Na tejto stránke nájdete:

1. Vlastne tabuľka primitív - dá sa stiahnuť vo formáte PDF a vytlačiť;

2. Video o tom, ako používať túto tabuľku;

3. Kopa príkladov na výpočet primitív z rôznych učebníc a testov.

V samotnom videu rozoberieme mnohé problémy, kde potrebujete vypočítať primitívne derivácie funkcií, často dosť zložité, no hlavne nejde o mocninné funkcie. Všetky funkcie zhrnuté vo vyššie navrhovanej tabuľke musia byť známe naspamäť, podobne ako deriváty. Bez nich je ďalšie štúdium integrálov a ich aplikácia na riešenie praktických problémov nemožné.

Dnes pokračujeme v štúdiu primitívov a prejdeme k trochu zložitejšej téme. Ak sme sa minule pozreli na primitívne derivácie len mocninných funkcií a trochu zložitejšie konštrukcie, dnes sa pozrieme na trigonometriu a mnohé ďalšie.

Ako som povedal v minulej lekcii, primitívne derivácie sa na rozdiel od derivátov nikdy neriešia „hneď“ pomocou štandardných pravidiel. Navyše, zlou správou je, že na rozdiel od derivátu nemusí byť priradený vôbec zvažovaný. Ak napíšeme úplne náhodnú funkciu a pokúsime sa nájsť jej deriváciu, tak s veľmi vysokou pravdepodobnosťou uspejeme, ale primitívna derivácia sa v tomto prípade takmer nikdy nevypočíta. Ale je tu dobrá správa: existuje pomerne veľká trieda funkcií nazývaných elementárne funkcie, ktorých primitívne deriváty sa dajú veľmi ľahko vypočítať. A všetky ostatné zložitejšie štruktúry, ktoré sú uvedené na všetkých druhoch testov, nezávislých testov a skúšok, sú v skutočnosti tvorené týmito elementárnymi funkciami prostredníctvom sčítania, odčítania a iných jednoduchých akcií. Prototypy takýchto funkcií sú už dlho vypočítané a zostavené do špeciálnych tabuliek. Práve s týmito funkciami a tabuľkami budeme dnes pracovať.

Začneme však, ako vždy, opakovaním: pripomeňme si, čo je to primitívny derivát, prečo ich je nekonečne veľa a ako určiť ich celkový vzhľad. Aby som to urobil, vybral som si dva jednoduché problémy.

Riešenie jednoduchých príkladov

Príklad č. 1

Okamžite si všimnime, že $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ a vo všeobecnosti prítomnosť $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ nám okamžite napovedá, že požadovaná primitívna derivácia funkcie súvisí s trigonometriou. A skutočne, ak sa pozrieme na tabuľku, zistíme, že $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nie je nič iné ako $\text(arctg)x$. Tak si to napíšme:

Ak chcete nájsť, musíte si zapísať nasledovné:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Príklad č.2

Hovoríme tu aj o goniometrických funkciách. Ak sa pozrieme na tabuľku, potom sa skutočne stane toto:

Musíme nájsť medzi celou množinou priradení ten, ktorý prechádza uvedeným bodom:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Poďme si to konečne napísať:

Je to také jednoduché. Jediným problémom je, že ak chcete vypočítať primitívne funkcie jednoduchých funkcií, musíte sa naučiť tabuľku primitívnych prvkov. Po preštudovaní derivačnej tabuľky si však myslím, že to nebude problém.

Riešenie problémov obsahujúcich exponenciálnu funkciu

Na začiatok si napíšme nasledujúce vzorce:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Pozrime sa, ako to celé funguje v praxi.

Príklad č. 1

Ak sa pozrieme na obsah hranatých zátvoriek, všimneme si, že v tabuľke priradení nie je taký výraz, aby $((e)^(x))$ bol v štvorci, takže tento štvorec musí byť rozšírený. Na tento účel používame skrátené vzorce násobenia:

Nájdime primitívny prvok pre každý z výrazov:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \vpravo))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \vpravo))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Teraz zhromaždíme všetky výrazy do jedného výrazu a získame všeobecnú primitívu:

Príklad č.2

Tentoraz je stupeň väčší, takže skrátený vzorec násobenia bude dosť zložitý. Takže otvoríme zátvorky:

Teraz skúsme z tejto konštrukcie vziať primitívny prvok nášho vzorca:

Ako vidíte, v priraďovacích prvkoch exponenciálnej funkcie nie je nič zložité ani nadprirodzené. Všetky sú vypočítané pomocou tabuliek, ale pozorní študenti si pravdepodobne všimnú, že primitívna derivácia $((e)^(2x))$ je oveľa bližšie jednoducho k $((e)^(x)))$ ako k $((a). )^(x))$. Takže možno existuje nejaké špeciálnejšie pravidlo, ktoré umožňuje, ak poznáte primitívnu vlastnosť $((e)^(x))$, nájsť $((e)^(2x))$? Áno, takéto pravidlo existuje. A navyše je to neoddeliteľná súčasť práce s tabuľkou primitív. Teraz to analyzujeme pomocou rovnakých výrazov, s ktorými sme práve pracovali ako príklad.

