V tomto článku nájdeme odpovede na otázky, ako vytvoriť projekciu bodu do roviny a ako určiť súradnice tohto premietania. V teoretickej časti sa budeme opierať o koncept projekcie. Definujeme pojmy a poskytneme informácie s ilustráciami. Získané poznatky si upevnime riešením príkladov.

Projekcia, typy premietania

Pre pohodlie pri prezeraní priestorových obrázkov sa používajú výkresy zobrazujúce tieto obrázky.

Definícia 1

Premietanie postavy do roviny– kresba priestorového obrazca.

Je zrejmé, že na vytvorenie projekcie sa používa množstvo pravidiel.

Definícia 2

Projekcia– proces konštrukcie kresby priestorového útvaru na rovine pomocou konštrukčných pravidiel.

Projekčná rovina- toto je rovina, v ktorej je obraz zostrojený.

Použitie určitých pravidiel určuje typ projekcie: centrálny alebo paralelný.

Špeciálnym prípadom rovnobežného premietania je kolmé premietanie alebo ortogonálne: v geometrii sa používa hlavne. Z tohto dôvodu sa často v reči vynecháva aj samotné prídavné meno „kolmý“: v geometrii sa hovorí jednoducho „projekcia obrazca“ a rozumie sa tým zostrojenie priemetu metódou kolmého premietania. V špeciálnych prípadoch sa samozrejme dá dohodnúť aj niečo iné.

Všimnime si fakt, že priemet obrazca na rovinu je v podstate priemetom všetkých bodov tohto obrazca. Preto, aby bolo možné študovať priestorový obrazec na výkrese, je potrebné získať základnú zručnosť premietania bodu do roviny. O čom si povieme nižšie.

Pripomeňme si, že najčastejšie v geometrii, keď hovoríme o premietaní na rovinu, majú na mysli použitie kolmého premietania.

Urobme konštrukcie, ktoré nám dajú možnosť získať definíciu priemetu bodu do roviny.

Povedzme, že je daný trojrozmerný priestor a v ňom je rovina α a bod M 1, ktorý nepatrí do roviny α. Nakreslite priamku cez daný bod M A kolmá na danú rovinu α. Priesečník priamky a a roviny α označíme ako H 1, konštrukciou bude slúžiť ako podstava kolmice spadnutej z bodu M 1 na rovinu α.

Ak je daný bod M 2, patriaci do danej roviny α, potom M 2 bude slúžiť ako jeho priemet do roviny α.

Definícia 3

- ide buď o samotný bod (ak patrí do danej roviny), alebo o základňu kolmice spadnutú z daného bodu do danej roviny.

Hľadanie súradníc priemetu bodu do roviny, príklady

Nech je v trojrozmernom priestore dané: pravouhlý súradnicový systém O x y z, rovina α, bod M 1 (x 1, y 1, z 1). Je potrebné nájsť súradnice priemetu bodu M 1 do danej roviny.

Riešenie samozrejme vyplýva z vyššie uvedenej definície priemetu bodu do roviny.

Priemet bodu M 1 do roviny α označme ako H 1 . Podľa definície je H 1 priesečník danej roviny α a priamky a vedenej cez bod M 1 (kolmý na rovinu). Tie. Súradnice priemetu bodu M1, ktoré potrebujeme, sú súradnice priesečníka priamky a a roviny α.

Na nájdenie súradníc priemetu bodu do roviny je teda potrebné:

Získajte rovnicu roviny α (ak nie je určená). Tu vám pomôže článok o typoch rovinných rovníc;

Určte rovnicu priamky a prechádzajúcej bodom M 1 a kolmej na rovinu α (preštudujte si tému o rovnici priamky prechádzajúcej daným bodom kolmej na danú rovinu);

Nájdite súradnice priesečníka priamky a a roviny α (článok - zistenie súradníc priesečníka roviny a priamky). Získané údaje budú súradnice, ktoré potrebujeme na priemet bodu M 1 do roviny α.

Pozrime sa na teóriu s praktickými príkladmi.

Príklad 1

Určte súradnice priemetu bodu M 1 (- 2, 4, 4) do roviny 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Riešenie

Ako vidíme, je nám daná rovnica roviny, t.j. nie je potrebné ho kompilovať.

Zapíšme si kanonické rovnice priamky a prechádzajúcej bodom M 1 a kolmej na danú rovinu. Pre tieto účely určíme súradnice smerového vektora priamky a. Keďže priamka a je kolmá na danú rovinu, smerový vektor priamky a je normálovým vektorom roviny 2 x - 3 y + z - 2 = 0. teda a → = (2, - 3, 1) – smerový vektor priamky a.

Teraz zostavme kanonické rovnice priamky v priestore prechádzajúcej bodom M 1 (- 2, 4, 4) a majúcej smerový vektor a → = (2 , - 3 , 1):

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Na nájdenie potrebných súradníc je ďalším krokom určenie súradníc priesečníka priamky x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 a roviny 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Na tieto účely prejdeme od kanonických rovníc k rovniciam dvoch pretínajúcich sa rovín:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Vytvorme si sústavu rovníc:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

A poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ - z 140 - 28 = 5

Požadované súradnice daného bodu M 1 na danej rovine α teda budú: (0, 1, 5).

odpoveď: (0 , 1 , 5) .

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru sú dané body A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) a M1 (-1, -2, 5). Je potrebné nájsť súradnice priemetu M 1 do roviny A B C

Riešenie

Najprv si napíšeme rovnicu roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi:

x - 0 r - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 r + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 r + 2 z - 4 = 0

Zapíšme si parametrické rovnice priamky a, ktorá bude prechádzať bodom M 1 kolmým na rovinu A B C. Rovina x – 2 y + 2 z – 4 = 0 má normálový vektor so súradnicami (1, - 2, 2), t.j. vektor a → = (1, - 2, 2) – smerový vektor priamky a.

Teraz, keď máme súradnice bodu priamky M 1 a súradnice smerového vektora tejto priamky, napíšeme parametrické rovnice priamky v priestore:

Potom určíme súradnice priesečníka roviny x – 2 y + 2 z – 4 = 0 a priamky

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Aby sme to dosiahli, dosadíme do rovnice roviny:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Teraz pomocou parametrických rovníc x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ nájdeme hodnoty premenných x, y a z pre λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Teda priemet bodu M 1 do roviny A B C bude mať súradnice (- 2, 0, 3).

odpoveď: (- 2 , 0 , 3) .

Zastavme sa samostatne pri otázke hľadania súradníc priemetu bodu na súradnicové roviny a roviny rovnobežné so súradnicovými rovinami.

Nech sú dané body M 1 (x 1, y 1, z 1) a súradnicové roviny O x y, O x z a O y z. Súradnice priemetu tohto bodu do týchto rovín budú: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) a (0, y 1, z 1). Uvažujme aj roviny rovnobežné s danými súradnicovými rovinami:

Cz + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - DB

A priemety daného bodu M 1 do týchto rovín budú body so súradnicami x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 a - D A, y 1, z 1.

Ukážme si, ako sa tento výsledok dosiahol.

Ako príklad si zadefinujme priemet bodu M 1 (x 1, y 1, z 1) do roviny A x + D = 0. Ostatné prípady sú podobné.

Daná rovina je rovnobežná so súradnicovou rovinou O y z a i → = (1, 0, 0) je jej normálový vektor. Rovnaký vektor slúži ako smerový vektor priamky kolmej na rovinu O y z. Potom parametrické rovnice priamky vedenej bodom M 1 a kolmej na danú rovinu budú mať tvar:

x = x 1 + λ y = y1 z = z 1

Nájdite súradnice priesečníka tejto priamky a danej roviny. Dosadíme najskôr rovnosti do rovnice A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 a dostaneme: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - DA - x 1

Potom vypočítame požadované súradnice pomocou parametrických rovníc priamky s λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - DA - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - DA y = y 1 z = z 1

To znamená, že priemetom bodu M 1 (x 1, y 1, z 1) do roviny bude bod so súradnicami - D A, y 1, z 1.

Príklad 2

Je potrebné určiť súradnice priemetu bodu M 1 (- 6, 0, 1 2) do súradnicovej roviny O x y a do roviny 2 y - 3 = 0.

Riešenie

Súradnicová rovina O x y bude zodpovedať neúplnej všeobecnej rovnici roviny z = 0. Priemet bodu M 1 do roviny z = 0 bude mať súradnice (- 6, 0, 0).

Rovinnú rovnicu 2 y - 3 = 0 môžeme zapísať ako y = 3 2 2. Teraz si zapíšte súradnice priemetu bodu M 1 (- 6, 0, 1 2) do roviny y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

odpoveď:(- 6 , 0 , 0) a - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nájdite ostrý uhol medzi uhlopriečkami rovnobežníka zostrojeného pomocou vektorov

5) Určte súradnice vektora c nasmerovaného pozdĺž osi uhla medzi vektormi a a b, ak vektor c = 3 korene zo 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

Nájdime jednotkový vektor e_a kosmerný s a:

podobne e_b = b/|b|,

potom bude požadovaný vektor smerovať rovnakým spôsobom ako vektorový súčet e_a+e_b, pretože (e_a+e_b) je uhlopriečka kosoštvorca, čo je os jeho uhla.

Označme (e_a+e_b)=d,

Nájdite jednotkový vektor, ktorý je nasmerovaný pozdĺž osi: e_c = d/|d|

Ak |c| = 3*sqrt(42), potom c = |c|*e_c. To je všetko.

Nájdite lineárny vzťah medzi týmito štyrmi nekoplanárnymi vektormi: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Skúste z prvých troch rovníc vyjadriť „a,b,c“ pomocou „p,q,r“ (začnite pridaním druhej a tretej rovnice). Potom nahraďte písmená b a c v poslednej rovnici výrazmi, ktoré ste našli v výrazoch p,q,r.

13) Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi A(2, -1, 4) a B(3, 2, -1) kolmými na rovinu x + y + 2z – 3 = 0. Požadovaná rovnica roviny má tvar: Ax + By + Cz + D = 0, normálový vektor k tejto rovine (A, B, C). Vektor (1, 3, -5) patrí do roviny. Rovina, ktorá je nám daná, kolmá na požadovanú, má normálový vektor (1, 1, 2). Pretože body A a B patria obom rovinám a roviny sú navzájom kolmé, potom je normálový vektor (11, -7, -2). Pretože bod A patrí do želanej roviny, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu tejto roviny, t.j. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Celkovo dostaneme rovnicu roviny: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) Rovnica roviny prechádzajúcej priamkou rovnobežnou s vektorom.

Nechajte požadovanú rovinu prechádzať cez priamku (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 rovnobežne s priamkou (x-x2)/a2 = (y-y2) /b2 = (z-z2)/c2.

Potom je normálový vektor roviny vektorovým súčinom smerových vektorov týchto priamok:

Nech sú súradnice vektorového súčinu (A;B;C). Požadovaná rovina prechádza bodom (x1;y1;z1). Normálny vektor a bod, cez ktorý rovina prechádza, jednoznačne určujú rovnicu požadovanej roviny:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(5, -1) kolmým na priamku 3x - 7y + 14 = 0.

18) Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M kolmým na danú rovinu M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - váš bod M(4,3,1)

(n, m, p) - smerovací vektor priamky, známy aj ako normálový vektor pre daný povrch (1, 3, 5) (koeficienty pre premenné x, y, z v rovinnej rovnici)

Nájdite priemet bodu do roviny

Bod M(1,-3,2), rovina 2x+5y-3z-19=0

Štúdium vlastností postáv v priestore a v rovine je nemožné bez znalosti vzdialeností medzi bodom a takými geometrickými objektmi, ako je priamka a rovina. V tomto článku si ukážeme, ako nájsť tieto vzdialenosti zvážením priemetu bodu do roviny a na priamku.

