Pre hmotný bod možno základný zákon dynamiky znázorniť ako
Vynásobením oboch strán tohto vzťahu vľavo vektorovým vektorom polomeru (obr. 3.9) dostaneme
(3.32)
Na pravej strane tohto vzorca máme moment sily vzhľadom na bod O. Ľavú stranu transformujeme použitím vzorca pre deriváciu vektorového súčinu
ale 
ako vektorový súčin paralelných vektorov. Po tomto dostaneme
(3.33)
Prvá derivácia vzhľadom na čas momentu hybnosti bodu voči akémukoľvek stredu sa rovná momentu sily voči rovnakému stredu.
 |
Príklad výpočtu momentu hybnosti sústavy. Vypočítajte kinetický moment vzhľadom na bod O sústavy pozostávajúcej z valcového hriadeľa s hmotnosťou M = 20 kg a polomerom R = 0,5 ma klesajúceho zaťaženia s hmotnosťou m = 60 kg (obrázok 3.12). Hriadeľ sa otáča okolo osi Oz uhlovou rýchlosťou ω = 10 s -1.
Obrázok 3.12
; ; 
Pre dané vstupné údaje moment hybnosti systému
Veta o zmene momentu hybnosti sústavy. Výsledné vonkajšie a vnútorné sily aplikujeme na každý bod systému. Pre každý bod systému môžete použiť vetu o zmene momentu hybnosti, napríklad vo forme (3.33)
Sčítaním cez všetky body systému a berúc do úvahy, že súčet derivácií sa rovná derivácii súčtu, dostaneme
Určením kinetického momentu sústavy a vlastností vonkajších a vnútorných síl
Preto môže byť výsledný vzťah reprezentovaný ako
Prvá časová derivácia momentu hybnosti systému vzhľadom na akýkoľvek bod sa rovná hlavnému momentu vonkajších síl pôsobiacich na systém vzhľadom na ten istý bod.
3.3.5. Dielo sily
1) Elementárna práca sily sa rovná skalárnemu súčinu sily a diferenciálneho polomeru vektora bodu pôsobenia sily (obr. 3.13) Obr.
Obrázok 3.13
Výraz (3.36) možno zapísať aj v nasledujúcich ekvivalentných formách
kde je priemet sily na smer rýchlosti bodu pôsobenia sily.
2) Práca sily na konečnom premiestnení
Integráciou elementárnej práce sily získame nasledujúce výrazy pre prácu sily pri konečnom premiestnení z bodu A do bodu B
3) Práca konštantnej sily
Ak je sila konštantná, tak z (3.38) to vyplýva
Práca konštantnej sily nezávisí od tvaru trajektórie, ale závisí len od vektora posunutia bodu pôsobenia sily.
4) Práca hmotnosti
Pre silu závažia (obr. 3.14) a z (3.39) získame
Obrázok 3.14
Ak dôjde k pohybu z bodu B do bodu A, potom
Všeobecne
Znamienko „+“ zodpovedá pohybu bodu pôsobenia sily smerom nadol, znamienko „-“ – smerom nahor.
4) Práca elastickej sily
Nech os pružiny smeruje pozdĺž osi x (obr. 3.15) a koniec pružiny sa pohybuje z bodu 1 do bodu 2, potom z (3.38) získame 
Ak je tuhosť pružiny s, tak potom
A 
(3.41)
Ak sa koniec pružiny presunie z bodu 0 do bodu 1, potom v tomto výraze nahradíme , , potom bude mať práca elastickej sily tvar
(3.42)
kde je predĺženie pružiny.
Obrázok 3.15
5) Práca sily pôsobiaca na rotujúce teleso. Dielo okamihu.
Na obr. Obrázok 3.16 znázorňuje rotujúce teleso, na ktoré pôsobí ľubovoľná sila. Pri rotácii sa bod pôsobenia tejto sily pohybuje po kružnici.
V niektorých problémoch sa namiesto samotnej hybnosti považuje za dynamickú charakteristiku pohybujúceho sa bodu jej moment vzhľadom na nejaký stred alebo os. Tieto momenty sú definované rovnakým spôsobom ako momenty sily.
Hybné množstvo pohybu hmotný bod vzhľadom na nejaký stred O sa nazýva vektor definovaný rovnosťou
Moment hybnosti bodu sa tiež nazýva kinetický moment .
Spád vzhľadom k akejkoľvek osi, prechádzajúcej stredom O, sa rovná priemetu vektora hybnosti na túto os.
Ak je hybnosť daná jej projekciami na súradnicové osi a sú dané súradnice bodu v priestore, potom sa uhlová hybnosť vzhľadom na počiatok vypočíta takto:
Priemet momentu hybnosti na súradnicové osi sa rovnajú:
Jednotkou SI hybnosti je – .
Koniec práce -
Táto téma patrí do sekcie:
Dynamika
Prednáška.. súhrnný úvod do dynamiky, axiómy klasickej mechaniky.. úvod..
Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze diel:
Čo urobíme s prijatým materiálom:
Ak bol tento materiál pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:
| Tweetujte |
Všetky témy v tejto sekcii:
Jednotkové systémy
SGS Si Technická [L] cm m m [M]
Diferenciálne pohybové rovnice bodu
Základnú rovnicu dynamiky možno napísať nasledovne
Základné úlohy dynamiky
Prvý alebo priamy problém: Hmotnosť bodu a zákon jeho pohybu sú známe, je potrebné nájsť silu pôsobiacu na bod. m
Najdôležitejšie prípady
1. Sila je konštantná.
Množstvo pohybu bodu
Množstvo pohybu hmotného bodu je vektor rovný súčinu m
Impulz elementárnej a plnej sily
Pôsobenie sily na hmotný bod v čase
Veta o zmene hybnosti bodu
Veta. Časová derivácia hybnosti bodu sa rovná sile pôsobiacej na bod. Napíšme si základný zákon dynamiky
Veta o zmene momentu hybnosti bodu
Veta. Časová derivácia momentu hybnosti bodu vzhľadom k nejakému stredu sa rovná momentu sily pôsobiacej na bod vzhľadom k tomu istému
Dielo sily. Moc
Jedna z hlavných charakteristík sily, ktorá hodnotí vplyv sily na teleso pri nejakom pohybe.
Veta o zmene kinetickej energie bodu
Veta. Diferenciál kinetickej energie bodu sa rovná elementárnej práci sily pôsobiacej na bod.
D'Alembertov princíp pre hmotný bod
Pohybová rovnica hmotného bodu vzhľadom na inerciálny referenčný systém pri pôsobení pôsobiacich aktívnych síl a väzbových reakčných síl má tvar:
Dynamika nevoľného hmotného bodu
Nevoľný hmotný bod je bod, ktorého sloboda pohybu je obmedzená. Telesá, ktoré obmedzujú voľnosť pohybu bodu, sa nazývajú spojenia
Relatívny pohyb hmotného bodu
V mnohých dynamických problémoch sa pohyb hmotného bodu zvažuje vzhľadom na referenčnú sústavu pohybujúcu sa vzhľadom na inerciálnu referenčnú sústavu.
Špeciálne prípady relatívneho pohybu
1. Relatívny pohyb zotrvačnosťou Ak sa hmotný bod pohybuje vzhľadom na pohybujúcu sa referenčnú sústavu priamočiaro a rovnomerne, potom sa takýto pohyb nazýva relatívny
Geometria hmôt
Uvažujme mechanický systém, ktorý pozostáva z konečného počtu hmotných bodov s hmotnosťou
Momenty zotrvačnosti
Na charakterizáciu rozloženia hmotností v telesách pri uvažovaní o rotačných pohyboch je potrebné zaviesť pojmy momentov zotrvačnosti. Moment zotrvačnosti okolo bodu
Momenty zotrvačnosti najjednoduchších telies
1. Rovnomerná tyč 2. Obdĺžnikový tanier 3. Rovnomerný okrúhly kotúč
Množstvo pohybu systému
Veličina pohybu sústavy hmotných bodov je vektorovým súčtom veličín
Veta o zmene hybnosti systému
Táto veta prichádza v troch rôznych formách. Veta. Časová derivácia hybnosti sústavy sa rovná vektorovému súčtu všetkých vonkajších síl, ktoré na ňu pôsobia
Zákony zachovania hybnosti
1. Ak je hlavný vektor všetkých vonkajších síl systému nulový (), potom je veľkosť pohybu systému konštantná
Veta o pohybe ťažiska
Veta Ťažisko sústavy sa pohybuje rovnako ako hmotný bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti celej sústavy, ak na bod pôsobia všetky vonkajšie sily pôsobiace na bod.
Hybnosť systému
Moment hybnosti sústavy hmotných bodov vo vzťahu k niekt
Moment hybnosti tuhého telesa vzhľadom na os otáčania pri rotačnom pohybe tuhého telesa
Vypočítajme moment hybnosti tuhého telesa vzhľadom na os rotácie.
Veta o zmene momentu hybnosti systému
Veta. Časová derivácia momentu hybnosti systému vzhľadom k nejakému stredu sa rovná vektorovému súčtu momentov vonkajších síl pôsobiacich na
Zákony zachovania momentu hybnosti
1. Ak je hlavný moment vonkajších síl sústavy vzhľadom na bod rovný nule (
Kinetická energia systému
Kinetická energia systému je súčtom kinetických energií všetkých bodov systému.
Kinetická energia pevnej látky
1. Pohyb tela dopredu. Kinetická energia tuhého telesa pri posuvnom pohybe sa vypočíta rovnakým spôsobom ako pre jeden bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti tohto telesa.
Veta o zmene kinetickej energie systému
Táto veta prichádza v dvoch formách. Veta. Diferenciál kinetickej energie systému sa rovná súčtu elementárnych prác všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na systém.
Najprv sa pozrime na prípad jedného hmotného bodu. Nech je hmotnosť hmotného bodu M, jeho rýchlosť a množstvo pohybu.
Vyberme bod O v okolitom priestore a zostrojme moment vektora vzhľadom k tomuto bodu podľa rovnakých pravidiel, podľa ktorých sa moment sily počíta v statike. Dostaneme vektorovú veličinu
ktorý sa nazýva moment hybnosti hmotného bodu voči stredu O (obr. 31).
Zostrojme kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxyz s počiatkom v strede O a na tieto osi premietneme vektor ko. Jeho projekcie na tieto osi, ktoré sa rovnajú momentom vektora vzhľadom na príslušné súradnicové osi, sa nazývajú momenty hybnosti hmotného bodu vzhľadom na súradnicové osi:
Majme teraz mechanický systém pozostávajúci z N hmotných bodov. V tomto prípade je možné určiť moment hybnosti pre každý bod systému:
Geometrický súčet momentu hybnosti všetkých hmotných bodov, ktoré tvoria systém, sa nazýva hlavný moment hybnosti alebo kinetický moment systému.
Veľkosť pohybu systému ako vektorovú veličinu určujú vzorce (4.12) a (4.13).
Veta. Derivácia hybnosti systému vzhľadom na čas sa rovná geometrickému súčtu všetkých vonkajších síl, ktoré naň pôsobia.
V projekciách kartézskych osí získame skalárne rovnice.
Môžete napísať vektor
(4.28)
a skalárne rovnice
Ktoré vyjadrujú teorém o zmene hybnosti systému v integrálnom tvare: zmena hybnosti systému za určité časové obdobie sa rovná súčtu impulzov za rovnaké časové obdobie. Pri riešení úloh sa častejšie používajú rovnice (4.27).
Zákon zachovania hybnosti
Veta o zmene momentu hybnosti
Veta o zmene momentu hybnosti bodu voči stredu: časová derivácia momentu hybnosti bodu voči pevnému stredu sa rovná vektorovému momentu sily pôsobiacemu na bod voči rovnakému stredu.
Alebo 
(4.30)
Porovnaním (4.23) a (4.30) vidíme, že momenty vektorov a súvisia rovnakou závislosťou, ako súvisia vektory a samotné (obr. 4.1). Ak premietneme rovnosť na os prechádzajúcu stredom O, dostaneme
(4.31)
Táto rovnosť vyjadruje vetu o momente hybnosti bodu vzhľadom na os.
|
(4.32)
Ak premietneme výraz (4.32) na os prechádzajúcu stredom O, dostaneme rovnosť charakterizujúcu vetu o zmene momentu hybnosti voči osi.
(4.33)
Dosadením (4.10) do rovnosti (4.33) môžeme diferenciálnu rovnicu rotujúceho tuhého telesa (kolesá, nápravy, hriadele, rotory atď.) zapísať v troch tvaroch.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Preto je vhodné použiť teorém o zmene kinetického momentu na štúdium pohybu tuhého telesa, ktorý je v technike veľmi bežný, jeho rotáciu okolo pevnej osi.
Zákon zachovania momentu hybnosti sústavy
1. Nech vo výraze (4.32) .
Potom z rovnice (4.32) vyplýva, že t.j. ak je súčet momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém vzhľadom k danému stredu rovný nule, potom bude kinetický moment systému voči tomuto stredu číselne a smerovo konštantný.
2. Ak , potom . Ak je teda súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na systém vzhľadom na určitú os nulový, potom bude kinetický moment systému vzhľadom na túto os konštantnou hodnotou.
Tieto výsledky vyjadrujú zákon zachovania momentu hybnosti.
V prípade rotujúceho tuhého telesa z rovnosti (4.34) vyplýva, že ak , tak . Odtiaľ prichádzame k nasledujúcim záverom:
Ak je systém nemenný (absolútne tuhé teleso), potom sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou.
Ak je systém meniteľný, potom . S nárastom (potom sa jednotlivé prvky systému vzďaľujú od osi otáčania) uhlová rýchlosť klesá, pretože , a pri znižovaní rastie, teda v prípade premennej sústavy je možné pomocou vnútorných síl meniť uhlovú rýchlosť.
Druhá úloha D2 testu je venovaná vete o zmene momentu hybnosti sústavy voči osi.
Problém D2
Homogénna horizontálna plošina (kruhová s polomerom R alebo obdĺžniková so stranami R a 2R, kde R = 1,2 m) s hmotnosťou kg sa otáča uhlovou rýchlosťou okolo vertikálnej osi z, vzdialenej od ťažiska C plošiny v bode a vzdialenosť OC = b (obr. E2.0 – D2.9, tabuľka D2); Rozmery pre všetky pravouhlé plošiny sú znázornené na obr. D2.0a (pohľad zhora).
V čase sa náklad D s hmotnosťou kg začne pohybovať po sklze plošiny (pod vplyvom vnútorných síl) podľa zákona, kde s je vyjadrené v metroch, t - v sekundách. Zároveň sa dvojica síl s momentom M (uvedený v newtonometroch; pri M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Určte, pri zanedbaní hmotnosti hriadeľa, závislosť t.j. uhlová rýchlosť plošiny ako funkcia času.
Na všetkých obrázkoch je zaťaženie D zobrazené v polohe, v ktorej s > 0 (keď s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Inštrukcie.Úloha D2 – aplikovať vetu o zmene momentu hybnosti sústavy. Pri aplikácii vety na systém pozostávajúci z plošiny a zaťaženia sa moment hybnosti systému vzhľadom na os z určí ako súčet momentov plošiny a zaťaženia. Treba brať do úvahy, že absolútna rýchlosť záťaže je súčtom relatívnej a prenosnej rýchlosti, t.j. . Preto množstvo pohybu tohto nákladu 
. Potom môžete použiť Varignonovu vetu (statiku), podľa ktorej ; tieto momenty sa počítajú rovnako ako momenty síl. Riešenie je podrobnejšie vysvetlené v príklade D2.
Pri riešení úlohy je užitočné znázorniť na pomocnom výkrese pohľad na plošinu zhora (od konca Z), ako je to na obr. D2.0, a – D2.9, a.
Moment zotrvačnosti dosky s hmotnosťou m voči osi Cz, kolmej na dosku a prechádzajúcej jej ťažiskom, sa rovná: pre pravouhlú dosku so stranami a
;
Pre okrúhlu platňu s polomerom R
| Číslo podmienky | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5 t -0,6 t 0,8 t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Príklad D2. Homogénna horizontálna plošina (obdĺžniková so stranami 2l a l), ktorá má hmotnosť, je pevne pripevnená k vertikálnemu hriadeľu a otáča sa s ním okolo osi z s uhlovou rýchlosťou (obr. E2a ). V okamihu času začne na hriadeľ pôsobiť krútiaci moment M, smerujúci opačne ; súčasne náklad D hmota nachádzajúca sa v priekope AB v bode S, sa začne pohybovať po žľabe (pod vplyvom vnútorných síl) podľa zákona s = CD = F(t).
Vzhľadom na to: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4 t 2 (s - v metroch, t - v sekundách), M= kt, Kde k= 6 Nm/s. Určte: - zákon zmeny uhlovej rýchlosti plošiny.
Riešenie. Zvážte mechanický systém pozostávajúci z plošiny a nákladu D. Na určenie w aplikujeme vetu o zmene momentu hybnosti systému vzhľadom na os z:
(1)
Znázornime vonkajšie sily pôsobiace na systém: gravitačnú silu reakcie a krútiaci moment M. Keďže sily a sú rovnobežné s osou z a reakcie túto os pretínajú, ich momenty vzhľadom na os z sú rovné nula. Potom, ak vezmeme do úvahy kladný smer pre daný moment (t. j. proti smeru hodinových ručičiek), dostaneme 
a rovnica (1) bude mať tento tvar.
Smer a veľkosť momentu hybnosti sa určuje presne rovnakým spôsobom ako v prípade odhadu momentu sily (časť 1.2.2).
Zároveň definujeme ( hlavný) moment hybnosti ako vektorový súčet momentov počtu pohybov bodov uvažovaného systému. Má aj druhé meno - kinetický moment :
Nájdite časovú deriváciu výrazu (3.40) pomocou pravidiel na derivovanie súčinu dvoch funkcií a tiež skutočnosť, že derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií (t. j. znamienko súčtu môže byť posunutý ako koeficient počas diferenciácie):
.
Zoberme do úvahy zrejmé kinematické rovnosti: 
. potom: 
. Používame priemernú rovnicu zo vzorcov (3.26) 
a tiež skutočnosť, že vektorový súčin dvoch kolineárnych vektorov ( a ) je rovný nule, získame:
Aplikovaním vlastnosti vnútorných síl (3.36) na 2. člen získame výraz pre vetu o zmene hlavného momentu hybnosti mechanickej sústavy:
 .
| (3.42) |
Časová derivácia kinetického momentu sa rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich v sústave.
Táto formulácia sa často nazýva stručne: momentová veta .
Treba poznamenať, že teorém momentov je formulovaný v pevnej vzťažnej sústave vzhľadom na určitý pevný stred O. Ak sa tuhé teleso považuje za mechanický systém, potom je vhodné zvoliť stred O na osi otáčania. tela.
Treba poznamenať jednu dôležitú vlastnosť momentovej vety (uvádzame ju bez odvodenia). Veta o momentoch platí aj v translačne sa pohybujúcej referenčnej sústave, ak je ťažisko (bod C) telesa (mechanického systému) zvolené ako jeho stred:
Formulácia vety v tomto prípade zostáva prakticky rovnaká.
Dôsledok 1
Nech sa pravá strana výrazu (3.42) rovná nule =0, - systém je izolovaný. Potom z rovnice (3.42) vyplýva, že .
Pre izolovaný mechanický systém sa vektor kinetického momentu systému nemení ani v smere, ani v čase.
Dôsledok 2
Ak sa pravá strana niektorého z výrazov (3.44) rovná nule, napríklad pre os Oz: =0 (čiastočne izolovaná sústava), potom z rovníc (3.44) vyplýva: =konšt.
V dôsledku toho, ak je súčet momentov vonkajších síl vzhľadom na ktorúkoľvek os nulový, potom sa axiálny kinetický moment systému pozdĺž tejto osi v priebehu času nemení.
Formulácie uvedené vyššie v dôsledkoch sú výrazy zákon zachovania momentu hybnosti v izolovaných sústavách .
Hybnosť tuhého telesa
Uvažujme špeciálny prípad - rotáciu tuhého telesa okolo osi Oz (obr. 3.4).
Obr.3.4
Bod na telese oddelený od osi otáčania o vzdialenosť h k, rotuje v rovine rovnobežnej s Oxy rýchlosťou . V súlade s definíciou osového momentu používame výraz (1.19), ktorý nahrádza projekciu F Sila XY na túto rovinu veľkosťou pohybu bodu 
. Odhadnime osový kinetický moment telesa:
Podľa Pytagorovej vety 
, preto (3.46) možno zapísať takto:
 | (3.47) |
Potom výraz (3.45) bude mať tvar:
| (3.48) |
Ak použijeme zákon zachovania momentu hybnosti pre čiastočne izolovanú sústavu (2. dôsledok) vo vzťahu k pevnému telesu (3.48), dostaneme . V tomto prípade môžete zvážiť dve možnosti:
OTÁZKY PRE SEBAOVLÁDANIE
1. Ako sa určuje moment hybnosti rotujúceho tuhého telesa?
2. Ako sa líši osový moment zotrvačnosti od osového kinetického momentu?
3. Ako sa mení rýchlosť otáčania tuhého telesa v čase pri absencii vonkajších síl?
Axiálny moment zotrvačnosti tuhého telesa
Ako uvidíme neskôr, osový moment zotrvačnosti telesa má pre rotačný pohyb telesa rovnaký význam ako hmotnosť telesa pri jeho translatívnom pohybe. Toto je jedna z najdôležitejších charakteristík telesa, určujúca zotrvačnosť telesa pri jeho otáčaní. Ako vidno z definície (3.45), ide o kladnú skalárnu veličinu, ktorá závisí od hmotností bodov sústavy, ale vo väčšej miere od vzdialenosti bodov od osi rotácie.
Pre spojité homogénne telesá jednoduchých tvarov sa hodnota osového momentu zotrvačnosti, ako v prípade odhadu polohy ťažiska (3.8), vypočítava integračnou metódou, pričom sa namiesto hmotnosti elementárneho objemu. diskrétna hmota dm=ρdV:
 | (3.49) |
Pre porovnanie uvádzame hodnoty momentov zotrvačnosti pre niektoré jednoduché telesá:
m a dĺžka l vzhľadom na os prechádzajúcu kolmo na tyč cez jej stred (obr. 3.5).
Obr.3.5
Moment zotrvačnosti tenkej homogénnej tyče s hmotou m a dĺžka l vzhľadom k osi prechádzajúcej kolmo na tyč cez jej koniec (obr. 3.6).
Obr.3.6
Moment zotrvačnosti tenkého homogénneho prstenca hmoty m a polomer R vzhľadom na os prechádzajúcu jeho stredom kolmo na rovinu prstenca (obr. 3.7).
Obr.3.7
Moment zotrvačnosti tenkého homogénneho disku s hmotnosťou m a polomer R vzhľadom na os prechádzajúcu jeho stredom kolmo na rovinu disku (obr. 3.7).
Obr.3.8
· Moment zotrvačnosti telesa ľubovoľného tvaru.
Pre telesá ľubovoľného tvaru sa moment zotrvačnosti zapisuje v nasledujúcom tvare:
Kde ρ - tzv polomer otáčania teleso, alebo polomer určitého konvenčného prstenca s hmotnosťou m, ktorého osový moment zotrvačnosti sa rovná momentu zotrvačnosti daného telesa.
Huygensova-Steinerova veta
Obr.3.9
Spojme s telom dva paralelné súradnicové systémy. Prvý Cx"y"z" s počiatkom v ťažisku sa nazýva centrálny a druhý Oxyz so stredom O leží na osi Cx" vo vzdialenosti CO = d(obr. 3.9). Je ľahké vytvoriť spojenie medzi súradnicami bodov tela v týchto systémoch:
V súlade so vzorcom (3.47) moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os Oz:
Tu sú faktory 2 konštantné pre všetky členy 2. a 3. súčtu pravej strany d A d z príslušných súm. Súčet hmotností v treťom člene je telesná hmotnosť. Druhý súčet v súlade s (3.7) určuje súradnicu ťažiska C na osi Cx" () a rovnosť je zrejmá: . Berúc do úvahy, že 1. člen je podľa definície momentom zotrvačnosť tela vzhľadom na stredovú os Cz" (alebo Z C ) 
, získame formuláciu Huygensovej - Steinerovej vety:
 | (3.50) |
Moment zotrvačnosti telesa voči určitej osi sa rovná súčtu momentu zotrvačnosti telesa voči rovnobežnej stredovej osi a súčinu hmotnosti telesa so štvorcom vzdialenosti medzi týmito osami.
OTÁZKY PRE SEBAOVLÁDANIE
1. Uveďte vzorce pre osové momenty zotrvačnosti tyče, krúžku, disku.
2. Nájdite polomer otáčania okrúhleho plného valca vzhľadom na jeho stredovú os.
