V tejto lekcii si popíšeme typy symetrie v priestore, zoznámime sa s pojmom pravidelný mnohosten.

Rovnako ako v planimetrii, aj v priestore budeme uvažovať symetriu vzhľadom na bod a vzhľadom na priamku, no okrem toho sa objaví symetria vzhľadom na rovinu.

Definícia.

Body A a sa nazývajú symetrické podľa bodu O (stred symetrie), ak O je stredom úsečky. Bod O je sám so sebou symetrický.

Aby ste získali bod symetrický vzhľadom na bod O pre daný bod A, musíte nakresliť priamku cez body A a O, vyčleniť úsečku rovnajúcu sa OA z bodu O a získať požadovaný bod ( Postava 1).

Ryža. 1. Symetria okolo bodu

Podobne body B a sú symetrické okolo bodu O, pretože O je stredom úsečky.

Takže je daný zákon, podľa ktorého každý bod roviny ide do iného bodu roviny a povedali sme, že akékoľvek vzdialenosti sú zachované, teda .

Zvážte symetriu vzhľadom na čiaru v priestore.

Ak chcete získať symetrický bod pre daný bod A vzhľadom na nejakú priamku a, musíte znížiť kolmicu z bodu A na priamku a nastaviť na ňu rovnaký segment (obrázok 2).

Ryža. 2. Symetria vzhľadom na priamku v priestore

Definícia.

Body A a sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku a (os súmernosti), ak priamka a prechádza stredom úsečky a je na ňu kolmá. Každý bod čiary je symetrický sám o sebe.

Definícia.

Body A a sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu (rovinu symetrie), ak rovina prechádza stredom úsečky a je na ňu kolmá. Každý bod roviny je symetrický sám o sebe (obrázok 3).

Ryža. 3. Symetria vzhľadom na rovinu

Niektoré geometrické útvary môžu mať stred symetrie, os symetrie, rovinu symetrie.

Definícia.

Bod O sa nazýva stred symetrie obrazca, ak každý bod obrazca je symetrický okolo neho k nejakému bodu toho istého obrazca.

Napríklad v rovnobežníku a rovnobežnostene je priesečníkom všetkých uhlopriečok stred symetrie. Ukážme si to na rovnobežnostene.

Ryža. 4. Stred symetrie rovnobežnostena

Takže so symetriou okolo bodu O v rovnobežnostene bod A ide do bodu , bod B ide do bodu atď., takže krabica ide do seba.

Definícia.

Priamka sa nazýva os symetrie obrazca, ak každý bod obrazca je symetrický okolo nej k niektorému bodu toho istého obrazca.

Napríklad každá uhlopriečka kosoštvorca je pre neho osou symetrie, kosoštvorec sa premení na seba, keď je symetrický podľa ktorejkoľvek z uhlopriečok.

Zvážte príklad vo vesmíre - pravouhlý rovnobežnosten (bočné hrany sú kolmé na základne, rovnaké obdĺžniky na základniach). Takýto rovnobežnosten má osi symetrie. Jeden z nich prechádza stredom symetrie rovnobežnostena (priesečník uhlopriečok) a stredmi hornej a dolnej základne.

Definícia.

Rovina sa nazýva rovina symetrie obrazca, ak je každý bod obrazca symetrický vzhľadom k nemu k niektorému bodu toho istého obrazca.

Napríklad kváder má roviny symetrie. Jeden z nich prechádza stredom protiľahlých okrajov hornej a dolnej základne (obrázok 5).

Ryža. 5. Rovina súmernosti pravouhlého rovnobežnostena

Prvky symetrie sú vlastné pravidelným mnohostenom.

Definícia.

Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho steny rovnaké pravidelné mnohouholníky a v každom vrchole sa zbieha rovnaký počet hrán.

Veta.

Neexistuje žiadny pravidelný mnohosten, ktorého steny sú pravidelné n-uholníky pre .

dôkaz:

Zvážte prípad, keď je pravidelný šesťuholník. Všetky jeho vnútorné uhly sú rovnaké:

Potom budú vnútorné uhly väčšie.

V každom vrchole mnohostenu sa zbiehajú aspoň tri hrany, čo znamená, že každý vrchol obsahuje aspoň tri ploché uhly. Ich celkový súčet (za predpokladu, že každý je väčší alebo rovný ) je väčší alebo rovný . To je v rozpore s tvrdením: v konvexnom mnohostene je súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole menší ako .

Veta bola dokázaná.

