Integrálna (konečná) forma. Veta o zmene kinetickej energie hmotného bodu: zmena kinetickej energie hmotného bodu pri určitom jeho posunutí sa rovná algebraickému súčtu práce všetkých síl pôsobiacich na tento bod pri rovnakom posunutí.

Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému je formulovaná: zmena kinetickej energie mechanického systému pri jeho pohybe z jednej polohy do druhej sa rovná súčtu práce všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na systém počas tohto pohybu:

V prípade nemenného systému sa súčet práce vykonanej vnútornými silami pri akomkoľvek posunutí rovná nule (), potom

Zákon zachovania mechanickej energie. Keď sa mechanický systém pohybuje pod vplyvom síl, ktoré majú potenciál, zmeny kinetickej energie systému sú určené závislosťami:

Kde ,

Súčet kinetických a potenciálnych energií systému sa nazýva celková mechanická energia systémov.

Teda, Keď sa mechanický systém pohybuje v stacionárnom potenciálnom poli, celková mechanická energia systému počas pohybu zostáva nezmenená.

Úloha. Mechanický systém sa pod vplyvom gravitácie dostáva do pohybu zo stavu pokoja. Berúc do úvahy klzné trenie telesa 3, zanedbajúc ostatné odporové sily a hmotnosti závitov, ktoré sa považujú za neroztiahnuteľné, určte rýchlosť a zrýchlenie telesa 1 v okamihu, keď sa dráha, ktorú prejde, rovná. s(obr. 3.70).

V úlohe prijmite:

Riešenie. Na mechanický systém pôsobia aktívne sily , , . Aplikovaním princípu oslobodenia systému od obmedzení ukážeme reakcie kĺbovo-pevnej podpery 2 a hrubého nakloneného povrchu. Znázorníme smery rýchlostí telies sústavy s prihliadnutím na skutočnosť, že teleso 1 klesá.

Vyriešme problém aplikáciou vety o zmene kinetickej energie mechanického systému:

Kde T a je kinetická energia systému v počiatočnej a konečnej polohe; - algebraický súčet práce vykonanej vonkajšími silami pôsobiacimi na systém, aby sa systém posunul z počiatočnej polohy do konečnej polohy; - súčet práce vykonanej vnútornými silami sústavy pri rovnakom posunutí.

Pre uvažovaný systém pozostávajúci z absolútne tuhých telies spojených neroztiahnuteľnými závitmi:

Keďže systém bol vo východiskovej polohe v pokoji, potom . Preto:

Kinetická energia systému je súčtom kinetických energií telies 1, 2, 3:

Kinetická energia záťaže 1 pohybujúcej sa dopredu sa rovná:

Kinetická energia bloku 2 rotujúceho okolo osi Oz, kolmo na rovinu kreslenia:

Kinetická energia telesa 3 pri jeho pohybe dopredu:

teda

Výraz pre kinetickú energiu obsahuje neznáme rýchlosti všetkých telies v systéme. Definícia musí začínať . Zbavme sa zbytočných neznámych vytváraním rovníc súvislostí.

Obmedzujúce rovnice nie sú nič iné ako kinematické vzťahy medzi rýchlosťami a pohybmi bodov v systéme. Pri skladaní obmedzujúcich rovníc vyjadríme všetky neznáme rýchlosti a pohyby telies sústavy cez rýchlosť a pohyb záťaže 1.

Rýchlosť ktoréhokoľvek bodu na ráfiku s malým polomerom sa rovná rýchlosti telesa 1, ako aj súčinu uhlovej rýchlosti telesa 2 a polomeru otáčania r:

Odtiaľto vyjadrujeme uhlovú rýchlosť telesa 2:

Rýchlosť otáčania akéhokoľvek bodu na okraji bloku s veľkým polomerom sa na jednej strane rovná súčinu uhlovej rýchlosti bloku a polomeru otáčania a na druhej strane rýchlosti telesa 3 :

Nahradením hodnoty uhlovej rýchlosti dostaneme:

Po integrovaní výrazov (a) a (b) za počiatočných podmienok napíšeme pomer posunov bodov systému:

Keď poznáme základné závislosti rýchlostí bodov sústavy, vrátime sa k vyjadreniu kinetickej energie a dosadíme do nej rovnice (a) a (b):

Moment zotrvačnosti telesa 2 sa rovná:

Nahradením hodnôt telesnej hmotnosti a momentu zotrvačnosti telesa 2 píšeme:

Určenie súčtu práce všetkých vonkajších síl sústavy pri danom posunutí.

Teraz podľa vety o zmene kinetickej energie mechanického systému porovnávame hodnoty T A

Rýchlosť telesa 1 získame z výrazu (g)

Zrýchlenie telesa 1 možno určiť diferenciáciou rovnosti (g) vzhľadom na čas.

Predstavme si pojem ďalšej základnej dynamickej charakteristiky pohybu – kinetickej energie. Kinetická energia hmotného bodu je skalárna veličina rovnajúca sa polovici súčinu hmotnosti bodu a druhej mocniny jeho rýchlosti.

Jednotka merania kinetickej energie je rovnaká ako práca (v SI - 1 J). Nájdime vzťah, ktorý tieto dve veličiny spája.

Uvažujme hmotný bod s hmotnosťou pohybujúcou sa z polohy, kde má rýchlosť, do polohy, kde je jej rýchlosť

Aby sme získali požadovanú závislosť, obrátime sa na rovnicu vyjadrujúcu základný zákon dynamiky, premietnutím oboch jej častí na dotyčnicu k trajektórii bodu M, smerujúcu v smere pohybu, dostaneme

Predstavme si tangenciálne zrýchlenie bodu, ktorý je tu zahrnutý vo formulári

Vo výsledku to zistíme

Vynásobme obe strany tejto rovnosti a zapíšme ju pod znamienko diferenciálu. Potom, keď si všimneme, že kde je elementárna silová práca, dostaneme vyjadrenie vety o zmene kinetickej energie bodu v diferenciálnom tvare:

Keď teraz integrujeme obe strany tejto rovnosti v rámci limitov zodpovedajúcich hodnotám premenných v bodoch, konečne nájdeme

Rovnica (52) vyjadruje teorém o zmene kinetickej energie bodu v konečnom tvare: zmena kinetickej energie bodu pri nejakom posunutí sa rovná algebraickému súčtu práce všetkých síl pôsobiacich na bod v rovnaký posun.

Prípad neslobodného pohybu. Keď sa bod pohybuje nevoľne, pravá strana rovnosti (52) bude zahŕňať prácu daných (aktívnych) síl a prácu spojovacej reakcie. Obmedzme sa na uvažovanie o pohybe bodu pozdĺž stacionárneho hladkého (bez trenia) povrchu alebo krivky. V tomto prípade bude reakcia N (pozri obr. 233) smerovať kolmo na trajektóriu bodu a. Potom podľa vzorca (44) bude reakčná práca stacionárneho hladkého povrchu (alebo krivky) pre akýkoľvek pohyb bodu rovná nule a z rovnice (52) dostaneme

V dôsledku toho sa pri pohybe po stacionárnom hladkom povrchu (alebo krivke) zmena kinetickej energie bodu rovná súčtu práce vykonanej pri tomto pohybe aktívnych síl pôsobiacich na bod.

Ak povrch (krivka) nie je hladký, potom sa k práci činných síl pripočíta práca trecej sily (pozri § 88). Ak sa plocha (krivka) pohybuje, potom absolútny posun bodu M nemusí byť kolmý na N a potom sa reakčná práca N nebude rovnať nule (napríklad reakčná práca plošiny výťahu).

Riešenie problémov. Veta o zmene kinetickej energie [vzorec (52)] umožňuje vedieť, ako sa mení rýchlosť bodu pri pohybe bodu, určiť prácu pôsobiacich síl (prvý problém dynamiky) alebo poznať prácu pôsobiace sily, určiť, ako sa mení rýchlosť bodu pri pohybe (druhý problém dynamiky). Pri riešení druhého problému, keď sú sily dané, je potrebné vypočítať ich prácu. Ako vyplýva zo vzorcov (44), (44), je to možné len vtedy, keď sú sily konštantné alebo závisia len od polohy (súradníc) pohybujúceho sa bodu, ako je sila pružnosti alebo gravitácie (pozri § 88 ).

Vzorec (52) teda možno priamo použiť na vyriešenie druhého problému dynamiky, keď údaje a požadované veličiny v úlohe zahŕňajú: pôsobiace sily, posunutie bodu a jeho počiatočnú a konečnú rýchlosť (t.j. veličiny) a sily by mali byť konštantné alebo závislé len od polohy (súradníc) bodu.

Veta v diferenciálnom tvare [vzorec (51)] môže byť samozrejme použitá pre akékoľvek pôsobiace sily.

Úloha 98. Bremeno s hmotnosťou kg, vrhané rýchlosťou z bodu A, umiestneného vo výške (obr. 235), má rýchlosť v bode pádu C. Určte, akú prácu vykoná sila odporu vzduchu pôsobiaca na bremeno. počas jeho pohybu

Riešenie. Pri pohybe bremena pôsobí na bremeno gravitačná sila P a sila odporu vzduchu R. Podľa vety o zmene kinetickej energie, ak bremeno považujeme za hmotný bod, máme

Z tejto rovnosti, keďže podľa vzorca nájdeme

Úloha 99. Za podmienok úlohy 96 (pozri [§ 84) určte, ktorou dráhou bremeno prejde pred zastavením (pozri obr. 223, kde je počiatočná poloha bremena a konečná poloha).

Riešenie. Na zaťaženie, ako v úlohe 96, pôsobia sily P, N, F. Na určenie brzdnej dráhy, berúc do úvahy, že podmienky tejto úlohy zahŕňajú aj konštantnú silu F, použijeme vetu o zmene v Kinetická energia

V posudzovanom prípade - rýchlosť bremena v momente zastavenia). Navyše, keďže sily P a N sú kolmé na posunutie, v dôsledku toho sa dostaneme z miesta, kde nájdeme

Podľa výsledkov úlohy 96 sa čas brzdenia zvyšuje úmerne s počiatočnou rýchlosťou a brzdná dráha, ako sme zistili, je úmerná druhej mocnine počiatočnej rýchlosti. Pri aplikácii na pozemnú dopravu to ukazuje, ako sa nebezpečenstvo zvyšuje so zvyšujúcou sa rýchlosťou.

Úloha 100. Na nite dĺžky l je zavesené bremeno o hmotnosti P Niť spolu s bremenom sa odkloní od vertikály pod uhlom (obr. 236, a) a uvoľní sa bez počiatočnej rýchlosti. Pri pohybe pôsobí na záťaž odporová sila R, ktorú približne nahradíme jej priemernou hodnotou Nájdite rýchlosť záťaže v čase, keď závit zviera uhol s kolmicou.

Riešenie. Berúc do úvahy podmienky problému, opäť použijeme vetu (52):

Na zaťaženie pôsobí gravitačná sila P, reakcia odporového vlákna, reprezentovaná jeho priemernou hodnotou R. Pre silu P podľa vzorca (47) pre silu N, keďže nakoniec získame, pre silu pretože podľa vzorca (45) bude (dĺžka s oblúka sa rovná polomeru súčinu l na stredový uhol). Okrem toho, podľa podmienok problému V dôsledku toho rovnosť (a) dáva:

Pri absencii odporu odtiaľto získame známy Galileov vzorec, ktorý samozrejme platí aj pre rýchlosť voľne padajúceho bremena (obr. 236, b).

V uvažovanom probléme Potom, zavedením iného označenia - priemerná odporová sila na jednotku hmotnosti nákladu), nakoniec získame

Úloha 101. V nedeformovanom stave má ventilová pružina dĺžku cm Pri plne otvorenom ventile je jej dĺžka cm a výška zdvihu ventilu cm (obr. 237). Hmotnosť ventilu tuhosti pružiny kg. Zanedbaním účinkov gravitácie a odporových síl určite rýchlosť ventilu v momente jeho zatvorenia.

Riešenie, použime rovnicu

Podľa podmienok problému sa práca vykonáva iba pružnou silou pružiny. Potom to bude podľa vzorca (48).

V tomto prípade

Navyše, nahradením všetkých týchto hodnôt do rovnice (a) nakoniec získame

Úloha 102. Zaťaženie ležiace v strede pružného nosníka (obr. 238) ho vychýli o hodnotu (štatistické vychýlenie nosníka). padá na trám z výšky H.

Riešenie. Rovnako ako v predchádzajúcej úlohe použijeme na riešenie rovnicu (52). V tomto prípade sa počiatočná rýchlosť zaťaženia a jeho konečná rýchlosť (V momente maximálneho vychýlenia lúča) rovnajú nule a rovnica (52) má tvar

Prácu tu vykonáva gravitačná sila P na posunutie a pružná sila nosníka F na posunutie. Navyše, keďže pre nosník dosadením týchto veličín do rovnosti (a) dostaneme

Ale keď je zaťaženie na nosníku v rovnováhe, gravitačná sila je vyvážená silou pružnosti, takže predchádzajúca rovnosť môže byť znázornená v tvare

Riešenie tejto kvadratickej rovnice a zohľadnenie, že podľa podmienok problému by sme mali nájsť

Je zaujímavé si všimnúť, že keď sa to ukáže Preto, ak je bremeno umiestnené v strede vodorovného nosníka, potom sa jeho maximálna deformácia pri spúšťaní bremena bude rovnať dvojnásobku statického. Následne začne záťaž spolu s lúčom oscilovať okolo rovnovážnej polohy. Vplyvom odporu tieto kmity utlmia a sústava sa vyrovná do polohy, v ktorej sa vychýlenie lúča rovná

Úloha 103. Určte minimálnu zvisle smerujúcu počiatočnú rýchlosť, ktorá musí byť udelená telesu, aby sa zdvihlo od povrchu Zeme do danej výšky H (obr. 239). vzdialenosť od stredu Zeme. Zanedbajte odpor vzduchu.

Riešenie. Ak uvažujeme teleso ako hmotný bod s hmotnosťou, použijeme rovnicu

Prácu tu vykonáva gravitačná sila F. Potom pomocou vzorca (50), berúc do úvahy, že v tomto prípade, kde R je polomer Zeme, dostaneme

Keďže v najvyššom bode pri zistenej hodnote práce dáva rovnica (a).

Zoberme si špeciálne prípady:

a) nech je H veľmi malé v porovnaní s R. Potom - hodnota blízka nule. Vydelením čitateľa a menovateľa dostaneme

Pre malé H sa teda dostávame ku Galileovmu vzorcu;

b) nájdime, akou počiatočnou rýchlosťou sa hodené teleso dostane do nekonečna. Vydelením čitateľa a menovateľa A dostaneme

Vyhliadka: Tento článok bol čítaný 49915 krát

Pdf Vyberte jazyk... Ruština Ukrajinčina Angličtina

Krátka recenzia

Celý materiál sa po výbere jazyka stiahne vyššie

Dva prípady transformácie mechanického pohybu hmotného bodu alebo sústavy bodov:

1. mechanický pohyb sa prenáša z jedného mechanického systému do druhého ako mechanický pohyb;
2. mechanický pohyb sa mení na inú formu pohybu hmoty (do formy potenciálnej energie, tepla, elektriny atď.).

Keď sa uvažuje o transformácii mechanického pohybu bez jeho prechodu na inú formu pohybu, mierou mechanického pohybu je vektor hybnosti hmotného bodu alebo mechanického systému. Mierou sily je v tomto prípade vektor silového impulzu.

Keď sa mechanický pohyb zmení na inú formu pohybu hmoty, kinetická energia hmotného bodu alebo mechanického systému pôsobí ako miera mechanického pohybu. Mierou pôsobenia sily pri premene mechanického pohybu na inú formu pohybu je silová práca

Kinetická energia

Kinetická energia je schopnosť tela prekonať prekážku pri pohybe.

Kinetická energia hmotného bodu

Kinetická energia hmotného bodu je skalárna veličina, ktorá sa rovná polovici súčinu hmotnosti bodu a druhej mocniny jeho rýchlosti.

Kinetická energia:

• charakterizuje translačné aj rotačné pohyby;
• nezávisí od smeru pohybu bodov systému a necharakterizuje zmeny v týchto smeroch;
• charakterizuje pôsobenie vnútorných aj vonkajších síl.

Kinetická energia mechanického systému

Kinetická energia sústavy sa rovná súčtu kinetických energií telies sústavy. Kinetická energia závisí od typu pohybu telies systému.

Stanovenie kinetickej energie pevného telesa pre rôzne druhy pohybu.

Kinetická energia translačného pohybu
Počas translačného pohybu sa kinetická energia telesa rovná T=m V 2 /2.

Mierou zotrvačnosti telesa počas translačného pohybu je hmotnosť.

Kinetická energia rotačného pohybu telesa

Pri rotačnom pohybe telesa sa kinetická energia rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti telesa voči osi rotácie a druhej mocnine jeho uhlovej rýchlosti.

Mierou zotrvačnosti telesa počas rotačného pohybu je moment zotrvačnosti.

Kinetická energia telesa nezávisí od smeru otáčania telesa.

Kinetická energia rovinnoparalelného pohybu telesa

Pri rovinnoparalelnom pohybe telesa sa kinetická energia rovná

Dielo sily

Práca sily charakterizuje pôsobenie sily na teleso pri nejakom pohybe a určuje zmenu modulu rýchlosti pohybujúceho sa bodu.

Elementárna sila

Elementárna práca sily je definovaná ako skalárna veličina rovnajúca sa súčinu priemetu sily na dotyčnicu k trajektórii smerujúcej v smere pohybu bodu a nekonečne malého posunutia bodu, smerujúceho pozdĺž nej. dotyčnica.

Práca vykonaná silou pri konečnom premiestnení

Práca vykonaná silou pri konečnom posunutí sa rovná súčtu jej práce na elementárnych rezoch.

Práca sily pri konečnom posunutí M 1 M 0 sa rovná integrálu elementárnej práce pozdĺž tohto premiestnenia.

Práca sily pri posune M 1 M 2 je znázornená oblasťou obrázku ohraničenou osou x, krivkou a ordinátami zodpovedajúcimi bodom M 1 a M 0.

Jednotkou merania práce sily a kinetickej energie v sústave SI je 1 (J).

Vety o práci sily

Veta 1. Práca vykonaná výslednou silou pri určitom posunutí sa rovná algebraickému súčtu práce vykonanej zložkovými silami pri rovnakom posunutí.

Veta 2. Práca vykonaná konštantnou silou na výslednom posunutí sa rovná algebraickému súčtu práce vykonanej touto silou na posunoch komponentov.

Moc

Výkon je veličina, ktorá určuje prácu vykonanú silou za jednotku času.

Jednotkou merania výkonu je 1W = 1 J/s.

Prípady určovania práce síl

Práca vnútorných síl

Súčet práce vykonanej vnútornými silami tuhého telesa pri akomkoľvek pohybe je nulový.

Práca gravitácie

Práca elastickej sily

Práca trecej sily

Práca síl pôsobiacich na rotujúce teleso

Elementárna práca síl pôsobiacich na tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi sa rovná súčinu hlavného momentu vonkajších síl vzhľadom na os otáčania a prírastku uhla natočenia.

Valivý odpor

V kontaktnej zóne stacionárneho valca a roviny dochádza k lokálnej deformácii kontaktného stlačenia, napätie sa rozdeľuje podľa eliptického zákona a línia pôsobenia výslednice N týchto napätí sa zhoduje s líniou pôsobenia zaťaženia. sila na valec Q. Keď sa valec odvaľuje, rozloženie zaťaženia sa stáva asymetrickým s maximom posunutým smerom k pohybu. Výslednica N je posunutá o veľkosť k - rameno sily valivého trenia, ktorá sa nazýva aj koeficient valivého trenia a má rozmer dĺžky (cm)

Veta o zmene kinetickej energie hmotného bodu

Zmena kinetickej energie hmotného bodu pri určitom posunutí sa rovná algebraickému súčtu všetkých síl pôsobiacich na bod pri rovnakom posunutí.

Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému

Zmena kinetickej energie mechanického systému pri určitom posunutí sa rovná algebraickému súčtu vnútorných a vonkajších síl pôsobiacich na hmotné body systému pri rovnakom posunutí.

Veta o zmene kinetickej energie tuhého telesa

Zmena kinetickej energie tuhého telesa (nezmenenej sústavy) pri určitom posunutí sa rovná súčtu vonkajších síl pôsobiacich na body sústavy pri rovnakom posunutí.

Efektívnosť

Sily pôsobiace v mechanizmoch

Sily a dvojice síl (momenty), ktoré pôsobia na mechanizmus alebo stroj, možno rozdeliť do skupín:

1. Hnacie sily a momenty, ktoré vykonávajú pozitívnu prácu (aplikované na hnacie články, napr. tlak plynu na piest v spaľovacom motore).

2. Sily a momenty odporu, ktoré vykonávajú negatívnu prácu:

• užitočný odpor (vykonávajú prácu požadovanú od stroja a sú aplikované na poháňané články, napríklad odpor bremena zdvíhaného strojom),
• odporové sily (napríklad trecie sily, odpor vzduchu atď.).

3. Gravitačné sily a elastické sily pružín (kladná aj záporná práca, pričom práca za celý cyklus je nulová).

4. Sily a momenty pôsobiace na telo alebo stojan zvonku (reakcia základu a pod.), ktoré nefungujú.

5. Interakčné sily medzi článkami pôsobiacimi v kinematických dvojiciach.

6. Zotrvačné sily článkov, spôsobené hmotnosťou a pohybom článkov so zrýchlením, môžu vykonávať pozitívnu, negatívnu prácu a nevykonajú prácu.

Práca síl v mechanizmoch

Keď stroj pracuje v ustálenom stave, jeho kinetická energia sa nemení a súčet práce hnacích síl a odporových síl naň pôsobiacich je nulový.

Práca vynaložená na uvedenie stroja do pohybu je vynaložená na prekonávanie užitočných a škodlivých odporov.

Účinnosť mechanizmu

Mechanická účinnosť pri ustálenom pohybe sa rovná pomeru užitočnej práce stroja k práci vynaloženej na uvedenie stroja do pohybu:

Prvky stroja môžu byť zapojené do série, paralelne a zmiešané.

Účinnosť pri sériovom zapojení

Keď sú mechanizmy zapojené do série, celková účinnosť je menšia ako najnižšia účinnosť jednotlivého mechanizmu.

Účinnosť v paralelnom zapojení

Keď sú mechanizmy zapojené paralelne, celková účinnosť je väčšia ako najnižšia a menšia ako najvyššia účinnosť jednotlivého mechanizmu.

Formát: pdf

Jazyk: ruský, ukrajinský

Príklad výpočtu čelného ozubeného kolesa
Príklad výpočtu čelného ozubeného kolesa. Vykonal sa výber materiálu, výpočet dovolených napätí, výpočet pevnosti v kontakte a ohybe.

Príklad riešenia problému ohybu lúča
V príklade boli skonštruované diagramy priečnych síl a ohybových momentov, bol nájdený nebezpečný úsek a bol vybraný I-nosník. Úloha analyzovala konštrukciu diagramov pomocou diferenciálnych závislostí a vykonala komparatívnu analýzu rôznych prierezov nosníka.

Príklad riešenia problému krútenia hriadeľa
Úlohou je otestovať pevnosť oceľového hriadeľa pri danom priemere, materiáli a dovolenom namáhaní. Pri riešení sa zostrojujú diagramy krútiacich momentov, šmykových napätí a uhlov skrútenia. Vlastná hmotnosť hriadeľa sa neberie do úvahy

Príklad riešenia problému ťah-stlačenie tyče
Úlohou je otestovať pevnosť oceľovej tyče pri stanovených dovolených napätiach. Pri riešení sa zostrojujú diagramy pozdĺžnych síl, normálových napätí a posunov. Vlastná hmotnosť tyče sa neberie do úvahy

Aplikácia vety o zachovaní kinetickej energie
Príklad riešenia úlohy pomocou vety o zachovaní kinetickej energie mechanického systému

Príklad riešenia úlohy pomocou vety o zmene kinetickej energie sústavy s tuhými telesami, blokmi, kladkami a pružinou.

Obsah

Úloha

Mechanický systém pozostáva zo závažia 1 a 2, stupňovitej kladky 3 s polomermi stupňov R 3 = 0,3 m, r3 = 0,1 m a polomer otáčania vzhľadom na os otáčania ρ 3 = 0,2 m, blok 4 polomer R 4 = 0,2 m a pohyblivý blok 5. Blok 5 sa považuje za pevný homogénny valec. Súčiniteľ trenia zaťaženia 2 na rovine f = 0,1 . Telesá systému sú navzájom spojené závitmi prehodenými cez bloky a navinutými na kladke 3. Úseky závitov sú rovnobežné s príslušnými rovinami. Na pohyblivom bloku 5 je pripevnená pružina s koeficientom tuhosti c = 280 N/m.

Pod vplyvom sily F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, v závislosti od posunutia s bodu jeho aplikácie sa systém začne pohybovať zo stavu pokoja. Deformácia pružiny v momente začiatku pohybu je nulová. Pri pohybe na kladku 3 pôsobí konštantný moment M = 1,6 Nm odporové sily (od trenia v ložiskách). Telesné hmotnosti: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Určte hodnotu ťažiska telesa 5 V C 5 v čase, keď sa posunutie s zaťaženia 1 rovná s 1 = 0,2 m.

Poznámka. Pri riešení problému použite teorém o zmene kinetickej energie.

Riešenie problému

Vzhľadom na to: R 3 = 0,3 m, r3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.

Nájsť: V C 5 .

Variabilné označenia

R 3, r 3- polomery stupňov 3 remenice;
ρ 3 - polomer zotrvačnosti kladky 3 vzhľadom na os otáčania;
R 5 - polomer bloku 5;
V 1 , V 2 - rýchlosti telies 1 a 2;
ω 3 - uhlová rýchlosť otáčania kladky 3;
V C 5 - rýchlosť ťažiska C 5 blok 5;
ω 5 - uhlová rýchlosť otáčania bloku 5;
s 1 , s 2 - pohyb telies 1 a 2;
φ 3 - uhol natočenia remenice 3;
s C 5 - pohyb ťažiska C 5 blok 5;
s A, s B - pohyblivé body A a B.

Stanovenie kinematických vzťahov

Vytvorte kinematické vzťahy. Keďže záťaže 1 a 2 sú spojené jedným závitom, ich rýchlosti sú rovnaké:
V 2 = V1.
Pretože závit spájajúci záťaž 1 a 2 je navinutý na vonkajšom stupni kladky 3, body vonkajšieho stupňa kladky 3 sa pohybujú rýchlosťou V 2 = V1. Potom je uhlová rýchlosť otáčania kladky:
.
Rýchlosť ťažiska V C 5 blok 5 sa rovná rýchlosti bodov vnútorného stupňa kladky 3:
.
Rýchlosť bodu K je nulová. Ide teda o okamžitý stred rýchlosti bloku 5. Uhlová rýchlosť otáčania bloku 5:
.
Rýchlosť bodu B - voľného konca pružiny - sa rovná rýchlosti bodu A:
.

Vyjadrime rýchlosti pomocou V C 5 .
;
;
.

Teraz poďme nainštalovať spojenie medzi pohybmi tela a uhlami rotácie kladka a blok. Pretože rýchlosti a uhlové rýchlosti sú časové deriváty posunov a uhlov rotácie
,
potom budú rovnaké spojenia medzi posunmi a uhlami rotácie:
s 2 = s 1;
;
;
.

Stanovenie kinetickej energie systému

Nájdite kinetickú energiu systému. Záťaž 2 vykonáva translačný pohyb rýchlosťou V 2 . Kladka 3 vykonáva rotačný pohyb s uhlovou rýchlosťou otáčania ω 3 . Blok 5 vykonáva planparalelný pohyb. Otáča sa uhlovou rýchlosťou ω 5 a jeho ťažisko sa pohybuje rýchlosťou V C 5 . Kinetická energia systému:
.

Pretože je daný polomer zotrvačnosti remenice vzhľadom na os otáčania, moment zotrvačnosti remenice vzhľadom na os otáčania je určený vzorcom:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Pretože blok 5 je pevný homogénny valec, jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na ťažisko je rovný
.

Pomocou kinematických vzťahov vyjadrujeme všetky rýchlosti cez V C 5 a dosaďte výrazy pre momenty zotrvačnosti do vzorca pre kinetickú energiu.
,
kde sme vstúpili do konštanty
kg.

Zistili sme teda závislosť kinetickej energie systému od rýchlosti ťažiska V C 5 pohyblivý blok:
, kde m = 75 kg.

Stanovenie množstva práce vonkajších síl

Zvážte vonkajšie sily, pôsobiace na systém.
Zároveň neberieme do úvahy ťahové sily nití, keďže nite sú neroztiahnuteľné, a preto nevytvárajú prácu. Z tohto dôvodu neuvažujeme vnútorné napätia pôsobiace v telesách, keďže sú absolútne pevné.
Na teleso 1 (s nulovou hmotnosťou) pôsobí daná sila F.
Na zaťaženie 2 pôsobí gravitácia P 2 = m2 g 2 a trecia sila FT.
Na kladku 3 pôsobí gravitácia P 3 = m3 g, tlaková sila osi N 3 a moment trecích síl M.
Na kladku 4 (s nulovou hmotnosťou) pôsobí tlaková sila osi N 4 .
Na pohyblivý blok 5 pôsobí gravitácia P 5 = m5 g, elastická sila F y pružiny a napínacia sila závitu T K v bode K.

Práca, ktorú sila vykoná pri pohybe bodu jej pôsobenia malým posunom, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov, to znamená súčinu absolútnych hodnôt vektorov F a ds o kosínus uhla medzi ich. Daná sila pôsobiaca na teleso 1 je rovnobežná s pohybom telesa 1. Preto práca vykonaná silou, keď sa teleso 1 posunie o vzdialenosť s 1 rovná sa:


J.

Uvažujme zaťaženie 2. Pôsobí naň gravitačná sila P 2 , povrchová tlaková sila N 2 , napínacia sila nite T 23 , T 24 a trecia sila FT. Keďže sa bremeno nepohybuje vo zvislom smere, priemet jeho zrýchlenia na zvislú os je nulový. Preto sa súčet priemetov síl na vertikálnu os rovná nule:
N 2 - P2 = 0;
N 2 = P2 = m2 g.
Trecia sila:
FT = f N 2 = f m2 g.
Sily P 2 a N 2 kolmo na posunutie s 2 , takže neprodukujú prácu.
Práca trecej sily:
J.

Ak považujeme zaťaženie 2 za izolovaný systém, musíme vziať do úvahy prácu, ktorú vytvárajú ťahové sily závitov T 23 a T 24 . Nás však zaujíma celý systém pozostávajúci z telies 1, 2, 3, 4 a 5. Pre takýto systém sú ťahové sily závitov vnútornými silami. A keďže sú vlákna nepredlžiteľné, súčet ich práce je nulový. V prípade zaťaženia 2 je potrebné vziať do úvahy aj ťahové sily závitov pôsobiace na kladku 3 a blok 4. Sú rovnako veľké a opačné v smere ako sily T. 23 a T 24 . Preto je práca vykonaná napínacími silami závitov 23 a 24 pri zaťažení 2 rovnaká a v opačnom znamienku ako práca vykonaná napínacími silami týchto závitov cez kladku 3 a blok 4. Výsledkom je, že množstvo práca vyvolaná ťahovými silami závitov je nulová.

Uvažujme kladku 3. Keďže sa jej ťažisko nepohybuje, práca vykonaná gravitáciou P 3 rovná nule.
Pretože os C 3 je nehybná, potom tlaková sila osi N 3 neprodukuje prácu.
Práca vykonaná krútiacim momentom sa vypočíta podobne ako práca vykonaná silou:
.
V našom prípade vektory momentu trecích síl a uhla natočenia kladky smerujú pozdĺž osi rotácie kladky, ale v opačnom smere. Preto práca momentu trecích síl:
J.

Pozrime sa na blok 5.
Keďže rýchlosť bodu K je nulová, sila T K nevytvára prácu.
Ťažisko bloku C 5 posunuli o vzdialenosť s C 5 hore. Preto práca vykonaná gravitáciou bloku je:
J.
Práca vykonaná pružnou silou pružiny sa rovná zmene potenciálnej energie pružiny so znamienkom mínus. Keďže pružina nie je najprv deformovaná, potom
J.

Súčet práce všetkých síl:

J.

Aplikácia vety o zmene kinetickej energie systému

Aplikujme vetu o zmene kinetickej energie systému v integrálnom tvare.
.
Keďže systém bol na začiatku v pokoji, jeho kinetická energia na začiatku pohybu je
T 0 = 0 .
Potom
.
Odtiaľ
pani.

Kinetická energia mechanického systému pozostáva z kinetických energií všetkých jeho bodov:

Získame diferencovanie každej časti tejto rovnosti vzhľadom na čas

Pomocou základného zákona dynamiky Komu bod systému m k 2i k= Fj., dostaneme sa k rovnosti

Skalárny súčin sily F a rýchlosti v v mieste jej pôsobenia sa nazýva silová moc a označujú R:

Pomocou tohto nového zápisu reprezentujeme (11.6) v nasledujúcom tvare:

Výsledná rovnosť vyjadruje diferenciálny tvar vety o zmene kinetickej energie: rýchlosť zmeny kinetickej energie mechanického systému sa rovná súčtu jmocnín všetkých cm pôsobiacich na systém.

Prezentácia derivátu f v (8.5) v zlomkovej forme -- a výkon

potom oddelením premenných dostaneme:

Kde dT- diferenciál kinetickej energie, t.j. jeho zmena za nekonečne malé časové obdobie dr, dr k = k dt - elementárny pohyb do- body systému, t.j. pohyb v čase dt.

Skalárny súčin sily F a elementárneho posunutia DR jeho aplikačné body sa nazývajú základná práca sily a označujú dA:

Pomocou vlastností skalárneho súčinu môžeme elementárnu prácu sily reprezentovať aj vo forme

Tu ds = dr - dĺžka oblúka trajektórie bodu pôsobenia sily, zodpovedajúca jeho elementárnemu posunutiu s/g; A - uhol medzi smermi vektora sily F a vektorom elementárneho posunutia c/r; F„ F y, F,- projekcie vektora sily F na karteziánske osi; dx, dy, dz - projekcie na karteziánske osi vektora elementárneho posunutia s/g.

Ak vezmeme do úvahy zápis (11.9), rovnosť (11.8) môže byť reprezentovaná v tejto forme:

tie. diferenciál kinetickej energie sústavy sa rovná súčtu elementárnych prác všetkých síl pôsobiacich na sústavu. Táto rovnosť, podobne ako (11.7), vyjadruje diferenciálny tvar vety o zmene kinetickej energie, ale od (11.7) sa líši tým, že nepoužíva derivácie, ale infinitezimálne prírastky - diferenciály.

Vykonaním integrácie rovnosti po členoch (11.12) získame

kde sa ako integračné limity používajú: 7 0 - kinetická energia systému v určitom časovom okamihu? 0; 7) - kinetická energia systému v čase TX.

Určité integrály v čase alebo A(F):

Poznámka 1. Na výpočet práce je niekedy vhodnejšie použiť neoblúkovú parametrizáciu trajektórie Pani), a koordinovať M(x(t), y(/), z(f)). V tomto prípade je pre elementárnu prácu prirodzené vziať reprezentáciu (11.11) a reprezentovať krivočiary integrál v tvare:

Ak vezmeme do úvahy zápis (11.14) práce na konečnom posunutí, rovnosť (11.13) má tvar

a predstavuje konečnú podobu vety o zmene kinetickej energie mechanického systému.

Veta 3. Zmena kinetickej energie mechanického systému pri jeho pohybe z východiskovej polohy do konečnej polohy sa rovná súčtu práce všetkých síl pôsobiacich na body systému pri tomto pohybe.

Komentujte 2. Pravá strana rovnosti (11.16) zohľadňuje prácu zo všetkých síl, pôsobiace na systém, vonkajší aj vnútorný. Napriek tomu existujú mechanické systémy, pre ktoré je celková práca vykonaná všetkými vnútornými silami nulová. Ego tzv nemenné systémy, v ktorom sa nemenia vzdialenosti medzi vzájomne pôsobiacimi hmotnými bodmi. Napríklad systém pevných telies spojených pántmi bez trenia alebo pružnými neroztiahnuteľnými závitmi. Pre takéto sústavy v rovnosti (11.16) stačí brať do úvahy len prácu vonkajších síl, t.j. veta (11.16) má tvar: