Pytagoras je grécky vedec, ktorý žil asi pred 2500 rokmi (564-473 pred Kristom).

Nech je daný pravouhlý trojuholník, ktorého strany a, b a s(Obr. 267).

Po jej stranách postavíme štvorce. Plochy týchto štvorcov sú resp a 2 , b 2 a s 2. Dokážme to s 2 = a 2 +b 2 .

Zostrojme dva štvorce MKOR a M'K'O'R' (obr. 268, 269), pričom za stranu každého z nich vezmeme úsečku rovnajúcu sa súčtu ramien pravouhlého trojuholníka ABC.

Po dokončení konštrukcií znázornených na obrázkoch 268 a 269 v týchto štvorcoch uvidíme, že štvorec MKOR je rozdelený na dva štvorce s plochami a 2 a b 2 a štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý sa rovná pravouhlému trojuholníku ABC. Štvorec M'K'O'R' je rozdelený na štvoruholník (na obrázku 269 je vytieňovaný) a štyri pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý sa tiež rovná trojuholníku ABC. Vytieňovaný štvoruholník je štvorec, pretože jeho strany sú rovnaké (každá sa rovná prepone trojuholníka ABC, t.j. s), a uhly sú priamky ∠1 + ∠2 = 90°, odkiaľ ∠3 = 90°).

Súčet plôch štvorcov postavených na nohách (na obrázku 268 sú tieto štvorce vytieňované) sa teda rovná ploche štvorca MKOR bez súčtu plôch štyroch rovnakých trojuholníkov a plochy ​štvorec postavený na prepone (na obrázku 269 je tento štvorec tiež zatienený) sa rovná ploche štvorca M'K'O'R', rovná sa štvorcu MKOR, bez súčtu plôch štyri podobné trojuholníky. Preto sa plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách.

Dostaneme vzorec s 2 = a 2 +b 2, kde s- prepona, a a b- nohy pravouhlého trojuholníka.

Pytagorova veta sa dá zhrnúť takto:

Druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh.

Zo vzorca s 2 = a 2 +b 2 môžete získať nasledujúce vzorce:

a 2 = s 2 - b 2 ;

b 2 = s 2 - a 2 .

Tieto vzorce možno použiť na nájdenie neznámej strany pravouhlého trojuholníka s dvomi jeho stranami.

Napríklad:

a) ak sú dané nohy a= 4 cm, b\u003d 3 cm, potom môžete nájsť preponu ( s):

s 2 = a 2 +b 2, t.j. s 2 = 42 + 32; s 2 = 25, odkiaľ s= √25 = 5 (cm);

b) ak je daná prepona s= 17 cm a noha a= 8 cm, potom môžete nájsť ďalšiu nohu ( b):

b 2 = s 2 - a 2, t.j. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, odkiaľ b= √225 = 15 (cm).

Dôsledok: Ak v dvoch pravouhlých trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 prepona s a s 1 sú rovnaké, a noha b trojuholník ABC je väčší ako noha b 1 trojuholník A 1 B 1 C 1,

potom nohu a trojuholník ABC je menší ako noha a 1 trojuholník A 1 B 1 C 1 .

Na základe Pytagorovej vety skutočne dostaneme:

a 2 = s 2 - b 2 ,

a 1 2 = s 1 2 - b 1 2

V písaných vzorcoch sú menovky rovnaké a dolná hranica v prvom vzorci je väčšia ako podstrana v druhom vzorci, preto je prvý rozdiel menší ako druhý,

t.j. a 2 a 12. Kde a a 1.

Toto meno sa však dostáva na počesť vedca len preto, že je prvým a dokonca jediným človekom, ktorý dokázal vetu dokázať.

Nemecký historik matematiky Kantor tvrdil, že teorém poznali už Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. e. Veril, že pravé uhly sa kedysi stavali vďaka pravouhlým trojuholníkom so stranami 3, 4 a 5.

Slávny vedec Kepler povedal, že geometria má nenahraditeľný poklad – to je Pytagorova veta, vďaka ktorej je možné odvodiť väčšinu viet v geometrii.

Predtým sa Pytagorova veta nazývala „veta o neveste“ alebo „veta o nymfe“. Ide o to, že jej kresba bola veľmi podobná motýľovi alebo nymfe. Arabi, keď preložili text vety, rozhodli, že nymfa znamená nevestu. Takto sa objavil zaujímavý názov vety.

Pytagorova veta, vzorec

Veta

- v pravouhlom trojuholníku sa súčet štvorcov nôh () rovná štvorcu prepony (). Toto je jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie.

Vzorec:

Ako už bolo spomenuté, existuje veľa rôznych dôkazov vety s všestrannými matematickými prístupmi. Častejšie sa však používajú plošné teorémy.

Zostrojte štvorce na trojuholníku ( Modrá, zelená, červená)

To znamená, že súčet plôch štvorcov postavených na nohách sa rovná ploche štvorca postaveného na prepone. V súlade s tým sú plochy týchto štvorcov rovnaké -. Toto je geometrické vysvetlenie Pytagora.

Dôkaz vety plošnou metódou: 1 spôsob

Dokážme to.

Uvažujme rovnaký trojuholník s nohami a, b a preponou c.

1. Pravý trojuholník dotvoríme na štvorec. Od nohy „a“ ​​pokračujeme v línii až do vzdialenosti nohy „b“ (červená čiara).
2. Ďalej nakreslíme čiaru novej nohy „a“ ​​doprava (zelená čiara).
3. Spojíme dve nohy s preponou „c“.

Ukazuje sa rovnaký trojuholník, iba obrátený.

Podobne staviame na druhej strane: od nohy „a“ ​​nakreslíme čiaru nohy „b“ a dole „a“ a „b“ A zo spodnej časti nohy „b“ nakreslíme čiaru noha „a“. V strede každej nohy bola nakreslená prepona „c“. Prepony teda vytvorili v strede štvorec.

Tento štvorec pozostáva zo 4 rovnakých trojuholníkov. A plocha každého pravouhlého trojuholníka = polovica súčinu jeho nôh. Respektíve, . A plocha štvorca v strede = , pretože všetky 4 prepony majú strany. Strany štvoruholníka sú rovnaké a uhly sú pravé. Ako môžeme dokázať, že uhly sú správne? Veľmi jednoduché. Zoberme si rovnaký štvorec:

Vieme, že dva uhly zobrazené na obrázku sú 90 stupňov. Keďže trojuholníky sú rovnaké, ďalší uhol „b“ sa rovná predchádzajúcemu ramenu „b“:

Súčet týchto dvoch uhlov = 90 stupňov. V súlade s tým je predchádzajúci uhol tiež 90 stupňov. Samozrejme, to isté platí aj na druhej strane. V súlade s tým máme skutočne štvorec s pravými uhlami.

Keďže ostré uhly pravouhlého trojuholníka sú celkovo 90 stupňov, uhol štvoruholníka bude tiež 90 stupňov, pretože 3 uhly spolu = 180 stupňov.

Plocha štvorca sa teda skladá zo štyroch oblastí identických pravouhlých trojuholníkov a plochy štvorca, ktorú tvoria prepony.

Takto sme dostali štvorec so stranou . Vieme, že plocha štvorca so stranou je štvorcom jeho strany. T.j. Tento štvorec pozostáva zo štyroch rovnakých trojuholníkov.

A to znamená, že sme dokázali Pytagorovu vetu.

DÔLEŽITÉ!!! Ak nájdeme preponu, pridáme dve nohy a potom odvodíme odpoveď od koreňa. Pri hľadaní jednej z nôh: od druhej mocniny dĺžky druhej prepony odčítajte druhú mocninu dĺžky prepony a nájdite druhú odmocninu.

Príklady riešenia problémov

Príklad 1

Úloha

Dané: pravouhlý trojuholník s nohami 4 a 5.

Nájdite preponu. Pokiaľ to označujeme s

rozhodnutie

Súčet štvorcov nôh sa rovná štvorcu prepony. V našom prípade -.

Využime Pytagorovu vetu:

Takže, a. Počet nôh je 41.

Potom . Druhá mocnina prepony je teda 41.

Druhá mocnina čísla 41 = 6,4.

Našli sme preponu.

Odpoveď

Hypotenza = 6,4

Potenciál pre kreativitu sa zvyčajne pripisuje humanitným vedám, ponechávajúc prírodovedné analýzy, praktický prístup a suchý jazyk vzorcov a čísel. Matematiku nemožno zaradiť medzi humanitné predmety. Ale bez kreativity v "kráľovnej všetkých vied" ďaleko nezájdete - ľudia o tom vedia už dlho. Od čias Pytagorasa napr.

Školské učebnice, žiaľ, väčšinou nevysvetľujú, že v matematike je dôležité nielen vtesnať vety, axiómy a vzorce. Je dôležité pochopiť a cítiť jeho základné princípy. A zároveň sa snažte oslobodiť svoju myseľ od klišé a elementárnych právd – len v takýchto podmienkach sa rodia všetky veľké objavy.

Medzi takéto objavy patrí aj ten, ktorý dnes poznáme ako Pytagorovu vetu. S jej pomocou sa pokúsime ukázať, že matematika nielenže môže, ale má byť zábavná. A že toto dobrodružstvo je vhodné nielen pre nerdov v hrubých okuliaroch, ale pre každého, kto je silný mysľou a duchom.

Z histórie problému

Presne povedané, hoci sa veta nazýva „Pytagorova veta“, sám Pytagoras ju neobjavil. Pravý trojuholník a jeho špeciálne vlastnosti boli študované dávno pred ním. Na túto otázku existujú dva polárne uhly pohľadu. Podľa jednej verzie bol Pytagoras prvý, kto našiel úplný dôkaz vety. Podľa iného dôkaz nepatrí k autorstvu Pytagoras.

Dnes už nemôžete kontrolovať, kto má pravdu a kto nie. Je známe len to, že dôkaz Pytagoras, ak vôbec existoval, sa nezachoval. Existujú však návrhy, že slávny dôkaz z Euklidových prvkov môže patriť Pytagorasovi a Euklides ho iba zaznamenal.

Dnes je tiež známe, že problémy o pravouhlom trojuholníku sa nachádzajú v egyptských prameňoch z čias faraóna Amenemheta I., na babylonských hlinených tabuľkách z obdobia vlády kráľa Hammurabiho, v staroindickom pojednaní Sulva Sutra a starom čínskom diele Zhou -bi suan jin.

Ako vidíte, Pytagorova veta zamestnávala mysle matematikov už od staroveku. Ako potvrdenie slúži dnes približne 367 rôznych dôkazov. Žiadna iná veta jej v tomto smere nemôže konkurovať. Medzi významných autorov dôkazov patria Leonardo da Vinci a 20. prezident Spojených štátov James Garfield. To všetko hovorí o mimoriadnom význame tejto vety pre matematiku: väčšina geometrických viet je z nej odvodená alebo s ňou tak či onak spojená.

Dôkazy Pytagorovej vety

Školské učebnice väčšinou poskytujú algebraické dôkazy. Ale podstata vety je v geometrii, takže najprv zvážime tie dôkazy slávnej vety, ktoré sú založené na tejto vede.

Dôkaz 1

Pre najjednoduchší dôkaz Pytagorovej vety pre pravouhlý trojuholník je potrebné nastaviť ideálne podmienky: nech je trojuholník nielen pravouhlý, ale aj rovnoramenný. Existuje dôvod domnievať sa, že to bol taký trojuholník, ktorý pôvodne uvažovali starovekí matematici.

Vyhlásenie "štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho nohách" možno znázorniť na nasledujúcom obrázku:

Pozrite sa na rovnoramenný pravouhlý trojuholník ABC: Na prepone AC môžete postaviť štvorec pozostávajúci zo štyroch trojuholníkov rovných pôvodnému ABC. A na nohách AB a BC postavené na štvorci, z ktorých každý obsahuje dva podobné trojuholníky.

Mimochodom, táto kresba tvorila základ mnohých anekdot a karikatúr venovaných Pytagorovej vete. Azda najznámejší je "Pythagorejské nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch":

Dôkaz 2

Táto metóda spája algebru a geometriu a možno ju považovať za variant staroindického dôkazu matematika Bhaskariho.

Zostrojte pravouhlý trojuholník so stranami a, b a c(obr. 1). Potom postavte dva štvorce so stranami rovnými súčtu dĺžok dvoch nôh - (a+b). V každom zo štvorcov vytvorte konštrukcie ako na obrázkoch 2 a 3.

V prvom štvorci postavte štyri rovnaké trojuholníky ako na obrázku 1. Výsledkom sú dva štvorce: jeden so stranou a, druhý so stranou b.

V druhom štvorci tvoria štyri podobné trojuholníky štvorec so stranou rovnou prepone c.

Súčet plôch zostrojených štvorcov na obr. 2 sa rovná ploche štvorca, ktorú sme zostrojili so stranou c na obr. 3. To sa dá ľahko overiť výpočtom plôch štvorcov na obr. 2 podľa vzorca. A plocha vpísaného štvorca na obrázku 3. odčítaním plôch štyroch rovnakých pravouhlých trojuholníkov vpísaných do štvorca od plochy veľkého štvorca so stranou (a+b).

Keď toto všetko dáme dole, máme: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Rozbaľte zátvorky, urobte všetky potrebné algebraické výpočty a získajte to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Zároveň plocha zapísaná na obr.3. štvorec možno vypočítať aj pomocou tradičného vzorca S=c2. Tie. a2+b2=c2 Dokázali ste Pytagorovu vetu.

Dôkaz 3

Ten istý staroindický dôkaz je opísaný v 12. storočí v traktáte „Koruna poznania“ („Siddhanta Shiromani“) a ako hlavný argument autor používa výzvu adresovanú matematickým talentom a schopnostiam pozorovania študentov a študentov. nasledovníci: "Pozri!".

Tento dôkaz však rozoberieme podrobnejšie:

Vo vnútri štvorca postavte štyri pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku. Označuje sa strana veľkého štvorca, ktorá je zároveň preponou s. Nazvime nohy trojuholníka a a b. Strana vnútorného štvorca je podľa nákresu (a-b).

Použite vzorec štvorcovej oblasti S=c2 na výpočet plochy vonkajšieho štvorca. A súčasne vypočítajte rovnakú hodnotu pridaním plochy vnútorného štvorca a plochy gule štyroch pravouhlých trojuholníkov: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Na výpočet plochy štvorca môžete použiť obe možnosti, aby ste sa uistili, že dávajú rovnaký výsledok. A to vám dáva právo si to zapísať c2 = (a-b) 2 +4*1\2*a*b. Výsledkom riešenia je vzorec Pytagorovej vety c2=a2+b2. Veta bola dokázaná.

Dôkaz 4

Tento kuriózny staroveký čínsky dôkaz sa nazýval „stolička nevesty“ – kvôli postave podobnej stoličke, ktorá je výsledkom všetkých konštrukcií:

Používa kresbu, ktorú sme už videli na obrázku 3 v druhom dôkaze. A vnútorný štvorec so stranou c je skonštruovaný rovnakým spôsobom ako v staroindickom dôkaze uvedenom vyššie.

Ak v duchu odrežete dva zelené pravouhlé trojuholníky z nákresu na obr. 1, prenesiete ich na opačné strany štvorca so stranou c a pripojíte prepony k preponám fialových trojuholníkov, dostanete obrazec nazývaný „nevesty“. stolička“ (obr. 2). Pre prehľadnosť môžete urobiť to isté s papierovými štvorcami a trojuholníkmi. Uvidíte, že "kreslo nevesty" je tvorené dvoma štvorcami: malými so stranou b a veľký s bokom a.

Tieto konštrukcie umožnili starým čínskym matematikom a nám, ktorí ich nasledovali, dospieť k záveru c2=a2+b2.

Dôkaz 5

Toto je ďalší spôsob, ako nájsť riešenie Pytagorovej vety na základe geometrie. Nazýva sa to Garfieldova metóda.

Zostrojte pravouhlý trojuholník ABC. Musíme to dokázať BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Ak to chcete urobiť, pokračujte v nohe AC a vybudovať segment CD, čo sa rovná nohe AB. Dolná kolmica ADúsečka ED. Segmenty ED a AC sú si rovní. spojte body E a AT, ako aj E a S a získajte kresbu ako na obrázku nižšie:

Aby sme dokázali vežu, opäť sa uchýlime k metóde, ktorú sme už testovali: nájdeme plochu výslednej postavy dvoma spôsobmi a prirovnáme výrazy k sebe.

Nájdite oblasť polygónu POSTEĽ možno vykonať pridaním oblastí troch trojuholníkov, ktoré ho tvoria. A jeden z nich ERU, je nielen pravouhlý, ale aj rovnoramenný. Na to tiež nezabúdajme AB = CD, AC=ED a BC = CE- to nám umožní zjednodušiť nahrávanie a nepreťažiť ho. takze S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2 BC 2.

Zároveň je zrejmé, že POSTEĽ je lichobežník. Preto vypočítame jeho plochu pomocou vzorca: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Pre naše výpočty je pohodlnejšie a prehľadnejšie reprezentovať segment AD ako súčet segmentov AC a CD.

Napíšme oba spôsoby, ako vypočítať plochu obrázku tak, že medzi ne vložíme znamienko rovnosti: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Na zjednodušenie pravej strany zápisu používame rovnosť segmentov, ktoré už poznáme a sú opísané vyššie: AB*AC+1/2BC2=1/2(AB+AC) 2. A teraz otvoríme zátvorky a transformujeme rovnosť: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Po dokončení všetkých transformácií dostaneme presne to, čo potrebujeme: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Dokázali sme vetu.

Samozrejme, tento zoznam dôkazov nie je ani zďaleka úplný. Pytagorovu vetu je možné dokázať aj pomocou vektorov, komplexných čísel, diferenciálnych rovníc, stereometrie atď. A dokonca aj fyzici: ak sa napríklad kvapalina naleje do štvorcových a trojuholníkových objemov podobných tým, ktoré sú znázornené na výkresoch. Naliatím kvapaliny je možné dokázať rovnosť plôch a ako výsledok samotnú vetu.

Pár slov o pytagorejských trojiciach

Táto problematika je v školských osnovách málo preštudovaná alebo sa vôbec nepreberá. Medzitým je to veľmi zaujímavé a má veľký význam v geometrii. Pytagorove trojice sa používajú na riešenie mnohých matematických problémov. Ich myšlienka môže byť pre vás užitočná pri ďalšom vzdelávaní.

Čo sú teda pytagorejské trojčatá? Takzvané prirodzené čísla, zhromaždené v trojiciach, pričom súčet druhých mocnín z nich sa rovná tretiemu číslu na druhú.

Pytagorejské trojky môžu byť:

• primitívne (všetky tri čísla sú relatívne prvočísla);
• neprimitívne (ak je každé číslo trojky vynásobené rovnakým číslom, dostanete novú trojicu, ktorá nie je primitívna).

Už pred naším letopočtom fascinovala starých Egypťanov mánia po počtoch pytagorovských trojíc: v úlohách uvažovali o pravouhlom trojuholníku so stranami 3,4 a 5 jednotiek. Mimochodom, každý trojuholník, ktorého strany sa rovnajú číslam z pytagorejskej trojky, je štandardne pravouhlý.

Príklady pytagorovských trojíc: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) atď.

Praktická aplikácia vety

Pytagorova veta nachádza uplatnenie nielen v matematike, ale aj v architektúre a konštrukcii, astronómii a dokonca aj v literatúre.

Po prvé, o konštrukcii: Pytagorova veta je v nej široko používaná v problémoch rôznych úrovní zložitosti. Pozrite sa napríklad na románske okno:

Označme šírku okna ako b, potom polomer veľkého polkruhu možno označiť ako R a vyjadrovať sa prostredníctvom b: R = b/2. Polomer menších polkruhov možno vyjadriť aj pomocou b: r=b/4. V tomto probléme nás zaujíma polomer vnútorného kruhu okna (nazvime to p).

Na výpočet sa práve hodí Pytagorova veta R. Na to používame pravouhlý trojuholník, ktorý je na obrázku označený bodkovanou čiarou. Prepona trojuholníka pozostáva z dvoch polomerov: b/4+p. Jedna noha je polomer b/4, ďalší b/2-p. Pomocou Pytagorovej vety píšeme: (b/4+p)2 = (b/4)2 +(b/2-p) 2. Ďalej otvoríme zátvorky a dostaneme b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Transformujme tento výraz na bp/2=b2/4-bp. A potom všetky pojmy rozdelíme na b, dávame podobné dostať 3/2*p=b/4. A nakoniec to zistíme p=b/6- čo sme potrebovali.

Pomocou vety môžete vypočítať dĺžku krokiev pre sedlovú strechu. Určte, aká vysoká mobilná veža je potrebná, aby signál dosiahol určitú osadu. A dokonca stabilne inštalovať vianočný stromček na námestí. Ako vidíte, táto veta žije nielen na stránkach učebníc, ale je často užitočná aj v reálnom živote.

Pokiaľ ide o literatúru, Pytagorova veta inšpirovala spisovateľov už od staroveku a inšpiruje ju dodnes. Napríklad nemecký spisovateľ z devätnásteho storočia Adelbert von Chamisso sa ňou inšpiroval k napísaniu sonetu:

Svetlo pravdy sa tak skoro nerozplynie,
Ale keď zažiaril, je nepravdepodobné, že by sa rozplynul
A ako pred tisíckami rokov,
Nespôsobí pochybnosti a spory.

Najmúdrejší, keď sa dotkne oka
Svetlo pravdy, vďaka bohom;
A sto býkov, bodnutých, lož -
Opätovný dar šťastného Pytagora.

Odvtedy býci zúfalo bučia:
Navždy prebudil býčí kmeň
tu spomínaná udalosť.

Myslia si, že už bolo načase
A opäť budú obetovaní
Nejaká veľká teoréma.

(preklad Viktor Toporov)

A v dvadsiatom storočí sovietsky spisovateľ Jevgenij Veltistov vo svojej knihe „Dobrodružstvá elektroniky“ venoval celú kapitolu dôkazom Pytagorovej vety. A polovica kapitoly príbehu o dvojrozmernom svete, ktorý by mohol existovať, keby sa Pytagorova veta stala základným zákonom a dokonca náboženstvom pre jeden svet. Žilo by sa v ňom oveľa ľahšie, ale aj oveľa nudnejšie: nikto tam napríklad nerozumie významu slov „okrúhly“ a „nadýchaný“.

A v knihe „The Adventures of Electronics“ autor ústami učiteľa matematiky Taratary hovorí: „Hlavnou vecou v matematike je pohyb myslenia, nové nápady.“ Je to tento kreatívny myšlienkový let, ktorý generuje Pytagorovu vetu – nie nadarmo má toľko rôznych dôkazov. Pomáha ísť nad rámec zvyčajného a pozerať sa na známe veci novým spôsobom.

Záver

Tento článok vznikol preto, aby ste sa mohli pozrieť aj za hranice školských osnov matematiky a naučiť sa nielen tie dôkazy Pytagorovej vety, ktoré sú uvedené v učebniciach „Geometria 7-9“ (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) a „Geometria 7 -11 “ (A.V. Pogorelov), ale aj iné kuriózne spôsoby, ako dokázať slávnu vetu. A tiež si pozrite príklady, ako sa dá Pytagorova veta aplikovať v každodennom živote.

Po prvé, tieto informácie vám umožnia získať vyššie skóre na hodinách matematiky - informácie o tejto téme z dodatočných zdrojov sú vždy vysoko cenené.

Po druhé, chceli sme vám pomôcť pochopiť, aká zaujímavá je matematika. Presvedčiť sa na konkrétnych príkladoch, že kreativita sa v nej vždy nájde. Dúfame, že Pytagorova veta a tento článok vás inšpirujú k vlastnému výskumu a vzrušujúcim objavom v matematike a iných vedách.

Povedzte nám v komentároch, či vás dôkazy uvedené v článku zaujali. Pomohli vám tieto informácie pri štúdiu? Dajte nám vedieť, čo si myslíte o Pytagorovej vete a o tomto článku – toto všetko s vami radi prediskutujeme.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Pytagorova veta: Súčet plôch štvorcov podoprených nohami ( a a b), sa rovná ploche štvorca postaveného na prepone ( c).

Geometrické zloženie:

Pôvodne bola teoréma formulovaná takto:

Algebraická formulácia:

To znamená, že označuje dĺžku prepony trojuholníka c, a dĺžky nôh cez a a b :

a 2 + b 2 = c 2

Obe formulácie vety sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrdenie možno overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o ploche a meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Inverzná Pytagorova veta:

Dôkaz

V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Takáto rozmanitosť sa dá vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.

Samozrejme, koncepčne sa dajú všetky rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejšie z nich: dôkazy plošnou metódou, axiomatické a exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší z dôkazov zostavených priamo z axióm. Najmä nepoužíva pojem oblasť postavy.

Nechať byť ABC existuje pravouhlý trojuholník C. Nakreslíme výšku od C a jeho základňu označíme H. Trojuholník ACH podobný trojuholníku ABC v dvoch rohoch. Rovnako aj trojuholník CBH podobný ABC. Predstavenie notácie

dostaneme

Čo je ekvivalentné

Pridávame, dostávame

Plošné dôkazy

Nasledujúce dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky využívajú vlastnosti oblasti, ktorej dôkaz je zložitejší ako dôkaz samotnej Pytagorovej vety.

Dôkaz prostredníctvom ekvivalencie

1. Usporiadajte štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku 1.
2. Štvoruholník so stranami c je štvorec, pretože súčet dvoch ostrých uhlov je 90° a priameho uhla je 180°.
3. Plocha celej figúry sa rovná na jednej strane ploche štvorca so stranou (a + b) a na druhej strane súčtu plôch štyroch trojuholníkov a dvoch vnútorných štvorcov.

Q.E.D.

Dôkaz prostredníctvom ekvivalencie

Elegantný dôkaz permutácie

Príklad jedného z týchto dôkazov je znázornený na obrázku vpravo, kde štvorec postavený na prepone je premenený permutáciou na dva štvorce postavené na nohách.

Euklidov dôkaz

Kresba pre Euklidov dôkaz

Ilustrácia pre Euklidov dôkaz

Myšlienka Euklidovho dôkazu je nasledovná: skúsme dokázať, že polovica plochy štvorca postaveného na prepone sa rovná súčtu polovičných plôch štvorcov postavených na nohách a potom plôch veľké a dva malé štvorce sú rovnaké.

Zvážte kresbu vľavo. Na ňom sme postavili štvorce na stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozrezal štvorec ABIK postavený na prepone na dva obdĺžniky - BHJI a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách.

Pokúsme sa dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK Na tento účel použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou, ako je daná obdĺžnik sa rovná polovici plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definovania plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (nezobrazené), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK.

Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Táto rovnosť je zrejmá, trojuholníky sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB=AK,AD=AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: otočme trojuholník CAK o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch uvažovaných trojuholníkov sa bude zhodovať (vzhľadom na skutočnosť, že uhol vo vrchole štvorca je 90°).

Argument o rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne analogický.

Dokázali sme teda, že plocha štvorca postaveného na prepone je súčtom plôch štvorcov postavených na nohách. Myšlienka tohto dôkazu je ďalej ilustrovaná animáciou vyššie.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb.

Zvážte výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segmentu Cja rozoberá štvorec ABHJ na dve rovnaké časti (pretože trojuholníky ABC a JHja sú si v stavebníctve rovné). Použitím otočenia o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek vidíme rovnosť tieňovaných čísel CAJja a GDAB . Teraz je jasné, že plocha nami zatienenej postavy sa rovná súčtu polovice plôch štvorcov postavených na nohách a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy štvorca postaveného na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Posledný krok dokazovania je ponechaný na čitateľa.

Dôkaz infinitezimálnou metódou

Nasledujúci dôkaz pomocou diferenciálnych rovníc sa často pripisuje slávnemu anglickému matematikovi Hardymu, ktorý žil v prvej polovici 20. storočia.

Berúc do úvahy výkres zobrazený na obrázku a pozorovanie zmeny strany a, môžeme napísať nasledujúci vzťah pre infinitezimálne prírastky strán s a a(pomocou podobných trojuholníkov):

Dôkaz infinitezimálnou metódou

Pomocou metódy separácie premenných nájdeme

Všeobecnejší výraz pre zmenu prepony v prípade prírastkov oboch nôh

Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme

c 2 = a 2 + b 2 + konštanta.

Tak sa dostávame k želanej odpovedi

c 2 = a 2 + b 2 .

Je ľahké vidieť, že kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa objavuje v dôsledku lineárnej úmernosti medzi stranami trojuholníka a prírastkami, zatiaľ čo súčet je spôsobený nezávislými príspevkami prírastku rôznych častí.

Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená prírastok (v tomto prípade noha b). Potom pre integračnú konštantu dostaneme

Variácie a zovšeobecnenia

• Ak sú namiesto štvorcov na nohách skonštruované iné podobné obrazce, potom platí nasledujúce zovšeobecnenie Pytagorovej vety: V pravouhlom trojuholníku sa súčet plôch podobných figúrok postavených na nohách rovná ploche figúry postavenej na prepone. Najmä:
  • Súčet plôch pravidelných trojuholníkov postavených na nohách sa rovná ploche pravidelného trojuholníka postaveného na prepone.
  • Súčet plôch polkruhov postavených na nohách (ako na priemere) sa rovná ploche polkruhu postaveného na prepone. Tento príklad sa používa na dokázanie vlastností postáv ohraničených oblúkmi dvoch kružníc a nesúcich názov hippokratická lunula.

Príbeh

Chu-pei 500 – 200 pred Kristom. Vľavo je nápis: súčet druhých mocnín dĺžok výšky a základne je štvorec dĺžky prepony.

Staroveká čínska kniha Chu-pei hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5: V tej istej knihe je navrhnutý výkres, ktorý sa zhoduje s jedným z výkresov hinduistickej geometrie Baskhary.

Kantor (najväčší nemecký historik matematiky) verí, že rovnosť 3 ² + 4 ² = 5 ² poznali už Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. e., za čias kráľa Amenemheta I. (podľa papyrusu 6619 Berlínskeho múzea). Podľa Cantora harpedonapty alebo „struny“ stavali pravé uhly pomocou pravouhlých trojuholníkov so stranami 3, 4 a 5.

Je veľmi ľahké reprodukovať ich spôsob konštrukcie. Vezmite lano dlhé 12 m a priviažte ho k nemu pozdĺž farebného pruhu vo vzdialenosti 3 m. z jedného konca a 4 metre od druhého. Medzi stranami s dĺžkou 3 a 4 metre bude uzavretý pravý uhol. Harpedonaptom by sa dalo namietať, že ich spôsob stavby sa stáva zbytočným, ak sa použije napríklad drevený štvorec, ktorý používajú všetci tesári. Skutočne sú známe egyptské kresby, na ktorých sa takýto nástroj nachádza, napríklad kresby zobrazujúce stolársku dielňu.

O Pytagorovej vete sa medzi Babylončanmi vie o niečo viac. V jednom texte siahajúcom do doby Hammurabiho, t.j. do roku 2000 pred Kristom. e. je uvedený približný výpočet prepony pravouhlého trojuholníka. Z toho môžeme usúdiť, že v Mezopotámii boli schopní vykonávať výpočty s pravouhlými trojuholníkmi, aspoň v niektorých prípadoch. Na jednej strane na základe súčasnej úrovne vedomostí o egyptskej a babylonskej matematike a na druhej strane na základe kritického štúdia gréckych prameňov dospel Van der Waerden (holandský matematik) k tomuto záveru:

Literatúra

V ruštine

• Skopets Z. A. Geometrické miniatúry. M., 1990
• Yelensky Sh. Po stopách Pytagora. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Prebúdzajúca sa veda. Matematika starovekého Egypta, Babylonu a Grécka. M., 1959
• Glazer G.I. História matematiky v škole. M., 1982
• W. Litzman, "Pytagorova veta" M., 1960.
  • Stránka o Pytagorovej vete s veľkým množstvom dôkazov, materiál je prevzatý z knihy W. Litzmana, veľké množstvo kresieb je prezentovaných ako samostatné grafické súbory.
• Pytagorova veta a Pytagorova trojitá kapitola z knihy D. V. Anosova „Pohľad na matematiku a niečo z nej“
• O Pytagorovej vete a metódach jej dôkazu G. Glaser, akademik Ruskej akadémie vzdelávania v Moskve

V angličtine

• Pytagorova veta vo WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, časť o Pytagorovej vete, asi 70 dôkazov a rozsiahle dodatočné informácie (angl.)

Nadácia Wikimedia. 2010.

Podľa van der Waerdena je veľmi pravdepodobné, že pomer vo všeobecnej forme bol známy už v Babylone okolo 18. storočia pred Kristom. e.

Približne 400 rokov pred Kr. e., podľa Prokla, Platón dal metódu na nájdenie pytagorejských trojíc kombinovaním algebry a geometrie. Okolo roku 300 p.n.l. e. v „Prvkoch“ Euklida sa objavil najstarší axiomatický dôkaz Pytagorovej vety.

Znenie

Hlavná formulácia obsahuje algebraické operácie - v pravouhlom trojuholníku, ktorého dĺžky sú rovnaké a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b), a dĺžka prepony je c (\displaystyle c), vzťah je splnený:

.

Je tiež možná ekvivalentná geometrická formulácia, ktorá sa uchýli k pojmu plocha číslo: v pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách. V tejto forme je veta formulovaná v Euklidovom princípe.

Inverzná Pytagorova veta- výrok o pravouhlosti ľubovoľného trojuholníka, ktorého dĺžky strán súvisí vzťahom a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). V dôsledku toho pre akúkoľvek trojicu kladných čísel a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) a c (\displaystyle c), také že a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), tam je pravouhlý trojuholník s nohami a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) a preponu c (\displaystyle c).

Dôkaz

Vo vedeckej literatúre bolo zaznamenaných najmenej 400 dôkazov Pytagorovej vety, čo sa vysvetľuje tak základnou hodnotou pre geometriu, ako aj elementárnosťou výsledku. Hlavné smery dôkazov sú: algebraické využitie pomerov prvkov trojuholník (ako je napríklad populárna metóda podobnosti), plošná metóda, existujú aj rôzne exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Euklidov klasický dôkaz má za cieľ stanoviť rovnosť plôch medzi obdĺžnikmi vytvorenými rozrezaním štvorca nad preponou s výškou z pravého uhla so štvorcami nad nohami.

Konštrukcia použitá na dôkaz je nasledovná: pre pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C (\displaystyle C), štvorce nad nohami a a štvorce nad preponou A B I K (\displaystyle ABIK) výška sa stavia CH (\displaystyle CH) a lúč, ktorý v ňom pokračuje s (\displaystyle s), rozdelenie štvorca nad preponou na dva obdĺžniky a . Dôkaz je zameraný na stanovenie rovnosti plôch obdĺžnika A H J K (\displaystyle AHJK) so štvorcom cez nohu A C (\displaystyle AC); Rovnosť plôch druhého obdĺžnika, ktorým je štvorec nad preponou, a obdĺžnika nad druhým ramenom sa stanoví podobným spôsobom.

Rovnosť plôch obdĺžnika A H J K (\displaystyle AHJK) a A C E D (\displaystyle ACED) vytvorený prostredníctvom zhody trojuholníkov △ A C K ​​​​(\displaystyle \trojuholník ACK) a △ A B D (\displaystyle \trojuholník ABD), pričom plocha každého z nich sa rovná polovici plochy štvorcov A H J K (\displaystyle AHJK) a A C E D (\displaystyle ACED) v spojení s nasledujúcou vlastnosťou: plocha trojuholníka sa rovná polovici plochy obdĺžnika, ak čísla majú spoločnú stranu, a výška trojuholníka k spoločnej strane je druhá strana obdĺžnik. Zhoda trojuholníkov vyplýva z rovnosti dvoch strán (strany štvorcov) a uhla medzi nimi (zloženého z pravého uhla a uhla v A (\displaystyle A).

Dôkaz teda stanovuje, že oblasť štvorca nad preponou sa skladá z obdĺžnikov A H J K (\displaystyle AHJK) a B H J I (\displaystyle BHJI), sa rovná súčtu plôch štvorcov nad nohami.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Plošná metóda zahŕňa aj dôkaz, ktorý našiel Leonardo da Vinci. Nech je pravouhlý trojuholník △ A B C (\displaystyle \trojuholník ABC) pravý uhol C (\displaystyle C) a štvorcov A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) a A B H J (\displaystyle ABHJ)(pozri obrázok). V tomto dôkaze na strane H J (\displaystyle HJ) ten druhý, trojuholník je zostrojený smerom von, zhodný △ A B C (\displaystyle \trojuholník ABC), navyše odráža vo vzťahu k prepone aj vo vzťahu k výške k nej (tj. J I = B C (\displaystyle JI=BC) a H I = AC (\displaystyle HI=AC)). Rovno C I (\displaystyle CI) rozdeľuje štvorec postavený na prepone na dve rovnaké časti, pretože trojuholníky △ A B C (\displaystyle \trojuholník ABC) a △ J H I (\displaystyle \trojuholník JHI) v stavebníctve sú si rovní. Dôkaz stanovuje zhodu štvoruholníkov C A J I (\displaystyle CAJI) a D A B G (\displaystyle DABG), pričom plocha každého z nich sa na jednej strane rovná súčtu polovice plôch štvorcov na nohách a plochy pôvodného trojuholníka, na druhej strane polovici plochy štvorec na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Celkovo sa polovica súčtu plôch štvorcov nad nohami rovná polovici plochy štvorca nad preponou, čo je ekvivalentné geometrickej formulácii Pytagorovej vety.

Dôkaz infinitezimálnou metódou

Existuje niekoľko dôkazov pomocou techniky diferenciálnych rovníc. Hardymu sa pripisuje najmä dôkaz pomocou nekonečne malých prírastkov nôh a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) a preponu c (\displaystyle c) a zachovanie podobnosti s pôvodným obdĺžnikom, to znamená zabezpečenie nasledujúcich diferenciálnych vzťahov:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Metódou separácie premenných je z nich odvodená diferenciálna rovnica c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), ktorých integrácia dáva vzťah c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplikácia počiatočných podmienok a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definuje konštantu ako 0, čo vedie k tvrdeniu vety.

Kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa objavuje v dôsledku lineárnej úmernosti medzi stranami trojuholníka a prírastkami, zatiaľ čo súčet je spôsobený nezávislými príspevkami prírastku rôznych častí.

Variácie a zovšeobecnenia

Podobné geometrické tvary na troch stranách

Dôležité geometrické zovšeobecnenie Pytagorovej vety dal Euklides v „Začiatkoch“, pričom sa presunul od plôch štvorcov na stranách k plochám ľubovoľných podobných geometrických útvarov: súčet plôch takýchto útvarov postavených na nohách bude rovná ploche postavy podobnej im, postavenej na prepone.

Hlavnou myšlienkou tohto zovšeobecnenia je, že plocha takéhoto geometrického útvaru je úmerná štvorcu ktoréhokoľvek z jeho lineárnych rozmerov a najmä štvorcu dĺžky ktorejkoľvek strany. Preto pre podobné čísla s plochami A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) a C (\displaystyle C) postavené na nohách s dĺžkami a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) a preponu c (\displaystyle c) podľa toho existuje vzťah:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2))\,\šípka doprava \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Keďže podľa Pytagorovej vety a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), potom je hotovo.

Okrem toho, ak je možné dokázať bez použitia Pytagorovej vety, že pre oblasti troch podobných geometrických útvarov na stranách pravouhlého trojuholníka platí vzťah A + B = C (\displaystyle A+B=C), potom pomocou rubu dôkazu Euklidovho zovšeobecnenia môžeme odvodiť dôkaz Pytagorovej vety. Napríklad, ak na prepone zostrojíme pravouhlý trojuholník zhodný s počiatočnou preponou s plochou C (\displaystyle C), a na nohách - dva podobné pravouhlé trojuholníky s plochami A (\displaystyle A) a B (\displaystyle B), potom sa ukáže, že trojuholníky na nohách sú tvorené v dôsledku delenia počiatočného trojuholníka jeho výškou, to znamená, že súčet dvoch menších oblastí trojuholníkov sa rovná ploche tretieho, teda A + B = C (\displaystyle A+B=C) a použitím vzťahu pre podobné útvary je odvodená Pytagorova veta.

Kosínusová veta

Pytagorova veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej kosínusovej vety, ktorá spája dĺžky strán v ľubovoľnom trojuholníku:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

kde je uhol medzi stranami a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b). Ak je uhol 90°, tak cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0) a vzorec sa zjednoduší na obvyklú Pytagorovu vetu.

Ľubovoľný trojuholník

Existuje zovšeobecnenie Pytagorovej vety na ľubovoľný trojuholník, ktorý funguje výlučne na pomere dĺžok strán a predpokladá sa, že ho prvýkrát stanovil sabovský astronóm Sabit ibn Kurra. V ňom, pre ľubovoľný trojuholník so stranami, rovnoramenný trojuholník so základňou na strane c (\displaystyle c), pričom vrchol sa zhoduje s vrcholom pôvodného trojuholníka oproti strane c (\displaystyle c) a uhly na základni rovné uhlu θ (\displaystyle \theta ) opačná strana c (\displaystyle c). V dôsledku toho sa vytvoria dva trojuholníky, podobné pôvodnému: prvý so stranami a (\displaystyle a), bočná strana vpísaného rovnoramenného trojuholníka ďaleko od nej, a r (\displaystyle r)- bočné diely c (\displaystyle c); druhá je k nej zboku symetrická b (\displaystyle b) s partiou s (\displaystyle s)- príslušná časť strany c (\displaystyle c). V dôsledku toho je splnený vzťah:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

ktorá degeneruje do Pytagorovej vety pri θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Pomer je dôsledkom podobnosti vytvorených trojuholníkov:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\šípka doprava \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappusova oblasťová veta

Neeuklidovská geometria

Pytagorova veta je odvodená z axióm euklidovskej geometrie a pre neeuklidovskú geometriu je neplatná – naplnenie Pytagorovej vety sa rovná postulátu euklidovskej rovnobežnosti.

V neeuklidovskej geometrii bude vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka nevyhnutne vo forme odlišnej od Pytagorovej vety. Napríklad v sférickej geometrii majú všetky tri strany pravouhlého trojuholníka, ktorý spája oktant jednotkovej gule, dĺžku π / 2 (\displaystyle \pi /2), čo je v rozpore s Pytagorovou vetou.

Navyše Pytagorova veta platí v hyperbolickej a eliptickej geometrii, ak sa požiadavka, že trojuholník je pravouhlý, nahradí podmienkou, že súčet dvoch uhlov trojuholníka sa musí rovnať tretiemu.

sférická geometria

Pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník na guli s polomerom R (\displaystyle R)(napríklad ak je uhol v trojuholníku pravý) so stranami a , b , c (\displaystyle a,b,c) vzťah medzi stranami je:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Túto rovnosť možno odvodiť ako špeciálny prípad sférickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky sférické trojuholníky:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

kde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hyperbolický kozín. Tento vzorec je špeciálnym prípadom hyperbolickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky trojuholníky:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

kde γ (\displaystyle \gamma )- uhol, ktorého vrchol je oproti strane c (\displaystyle c).

Použitie Taylorovho radu pre hyperbolický kosínus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\približne 1+x^(2)/2)) možno ukázať, že ak sa hyperbolický trojuholník zmenšuje (teda kedy a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) a c (\displaystyle c) majú tendenciu k nule), potom sa hyperbolické vzťahy v pravouhlom trojuholníku približujú vzťahu klasickej Pytagorovej vety.

Aplikácia

Vzdialenosť v dvojrozmerných pravouhlých sústavách

Najdôležitejšou aplikáciou Pytagorovej vety je určenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi v súradniciach pravouhlého systému: vzdialenosť s (\displaystyle s) medzi bodmi so súradnicami (a , b) (\displaystyle (a,b)) a (c, d) (\displaystyle (c,d)) rovná sa:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Pre komplexné čísla dáva Pytagorova veta prirodzený vzorec na nájdenie modulového komplexného čísla – napr. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) rovná sa dĺžke