Rovnica priamky pre dvojrozmerné a trojrozmerné priestory

Výpočet vzdialeností bodu od priamky a roviny sa vykonáva pomocou jej priemetu na tieto objekty. Aby ste mohli nájsť tieto projekcie, mali by ste vedieť, v akej forme sú uvedené rovnice pre priamky a roviny. Začnime tými prvými.

Priamka je súbor bodov, z ktorých každý možno získať z predchádzajúceho prenesením do vektorov, ktoré sú navzájom rovnobežné. Napríklad existuje bod M a N. Vektor MN¯, ktorý ich spája, vedie z M k N. Existuje aj tretí bod P. Ak je vektor MP¯ alebo NP¯ rovnobežný s MN¯, potom všetky tri body ležia na tú istú čiaru a vytvorte ju.

V závislosti od rozmeru priestoru môže rovnica definujúca priamku meniť svoj tvar. Známa lineárna závislosť súradnice y na x v priestore teda opisuje rovinu, ktorá je rovnobežná s treťou osou z. V tomto ohľade sa v tomto článku budeme zaoberať iba vektorovou rovnicou pre čiaru. Má rovnaký vzhľad pre rovinný a trojrozmerný priestor.

V priestore môže byť priamka definovaná nasledujúcim výrazom:

(x; y; z) = (x0; yo; z 0) + α*(a; b; c)

Tu súradnicové hodnoty s nulovými indexmi zodpovedajú určitému bodu patriacemu k priamke, u¯(a; b; c) sú súradnice smerového vektora, ktorý leží na tejto priamke, α je ľubovoľné reálne číslo, napr. zmenou, ktorou môžete získať všetky body čiary. Táto rovnica sa nazýva vektorová.

Vyššie uvedená rovnica sa často píše v rozšírenej forme:

Podobným spôsobom môžete napísať rovnicu pre čiaru umiestnenú v rovine, teda v dvojrozmernom priestore:

(x; y) = (x°; y°) + a*(a; b);

Rovinná rovnica

Aby ste mohli nájsť vzdialenosť od bodu k projekčným rovinám, musíte vedieť, ako je rovina definovaná. Rovnako ako priamka môže byť znázornená niekoľkými spôsobmi. Tu budeme brať do úvahy iba jednu: všeobecnú rovnicu.

Predpokladajme, že bod M(x 0 ; y 0 ; z 0) patrí do roviny a vektor n¯(A; B; C) je naň kolmý, potom pre všetky body (x; y; z) rovine bude platiť rovnosť:

A*x + B*y + C*z + D = 0, kde D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Malo by sa pamätať na to, že v tejto všeobecnej rovinnej rovnici sú koeficienty A, B a C súradnicami vektora kolmého na rovinu.

Výpočet vzdialeností podľa súradníc

Predtým, ako prejdeme k zvažovaniu projekcií do roviny bodu a na priamku, je potrebné pripomenúť, ako vypočítať vzdialenosť medzi dvoma známymi bodmi.

Nech existujú dva priestorové body:

A1 (x 1; y1; z 1) a A2 (x 2; y2; z 2)

Potom sa vzdialenosť medzi nimi vypočíta podľa vzorca:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

Pomocou tohto výrazu sa určí aj dĺžka vektora A 1 A 2 ¯.

Pre prípad v rovine, keď sú dva body definované len párom súradníc, môžeme napísať podobnú rovnosť bez prítomnosti člena so z:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Uvažujme teraz o rôznych prípadoch premietania na rovinu bodu na priamku a na rovinu v priestore.

Bod, čiara a vzdialenosť medzi nimi

Predpokladajme, že existuje bod a čiara:

P2 (x1; y1);

(x; y) = (x 0; y 0) + α*(a; b)

Vzdialenosť medzi týmito geometrickými objektmi bude zodpovedať dĺžke vektora, ktorého začiatok leží v bode P 2 a koniec je v bode P na zadanej priamke, pre ktorú je vektor P 2 P ¯ na ňu kolmý. riadok. Bod P sa nazýva priemet bodu P 2 na uvažovanú priamku.

Nižšie je obrázok, ktorý ukazuje bod P 2, jeho vzdialenosť d od priamky, ako aj smerový vektor v 1 ¯. Taktiež sa na priamke vyberie ľubovoľný bod P1 a z neho sa nakreslí vektor do P2. Bod P sa tu zhoduje s miestom, kde kolmica pretína priamku.

Je vidieť, že oranžová a červená šípka tvoria rovnobežník, ktorého strany sú vektory P 1 P 2 ¯ a v 1 ¯ a výška je d. Z geometrie je známe, že na zistenie výšky rovnobežníka treba jeho plochu vydeliť dĺžkou základne, na ktorej je kolmica spustená. Pretože plocha rovnobežníka sa počíta ako vektorový súčin jeho strán, získame vzorec na výpočet d:

d = ||/|v 1 ¯|

Všetky vektory a súradnice bodov v tomto výraze sú známe, takže ho môžete použiť bez vykonávania akýchkoľvek transformácií.

Tento problém sa dal vyriešiť inak. Ak to chcete urobiť, napíšte dve rovnice:

• skalárny súčin P 2 P ¯ by v 1 ¯ sa musí rovnať nule, pretože tieto vektory sú navzájom kolmé;
• súradnice bodu P musia spĺňať rovnicu priamky.

Tieto rovnice stačia na nájdenie súradníc P a potom dĺžky d pomocou vzorca uvedeného v predchádzajúcom odseku.

Úloha nájsť vzdialenosť medzi čiarou a bodom

Ukážeme si, ako tieto teoretické informácie využiť pri riešení konkrétneho problému. Predpokladajme, že je známy nasledujúci bod a čiara:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Je potrebné nájsť body premietania na priamku v rovine, ako aj vzdialenosť od M k priamke.

Označme priemet, ktorý nájdeme bodom M 1 (x 1 ; y 1). Vyriešme tento problém dvoma spôsobmi, popísanými v predchádzajúcom odseku.

Metóda 1. Smerový vektor v 1 ¯ má súradnice (0; 2). Na zostrojenie rovnobežníka vyberieme nejaký bod patriaci k priamke. Napríklad bod so súradnicami (3; 1). Potom bude mať vektor druhej strany rovnobežníka súradnice:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Teraz musíte vypočítať súčin vektorov definujúcich strany rovnobežníka:

Túto hodnotu dosadíme do vzorca a získame vzdialenosť d od M k priamke:

Metóda 2. Teraz nájdime iným spôsobom nielen vzdialenosť, ale aj súradnice priemetu M na priamku, ako to vyžaduje podmienka úlohy. Ako je uvedené vyššie, na vyriešenie problému je potrebné vytvoriť systém rovníc. Bude to vyzerať takto:

(xi-5)*0+(yi+3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Poďme vyriešiť tento systém:

Priemet pôvodného súradnicového bodu má M 1 (3; -3). Potom je požadovaná vzdialenosť:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Ako vidíte, obe metódy riešenia poskytli rovnaký výsledok, čo naznačuje správnosť vykonaných matematických operácií.

Premietanie bodu do roviny

Teraz uvažujme, aký je priemet bodu daného v priestore do určitej roviny. Ľahko sa dá uhádnuť, že aj toto premietanie je bod, ktorý spolu s pôvodným tvorí vektor kolmý na rovinu.

Predpokladajme, že priemet do roviny bodu M má tieto súradnice:

Samotná rovina je opísaná rovnicou:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Na základe týchto údajov môžeme vytvoriť rovnicu pre priamku, ktorá pretína rovinu v pravom uhle a prechádza cez M a M 1:

(x; y; z) = (x0; yo; z 0) + a*(A; B; C)

Tu sú premenné s nulovými indexmi súradnicami bodu M. Polohu v rovine bodu M 1 je možné vypočítať na základe skutočnosti, že jeho súradnice musia spĺňať obe zapísané rovnice. Ak tieto rovnice nestačia na vyriešenie problému, potom môžete použiť podmienku rovnobežnosti medzi MM 1 ¯ a vodiacim vektorom pre danú rovinu.

Je zrejmé, že priemet bodu patriaceho do roviny sa zhoduje so sebou samým a zodpovedajúca vzdialenosť je nulová.

Problém s bodom a rovinou

Nech je daný bod M(1; -1; 3) a rovina, ktorá je opísaná nasledujúcou všeobecnou rovnicou:

Je potrebné vypočítať súradnice priemetu do roviny bodu a vypočítať vzdialenosť medzi týmito geometrickými objektmi.

Najprv zostrojme rovnicu priamky prechádzajúcej cez M a kolmej na naznačenú rovinu. Vyzerá to ako:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Označme bod, kde táto priamka pretína rovinu, ako M 1 . Rovnosti pre rovinu a priamku musia byť splnené, ak sú do nich dosadené súradnice M 1 . Explicitným zápisom rovnice priamky dostaneme nasledujúce štyri rovnosti:

Xi + 3*yi-2*zi + 4 = 0;

yi = -1 + 3*a;

Z poslednej rovnosti dostaneme parameter α, potom ho dosadíme do predposledného a druhého výrazu, dostaneme:

y1 = -1 + 3*(3-z1)/2 = -3/2*z1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Do rovnice pre rovinu dosadíme výraz pre y 1 a x 1, máme:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Odkiaľ to získame:

yi = -3/2 x 15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2 x 15/7 - 1/2 = 4/7

Zistili sme, že priemet bodu M do danej roviny zodpovedá súradniciam (4/7; 2/7; 15/7).

Teraz vypočítajme vzdialenosť |MM 1 ¯|. Súradnice zodpovedajúceho vektora sú:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Požadovaná vzdialenosť je:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1.6

Trojbodová projekcia

Pri výrobe výkresov je často potrebné získať projekcie rezov do troch navzájom kolmých rovín. Preto je užitočné zvážiť, čomu sa budú rovnať priemety určitého bodu M so súradnicami (x 0 ; y 0 ; z 0) do troch súradnicových rovín.

Nie je ťažké ukázať, že rovina xy je opísaná rovnicou z = 0, rovina xz zodpovedá výrazu y = 0 a zvyšná rovina yz je označená x = 0. Nie je ťažké uhádnuť, že projekcie bodu na 3 roviny budú rovnaké:

pre x = 0: (0; yo; z 0);

pre y = 0: (x0; 0; z 0);

pre z = 0: (x 0; yo; 0)

Kde je dôležité poznať priemet bodu a jeho vzdialenosť k rovinám?

Určenie polohy priemetu bodov do danej roviny je dôležité pri hľadaní veličín ako plocha a objem pre naklonené hranoly a ihlany. Napríklad vzdialenosť od vrcholu pyramídy k základnej rovine je výška. Ten je zahrnutý vo vzorci pre objem tohto čísla.

Uvažované vzorce a metódy na určenie projekcií a vzdialeností od bodu k priamke a rovine sú dosť jednoduché. Dôležité je len zapamätať si zodpovedajúce tvary rovníc roviny a priamky, ako aj mať dobrú priestorovú predstavivosť, aby ste ich mohli úspešne aplikovať.

Pri riešení geometrických úloh v priestore často vzniká problém určenia vzdialenosti medzi rovinou a bodom. V niektorých prípadoch je to potrebné pre komplexné riešenie. Túto hodnotu možno vypočítať nájdením priemetu do roviny bodu. Pozrime sa na túto problematiku podrobnejšie v článku.

Rovnica na opis roviny

Predtým, ako prejdeme k úvahe o tom, ako nájsť projekciu bodu do roviny, mali by ste sa oboznámiť s typmi rovníc, ktoré ho definujú v trojrozmernom priestore. Viac podrobností nižšie.

