(pi / 4) tromi spôsobmi.

Najprv.
Táto metóda sa najčastejšie používa pri riešení goniometrických rovníc v škole. Spočíva v použití , ktorý obsahuje hodnoty štyroch goniometrických funkcií z najbežnejších argumentov.

Takéto tabuľky existujú v niekoľkých verziách. Líšia sa tým, že hodnoty uhlov sú uvedené v stupňoch, v radiánoch alebo v stupňoch aj v radiánoch (čo je najvhodnejšie).
V tabuľke nájdeme uhol (v tomto prípade pi / 4) a požadovanú funkciu (potrebujeme funkciu kosínus) a na priesečníku týchto hodnôt dostaneme odmocninu z 2 / 2.
Matematicky je to napísané takto:

Po druhé.
Tiež bežný spôsob, ktorý sa dá vždy použiť, ak nie je stôl. Spočíva v použití (alebo trigonometrickej kružnice).


Na takomto trigonometrickom kruhu sú hodnoty kosínusu umiestnené na vodorovnej osi - os abscisy a argumenty - na krivke samotného kruhu.
V našom prípade je argument kosínusu pi / 4. Určme, kde sa táto hodnota na kružnici nachádza. Ďalej znížime kolmicu na os x. Hodnota, v ktorej bude koniec tejto kolmice, bude hodnotou daného kosínusu. Preto je kosínus pi / 4 druhou odmocninou z 2 / 2.

Tretia.
Vhodné je použiť aj graf príslušnej funkcie - . Je ľahké si zapamätať, ako to vyzerá.


Pri použití grafu sú potrebné určité znalosti na určenie hodnoty kosínusu pi / 4, čo je . V tomto prípade musíte pochopiť, že hodnota zlomku je väčšia ako 0,5 a menšia ako 1.
Samozrejme, existuje niekoľko ďalších spôsobov. Napríklad výpočet hodnoty kosínusu pomocou kalkulačky. Najprv však musíte previesť uhol pi / 4 na stupne. Užitočné môžu byť aj stoly Bradis.

Miera stupňa uhla. Radiánová miera uhla. Previesť stupne na radiány a naopak.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme si osvojili počítanie uhlov na trigonometrickej kružnici. Naučte sa počítať pozitívne a negatívne uhly. Uvedomil si, ako nakresliť uhol väčší ako 360 stupňov. Je čas zaoberať sa meraním uhlov. Najmä s číslom "Pi", ktoré sa nás snaží zmiasť v zložitých úlohách, áno ...

Štandardné úlohy v trigonometrii s číslom "Pi" sú vyriešené celkom dobre. Vizuálna pamäť pomáha. Ale akákoľvek odchýlka od šablóny - zrazí na mieste! Aby nespadol - rozumieť nevyhnutné. Čo teraz úspešne urobíme. V istom zmysle - rozumieme všetkému!

takze čo počítajú sa uhly? V školskom kurze trigonometrie sa používajú dve opatrenia: miera stupňa uhla a radiánová miera uhla. Poďme sa pozrieť na tieto opatrenia. Bez tohto, v trigonometrii - nikde.

Miera stupňa uhla.

Na stupne sme si akosi zvykli. Geometria prinajmenšom prešla ... Áno, a v živote sa často stretávame napríklad s frázou "otočené o 180 stupňov". Titul, skrátka jednoduchá vec...

Áno? Tak mi odpovedz čo je titul? Čo nefunguje hneď na začiatku? Niečo...

Stupne boli vynájdené v starovekom Babylone. Bolo to dávno... pred 40 storočiami... A práve na to prišli. Vzali a rozbili kruh na 360 rovnakých častí. 1 stupeň je 1/360 kruhu. A to je všetko. Dalo by sa rozložiť na 100 kusov. Alebo o 1000. Ale rozbili to na 360. Mimochodom, prečo práve o 360? Prečo je 360 ​​lepších ako 100? 100 sa zdá byť akosi rovnomernejšie... Skúste si odpovedať na túto otázku. Alebo slabý proti Starovekému Babylonu?

Niekde v tom istom čase, v starovekom Egypte, ich trápila iná záležitosť. Koľkokrát je obvod kruhu väčší ako dĺžka jeho priemeru? A tak merali, a tak ... Všetko sa ukázalo o niečo viac ako tri. Ale nejako sa to ukázalo strapaté, nerovnomerné ... Ale oni, Egypťania, za to nemôžu. Po nich trpeli ďalších 35 storočí. Až nakoniec dokázali, že bez ohľadu na to, ako jemne nakrájame kruh na rovnaké kúsky, z takýchto kúskov vyrobiť hladká dĺžka priemeru je nemožná ... V zásade je to nemožné. Samozrejme, koľkokrát je obvod väčší ako priemer. O. 3,1415926... krát.

Toto je číslo "Pi". To je strapaté, také strapaté. Za desatinnou čiarkou - nekonečný počet číslic bez akéhokoľvek poradia... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. To, mimochodom, znamená, že z rovnakých kúskov kruhu, priemer hladká neskladať. Nikdy.

Pre praktické použitie je zvykom zapamätať si len dve číslice za desatinnou čiarkou. Pamätajte:

Keďže sme pochopili, že obvod kruhu je väčší ako priemer o krát „Pi“, má zmysel zapamätať si vzorec pre obvod kruhu:

Kde L je obvod a d je jeho priemer.

Užitočné v geometrii.

Pre všeobecné vzdelanie dodám, že číslo „Pi“ sedí nielen v geometrii... V rôznych častiach matematiky a najmä v teórii pravdepodobnosti sa toto číslo objavuje neustále! Sám od seba. Nad rámec našich túžob. Páči sa ti to.

Ale späť k stupňom. Už ste prišli na to, prečo bol v starovekom Babylone kruh rozdelený na 360 rovnakých častí? Ale nie napríklad 100? nie? OK Dám vám verziu. Nemôžete sa opýtať starých Babylončanov... Pre stavbu, alebo, povedzme, astronómiu, je vhodné rozdeliť kruh na rovnaké časti. Teraz zistite, aké čísla sú deliteľné úplne 100 a ktoré - 360? A v akej verzii tieto rozdeľovače úplne- viac? Toto rozdelenie je pre ľudí veľmi výhodné. Ale...

Ako sa ukázalo oveľa neskôr ako v starovekom Babylone, nie každý má rád tituly. Vyššia matematika ich nemá rada... Vyššia matematika je vážna dáma, zariadená podľa zákonov prírody. A táto dáma vyhlási: „Dnes si rozbil kruh na 360 dielov, zajtra ho rozbiješ na 100 dielov, pozajtra na 245... A čo mám robiť? Naozaj nie...“ Musel som poslúchnuť. Prírodu neoklameš...

Musel som zaviesť mieru uhla, ktorá nezávisí od ľudských predstáv. Zoznámte sa - radián!

Radiánová miera uhla.

čo je radián? Definícia radiánu je v každom prípade založená na kruhu. Uhol 1 radiánu je uhol, ktorý vyreže oblúk z kruhu, ktorého dĺžka je ( L) sa rovná dĺžke polomeru ( R). Pozeráme sa na obrázky.

Taký malý uhol, z toho skoro nič nie je ... Prejdeme kurzorom po obrázku (alebo sa dotkneme obrázku na tablete) a vidíme asi jeden radián. L=R

Cítiť rozdiel?

Jeden radián je oveľa väčší ako jeden stupeň. Koľko krát?

Pozrime sa na ďalší obrázok. Na ktorý som nakreslil polkruh. Rozšírený uhol má samozrejme veľkosť 180°.

A teraz tento polkruh rozrežem na radiány! Prejdeme na obrázok a vidíme, že 3 radiány s chvostom sa zmestia do 180 °.

Kto uhádne, čo je to za chvost!?

Áno! Tento chvost je 0,1415926.... Ahoj Pi, ešte sme na teba nezabudli!

V skutočnosti existuje 3,1415926 ... radiánov v 180 stupňoch. Ako si viete predstaviť, písať stále 3,1415926... je nepohodlné. Preto namiesto tohto nekonečného čísla vždy píšu jednoducho:

A tu je číslo na internete

je nepohodlné písať ... Preto to v texte píšem menom - "Pi". Nenechajte sa zmiasť...

Teraz je celkom zmysluplné napísať približnú rovnosť:

Alebo presná rovnosť:

Určte, koľko stupňov je v jednom radiáne. ako? Jednoducho! Ak je v 3,14 radiánoch 180 stupňov, potom 1 radián je 3,14-krát menej! To znamená, že prvú rovnicu (vzorec je tiež rovnica!) vydelíme číslom 3,14:

Tento pomer je dobré si zapamätať: v jednom radiáne je približne 60°. Pri trigonometrii často musíte prísť na to, zhodnotiť situáciu. Tu vedomosti veľmi pomáhajú.

Ale hlavná zručnosť tejto témy je prevod stupňov na radiány a naopak.

Ak je uhol uvedený v radiánoch s číslom "pi", všetko je veľmi jednoduché. Vieme, že "pi" radiány = 180°. Takže namiesto "Pi" dosadíme radiány - 180 °. Uhol dostaneme v stupňoch. Znížime to, čo sa zníži, a odpoveď je pripravená. Musíme napríklad zistiť, koľko stupňa v rohu "Pi"/2 radián? Tu píšeme:

Alebo exotickejší výraz:

Jednoduché, však?

Opačný preklad je trochu komplikovanejší. Ale nie veľa. Ak je uhol daný v stupňoch, musíme zistiť, koľko je jeden stupeň v radiánoch a vynásobiť toto číslo počtom stupňov. Koľko je 1° v radiánoch?

Pozrieme sa na vzorec a uvedomíme si, že ak 180° = "Pi" radiány, tak 1° je 180-krát menšie. Alebo, inými slovami, rovnicu (vzorec je tiež rovnica!) delíme číslom 180. Nie je potrebné uvádzať „Pi“ ako 3,14, aj tak sa vždy píše s písmenom. Dostaneme, že jeden stupeň sa rovná:

To je všetko. Vynásobením počtu stupňov touto hodnotou získate uhol v radiánoch. Napríklad:

Alebo podobne:

Ako vidíte, v pokojnom rozhovore s lyrickými odbočkami sa ukázalo, že radiány sú veľmi jednoduché. Ano a preklad je bez problemov ... A "Pi" je uplne znesitelna vec... Takze odkial je ten zmatok !?

Prezradím tajomstvo. Faktom je, že v goniometrických funkciách je napísaná ikona stupňov. Vždy. Napríklad sin35°. Toto je sínus 35 stupňa . A ikona radiánov ( rád) nie je napísané! On je naznačený. Buď chytila ​​lenivosť matematikov, alebo niečo iné... Ale rozhodli sa nepísať. Ak vo vnútri sínusu - kotangens nie sú žiadne ikony, potom uhol - v radiánoch ! Napríklad cos3 je kosínus troch radiánov .

To vedie k nedorozumeniam ... Osoba vidí "Pi" a verí, že je to 180 °. Kedykoľvek a kdekoľvek. Mimochodom, toto funguje. Zatiaľ sú príklady štandardné. Ale Pi je číslo! Číslo 3,14 nie sú stupne! To sú "Pi" radiány = 180°!

Ešte raz: „Pí“ je číslo! 3.14. Iracionálne, ale číslo. Rovnako ako 5 alebo 8. Môžete napríklad urobiť približne kroky „Pi“. Tri kroky a trochu viac. Alebo si kúpte „Pi“ kilogramy sladkostí. Ak sa chytí vzdelaný predavač...

"Pí" je číslo! Čo, dostal som ťa touto frázou? Už si všetko pochopil? OK Skontrolujme to. Môžete mi povedať, ktoré číslo je väčšie?

Alebo čo je menej?

Toto je zo série trochu neštandardných otázok, ktoré môžu viesť k strnulosti ...

Ak ste aj vy upadli do strnulosti, spomeňte si na kúzlo: „Pí“ je číslo! 3.14. Hneď v prvom sínuse je jasne uvedené, že uhol - v stupňoch! Preto nie je možné nahradiť „Pi“ o 180 °! "Pi" stupňov je asi 3,14°. Preto môžeme napísať:

V druhom sínuse nie sú žiadne symboly. Takže tam - radiánov! Tu bude nahradenie "Pi" 180 ° fungovať celkom dobre. Prevedením radiánov na stupne, ako je napísané vyššie, dostaneme:

Zostáva porovnať tieto dva sínusy. Čo. zabudol ako? S pomocou trigonometrického kruhu, samozrejme! Nakreslíme kruh, nakreslíme približné uhly 60° a 1,05°. Pozeráme sa na sínusy týchto uhlov. Skrátka všetko, ako na konci témy o trigonometrickom kruhu, je vymaľované. Na kruhu (aj na krivom!) to bude jasne vidieť sin60° výrazne viac ako sin1,05°.

Presne to isté urobíme s kosínusmi. Na kružnicu nakreslíme uhly asi 4 stupňa a 4 radián(pamätajte, čo je približne 1 radián?). Kruh povie všetko! Samozrejme, cos4 je menšie ako cos4°.

Poďme si precvičiť manipuláciu s mierami uhla.

Preveďte tieto uhly zo stupňov na radiány:

360°; 30°; 90°; 270 °C; 45°; 0°; 180°; 60°

Mali by ste skončiť s týmito hodnotami v radiánoch (v inom poradí!)

0

Mimochodom, odpovede som špeciálne vyznačil v dvoch riadkoch. No, poďme zistiť, aké sú rohy v prvom riadku? Či už v stupňoch alebo v radiánoch?

Áno! Toto sú osi súradnicového systému! Ak sa pozriete na trigonometrický kruh, potom na pohyblivú stranu uhla pri týchto hodnotách pasuje presne na nápravu. Tieto hodnoty je potrebné poznať ironicky. A nie nadarmo som si všimol uhol 0 stupňov (0 radiánov). A potom niektorí nevedia nájsť tento uhol na kružnici žiadnym spôsobom ... A preto sa mýlia v goniometrických funkciách nuly ... Ďalšia vec je, že poloha pohyblivej strany pri nula stupňoch sa zhoduje s polohou pri 360 °, takže náhody na kruhu sú neustále blízko.

V druhom riadku sú aj špeciálne uhly... Ide o 30°, 45° a 60°. A čo je na nich také výnimočné? Nič zvláštne. Jediný rozdiel medzi týmito rohmi a všetkými ostatnými je ten, že by ste o týchto rohoch mali vedieť. všetky. A kde sa nachádzajú a aké sú goniometrické funkcie týchto uhlov. Povedzme hodnotu hriech 100° nemusíš vedieť. ALE sin45°- buď láskavý! Toto sú povinné znalosti, bez ktorých sa v trigonometrii nedá nič robiť ... Ale viac o tom v ďalšej lekcii.

Dovtedy pokračujme v cvičení. Preveďte tieto uhly z radiánov na stupne:

Mali by ste dostať takéto výsledky (v neporiadku):

210°; 150°; 135 °C; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225 °C.

Stalo? Potom to môžeme predpokladať prevod stupňov na radiány a naopak- to už nie je váš problém.) Ale prekladanie uhlov je prvým krokom k pochopeniu trigonometrie. Na tom istom mieste musíte stále pracovať so sínusom-kosínusom. Áno, a s tangentami, kotangens tiež ...

Druhým mocným krokom je schopnosť určiť polohu akéhokoľvek uhla na trigonometrickom kruhu. V stupňoch aj v radiánoch. Práve o tejto zručnosti vám nudne naznačím v celej trigonometrii, áno ...) Ak viete všetko (alebo si myslíte, že viete všetko) o trigonometrickom kruhu a počítaní uhlov na trigonometrickom kruhu, môžete si to overiť von. Vyriešte tieto jednoduché úlohy:

1. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°;

ľahko? Pokračujeme:

2. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Tiež žiadny problém? No pozri...)

3. Rohy môžete umiestniť na štvrtiny:

Bol si schopný? no dáš..)

4. Na aké osi bude roh padať:

a roh:

Je to tiež ľahké? Hm...)

5. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

A podarilo sa!? Tak potom fakt neviem...)

6. Určte, do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

1, 2, 3 a 20 radiánov.

Odpoveď dám len na poslednú otázku (je mierne záludná) poslednej úlohy. Do prvej štvrtiny bude spadať uhol 20 radiánov.

Ostatné odpovede nedám z chamtivosti.) Len ak si nerozhodol niečo pochybovať ako výsledok, alebo vynaložené na úlohu č.4 viac ako 10 sekúnd zle sa orientujete v kruhu. Toto bude váš problém v celej trigonometrii. Je lepšie sa toho (problém, nie trigonometria!) hneď zbaviť. Dá sa to urobiť v téme: Praktická práca s trigonometrickou kružnicou v časti 555.

Hovorí, ako jednoducho a správne vyriešiť takéto úlohy. No, tieto úlohy sú, samozrejme, vyriešené. A štvrtá úloha bola vyriešená za 10 sekúnd. Áno, rozhodol som sa, že môže každý!

Ak ste si svojimi odpoveďami absolútne istý a nemáte záujem o jednoduché a bezproblémové spôsoby práce s radiánmi, nemôžete navštíviť 555. Netrvám na tom.)

Dobré porozumenie je dostatočný dôvod, prečo ísť ďalej!)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií

Poznámka. Táto tabuľka hodnôt goniometrických funkcií používa znamienko √ na označenie druhej odmocniny. Na označenie zlomku - symbol "/".

pozri tiež užitočné materiály:

Pre určenie hodnoty goniometrickej funkcie, nájdite ho na priesečníku priamky označujúcej goniometrickú funkciu. Napríklad sínus 30 stupňov - hľadáme stĺpec s nadpisom sin (sínus) a nájdeme priesečník tohto stĺpca tabuľky s čiarou "30 stupňov", na ich priesečníku prečítame výsledok - jeden druhý. Podobne zisťujeme kosínus 60 stupne, sínus 60 stupňov (ešte raz na priesečníku stĺpca sin (sínus) a 60 stupňového radu nájdeme hodnotu sin 60 = √3/2) atď. Rovnakým spôsobom sa nájdu hodnoty sínusov, kosínusov a dotyčníc iných "populárnych" uhlov.

Sínus pí, kosínus pí, tangens pí a ďalšie uhly v radiánoch

Nižšie uvedená tabuľka kosínusov, sínusov a dotyčníc je vhodná aj na zistenie hodnoty goniometrických funkcií, ktorých argument je udáva sa v radiánoch. Na tento účel použite druhý stĺpec hodnôt uhla. Vďaka tomu môžete previesť hodnotu obľúbených uhlov zo stupňov na radiány. Napríklad nájdime 60 stupňový uhol v prvom riadku a prečítajme si jeho hodnotu v radiánoch pod ním. 60 stupňov sa rovná π/3 radiánov.

Číslo pí jednoznačne vyjadruje závislosť obvodu kruhu od mierky uhla. Pi radiány sa teda rovnajú 180 stupňom.

Akékoľvek číslo vyjadrené ako pi (radián) možno ľahko previesť na stupne nahradením čísla pi (π) 180.

Príklady:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
teda sínus pi je rovnaký ako sínus 180 stupňov a rovná sa nule.

2. kosínus pí.
cos π = cos 180 = -1
teda kosínus pí je rovnaký ako kosínus 180 stupňov a rovná sa mínus jednej.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
teda dotyčnica pi je rovnaká ako dotyčnica 180 stupňov a rovná sa nule.

Tabuľka hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnice pre uhly 0 - 360 stupňov (časté hodnoty)

uhol α (stupne)	uhol α v radiánoch (cez pi)	hriech (sinus)	cos (kosínus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	spôsobiť (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ak je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií namiesto hodnoty funkcie uvedená pomlčka (tangens (tg) 90 stupňov, kotangens (ctg) 180 stupňov), potom pre danú hodnotu miera stupňa uhla, funkcia nemá určitú hodnotu. Ak tam nie je pomlčka, bunka je prázdna, takže sme ešte nezadali požadovanú hodnotu. Zaujíma nás, s akými požiadavkami k nám používatelia chodia a dopĺňame tabuľku o nové hodnoty, napriek tomu, že aktuálne údaje o hodnotách kosínusov, sínusov a dotyčníc najbežnejších hodnôt uhlov postačujú na vyriešenie väčšiny problémy.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií sin, cos, tg pre najobľúbenejšie uhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňov
(numerické hodnoty "podľa tabuliek Bradis")

hodnota uhla α (stupne)	hodnota uhla α v radiánoch	hriech (sínus)	cos (kosínus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18