Pravidlá práce s tabuľkou primitív

Opäť napíšeme našu funkciu:

V predchádzajúcom prípade sme na riešenie použili nasledujúci vzorec:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\názov operátora(lna))\]

Ale teraz to urobme trochu inak: zapamätajme si, na akom základe $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Ako som už povedal, pretože derivácia $((e)^(x))$ nie je nič iné ako $((e)^(x))$, preto sa jej primitívna derivácia bude rovnať rovnakému $((e) ^ (x)) $. Problém je však v tom, že máme $((e)^(2x))$ a $((e)^(-2x))$. Teraz sa pokúsme nájsť derivát $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Opäť prepíšme našu konštrukciu:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

To znamená, že keď nájdeme primitívny prvok $((e)^(2x))$, dostaneme nasledovné:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Ako vidíte, dostali sme rovnaký výsledok ako predtým, ale nepoužili sme vzorec na nájdenie $((a)^(x))$. Teraz sa to môže zdať hlúpe: prečo komplikovať výpočty, keď existuje štandardný vzorec? V trochu zložitejších prejavoch však zistíte, že táto technika je veľmi účinná, t.j. použitie derivátov na nájdenie primitívnych derivátov.

Na zahriatie nájdime primitívny prvok $((e)^(2x))$ podobným spôsobom:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Pri výpočte bude naša konštrukcia napísaná takto:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Dosiahli sme presne rovnaký výsledok, ale vybrali sme sa inou cestou. Práve táto cesta, ktorá sa nám teraz zdá trochu komplikovanejšia, sa v budúcnosti ukáže ako efektívnejšia pri výpočtoch zložitejších primitív a pomocou tabuliek.

Poznámka! Toto je veľmi dôležitý bod: primitívne deriváty, podobne ako deriváty, možno počítať rôznymi spôsobmi. Ak sú však všetky výpočty a výpočty rovnaké, odpoveď bude rovnaká. Práve sme to videli na príklade $((e)^(-2x))$ - na jednej strane sme túto primitívu vypočítali „priamo“ pomocou definície a vypočítali sme ju pomocou transformácií, na druhej strane, zapamätali sme si, že $ ((e)^(-2x))$ môže byť reprezentované ako $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ a až potom sme použili primitívnu funkciu pre funkciu $( (a)^(x))$. Po všetkých premenách bol však výsledok podľa očakávania rovnaký.

A teraz, keď to všetko chápeme, je čas prejsť k niečomu významnejšiemu. Teraz budeme analyzovať dve jednoduché konštrukcie, ale technika, ktorá sa použije pri ich riešení, je mocnejším a užitočnejším nástrojom, než jednoducho „behať“ medzi susednými primitívnymi prvkami z tabuľky.

Riešenie problémov: nájdenie primitívnej funkcie funkcie

Príklad č. 1

Rozdeľme množstvo, ktoré je v čitateloch, na tri samostatné zlomky:

Ide o celkom prirodzený a pochopiteľný prechod – väčšina študentov s ním nemá problémy. Prepíšme náš výraz takto:

Teraz si spomeňme na tento vzorec:

V našom prípade dostaneme nasledovné:

Aby ste sa zbavili všetkých týchto trojposchodových zlomkov, navrhujem urobiť nasledovné:

Príklad č.2

Na rozdiel od predchádzajúceho zlomku nie je menovateľom súčin, ale súčet. V tomto prípade už nemôžeme náš zlomok rozdeliť na súčet niekoľkých jednoduchých zlomkov, ale musíme sa nejako snažiť, aby čitateľ obsahoval približne rovnaký výraz ako menovateľ. V tomto prípade je to celkom jednoduché:

Tento zápis, ktorý sa v matematickom jazyku nazýva „pridanie nuly“, nám umožní opäť rozdeliť zlomok na dve časti:

Teraz poďme nájsť to, čo sme hľadali:

To sú všetky výpočty. Napriek zjavne väčšej zložitosti ako v predchádzajúcom probléme sa množstvo výpočtov ukázalo byť ešte menšie.

Nuansy riešenia

A tu je hlavná náročnosť práce s tabuľkovými priraďovacími prvkami, čo je obzvlášť viditeľné v druhej úlohe. Faktom je, že na to, aby sme vybrali niektoré prvky, ktoré sa dajú ľahko vypočítať pomocou tabuľky, musíme vedieť, čo presne hľadáme, a práve pri hľadaní týchto prvkov sa skladá celý výpočet primitívnych prvkov.