Všeobecná rovnica definujúca všetky body, ktoré patria do danej roviny, je nasledovná:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Prvé tri koeficienty sú súradnice vektora, ktorý sa nazýva vodidlo pre rovinu. Zhoduje sa s normálom pre ňu, to znamená, že je kolmá. Tento vektor je označený n¯(A; B; C). Voľný koeficient D je jednoznačne určený zo znalosti súradníc ľubovoľného bodu patriaceho do roviny.

Pojem bodové premietanie a jeho výpočet

Predpokladajme, že je daný nejaký bod P(x 1 ; y 1 ; z 1) a rovina. Je definovaná rovnicou vo všeobecnom tvare. Ak nakreslíme kolmú čiaru z P na danú rovinu, potom je zrejmé, že ju bude pretínať v jednom konkrétnom bode Q (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2). Q sa nazýva projekcia P na uvažovanú rovinu. Dĺžka segmentu PQ sa nazýva vzdialenosť od bodu P k rovine. Samotný PQ je teda kolmý na rovinu.

Ako zistíte súradnice priemetu bodu do roviny? Nie je ťažké to urobiť. Najprv musíte vytvoriť rovnicu pre priamku, ktorá bude kolmá na rovinu. Bude jej patriť bod P. Keďže normálový vektor n¯(A; B; C) tejto priamky musí byť rovnobežný, rovnica preň v príslušnom tvare bude napísaná takto:

(x; y; z) = (x 1; y1; z 1) + X* (A; B; C).

Kde λ je reálne číslo, ktoré sa zvyčajne nazýva parameter rovnice. Jeho zmenou môžete získať ľubovoľný bod na čiare.

Po napísaní vektorovej rovnice pre priamku kolmú na rovinu je potrebné nájsť spoločný priesečník pre uvažované geometrické objekty. Jeho súradnicami bude projekcia P. Keďže musia spĺňať obe rovnosti (pre priamku aj pre rovinu), úloha sa redukuje na riešenie zodpovedajúcej sústavy lineárnych rovníc.

Koncept projekcie sa často používa pri štúdiu výkresov. Zobrazujú bočné a horizontálne projekcie súčiastky v rovinách zy, zx a xy.

Výpočet vzdialenosti od roviny k bodu

Ako je uvedené vyššie, znalosť súradníc projekcie do roviny bodu vám umožňuje určiť vzdialenosť medzi nimi. Pomocou notácie zavedenej v predchádzajúcom odseku zistíme, že požadovaná vzdialenosť sa rovná dĺžke segmentu PQ. Na jej výpočet stačí nájsť súradnice vektora PQ¯ a potom vypočítať jeho modul pomocou známeho vzorca. Konečný výraz pre vzdialenosť d medzi bodom P a rovinou má tvar:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Výsledná hodnota d je uvedená v jednotkách, v ktorých je špecifikovaný aktuálny karteziánsky súradnicový systém xyz.

Vzorová úloha

Povedzme, že existuje bod N(0; -2; 3) a rovina, ktorá je opísaná nasledujúcou rovnicou:

Musíte nájsť projekčné body na rovinu a vypočítať vzdialenosť medzi nimi.

Najprv si vytvorme rovnicu pre priamku, ktorá pretína rovinu pod uhlom 90 o. Máme:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + X* (2; -1; 1).

Ak túto rovnosť zapíšeme explicitne, dostaneme sa k nasledujúcemu systému rovníc:

Nahradením hodnôt súradníc z prvých troch rovníc do štvrtej získame hodnotu λ, ktorá určuje súradnice spoločného bodu priamky a roviny:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

A = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Nájdený parameter dosadíme do a nájdeme súradnice priemetu začiatočného bodu do roviny:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5 x (2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Na výpočet vzdialenosti medzi geometrickými objektmi špecifikovanými v probléme použijeme vzorec pre d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

V tejto úlohe sme si ukázali, ako nájsť priemet bodu do ľubovoľnej roviny a ako vypočítať vzdialenosť medzi nimi.