Prejdite na youtube kanál našej webovej stránky, aby ste mali prehľad o všetkých nových video lekciách.

Najprv si pripomeňme základné vzorce mocnin a ich vlastnosti.

Súčin čísla a vyskytuje sa na sebe n-krát, môžeme tento výraz zapísať ako a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Mocninné alebo exponenciálne rovnice– sú to rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách (alebo exponentoch) a základom je číslo.

Príklady exponenciálnych rovníc:

V tomto príklade je číslo 6 základ, je vždy na spodku a premenná X stupňa alebo ukazovateľa.

Uveďme viac príkladov exponenciálnych rovníc.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia exponenciálne rovnice?

Zoberme si jednoduchú rovnicu:

2 x = 2 3

Tento príklad sa dá vyriešiť aj v hlave. Je možné vidieť, že x=3. Koniec koncov, aby boli ľavá a pravá strana rovnaké, musíte namiesto x zadať číslo 3.
Teraz sa pozrime, ako formalizovať toto rozhodnutie:

2 x = 2 3
x = 3

Aby sme takúto rovnicu vyriešili, odstránili sme rovnaké dôvody(teda dvojky) a zapísal čo ostalo, to sú stupne. Dostali sme odpoveď, ktorú sme hľadali.

Teraz si zhrňme naše rozhodnutie.

Algoritmus na riešenie exponenciálnej rovnice:
1. Treba skontrolovať rovnakýči má rovnica základy vpravo a vľavo. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sa základy stanú rovnakými, rovnať stupňa a vyriešiť výslednú novú rovnicu.

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov:

Začnime niečím jednoduchým.

Základy na ľavej a pravej strane sa rovnajú číslu 2, čo znamená, že môžeme základňu zahodiť a prirovnať ich stupne.

x+2=4 Získame najjednoduchšiu rovnicu.
x = 4 – 2
x=2
Odpoveď: x=2

V nasledujúcom príklade môžete vidieť, že základy sú rôzne: 3 a 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Najprv presuňte deviatku na pravú stranu a získame:

Teraz musíte urobiť rovnaké základy. Vieme, že 9=3 2. Použime mocninový vzorec (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dostaneme 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Teraz je jasné, že na ľavej a pravej strane sú základy rovnaké a rovnajú sa trom, čo znamená, že ich môžeme zahodiť a priradiť stupne.

3x=2x+16 dostaneme najjednoduchšiu rovnicu
3x - 2x=16
x=16
Odpoveď: x=16.

Pozrime sa na nasledujúci príklad:

2 2x+4 - 104 x = 2 4

Najprv sa pozrieme na základy, základy dva a štyri. A potrebujeme, aby boli rovnaké. Štvoricu transformujeme pomocou vzorca (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

A tiež používame jeden vzorec a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridajte do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Trápia nás však iné čísla 10 a 24. Čo s nimi? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že na ľavej strane sa opakuje 2 2x, tu je odpoveď - môžeme dať 2 2x zo zátvoriek:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vypočítajme výraz v zátvorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celú rovnicu vydelíme 6:

Predstavme si 4=2 2:

2 2x = 2 2 základy sú rovnaké, zahodíme ich a zrovnáme stupne.
2x = 2 je najjednoduchšia rovnica. Vydelíme 2 a dostaneme
x = 1
Odpoveď: x = 1.

Poďme vyriešiť rovnicu:

9 x – 12 x 3 x +27 = 0

Poďme sa transformovať:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dostaneme rovnicu:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Naše základy sú rovnaké, rovné 3. V tomto príklade môžete vidieť, že prvé tri majú stupeň dvakrát (2x) ako druhé (len x). V tomto prípade môžete vyriešiť náhradná metóda. Číslo nahradíme najmenším stupňom:

Potom 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Všetky x mocniny v rovnici nahradíme t:

t2 - 12t+27 = 0
Dostaneme kvadratickú rovnicu. Riešením cez diskriminant dostaneme:
D = 144-108 = 36
ti = 9
t2 = 3

Návrat k premennej X.

Vezmite t 1:
ti = 9 = 3 x

teda

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého z t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpoveď: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na stránke sa môžete v sekcii POMOC ROZHODNÚŤ opýtať na akékoľvek otázky, určite vám odpovieme.

Pridajte sa do skupiny

Vo všeobecnosti rovnica stupňa väčšia ako 4 nemôže byť vyriešená v radikáloch. Niekedy však stále môžeme nájsť korene polynómu vľavo v rovnici najvyššieho stupňa, ak ho predstavíme ako súčin polynómov v stupni nie viac ako 4. Riešenie takýchto rovníc je založené na faktorizácii polynómu, preto vám odporúčame, aby ste si pred štúdiom tohto článku prečítali túto tému.

Najčastejšie musíte riešiť rovnice vyšších stupňov s celočíselnými koeficientmi. V týchto prípadoch sa môžeme pokúsiť nájsť racionálne korene a potom faktorizovať polynóm, aby sme ho potom mohli transformovať na rovnicu nižšieho stupňa, ktorú je ľahké vyriešiť. V tomto materiáli sa pozrieme práve na takéto príklady.

Rovnice vyššieho stupňa s celočíselnými koeficientmi

Všetky rovnice v tvare a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , môžeme vytvoriť rovnicu rovnakého stupňa vynásobením oboch strán a n n - 1 a premenlivou zmenou tvaru y = a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Výsledné koeficienty budú tiež celé číslo. Budeme teda musieť vyriešiť redukovanú rovnicu n-tého stupňa s celočíselnými koeficientmi v tvare x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Vypočítame celočíselné korene rovnice. Ak má rovnica celé korene, musíte ich hľadať medzi deliteľmi voľného člena a 0 . Poďme si ich zapísať a dosadiť do pôvodnej rovnosti jeden po druhom, pričom skontrolujeme výsledok. Keď sme získali identitu a našli jeden z koreňov rovnice, môžeme ju zapísať v tvare x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Tu x 1 je koreň rovnice a P n - 1 (x) je podiel x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 delený x - x 1 .

Zvyšných deliteľov zapísaných do P n - 1 (x) = 0 dosadíme počnúc x 1, keďže korene sa môžu opakovať. Po získaní identity sa koreň x 2 považuje za nájdený a rovnicu je možné zapísať v tvare (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Tu P n - 2 (x) bude podiel delenia P n - 1 (x) x - x 2.

Pokračujeme v triedení deliteľov. Nájdime všetky celé korene a označme ich počet ako m. Potom môže byť pôvodná rovnica reprezentovaná ako x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · Pn - m (x) = 0. Tu P n - m (x) je polynóm n - m stupňa. Na výpočet je vhodné použiť Hornerovu schému.

Ak má naša pôvodná rovnica celočíselné koeficienty, nemôžeme nakoniec získať zlomkové korene.

Skončili sme pri rovnici P n - m (x) = 0, ktorej korene sa dajú nájsť akýmkoľvek pohodlným spôsobom. Môžu byť iracionálne alebo zložité.

Ukážme si na konkrétnom príklade, ako sa táto schéma riešenia používa.

Príklad 1

podmienka: nájdite riešenie rovnice x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Riešenie

Začnime hľadaním celých koreňov.

Máme voľný termín rovný mínus tri. Má deliteľov rovných 1, - 1, 3 a - 3. Dosadíme ich do pôvodnej rovnice a uvidíme, ktoré z nich dávajú výsledné identity.

Keď sa x rovná jednej, dostaneme 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, čo znamená, že jedna bude koreňom tejto rovnice.

Teraz vydeľme polynóm x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 (x - 1) v stĺpci:

Takže x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Dostali sme identitu, čo znamená, že sme našli ďalší koreň rovnice, rovný - 1.

Vydeľte polynóm x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 (x + 1) v stĺpci:

Chápeme to

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Nasledujúceho deliteľa dosadíme do rovnosti x 2 + x + 3 = 0, začínajúc od -1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Výsledné rovnosti budú nesprávne, čo znamená, že rovnica už nemá celočíselné korene.

Zostávajúce korene budú koreňmi výrazu x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

Z toho vyplýva, že tento kvadratický trinóm nemá skutočné korene, ale existujú komplexne združené: x = - 1 2 ± i 11 2.

Ujasnime si, že namiesto rozdelenia do stĺpca možno použiť Hornerovu schému. Robí sa to takto: po určení prvého koreňa rovnice vyplníme tabuľku.

V tabuľke koeficientov hneď vidíme koeficienty kvocientu delenia polynómov, čo znamená x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Po nájdení ďalšieho koreňa, ktorým je - 1, dostaneme nasledovné:

odpoveď: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

Príklad 2

podmienka: vyriešte rovnicu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Riešenie

Voľný výraz má deliteľov 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Skontrolujme ich v poradí:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

To znamená, že x = 2 bude koreňom rovnice. Vydeľte x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 x - 2 pomocou Hornerovej schémy:

Výsledkom je x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

To znamená, že 2 bude opäť koreň. Vydeliť x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 x - 2:

V dôsledku toho dostaneme (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Kontrola zostávajúcich deliteľov nemá zmysel, pretože rovnosť x 2 + 3 x + 3 = 0 je rýchlejšie a pohodlnejšie riešiť pomocou diskriminantu.

Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Získame komplexne konjugovaný pár koreňov: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Odpoveď x = -32 ± i32.

Príklad 3

podmienka: Nájdite skutočné korene rovnice x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Riešenie

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Vynásobíme 2 3 na oboch stranách rovnice:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Nahradiť premenné y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 r 4 + r 3 - 20 r - 48 = 0

V dôsledku toho sme dostali štandardnú rovnicu 4. stupňa, ktorú je možné vyriešiť podľa štandardnej schémy. Skontrolujme deliteľov, delíme a nakoniec dostaneme, že má 2 skutočné korene y = - 2, y = 3 a dva komplexné. Nebudeme tu uvádzať celé riešenie. Vďaka substitúcii budú skutočné korene tejto rovnice x = y 2 = - 2 2 = - 1 a x = y 2 = 3 2.

odpoveď: x 1 = - 1, x 2 = 3 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Uvažujme riešenie rovníc s jednou premennou o stupeň vyššou ako druhá.

Stupeň rovnice P(x) = 0 je stupeň polynómu P(x), t.j. najväčšiu mocninu svojich členov s koeficientom nerovnajúcim sa nule.

Takže napríklad rovnica (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 má piaty stupeň, pretože po operáciách otvorenia zátvoriek a prinesenia podobných dostaneme ekvivalentnú rovnicu x 5 – 2x 3 + 3 = 0 piateho stupňa.

Pripomeňme si pravidlá, ktoré budú potrebné na riešenie rovníc vyššieho stupňa ako dva.

Výroky o koreňoch polynómu a jeho deliteľoch:

1. Polynóm n-tého stupňa má počet koreňov nepresahujúcich n a korene násobnosti m sa vyskytujú presne m-krát.

2. Polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden skutočný koreň.

3. Ak α je koreň P(x), potom P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), kde Q n – 1 (x) je polynóm stupňa (n – 1) .

4.

5. Redukovaný polynóm s celočíselnými koeficientmi nemôže mať zlomkové racionálne korene.

6. Pre polynóm tretieho stupňa

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d je možná jedna z dvoch vecí: buď sa rozloží na súčin troch dvojčlenov

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), alebo sa rozloží na súčin dvojčlenu a štvorcového trojčlenu Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Akýkoľvek polynóm štvrtého stupňa môže byť rozšírený na súčin dvoch štvorcových trinómov.

8. Polynóm f(x) je deliteľný polynómom g(x) bezo zvyšku, ak existuje polynóm q(x) taký, že f(x) = g(x) · q(x). Na delenie polynómov sa používa pravidlo „rohového delenia“.

9. Aby bol polynóm P(x) deliteľný binomom (x – c), je potrebné a postačujúce, aby číslo c bolo koreňom P(x) (dôsledok Bezoutovej vety).

10. Vietova veta: Ak x 1, x 2, ..., x n sú skutočné korene polynómu

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, potom platia nasledujúce rovnosti:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n/a 0 .

Príklady riešenia

Príklad 1

Nájdite zvyšok delenia P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 x (x – 1/3).

Riešenie.

V dôsledku Bezoutovej vety: „Zvyšok polynómu delený binómom (x – c) sa rovná hodnote polynómu c. Nájdite P(1/3) = 0. Preto je zvyšok 0 a číslo 1/3 je koreňom polynómu.

Odpoveď: R = 0.

Príklad 2

Rozdeľte „rohom“ 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 x (x + 2). Nájdite zvyšok a neúplný kvocient.

Riešenie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Odpoveď: R = 3; podiel: 2x 2 – x.

Základné metódy riešenia rovníc vyššieho stupňa

1. Zavedenie novej premennej

Spôsob zavedenia novej premennej je už známy z príkladu bikvadratických rovníc. Spočíva v tom, že na vyriešenie rovnice f(x) = 0 sa zavedie nová premenná (substitúcia) t = x n alebo t = g(x) a f(x) sa vyjadrí prostredníctvom t, čím sa získa nová rovnica r (t). Potom vyriešením rovnice r(t) nájdeme korene:

(t 1, t 2, …, t n). Potom sa získa množina n rovníc q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, z ktorej sa nájdu korene pôvodnej rovnice.

Príklad 1

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Riešenie:

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Substitúcia (x 2 + x + 1) = t.

t2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Obrátená substitúcia:

x 2 + x + 1 = 2 alebo x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 alebo x 2 + x = 0;

Odpoveď: Z prvej rovnice: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, z druhej: 0 a -1.

2. Faktorizácia pomocou zoskupovacích a skrátených vzorcov násobenia

Základ tejto metódy tiež nie je nový a spočíva v zoskupení pojmov takým spôsobom, že každá skupina obsahuje spoločný faktor. K tomu je niekedy potrebné použiť nejaké umelé techniky.

Príklad 1

x 4 – 3 x 2 + 4 x – 3 = 0.

Riešenie.

Predstavme si - 3x 2 = -2x 2 – x 2 a skupinu:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x – 2) = 0.

(x 2 – x + 1) (x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 alebo x 2 + x – 3 = 0.

Odpoveď: V prvej rovnici nie sú žiadne korene, z druhej: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorizácia metódou neurčitých koeficientov

Podstatou metódy je, že pôvodný polynóm sa rozkladá na neznáme koeficienty. Pomocou vlastnosti, že polynómy sú rovnaké, ak sú ich koeficienty rovnaké pri rovnakých mocniciach, sa nájdu neznáme expanzné koeficienty.

Príklad 1

x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0.

Riešenie.

Polynóm 3. stupňa možno rozšíriť na súčin lineárnych a kvadratických faktorov.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ak.

Po vyriešení systému:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, t.j.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Korene rovnice (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 sa dajú ľahko nájsť.

Odpoveď: -1; -2.

4. Spôsob výberu koreňa pomocou najvyššieho a voľného koeficientu

Metóda je založená na aplikácii teorémov:

1) Každý celý koreň polynómu s celočíselnými koeficientmi je deliteľom voľného člena.

2) Aby ireducibilný zlomok p/q (p - celé číslo, q - prirodzený) bol koreňom rovnice s celočíselnými koeficientmi, je potrebné, aby číslo p bolo celočíselným deliteľom voľného člena a 0, a q - prirodzený deliteľ vedúceho koeficientu.

Príklad 1

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Riešenie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Preto p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Po nájdení jedného koreňa, napríklad – 2, nájdeme ďalšie korene pomocou rohového delenia, metódy neurčitých koeficientov alebo Hornerovej schémy.

Odpoveď: -2; 1/2; 1/3.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Trieda: 9

Základné ciele:

1. Posilniť koncepciu celej racionálnej rovnice t. stupňa.
2. Formulujte základné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov (n > 3).
3. Naučiť základné metódy riešenia rovníc vyššieho rádu.
4. Naučte sa používať typ rovnice na určenie najefektívnejšieho spôsobu riešenia.

Formy, metódy a pedagogické techniky používané učiteľom v triede:

• Systém výučby prednáška-seminár (prednášky - výklad novej látky, semináre - riešenie problémov).
• Informačné a komunikačné technológie (frontálny prieskum, ústna práca s triedou).
• Diferencované učenie, skupinové a individuálne formy.
• Využitie výskumnej metódy vo vyučovaní zameranej na rozvoj matematického aparátu a schopností myslenia každého jednotlivého žiaka.
• Tlačený materiál – individuálne stručné zhrnutie hodiny (základné pojmy, vzorce, výroky, prednáškový materiál zhustený vo forme diagramov alebo tabuliek).

Plán lekcie:

1. Organizovanie času.
   Účel etapy: zapojiť žiakov do vzdelávacích aktivít, určiť obsah vyučovacej hodiny.
2. Aktualizácia vedomostí žiakov.
   Účel etapy: aktualizovať vedomosti študentov o predtým preštudovaných súvisiacich témach
3. Štúdium novej témy (prednáška). Cieľ etapy: sformulovať základné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov (č > 3)
4. Zhrnutie.
   Účel etapy: opäť zdôrazniť kľúčové body v materiáli študovanom na lekcii.
5. Domáca úloha.
   Účel etapy: formulovať domácu úlohu pre študentov.

Zhrnutie lekcie

1. Organizačný moment.

Formulácia témy lekcie: „Rovnice vyšších mocností. Spôsoby ich riešenia."

2. Aktualizácia vedomostí žiakov.

Teoretický prieskum - rozhovor. Opakovanie niektorých predtým preštudovaných informácií z teórie. Žiaci formulujú základné definície a formulujú potrebné vety. Uveďte príklady na preukázanie úrovne predtým získaných vedomostí.

• Koncept rovnice s jednou premennou.
• Pojem koreňa rovnice, riešenie rovnice.
• Pojem lineárna rovnica s jednou premennou, pojem kvadratickej rovnice s jednou premennou.
• Pojem ekvivalencie rovníc, rovnice-dôsledky (koncept cudzích koreňov), prechod nie následkom (prípad straty koreňov).
• Koncept celého racionálneho vyjadrenia s jednou premennou.
• Pojem celej racionálnej rovnice n stupeň. Štandardný tvar celej racionálnej rovnice. Redukovaná celá racionálna rovnica.
• Prechod na množinu rovníc nižších stupňov rozkladom pôvodnej rovnice.
• Pojem polynóm n stupeň od X. Bezoutova veta. Dôsledky Bezoutovej vety. Koreňové vety ( Z-korene a Q-odmocniny) celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi (redukovanými a neredukovanými).
• Hornerova schéma.

3. Štúdium novej témy.

Zoberieme do úvahy celú racionálnu rovnicu n-tá mocnina štandardného tvaru s jednou neznámou premennou x:Pn(x)= 0, kde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polynóm n stupeň od X, a n ≠ 0. Ak a n = 1 potom sa takáto rovnica nazýva redukovaná celočíselná racionálna rovnica n stupeň. Uvažujme takéto rovnice pre rôzne hodnoty n a uveďte hlavné metódy ich riešenia.

n= 1 – lineárna rovnica.

n= 2 – kvadratická rovnica. Diskriminačný vzorec. Vzorec na výpočet koreňov. Vietov teorém. Výber celého štvorca.

n= 3 – kubická rovnica.

Metóda zoskupovania.

Príklad: x 3 – 4 x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4) (x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Reciproká kubická rovnica tvaru sekera 3 + bx 2 + bx + a= 0. Riešime spojením členov s rovnakými koeficientmi.

Príklad: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Výber Z-koreňov na základe vety. Hornerova schéma. Pri aplikácii tejto metódy je potrebné zdôrazniť, že vyhľadávanie je v tomto prípade konečné a korene vyberáme pomocou určitého algoritmu v súlade s vetou Z-korene danej celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Príklad: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Rovnica je daná. Zapíšme si deliteľa voľného termínu ( + 1; + 3; + 5; + 15). Aplikujme Hornerovu schému:

	X 3	X 2	X 1	X 0	záver
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – koreň
	X 2	X 1	X 0

Dostaneme ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Q-koreňov na základe vety. Hornerova schéma. Pri aplikácii tejto metódy je potrebné zdôrazniť, že hľadanie je v tomto prípade konečné a korene vyberáme pomocou určitého algoritmu v súlade s teorémou o Q-korene neredukovanej celočíselnej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Príklad: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Rovnica je neredukovaná. Zapíšme si deliteľa voľného termínu ( + 1; + 3). Zapíšme si deliteľov koeficientu pri najvyššej mocnine neznámej. ( + 1; + 3; + 9) Následne budeme hľadať korene medzi hodnotami ( + 1; + ; + ; + 3). Aplikujme Hornerovu schému:

	X 3	X 2	X 1	X 0	záver
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – nie koreň
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – nie je koreň
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	koreň
	X 2	X 1	X 0

Dostaneme ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Pre jednoduchosť výpočtu pri výbere Q -korene Môže byť vhodné vykonať zmenu premennej, prejsť na danú rovnicu a vybrať Z -korene.

• Ak je fiktívny výraz 1

.

• Ak môžete použiť náhradu formulára y = kx

.

Cardano vzorec. Na riešenie kubických rovníc existuje univerzálna metóda – ide o Cardanov vzorec. Tento vzorec je spojený s menami talianskych matematikov Gerolama Cardana (1501 – 1576), Nicola Tartaglia (1500 – 1557) a Scipione del Ferro (1465 – 1526). Tento vzorec je nad rámec nášho kurzu.

n= 4 – rovnica štvrtého stupňa.

Metóda zoskupovania.

Príklad: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Variabilná metóda výmeny.

• Bikvadratická rovnica tvaru sekera 4 + bx 2 + s = 0 .

Príklad: X 4 + 5X 2 – 36 = 0. Náhrada r = X 2. Odtiaľ r 1 = 4, r 2 = -9. Preto X 1,2 = + 2 .

• Recipročná rovnica štvrtého stupňa tvaru sekera 4 + bx 3+c X 2 + bx + a = 0.

Riešime kombináciou pojmov s rovnakými koeficientmi nahradením tvaru

• sekera 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Zovšeobecnená rekurentná rovnica štvrtého stupňa tvaru sekera 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Všeobecná výmena. Niektoré štandardné náhrady.

Príklad 3 . Výmena celkového pohľadu(vyplýva z typu konkrétnej rovnice).

n = 3.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Q-korenov n = 3.

Všeobecný vzorec. Na riešenie rovníc štvrtého stupňa existuje univerzálna metóda. Tento vzorec je spojený s menom Ludovica Ferrariho (1522–1565). Tento vzorec je nad rámec nášho kurzu.

n > 5 – rovnice piateho a vyššieho stupňa.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Z-koreňov na základe vety. Hornerova schéma. Algoritmus je podobný tomu, ktorý je uvedený vyššie n = 3.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Q-korenov na základe vety. Hornerova schéma. Algoritmus je podobný tomu, ktorý je uvedený vyššie n = 3.

Symetrické rovnice. Každá recipročná rovnica nepárneho stupňa má koreň X= -1 a po rozpočítaní na faktory zistíme, že jeden faktor má tvar ( X+ 1) a druhým faktorom je recipročná rovnica párneho stupňa (jej stupeň je o jeden menší ako stupeň pôvodnej rovnice). Akákoľvek recipročná rovnica párneho stupňa spolu s koreňom tvaru x = φ obsahuje aj koreň druhu. Pomocou týchto tvrdení riešime problém znížením stupňa skúmanej rovnice.

Variabilná metóda výmeny. Použitie homogenity.

Na riešenie celých rovníc piateho stupňa neexistuje všeobecný vzorec (ukázali to taliansky matematik Paolo Ruffini (1765–1822) a nórsky matematik Niels Henrik Abel (1802–1829)) a vyšších stupňov (ukázali to napr. Francúzsky matematik Evariste Galois (1811 – 1832)).

• Pripomeňme si ešte raz, že v praxi je možné použiť kombinácie metódy uvedené vyššie. Je vhodné prejsť na množinu rovníc nižších stupňov pomocou faktorizácia pôvodnej rovnice.
• Mimo rámca našej dnešnej diskusie sú tie, ktoré sa bežne používajú v praxi. grafické metódy riešenie rovníc a približné metódy riešenia rovnice vyšších stupňov.
• Sú situácie, keď rovnica nemá R-korene.
Potom sa ukáže, že rovnica nemá korene. Aby sme to dokázali, analyzujeme správanie uvažovaných funkcií na intervaloch monotónnosti. Príklad: rovnica X 8 – X 3 + 1 = 0 nemá korene.
• Využitie vlastnosti monotónnosti funkcií
. Existujú situácie, keď používanie rôznych vlastností funkcií umožňuje zjednodušiť úlohu.
Príklad 1: Rovnica X 5 + 3X– 4 = 0 má jeden koreň X= 1. Vzhľadom na vlastnosť monotónnosti analyzovaných funkcií neexistujú žiadne iné korene.
Príklad 2: Rovnica X 4 + (X– 1) 4 = 97 má korene X 1 = -2 a X 2 = 3. Po analýze správania zodpovedajúcich funkcií na intervaloch monotónnosti sme dospeli k záveru, že neexistujú žiadne iné korene.

