Je známe, že odmocnina je druhá odmocnina nejakého čísla. Koreňový znak však neznamená len algebraickú operáciu, ale využíva sa aj pri spracovaní dreva – pri výpočte relatívnych veľkostí.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ak sa chcete dozvedieť, ako násobiť korene "s" alebo "bez" faktorov, tento článok je pre vás. V ňom zvážime metódy násobenia koreňov:

• bez multiplikátorov;
• s multiplikátormi;
• s rôznymi ukazovateľmi.

Metóda násobenia koreňov bez násobiteľov

Akčný algoritmus:

Uistite sa, že koreň má rovnaké exponenty (stupne). Pripomeňme, že stupeň je napísaný vľavo nad koreňovým znakom. Ak tam nie je označenie stupňa, znamená to, že koreň je štvorcový, t.j. so stupňom 2 a môže sa vynásobiť inými koreňmi so stupňom 2.

Príklad

Príklad 1: 18 × 2 = ?

Príklad 2: 10 × 5 = ?

Príklad

Príklad 1: 18 × 2 = 36

Príklad 2: 10 × 5 = 50

Príklad 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Zjednodušte koreňové výrazy. Keď navzájom vynásobíme odmocniny, môžeme výsledný radikálny výraz zjednodušiť na súčin čísla (alebo výrazu) plnou štvorcom alebo kockou:

Príklad

Príklad 1: 36 = 6 . 36 je druhá odmocnina zo šiestich (6 × 6 = 36).

Príklad 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Číslo 50 rozložíme na súčin 25 a 2. Odmocnina z 25 je 5, preto vyberieme 5 spod koreňa a výraz zjednodušíme.

Príklad 3: 27 3 = 3 . Odmocnina z čísla 27 je 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Metóda násobenia ukazovateľov multiplikátormi

Akčný algoritmus:

Násobiteľa. Násobiteľ je číslo, ktoré sa nachádza pred koreňovým znakom. Ak neexistuje násobiteľ, štandardne sa považuje za násobiteľa. Ďalej musíte znásobiť faktory:

Príklad

Príklad 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

Príklad 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

Vynásobte čísla pod koreňovým znakom. Keď vynásobíte faktory, pokojne vynásobte čísla pod koreňovým znakom:

Príklad

Príklad 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Príklad 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Zjednodušte koreňový výraz.Ďalej by ste mali zjednodušiť hodnoty, ktoré sú pod koreňovým znakom - musíte vybrať zodpovedajúce čísla z koreňového znaku. Potom musíte vynásobiť čísla a faktory, ktoré sa nachádzajú pred koreňovým znakom:

Príklad

Príklad 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Príklad 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Metóda násobenia koreňov s rôznymi exponentmi

Akčný algoritmus:

Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) exponentov. Najmenší spoločný násobok je najmenšie číslo deliteľné oboma exponentmi.

Príklad

Je potrebné nájsť LCM ukazovateľov pre nasledujúci výraz:

Exponenty sú 3 a 2 . Pre tieto dve čísla je najmenším spoločným násobkom číslo 6 (je bezo zvyšku deliteľné 3 aj 2). Na vynásobenie koreňov je potrebný exponent 6.

Napíšte každý výraz s novým exponentom:

Nájdite čísla, ktorými musíte vynásobiť ukazovatele, aby ste získali LCM.

Vo výraze 5 3 musíte vynásobiť 3 číslom 2, aby ste dostali 6 . A vo výraze 2 2 - naopak, je potrebné vynásobiť 3, aby ste dostali 6.

Zvýšte číslo pod koreňovým znakom na mocninu rovnú číslu nájdenému v predchádzajúcom kroku. Pre prvý výraz je potrebné zvýšiť 5 na 2 a druhý - 2 na 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Zvýšte silu výrazu a zapíšte výsledok pod znamienko koreňa:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Vynásobte čísla pod koreňom:

(8×25) 6

Napíšte výsledok:

(8 × 25) 6 = 200 6

Ak je to možné, zjednodušte výraz, ale v tomto prípade to nie je zjednodušené.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Ahojte mačičky! Minule sme podrobne rozobrali, čo sú korene (ak si nepamätáte, odporúčam prečítať). Hlavný záver tejto lekcie: existuje len jedna univerzálna definícia koreňov, ktorú potrebujete vedieť. Ostatné sú nezmysly a strata času.

Dnes ideme ďalej. Naučíme sa násobiť odmocniny, naštudujeme si niektoré problémy spojené s násobením (ak sa tieto problémy nevyriešia, tak sa nám môžu stať osudnými na skúške) a poriadne si zacvičíme. Tak sa zásobte pukancami, urobte si pohodlie - a začíname. :)

Ty si ešte nefajčil, však?

Lekcia sa ukázala byť dosť veľká, preto som ju rozdelil na dve časti:

1. Najprv sa pozrieme na pravidlá násobenia. Zdá sa, že čiapka naznačuje: toto je, keď existujú dva korene, medzi nimi je znak „násobenia“ - a my s tým chceme niečo urobiť.
2. Potom budeme analyzovať opačnú situáciu: existuje jeden veľký koreň a my sme boli netrpezliví, aby sme ho predstavili ako súčin dvoch koreňov jednoduchším spôsobom. S akým strachom je to potrebné, je samostatná otázka. Budeme len analyzovať algoritmus.

Pre tých, ktorí sa nevedia dočkať, kedy skočia rovno do 2. časti, ste vítaní. Začnime zvyškom v poradí.

Základné pravidlo násobenia

Začnime tým najjednoduchším – klasickými odmocninami. Tie, ktoré sú označené $\sqrt(a)$ a $\sqrt(b)$. Pre nich je všetko vo všeobecnosti jasné:

pravidlo násobenia. Ak chcete vynásobiť jednu druhú odmocninu druhou, stačí vynásobiť ich radikálne výrazy a výsledok zapísať pod spoločný radikál:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Na čísla vpravo alebo vľavo sa nevzťahujú žiadne ďalšie obmedzenia: ak existujú korene násobiteľa, existuje aj súčin.

Príklady. Zvážte štyri príklady s číslami naraz:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, hlavným zmyslom tohto pravidla je zjednodušiť iracionálne výrazy. A ak by sme v prvom príklade extrahovali odmocniny z 25 a 4 bez akýchkoľvek nových pravidiel, potom plechovka začína: $\sqrt(32)$ a $\sqrt(2)$ sa nepočítajú samy o sebe, ale ich súčin sa ukáže ako presný štvorec, takže jeho odmocnina sa rovná racionálnemu číslu.

Samostatne by som rád poznamenal posledný riadok. Tam sú oba radikálne výrazy zlomky. Vďaka produktu sa mnohé faktory rušia a celý výraz sa mení na adekvátne číslo.

Samozrejme, nie vždy bude všetko také krásne. Niekedy bude pod koreňmi úplné svinstvo - nie je jasné, čo s tým a ako sa po premnožení premeniť. O niečo neskôr, keď začnete študovať iracionálne rovnice a nerovnice, budú existovať všetky druhy premenných a funkcií vo všeobecnosti. A zostavovatelia problémov veľmi často počítajú s tým, že nájdete nejaké zmluvné podmienky alebo faktory, po ktorých sa úloha výrazne zjednoduší.

Navyše nie je potrebné množiť presne dva korene. Môžete vynásobiť tri naraz, štyri - áno aj desať! Toto pravidlo nezmení. Pozri sa:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(zarovnať)\]

A opäť malá poznámka k druhému príkladu. Ako vidíte, v treťom multiplikátore je pod koreňom desatinný zlomok - v procese výpočtov ho nahradíme bežným, po ktorom sa všetko ľahko zníži. Takže: Vrelo odporúčam zbaviť sa desatinných zlomkov v akýchkoľvek iracionálnych výrazoch (teda obsahujúcich aspoň jednu radikálnu ikonu). V budúcnosti vám to ušetrí veľa času a nervov.

Bola to však lyrická odbočka. Teraz uvažujme o všeobecnejšom prípade – keď koreňový exponent obsahuje ľubovoľné číslo $n$, a nie iba „klasickú“ dvojku.

Prípad ľubovoľného ukazovateľa

Takže sme prišli na druhé odmocniny. A čo robiť s kockami? Alebo vo všeobecnosti s koreňmi ľubovoľného stupňa $n$? Áno, všetko je po starom. Pravidlo zostáva rovnaké:

Na vynásobenie dvoch koreňov stupňa $n$ stačí vynásobiť ich radikálne výrazy, potom sa výsledok zapíše pod jeden radikál.

Vo všeobecnosti nie je nič zložité. Pokiaľ objem výpočtov nemôže byť väčší. Pozrime sa na pár príkladov:

Príklady. Vypočítajte produkty:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(zarovnať)\]

A opäť pozor na druhý výraz. Vynásobíme kubické odmocniny, zbavíme sa desatinného zlomku a výsledkom je, že v menovateli dostaneme súčin čísel 625 a 25. To je dosť veľké číslo - osobne nebudem hneď počítať, čomu sa rovná do.

Preto sme jednoducho vybrali presnú kocku v čitateli a menovateli a potom sme použili jednu z kľúčových vlastností (alebo, ak chcete, definíciu) koreňa $n$-tého stupňa:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\vpravo|. \\ \end(zarovnať)\]

Takéto „podvody“ vám môžu ušetriť veľa času na skúške alebo teste, takže pamätajte:

Neponáhľajte sa násobiť čísla v radikálnom výraze. Najprv skontrolujte: čo ak je tam „zašifrovaný“ presný stupeň akéhokoľvek výrazu?

Pri všetkej samozrejmosti tejto poznámky musím priznať, že väčšina nepripravených študentov na prázdno nevidí presné stupne. Namiesto toho znásobia všetko dopredu a potom sa čudujú: prečo dostali také brutálne čísla? :)

To všetko je však detská hra v porovnaní s tým, čo budeme študovať teraz.

Násobenie koreňov s rôznymi exponentmi

Teraz môžeme násobiť korene s rovnakými exponentmi. Čo ak sú skóre rozdielne? Povedzte, ako vynásobíte obyčajný $\sqrt(2)$ nejakým svinstvom ako $\sqrt(23)$? Je to vôbec možné urobiť?

Áno, samozrejme, môžete. Všetko sa robí podľa tohto vzorca:

Pravidlo násobenia koreňov. Ak chcete vynásobiť $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$, vykonajte nasledujúcu transformáciu:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tento vzorec však funguje iba vtedy, ak radikálne výrazy nie sú negatívne. Toto je veľmi dôležitá poznámka, ku ktorej sa vrátime trochu neskôr.

Zatiaľ sa pozrime na pár príkladov:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, nič zložité. Teraz poďme zistiť, odkiaľ sa vzala požiadavka nezápornosti a čo sa stane, ak ju porušíme. :)

Je ľahké množiť korene.

Prečo musia byť radikálne prejavy nezáporné?

Samozrejme, môžete sa stať učiteľmi školy a citovať učebnicu s inteligentným vzhľadom:

Požiadavka nezápornosti je spojená s rôznymi definíciami koreňov párnych a nepárnych stupňov (respektíve ich domény definície sú tiež odlišné).

No, bolo to jasnejšie? Osobne, keď som v 8. ročníku čítal tento nezmysel, pochopil som pre seba asi takto: “Požiadavka nezápornosti je spojená s *#&^@(*#@^#)~%” - skrátka som vtedy som ešte nerozumel :)

Takže teraz všetko vysvetlím normálnym spôsobom.

Po prvé, poďme zistiť, odkiaľ pochádza vzorec násobenia vyššie. Aby som to urobil, dovoľte mi pripomenúť vám jednu dôležitú vlastnosť koreňa:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Inými slovami, môžeme pokojne zvýšiť koreňový výraz na akúkoľvek prirodzenú mocninu $k$ – v tomto prípade bude musieť byť koreňový index vynásobený rovnakou mocninou. Preto môžeme ľahko znížiť akékoľvek korene na spoločný indikátor, po ktorom sa množíme. Odtiaľ pochádza vzorec násobenia:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Je tu však jeden problém, ktorý výrazne obmedzuje aplikáciu všetkých týchto vzorcov. Zvážte toto číslo:

Podľa práve uvedeného vzorca môžeme pridať ľubovoľný stupeň. Skúsme pridať $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Mínus sme odstránili práve preto, že štvorec vypáli mínus (ako každý iný párny stupeň). A teraz urobme opačnú transformáciu: "zmenšiť" dvojku v exponente a stupni. Koniec koncov, každá rovnosť sa dá čítať zľava doprava aj sprava doľava:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\šípka doprava \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(zarovnať)\]

Ale potom sa stane niečo šialené:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Nemôže to byť preto, že $\sqrt(-5) \lt 0$ a $\sqrt(5) \gt 0$. To znamená, že pre párne mocniny a záporné čísla už náš vzorec nefunguje. Potom máme dve možnosti:

1. Bojovať proti múru tvrdiť, že matematika je hlúpa veda, kde „existujú nejaké pravidlá, ale toto je nepresné“;
2. Zaveďte ďalšie obmedzenia, pri ktorých bude vzorec fungovať na 100 %.

V prvej možnosti budeme musieť neustále zachytávať „nefungujúce“ prípady - je to ťažké, dlhé a vo všeobecnosti zábavné. Preto matematici uprednostnili druhú možnosť. :)

Ale nebojte sa! V praxi toto obmedzenie nijako neovplyvňuje výpočty, pretože všetky opísané problémy sa týkajú iba koreňov nepárneho stupňa a dajú sa z nich vytiahnuť mínusy.

Preto formulujeme ďalšie pravidlo, ktoré sa vo všeobecnosti vzťahuje na všetky akcie s koreňmi:

Pred vynásobením koreňov sa uistite, že radikálne výrazy nie sú negatívne.

Príklad. V čísle $\sqrt(-5)$ môžete vybrať mínus pod znamienkom koreňa - potom bude všetko v poriadku:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Cítiť rozdiel? Ak necháte pod koreňom mínus, potom keď sa radikálny výraz umocní na druhú, zmizne a začne sa svinstvo. A ak najprv vyberiete mínus, môžete dokonca zvýšiť / odstrániť štvorec, kým nebudete modrý v tvári - číslo zostane záporné. :)

Najsprávnejší a najspoľahlivejší spôsob rozmnožovania koreňov je teda nasledujúci:

1. Odstráňte všetky mínusy spod radikálov. Mínusy sú len v koreňoch nepárnej násobnosti - možno ich umiestniť pred koreň a v prípade potreby ich zmenšiť (napr. ak sú tieto mínusky dve).
2. Vykonajte násobenie podľa pravidiel uvedených vyššie v dnešnej lekcii. Ak sú indexy koreňov rovnaké, jednoducho vynásobte koreňové výrazy. A ak sú odlišné, použijeme zlý vzorec \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Tešíme sa z výsledku a dobrých známok. :)

dobre? Zacvičíme si?

Príklad 1. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Toto je najjednoduchšia možnosť: ukazovatele koreňov sú rovnaké a nepárne, problém je iba v mínuse druhého multiplikátora. Vydržíme tento mínus nafig, po ktorom sa všetko ľahko zváži.

Príklad 2. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( zarovnať)\]

Tu by mnohých zmiatla skutočnosť, že výstup sa ukázal ako iracionálne číslo. Áno, stáva sa: koreňa sa nám nepodarilo úplne zbaviť, no výraz sme aspoň výrazne zjednodušili.

Príklad 3. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \vpravo))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Na toto by som chcel upozorniť. Sú tu dva body:

1. Pod koreňom nie je konkrétne číslo alebo stupeň, ale premenná $a$. Na prvý pohľad je to trochu nezvyčajné, no v skutočnosti sa pri riešení matematických úloh budete musieť najčastejšie potýkať s premennými.
2. Nakoniec sa nám podarilo „zmenšiť“ koreňový exponent a stupeň v radikálnom výraze. To sa stáva pomerne často. A to znamená, že bolo možné výrazne zjednodušiť výpočty, ak nepoužívate hlavný vzorec.

Môžete napríklad urobiť toto:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(zarovnať)\]

V skutočnosti boli všetky transformácie vykonané iba s druhým radikálom. A ak nebudete podrobne maľovať všetky medzikroky, nakoniec sa množstvo výpočtov výrazne zníži.

V skutočnosti sme sa už s podobnou úlohou stretli vyššie pri riešení príkladu $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Teraz sa to dá napísať oveľa jednoduchšie:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

No, prišli sme na násobenie koreňov. Teraz zvážte inverznú operáciu: čo robiť, keď je pod koreňom práca?

Silové vzorce používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele spočítajú:

a ma n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele odpočítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = a n/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(am) n = a m n .

Každý vzorec vyššie je správny v smere zľava doprava a naopak.

napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:

4. Ak zvýšime stupeň koreňa v n raz a zároveň zvýšiť na n mocnina je číslo odmocniny, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížime stupeň koreňa v n root súčasne n stupňa od radikálneho čísla, potom sa hodnota koreňa nezmení:

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň čísla s kladným (celočíselným) exponentom je definovaný ako stupeň delený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n = a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj pri m< n.

napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n = a m - n sa stal spravodlivým m=n, potrebujete prítomnosť nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom sa rovná jednej.

napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo a do istej miery m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m mocnina tohto čísla a.