Harmonický oscilátor(v klasickej mechanike) - systém, ktorý po odstránení z rovnovážnej polohy zažije pôsobenie vratnej sily Fúmerné výtlaku X :

,

kde k- konštantný koeficient.

Ak F- jediná sila pôsobiaca na sústavu, vtedy sa sústava nazýva jednoduché alebo konzervatívny harmonický oscilátor. Voľné kmity takéhoto systému predstavujú periodický pohyb okolo rovnovážnej polohy (harmonické kmity). Frekvencia a amplitúda sú konštantné a frekvencia nezávisí od amplitúdy.

Mechanickými príkladmi harmonického oscilátora sú matematické kyvadlo (s malými uhlami vychýlenia), torzné kyvadlo a akustické systémy. Medzi nemechanickými analógmi harmonického oscilátora je možné vyčleniť elektrický harmonický oscilátor (pozri obvod LC).

Voľné kmity konzervatívneho harmonického oscilátora

Rovnica a jej riešenia

Nechať byť X- posunutie hmotného bodu vzhľadom na jeho rovnovážnu polohu a F- pôsobenie na bodovú vratnú silu akejkoľvek povahy formy

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

kde k= konšt. Potom pomocou druhého Newtonovho zákona môžeme zapísať zrýchlenie ako

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

označujúci ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m) a nahradenie a na druhú deriváciu súradnice vzhľadom na čas x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), máme

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

Táto diferenciálna rovnica popisuje správanie konzervatívneho harmonického oscilátora. hodnota ω 0 (\displaystyle \omega _(0)) nazývaná cyklická frekvencia. (Týka sa kruhovej frekvencie meranej v radiánoch za sekundu. Ak ju chcete previesť na frekvenciu vyjadrenú v hertzoch, musíte ju vydeliť 2 π (\displaystyle 2\pi ).)

Riešenie tejto rovnice budeme hľadať vo forme

x (t) = sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

Tu A- amplitúda, ω - frekvencia kmitov, φ - počiatočná fáza.

Dosadíme do diferenciálnej rovnice a dostaneme:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

Amplitúda je znížená. To znamená, že môže mať akúkoľvek hodnotu (vrátane nuly - to znamená, že hmotný bod je v pokoji v rovnovážnej polohe). Sínus môže byť tiež znížený, pretože rovnosť musí platiť kedykoľvek t. Podmienka pre frekvenciu oscilácie teda zostáva:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

Jednoduchý harmonický pohyb je základom niektorých spôsobov analýzy zložitejších typov pohybu. Jedna z týchto metód je založená na Fourierovej transformácii, ktorej podstatou je rozložiť zložitejší typ pohybu na sériu jednoduchých harmonických pohybov.

Príklady oscilátorov

Každý systém, v ktorom sa vyskytuje jednoduchý harmonický pohyb, má dve kľúčové vlastnosti:

• keď je systém mimo rovnováhy, musí existovať vratná sila, ktorá má tendenciu priviesť systém späť do rovnováhy;
• vratná sila musí byť presne alebo približne úmerná posunutiu.

Nižšie uvádzame niekoľko príkladov.

Horizontálny pružinový systém

Typickým príkladom systému, v ktorom dochádza k jednoduchému harmonickému pohybu, je idealizovaný systém hmota-pružina, v ktorom je hmota pripevnená k pružine a je umiestnená na vodorovnom povrchu. Ak pružina nie je stlačená a nenatiahnutá, tak na zaťaženie nepôsobia žiadne premenlivé sily a je v stave mechanickej rovnováhy. Ak sa však záťaž odstráni z rovnovážnej polohy, pružina sa zdeformuje a z jej strany bude pôsobiť sila, ktorá má tendenciu vrátiť záťaž do rovnovážnej polohy. V prípade systému záťažových pružín je takouto silou elastická sila pružiny, ktorá sa riadi Hookovým zákonom:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

kde k má veľmi špecifický význam - ide o koeficient tuhosti pružiny.

Akonáhle je posunuté zaťaženie vystavené pôsobeniu vratnej sily, ktorá ho zrýchľuje a má tendenciu ho vrátiť do východiskového bodu, to znamená do rovnovážnej polohy. Keď sa zaťaženie blíži k rovnovážnej polohe, vratná sila klesá a má tendenciu k nule. Avšak v pozícii X = 0 zaťaženie má určitý pohyb (hybnosť), získaný pôsobením vratnej sily. Záťaž preto preskočí rovnovážnu polohu a začne pružinu opäť deformovať (ale v opačnom smere). Obnovovacia sila bude mať tendenciu ju spomaliť, kým rýchlosť nebude nulová; a sila sa bude opäť snažiť vrátiť záťaž do rovnovážnej polohy.

Ak nedôjde k strate energie, záťaž bude oscilovať, ako je opísané vyššie; tento pohyb je periodický.

Vertikálny systém záťažových pružín

V prípade bremena vertikálne zaveseného na pružine spolu s elastickou silou pôsobí gravitácia, to znamená, že celková sila bude

F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).

Ak urobíme zmenu premennej tak, aby fungovala s nehodnotou x (\displaystyle x) a hodnotu X = x + mg/k (\displaystyle X=x+mg/k), potom bude mať pohybová rovnica tvar zhodný s prípadom horizontálnej geometrie, len pre premennú X (\displaystyle X).

Oscilácie budú prebiehať s rovnakou frekvenciou ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Ak však v horizontálnom prípade stav nedeformovanej pružiny zodpovedal rovnováhe, potom vo vertikálnej verzii bude pružina v rovnováhe natiahnutá. Závislosti frekvencie od veľkosti zrýchlenia voľného pádu g (\displaystyle g) zatiaľ čo nie; g (\displaystyle g) ovplyvňuje len posun rovnovážnej polohy m g / k (\displaystyle mg/k).

Meranie frekvencie (alebo periódy) kmitov bremena na pružine sa používa v prístrojoch na zisťovanie hmotnosti telesa - takzvané merače hmotnosti, používané na vesmírnych staniciach, keď váhy nemôžu fungovať v stave beztiaže.

Univerzálny kruhový pohyb

Jednoduchý harmonický pohyb možno v niektorých prípadoch považovať za jednorozmernú projekciu univerzálneho kruhového pohybu.

Ak sa objekt pohybuje konštantnou uhlovou rýchlosťou ω po kružnici s polomerom r, ktorého stred je počiatkom roviny x − y, potom je takýto pohyb pozdĺž každej zo súradnicových osí jednoduchý harmonický s amplitúdou r a kruhová frekvencia ω .

Hmotnosť ako jednoduché kyvadlo

Pri aproximácii malých uhlov je pohyb jednoduchého kyvadla blízky jednoduchej harmonickej. Perióda kmitania takéhoto kyvadla pripevneného k tyči dĺžky ℓ , je daný vzorcom

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

kde g- gravitačné zrýchlenie. To ukazuje, že perióda oscilácie nezávisí od amplitúdy a hmotnosti kyvadla, ale závisí od g, teda pri rovnakej dĺžke kyvadla sa na Mesiaci bude hojdať pomalšie, keďže gravitácia je tam slabšia a hodnota zrýchlenia voľného pádu je nižšia.

Uvedená aproximácia je správna len pri malých uhloch vychýlenia, pretože výraz pre uhlové zrýchlenie je úmerný sínusu súradnice:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

kde ja- moment zotrvačnosti ; v tomto prípade ja = mℓ 2. Malé uhly sa realizujú za podmienok, keď je amplitúda kmitov oveľa menšia ako dĺžka tyče.

ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

čím je uhlové zrýchlenie priamo úmerné uhlu θ a to spĺňa definíciu jednoduchého harmonického pohybu.

Voľné kmity tlmeného harmonického oscilátora

Rovnica a jej riešenia

Pri uvažovaní o tlmenom oscilátore sa za základ berie model konzervatívneho oscilátora, ku ktorému sa pripočítava viskózna trecia sila. Sila viskózneho trenia je nasmerovaná proti rýchlosti zaťaženia voči médiu a je priamo úmerná tejto rýchlosti. Potom sa celková sila pôsobiaca na zaťaženie zapíše takto:

F = − k x − α v. (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

Pomocou druhého Newtonovho zákona získame diferenciálnu rovnicu popisujúcu tlmený oscilátor:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\bodka (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .)

Tu je zápis: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). Koeficient γ (\displaystyle \gamma ) sa nazýva konštanta tlmenia. Má tiež rozmer frekvencie.

Riešenie spadá do troch prípadov.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

kde ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frekvencia voľných kmitov.

x (t) = (A + Bt)e − γt. (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t, (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t))

kde β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).)

Plán:

Úvod

• 1 Voľné vibrácie
  • 1.1 Konzervatívny harmonický oscilátor
    • 1.1.1
      • 1.1.1.1 Dynamika jednoduchého harmonického pohybu
      • 1.1.1.2 Energia jednoduchého harmonického pohybu
      • 1.1.1.3 Príklady
        • 1.1.1.3.1 Hmotnosť pružiny
        • 1.1.1.3.2 Univerzálny kruhový pohyb
        • 1.1.1.3.3 Hmotnosť ako jednoduché kyvadlo
  • 1.2 Tlmený harmonický oscilátor
• 2 Nútené vibrácie
Literatúra
Poznámky

Úvod

Harmonický oscilátor(v klasickej mechanike) je systém, ktorý pri premiestnení z rovnovážnej polohy zažíva vratnú silu úmernú posunutiu (podľa Hookovho zákona):

kde k je kladná konštanta popisujúca tuhosť systému.

Ak na systém pôsobí jediná sila, potom sa systém nazýva jednoduché alebo konzervatívny harmonický oscilátor. Voľné kmity takéhoto systému predstavujú periodický pohyb okolo rovnovážnej polohy (harmonické kmity). Frekvencia a amplitúda sú konštantné a frekvencia nezávisí od amplitúdy.

Ak existuje aj trecia sila (útlm) úmerná rýchlosti pohybu (viskózne trenie), potom sa takýto systém nazýva tzv. blednutiu alebo disipačný oscilátor. Ak trenie nie je príliš veľké, potom systém vykonáva takmer periodický pohyb - sínusové kmity s konštantnou frekvenciou a exponenciálne klesajúcou amplitúdou. Frekvencia voľných oscilácií tlmeného oscilátora sa ukazuje byť o niečo nižšia ako frekvencia podobného oscilátora bez trenia.

Ak je oscilátor ponechaný sám na seba, potom sa hovorí, že vykonáva voľné kmity. Ak existuje vonkajšia sila (v závislosti od času), potom hovoríme, že oscilátor zažíva nútené oscilácie.

Mechanickými príkladmi harmonického oscilátora sú matematické kyvadlo (s malými uhlami posunutia), závažie na pružine, torzné kyvadlo a akustické systémy. Medzi ďalšími analógmi harmonického oscilátora stojí za to vyzdvihnúť elektrický harmonický oscilátor (pozri obvod LC).

1. Voľné vibrácie

1.1. Konzervatívny harmonický oscilátor

Ako model konzervatívneho harmonického oscilátora si vezmime hmotné zaťaženie upevnené na pružine s tuhosťou .

Nech je posunutie zaťaženia vzhľadom na rovnovážnu polohu. Potom podľa Hookovho zákona naň bude pôsobiť obnovujúca sila:

Pomocou druhého Newtonovho zákona píšeme

Označením a nahradením zrýchlenia druhou deriváciou súradnice vzhľadom na čas píšeme:

Táto diferenciálna rovnica popisuje správanie konzervatívneho harmonického oscilátora. Koeficient ω 0 sa nazýva cyklická frekvencia oscilátora. (Týka sa kruhovej frekvencie meranej v radiánoch za sekundu. Ak ju chcete previesť na frekvenciu vyjadrenú v Hertzoch, musíte kruhovú frekvenciu vydeliť 2π)

Budeme hľadať riešenie tejto rovnice v tvare:

Tu - amplitúda, - frekvencia kmitov (ešte nie nevyhnutne rovná vlastnej frekvencii), - počiatočná fáza.

Dosadíme do diferenciálnej rovnice.

Amplitúda je znížená. To znamená, že môže mať akúkoľvek hodnotu (vrátane nuly – to znamená, že záťaž je v pokoji v rovnovážnej polohe). Sínus môže byť tiež znížený, pretože rovnosť musí platiť kedykoľvek t. A podmienka pre frekvenciu oscilácie zostáva:

Záporná frekvencia môže byť vylúčená, pretože svojvoľnosť pri výbere tohto znaku je pokrytá svojvoľnosťou pri výbere počiatočnej fázy.

kruhový pohyb a harmonický pohyb

Všeobecné riešenie rovnice je napísané takto:

,

kde amplitúda A a počiatočná fáza sú ľubovoľné konštanty. Tento záznam vyčerpáva všetky riešenia diferenciálnej rovnice, pretože umožňuje splniť akékoľvek počiatočné podmienky (počiatočná poloha zaťaženia a jeho počiatočná rýchlosť).

Stručne povedané, konzervatívny harmonický oscilátor môže vykonávať čisto harmonické oscilácie s frekvenciou rovnajúcou sa jeho vlastnej frekvencii, s amplitúdou ľubovoľnej veľkosti a s ľubovoľnou počiatočnou fázou.

Kinetická energia sa zapíše ako

.

a potenciálna energia je

potom je celková energia konštantná

1.1.1. Jednoduchý harmonický pohyb

Jednoduchý harmonický pohyb je jednoduchý pohyb harmonický oscilátor, periodický pohyb, ktorý nie je nútený ani tlmený. Teleso v jednoduchom harmonickom pohybe je vystavené jedinej premenlivej sile, ktorá je v absolútnej hodnote priamo úmerná posunutiu X a smeruje opačným smerom.

Tento pohyb je periodický: telo kmitá okolo rovnovážnej polohy podľa sínusového zákona. Každá nasledujúca oscilácia je rovnaká ako predchádzajúca a perióda, frekvencia a amplitúda oscilácií zostávajú konštantné. Ak pripustíme, že rovnovážna poloha je v bode so súradnicou rovnou nule, potom posunutie X telo kedykoľvek je dané vzorcom:

A je amplitúda oscilácií, f- frekvencia, φ - počiatočná fáza.

Frekvencia pohybu je určená charakteristickými vlastnosťami systému (napríklad hmotnosťou pohybujúceho sa telesa), pričom amplitúdu a počiatočnú fázu určujú počiatočné podmienky - posun a rýchlosť telesa v momente kmitov. začať. Od týchto vlastností a podmienok závisia aj kinetické a potenciálne energie systému.

Jednoduchý harmonický pohyb. Na tomto animovanom obrázku sú súradnice častice vynesené pozdĺž zvislej osi ( X vo vzorci) a čas je vynesený pozdĺž horizontálnej osi ( t).

Jednoduchým harmonickým pohybom môžu byť matematické modely rôznych druhov pohybu, ako je kmitanie pružiny. Ďalšie prípady, ktoré možno zhruba považovať za jednoduchý harmonický pohyb, sú pohyb kyvadla a vibrácie molekúl.

Jednoduchý harmonický pohyb je základom niektorých spôsobov analýzy zložitejších typov pohybu. Jedna z týchto metód je založená na Fourierovej transformácii, ktorej podstatou je rozložiť zložitejší typ pohybu na sériu jednoduchých harmonických pohybov.

Jednoduchý harmonický pohyb zobrazený súčasne v reálnom priestore a fázovom priestore. Tu sú rýchlostná os a polohová os znázornené odlišne od bežného znázornenia súradnicových osí - je to urobené tak, že oba obrázky si navzájom zodpovedajú. Real Space - skutočný priestor; Phase Space - fázový priestor; rýchlosť - rýchlosť; poloha - poloha (pozícia).

Typickým príkladom systému, v ktorom dochádza k jednoduchému harmonickému pohybu, je idealizovaný systém hmota-pružina, v ktorom je hmota pripojená k pružine. Ak pružina nie je stlačená a nie je natiahnutá, potom na zaťaženie nepôsobia žiadne premenlivé sily a zaťaženie je v stave mechanickej rovnováhy. Ak sa však záťaž uvoľní z rovnovážnej polohy, pružina sa zdeformuje a na záťaž z jej strany bude pôsobiť sila, ktorá bude mať tendenciu vrátiť záťaž do rovnovážnej polohy. V prípade systému záťažových pružín je takouto silou elastická sila pružiny, ktorá sa riadi Hookovým zákonom:

F = − kX, F- obnovujúca sila X- pohyb bremena (deformácia pružiny), k- koeficient tuhosti pružiny.

Každý systém, v ktorom sa vyskytuje jednoduchý harmonický pohyb, má dve kľúčové vlastnosti:

1. Keď je systém mimo rovnováhy, musí existovať obnovovacia sila, ktorá má tendenciu priviesť systém späť do rovnováhy.
2. Vratná sila musí byť presne alebo približne úmerná posunutiu.

Systém závažia a pružín spĺňa obe tieto podmienky.

Akonáhle je posunuté zaťaženie vystavené pôsobeniu vratnej sily, ktorá ho zrýchľuje a má tendenciu vrátiť sa do východiskového bodu, to znamená do rovnovážnej polohy. Keď sa zaťaženie blíži k rovnovážnej polohe, vratná sila klesá a má tendenciu k nule. Avšak v pozícii X= 0 zaťaženie má určitý pohyb (hybnosť), získaný pôsobením vratnej sily. Záťaž preto preskočí rovnovážnu polohu a začne pružinu opäť deformovať (ale v opačnom smere). Obnovovacia sila bude mať tendenciu ju spomaliť, kým rýchlosť nebude nulová; a sila sa bude opäť snažiť vrátiť záťaž do rovnovážnej polohy.

Pokiaľ v systéme nedôjde k žiadnej strate energie, záťaž bude oscilovať, ako je opísané vyššie; takýto pohyb sa nazýva periodický.

Ďalšia analýza ukáže, že v prípade systému hmota-pružina je pohyb jednoduchý harmonický.

1.1.1.1. Dynamika jednoduchého harmonického pohybu

Pre osciláciu v jednorozmernom priestore, vzhľadom na druhý Newtonov zákon ( F= m d² X/d t² ) a Hookov zákon ( F = −kx, ako je opísané vyššie), máme lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu:

m je hmotnosť tela X- jeho posunutie vzhľadom na rovnovážnu polohu, k- konštantný (faktor tuhosti pružiny).

Riešenie tejto diferenciálnej rovnice je sínusové; jedno riešenie je toto:

kde A, ω a φ sú konštanty a rovnovážna poloha sa berie ako počiatočná. Každá z týchto konštánt predstavuje dôležitú fyzikálnu vlastnosť pohybu: A je amplitúda ω = 2π f je kruhová frekvencia a φ - počiatočná fáza.

Poloha, rýchlosť a zrýchlenie harmonického oscilátora

Pomocou metód diferenciálneho počtu možno rýchlosť a zrýchlenie ako funkciu času nájsť pomocou vzorcov:

Poloha, rýchlosť a zrýchlenie jednoduchého harmonického pohybu vo fázovej rovine

Zrýchlenie možno vyjadriť aj ako funkciu posunutia:

Pokiaľ ide o ma = −mω² X = −kx , potom

Vzhľadom na to ω = 2π f, dostaneme

a odvtedy T = 1/f, kde T je doba oscilácie, potom

Tieto vzorce ukazujú, že perióda a frekvencia nezávisia od amplitúdy a počiatočnej fázy pohybu.

1.1.1.2. Energia jednoduchého harmonického pohybu

Kinetická energia K systémy ako funkcia času t je:

a potenciálna energia je

Celková mechanická energia systému má však konštantnú hodnotu

1.1.1.3. Príklady

Systém záťažových pružín bez tlmenia, v ktorom dochádza k jednoduchému harmonickému pohybu.

Jednoduchý harmonický pohyb je reprezentovaný v rôznych jednoduchých fyzikálnych systémoch a niektoré príklady sú uvedené nižšie.

1.1.1.3.1. Váha na pružine

Hmotnosť m pripevnený k pružine konštantnej tuhosti k je príkladom jednoduchého harmonického pohybu v priestore. Vzorec

ukazuje, že perióda kmitania nezávisí od amplitúdy a gravitačného zrýchlenia.

1.1.1.3.2. Univerzálny kruhový pohyb

Jednoduchý harmonický pohyb možno v niektorých prípadoch považovať za jednorozmernú projekciu univerzálneho kruhového pohybu. Ak sa objekt pohybuje uhlovou rýchlosťou ω po obvode polomeru r, ktorého stred je počiatkom roviny X-r, potom je takýto pohyb pozdĺž každej zo súradnicových osí jednoduchý harmonický s amplitúdou r a kruhová frekvencia ω .

1.1.1.3.3. Hmotnosť ako jednoduché kyvadlo

Pohyb kyvadla bez tlmenia možno približne považovať za jednoduchý harmonický pohyb, ak je amplitúda kmitania veľmi malá v porovnaní s dĺžkou tyče.

Pri aproximácii malých uhlov je pohyb jednoduchého kyvadla blízky jednoduchej harmonickej. Perióda kmitania takéhoto kyvadla pripevneného k tyči dĺžky ℓ so zrýchlením voľného pádu g je daný vzorcom

To ukazuje, že perióda oscilácie nezávisí od amplitúdy a hmotnosti kyvadla, ale závisí od zrýchlenia voľného pádu. g, teda pri rovnakej dĺžke kyvadla sa na Mesiaci bude otáčať pomalšie, keďže je tam slabšia gravitácia a hodnota zrýchlenia voľného pádu je nižšia.

Uvedená aproximácia je správna iba pri malých uhloch, pretože výraz pre uhlové zrýchlenie je úmerný sínusu súradnice:

ja- moment zotrvačnosti; v tomto prípade ja = mℓ 2 .

čím je uhlové zrýchlenie priamo úmerné uhlu θ , a to spĺňa definíciu jednoduchého harmonického pohybu.

1.2. Tlmený harmonický oscilátor

Ak vezmeme za základ rovnaký model, pridáme k nemu silu viskózneho trenia. Sila viskózneho trenia je nasmerovaná proti rýchlosti pohybu bremena voči médiu a je úmerná tejto rýchlosti. Potom sa celková sila pôsobiaca na zaťaženie zapíše takto:

Vykonaním podobných akcií získame diferenciálnu rovnicu popisujúcu tlmený oscilátor:

Tu je zavedený zápis: . Koeficient γ sa nazýva konštanta tlmenia. Má tiež rozmer frekvencie.

Riešenie spadá do troch prípadov.

• Pri nízkom trení (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, kde je frekvencia voľných kmitov.

• Tlmenie γ = ω 0 sa nazýva kritický. Od tejto hodnoty indexu tlmenia bude oscilátor vykonávať takzvaný nekmitavý pohyb. V hraničnom prípade ide o návrh podľa zákona:

• Pre silné trenie γ > ω 0 vyzerá riešenie takto:

, kde

Kritické tlmenie je pozoruhodné tým, že práve počas kritického tlmenia sa oscilátor najrýchlejšie približuje k rovnovážnej polohe. Ak je trenie menšie ako kritické, dostane sa do rovnovážnej polohy rýchlejšie, zotrvačnosťou ju však „prešmykne“ a bude oscilovať. Ak je trenie väčšie ako kritické, oscilátor bude mať exponenciálny sklon k rovnovážnej polohe, ale čím pomalšie, tým väčšie je trenie.

Preto sa v číselníkových meradlách (napríklad v ampérmetroch) zvyčajne snažia zaviesť presne kritický útlm, aby čo najrýchlejšie odčítali jeho hodnoty.

Tlmenie oscilátora je tiež často charakterizované bezrozmerným parametrom nazývaným ako faktor kvality. Faktor kvality sa zvyčajne označuje písmenom Q. Faktor kvality je podľa definície:

Čím väčší je faktor kvality, tým pomalšie doznievajú oscilácie oscilátora.

Oscilátor s kritickým tlmením má faktor kvality 0,5. V súlade s tým faktor kvality udáva povahu správania oscilátora. Ak je faktor kvality väčší ako 0,5, potom voľný pohyb oscilátora je oscilácia; v priebehu času prekročí rovnovážnu polohu neobmedzene veľakrát. Faktor kvality menší alebo rovný 0,5 zodpovedá neoscilačnému pohybu oscilátora; pri voľnom pohybe prekročí rovnovážnu polohu najviac raz.

Faktor kvality sa niekedy nazýva zisk oscilátora, pretože pri niektorých spôsoboch budenia, keď sa frekvencia budenia zhoduje s rezonančnou amplitúdou, sa amplitúda oscilácie ukáže približne Q krát väčšia ako pri excitácii pri nízkej frekvencii.

Taktiež faktor kvality sa približne rovná počtu oscilačných cyklov, počas ktorých amplitúda oscilácií klesá v r. e krát vynásobené π.

V prípade kmitavého pohybu je útlm charakterizovaný aj takými parametrami ako:

• Život váhanie, to čas rozpadu, to je relaxačný čas. τ je čas, počas ktorého sa bude amplitúda oscilácie znižovať e raz.

τ = 1 / γ Tento čas sa považuje za čas potrebný na utlmenie (zastavenie) kmitov (hoci formálne voľné kmity trvajú donekonečna).

2. Nútené vibrácie

Hlavný článok: Nútené vibrácie

Oscilácie oscilátora sa nazývajú vynútené, keď naň pôsobí nejaký dodatočný vonkajší vplyv. Tento vplyv možno vyvolať rôznymi prostriedkami a podľa rôznych zákonov. Napríklad silové budenie je pôsobenie na záťaž silou, ktorá závisí len od času podľa určitého zákona. Kinematické budenie je pôsobenie na oscilátor pohybom fixačného bodu pružiny podľa daného zákona. Možný je aj účinok trenia - to je vtedy, keď sa napríklad médium, s ktorým bremeno zažíva trenie, pohybuje podľa daného zákona.

Literatúra

Butikov EI Prirodzené kmity lineárneho oscilátora. Návod

Poznámky

, Jednoduchý vzťah , Jednoduché pole , Jednoduchá veta , Prvočíslo .

prepis

1 IV Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Harmonický pohyb Pred vyriešením úloh z letáku by sa mal zopakovať článok „Mechanické vibrácie“, v ktorom sú uvedené všetky potrebné teórie. Pri harmonickom pohybe sa súradnice telesa menia podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Napríklad, ak x = A sin ωt, potom projekcia rýchlosti a projekcia zrýchlenia je v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sin ωt. Úloha 1. ("Dobyť Sparrow Hills!", 014,) Dve telesá s hmotnosťou M a sú spojené pružinou, ako je znázornené na obrázku. Teleso vykonáva harmonické vibrácie pozdĺž vertikály s frekvenciou ω a amplitúdou A. Pružina je beztiažová. Nájdite pomer najväčších síl F 1 a najmenších F tlaku systému na rovine tabuľky. Zrýchlenie voľného pádu je g. F1 = (M+)g+Aco F(M+)gAco pre (M+)g > Aco Problém. (Vseross., 006, konečná, 9) Tyč hmotnosti M, spočívajúca na vodorovnom stole, a pružinové kyvadlo, pozostávajúce zo závažia a ľahkej dlhej pružiny, sú spojené ľahkou neroztiahnuteľnou niťou prehodenou cez ideál. nepohyblivý blok (pozri obrázok). Koeficient trenia medzi základňou tyče a povrchom stola µ = 0,3. Pomer hmotnosti tyče k hmotnosti bremena je M/ = 8. Bremeno vykonáva zvislé kmity s periódou T = 0,5 s. Aká je maximálna možná amplitúda A takýchto kmitov, pri ktorých zostávajú harmonické? A () um1 gt4pi = 8,8 cm, Agt4π = 6,3 cm; teda A = 6,3 cm Úloha 3. Kyvadlo vykonáva harmonické kmity. Počas akej časti periódy kmitania sa kyvadlo vzdiali z rovnovážnej polohy najviac o polovicu amplitúdy? 1/3 Úloha 4. (MIPT, 006) Guľa visiaca na pružnej pružine kmitá s periódou T a amplitúdou A pozdĺž vertikály. Hmotnosť gule je oveľa väčšia ako hmotnosť pružiny. 1) Nájdite maximálnu rýchlosť (modulo) lopty v.) Nájdite zrýchlenie (modulo) lopty v časoch, keď sa jej rýchlosť (modulo) rovná v /3. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Úloha 5. (MIPT, 1996) Pohár so závažím pružinovej váhy je v pokoji. Na pohár sa položilo ďalšie závažie. Nájdite amplitúdu kmitov pohára. Tuhosť pružiny. A = g Úloha 6. (MIPT, 1996) Pružina je pevne pripevnená k stropu a tyči hmotou (pozri obrázok). Tyč leží na stojane tak, že os pružiny je zvislá a pružina je stlačená o hodnotu L. Stojan sa rýchlo odstráni. Nájdite amplitúdu vibrácií tyče. A = L + g Po vyhorení nite začalo horné závažie kmitať s amplitúdou A. Nájdite hmotnosť spodného závažia. = A g Úloha 8. (MIPT, 1996) Závažie sa priviaže niťou prehodenou cez blok k inému závažiu, ktoré je držané na hladkom vodorovnom stole pružinou pripevnenou k stene (pozri obrázok). Niť je vyhorená a zaťaženie na stole začne oscilovať s amplitúdou A. Nájdite tuhosť pružiny. = g A Úloha 9. (MIPT, 199) Dve závažia s celkovou hmotnosťou = 1 kg, spojené pružnou pružinou s tuhosťou = 100 N/m, visia na niti (pozri obrázok). Nájdite všetky možné vzdialenosti, do ktorých by sa malo spodné závažie stiahnuť kolmo nadol a následne uvoľniť tak, aby pri jeho následných kmitoch zostalo horné závažie nehybné. A g 10 cm Úloha 10. (MIPT, 199) Dve závažia s celkovou hmotnosťou = 1 kg, spojené závitom, visia na pružnej pružine s tuhosťou = 100 N/m (pozri obrázok). Nájdite všetky možné vzdialenosti, na ktoré treba závažia stiahnuť kolmo nadol a následne uvoľniť, aby sa niť neprehýbala pri následných vibráciách závaží. A g 10 cm Úloha 11. (MIPT, 199) Doska, na ktorej leží tyč, sa položí na hladkú vodorovnú plochu stola (pozri obrázok). Blok je päťkrát ťažší ako doska. Systém kmitá s amplitúdou A = 8 cm a periódou T = 0,8 s pozdĺž povrchu stola pôsobením pružiny pripevnenej k tyči. Doska a lišta sú počas vibrácií voči sebe nehybné. Pri akých hodnotách koeficientu trenia medzi doskou a tyčou sú možné takéto oscilácie? u 4π A gt M 0,1

3 Úloha 1. (MIPT, 199) Doska, na ktorej leží tyč, je na hladkej vodorovnej ploche stola (pozri obrázok). Systém kmitá pôsobením pružnej pružiny pozdĺž priamky s periódou T = 1 a maximálnou rýchlosťou v = 0,5 m/s. V tomto prípade sú doska a tyč voči sebe nehybné. Pri akých hodnotách koeficientu klzného trenia medzi doskou a tyčou sú možné takéto oscilácie? µ π T v g 0,3 Úloha 13. (MIPT, 005) Na hladkej naklonenej rovine s uhlom sklonu k horizontu α kmitá podložka hmotnosti a tyč hmotnosti 3 s amplitúdou A ako jedna jednotka pozdĺž priamky pod pôsobenie pružiny s tuhosťou pripevnenej k tyči (pozri . obrázok). Pri akom minimálnom koeficiente klzného trenia medzi podložkou a tyčou sú možné takéto oscilácie? 3 α µin = tg α + A 4g cos α pozri obrázok). Koeficient klzného trenia medzi tyčou a doskou je µ. Pri akej maximálnej amplitúde kmitov sú takéto kmity možné? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Úloha 15. (MIPT, 007) Blok hmoty kmitá s amplitúdou A 0 pozdĺž priamky na hladkom vodorovnom povrchu stola pôsobením pružnej pružiny. V momente, keď bol posun tyče z rovnovážnej polohy A 0 /3, spadol na ňu kus plastelíny s hmotou a prilepil sa, pričom sa pred dopadom pohyboval vertikálne. Doba nárazu je oveľa kratšia ako doba oscilácie a počas nárazu sa tyč nezíde zo stola. 1) Ako a koľkokrát sa zmenila perióda kmitania?) Nájdite amplitúdu kmitania tyče po nalepení plastelíny. 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 hmotnosť nového nákladu bola trojnásobná oproti pôvodnému. 1) Koľkokrát sa hodnota maximálneho zrýchlenia ax pri výsledných kmitoch líši od zrýchlenia voľného pádu g?) S akou veľkosťou sa pohybuje bremeno v momente, keď jeho kinetická energia T = 3U 0? Ignorujte tlmenie kmitov. 1) aax = g 3;) a = 1 3 g 3

4 Úloha 17. (MIPT, 003) Guľa visí na pružine v gravitačnom poli g. V rovnovážnej polohe má pružina uloženú energiu rovnajúcu sa U 0. Gulička sa stiahne dole, takže energia U 1 \u003d 9U 0 /4 sa uloží do pružiny a potom sa uvoľní. 1) Aká je hodnota maximálneho zrýchlenia ax, s ktorým sa loptička pohybuje pri výsledných vertikálnych kmitoch?) Aká je kinetická energia T pohybu lopty v momente, keď jej zrýchlenie je a = ax /? Ignorujte tlmenie kmitov. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Úloha 18. (MIPT, 000) Guľôčky sú namontované na rovnej vodorovnej špici a môžu sa po nej posúvať bez trenia (pozri obrázok). K lopte je hmotou pripevnená ľahká pružina a tá je v pokoji. Guľa hmoty sa pohybuje rýchlosťou v. Polomery guľôčok sú oveľa menšie ako dĺžka pružiny. 1) Určte rýchlosť guľôčkovej hmoty po oddelení od pružiny.) Určte čas kontaktu guľôčkovej hmoty s pružinou. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Úloha 19. (MIPT, 000) Dve tyče hmôt v 3 a 3 spojené závitom sa pohybujú po hladkej vodorovnej ploche stola konštantnou rýchlosťou v. Medzi tyčami je pružina s tuhosťou, stlačená x 0 (pozri obrázok). Pružina je pripevnená iba k tyči hmotou. Rozmery tyčí sú malé v porovnaní s dĺžkou závitu, hmotnosť pružiny je zanedbaná, rýchlosť tyčí smeruje pozdĺž závitu. Počas pohybu sa vlákno pretrhne a tyče sa od seba vzdialia v počiatočnom smere vlákna. 1) Nájdite rýchlosť tyče s hmotnosťou 3 po jej oddelení od pružiny.) Nájdite čas kontaktu medzi pružinou a tyčou s hmotnosťou 3, počítajúc od okamihu pretrhnutia závitu. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Úloha 0. (MIPT, 1999) Malý blok hmoty leží na hladkom stole vo vnútri pevného rámu. Dĺžka rámu je L, hmotnosť. Pomocou ľahkej tyče a pružiny je tyč pevne spojená s pevnou podperou (pozri obrázok). Tyč sa presunie na opačnú stranu rámu a uvoľní sa. V dôsledku elastických kolízií tyč a rám vykonávajú periodické pohyby. 1) Nájdite rýchlosť rámu bezprostredne po prvej zrážke s tyčou.) Nájdite periódu kmitania tyče. 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 Úloha 1. (MIPT, 1999) Malý blok hmoty leží na hladkom stole vo vnútri pevného rámu dĺžky L a hmotnosti. Tyč je pomocou ľahkej tyče a pružiny pevne spojená s pevnou podperou 1 (pozri obrázok). Rám je pevne spojený s pevnou podperou pomocou pružiny. V počiatočnej polohe sa tyč dotýkala ľavej strany rámu a pružiny neboli zdeformované. Rám sa posunie doľava, kým sa lišta nedotkne pravej steny rámu, a uvoľní sa. V dôsledku elastických kolízií tyč a rám vykonávajú periodické pohyby. 1) Nájdite rýchlosť tyče bezprostredne po prvej kolízii s rámom.) Nájdite periódu oscilácie rámu. 1) v = L ;) T = π Úloha. (MIPT, 1997) Malá gulička hmoty s kladným nábojom q visí na dlhom neroztiahnuteľnom závite blízko veľkej nevodivej dosky P (pozri obrázok). Určte periódu malých kmitov lopty, keď je na doštičke záporný náboj s povrchovou hustotou σ, ak je známe, že bez tohto náboja sa perióda kmitov lopty rovná T 0. Uvažujme zrýchlenie gravitácie, ktorá má byť daná a rovná sa g. T = T0 1+ σg ε 0 g Úloha 3. (MIPT, 1997) Tenkostenný valec s hladkým vnútorným povrchom nehybne spočíva na vodorovne umiestnenej nevodivej doske P (pozri obrázok). Rozmery dosky (v horizontálnej rovine) sú oveľa väčšie ako rozmery valca. Je známe, že pomer periódy oscilácie malej záporne nabitej guľôčky vo valci pri určitej kladnej hustote povrchových nábojov σ x dosky k perióde oscilácie pri σ = 0 sa rovná T x /T 0 = α. určite σ x, berúc do úvahy pomer α, náboj gule q, jej hmotnosť a gravitačné zrýchlenie g, ako je uvedené. σx = ε 0(1 α)g α q Úloha 4. („Dobyj vrabčie vrchy!“, 015,) Vertikálne koleno hladkej rúrky konštantného prierezu ohnutej do pravého uhla je naplnené kvapalinou, ktorá môže byť považované za takmer ideálne. Výška tohto kolena je rovná L (a je zreteľne väčšia ako priečny rozmer trubice) a jeho transfúzia do horizontálneho kolena nie je povolená z dôvodu nehybnej zástrčky svetla. V určitom okamihu sa korok jemne uvoľní. Ako dlho bude trvať, kým korok vyskočí z tuby? Dĺžka horizontálneho kolena je 3L/, povrchové napätie sa ignoruje. t = π+1 L g 5

6 Úloha 5. („Dobyj vrabčie vrchy!“, 014,) V systéme znázornenom na obrázku sú hmotnosti bremien rovné 1 a tuhosť pružiny, blokov, závitu a pružiny beztiaže, bloky sa otáčajú bez trenia, závit nekĺže po blokoch. V rovnovážnej polohe je pružina natiahnutá. Záťaž 1 sa posunie z rovnovážnej polohy smerom nadol o vzdialenosť s, po ktorej záťaže vykonajú harmonické kmity. Nájdite maximálne rýchlosti kmitajúcich hmôt. v1 = s, v = v1/ za predpokladu, že s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Úloha 9. (MFO, 016, 11) Na obrázku je znázornený mechanický systém, v ktorom sa beztiažový neroztiahnuteľný závit prehadzuje cez beztiažový blok s vodorovnou osou pripevnenou k stropu. Na koncoch závitu sú pripevnené malé hmoty a. Zaťaženie leží na vodorovnej podpere. Náklad visí. Druhá podobná záťaž je pripevnená k záťaži cez beztiažovú ideálnu pružinu s tuhosťou, umiestnenú vertikálne a s malou dĺžkou L 0. V počiatočnom momente sa pružina nedeformuje a druhé zaťaženie leží na rovnakej podpere ako zaťaženie. Vzdialenosť od horného zaťaženia k bloku sa rovná l 0. Voľné úseky závitu, ktoré neležia na kladke bloku, sú vertikálne. V čase t = 0 podpora zmizne (rýchlo sa odstráni smerom nadol). Po čase τ sa jedno zo závaží dotklo bloku. Čo je to za náklad? Pri akej hodnote l 0 je maximálny čas τ? Aká je táto maximálna hodnota τ? náklad; τax = π 3 4 pre l 0 = g 7

IV Jakovlev Fyzikálne materiály MathUs.ru Elastické interakcie Počas elastickej interakcie telies, najmä pri elastickom náraze, nedochádza k žiadnym zmenám v ich vnútornom stave; vnútornej energie telies

IV Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Kinematické vzťahy v dynamike V niektorých problémoch dynamiky sa spolu s Newtonovými zákonmi vyžadujú ďalšie netriviálne vzťahy medzi zrýchleniami telies.

IV Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Elastické interakcie Počas elastickej interakcie telies (najmä pri elastickom náraze) nedochádza k žiadnym zmenám v ich vnútornom stave; vnútornej energie

IV Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Rovnica harmonických kmitov Rovnica kmitov. 2 ẍ + ω 2 x = 0 možno získať diferenciáciou zákona zachovania energie vzhľadom na čas. Ukážme si to na najjednoduchšom

Dve lode spolu s nákladom majú hmotnosti M a M. Lode idú proti sebe v paralelných kurzoch. Keď sú lode oproti sebe, z každej lode sa súčasne prenesie jedna taška na opačnú.

IV Jakovlev Fyzikálne materiály MathUs.ru Viazané telesá Úloha 1. Dve telesá s hmotnosťou m a 2 m sú spojené ľahkým neroztiahnuteľným závitom a ležia na hladkej vodorovnej ploche (teleso s hmotnosťou m je umiestnené vľavo).

I. V. Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Neelastické interakcie Príkladmi nepružných interakcií sú preniknutie tyče guľkou alebo absolútne nepružný náraz (po ktorom sa telesá pohybujú ako jeden

Dištančný tréning bituru FYZIKA Článok 8 Mechanické oscilačné systémy Teoretický materiál V tomto článku budeme uvažovať o metódach riešenia problémov o oscilačnom pohybe telies pomocou oscilačného pohybu

C1.1. Dve rovnaké tyče spojené ľahkou pružinou spočívajú na hladkej vodorovnej ploche stola. V okamihu t = 0 sa pravý blok začne pohybovať tak, aby v čase x nabral konečnú rýchlosť

I. V. Jakovlev Fyzikálne materiály MathUs.ru Elastická sila Úloha 1. (MOSh, 2018, 10) Teleso s hmotnosťou m = 2 kg spočíva na pružine s tuhosťou k = 100 N/m pripevnenej k stropu (pozri obr. ). Začína na ňom

1.2.1. Inerciálne referenčné systémy. Newtonov prvý zákon. Galileov princíp relativity 28(C1).1. Cestujúci autobusu na zastávke uviazal svetelný balón naplnený

1 Kinematika 1 Hmotný bod sa pohybuje po osi x tak, že časová súradnica bodu je x(0) B Nájsť x (t) V x At V počiatočnom momente Hmotný bod sa pohybuje po osi x tak, že ax A x Pri počiatočnom

IV Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Nekonzervatívne systémy Mechanická energia E = K + W nie je zachovaná v nekonzervatívnom systéme. Ak napríklad na telesá sústavy pôsobia trecie sily, tak

216 ročník Trieda 9 Lístok 9-1 1 Dve bremená s hmotnosťou m a umiestnené na hladkom vodorovnom stole sú spojené závitom a spojené s bremenom s hmotnosťou 3 m ďalším závitom prehodeným cez beztiažový blok (pozri obr.) Trením

Úlohy k výpočtovej úlohe (EnMI) v mechanike 2013/14 1. Kinematika 1. Kameň je hodený kolmo nahor z výšky 10 m počiatočnou rýchlosťou 8 m/s. Napíšte pohybovú rovnicu v troch verziách umiestnením

7 .. Tenká homogénna tyč s hmotnosťou m a dĺžkou L sa môže otáčať okolo pevnej horizontálnej osi O prechádzajúcej cez horný koniec tyče. K spodnému koncu tyče je pripevnený koniec horizontály

Skupina 12-EUN Možnosť 1. 5.49. 1. Teleso s hmotnosťou 313 kg sa pri brzdení pohybuje rovnomerne. Jeho rýchlosť klesá zo 17 m/s na 2 m/s za 42 sekúnd. Nájdite brzdnú silu. 2. Auto vypnuté

Lekcia 7 Zákony ochrany Úloha 1 Obrázok ukazuje grafy zmeny rýchlostí dvoch vzájomne sa ovplyvňujúcich vozíkov rôznych hmotností (jeden vozík dobieha a tlačí druhý). Aké informácie o vozíkoch

2. DYNAMIKA TRANSLAČNÉHO POHYBU 134. Na teleso pôsobí konštantná sila F = 10-2 N. Teleso sa pohybuje zrýchlením a = 0,5 m/s 2. Určte hmotnosť telesa. 135. Teleso s hmotnosťou 250 g sa pohybuje zrýchlene

ДЗ2015(2)2.2(5) 1. Závažie pripevnené k stene pružinou leží na drsnom povrchu. Pružina nie je zdeformovaná. Ak sa náklad potiahne o vzdialenosť L a uvoľní sa, zastaví sa vo svojej pôvodnej polohe,

Odložené úlohy (88) Lopta hodená kolmo nahor rýchlosťou υ po určitom čase spadla na povrch Zeme. Ktorý graf zodpovedá závislosti priemetu rýchlosti na osi x od času pohybu?

Stránka 1 z 9. 4. 11. 2016 21:29 Masívna doska je otočne zavesená na strope na svetelnej tyči. Guľôčka plastelíny s hmotnosťou 0,2 kg narazí rýchlosťou 10 m/s na dosku a prilepí sa na ňu. rýchlosť lopty predtým

Druhá finálová) etapa akademickej súťaže olympiády pre školákov „Krok do budúcnosti“ vo všeobecnovzdelávacom predmete „Fyzika“ Jar, 6. variant 5 PROBLÉM Telo sa rovnomerne pohybuje s

Lístok N 5 Lístok N 4 Otázka N 1 Dve tyče s hmotnosťou m 1 \u003d 10,0 kg a m 2 \u003d 8,0 kg, spojené ľahkou neroztiahnuteľnou niťou, sa posúvajú pozdĺž naklonenej roviny s uhlom sklonu \u003d 30. Určte zrýchlenie systému.

Ročník 16 1. trieda Lístok 1-1 1. Dve bremená závaží a 5, umiestnené na hladkom vodorovnom stole, sú spojené závitom a spojené s bremenom závažím iného závitu prehodeného cez beztiažový blok (pozri obr.) . trenie

"KMITY A VLNY" INDIVIDUÁLNA ÚLOHA 1. Variant 1. 1. O akú časť dĺžky sa má zmenšiť dĺžka matematického kyvadla, aby sa doba jeho kmitov vo výške 10 km rovnala perióde jeho kmitov. oscilácie

Druhá finálová) etapa akademickej súťaže olympiády pre školákov „Krok do budúcnosti“ vo všeobecnovzdelávacom predmete „Fyzika“ Jar, 6 rokov Variant 3 PROBLÉM Telo sa rovnomerne pohybuje

Tematická diagnostická práca pri príprave na skúšku z FYZY na tému "Mechanika" 18. december 2014 10. ročník Možnosť PHI00103 (90 minút) Okres. Mesto (mesto). Priezvisko školskej triedy. Názov.

Zošit pre študentov izprtalru 6 Dynamika priamočiareho pohybu Základná rovnica dynamiky hmotného bodu (2. Newtonov zákon) pre teleso konštantnej hmotnosti v inerciálnych vzťažných sústavách má tvar

Druhý (finálový) stupeň akademickej súťaže olympiády pre školákov „Krok do budúcnosti“ vo všeobecnovzdelávacom predmete „Fyzika“ Jar, 6 r.

Zákon zmeny polomeru-vektora r častice je známy: r (t) b t. Tu t je čas, kladná konštanta, b je vektor konštantnej veľkosti a smeru. Nájdite cestu s, ktorú častica odvtedy prešla

1. Lopta hodená kolmo nahor rýchlosťou υ po určitom čase dopadla na povrch Zeme. Ktorý graf zodpovedá závislosti priemetu rýchlosti na osi x od času pohybu? Os OX smeruje

fyzika. 9. ročník Školenie „Zotrvačnosť. Newtonove zákony. Sily v mechanike» 1 Zotrvačnosť. Newtonove zákony. Sily v mechanike Možnosť 1 1 Kovová tyč je zavesená na pružine a úplne ponorená do nádoby s vodou, pričom

MECHANIKA Kirillov A.M., učiteľ gymnázia 44, Soči (http://kirillandrey72.narod.ru/)., Khoruzhy V.D.

Tiket N 5 Tiket N 4 Otázka N 1 Teleso s hmotnosťou m 2,0 kg začne pôsobiť vodorovnou silou, ktorej modul lineárne závisí od času: F t, kde 0,7 N / s. Koeficient trenia k 0,1. Určte moment

Riešenie úloh „Mechanické kmity Pri harmonických kmitoch pružinového kyvadla sa v čase t mení súradnica zaťaženia, ako je znázornené na obrázku. Perióda T a amplitúda kmitov A sú rovnaké

Tiket N 5 Tiket N 4 Otázka N 1 Tenká tyč s hmotnosťou M 0 = 1 kg a dĺžkou l = 60 cm leží na hladkej vodorovnej ploche. Tyč sa môže voľne otáčať okolo pevnej vertikálnej osi

IV Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Energia nábojov Ak sú bodové náboje 1 a sú od seba vo vzdialenosti r, potom sa potenciálna energia ich interakcie rovná W = k 1. r Potenciálna energia

I. V. Jakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Obsah Trecia sila 1 Celoruská olympiáda pre školákov vo fyzike......................... 1 2 Moskovská fyzikálna olympiáda ............... 3 3 MIPT

Úlohy A22 z fyziky 1. Ak je bremeno zavesené na ľahkej pružnej pružine, tak sa pružina v rovnováhe natiahne o 10 cm Aká bude perióda voľných kmitov tohto bremena?

fyzika. 11. ročník Tréning "Sily v prírode" 1 Sily v prírode Úlohy na cvičenie 1 Do nádoby v tvare zrezaného kužeľa sa naleje voda s hmotnosťou 1,5 kg (pozri obrázok). Plocha dna nádoby je 100 cm 2,

Možnosti pre domácu úlohu HARMONICKÉ KMITY A VLNY Možnosť 1. 1. Obrázok a znázorňuje graf oscilačného pohybu. Oscilačná rovnica x = Asin(ωt + α o). Určite počiatočnú fázu. x O t

IV Yakovlev Materials on Physics MathUs.ru Naklonená rovina Problém 1. Na hladkú naklonenú rovinu s uhlom sklonu je umiestnený a uvoľnený blok hmoty. Nájdite zrýchlenie tyče a silu, ktorou tyč pôsobí

C1.1. Po zatlačení sa ľadová kryha skotúľala do jamy s hladkými stenami, v ktorej sa môže pohybovať takmer bez trenia. Na obrázku je znázornený graf závislosti energie interakcie ľadovej kryhy so Zemou na

Úlohy pre samostatnú prácu žiakov Modul 6 "Mechanické vibrácie"... 3 Téma 1. Kinematika harmonických vibrácií... 3 Téma 2. Sčítanie vibrácií... 8 Téma 3. Dynamika harmonických vibrácií...

IV Yakovlev Materials on Physics MathUs.ru Rotácia tuhého telesa Úloha 1. (MIPT, 2003)

Kontrolné úlohy na tému „DYNAMIKA“ 1 (A) Parašutista s hmotnosťou 65 kg zostupuje s otvoreným padákom. Aká je sila odporu vzduchu F c v prípade ustálenej rýchlosti parašutistu? Aký je výsledok

DZ 3.3 (01) 1. Bod vytvára harmonické oscilácie pozdĺž priamky medzi polohami A a B. S vedomím, že jeho maximálna rýchlosť je V m \u003d 10 m/s, nájdite jeho priemernú rýchlosť na ceste z A do B. 2 Vo fáze

Dištančný tréning Abituru FYZIKA Článok Newtonove zákony Teoretický materiál V tomto článku sa budeme zaoberať úlohami aplikácie Newtonových zákonov

Lístok N 10 Lístok N 9 Otázka N 1 Gyroskop sa pohybuje okolo dolného bodu otáčania. Moment zotrvačnosti gyroskopu je I \u003d 0,2 kg m 2, uhlová rýchlosť otáčania je 0 \u003d 1000 s -1, hmotnosť m \u003d 20 kg, ťažisko je

ÚLOHY PRE JEDNOTLIVÉ DOMÁCE ÚLOHY 3 1. Homogénny kotúč s polomerom 40 cm kmitá okolo vodorovnej osi prechádzajúcej závesným bodom, ktorý sa zhoduje s jednou z tvoriacich čiar povrchu kotúča.

Príklady riešenia úloh Príklad 1 Beztiažová neroztiahnuteľná niť je vrhnutá cez blok otáčajúci sa okolo vodorovnej osi (obr. 1a), na ktorého konce závažia 1 resp.

6.1. Homogénny valec s hmotnosťou M a polomerom R sa môže otáčať bez trenia okolo vodorovnej osi. Okolo valca je navinutá niť, na ktorej konci je pripevnená záťaž o hmotnosti m. Nájdite závislosť kinetickej energie

I. V. Yakovlev Materiály o fyzike MathUs.ru Olympiáda „Fyzik“ vo fyzike 11. ročník, online fáza, 2013/14 1. Kameň hodený zo strechy stodoly takmer kolmo hore rýchlosťou 15 m/s spadol na zem

I. V. Jakovlev Fyzikálne materiály MathUs.ru Konzervatívne systémy Sústava telies sa nazýva konzervatívna, ak je pre ňu splnený zákon zachovania mechanickej energie: K + W = konštanta, kde K je kinetická

10. ročník 1. kolo 1. Úloha 1 Ak je tyč s hmotnosťou 0,5 kg pritlačená na hrubú zvislú stenu silou 15 N smerujúcou vodorovne, bude sa rovnomerne posúvať. S akým modulovým zrýchlením bude

1.2.1. Inerciálne referenčné systémy. Newtonov prvý zákon. Galileov princíp relativity 27.1. Cestujúci v autobuse na zastávke priviazal svetelný balónik naplnený héliom k rukoväti sedadla niťou.

Páky statiky 1. Dva poháre sú vyvážené na nerovnakej stupnici. Vzdialenosť medzi stredmi okuliarov je l. Z jedného pohára sa odobrala masa vody m a naliala sa do druhého. Ak sa súčasne posunie aj podpera rovnováhy

Úloha č.1 Test na tému "Mechanické vibrácie" Súradnice kmitajúceho telesa sa menia podľa zákona X=5ˑcos(/2)t (m). Aká je frekvencia oscilácií? Všetky veličiny sú vyjadrené v jednotkách SI. 1) 2 Hz. 2) 1/2

Lekcia 3. Základné princípy dynamiky. Sily: gravitácia, reakcie, pružnosť Možnosť 3 ... Na teleso s hmotnosťou 0 kg pôsobí niekoľko síl, ktorých výslednica je konštantná a rovná sa 5 N. Relatívne k zotrvačnej

1 možnosť A1. Systém pozostáva z dvoch telies a a b. Na obrázku šípky v danej mierke označujú hybnosť týchto telies. 1) 2,0 kg m/s 2) 3,6 kg m/s 3) 7,2 kg m/s 4) 10,0 kg m/s A2. Človek s hmotnosťou m skáče

1 Impulz. Zákon zachovania hybnosti 1. Aký vzorec možno použiť na výpočet hybnosti telesa? 1) p m) p ma 3) p m 4) p Ft. Aká je zmena hybnosti tela? 1) zmena rýchlosti telesa) impulz pôsobiacej sily

Dynamic 008. Sila, ktorá vzniká medzi hnacím remeňom a remenicou, keď sa pohybuje, je sila A) napätia. B) klzné trenie. C) valivé trenie. D) elasticita. E) statické trenie .. Výslednica troch

Výpočet a grafické práce z mechaniky Úloha 1. 1 Závislosť zrýchlenia od času pre nejaký pohyb telesa je znázornená na obr. Určte priemernú rýchlosť proti zemi počas prvých 8 s. štartovacia rýchlosť

Možnosť 1 1. Akú prácu A je potrebné vykonať na natiahnutie x=1 mm oceľovej tyče s dĺžkou l=1 m a plochou prierezu S rovnou 1 cm 2? 2. Dve pružiny s tuhosťami k 1 =0,3 kN/m ak 2

Zákony zachovania Hybnosť telesa (hmotného bodu) je fyzikálna vektorová veličina rovnajúca sa súčinu hmotnosti telesa a jeho rýchlosti. p = m υ [p] = kg m/s p υ Impulz sily je vektorová fyzikálna veličina,

Kosínus v riešení rovnice (21.2) naznačuje, že harmonický pohyb má niečo spoločné s kruhovým pohybom. Toto porovnanie je, samozrejme, umelé, pretože pri lineárnom pohybe nie je kam dostať kruh: váha sa pohybuje striktne hore a dole. Môžeme sa ospravedlniť tým, že rovnicu harmonického pohybu sme už vyriešili, keď sme študovali mechaniku pohybu v kruhu. Ak sa častica pohybuje pozdĺž kruhu konštantnou rýchlosťou, potom sa polomerový vektor od stredu kruhu k častici otáča o uhol, ktorého veľkosť je úmerná času. Označme tento uhol (obr. 21.2). Potom . Je známe, že zrýchlenie a smeruje do stredu. Súradnice pohybujúceho sa bodu v danom momente sú

Čo možno povedať o zrýchlení? Čo je -zložkou zrýchlenia? Túto hodnotu možno zistiť čisto geometricky: rovná sa hodnote zrýchlenia vynásobenej kosínusom uhla projekcie; Pred výsledným výrazom musíte dať znamienko mínus, pretože zrýchlenie smeruje do stredu:

Inými slovami, keď sa častica pohybuje po kruhu, horizontálna zložka pohybu má zrýchlenie úmerné horizontálnemu posunutiu od stredu. Samozrejme, poznáme riešenia pre prípad kruhového pohybu: . Rovnica (21.7) neobsahuje polomer kružnice; je to rovnaké pri pohybe po akomkoľvek kruhu s rovnakým .

Obr. 21.2. Častica pohybujúca sa v kruhu konštantnou rýchlosťou.

Existuje teda niekoľko dôvodov, prečo by sme mali očakávať, že výchylka závažia na pružine bude úmerná a pohyb bude vyzerať, ako keby sme sledovali -súradnicu častice pohybujúcej sa v kruhu s uhlovou rýchlosťou . Môžete to skontrolovať nastavením experimentu, ktorý ukáže, že pohyb závažia hore a dole na pružine presne zodpovedá pohybu bodu po kružnici. Na obr. 21.3 svetlo oblúkovej lampy premieta na tienidlo tiene ihly zaseknutej v rotujúcom kotúči a vertikálne vibrujúce závažie pohybujúce sa vedľa seba. Ak necháte závažie oscilovať v čase a zo správneho miesta a potom opatrne zvolíte rýchlosť pohybu disku tak, aby sa frekvencie ich pohybov zhodovali, budú tiene na obrazovke nasledovať presne jeden za druhým. Tu je ďalší spôsob, ako sa uistiť, že nájdením numerického riešenia sme sa takmer priblížili ku kosínusu.

Obr. 21.3. Ukážka ekvivalencie jednoduchého harmonického pohybu a rovnomerného kruhového pohybu.

Tu je možné zdôrazniť, že keďže matematika rovnomerného pohybu po kružnici je veľmi podobná matematike oscilačného pohybu hore a dole, analýza oscilačných pohybov bude značne zjednodušená, ak bude tento pohyb znázornený ako projekcia pohybu pozdĺž kruhu. . Inými slovami, môžeme doplniť rovnicu (21.2), ktorá by sa zdala byť úplne nadbytočnou rovnicou a zvážiť obe rovnice spolu. Takto zredukujeme jednorozmerné kmity na pohyb v kruhu, čo nám ušetrí riešenie diferenciálnej rovnice. Môžete urobiť ďalší trik - zaviesť komplexné čísla, ale o tom v ďalšej kapitole.

Kosínus v riešení rovnice (21.2) naznačuje, že harmonický pohyb má niečo spoločné s kruhovým pohybom. Toto porovnanie je, samozrejme, umelé, pretože pri lineárnom pohybe nie je kam dostať kruh: váha sa pohybuje striktne hore a dole. Môžeme sa ospravedlniť tým, že rovnicu harmonického pohybu sme už vyriešili, keď sme študovali mechaniku pohybu v kruhu. Ak sa častica pohybuje po kružnici konštantnou rýchlosťou v, potom sa polomerový vektor od stredu kružnice k častici otáča o uhol, ktorého hodnota je úmerná času. Označme tento uhol θ=vt/R (obr. 21.2). Potom dQθ/dt=ωo =v/R. Je známe, že zrýchlenie a=v 2 /R = ω 2 0 R a smeruje do stredu. Súradnice pohybujúceho sa bodu v danom momente sú
x = R cos 9, y = R sin 9.

Čo možno povedať o zrýchlení? Aká je x-ová zložka zrýchlenia, d 2 x/dt 2 ? Túto hodnotu možno zistiť čisto geometricky: rovná sa hodnote zrýchlenia vynásobenej kosínusom uhla projekcie; Pred výsledným výrazom musíte dať znamienko mínus, pretože zrýchlenie smeruje do stredu:

Inými slovami, keď sa častica pohybuje po kruhu, horizontálna zložka pohybu má zrýchlenie úmerné horizontálnemu posunutiu od stredu. Samozrejme, poznáme riešenia pre prípad kruhového pohybu: x=R cos ω 0 t. Rovnica (21.7) neobsahuje polomer kružnice; je to rovnaké pri pohybe po ľubovoľnej kružnici pre rovnaké ω 0 . Existuje teda niekoľko dôvodov, prečo by sme mali očakávať, že výchylka závažia na pružine bude úmerná cos ω 0 t a pohyb bude vyzerať, ako keby sme sledovali x-ovú súradnicu častice pohybujúcej sa po kružnici s uhlová rýchlosť ω 0 . Môžete to skontrolovať nastavením experimentu, ktorý ukáže, že pohyb závažia nahor a nadol na pružine presne zodpovedá pohybu bodu po kružnici. Na obr. 21.3 svetlo oblúkovej lampy premieta na tienidlo tiene ihly zaseknutej v rotujúcom kotúči a vertikálne vibrujúce závažie pohybujúce sa vedľa seba. Ak necháte závažie oscilovať v čase a zo správneho miesta a potom opatrne zvolíte rýchlosť pohybu disku tak, aby sa frekvencie ich pohybov zhodovali, budú tiene na obrazovke nasledovať presne jeden za druhým. Tu je ďalší spôsob, ako sa uistiť, že nájdením numerického riešenia sme sa takmer priblížili ku kosínusu.

Tu je možné zdôrazniť, že keďže matematika rovnomerného pohybu po kružnici je veľmi podobná matematike oscilačného pohybu hore a dole, analýza oscilačných pohybov bude značne zjednodušená, ak bude tento pohyb znázornený ako projekcia pohybu pozdĺž kruhu. . Inými slovami, môžeme doplniť rovnicu (21.2), ktorá by sa zdala byť úplne redundantnou rovnicou pre y, a zvážiť obe rovnice spolu. Takto zredukujeme jednorozmerné kmity na pohyb v kruhu, čo nám ušetrí riešenie diferenciálnej rovnice. Ďalším trikom, ktorý môžete urobiť, je zaviesť komplexné čísla, ale o tom v ďalšej kapitole.