GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY ROVINNÝCH SEKCIÍ.

Ako ukazujú skúsenosti, odolnosť tyče voči rôznym deformáciám závisí nielen od rozmerov prierezu, ale aj od tvaru.

Rozmery a tvar prierezu sú charakterizované rôznymi geometrickými charakteristikami: plocha prierezu, statické momenty, momenty zotrvačnosti, momenty odporu atď.

1. Statický moment plochy(moment zotrvačnosti prvého stupňa).

Statický moment zotrvačnosti plocha vzhľadom na ľubovoľnú os je súčtom súčinov elementárnych plôch a vzdialenosti od tejto osi, rozložená po celej ploche (obr. 1)

Obr.1

Vlastnosti statického momentu plochy:

1. Statický moment plochy sa meria v jednotkách dĺžky tretej mocniny (napríklad cm 3).

2. Statický moment môže byť menší ako nula, väčší ako nula a teda rovný nule. Osi, okolo ktorých je statický moment nulový, prechádzajú ťažiskom úseku a nazývajú sa stredové osi.

Ak x c A y c sú súradnice ťažiska, potom

3. Statický moment zotrvačnosti zložitého prierezu vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu statických momentov zložiek jednoduchých prierezov vzhľadom na rovnakú os.

Pojem statického momentu zotrvačnosti vo vede o pevnosti sa používa na určenie polohy ťažiska sekcií, aj keď je potrebné pamätať na to, že v symetrických sekciách leží ťažisko v priesečníku osí symetrie.

2. Moment zotrvačnosti plochých úsekov (obrázkov) (momenty zotrvačnosti druhého stupňa).

A) axiálne(ekvatoriálny) moment zotrvačnosti.

Axiálny moment zotrvačnosti Plocha obrazca vzhľadom na ktorúkoľvek os je súčtom súčinov elementárnych plôch druhou mocninou vzdialenosti k tejto osi rozloženia po celej ploche (obr. 1)

Vlastnosti osového momentu zotrvačnosti.

1. Axiálny moment zotrvačnosti plochy sa meria v jednotkách dĺžky štvrtej mocniny (napríklad cm 4).

2. Axiálny moment zotrvačnosti je vždy väčší ako nula.

3. Osový moment zotrvačnosti zložitého prierezu vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu osových momentov zložiek jednoduchých prierezov vzhľadom na rovnakú os:

4. Veľkosť osového momentu zotrvačnosti charakterizuje schopnosť tyče (nosníka) určitého prierezu odolávať ohybu.

b) Polárny moment zotrvačnosti.

Polárny moment zotrvačnosti Plocha obrazca vzhľadom k akémukoľvek pólu je súčtom súčinov elementárnych plôch druhou mocninou vzdialenosti k pólu, rozložených po celej ploche (obr. 1).

Vlastnosti polárneho momentu zotrvačnosti:

1. Polárny moment zotrvačnosti plochy sa meria v jednotkách dĺžky štvrtej mocniny (napríklad cm 4).

2. Polárny moment zotrvačnosti je vždy väčší ako nula.

3. Polárny moment zotrvačnosti zložitého úseku vzhľadom na ľubovoľný pól (stred) sa rovná súčtu polárnych momentov zložiek jednoduchých úsekov vzhľadom na tento pól.

4. Polárny moment zotrvačnosti úseku sa rovná súčtu osových momentov zotrvačnosti tohto úseku voči dvom vzájomne kolmým osám prechádzajúcich pólom.

5. Veľkosť polárneho momentu zotrvačnosti charakterizuje schopnosť tyče (nosníka) určitého tvaru prierezu odolávať krúteniu.

c) Odstredivý moment zotrvačnosti.

ODstredivý MOMENT ZOTRVAČNOSTI plochy obrazca vzhľadom na akýkoľvek súradnicový systém je súčtom súčinov elementárnych plôch a súradníc, rozšírených na celú plochu (obr. 1)

Vlastnosti odstredivého momentu zotrvačnosti:

1. Odstredivý moment zotrvačnosti plochy sa meria v jednotkách dĺžky štvrtej mocniny (napríklad cm 4).

2. Odstredivý moment zotrvačnosti môže byť väčší ako nula, menší ako nula a rovný nule. Osi, okolo ktorých je odstredivý moment zotrvačnosti nulový, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti. Hlavnými osami budú dve na seba kolmé osi, z ktorých aspoň jedna je osou symetrie. Hlavné osi prechádzajúce ťažiskom oblasti sa nazývajú hlavné centrálne osi a axiálne momenty zotrvačnosti oblasti sa nazývajú hlavné centrálne momenty zotrvačnosti.

3. Odstredivý moment zotrvačnosti zložitého úseku v ľubovoľnom súradnicovom systéme sa rovná súčtu odstredivých momentov zotrvačnosti jednotlivých útvarov v tom istom súradnicovom systéme.

MOMENTY ZOTRVAČNOSTI VZHĽADOM NA PARALELNÉ OSI.

Obr.2

Dané: os x, y– centrálny;

tie. osový moment zotrvačnosti v reze okolo osi rovnobežnej so stredovou sa rovná osovému momentu okolo jej stredovej osi plus súčin plochy a štvorca vzdialenosti medzi osami. Z toho vyplýva, že osový moment zotrvačnosti úseku vzhľadom na stredovú os má v sústave rovnobežných osí minimálnu hodnotu.

Po vykonaní podobných výpočtov pre odstredivý moment zotrvačnosti získame:

J x1y1 = J xy + Aab

tie. Odstredivý moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na osi rovnobežné s centrálnym súradnicovým systémom sa rovná odstredivému momentu v centrálnom súradnicovom systéme plus súčin plochy a vzdialenosti medzi osami.

MOMENTY ZOTRVAČNOSTI V OTOČNOM SÚRADNICOM SYSTÉME

tie. súčet osových momentov zotrvačnosti rezu je konštantná hodnota, nezávisí od uhla natočenia súradnicových osí a rovná sa polárnemu momentu zotrvačnosti voči počiatku. Odstredivý moment zotrvačnosti môže zmeniť svoju hodnotu a zmeniť sa na „0“.

Osi, okolo ktorých je odstredivý moment nulový, budú hlavnými osami zotrvačnosti, a ak prechádzajú ťažiskom, potom sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti a označujú sa „ u" a "".

Momenty zotrvačnosti okolo hlavných centrálnych osí sa nazývajú hlavné centrálne momenty zotrvačnosti a sú označené , a hlavné centrálne momenty zotrvačnosti majú extrémne hodnoty, t.j. jeden je „min“ a druhý je „max“.

Nech uhol „a 0 “ charakterizuje polohu hlavných osí, potom:

Pomocou tejto závislosti určíme polohu hlavných osí. Veľkosť hlavných momentov zotrvačnosti po niektorých transformáciách je určená nasledujúcim vzťahom:

PRÍKLADY URČOVANIA AXIÁLNYCH MOMENTOV ZOTRVAČNOSTI, POLÁRNYCH MOMENTOV ZOTRVAČNOSTI A MOMENTOV ODPORU JEDNODUCHÝCH OBRÁZKOV.

1. Obdĺžnikový rez

Nápravy X a y - tu av iných príkladoch - hlavné centrálne osi zotrvačnosti.

Určme axiálne momenty odporu:

2. Okrúhla pevná časť. Momenty zotrvačnosti.

Ak nakreslíme súradnicové osi cez bod O, potom vzhľadom na tieto osi sú odstredivé momenty zotrvačnosti (alebo produkty zotrvačnosti) množstvá definované rovnosťami:

kde sú hmotnosti bodov; - ich súradnice; je zrejmé, že atď.

Pre pevné telesá majú vzorce (10) analogicky s (5) tvar

Na rozdiel od axiálnych môžu byť odstredivé momenty zotrvačnosti kladné aj záporné veličiny a najmä pri určitom spôsobe výberu osí môžu byť nulové.

Hlavné osi zotrvačnosti. Uvažujme homogénne teleso s osou súmernosti. Súradnicové osi Oxyz nakreslíme tak, aby os smerovala pozdĺž osi súmernosti (obr. 279). Potom v dôsledku symetrie bude každý bod telesa s hmotnosťou mk a súradnicami zodpovedať bodu s iným indexom, ale s rovnakou hmotnosťou a so súradnicami rovnými . Výsledkom je, že keďže v týchto súčtoch sú všetky členy vo veľkosti párovo rovnaké a majú opačné znamienko; odtiaľ, berúc do úvahy rovnosti (10), nájdeme:

Symetria v rozložení hmotností vzhľadom na os z je teda charakterizovaná zánikom dvoch odstredivých momentov zotrvačnosti. Os Oz, pre ktorú sú odstredivé momenty zotrvačnosti obsahujúce názov tejto osi vo svojich indexoch rovné nule, sa nazýva hlavná os zotrvačnosti telesa pre bod O.

Z uvedeného vyplýva, že ak má teleso os súmernosti, tak táto os je hlavnou osou zotrvačnosti telesa pre ktorýkoľvek z jeho bodov.

Hlavná os zotrvačnosti nemusí byť nevyhnutne osou symetrie. Uvažujme homogénne teleso, ktoré má rovinu súmernosti (na obr. 279 je rovinou súmernosti telesa rovina ). Narysujme si do tejto roviny niekoľko osí a na ne kolmú os, potom z dôvodu symetrie bude každý bod s hmotnosťou a súradnicami zodpovedať bodu s rovnakou hmotnosťou a súradnicami rovnými . V dôsledku toho, ako v predchádzajúcom prípade, zistíme, že alebo odkiaľ vyplýva, že os je hlavnou osou zotrvačnosti pre bod O. Ak má teda teleso rovinu symetrie, potom akákoľvek os kolmá na túto rovinu bude hlavná os zotrvačnosti telesa pre bod O, v ktorom os pretína rovinu.

Rovnice (11) vyjadrujú podmienky, že os je hlavnou osou zotrvačnosti telesa pre bod O (počiatok).

Podobne, ak potom os Oy bude hlavnou osou zotrvačnosti pre bod O. Ak sú teda všetky odstredivé momenty zotrvačnosti rovné nule, t.j.

potom každá zo súradnicových osí je hlavnou osou zotrvačnosti telesa pre bod O (počiatok).

Napríklad na obr. 279 všetky tri osi sú hlavnými osami zotrvačnosti pre bod O (os je osou symetrie a osi Ox a Oy sú kolmé na roviny symetrie).

Momenty zotrvačnosti telesa vzhľadom na hlavné osi zotrvačnosti sa nazývajú hlavné momenty zotrvačnosti telesa.

Hlavné osi zotrvačnosti skonštruované pre ťažisko telesa sa nazývajú hlavné centrálne osi zotrvačnosti telesa. Z toho, čo bolo dokázané vyššie, vyplýva, že ak má teleso os súmernosti, potom je táto os jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti telesa, keďže ťažisko leží na tejto osi. Ak má teleso rovinu symetrie, potom os kolmá na túto rovinu a prechádzajúca ťažiskom telesa bude zároveň jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti telesa.

V uvedených príkladoch sa uvažovalo so symetrickými telesami, čo je dostatočné na vyriešenie problémov, s ktorými sa stretneme. Dá sa však dokázať, že cez ktorýkoľvek bod ľubovoľného telesa je možné nakresliť aspoň tri na seba kolmé osi, pre ktoré budú splnené rovnosti (11), t.j. ktoré budú hlavnými osami zotrvačnosti telesa pre tento bod. .

Koncept hlavných osí zotrvačnosti hrá dôležitú úlohu v dynamike tuhého telesa. Ak sú súradnicové osi Oxyz nasmerované pozdĺž nich, potom sa všetky odstredivé momenty zotrvačnosti otočia na nulu a príslušné rovnice alebo vzorce sa výrazne zjednodušia (pozri § 105, 132). S týmto pojmom súvisí aj riešenie úloh o dynamickej rovnici rotujúcich telies (pozri § 136), o stredisku dopadu (pozri § 157) atď.

Pozrime sa na niekoľko ďalších geometrických charakteristík plochých postáv. Jedna z týchto charakteristík je tzv axiálne alebo rovníkový moment zotrvačnosti. Táto charakteristika sa vzťahuje na osi a
(Obr.4.1) má tvar:

;
. (4.4)

Hlavnou vlastnosťou axiálneho momentu zotrvačnosti je, že nemôže byť menší ako nula alebo rovný nule. Tento moment zotrvačnosti je vždy väčší ako nula:
;
. Jednotkou merania osového momentu zotrvačnosti je (dĺžka 4).

Spojte počiatok súradníc s priamkou s nekonečne malou plochou
a označte tento segment písmenom (Obr.4.4). Moment zotrvačnosti útvaru vzhľadom na pól - pôvod - sa nazýva polárny moment zotrvačnosti:

. (4.5)

Tento moment zotrvačnosti, rovnako ako axiálny, je vždy väčší ako nula (
) a má rozmer – (dĺžka 4).

Poďme si to zapísať podmienka invariantnosti súčet rovníkových momentov zotrvačnosti okolo dvoch vzájomne kolmých osí. Z obr. 4.4 je zrejmé, že
.

Dosadením tohto výrazu do vzorca (4.5) dostaneme:

Podmienka invariantnosti je formulovaná takto: súčet osových momentov zotrvačnosti voči ktorýmkoľvek dvom vzájomne kolmým osám je konštantná hodnota a rovná sa polárnemu momentu zotrvačnosti voči priesečníku týchto osí.

Nazýva sa moment zotrvačnosti plochého útvaru voči dvom súčasne kolmým osám dvojosový alebo odstredivé moment zotrvačnosti. Odstredivý moment zotrvačnosti má nasledujúci tvar:

. (4.7)

Odstredivý moment zotrvačnosti má rozmer – (dĺžka 4). Môže byť kladný, záporný alebo nulový. Nazývajú sa osi, okolo ktorých je odstredivý moment zotrvačnosti nulový hlavné osi zotrvačnosti. Dokážme, že os súmernosti rovinného útvaru je hlavnou osou.

Zoberme si plochý obrázok znázornený na obr. 4.5.

Vyberte vľavo a vpravo od osi symetrie dva prvky s nekonečne malou plochou
. Ťažisko celého útvaru je v bode C. Počiatok súradníc umiestnime do bodu C a vertikálne súradnice vybraných prvkov označme písmenom „ “, horizontálne – pre ľavý prvok “
“, pre správny prvok “ " Vypočítajme súčet odstredivých momentov zotrvačnosti pre vybrané prvky s nekonečne malou plochou vzhľadom na osi A :

Ak integrujeme výraz (4.8) zľava a sprava, dostaneme:

, (4.9)

lebo ak os je os symetrie, potom pre každý bod ležiaci naľavo od tejto osi vždy existuje bod symetrický k nej.

Analýzou získaného riešenia dospejeme k záveru, že os symetrie je hlavnou osou zotrvačnosti. Stredová os je tiež hlavnou osou, aj keď to nie je os symetrie, pretože odstredivý moment zotrvačnosti bol vypočítaný súčasne pre dve osi A a ukázalo sa, že je nulový.

DEFINÍCIA

Axiálny (alebo rovníkový) moment zotrvačnosti prierez vzhľadom na os sa nazýva množstvo, ktoré je definované ako:

Výraz (1) znamená, že na výpočet osového momentu zotrvačnosti sa súčet súčinov nekonečne malých plôch () vynásobených druhou mocninou vzdialeností od nich k osi rotácie prevezme na celú plochu S:

Súčet axiálnych momentov zotrvačnosti rezu vzhľadom na vzájomne kolmé osi (napríklad vzhľadom na osi X a Y v karteziánskom súradnicovom systéme) dáva polárny moment zotrvačnosti () vzhľadom na priesečník týchto osí:

DEFINÍCIA

Polárny moment zotrvačnosť sa nazýva moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na nejaký bod.

Axiálne momenty zotrvačnosti sú vždy väčšie ako nula, pretože v ich definíciách (1) je pod znamienkom integrálu hodnota plochy elementárnej plochy (), vždy kladná, a štvorec vzdialenosti od tejto plochy k os.

Ak máme do činenia s prierezom zložitého tvaru, potom pri výpočtoch často využívame skutočnosť, že osový moment zotrvačnosti zložitého prierezu vzhľadom na os sa rovná súčtu osových momentov zotrvačnosti častí tohto prierezu. vzhľadom na rovnakú os. Malo by sa však pamätať na to, že nie je možné zhrnúť momenty zotrvačnosti, ktoré sa vyskytujú vo vzťahu k rôznym osám a bodom.

Osový moment zotrvačnosti voči osi prechádzajúcej ťažiskom úseku má najmenšiu hodnotu zo všetkých momentov voči osám rovnobežným s ním. Moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi () za predpokladu, že je rovnobežná s osou prechádzajúcou cez ťažisko, sa rovná:

kde je moment zotrvačnosti prierezu voči osi prechádzajúcej ťažiskom prierezu; - plocha prierezu; - vzdialenosť medzi osami.

Príklady riešenia problémov

PRÍKLAD 1

Cvičenie	Aký je osový moment zotrvačnosti rovnoramenného trojuholníkového prierezu vzhľadom k osi Z prechádzajúcej ťažiskom () trojuholníka rovnobežne s jeho základňou? Výška trojuholníka je .
Riešenie	Vyberme si pravouhlú elementárnu plochu na trojuholníkovom reze (pozri obr. 1). Nachádza sa vo vzdialenosti od osi otáčania, dĺžka jednej strany je , druhá strana je . Z obr. 1 vyplýva, že: Plocha vybraného obdĺžnika, berúc do úvahy (1.1), sa rovná: Na zistenie osového momentu zotrvačnosti použijeme jeho definíciu v tvare:
Odpoveď

PRÍKLAD 2

Cvičenie	Nájdite osové momenty zotrvačnosti vzhľadom na kolmé osi X a Y (obr. 2) rezu v tvare kruhu, ktorého priemer sa rovná d.
Riešenie	Na vyriešenie problému je vhodnejšie začať nájdením polárneho momentu vzhľadom k stredu úseku (). Rozdeľme celý rez na nekonečne tenké prstence hrúbky , ktorých polomer označíme . Potom nájdeme základnú oblasť ako:

súčin zotrvačnosti, jedna z veličín charakterizujúcich rozloženie hmotností v telese (mechanická sústava). C. m. a. sa vypočítajú ako súčet súčinov hmotností m do body telesa (systému) do dvoch zo súradníc x k, y k, z k tieto body:

Hodnoty C. m. a. závisí od smerov súradnicových osí. V tomto prípade pre každý bod telesa existujú aspoň tri také navzájom kolmé osi, nazývané hlavné osi zotrvačnosti, pre ktoré je odstredivá hmota a. sa rovnajú nule.

Pojem C. m. a. hrá dôležitú úlohu pri štúdiu rotačného pohybu telies. Z hodnôt C. m. a. závisia od veľkosti tlakových síl na ložiská, v ktorých je upevnená os rotujúceho telesa. Tieto tlaky budú najmenšie (rovnajúce sa statickému), ak os rotácie je hlavnou osou zotrvačnosti prechádzajúcou cez ťažisko telesa.

• - ...

  Fyzická encyklopédia

• - ...

  Fyzická encyklopédia

• - pozri Efferent...

  Skvelá psychologická encyklopédia

• - geometrická charakteristika prierezu otvorenej tenkostennej tyče, rovná súčtu súčinov elementárnych prierezových plôch štvorcami sektorových plôch - sektorový zotrvačný moment -...

  Stavebný slovník

• - geometrická charakteristika prierezu tyče rovnajúca sa súčtu súčinov elementárnych prierezov prierezu druhými mocninami ich vzdialeností k uvažovanej osi - zotrvačný moment - moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...

  Stavebný slovník

• - veličina, ktorá charakterizuje rozloženie hmôt v telese a je spolu s hmotnosťou mierou zotrvačnosti telesa, keď sa nehýbe. pohyb. Existujú axiálne a odstredivé M. a. Axiálny M. a. rovná súčtu produktov...
• - hlavné, tri na seba kolmé osi, ktoré možno ťahať cez ktorýkoľvek bod na TV. telies, ktoré sa líšia tým, že ak sa teleso fixované v tomto bode uvedie do rotácie okolo jedného z nich, potom v neprítomnosti...

  Prírodná veda. encyklopedický slovník

• - os v rovine prierezu pevného telesa, voči ktorej sa určuje moment zotrvačnosti rezu - inertial os - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - inerciálna tenkhleg - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - ejee...

  Stavebný slovník

• - okamih, kedy sa tovar odoslaný kupujúcemu považuje za predaný...

  Encyklopedický slovník ekonómie a práva

• - tento pojem zaviedol do vedy Euler, hoci Huygens predtým používal výraz rovnakého druhu, bez toho, aby mu dal špeciálne meno: jeden zo spôsobov, ktorý vedie k jeho definícii, je nasledujúci...

  Encyklopedický slovník Brockhaus a Euphron

• - veličina, ktorá charakterizuje rozloženie hmotností v telese a je spolu s hmotnosťou mierou zotrvačnosti telesa pri netranslačnom pohybe. V mechanike sa rozlišujú mechanizmy a axiálne a odstredivé...
• - hlavné, tri navzájom kolmé osi vedené cez nejaký bod telesa, ktoré majú tú vlastnosť, že ak sa vezmú ako súradnicové osi, potom odstredivé momenty zotrvačnosti telesa voči ...

  Veľká sovietska encyklopédia

• - súčin zotrvačnosti, jedna z veličín charakterizujúcich rozloženie hmotností v telese...

  Veľká sovietska encyklopédia

• - veličina, ktorá charakterizuje rozloženie hmôt v telese a je spolu s hmotnosťou mierou zotrvačnosti telesa, keď sa nepohybuje. pohyb. Existujú axiálne a odstredivé momenty zotrvačnosti...
• - hlavná - tri na seba kolmé osi, ktoré možno viesť cez ktorýkoľvek bod pevného telesa, vyznačujúce sa tým, že ak sa teleso upevnené v tomto bode uvedie do rotácie okolo jednej z nich, potom...

  Veľký encyklopedický slovník

• - ...

  Slovné formy

"Odstredivý moment zotrvačnosti" v knihách

Na rozdiel od zotrvačnosti

Z knihy Sfingy 20. storočia autora Petrov Rem Viktorovič

Na rozdiel od zotrvačnosti

Z knihy Sfingy 20. storočia autora Petrov Rem Viktorovič

Na rozdiel od zotrvačnosti "V posledných dvoch desaťročiach sa imunologická povaha odmietnutia tkanivového transplantátu stala všeobecne akceptovanou a všetky aspekty procesov odmietnutia sú pod prísnou experimentálnou kontrolou." Leslie Brent Fingerprints Takže na otázku „Čo

Zotrvačnosťou

Z knihy Koľko stojí človek? Príbeh zážitku v 12 zošitoch a 6 zväzkoch. autora

Zotrvačnosťou

Z knihy Koľko stojí človek? Zápisník desať: Pod „krídlom“ bane autora Kersnovskaya Evfrosiniya Antonovna

Zotrvačnosťou Ak chcete oceniť krajinu, musíte sa na obrázok pozrieť z určitej vzdialenosti. Na správne posúdenie udalosti je potrebný aj určitý odstup. Platil zákon zotrvačnosti. Zatiaľ čo duch zmien dorazil do Noriľska, dlho sa zdalo, že všetko kĺže

24. Sila zotrvačnosti

Z knihy Éterická mechanika autorka Danina Tatyana

24. Sila zotrvačnosti Éter vyžarovaný zadnou hemisférou zotrvačnej častice je sila zotrvačnosti. Táto zotrvačná sila je odpudzovaním éteru, ktorý napĺňa časticu éterom, ktorý sám emituje. Veľkosť zotrvačnej sily je úmerná rýchlosti emisie

3.3.1. Ponorné odstredivé čerpadlo

Z knihy Váš vlastný inštalatér. Inštalatérske komunikácie v krajine autora Kaškarov Andrej Petrovič

3.3.1. Ponorné odstredivé čerpadlo V tejto časti sa budeme zaoberať variantom s ponorným odstredivým čerpadlom NPTs-750. Pramenitú vodu používam od apríla do októbra. Čerpám ho ponorným odstredivým čerpadlom NPTs-750/5nk (prvé číslo udáva spotrebu energie vo wattoch,