4. Zhrnutie.

Zhrnutie: Teraz sme si osvojili základné metódy riešenia rôznych rovníc vyšších stupňov (pre n > 3). Našou úlohou je naučiť sa efektívne využívať vyššie uvedené algoritmy. V závislosti od typu rovnice sa budeme musieť naučiť určiť, ktorý spôsob riešenia v danom prípade je najefektívnejší, ako aj správne aplikovať zvolený spôsob.

5. Domáce úlohy.

: odsek 7, strany 164–174, čísla 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Možné témy pre správy alebo abstrakty na túto tému:

• Cardano vzorec
• Grafická metóda riešenia rovníc. Príklady riešení.
• Metódy na približné riešenie rovníc.

Analýza učenia a záujmu študentov o danú tému:

Skúsenosti ukazujú, že záujem študentov vzbudzuje predovšetkým možnosť výberu Z-korene a Q-korene rovníc pomocou pomerne jednoduchého algoritmu s použitím Hornerovej schémy. Študentov zaujímajú aj rôzne štandardné typy substitúcie premenných, ktoré môžu výrazne zjednodušiť typ problému. Obzvlášť zaujímavé sú zvyčajne grafické metódy riešenia. V tomto prípade môžete problémy dodatočne analyzovať pomocou grafickej metódy riešenia rovníc; diskutovať o všeobecnej forme grafu pre polynóm stupňa 3, 4, 5; analyzovať, ako súvisí počet koreňov rovníc stupňa 3, 4, 5 s výskytom príslušného grafu. Nižšie je uvedený zoznam kníh, v ktorých môžete nájsť ďalšie informácie o tejto téme.

Bibliografia:

1. Vilenkin N.Ya. a ďalšie.“ Algebra. Učebnica pre žiakov 9. ročníka s hĺbkovým štúdiom matematiky“ - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 s.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.„Za stránkami učebnice matematiky. Aritmetika. Algebra. 10-11 ročníkov“ – M., Školstvo, 2008 – 192 s.
3. Vygodsky M.Ya.„Príručka matematiky“ – M., AST, 2010 – 1055 s.
4. Galitsky M.L.„Zbierka problémov v algebre. Učebnica pre ročníky 8-9 s hĺbkovým štúdiom matematiky“ - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 s.
5. Zvavich L.I.„Algebra a začiatky analýzy. 8-11 ročníkov Príručka pre školy a triedy s hĺbkovým štúdiom matematiky“ - M., Drofa, 1999 - 352 s.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.„Úlohy z matematiky na prípravu na písomnú skúšku v 9. ročníku“ - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 s.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Tematické testy na systematizáciu vedomostí z matematiky“ 1. časť – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 s.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Tematické testy na systematizáciu vedomostí z matematiky“ 2. časť – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 s.
9. Ivanov A.P.„Testy a testy z matematiky. Návod". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 s.
10. Leibson K.L.„Zbierka praktických úloh z matematiky. Časť 2–9 ročníkov“ – M., MTSNM, 2009 – 184 s.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.„Algebra. Doplnkové kapitoly do školskej učebnice 9. ročníka. Učebnica pre žiakov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky.“ – M., Školstvo, 2006 – 224 s.
12. Mordkovich A.G.„Algebra. Hĺbkové štúdium. 8. trieda. Učebnica“ – M., Mnemosyne, 2006 – 296 s.
13. Savin A.P.„Encyklopedický slovník mladého matematika“ - M., Pedagogika, 1985 - 352 s.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.„Didaktické materiály o algebre pre 9. ročník s hĺbkovým štúdiom matematiky“ - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 s.
15. Chulkov P.V.„Rovnice a nerovnice v kurze školskej matematiky. Prednášky 1–4“ – M., 1. september 2006 – 88 s.
16. Chulkov P.V.„Rovnice a nerovnice v kurze školskej matematiky. Prednášky 5–8“ – M., 1. 9. 2009 – 84 s.