Inými slovami, nestačí sa len naučiť naspamäť tabuľku primitív – treba vidieť niečo, čo ešte neexistuje, ale čo tým myslel autor a zostavovateľ tohto problému. To je dôvod, prečo mnohí matematici, učitelia a profesori neustále argumentujú: „Čo je brať primitívne derivácie alebo integrácia - je to len nástroj alebo je to skutočné umenie? V skutočnosti podľa môjho osobného názoru integrácia vôbec nie je umenie – nie je v nej nič vznešené, je to len prax a ďalšia prax. A na precvičenie vyriešme tri vážnejšie príklady.

Školíme integráciu v praxi

Úloha č.1

Napíšme si nasledujúce vzorce:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Napíšme si nasledovné:

Problém č.2

Prepíšme to takto:

Celkový primitívny prvok sa bude rovnať:

Problém č.3

Náročnosť tejto úlohy spočíva v tom, že na rozdiel od predchádzajúcich funkcií vyššie vôbec neexistuje premenná $x$, t.j. nie je nám jasné, čo pridať alebo ubrať, aby sme dostali aspoň niečo podobné tomu, čo je nižšie. V skutočnosti sa však tento výraz považuje za ešte jednoduchší ako ktorýkoľvek z predchádzajúcich výrazov, pretože túto funkciu možno prepísať takto:

Teraz sa môžete opýtať: prečo sú tieto funkcie rovnaké? Skontrolujme to:

Prepíšeme to znova:

Poďme trochu zmeniť náš výraz:

A keď to všetko vysvetlím svojim študentom, takmer vždy sa objaví ten istý problém: s prvou funkciou je všetko viac-menej jasné, s druhou na to prídete aj so šťastím alebo cvičením, ale aké alternatívne vedomie treba mať na vyriešenie tretieho príkladu? Vlastne sa neboj. Technika, ktorú sme použili pri výpočte poslednej primitívnej funkcie, sa nazýva „rozklad funkcie na najjednoduchšiu“ a je to veľmi vážna technika a bude jej venovaná samostatná video lekcia.

Medzitým navrhujem vrátiť sa k tomu, čo sme práve študovali, konkrétne k exponenciálnym funkciám a trochu skomplikovať problémy s ich obsahom.

Zložitejšie problémy na riešenie primitívnych exponenciálnych funkcií

Úloha č.1

Všimnime si nasledovné:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Ak chcete nájsť primitívnu vlastnosť tohto výrazu, jednoducho použite štandardný vzorec - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

V našom prípade bude primitívny prvok vyzerať takto:

Samozrejme, v porovnaní s dizajnom, ktorý sme práve riešili, tento vyzerá jednoduchšie.

Problém č.2

Opäť je ľahké vidieť, že túto funkciu možno jednoducho rozdeliť na dva samostatné pojmy – dva samostatné zlomky. Poďme prepísať:

Zostáva nájsť primitívny derivát každého z týchto výrazov pomocou vzorca opísaného vyššie:

Napriek zjavnej väčšej zložitosti exponenciálnych funkcií v porovnaní s mocninnými funkciami sa celkový objem výpočtov a výpočtov ukázal byť oveľa jednoduchší.

Samozrejme, pre informovaných študentov sa to, o čom sme práve diskutovali (najmä na pozadí toho, čo sme diskutovali predtým), môže zdať ako elementárne výrazy. Pri výbere týchto dvoch problémov pre dnešnú video lekciu som si však nedal za cieľ povedať vám ďalšiu komplexnú a sofistikovanú techniku ​​- všetko, čo som vám chcel ukázať, je, že by ste sa nemali báť použiť štandardné techniky algebry na transformáciu pôvodných funkcií .

Pomocou "tajnej" techniky

Na záver by som sa rád pozrel na ďalšiu zaujímavú techniku, ktorá sa na jednej strane vymyká tomu, o čom sme dnes hlavne hovorili, no na druhej strane nie je po prvé vôbec zložitá, t.j. Zvládnu ju aj začiatočníci a po druhé, pomerne často sa vyskytuje vo všetkých druhoch testov a samostatnej práce, t.j. jeho znalosť bude veľmi užitočná popri znalosti tabuľky primitív.

Úloha č.1

Je zrejmé, že máme niečo veľmi podobné ako mocenská funkcia. Čo máme robiť v tomto prípade? Zamyslime sa nad tým: $x-5$ sa až tak nelíši od $x$ – len pridali $-5$. Napíšme to takto:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Skúsme nájsť deriváciu $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

To znamená:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ vpravo))^(\prime ))\]

V tabuľke takáto hodnota nie je, takže tento vzorec sme teraz odvodili sami pomocou štandardného priraďovacieho vzorca pre mocninovú funkciu. Napíšme odpoveď takto:

Problém č.2

Mnohí študenti, ktorí sa pozerajú na prvé riešenie, si môžu myslieť, že všetko je veľmi jednoduché: stačí nahradiť $x$ vo funkcii moci lineárnym výrazom a všetko zapadne na svoje miesto. Bohužiaľ, všetko nie je také jednoduché a teraz to uvidíme.

Analogicky s prvým výrazom píšeme nasledovné:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cbodka ((\ľavá(4-3x \vpravo))^(9))\cbodka \ľavá(-3 \pravá)=-30\cbodka ((\ľavá(4-3x \pravá)) ^(9))\]

Keď sa vrátime k našej derivácii, môžeme napísať:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Toto hneď nasleduje:

Nuansy riešenia

Poznámka: ak sa naposledy nič v podstate nezmenilo, potom sa v druhom prípade namiesto $-10$ objavilo $-30$. Aký je rozdiel medzi -10 $ a -30 $? Samozrejme, faktorom -3 $. Otázka: odkiaľ to prišlo? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že to bolo vzaté ako výsledok výpočtu derivácie komplexnej funkcie - koeficient, ktorý bol $x$, sa objaví v priradenej funkcii nižšie. Toto je veľmi dôležité pravidlo, o ktorom som pôvodne vôbec neplánoval diskutovať v dnešnej video lekcii, ale bez neho by bola prezentácia tabuľkových priradení neúplná.

Tak si to zopakujme. Nech je naša hlavná silová funkcia:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Teraz namiesto $x$ nahraďme výraz $kx+b$. čo sa stane potom? Potrebujeme nájsť nasledovné:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Na základe čoho to tvrdíme? Veľmi jednoduché. Poďme nájsť derivát konštrukcie napísanej vyššie:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Toto je rovnaký výraz, ktorý pôvodne existoval. Aj tento vzorec je teda správny a možno ním doplniť tabuľku primitív, alebo je lepšie si celú tabuľku jednoducho zapamätať.

Závery z „tajomstva: technika:

• Obidve funkcie, na ktoré sme sa práve pozreli, možno v skutočnosti rozšírením stupňov zredukovať na primitívne odvodené prvky uvedené v tabuľke, ale ak sa viac-menej nejako vyrovnáme so štvrtým stupňom, potom by som deviaty stupeň nerobil pri všetko sa odvážilo odhaliť.
• Ak by sme stupne rozširovali, dostali by sme sa na taký objem výpočtov, že jednoduchá úloha by nám zabrala neprimerane veľa času.
• Preto takéto úlohy, ktoré obsahujú lineárne výrazy, netreba riešiť „bezhlavo“. Akonáhle narazíte na primitívny prvok, ktorý sa od toho v tabuľke líši iba prítomnosťou výrazu $kx+b$ vo vnútri, okamžite si zapamätajte vzorec napísaný vyššie, dosaďte ho do svojho tabuľkového primitívneho prvku a všetko dopadne oveľa lepšie rýchlejšie a jednoduchšie.

Prirodzene, vzhľadom na zložitosť a závažnosť tejto techniky sa k jej zváženiu ešte mnohokrát vrátime v budúcich video lekciách, ale to je na dnes všetko. Dúfam, že táto lekcia skutočne pomôže tým študentom, ktorí chcú porozumieť primitívnym derivátom a integrácii.

Integrácia je jednou z hlavných operácií v matematickej analýze. Tabuľky známych primitív môžu byť užitočné, ale teraz, po nástupe systémov počítačovej algebry, strácajú svoj význam. Nižšie je uvedený zoznam najbežnejších primitívov.

Tabuľka základných integrálov

Ďalšia, kompaktná možnosť

Tabuľka integrálov goniometrických funkcií

Z racionálnych funkcií

Z iracionálnych funkcií

Integrály transcendentálnych funkcií

"C" je ľubovoľná integračná konštanta, ktorá je určená, ak je známa hodnota integrálu v akomkoľvek bode. Každá funkcia má nekonečný počet primitív.

Väčšina školákov a študentov má problémy s výpočtom integrálov. Táto stránka obsahuje integrálne tabuľky z goniometrických, racionálnych, iracionálnych a transcendentálnych funkcií, ktoré pomôžu pri riešení. Pomôže vám aj tabuľka derivátov.

Video - ako nájsť integrály

Ak tejto téme celkom nerozumiete, pozrite si video, ktoré všetko podrobne vysvetľuje.

Tabuľka primitív ("integrálov"). Tabuľka integrálov. Tabuľkové neurčité integrály. (Najjednoduchšie integrály a integrály s parametrom). Vzorce na integráciu podľa častí. Newtonov-Leibnizov vzorec.

Tabuľka primitív ("integrálov"). Tabuľkové neurčité integrály. (Najjednoduchšie integrály a integrály s parametrom).
Integrál výkonovej funkcie.	Integrál výkonovej funkcie.
Integrál, ktorý sa redukuje na integrál výkonovej funkcie, ak je x riadené pod diferenciálnym znamienkom.
	Integrál exponenciály, kde a je konštantné číslo.
Integrál komplexnej exponenciálnej funkcie.	Integrál exponenciálnej funkcie.
Integrál rovný prirodzenému logaritmu.	Integrál: "Dlhý logaritmus".
	Integrál: "Dlhý logaritmus".
Integrál: "Vysoký logaritmus".	Integrál, kde je x v čitateli umiestnené pod diferenciálnym znamienkom (konštanta pod znamienkom môže byť pripočítaná alebo odčítaná), je v konečnom dôsledku podobný integrálu rovnému prirodzenému logaritmu.
Integrál: "Vysoký logaritmus".
Kosínusový integrál.	Sínusový integrál.
Integrál rovný dotyčnici.	Integrál rovný kotangens.
Integrál rovný arcsínusu aj arkkozínu
Integrál rovný arcsínusu aj arkkozínu.	Integrál rovný arkustangensu aj arkotangensu.
Integrál rovný kosekansu.	Integrál rovný sekante.
Integrál rovný arcsekantu.	Integrál rovný arkosekantu.
Integrál rovný arcsekantu.	Integrál rovný arcsekantu.
Integrál rovný hyperbolickému sínusu.	Integrál rovný hyperbolickému kosínusu.
Integrál rovný hyperbolickému sínusu, kde sinhx je hyperbolický sínus v anglickej verzii.	Integrál rovný hyperbolickému kosínusu, kde sinhx je v anglickej verzii hyperbolický sínus.
Integrál rovný hyperbolickej dotyčnici.	Integrál rovný hyperbolickému kotangensu.
Integrál rovný hyperbolickej sečne.	Integrál rovný hyperbolickému kosekansu.

Vzorce na integráciu podľa častí. Integračné pravidlá.

Vzorce na integráciu podľa častí. Newton-Leibnizov vzorec Pravidlá integrácie.
Integrácia produktu (funkcie) pomocou konštanty:
Integrácia súčtu funkcií:
neurčité integrály:
Vzorec na integráciu podľa častí určité integrály:
Newtonov-Leibnizov vzorec určité integrály:	Kde F(a), F(b) sú hodnoty priradení v bodoch b a a.

Tabuľka derivátov. Tabuľkové deriváty. Derivát produktu. Derivát kvocientu. Derivácia komplexnej funkcie.

Ak x je nezávislá premenná, potom:

Tabuľka derivátov. Tabuľkové deriváty."tabuľkový derivát" - áno, bohužiaľ, presne takto sa hľadajú na internete
	Derivácia mocninovej funkcie
	Derivácia exponentu
Derivácia komplexnej exponenciálnej funkcie	Derivácia exponenciálnej funkcie
Derivácia logaritmickej funkcie	Derivácia prirodzeného logaritmu
	Derivácia prirodzeného logaritmu funkcie
Derivácia sínusu	Derivát kosínusu
Derivát kosekantu	Derivácia sekansu
Derivát arcsínusu	Derivácia oblúkového kosínusu
Derivát arcsínusu	Derivácia oblúkového kosínusu
Tangentová derivácia	Derivát kotangens
Derivát arkustangens	Derivát oblúkového kotangensu
Derivát arkustangens	Derivát oblúkového kotangensu
Derivát arcsekantu	Derivát arkosekantu
Derivát arcsekantu	Derivát arkosekantu
Derivát hyperbolického sínusu Derivácia hyperbolického sínusu v anglickej verzii	Derivát hyperbolického kosínusu Derivát hyperbolického kosínusu v anglickej verzii
Derivácia hyperbolickej dotyčnice	Derivát hyperbolického kotangens
Derivát hyperbolického sekantu	Derivát hyperbolického kosekansu

Pravidlá diferenciácie. Derivát produktu. Derivát kvocientu. Derivácia komplexnej funkcie.
Derivácia súčinu (funkcie) konštantou:
Derivácia súčtu (funkcií):
Derivát produktu (funkcie):
Derivácia kvocientu (funkcií):
Derivácia komplexnej funkcie:

Vlastnosti logaritmov. Základné vzorce pre logaritmy. Desatinné (lg) a prirodzené logaritmy (ln).

Základná logaritmická identita
Ukážme, ako môže byť ľubovoľná funkcia tvaru a b exponenciálna. Keďže funkcia tvaru e x sa nazýva exponenciálna, potom
Akákoľvek funkcia tvaru a b môže byť vyjadrená ako mocnina desiatich

Prirodzený logaritmus ln (logaritmus k základu e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylorova séria. Taylorov rad expanzia funkcie.

Ukazuje sa, že väčšina prakticky stretnúť matematické funkcie môžu byť reprezentované s ľubovoľnou presnosťou v blízkosti určitého bodu vo forme mocninných radov obsahujúcich mocniny premennej v rastúcom poradí. Napríklad v blízkosti bodu x=1:

Pri použití série tzv Taylorove rady zmiešané funkcie obsahujúce povedzme algebraické, goniometrické a exponenciálne funkcie možno vyjadriť ako čisto algebraické funkcie. Pomocou sérií môžete často rýchlo vykonať diferenciáciu a integráciu.

Taylorov rad v okolí bodu a má tvar:

1) , kde f(x) je funkcia, ktorá má derivácie všetkých rádov v x = a. R n - zvyšok v Taylorovom rade je určený výrazom

2)

K-tý koeficient (pri x k) série je určený vzorcom

3) Špeciálnym prípadom série Taylor je séria Maclaurin (=McLaren). (rozšírenie nastáva okolo bodu a=0)

pri a=0

členovia radu sú určené vzorcom

Podmienky použitia Taylorovho radu.

1. Aby sa funkcia f(x) rozšírila do Taylorovho radu na intervale (-R;R), je potrebné a postačujúce, aby zvyšok v Taylorovom (Maclaurinovom (=McLaren)) vzorci funkcia smeruje k nule ako k →∞ na špecifikovanom intervale (-R;R).

2. V bode, v blízkosti ktorého ideme zostrojiť Taylorov rad, je potrebné, aby pre danú funkciu existovali derivácie.

Vlastnosti Taylorovho radu.

Ak je f analytická funkcia, potom jej Taylorov rad v ľubovoľnom bode a v obore definície f konverguje k f v niektorom okolí a.

Existujú nekonečne diferencovateľné funkcie, ktorých Taylorov rad konverguje, no zároveň sa líši od funkcie v ktoromkoľvek okolí a. Napríklad:

Taylorove rady sa používajú pri aproximácii (aproximácia je vedecká metóda, ktorá spočíva v nahradení niektorých objektov inými, v tom či onom zmysle blízkymi pôvodným, ale jednoduchším) funkcie pomocou polynómov. Najmä linearizácia ((z linearis - lineárna), jedna z metód približného znázornenia uzavretých nelineárnych systémov, pri ktorej je štúdium nelineárneho systému nahradené analýzou lineárneho systému, v istom zmysle ekvivalentného pôvodnému systému. .) rovnice vznikajú rozšírením do Taylorovho radu a odrezaním všetkých členov nad prvým rádom.

Takmer každá funkcia môže byť teda reprezentovaná ako polynóm s danou presnosťou.

Príklady niektorých bežných expanzií mocninných funkcií v Maclaurinových radoch (=McLaren, Taylor v okolí bodu 0) a Taylor v okolí bodu 1. Prvé členy expanzií hlavných funkcií v Taylorovom a McLarenovom rade.

Príklady niektorých bežných expanzií mocninových funkcií v Maclaurinovom rade (=McLaren, Taylor v blízkosti bodu 0)

Príklady niektorých bežných expanzií Taylorovho radu v blízkosti bodu 1

Uveďme si integrály elementárnych funkcií, ktoré sa niekedy nazývajú tabuľkové:

Ktorýkoľvek z vyššie uvedených vzorcov môže byť dokázaný deriváciou pravej strany (výsledkom bude integrand).

Integračné metódy

Pozrime sa na niektoré základné integračné metódy. Tie obsahujú:

1. Metóda rozkladu(priama integrácia).

Táto metóda je založená na priamom použití tabuľkových integrálov, ako aj na použití vlastností 4 a 5 neurčitého integrálu (t. j. vyňatie konštantného faktora zo zátvoriek a/alebo reprezentovanie integrandu ako súčtu funkcií - rozklad integrandu do pojmov).

Príklad 1 Napríklad na nájdenie(dx/x 4) môžete priamo použiť tabuľkový integrál prex n dx. V skutočnosti (dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Príklad 2 Na jeho nájdenie použijeme rovnaký integrál:

Príklad 3 Aby ste to našli, musíte si vziať

Príklad 4. Aby sme našli, reprezentujeme funkciu integrandu vo forme a použite tabuľkový integrál pre exponenciálnu funkciu:

Uvažujme použitie bracketingu ako konštantný faktor.

Príklad 5.Nájdime si napr . Vzhľadom na to, dostávame

Príklad 6. My to nájdeme. Pretože , použime tabuľkový integrál Dostaneme

V nasledujúcich dvoch príkladoch môžete použiť aj hranaté a tabuľkové integrály:

Príklad 7.

(používame a );

Príklad 8.

(používame A ).

Pozrime sa na zložitejšie príklady, ktoré používajú súčtový integrál.

Príklad 9. Napríklad nájdime
. Na aplikáciu metódy expanzie v čitateli použijeme vzorec súčtovej kocky  a výsledný polynóm potom vydelíme menovateľom, člen po člen.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Treba poznamenať, že na konci riešenia je napísaná jedna spoločná konštanta C (a nie samostatné pri integrácii každého člena). V budúcnosti sa tiež navrhuje vynechať z integrácie jednotlivých členov v procese riešenia konštanty, pokiaľ výraz obsahuje aspoň jeden neurčitý integrál (na konci riešenia budeme písať jednu konštantu).

Príklad 10. nájdeme . Aby sme tento problém vyriešili, rozložme čitateľa na faktor (potom môžeme menovateľa zmenšiť).

Príklad 11. My to nájdeme. Tu možno použiť trigonometrické identity.

Niekedy, aby ste rozložili výraz na pojmy, musíte použiť zložitejšie techniky.

Príklad 12. nájdeme . V integrande vyberieme celú časť zlomku . Potom

Príklad 13. nájdeme

2. Variabilná náhradná metóda (substitučná metóda)

Metóda je založená na nasledujúcom vzorci: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kde x =(t) je funkcia diferencovateľná na uvažovanom intervale.

Dôkaz. Nájdite derivácie vzhľadom na premennú t z ľavej a pravej strany vzorca.

Všimnite si, že na ľavej strane je komplexná funkcia, ktorej stredný argument je x = (t). Preto, aby sme ho diferencovali vzhľadom na t, najprv derivujeme integrál vzhľadom na x a potom vezmeme deriváciu medziľahlého argumentu vzhľadom na t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivát z pravej strany:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Keďže tieto derivácie sú rovnaké, v dôsledku Lagrangeovej vety sa ľavá a pravá strana dokazovaného vzorca líšia o určitú konštantu. Keďže samotné neurčité integrály sú definované až do neurčitého konštantného člena, túto konštantu možno z konečného zápisu vynechať. Osvedčené.

Úspešná zmena premennej umožňuje zjednodušiť pôvodný integrál a v najjednoduchších prípadoch ho zredukovať na tabuľkový. Pri aplikácii tejto metódy sa rozlišuje lineárna a nelineárna substitučná metóda.

a) Lineárna substitučná metóda Pozrime sa na príklad.

Príklad 1
. Nech je t = 1 – 2x

dx=d(½-½t) = -½dt

Je potrebné poznamenať, že novú premennú nie je potrebné explicitne vypisovať. V takýchto prípadoch hovoria o transformácii funkcie pod diferenciálnym znamienkom alebo o zavedení konštánt a premenných pod diferenciálnym znamienkom, t.j. O implicitné nahradenie premennej.

Príklad 2 Napríklad nájdimecos(3x + 2)dx. Podľa vlastností diferenciálu dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), potomcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

V oboch uvažovaných príkladoch bola na nájdenie integrálov použitá lineárna substitúcia t=kx+b(k0).

Vo všeobecnom prípade platí nasledujúca veta.

Veta o lineárnej substitúcii. Nech F(x) je nejaká primitívna derivácia funkcie f(x). Potomf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kde k a b sú nejaké konštanty,k0.

Dôkaz.

Podľa definície integrálu f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vyberme konštantný faktor k zo ​​znamienka integrálu: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Teraz môžeme rozdeliť ľavú a pravú stranu rovnosti na dve a získať tvrdenie, ktoré sa má dokázať až po označenie konštantného člena.

Táto veta hovorí, že ak v definícii integrálu f(x)dx= F(x) + C namiesto argumentu x dosadíme výraz (kx+b), povedie to k objaveniu sa ďalšieho faktor 1/k pred primitívnou hodnotou.

Pomocou overenej vety riešime nasledujúce príklady.

Príklad 3

nájdeme . Tu kx+b= 3 –x, teda k= -1,b= 3. Potom

Príklad 4.

My to nájdeme. Herekx+b= 4x+ 3, t.j. k= 4,b= 3. Potom

Príklad 5.

nájdeme . Tu kx+b= -2x+ 7, t.j. k= -2,b= 7. Potom

.

Príklad 6. nájdeme
. Tu kx+b= 2x+ 0, t.j. k= 2,b= 0.

.

Získaný výsledok porovnajme s príkladom 8, ktorý sme riešili rozkladovou metódou. Pri riešení rovnakého problému pomocou inej metódy sme dostali odpoveď
. Porovnajme výsledky: Tieto výrazy sa teda navzájom líšia konštantným pojmom , t.j. Prijaté odpovede si navzájom neodporujú.

Príklad 7. nájdeme
. Vyberme dokonalý štvorec v menovateli.

V niektorých prípadoch zmena premennej neredukuje integrál priamo na tabuľkový, ale môže zjednodušiť riešenie, vďaka čomu je možné použiť metódu expanzie v nasledujúcom kroku.

Príklad 8. Napríklad nájdime . Nahraďte t=x+ 2, potom dt=d(x+ 2) =dx. Potom

,

kde C = C 1 – 6 (pri dosadení výrazu (x+ 2) namiesto prvých dvoch členov dostaneme ½x 2 -2x– 6).

Príklad 9. nájdeme
. Nech t= 2x+ 1, potom dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Dosadíme výraz (2x+ 1) za t, otvoríme zátvorky a dáme podobné.

Všimnite si, že v procese transformácií sme prešli k inému konštantnému členu, pretože skupina konštantných členov by sa mohla počas transformačného procesu vynechať.

b) Nelineárna substitučná metóda Pozrime sa na príklad.

Príklad 1
. Lett= -x 2. Ďalej by sa dalo vyjadriť x pomocou t, potom nájsť výraz pre dx a implementovať zmenu premennej v požadovanom integráli. Ale v tomto prípade je jednoduchšie robiť veci inak. Nájdeme t=d(-x 2) = -2xdx. Všimnite si, že výraz xdx je faktorom integrandu požadovaného integrálu. Vyjadrime to z výslednej rovnostixdx= - ½dt. Potom

=  (- ½) e t dt = (- ½) e t dt = (- ½) e t + C = (- ½)
+C

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2 nájdeme . Nech t = 1-x2. Potom

Príklad 3 nájdeme . Lett=. Potom

;

Príklad 4. V prípade nelineárnej substitúcie je vhodné použiť aj implicitnú premennú substitúciu.

Napríklad nájdime
. Napíšme xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (implicitne nahradené premennou t= 3 - 2x 2). Potom

Príklad 5. nájdeme . Tu tiež uvádzame premennú pod diferenciálnym znamienkom: (implicitné nahradenie = 3 + 5x 3). Potom

Príklad 6. nájdeme . Pretože ,

Príklad 7. My to nájdeme. Odvtedy

Pozrime sa na niekoľko príkladov, v ktorých je potrebné kombinovať rôzne substitúcie.

Príklad 8. nájdeme
. Nech t= 2x+ 1, potom x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Príklad 9. nájdeme
. Lett=x-2, potomx=t+2;dx=dt.

Priama integrácia pomocou tabuľky primitív (tabuľka neurčitých integrálov)

Tabuľka primitívnych derivátov

Primitívnu deriváciu zo známeho diferenciálu funkcie môžeme nájsť, ak použijeme vlastnosti neurčitého integrálu. Z tabuľky základných elementárnych funkcií pomocou rovníc ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C a ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x môžeme vytvoriť tabuľku primitívnych derivátov.

Napíšme si tabuľku derivácií vo forme diferenciálov.

Konštantné y = C C" = 0 Mocninná funkcia y = x p. (x p) " = p x p - 1	Konštantné y = C d (C) = 0 d x Mocninná funkcia y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Exponenciálna funkcia y = a x. d (a x) = a x ln α d x Konkrétne pre a = e máme y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Logaritmické funkcie y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Konkrétne pre a = e máme y = ln x d (ln x) = d x x
Goniometrické funkcie. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 hriech 2 x	Goniometrické funkcie. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Inverzné goniometrické funkcie. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Ilustrujme vyššie uvedené na príklade. Nájdite neurčitý integrál mocninnej funkcie f (x) = x p.

Podľa tabuľky diferenciálov d (x p) = p · x p - 1 · d x. Podľa vlastností neurčitého integrálu máme ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Preto ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Druhá verzia záznamu je nasledovná: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C1, p ≠ - 1.

Zoberme si ju rovnú - 1 a nájdime množinu primitívnych derivátov mocninnej funkcie f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Teraz potrebujeme tabuľku diferenciálov pre prirodzený logaritmus d (ln x) = d x x, x > 0, teda ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Preto ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabuľka primitív (neurčité integrály)

Ľavý stĺpec tabuľky obsahuje vzorce, ktoré sa nazývajú základné primitívne deriváty. Vzorce v pravom stĺpci nie sú základné, ale dajú sa použiť na nájdenie neurčitých integrálov. Možno ich skontrolovať diferenciáciou.

Priama integrácia

Na priamu integráciu použijeme tabuľky primitív, integračné pravidlá ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, ako aj vlastnosti neurčitých integrálov ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Tabuľku základných integrálov a vlastností integrálov je možné použiť až po jednoduchej transformácii integrandu.

Príklad 1

Nájdite integrál ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Riešenie

Odstránime koeficient 3 pod znamienkom integrálu:

∫ 3 hriech x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ hriech x 2 + cos x 2 2 d x

Pomocou trigonometrických vzorcov transformujeme integrandovú funkciu:

3 ∫ hriech x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ hriech x 2 2 + 2 hriech x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 hriech x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + hriech x d x

Keďže integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov, potom
3 ∫ 1 + hriech x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ hriech x d x

Použijeme údaje z tabuľky priradení: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = prázdne 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

odpoveď:∫ 3 hriech x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Príklad 2

Je potrebné nájsť množinu primitívnych funkcií funkcie f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Riešenie

Pre exponenciálnu funkciu použijeme tabuľku primitív: ∫ a x · d x = a x ln a + C . To znamená, že ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Použijeme integračné pravidlo ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Dostaneme ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Odpoveď: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Pomocou tabuľky primitív, vlastností a pravidla integrácie môžeme nájsť množstvo neurčitých integrálov. To je možné v prípadoch, keď je možné transformovať integrand.

Na nájdenie integrálu logaritmickej funkcie, tangenciálnych a kotangensových funkcií a mnohých ďalších sa používajú špeciálne metódy, o ktorých budeme uvažovať v časti „Základné metódy integrácie“.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter