Newton Leibniz je nemecký filozof, ktorý sa narodil 1. júla 1646. Okrem filozofie ho fascinovali exaktné vedy. Vyznamenal sa v logike, matematike, mechanike, fyzike, histórii, diplomacii a mechanike. Newton je tiež považovaný za vynálezcu, ako aj za lingvistu. Bol zakladateľom a prvým, kto mohol viesť Akadémiu vied v Berlíne. Leibniz zaujal čestné miesto vo Francúzskej akadémii vied ako zahraničný člen.
Za najvýznamnejšie vedecké úspechy Leibniza sa považujú:
Tvorba matematickej analýzy. Počet je diferenciálny a integrálny, ktorý založil na infinitezimáloch.
S jeho pomocou bol položený základ matematickej logiky.
Veda o kombinatorike.
Binárny číselný systém s číslami 0 a 1. Teraz sú na nich založené všetky moderné technológie.
Pre psychológiu to bol veľmi dôležitý prínos, napríklad koncept nevedomých malých vnemov. Okrem toho sa objavila doktrína nevedomého duševného života.
Odhalil zákon zachovania energie a predstavil pojem pracovnej sily.
Newton je považovaný za finalistu filozofie 17. storočia. Stal sa praotcom nového systému a dal mu názov – monadológia. Okrem úspechov vo filozofii bol schopný identifikovať doktrínu syntézy a analýzy. Leibniz to formuloval ako zákon dostatočného rozumu. Ako poznamenal, toto všetko nevychádzalo len z myslenia a logiky, ale aj z bytia a ontológie. Za autorstvo modernej formulácie zákona identity možno pripísať filozofovi. Bol to on, kto priniesol svetu chápanie pojmu „modelka“.
Leibniz vo svojich spisoch písal o rozmanitosti možností strojovej simulácie v ľudskom mozgu. Ako sa ukázalo, má veľké množstvo funkcií. Bol to práve tento vedec, ktorý ako prvý vystavil svetu myšlienke, že niektoré druhy energie možno preniesť na iné. Tieto štúdie výrazne prispeli k fyzike. Samozrejme, najdôležitejším a najznámejším dielom jeho života bola formula. Nazvali to vzorec Newton-Leibniz.
Newton Leibniz vzorec
Nech je daná nejaká spojitá funkcia f na niektorom segmente osi Ox. Predpokladáme, že táto funkcia nemení svoje znamienko na celom intervale.
Ak f je spojitá a nezáporná funkcia na určitom segmente a F sú niektoré z jej primitívnych prvkov na tomto segmente, potom sa plocha krivočiareho lichobežníka S rovná prírastku primitívnej funkcie na tomto segmente.
Táto veta môže byť napísaná v nasledujúcom vzorci:
S = F(b) – F(a)
Integrál funkcie f(x) od a do b sa bude rovnať S. Tu a nižšie na označenie určitého integrálu nejakej funkcie f(x) s integračnými limitami od a po b použijeme nasledujúci zápis (a;b)∫f(x). Nižšie je uvedený príklad, ako by to vyzeralo.
Takže tieto dva výsledky môžeme porovnávať. Dostaneme: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), za predpokladu, že F je primitívna derivácia funkcie f na . Tento vzorec sa nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec. Bude to platiť pre akúkoľvek spojitú funkciu f na intervale.
Na výpočet integrálov sa používa Newtonov-Leibnizov vzorec. Pozrime sa na niekoľko príkladov:
Príklad 1: vypočítajte integrál. Nájdeme primitívne deriváciu pre integrand x2. Jednou z primitív bude funkcia (x3)/3.
Teraz použijeme Newtonov-Leibnizov vzorec:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Odpoveď: (-1;2)∫x2dx = 3.
Príklad 2: vypočítajte integrál (0;pi)∫sin(x)dx.
Nájdite primitívnu deriváciu pre integrand sin(x). Jednou z primitív bude funkcia –cos(x). Použime vzorec Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Odpoveď: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Niekedy sa pre jednoduchosť a pohodlie zápisu prírastok funkcie F na segmente (F(b)-F(a)) zapisuje takto:
Pomocou tohto zápisu pre prírastok možno Newtonov-Leibnizov vzorec prepísať takto:
Ako je uvedené vyššie, toto je len skratka pre jednoduchosť nahrávania, nič iné táto nahrávka neovplyvňuje. Tento zápis a vzorec (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) budú ekvivalentné.
Tento vzorec stále používa veľké množstvo vedcov a kalkulačiek. Leibniz s jej pomocou priniesol rozvoj do mnohých vied.
Nech je daná nejaká spojitá funkcia f na niektorom segmente osi Ox. Predpokladáme, že táto funkcia nemení svoje znamienko na celom intervale.
Ak f je spojitá a nezáporná funkcia na určitom segmente a F sú niektoré z jej primitívnych prvkov na tomto segmente, potom sa plocha krivočiareho lichobežníka S rovná prírastku primitívnej funkcie na tomto segmente.
Táto veta môže byť napísaná v nasledujúcom vzorci:
S = F(b) - F(a)
Integrál funkcie f(x) od a do b sa bude rovnať S. Tu a nižšie na označenie určitého integrálu nejakej funkcie f(x) s integračnými limitami od a po b použijeme nasledujúci zápis (a;b)∫f(x). Nižšie je uvedený príklad, ako by to vyzeralo.
Newtonov-Leibnizov vzorec
Takže tieto dva výsledky môžeme porovnávať. Dostaneme: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), za predpokladu, že F je primitívna derivácia funkcie f na . Tento vzorec sa nazýva Newtonove-Leibnizove vzorce. Bude to platiť pre akúkoľvek spojitú funkciu f na intervale.
Na výpočet integrálov sa používa Newtonov-Leibnizov vzorec. Pozrime sa na niekoľko príkladov:
Príklad 1: výpočet integrálu. Nájdite primitívny prvok pre integrand x 2 . Jednou z primitív bude funkcia (x 3)/3.
Teraz použijeme Newtonov-Leibnizov vzorec:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Odpoveď: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Príklad 2: vypočítajte integrál (0;pi)∫sin(x)dx.
Nájdite primitívnu deriváciu pre integrand sin(x). Jednou z primitív bude funkcia -cos(x). Použime vzorec Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Odpoveď: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Niekedy sa pre jednoduchosť a pohodlie zápisu prírastok funkcie F na segmente (F(b)-F(a)) zapisuje takto:
Pomocou tohto zápisu pre prírastok možno Newtonov-Leibnizov vzorec prepísať takto:
Ako je uvedené vyššie, toto je len skratka pre jednoduchosť nahrávania, nič iné táto nahrávka neovplyvňuje. Tento zápis a vzorec (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) budú ekvivalentné.
určitý integrál z nepretržitej funkcie f(X) na konečnom intervale [ a, b] (kde ) je prírastok niektorých jeho priradených derivátov v tomto segmente. (Vo všeobecnosti bude pochopenie výrazne jednoduchšie, ak si zopakujete tému neurčitého integrálu) V tomto prípade je zápis
Ako je možné vidieť na grafoch nižšie (prírastok priraďovacej funkcie je označený ), Určitý integrál môže byť kladný alebo záporný.(Vypočíta sa ako rozdiel medzi hodnotou priradenej látky v hornej hranici a jej hodnotou v dolnej hranici, t.j. ako F(b) - F(a)).
čísla a a b sa nazývajú dolná a horná hranica integrácie a interval [ a, b] je segment integrácie.
Teda ak F(X) je nejaká priraďovacia funkcia pre f(X), potom podľa definície
(38)
Rovnosť (38) sa nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec . Rozdiel F(b) – F(a) sa stručne píše takto:
Preto bude Newtonov-Leibnizov vzorec napísaný takto:
(39)
Dokážme, že určitý integrál nezávisí od toho, ktorá primitívna derivácia integrandu sa použije pri jeho výpočte. Nechať byť F(X) a F( X) sú ľubovoľné primitívne deriváty integrandu. Keďže ide o primitívne deriváty tej istej funkcie, líšia sa konštantným členom: Ф( X) = F(X) + C. Takže
Zistilo sa teda, že na segmente [ a, b] prírastky všetkých primitívnych prvkov funkcie f(X) zápas.
Na výpočet určitého integrálu je teda potrebné nájsť akúkoľvek primitívnu deriváciu integrandu, t.j. Najprv musíte nájsť neurčitý integrál. Neustále S vylúčené z následných výpočtov. Potom sa použije Newtonov-Leibnizov vzorec: hodnota hornej hranice sa dosadí do primitívnej funkcie b , ďalej - hodnota spodnej hranice a a vypočítajte rozdiel F(b) – F(a) . Výsledné číslo bude určitým integrálom..
o a = b akceptované podľa definície
Príklad 1
rozhodnutie. Najprv nájdime neurčitý integrál:
Aplikácia Newtonovho-Leibnizovho vzorca na primitívny derivát
(at S= 0), dostaneme
Pri výpočte určitého integrálu je však lepšie nehľadať primitívnu deriváciu samostatne, ale integrál hneď zapísať do tvaru (39).
Príklad 2 Vypočítajte určitý integrál
rozhodnutie. Pomocou vzorca
Vlastnosti určitého integrálu
Veta 2.Hodnota určitého integrálu nezávisí od označenia integračnej premennej, t.j.
(40)
Nechať byť F(X) je primitívne pre f(X). Pre f(t) primitívna funkcia má rovnakú funkciu F(t), v ktorom je nezávislá premenná označená inak. teda
Na základe vzorca (39) posledná rovnosť znamená rovnosť integrálov
Veta 3.Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka určitého integrálu, t.j.
(41)
Veta 4.Určitý integrál algebraického súčtu konečného počtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu určitých integrálov týchto funkcií, t.j.
(42)
Veta 5.Ak je integračný segment rozdelený na časti, potom sa určitý integrál v celom segmente rovná súčtu určitých integrálov v jeho častiach., t.j. ak
(43)
Veta 6.Pri prestavovaní hraníc integrácie sa nemení absolútna hodnota určitého integrálu, ale mení sa len jeho znamienko, t.j.
(44)
Veta 7(teorém o strednej hodnote). Určitý integrál sa rovná súčinu dĺžky integračného segmentu a hodnoty integrandu v určitom bode v ňom, t.j.
(45)
Veta 8.Ak je horná hranica integrácie väčšia ako dolná a integrand je nezáporný (kladný), potom je aj určitý integrál nezáporný (kladný), t.j. ak
Veta 9.Ak je horná hranica integrácie väčšia ako dolná hranica a funkcie a sú spojité, potom nerovnosť
môžu byť integrované termín po termíne, t.j.
(46)
Vlastnosti určitého integrálu nám umožňujú zjednodušiť priamy výpočet integrálov.
Príklad 5 Vypočítajte určitý integrál
Pomocou viet 4 a 3 a pri hľadaní primitívnych prvkov - tabuľkových integrálov (7) a (6) dostaneme
Určitý integrál s premennou hornou hranicou
Nechať byť f(X) je spojitý na intervale [ a, b] funkcie a F(X) je jeho prototyp. Zvážte určitý integrál
(47)
a cez t integračná premenná sa označuje, aby nedošlo k zámene s hornou hranicou. Keď sa to zmení X mení sa aj určitý integrál (47), t.j. je funkciou hornej hranice integrácie X, ktoré označujeme F(X), t.j.
(48)
Dokážme, že funkcia F(X) je primitívne pre f(X) = f(t). Naozaj, rozlišovanie F(X), dostaneme
ako F(X) je primitívne pre f(X), a F(a) je konštantná hodnota.
Funkcia F(X) je jednou z nekonečnej množiny primitívnych derivátov pre f(X), a to ten, ktorý X = a ide na nulu. Toto tvrdenie získame, ak do rovnosti (48) dáme X = a a použite vetu 1 z predchádzajúcej časti.
Výpočet určitých integrálov metódou integrácie po častiach a metódou zmeny premennej
kde podľa definície F(X) je primitívne pre f(X). Ak v integrande vykonáme zmenu premennej
potom v súlade so vzorcom (16) môžeme písať
V tomto výraze
priraďovacia funkcia pre
Vskutku, jeho derivát, podľa pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie, rovná sa
Nech α a β sú hodnoty premennej t, pre ktoré je funkcia
preberá príslušné hodnoty a a b, t.j.
Ale podľa vzorca Newton-Leibniz je rozdiel F(b) – F(a) existuje
Riešenie aplikovaných úloh sa redukuje na výpočet integrálu, ale nie vždy je možné to urobiť presne. Niekedy je potrebné poznať hodnotu určitého integrálu s určitým stupňom presnosti, napríklad na tisícinu.
Sú úlohy, kedy by bolo potrebné nájsť približnú hodnotu určitého integrálu s požadovanou presnosťou, potom sa používa numerická integrácia ako Simposnova metóda, lichobežníky, obdĺžniky. Nie všetky prípady nám umožňujú vypočítať ho s určitou presnosťou.
Tento článok sa zaoberá aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. To je potrebné pre presný výpočet určitého integrálu. Uvedieme podrobné príklady, zvážime zmenu premennej v určitom integráli a nájdeme hodnoty určitého integrálu pri integrácii po častiach.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Newtonov-Leibnizov vzorec
Definícia 1Keď je funkcia y = y (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] a F (x) je potom jedným z primitívnych derivátov funkcie tohto segmentu Newtonov-Leibnizov vzorec považované za spravodlivé. Napíšme to takto ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Tento vzorec sa zvažuje základný vzorec integrálneho počtu.
Na preukázanie tohto vzorca je potrebné použiť koncept integrálu s dostupným horným limitom premennej.
Keď je funkcia y = f (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom hodnotu argumentu x ∈ a ; b , a integrál má tvar ∫ a x f (t) d t a považuje sa za funkciu hornej hranice. Je potrebné akceptovať, že zápis funkcie bude mať tvar ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , je spojitý a nerovnosť tvaru ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = platí preň f (x).
Zafixujeme, že prírastok funkcie Φ (x) zodpovedá prírastku argumentu ∆ x , je potrebné použiť piatu hlavnú vlastnosť určitého integrálu a získať
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
kde hodnota c ∈ x ; x + ∆x .
Rovnosť zafixujeme v tvare Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Definíciou derivácie funkcie je potrebné prejsť do limity ako ∆ x → 0, potom dostaneme vzorec v tvare umiestnenom na [ a ; b ] V opačnom prípade možno výraz zapísať
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , kde hodnota C je konštantná.
Vypočítajme F (a) pomocou prvej vlastnosti určitého integrálu. Potom to dostaneme
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , teda C = F (a) . Výsledok je použiteľný pri výpočte F (b) a dostaneme:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , inými slovami, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Rovnosť dokazuje Newtonov-Leibnizov vzorec ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Prírastok funkcie sa berie ako F x a b = F (b) - F (a) . Pomocou notácie sa Newton-Leibnizov vzorec zmení na ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Na aplikáciu vzorca je potrebné poznať jednu z primitív y = F (x) integrandu y = f (x) zo segmentu [ a ; b ] , vypočítajte prírastok primitívneho derivátu z tohto segmentu. Zvážte niekoľko príkladov výpočtov pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
Príklad 1
Vypočítajte určitý integrál ∫ 1 3 x 2 d x pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
rozhodnutie
Uvažujme, že integrand tvaru y = x 2 je spojitý z intervalu [ 1 ; 3 ] , potom a je integrovateľné na tomto intervale. Podľa tabuľky neurčitých integrálov vidíme, že funkcia y \u003d x 2 má množinu primitívnych derivátov pre všetky reálne hodnoty x, čo znamená, že x ∈ 1; 3 sa zapíše ako F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Je potrebné vziať antiderivát s C \u003d 0, potom dostaneme F (x) \u003d x 3 3.
Použime Newtonov-Leibnizov vzorec a získajme, že výpočet určitého integrálu bude mať tvar ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
odpoveď:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Príklad 2
Vypočítajte určitý integrál ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x pomocou Newton-Leibnizovho vzorca.
rozhodnutie
Daná funkcia je spojitá od segmentu [-1; 2 ], čo znamená, že je naň integrovateľný. Je potrebné nájsť hodnotu neurčitého integrálu ∫ x e x 2 + 1 d x metódou sčítania pod diferenciálnym znamienkom, potom dostaneme ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 12 e x 2+1+C.
Máme teda množinu primitívnych funkcií funkcie y = x · e x 2 + 1 , ktoré platia pre všetky x , x ∈ - 1 ; 2.
Je potrebné zobrať primitívny prvok pri C = 0 a použiť Newtonov-Leibnizov vzorec. Potom dostaneme vyjadrenie formy
∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
odpoveď:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Príklad 3
Vypočítajte integrály ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x a ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
rozhodnutie
Segment - 4; - 1 2 hovorí, že funkcia pod znakom integrálu je spojitá, čo znamená, že je integrovateľná. Odtiaľto nájdeme množinu primitívnych funkcií funkcie y = 4 x 3 + 2 x 2 . Chápeme to
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Je potrebné vziať antiderivát F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, potom pomocou vzorca Newton-Leibniz získame integrál, ktorý vypočítame:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Prejdeme k výpočtu druhého integrálu.
Zo segmentu [-1; 1 ] máme, že integrand považujeme za neohraničený, pretože lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , potom z toho vyplýva nevyhnutná podmienka integrovateľnosti zo segmentu. Potom F (x) = 2 x 2 - 2 x nie je primitívna derivácia pre y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1 ] , keďže bod O patrí do segmentu, ale nie je zahrnutý v doméne definície. To znamená, že existuje určitý Riemannov a Newton-Leibnizov integrál pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; jeden].
Odpoveď: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, existuje určitý integrál Riemanna a Newtona-Leibniza pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; jeden].
Pred použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca musíte presne vedieť o existencii určitého integrálu.
Zmena premennej v určitom integráli
Keď je funkcia y = f (x) definovaná a spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom existujúca množina [ a ; b ] sa považuje rozsah funkcie x = g (z) definovaný na intervale α ; β s existujúcou spojitou deriváciou, kde g (α) = a a g β = b , teda dostaneme, že ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g “ (z) d z .
Tento vzorec sa používa, keď je potrebné vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x , kde neurčitý integrál má tvar ∫ f (x) d x , vypočítame substitučnou metódou.
Príklad 4
Vypočítajte určitý integrál v tvare ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
rozhodnutie
Integrand sa považuje za spojitý na integračnom intervale, čo znamená, že určitý integrál existuje. Uveďme zápis, že 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Hodnota x \u003d 9 znamená, že z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 a pre x \u003d 18 dostaneme, že z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 α 3, potom g 3 u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18. Dosadením získaných hodnôt do vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z dostaneme, že
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 + 3 2 z 2 9 d z
Podľa tabuľky neurčitých integrálov máme, že jedna z primitív funkcie 2 z 2 + 9 nadobúda hodnotu 2 3 a r c t g z 3 . Potom získame pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a π r c = g 3 - a π r c t = g 3 π r c t
Zistenie by sa dalo urobiť bez použitia vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Ak náhradná metóda používa integrál v tvare ∫ 1 x 2 x - 9 d x , potom môžeme dospieť k výsledku ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Odtiaľto vykonáme výpočty pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca a vypočítame určitý integrál. Chápeme to
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c r c 3 - a 2 3 a r c r c 3 - a 2 \u003d π 18
Výsledky sa zhodovali.
Odpoveď: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Integrácia po častiach pri výpočte určitého integrálu
Ak je na segmente [ a ; b ] funkcie u (x) a v (x) sú definované a spojité, potom ich derivácie prvého rádu v " (x) u (x) sú integrovateľné, teda z tohto intervalu pre integrovateľnú funkciu u " (x) v (x) platí rovnosť ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x.
Potom sa dá použiť vzorec, treba vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x a ∫ f (x) d x ho bolo potrebné nájsť integráciou po častiach.
Príklad 5
Vypočítajte určitý integrál ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
rozhodnutie
Funkcia x sin x 3 + π 6 je integrovateľná na segmente - π 2; 3 π 2 , teda je spojitá.
Nech u (x) \u003d x, potom d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x a d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x a v (x) = - 3 cos π3 + π6. Zo vzorca ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x dostaneme, že
∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + \ π 6 d x \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 2 - 3 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Riešenie príkladu je možné vykonať aj iným spôsobom.
Nájdite množinu primitívnych derivátov funkcie x sin x 3 + π 6 pomocou integrácie po častiach pomocou Newton-Leibnizovho vzorca:
∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Odpoveď: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
1 z 30
Prezentácia na tému: Newtonov-Leibnizov vzorec
snímka číslo 1
Popis snímky:
snímka číslo 2
Popis snímky:
snímka číslo 3
Popis snímky:
snímka číslo 4
Popis snímky:
Newton a Leibniz Zo zachovaných dokumentov historici vedy zistili, že Newton objavil diferenciálny a integrálny počet už v rokoch 1665-1666, ale publikoval ho až v roku 1704. Leibniz vypracoval svoju verziu analýzy nezávisle (od roku 1675), hoci počiatočný impulz k jeho myšlienke pravdepodobne pochádzal z povestí, že Newton už mal takýto počet, ako aj vďaka vedeckým rozhovorom v Anglicku a korešpondencii s Newtonom. Na rozdiel od Newtona Leibniz svoju verziu okamžite publikoval a neskôr spolu s Jacobom a Johannom Bernoulliho široko propagoval tento prelomový objav v celej Európe. Väčšina vedcov na kontinente nepochybovala, že Leibniz objavil analýzu.
snímka číslo 5
Popis snímky:
Poslúchajúc presviedčanie priateľov, ktorí sa odvolávali na jeho vlastenectvo, Newton v 2. knihe svojich „Princípov“ (1687) povedal: V listoch, ktoré som si pred desiatimi rokmi vymenil s veľmi skúseným matematikom, pán, metóda na určovanie maxím a miním , kreslenie dotyčníc a riešenie podobných otázok, rovnako aplikovateľných na racionálne aj iracionálne pojmy, a metódu som skryl preskupením písmen v nasledujúcej vete: „keď je daná rovnica obsahujúca ľubovoľný počet prúdových veličín, nájdi toky a späť“. Najznámejší manžel mi odpovedal, že aj on zaútočil na takúto metódu a oznámil mi svoju metódu, ktorá sa od tej mojej takmer nelíšila, a to len v pojmoch a písaní vzorcov.
snímka číslo 6
Popis snímky:
V roku 1693, keď Newton konečne zverejnil prvé zhrnutie svojej verzie analýzy, vymenil si priateľské listy s Leibnizom. Newton povedal: Náš Wallis pripojil k svojej "Algebre", ktorá sa práve objavila, niektoré z listov, ktoré som vám svojho času napísal. Zároveň odo mňa žiadal, aby som otvorene uviedol spôsob, ktorý som pred vami vtedy zatajil preskupovaním písmen; Skrátil som to tak, ako som len mohol. Dúfam, že som nenapísal nič, čo by vám bolo nepríjemné, ale ak sa to stalo, dajte mi prosím vedieť, pretože moji priatelia sú mi drahší ako matematické objavy.
snímka číslo 7
Popis snímky:
Po objavení sa prvej podrobnej publikácie newtonovskej analýzy (matematický doplnok k "Optics", 1704) sa v Leibnizovom časopise "Acta eruditorum" objavil anonymný prehľad s urážlivými narážkami na Newtona. Recenzia jasne naznačila, že autorom nového kalkulu bol Leibniz. Sám Leibniz rázne poprel, že by recenziu napísal on, no historikom sa podarilo nájsť návrh napísaný jeho rukopisom. Newton ignoroval Leibnizov článok, ale jeho študenti reagovali rozhorčene, po čom vypukla celoeurópska prioritná vojna, „najhanebnejšia hádka v celej histórii matematiky“.
snímka číslo 8
Popis snímky:
31. januára 1713 Kráľovská spoločnosť dostala list od Leibniza obsahujúci zmierlivý jazyk: súhlasí s tým, že Newton prišiel k analýze sám, „na všeobecných princípoch, ako sú tie naše“. Nahnevaný Newton požadoval vytvorenie medzinárodnej komisie na objasnenie priority. Komisia netrvala dlho: o mesiac a pol neskôr, po preštudovaní Newtonovej korešpondencie s Oldenburgom a inými dokumentmi, jednomyseľne uznala Newtonovu prioritu, navyše v znení, ktoré tentoraz urážalo Leibniza. Rozhodnutie komisie bolo vytlačené v zborníku Spoločnosti so všetkými podpornými dokumentmi.
snímka číslo 9
Popis snímky:
V reakcii na to bola Európa od leta 1713 zaplavená anonymnými brožúrami, ktoré obhajovali Leibnizovu prioritu a tvrdili, že „Newton si privlastňuje česť, ktorá patrí inému“. Brožúry tiež obvinili Newtona z krádeže výsledkov Hooka a Flamsteeda. Newtonovi priatelia zase obvinili samotného Leibniza z plagiátorstva; podľa nich sa Leibniz počas pobytu v Londýne (1676) v Kráľovskej spoločnosti zoznámil s Newtonovými nepublikovanými prácami a listami, potom Leibniz publikoval tam vyjadrené myšlienky a vydával ich za svoje Vojna zoslabla až v decembri. 1716, keď opát Conti informoval Newtona: „Leibniz je mŕtvy – spor sa skončil
snímka číslo 10
Popis snímky:
snímka číslo 11
Popis snímky:
snímka číslo 12
Popis snímky:
Nastavte ľubovoľnú hodnotu x € (a.b) a definujte novú funkciu. Je definovaná pre všetky hodnoty x € (a.b) , pretože vieme, že ak existuje integrál ʄ na (a,b) , potom existuje tiež integrál ʄ na (a ,b) , kde Pripomeňme, že predpokladáme podľa definície
snímka číslo 13
Popis snímky:
snímka číslo 14
Popis snímky:
F je teda spojitá na (a,b), či ʄ má alebo nemá diskontinuity; je dôležité, aby ʄ bolo integrovateľné na (a,b) Obrázok ukazuje graf ʄ . Plocha premennej číslice aABx sa rovná F (X) Jej prírastok F(X+h)-F(x) sa rovná ploche číslice xBC(x+h), ktorá v dôsledku ohraničenosť ʄ má očividne tendenciu k nule ako h → 0, bez ohľadu na to, či x bude bodom spojitosti alebo diskontinuity ʄ, napr. bod x-d
snímka číslo 15
Popis snímky:
snímka číslo 16
Popis snímky:
snímka číslo 17
Popis snímky:
Prechod na limitu v h→0 ukazuje existenciu derivácie F v bode a platnosť rovnosti. Pre x=a,b hovoríme o pravej a ľavej derivácii. Ak je funkcia ʄ spojitá na (a,b), potom na základe vyššie uvedeného má funkcia, ktorá jej zodpovedá, deriváciu rovnajúcu sa funkcii F(x) je teda primitívna funkcia pre ʄ(a,b)
snímka číslo 18
Popis snímky:
Dokázali sme, že ľubovoľná spojitá funkcia ʄ na segmente (a,b) má primitívnu funkciu na tomto segmente definovanú rovnosťou. To dokazuje existenciu primitívnej funkcie pre akúkoľvek funkciu spojitú na intervale. Teraz nech existuje ľubovoľná primitívna derivácia funkcie ʄ(x) na (a,b) . Vieme, že kde C je nejaká konštanta. Za predpokladu, že v tejto rovnosti x=a a ak vezmeme do úvahy, že F(a)=0 dostaneme Ф(a)=C, ale
snímka číslo 19
Popis snímky:
snímka číslo 20
Popis snímky:
Integrál Integrál funkcie je prirodzenou analógiou súčtu postupnosti. Podľa základnej vety analýzy je integrácia operáciou inverznou k diferenciácii. Proces hľadania integrálu sa nazýva integrácia Existuje niekoľko rôznych definícií fungovania integrácie, ktoré sa líšia technickými detailmi. Všetky sú však kompatibilné, to znamená, že akékoľvek dve integračné metódy, ak sa dajú použiť na danú funkciu, poskytnú rovnaký výsledok.
snímka číslo 21
Popis snímky:
snímka číslo 22
Popis snímky:
História Značky pre integrál ʃ derivácie dx prvýkrát použil Leibniz na konci 17. storočia. Symbol integrálu vznikol z písmena S - skratky slova lat. summa (súčet). Integráciu v staroveku možno vysledovať až do starovekého Egypta, okolo roku 1800 pred Kristom. e., Moskovský matematický papyrus demonštruje znalosť vzorca pre objem zrezanej pyramídy. Prvou známou metódou na výpočet integrálov je metóda vyčerpania Eudoxom (približne 370 pred Kr.), ktorý sa pokúsil nájsť oblasti a objemy tak, že ich rozdelil na nekonečné množstvo častí, pre ktoré je už známa plocha alebo objem. Túto metódu prevzal a vyvinul Archimedes a použil sa na výpočet plôch parabol a aproximáciu plochy kruhu. Podobné metódy vyvinul nezávisle v Číne v 3. storočí nášho letopočtu Liu Hui, ktorý ich použil na nájdenie oblasti kruhu. Túto metódu následne použil Ju Chongshi na zistenie objemu gule.
snímka číslo 23
Popis snímky:
Historický význam a filozofický význam Newtonovho-Leibnizovho vzorca Jedným z najdôležitejších výskumných nástrojov tejto série je Newton-Leibnizov vzorec a metóda, ktorá za ním stojí na nájdenie primitívnej funkcie integráciou jeho derivátu. Historický význam vzorca je v použití nekonečne malých veličín a v absolútne presnej odpovedi na položenú otázku. Výhody použitia tejto metódy na riešenie matematických, fyzikálnych a iných prírodovedných problémov, napríklad klasického problému kvadratúry kruhu - zostavenie štvorca rovnakej veľkosti ako daný kruh, sú dobre známe. Filozofický význam - v možnosti získať informácie o celku z jeho nekonečne malej časti, spomenutý skôr - sa zreteľne realizuje v medicíne a biológii, čoho príkladom môže byť úspech genetického inžinierstva pri klonovaní - vytváraní vzájomne podobných živých bytostí. . História zostáva vzácnou výnimkou v zozname vied, ktoré používali vzorec Newton-Leibniz. Tradičná je nemožnosť prezentovať informácie z historických prameňov vo forme čísel – vzorcových argumentov. Preto až doteraz filozofický význam vzorca nie je úplne filozofický, pretože sa realizuje iba v prírodovedných poznatkoch, pričom sociálne a humanitné poznatky zostávajú bez takého mocného nástroja. Aj keď, ak sa človek pridŕža tradičných čŕt sociálnych a humanitárnych vedomostí, takpovediac ich slabých stránok, je to na ňom.
snímka číslo 24
Popis snímky:
Ale ďalšia vedecká analýza v našej dobe dáva nový, odlišný obraz prebiehajúceho procesu. Atomistické názory, ktoré sú teraz vo vede dominantné, rozkladajú hmotu na zhluk drobných častíc alebo pravidelne umiestnené centrá síl, ktoré sú vo večných rôznych pohyboch. Podobne aj hmota prenikajúca do éteru je neustále vzrušená a kmitá vo vlnách. Všetky tieto pohyby hmoty a éteru sú v najužšom a nepretržitom spojení so svetovým priestorom, ktorý je pre nás nekonečný. Takéto zobrazenie, neprístupné našej konkrétnej predstavivosti, vyplýva z údajov fyziky.
snímka číslo 25
Popis snímky:
S týmto postavením musia rátať aj mystické a magické prúdy, hoci môžu tým, že pojmu čas dávajú iný význam, úplne zničiť význam tejto skutočnosti vo všeobecnom svetonázore. Pokiaľ sa teda otázka týka javov vnímaných zmyslami, aj tieto oblasti filozofie a náboženstva, najvzdialenejšie exaktnému poznaniu, musia počítať s vedecky dokázaným faktom, keďže by mali počítať s tým, že dvakrát dva sú štyri v oblasť, ktorá podlieha zmyslom a mysli.
snímka číslo 26
Popis snímky:
Zároveň je množstvo vedomostí, ktoré ľudstvo nazhromaždilo, už dosť na to, aby túto tradíciu prelomilo. V skutočnosti nie je potrebné pytagorejsky hľadať digitálnu korešpondenciu s výrokmi „Peter navštívil som Benátky počas Veľkej ambasády“ a „Peter Nebol som v Benátkach počas Veľkej ambasády“, keď tieto výrazy samy osebe môžu ľahko slúžiť ako argumenty algebry logiky Georga Boolea. Výsledkom každého historického výskumu je v podstate súbor takýchto argumentov. Preto je podľa môjho názoru opodstatnené použiť súbor historických štúdií ako integrandovú funkciu, prezentovanú vo forme argumentov algebry logiky, s cieľom získať čo najpravdepodobnejšiu rekonštrukciu skúmanej historickej udalosti ako primitívny. Na ceste je veľa výziev. Predovšetkým: zobrazenie konkrétnej historickej štúdie - derivátu rekonštruovanej udalosti - vo forme súboru logických výrazov - operácia je zjavne zložitejšia ako napríklad elektronická katalogizácia jednoduchého archívu knižnice. Informačný prelom konca 20. - začiatku 21. storočia (extrémne vysoký stupeň integrácie elementárnej základne a zvýšenie sily informácií) však robí splnenie takejto úlohy celkom reálnym.
snímka číslo 27
Popis snímky:
Vo svetle vyššie uvedeného je v súčasnej fáze historická analýza matematickou analýzou s teóriou pravdepodobnosti a algebrou logiky a želanou priraďovacou funkciou je pravdepodobnosť historickej udalosti, ktorá je vo všeobecnosti celkom konzistentná a rovnomerná. dopĺňa myšlienku vedy v súčasnej fáze, pretože nahradenie pojmu esencia pojmom funkcie - hlavná vec v chápaní vedy v modernej dobe - je doplnené o hodnotenie tejto funkcie. V dôsledku toho je novodobý historický význam formuly v možnosti uskutočniť Leibnizov sen „o čase, keď namiesto nekonečných sporov dvaja filozofi, ako dvaja matematici, vezmú do rúk perá a sadnúc si za stôl vymenia spor s výpočtom“. Každý historický výskum-záver má právo na existenciu, odráža skutočnú udalosť a dopĺňa informačný historický obraz. Nebezpečenstvo degenerácie historickej vedy na súbor bezfarebných fráz-výrokov - výsledok aplikácie navrhovanej metódy, nie je nič iné ako nebezpečenstvo degenerácie hudby do súboru zvukov a maľovania na súbor farieb pri súčasné štádium ľudského rozvoja. Takto vidím nový filozofický význam Newtonovho-Leibnizovho vzorca, ktorý bol prvýkrát daný koncom 17. – začiatkom 18. storočia.
snímka číslo 28
Popis snímky:
V skutočnosti bude vzorec, vzhľadom na zvláštnosť vnímania matematických symbolov nositeľmi sociálnych a humanitárnych vedomostí, vyjadrený v panickom strachu týmito nositeľmi akéhokoľvek znázornenia takýchto znakov, uvedený vo verbálnej forme: určitý integrál derivácia funkcie je primitívna derivácia tejto funkcie. Nejaký formálny rozdiel medzi uvedeným príkladom úlohy kvadratúry kruhu a bežným vzdelávacím a matematickým príkladom výpočtu plochy umiestnenej pod ľubovoľnou krivkou v karteziánskom súradnicovom systéme, samozrejme, nemení podstatu.
snímka číslo 29
Popis snímky:
POUŽITÉ LITERATÚRA: 1. Brodsky I.A. Pracuje v štyroch zväzkoch. T.3. SPb., 1994. 2. Vernadsky V.I. Biosféra a noosféra. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Úvod do filozofie. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. Evolúcia koncepcie vedy. M., 1980. 5. Descartes, René. Úvahy o primitívnej filozofii. SPb., 1995. 6. Karpov G.M. Veľké veľvyslanectvo Petra I. Kaliningrad, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Vidman F. Filozofia: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovskiy V.S. Vybrané kapitoly z dejín matematiky. Kaliningrad, 2002. 9. Natanson I.P. Krátky kurz vyššej matematiky. SPb., 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Sheremetevsky V.P. Eseje o histórii matematiky. M., 2004 Internetové zdroje http://ru.wikipedia.org
snímka číslo 30
Popis snímky:
