A 1 B 1, potom sa podľa axiómy odkladania segmentov bod B 1 zhoduje s bodom B. Trojuholníky A 1 B 1 C 1 a ABC sa zhodujú, čo znamená ABC \u003d A 1 B 1 C 1 Ch.T.D.

Dôkaz: Na A 1 B 1 C 1 vložíme ABC tak, aby sa bod A 1 zhodoval s A. Keďže AC \u003d A 1 C 1, potom podľa axiómy odkladania segmentov bude bod C 1 zhodný s C. Keďže A \u003d A 1 , potom sa podľa axiómy uhlov rozloženia bude lúč A 1 B 1 zhodovať s lúčom AB. Pretože C \u003d C 1, potom sa podľa axiómy uhlov rozloženia bude lúč C 1 IN 1 zhodovať s lúčom CB. Bod B 1 sa bude zhodovať s bodom B. Trojuholníky A 1 B 1 C 1 a ABC sa zhodujú, čo znamená ABC \u003d A 1 B 1 C 1 FTD

Stredná Úsečka osi uhla trojuholníka spájajúca vrchol trojuholníka s bodom na opačnej strane sa nazýva osi trojuholníka. medianabisector 1 HEIGHT Kolmica vedená z vrcholu trojuholníka na priamku obsahujúcu opačnú stranu sa nazýva nadmorská výška trojuholníka. Úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany sa nazýva stred trojuholníka. výška

A B C K M O T Výšky pravouhlého trojuholníka sa pretínajú vo vrchole C. Výšky ostrého trojuholníka sa pretínajú v bode O, ktorý leží vo vnútri trojuholníka. O A B C Priesečník výšok sa nazýva ortocentrum.

Úsečka uhla trojuholníka spájajúca vrchol trojuholníka s bodom na opačnej strane sa nazýva osi trojuholníka. Tento bod je tiež pozoruhodný - priesečník osi je stredom vpísanej kružnice. O b i s s e k t r i c a

1 Kolmica vedená z vrcholu trojuholníka k priamke obsahujúcej opačnú stranu sa nazýva výška trojuholníka. VÝŠKA Výška v pravouhlom trojuholníku vedená z vrcholu ostrého uhla sa zhoduje s nohou. Výška v tupom trojuholníku vedená z vrcholu ostrého uhla prechádza vonkajšou oblasťou trojuholníka. VÝŠKA 11

Záver 1. V rovnoramennom trojuholníku je výška nakreslená k základni stredom a osou. 2. V rovnoramennom trojuholníku je stredom k základni výška a os. 3. V rovnoramennom trojuholníku je stredom a výškou stred nakreslená os k základni.

Ktoré z týchto tvrdení sú správne? Zapíšte si ich čísla.
1) Ak sa dve strany jedného trojuholníka rovnajú dvom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.
2) Ak sú uhlopriečky v štvoruholníku kolmé, potom je tento štvoruholník kosoštvorec.
3) Plocha kruhu je menšia ako štvorec dĺžky jeho priemeru.

Riešenie problému:

Zvážme každé vyhlásenie.
1) „Ak sa dve strany jedného trojuholníka rovnajú dvom stranám iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné“, toto vyhlásenie je nepravdivé, pretože nezodpovedá žiadnemu z kritérií pre rovnosť trojuholníkov.
2) "Ak sú uhlopriečky v štvoruholníku kolmé, potom je tento štvoruholník kosoštvorec", toto vyhlásenie je nepravdivé, pretože nezodpovedá úplne žiadnej vlastnosti kosoštvorca. Napríklad štvoruholník znázornený na obrázku, jeho uhlopriečky sú kolmé, ale je zrejmé, že nejde o kosoštvorec.
3) "Oblasť kruhu je menšia ako štvorec dĺžky jeho priemeru." Plocha kruhu je ΠR 2 alebo ΠD 2 /4. Číslo Π (Pi) je približne 3,14. Potom S kruh \u003d 0,785D 2. A to je, samozrejme, menej ako D 2 . Výrok je pravdivý

Pripoj sa k nám...

Na stránku môžete poďakovať autorovi, napísať svoje tvrdenia alebo návrhy

Ďalšie úlohy v tejto sekcii

Úloha #03A3EF

Plocha pravouhlého trojuholníka je 722 √ 3 . Jeden z ostrých uhlov je 30°. Nájdite dĺžku nohy oproti tomuto uhlu.

Problém #9FCAB9

V trojuholníku ABC sú os BE a medián AD kolmé a majú rovnakú dĺžku rovnajúcu sa 96. Nájdite strany trojuholníka ABC.

Znaky rovnosti trojuholníkov

Rovnaké trojuholníky sú tie, ktorých zodpovedajúce strany sú rovnaké.

Veta (prvé kritérium pre rovnosť trojuholníkov).
Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta (druhé kritérium pre rovnosť trojuholníkov).
Ak sa strana a dva susedné uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dvom susedným uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta (tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov).
Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Znaky podobnosti trojuholníkov

Trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú uhly rovnaké a podobné strany sú proporcionálne: , kde je koeficient podobnosti.

Značím podobnosť trojuholníkov. Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom iného, ​​potom sú tieto trojuholníky podobné.

II znak podobnosti trojuholníkov. Ak sú tri strany jedného trojuholníka úmerné trom stranám iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky podobné.

III znak podobnosti trojuholníkov. Ak sú dve strany jedného trojuholníka úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly medzi týmito stranami sú rovnaké, potom sú takéto trojuholníky podobné.

Veta 1.1. Ak priamka, ktorá neprechádza žiadnym z vrcholov trojuholníka, pretína jednu z jeho strán, potom pretína iba jednu zo zvyšných dvoch strán.

Veta 2.1. Súčet susedných uhlov je 180 o .
Dôsledky:
Ak sú dva uhly rovnaké, potom sú uhly susediace s nimi rovnaké.
Ak uhol nie je rozvinutý, jeho miera stupňov je menšia ako 180 o .
Uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.

Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.

Veta 2.3. Cez každý bod čiary možno nakresliť čiaru, ktorá je naň kolmá, a to iba jednu.

Veta 3.1 (Prvé kritérium pre rovnosť trojuholníkov). Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovnajú dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta 3.2 (Druhé kritérium pre rovnosť trojuholníkov). Ak strana a uhly priľahlé k nej jedného trojuholníka sú rovnaké ako strana a uhly susediace s ňou iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta 3.3 (Vlastnosť uhlov rovnoramenného trojuholníka). V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké.

Veta 3.4 (Znamienko rovnoramenného trojuholníka). Ak sú dva uhly rovnaké v trojuholníku, potom je rovnoramenný.

Veta 3.5 (Vlastnosť mediánu rovnoramenného trojuholníka). V rovnoramennom trojuholníku je stred pritiahnutý k základni os a výška.

Veta 3.6 (Tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov). Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta 4.1. Dve čiary rovnobežné s treťou sú rovnobežné.

Veta 4.2 (Kritérium pre rovnobežky). Ak sú vnútorné priečne uhly rovnaké alebo súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180 o , potom sú čiary rovnobežné.

Veta 4.3 (Obrátiť sa na vetu 4.2). Ak dve rovnobežné čiary pretína tretia čiara, potom sú vnútorné priečne uhly rovnaké a súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180 o .

Veta 4.4. Súčet uhlov trojuholníka je 180 o .
Dôsledok: Každý trojuholník má aspoň dva ostré uhly.

Veta 4.5. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.
Dôsledok: Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako akýkoľvek vnútorný uhol, ktorý s ním nesusedí.

Veta 4.6. Z akéhokoľvek bodu, ktorý neleží na danej priamke, možno pustiť kolmicu na túto priamku, a to iba jednu.

Veta 5.1. Stred kružnice opísanej trojuholníku je priesečníkom kolmíc so stranami trojuholníka, ktoré sú nakreslené cez stredy týchto strán.

Veta 5.2. Stred kružnice vpísanej do trojuholníka je priesečníkom jej priesečníkov.

Veta 5.3. Ťažisko bodov rovnako vzdialených od dvoch daných bodov je priamka kolmá na úsečku spájajúcu tieto body a prechádzajúca jej stredom.

Veta 6.1. Ak sa uhlopriečky štvoruholníka pretínajú a priesečník je rozpolený, potom je štvoruholník rovnobežník.

Veta 6.2 (Premeniť na vetu 6.1). Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu.

Veta 6.3. Rovnobežník má rovnaké protiľahlé strany a rovnaké protiľahlé uhly.

Veta 6.4. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.

Veta 6.5. Diagonály kosoštvorca sa pretínajú v pravom uhle. Uhlopriečky kosoštvorca sú osy jeho uhlov.

Veta 6.6 (Thalesova veta). Ak rovnobežné čiary pretínajúce strany uhla odrežú rovnaké segmenty na jednej z jeho strán, odrežú rovnaké segmenty na jeho druhej strane.

Veta 6.7. Stredová čiara trojuholníka spájajúca stredy dvoch daných strán je rovnobežná s treťou stranou a rovná sa jej polovici.

Veta 6.8. Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.

Veta 6.9. Rovnobežné čiary pretínajúce strany uhla odrežú proporcionálne segmenty zo strán uhla.

Veta 7.1. Kosínus uhla závisí iba od mierky uhla a nezávisí od umiestnenia a veľkosti trojuholníka.

Veta 7.2 (Pytagorova veta). V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh.
Dôsledky:
-V pravouhlom trojuholníku je každá noha menšia ako prepona.
- cosA
-Ak sú kolmica a šikmá rovina nakreslená na priamku z jedného bodu, potom je ľubovoľná šikmina väčšia ako kolmica, rovnaké šikminy majú rovnaké priemetne, z dvoch šikmých je väčšia tá s najväčším priemetom.

Veta 7.3 (trojuholníková nerovnosť). Nech sú tri body akékoľvek, vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma z týchto bodov nie je väčšia ako súčet ich vzdialeností od tretieho bodu.
Dôsledok: V akomkoľvek trojuholníku je každá strana menšia ako súčet ostatných dvoch.

Veta 7.4. Pre akýkoľvek ostrý uhol A.
hriech (90 o -A) = cosA, cos(90 o -A) = sinA.

Veta 7.5. Keď sa ostrý uhol zväčšujesinAatgApribúdajú acosAklesá.

Veta 9.1. Body ležiace na priamke pri pohybe prechádzajú do bodov ležiacich na priamke a poradie ich vzájomného usporiadania je zachované.
Dôsledok: Pri pohybe sa priamky menia na priame, polpriamky na polpriamky, segmenty na segmenty.

Veta 9.2. Transformácia symetrie okolo bodu je pohyb.

Veta 9.3. Transformácia symetrie okolo čiary je pohyb.

Veta 9.4. Bez ohľadu na dva bodyALE aALE ', existuje jeden a len jeden paralelný preklad, v ktorom je bodALE ide k veciALE ’.

Veta 10.1. Bez ohľadu na bodyALE , AT , S vektorová rovnosť

Veta 10.2. Absolútna hodnota vektora rovná sa . vektorový smer pri sa zhoduje so smerom vektora , akl > 0 a proti smeru vektora , akl

Veta 10.3. Skalárny súčin vektorov sa rovná súčinu ich absolútnych hodnôt a kosínusu uhla medzi nimi.
Dôsledky:
Ak sú vektory kolmé, ich bodový súčin je 0.
Ak je bodový súčin vektorov, ktoré nie sú nulové, 0, potom sú vektory kolmé.

Veta 11.1. Homotetika je transformácia podobnosti.

Veta 11.2 (Test na podobnosť trojuholníkov v dvoch uhloch). Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky podobné.

Veta 11.3 (Test podobnosti trojuholníkov na dvoch stranách a uhla medzi nimi). Ak sú dve strany jedného trojuholníka úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly vytvorené týmito stranami sú rovnaké, potom sú trojuholníky podobné.

Veta 11.4 (Kritérium podobnosti trojuholníkov na troch stranách). Ak sú strany jedného trojuholníka úmerné stranám iného trojuholníka, potom sú trojuholníky podobné.

Veta 11.5. Uhol vpísaný do kruhu je polovicou zodpovedajúceho stredného uhla.
Dôsledky:
-Vpísané uhly, ktorých strany prechádzajú bodmi A a B kružnice a ktorých vrcholy ležia na tej istej strane priamky AB, sú rovnaké.
-Vpísané uhly podľa priemeru sú rovné.

Veta 12.1 (kosínusová veta). Druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán bez zdvojnásobenia súčinu týchto strán krát kosínus uhla medzi nimi.

Veta 12.2 (Sínusová veta). Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.

Veta 13.1. Dĺžka lomenej čiary nie je menšia ako dĺžka segmentu spájajúceho jej konce.

Veta 13.2. Súčet uhlov konvexn- gon je 180 0 (n – 2).

Veta 13.3. Pravidelný konvexný mnohouholník je vpísaný do kruhu a opísaný okolo kruhu.

Veta 13.4. Pravidelné konvexnén-gony sú podobné. Najmä ak sú ich strany rovnaké, potom sú si rovné.

Veta 13.5. Pomer obvodu kruhu k jeho priemeru nezávisí od kruhu, t.j. to isté pre dva ľubovoľné kruhy.

Veta 15.1.

Veta 15.2.
Dôsledok:

Veta 15.3.

Veta 15.4. XaYXYXaYXYprekročí rovinu.

Veta 16.1.

Veta 16.2.

Veta 16.5.

Veta 17.3.

Veta 17.4.

Veta 17.6.

Veta 15.1. Prostredníctvom priamky a bodu, ktorý na nej neleží, možno nakresliť rovinu a navyše iba jednu.

Veta 15.2. Ak dva body priamky patria do roviny, potom celá priamka patrí do tejto roviny.
Dôsledok: Rovina a priamka, ktorá na nej neleží, sa buď nepretínajú, alebo pretínajú v jednom bode.

Veta 15.3. Prostredníctvom troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, je možné nakresliť rovinu a navyše iba jednu.

Veta 15.4. Rovina rozdeľuje priestor na dva polovičné priestory. Ak bodyXaYpatria do rovnakého polpriestoru, potom segmentuXYneprekročí rovinu. Ak bodyXaYpatria do rôznych polpriestorov, potom segmentXYprekročí rovinu.

Veta 16.1. Cez bod mimo danej priamky možno nakresliť priamku rovnobežnú s touto priamkou a navyše iba jednu.

Veta 16.2. Dve čiary rovnobežné s treťou čiarou sú rovnobežné.

Veta 16.3. Ak je priamka, ktorá nepatrí do roviny, rovnobežná s ktoroukoľvek priamkou v tejto rovine, potom je rovnobežná aj so samotnou rovinou.

Veta 16.4. Ak sú dve pretínajúce sa priamky jednej roviny rovnobežné s dvomi priamkami inej roviny, potom sú tieto roviny rovnobežné.

Veta 16.5. Cez bod mimo danej roviny možno nakresliť rovinu rovnobežnú s danou rovinou a navyše iba jednu.

Veta 17.1. Ak sú dve pretínajúce sa čiary rovnobežné s dvomi kolmými čiarami, potom sú tiež kolmé.

Veta 17.2. Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na danú rovinu.

Veta 17.3. Ak je rovina kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.

Veta 17.4. Dve priamky kolmé na tú istú rovinu sú rovnobežné.

Veta 17.5. Ak je priamka vedená v rovine cez základňu šikmej čiary kolmá na jej priemet, potom je kolmá na šikmú čiaru. A späť: ak je priamka v rovine kolmá na šikmú, potom je kolmá aj na priemet šikmej.

Veta 17.6. Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

Veta 18.1. Plocha ortogonálneho priemetu mnohouholníka na rovinu sa rovná súčinu jeho plochy a kosínusu uhla medzi rovinou mnohouholníka a rovinou premietania.