Kocka (obrázok 6):

Ryža. 6. Kocka

Kocka sa skladá zo šiestich štvorcov; štvorec je pravidelný mnohouholník;

Každý vrchol je vrcholom troch štvorcov, napríklad vrchol A je spoločný pre štvorcové steny ABCD, ;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pozostáva z troch pravých uhlov. To je menej ako , čo spĺňa predstavu pravidelného mnohostenu;

Kocka má stred symetrie - priesečník uhlopriečok;

Kocka má osi symetrie, napríklad priamky aab (obrázok 6), kde priamka a prechádza stredmi protiľahlých stien a b stredmi protiľahlých hrán;

Kocka má roviny symetrie, napríklad rovinu, ktorá prechádza priamkami a a b.

2. Pravidelný štvorsten (pravidelný trojuholníkový ihlan, ktorého všetky hrany sú si navzájom rovné):

Ryža. 7. Pravidelný štvorsten

Pravidelný štvorsten je tvorený štyrmi rovnostrannými trojuholníkmi;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pravidelný štvorsten pozostáva z troch rovinných uhlov v . To je menej ako , čo spĺňa predstavu pravidelného mnohostenu;

Pravidelný štvorsten má osi symetrie; prechádzajú stredmi protiľahlých hrán, napríklad priamkou MN. Okrem toho, MN je vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami AB a CD, MN je kolmá na okraje AB a CD;

Pravidelný štvorsten má roviny symetrie, pričom každá prechádza cez hranu a stred protiľahlej hrany (obrázok 7);

Pravidelný štvorsten nemá stred symetrie.

3. Bežný osemsten:

Pozostáva z ôsmich rovnostranných trojuholníkov;

Štyri hrany sa zbiehajú v každom vrchole;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pravidelný osemsten pozostáva zo štyroch rovinných uhlov pozdĺž . To je menej ako , čo spĺňa koncepciu pravidelného mnohostenu.

4. Pravidelný dvadsaťsten:

Pozostáva z dvadsiatich rovnostranných trojuholníkov;

Päť hrán sa zbieha v každom vrchole;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pravidelný dvadsaťsten pozostáva z piatich rovinných uhlov pozdĺž . To je menej ako , čo spĺňa koncepciu pravidelného mnohostenu.

5. Pravidelný dvanásťsten:

Pozostáva z dvanástich pravidelných päťuholníkov;

V každom vrchole sa zbiehajú tri hrany;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je . To je menej ako , čo spĺňa koncepciu pravidelného mnohostenu.

Takže sme zvážili typy symetrie v priestore a dali sme prísne definície. Definovali sme tiež pojem pravidelného mnohostena, zvážili sme príklady takýchto mnohostenov a ich vlastnosti.

Bibliografia

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. 10.-11. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, Rev. a dodatočné - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor.
2. Sharygin I. F. Geometria. 10.-11. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie / Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chor.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. 10. ročník: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s hĺbkovým a špecializačným štúdiom matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: chor.

1. Matemonline.com().
2. Fmclass.ru ().
3. 5class.net().

Domáca úloha

1. Zadajte počet osí symetrie kvádra;
2. uveďte počet osí symetrie pravidelného päťuholníkového hranola;
3. uveďte počet rovín symetrie osemstenu;
4. postaviť pyramídu, ktorá má všetky prvky symetrie.

- (definícia) geometrické teleso ohraničené zo všetkých strán plochými polygónmi - tváre.

Príklady mnohostenov:

Strany plôch sa nazývajú hrany a konce hrán sa nazývajú vrcholy. Podľa počtu tvárí sa rozlišujú 4-steny, 5-steny atď. Mnohosten je tzv konvexné, ak je celá umiestnená na jednej strane roviny každej z jej plôch. Mnohosten je tzv správny, ak sú jeho steny pravidelné mnohouholníky (t. j. tie, v ktorých sú všetky strany a uhly rovnaké) a všetky mnohostenné uhly vo vrcholoch sú rovnaké. Existuje päť typov pravidelných mnohostenov: štvorsten, kocka, osemsten, dvanásťsten, dvadsaťsten.

Mnohosten v trojrozmernom priestore (koncept mnohostenu) - súbor konečného počtu plochých mnohouholníkov tak, že

1) každá strana jednej je súčasne stranou druhej (ale iba jednej), nazývaná susediaca s prvou (na tejto strane);

2) z ktoréhokoľvek z mnohouholníkov, ktoré tvoria mnohosten, sa dá dosiahnuť ktorýkoľvek z nich prechodom na susediaci a z tohto zase na susediaci atď.

Tieto polygóny sa nazývajú tváre, ich strany rebrá, a ich vrcholy sú vrcholy mnohosten.

Vrcholy mnohostenu

Hrany mnohostenu

Fazety mnohostenu

Mnohosten sa nazýva konvexný, ak leží na jednej strane roviny ktorejkoľvek z jeho plôch.

Z tejto definície vyplýva, že všetky plochy konvexného mnohostenu sú ploché konvexné mnohouholníky. Povrch konvexného mnohostenu pozostáva z plôch, ktoré ležia v rôznych rovinách. Hrany mnohostena sú v tomto prípade strany mnohouholníkov, vrcholy mnohostena sú vrcholy plôch, ploché rohy mnohostena sú rohy mnohouholníkov - plôch.

Konvexný mnohosten, ktorého všetky vrcholy ležia v dvoch rovnobežných rovinách, sa nazýva prizmatoidný. Hranol, pyramída a zrezaná pyramída sú špeciálnymi prípadmi prizmatoidu. Všetky bočné strany prizmatoidu sú trojuholníky alebo štvoruholníky a štvoruholníkové steny sú lichobežníky alebo rovnobežníky.

Mnohosteny zaujímajú nielen popredné miesto v geometrii, ale vyskytujú sa aj v každodennom živote každého človeka. Nehovoriac o umelo vytvorených predmetoch do domácnosti v podobe rôznych mnohouholníkov, zápalkovou škatuľkou počnúc a architektonickými prvkami končiac, kryštály v podobe kocky (soľ), hranolu (kryštál), pyramídy (scheelit), osemstenu (diamant), atď. d.

Pojem mnohosten, typy mnohostenov v geometrii

Geometria ako veda obsahuje sekciu stereometrie, ktorá študuje charakteristiky a vlastnosti trojrozmerných telies, ktorých strany v trojrozmernom priestore tvoria ohraničené roviny (tváre), nazývajú sa „polyhedra“. Typy mnohostenov zahŕňajú viac ako tucet zástupcov, ktorí sa líšia počtom a tvarom tvárí.

Všetky mnohosteny však majú spoločné vlastnosti:

1. Všetky majú 3 integrálne komponenty: plochu (plocha mnohouholníka), vrchol (rohy vytvorené na spojení plôch), hranu (strana postavy alebo segment vytvorený na spojení dvoch plôch). ).
2. Každá hrana mnohouholníka spája dve a iba dve plochy, ktoré spolu susedia.
3. Konvexnosť znamená, že telo je úplne umiestnené iba na jednej strane roviny, na ktorej leží jedna z tvárí. Toto pravidlo platí pre všetky strany mnohostenu. Takéto geometrické útvary v stereometrii sa nazývajú konvexné mnohosteny. Výnimkou sú hviezdicovité mnohosteny, ktoré sú derivátmi pravidelných mnohostenných geometrických telies.

Polyhedra možno rozdeliť na:

1. Typy konvexných mnohostenov, ktoré pozostávajú z nasledujúcich tried: obyčajné alebo klasické (hranol, pyramída, rovnobežnostěn), pravidelné (nazývané aj platónske telesá), polopravidelné (druhé meno - Archimedove telesá).
2. Nekonvexné mnohosteny (hviezdicovité).

Hranol a jeho vlastnosti

Stereometria ako odvetvie geometrie študuje vlastnosti trojrozmerných útvarov, typy mnohostenov (jedným z nich je hranol). Hranol je geometrické teleso, ktoré má nevyhnutne dve úplne identické plochy (nazývajú sa aj základne) ležiace v rovnobežných rovinách a n-tý počet bočných plôch vo forme rovnobežníkov. Na druhej strane má hranol tiež niekoľko odrôd vrátane takých typov mnohostenov, ako sú:

1. Rovnobežník vzniká, ak je základňou rovnobežník - mnohouholník s 2 pármi rovnakých protiľahlých uhlov a 2 pármi zhodných protiľahlých strán.
2. má rebrá kolmé na základňu.
3. charakterizované prítomnosťou nepravých uhlov (iných ako 90) medzi plochami a základňou.
4. Pravidelný hranol je charakterizovaný základňami v tvare s rovnakými bočnými plochami.

Hlavné vlastnosti hranola:

• Kongruentné základy.
• Všetky hrany hranola sú rovnaké a navzájom rovnobežné.
• Všetky bočné strany sú v tvare rovnobežníka.

Pyramída

Pyramída je geometrické teleso, ktoré pozostáva z jednej základne a n-tého počtu trojuholníkových plôch spojených v jednom bode - vrchole. Je potrebné poznamenať, že ak sú bočné strany pyramídy nevyhnutne reprezentované trojuholníkmi, potom základňa môže byť buď trojuholníkový mnohouholník, štvoruholník alebo päťuholník atď. do nekonečna. V tomto prípade bude názov pyramídy zodpovedať polygónu na základni. Napríklad, ak je na základni pyramídy trojuholník - je to štvoruholník - štvoruholník atď.

Pyramídy sú kužeľovité mnohosteny. Typy mnohostenov tejto skupiny, okrem tých, ktoré sú uvedené vyššie, zahŕňajú aj nasledujúcich zástupcov:

1. má v základni pravidelný mnohouholník a jej výška sa premieta do stredu kružnice vpísanej do základne alebo opísanej okolo nej.
2. Obdĺžnikový ihlan vznikne vtedy, keď sa jedna z bočných hrán pretína so základňou v pravom uhle. V tomto prípade je tiež spravodlivé nazvať túto hranu výškou pyramídy.

Vlastnosti pyramídy:

• Ak sú všetky bočné okraje pyramídy zhodné (v rovnakej výške), potom sa všetky pretínajú so základňou pod rovnakým uhlom a okolo základne môžete nakresliť kruh so stredom zhodným s priemetom vrcholu pyramídy. .
• Ak pravidelný mnohouholník leží na základni pyramídy, potom sú všetky bočné hrany zhodné a steny sú rovnoramenné trojuholníky.

Pravidelný mnohosten: typy a vlastnosti mnohostenov

V stereometrii zaujímajú osobitné miesto geometrické telesá s absolútne rovnakými plochami, na ktorých vrcholoch je spojený rovnaký počet hrán. Tieto telesá sa nazývajú platónske telesá alebo pravidelné mnohosteny. Typy mnohostenov s takýmito vlastnosťami majú iba päť číslic:

1. štvorsten.
2. Hexahedron.
3. Oktaedrón.
4. Dodekaedrón.
5. Ikosahedrón.

Pravidelné mnohosteny vďačia za svoj názov starogréckemu filozofovi Platónovi, ktorý tieto geometrické telesá opísal vo svojich spisoch a spojil ich s prírodnými živlami: zem, voda, oheň, vzduch. Piata postava bola ocenená podobnosťou so štruktúrou vesmíru. Podľa jeho názoru atómy prírodných prvkov tvarom pripomínajú typy pravidelných mnohostenov. Pre svoju najfascinujúcejšiu vlastnosť – symetriu, sa tieto geometrické telesá tešili veľkému záujmu nielen starovekých matematikov a filozofov, ale aj architektov, umelcov a sochárov všetkých čias. Prítomnosť iba 5 typov mnohostenov s absolútnou symetriou sa považovala za zásadný objav, dokonca im bolo ocenené spojenie s božským princípom.

Šesťsten a jeho vlastnosti

Platónovi nástupcovia vo forme šesťuholníka predpokladali podobnosť so štruktúrou atómov zeme. Samozrejme, v súčasnosti je táto hypotéza úplne vyvrátená, čo však nebráni tomu, aby figúry zaujali svojou estetikou v modernej dobe mysle slávnych postáv.

V geometrii sa šesťsten, tiež známy ako kocka, považuje za špeciálny prípad rovnobežnostena, ktorý je zase akýmsi hranolom. V súlade s tým sú vlastnosti kocky spojené s jediným rozdielom, že všetky strany a rohy kocky sú si navzájom rovné. Z toho vyplývajú nasledujúce vlastnosti:

1. Všetky hrany kocky sú zhodné a ležia navzájom v rovnobežných rovinách.
2. Všetky plochy sú zhodné štvorce (v kocke je ich celkom 6), z ktorých ktorýkoľvek možno považovať za základ.
3. Všetky medzistenové uhly sú 90.
4. Z každého vrcholu pochádza rovnaký počet hrán, konkrétne 3.
5. Kocka má 9, ktoré sa všetky pretínajú v priesečníku uhlopriečok šesťstenu, ktorý sa nazýva stred symetrie.

štvorsten

Štvorsten je štvorsten s rovnakými stenami vo forme trojuholníkov, z ktorých každý vrchol je spojovacím bodom troch stien.

Vlastnosti pravidelného štvorstenu:

1. Všetky steny štvorstenu - z toho vyplýva, že všetky steny štvorstenu sú zhodné.
2. Pretože základňa je reprezentovaná pravidelným geometrickým obrazcom, to znamená, že má rovnaké strany, potom sa plochy štvorstenu zbiehajú pod rovnakým uhlom, to znamená, že všetky uhly sú rovnaké.
3. Súčet plochých uhlov v každom z vrcholov je 180, pretože všetky uhly sú rovnaké, potom akýkoľvek uhol pravidelného štvorstenu je 60.
4. Každý z vrcholov sa premieta do priesečníka výšok protiľahlej (ortocentrickej) steny.

Oktaedrón a jeho vlastnosti

Pri opise typov pravidelných mnohostenov si nemožno nevšimnúť taký objekt, ako je osemsten, ktorý možno vizuálne znázorniť ako dve štvoruholníkové pravidelné pyramídy zlepené spolu so základňami.

Vlastnosti osemstenu:

1. Už samotný názov geometrického telesa napovedá o počte jeho plôch. Osemsten pozostáva z 8 zhodných rovnostranných trojuholníkov, v každom z vrcholov ktorých sa zbieha rovnaký počet stien, konkrétne 4.
2. Pretože všetky strany osemstenu sú rovnaké, rovnaké sú aj jeho uhly rozhrania, z ktorých každý je rovný 60, a súčet rovinných uhlov ktoréhokoľvek z vrcholov je teda 240.

Dodekaedrón

Ak si predstavíme, že všetky plochy geometrického telesa sú pravidelným päťuholníkom, dostaneme dvanásťsten - postavu s 12 mnohouholníkmi.

Vlastnosti dvanástnika:

1. V každom vrchole sa pretínajú tri steny.
2. Všetky plochy sú rovnaké a majú rovnakú dĺžku hrany a rovnakú plochu.
3. Dvanásťsten má 15 osí a rovín symetrie a ktorákoľvek z nich prechádza vrcholom tváre a stredom protiľahlej hrany.

dvadsaťsten

Nemenej zaujímavý ako dvanásťsten, dvadsaťsten je trojrozmerné geometrické teleso s 20 rovnakými plochami. Medzi vlastnosti bežného dvadsaťstena možno zaznamenať nasledovné:

1. Všetky strany dvadsaťstenu sú rovnoramenné trojuholníky.
2. Päť plôch sa zbieha v každom vrchole mnohostenu a súčet susedných uhlov vrcholu je 300.
3. Dvanásťsten, podobne ako dvanásťsten, má 15 osí a rovín symetrie prechádzajúcich stredmi protiľahlých plôch.

Polopravidelné mnohouholníky

Do skupiny konvexných mnohostenov patria okrem platónskych telies aj archimedovské telesá, čo sú skrátené pravidelné mnohosteny. Typy mnohostenov tejto skupiny majú nasledujúce vlastnosti:

1. Geometrické telesá majú párovo rovnaké steny niekoľkých typov, napríklad skrátený štvorsten má 8 stien, rovnako ako bežný štvorsten, ale v prípade Archimedovho telesa budú 4 steny trojuholníkové a 4 šesťuholníkové.
2. Všetky uhly jedného vrcholu sú zhodné.

Hviezdne mnohosteny

Predstaviteľmi nevolumetrických typov geometrických telies sú hviezdicovité mnohosteny, ktorých plochy sa navzájom prelínajú. Môžu byť vytvorené zlúčením dvoch pravidelných trojrozmerných telies alebo pokračovaním ich tvárí.

Takéto hviezdicovité mnohosteny sú teda známe ako: hviezdicovité formy osemstenu, dvanásťstenu, dvadsaťstenu, kuboktaedru, ikoziddekaedru.

V školskej geometrii sú špeciálne témy, na ktoré sa tešíte a očakávate stretnutie s neuveriteľne krásnym materiálom. Medzi tieto témy patria „Pravidelné mnohosteny“.Tu sa otvára nielen nádherný svet geometrických telies s unikátnymi vlastnosťami, ale aj zaujímavé vedecké hypotézy. A potom sa hodina geometrie stane druhom štúdia neočakávaných aspektov obvyklého školského predmetu.

Žiadne z geometrických telies nemá takú dokonalosť a krásu ako pravidelné mnohosteny. „Pravidelných mnohostenov je vzdorovito málo,“ napísal raz L. Carroll, „ale toto odlúčenie, ktoré je počtom veľmi skromné, sa dokázalo dostať do samých hlbín rôznych vied.“

Čo je to za vzdorne malé číslo a prečo je ich toľko. A koľko? Ukazuje sa, že presne päť - nič viac, nič menej. To možno potvrdiť rozvinutím konvexného mnohostenného uhla. V skutočnosti, aby sme získali akýkoľvek pravidelný mnohosten podľa jeho definície, rovnaký počet plôch sa musí zbiehať v každom vrchole, pričom každý z nich je pravidelným mnohouholníkom. Súčet rovinných uhlov mnohostenného uhla musí byť menší ako 360 o, inak sa nezíska mnohostenný povrch. Prechádzanie možnými celočíselnými riešeniami nerovností: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Názvy pravidelných mnohostenov pochádzajú z Grécka. V doslovnom preklade z gréčtiny "tetrahedron", "osemeder", "hexaedr", "dvanásťsten", "ikozaéder" znamená: "tetrahedron", "osemedrón", "hexaedrón". dvanásťsten, dvanásťsten. Týmto krásnym telám je venovaná 13. kniha Euklidových živlov. Nazývajú sa aj telá Platóna, pretože. zaujímali dôležité miesto v Platónovom filozofickom koncepte štruktúry vesmíru. Štyri mnohosteny v ňom zosobnili štyri esencie alebo „prvky“. Štvorsten symbolizoval oheň, pretože. jeho vrchol smeruje nahor; dvadsaťsten – voda, pretože on je najviac „upravený“; kocka - zem, ako najviac "stabilná"; osemsten – vzduch, ako najviac „vzdušný“. Piaty mnohosten, dvanásťsten, stelesňoval „všetko, čo existuje“, symbolizoval celý vesmír a bol považovaný za hlavný.

Starovekí Gréci považovali harmonické vzťahy za základ vesmíru, preto ich štyri prvky spájala taká proporcia: zem/voda=vzduch/oheň. Atómy „prvkov“ naladil Platón v dokonalých súzvukoch, ako štyri struny lýry. Pripomínam, že príjemná súzvuk sa nazýva súzvuk. Treba povedať, že zvláštne hudobné vzťahy v platónskych telesách sú čisto špekulatívne a nemajú geometrický základ. Ani počet vrcholov platónskych telies, ani objemy pravidelných mnohostenov, ani počet hrán alebo plôch nie sú týmito vzťahmi spojené.

V súvislosti s týmito telesami by bolo vhodné povedať, že prvý systém prvkov, ktorý zahŕňal štyri prvky – zem, vodu, vzduch a oheň – kanonizoval Aristoteles. Tieto prvky zostali po mnoho storočí štyrmi základnými kameňmi vesmíru. Je celkom možné ich stotožniť so štyrmi nám známymi stavmi hmoty – pevným, kvapalným, plynným a plazmovým.

Významné miesto zaujímali pravidelné mnohosteny v systéme harmonickej štruktúry sveta od I. Keplera. Tá istá viera v harmóniu, krásu a matematicky pravidelnú štruktúru vesmíru priviedla I. Keplera k myšlienke, že keďže existuje päť pravidelných mnohostenov, zodpovedá im iba šesť planét. Podľa jeho názoru sú sféry planét navzájom prepojené platónskymi telesami, ktoré sú do nich vpísané. Keďže pre každý pravidelný mnohosten sa stredy vpísanej a opísanej gule zhodujú, celý model bude mať jeden stred, v ktorom sa bude nachádzať Slnko.

Po obrovskej výpočtovej práci publikoval I. Kepler v roku 1596 výsledky svojho objavu v knihe "Tajomstvo vesmíru". Do sféry obežnej dráhy Saturna vpíše kocku, do kocky - sféry Jupitera, do sféry Jupitera - štvorstenu, a tak postupne do seba zapadá sféru Marsu - dvanásťsten, sféru Zeme. - dvadsaťsten, sféra Venuše - osemsten, sféra Merkúra. Zdá sa, že tajomstvo vesmíru je otvorené.

Dnes možno s istotou povedať, že vzdialenosti medzi planétami nesúvisia so žiadnym mnohostenom. Je však možné, že bez „Tajomstiev vesmíru“, „Harmónie sveta“ od I. Keplera, pravidelných mnohostenov by neexistovali tri slávne zákony I. Keplera, ktoré zohrávajú dôležitú úlohu pri opise pohybu. planét.

Kde inde môžete vidieť tieto úžasné telá? Vo veľmi krásnej knihe nemeckého biológa začiatku nášho storočia E. Haeckela „Krása foriem v prírode“ sa možno dočítať tieto riadky: „Príroda vo svojom lone živí nepreberné množstvo úžasných tvorov, ktoré ďaleko prevyšujú všetky formy vytvorené ľudským umením v kráse a rozmanitosti." Výtvory prírody v tejto knihe sú krásne a symetrické. Toto je neoddeliteľná vlastnosť prirodzenej harmónie. Ale tu môžete vidieť aj jednobunkové organizmy - feodarii, ktorých tvar presne vyjadruje dvadsaťsten. Čo spôsobilo takú prirodzenú geometrizáciu? Možno preto, že zo všetkých mnohostenov s rovnakým počtom plôch má najväčší objem a najmenší povrch práve dvadsaťsten. Táto geometrická vlastnosť pomáha morským mikroorganizmom prekonať tlak vodného stĺpca.

Zaujímavé je aj to, že práve dvadsaťsten sa ukázal byť stredobodom pozornosti biológov pri ich sporoch o tvare vírusov. Vírus nemôže byť dokonale okrúhly, ako sa predtým myslelo. Aby určili jeho tvar, vzali rôzne mnohosteny a nasmerovali na ne svetlo v rovnakých uhloch ako prúdenie atómov k vírusu. Ukázalo sa, že iba jeden mnohosten dáva presne ten istý tieň - dvadsaťsten. Jeho geometrické vlastnosti, spomenuté vyššie, umožňujú uložiť genetickú informáciu. Pravidelné mnohosteny sú najvýhodnejšie postavy. A príroda to využíva. Kryštály niektorých látok, ktoré poznáme, sú vo forme pravidelných mnohostenov. Kocka teda nesie tvar kryštálov chloridu sodného NaCl, monokryštál hlinito-draselného kamenca (KAlSO4) 2 12H2O má tvar oktaédra, kryštál pyritsulfidu FeS má tvar dvanástnika, síran antimón sodný je štvorsten, bór je dvadsaťsten. Pravidelné mnohosteny určujú tvar kryštálových mriežok niektorých chemikálií. Túto myšlienku ilustrujem na nasledujúcom probléme.

Úloha. Model molekuly metánu CH4 má tvar pravidelného štvorstenu, v štyroch vrcholoch sú atómy vodíka av strede - atóm uhlíka. Určte väzbový uhol medzi dvoma väzbami CH.

rozhodnutie. Keďže pravidelný štvorsten má šesť rovnakých hrán, je možné zvoliť takú kocku tak, aby uhlopriečky jej plôch boli hranami pravidelného štvorstenu (obr. 2). Stred kocky je zároveň stredom štvorstenu, pretože štyri vrcholy štvorstenu sú zároveň vrcholmi kocky a okolo nich opísaná guľa je jednoznačne určená štyrmi bodmi, ktoré neležia v rovnakej rovine. Požadovaný uhol j medzi dvoma väzbami CH sa rovná uhlu AOS. Trojuholník AOC je rovnoramenný. Preto, kde a je strana kocky, d je dĺžka uhlopriečky bočnej steny alebo hrany štvorstenu. Takže, odkiaľ \u003d 54,73561 O a j \u003d 109,47 O

Myšlienky Pytagora, Platóna, I. Keplera o spojení pravidelných mnohostenov s harmonickou štruktúrou sveta našli už v našej dobe svoje pokračovanie v zaujímavej vedeckej hypotéze, ktorej autormi (začiatkom 80. rokov) boli moskovskí inžinieri V. Makarov a V. Morozov. Veria, že jadro Zeme má tvar a vlastnosti rastúceho kryštálu, ktorý ovplyvňuje vývoj všetkých prírodných procesov prebiehajúcich na planéte. Lúče tohto kryštálu, respektíve jeho silové pole určujú dvadsaťsten-dvanásťstennú štruktúru Zeme (obr. 3), ktorá sa prejavuje tým, že v zemskej kôre sa objavujú výbežky pravidelných mnohostenov vpísaných do zemegule: dvadsaťsten a dvanásťsten. Ich 62 vrcholov a stredov hrán, ktoré autori nazývajú uzly, má množstvo špecifických vlastností, ktoré umožňujú vysvetliť niektoré nepochopiteľné javy.

Ak umiestnite na zemeguľu centrá najväčších a najpozoruhodnejších kultúr a civilizácií starovekého sveta, môžete si všimnúť vzor v ich umiestnení vzhľadom na geografické póly a rovník planéty. Mnohé ložiská nerastov sa tiahnu pozdĺž ikosaedrickej-dodekaedrickej mriežky. Ešte úžasnejšie veci sa dejú na priesečníku týchto rebier: tu sú centrá najstarších kultúr a civilizácií: Peru, Severné Mongolsko, Haiti, kultúra Ob a ďalšie. V týchto bodoch sú maximá a minimá atmosférického tlaku, obrie víry Svetového oceánu, tu škótske jazero Loch Ness, Bermudský trojuholník. Ďalšie štúdie Zeme možno určia postoj k tejto krásnej vedeckej hypotéze, v ktorej zrejme dôležité miesto zaujímajú pravidelné mnohosteny.

Tak sa zistilo, že existuje presne päť pravidelných mnohostenov. A ako v nich určiť počet hrán, plôch, vrcholov? To nie je ťažké urobiť pre mnohosteny s malým počtom hrán, ale ako napríklad získať takúto informáciu pre dvadsaťsten? Slávny matematik L. Euler získal vzorec В+Г-Р=2, ktorý dáva do súvislosti počet vrcholov /В/, stien /Г/ a hrán /Р/ ľubovoľného mnohostenu. Jednoduchosť tohto vzorca spočíva v tom, že nemá nič spoločné so vzdialenosťou alebo uhlami. Aby sme určili počet hrán, vrcholov a plôch pravidelného mnohostenu, najprv nájdeme číslo k \u003d 2y - xy + 2x, kde x je počet hrán patriacich jednej ploche, y je počet zbiehajúcich sa plôch v jednom vrchole. Na zistenie počtu plôch, vrcholov a hrán pravidelného mnohostenu používame vzorce. Potom je ľahké vyplniť tabuľku, ktorá poskytuje informácie o prvkoch pravidelných mnohostenov:

mnohosten H W R

štvorsten 4-4-6

šesťsten 6-8-12

osemsten 8-6-12

dvanásťsten 12-20-30

dvadsaťsten 20-12-30

A ešte jedna otázka vyvstáva v súvislosti s pravidelnými mnohostenmi: je možné nimi vyplniť priestor tak, aby medzi nimi neboli žiadne medzery? Vzniká analogicky s pravidelnými polygónmi, z ktorých niektoré môžu vyplniť rovinu. Ukazuje sa, že priestor môžete vyplniť iba pomocou jednej bežnej mnohostennej kocky. Priestor môže byť vyplnený aj kosoštvorcovými dvanástnikmi. Aby ste to pochopili, musíte problém vyriešiť.

Úloha. Pomocou siedmich kociek tvoriacich priestorový „kríž“ postavte kosoštvorcový dvanásťsten a ukážte, že dokážu vyplniť priestor.

rozhodnutie. Kocky môžu vyplniť priestor. Uvažujme časť kubickej mriežky znázornenej na obr.4. Strednú kocku necháme nedotknutú a do každej z „ohraničujúcich“ kociek nakreslíme roviny cez všetkých šesť párov protiľahlých hrán. V tomto prípade budú „okolité“ kocky rozdelené na šesť rovnakých ihlanov so štvorcovými základňami a bočnými hranami rovnými polovici uhlopriečky kocky. Pyramídy susediace s nedotknutou kockou tvoria spolu s kockou kosoštvorcový dvanásťsten. Z toho je zrejmé, že celý priestor môže byť vyplnený kosoštvorcovými dvanástnikmi. V dôsledku toho dostaneme, že objem kosoštvorcového dvanástnika sa rovná dvojnásobku objemu kocky, ktorej hrana sa zhoduje s menšou uhlopriečkou steny dvanástnika.

Vyriešením posledného problému sme sa dostali k kosoštvorcovým dvanástnikom. Zaujímavosťou je, že aj včelie bunky, ktoré tiež vypĺňajú priestor bez medzier, sú ideálne geometrické tvary. Horná časť včelej bunky je súčasťou kosoštvorcového dvanástnika.

Pravidelné mnohosteny nám teda odhalili pokusy vedcov priblížiť sa k tajomstvu svetovej harmónie a ukázali neodolateľnú príťažlivosť geometrie.

Domov > Abstrakt

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA

STREDNÁ ŠKOLA №3

ESAY

v geometrii

Predmet:

"Polyhedra".

Vykonané:študentka 11-"b" triedy MOU stredná škola č. 3 Alyabyeva Julia. Skontrolované: učiteľka matematiky Sergeeva Lyubov Alekseevna.

Železnovodsk

Plán

I. úvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Teoretická časť

Dihedrálny uhol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Trojstenné a mnohostenné uhly. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mnohosten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Hranol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Obraz hranola a konštrukcia jeho rezov. . . . . 7 priamy hranol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deväť Rovnobežníkovité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deväť Stredová symetria rovnobežnostena. . . . . . . . desať Obdĺžnikový rovnobežnosten. . . . . . . . . . . . . . . . . . jedenásť

10. Symetria pravouhlého rovnobežnostena. . . . 12 11. Pyramída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trinásť 12. Stavba pyramídy a jej rovinných rezov. . . . . . trinásť 13. Zrezaná pyramída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pätnásť 14. Správna pyramída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pätnásť 15. Pravidelné mnohosteny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . šestnásť III. Praktická časť. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Záver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .devätnásť V. Literatúra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I. úvod

V školskej geometrii sú špeciálne témy, na ktoré sa tešíte a očakávate stretnutie s neuveriteľne krásnym materiálom. Medzi takéto témy patrí „Polyhedra“. Tu sa otvára nielen nádherný svet geometrických telies s unikátnymi vlastnosťami, ale aj zaujímavé vedecké hypotézy. A potom sa hodina geometrie stane druhom štúdia neočakávaných aspektov obvyklého školského predmetu. Žiadne z geometrických telies nemá takú dokonalosť a krásu ako mnohosteny. "Je tu vzdorovito málo mnohostenov," napísal raz L. Carroll, "ale toto odlúčenie, ktoré je počtom veľmi skromné, sa dokázalo dostať do samotných hlbín rôznych vied."

II. Teoretická časť.

1. Dihedrálny uhol dihedrálny uhol nazývaný útvar tvorený dvoma „polrovinami so spoločnou priamkou, ktorá ich ohraničuje (obr. 1). Polroviny sú tzv. tváre, a čiara, ktorá ich ohraničuje hrana dihedrálny uhol. Rovina kolmá na hranu dihedrálneho uhla pretína jej plochy pozdĺž dvoch polpriamok. Uhol, ktorý tvoria tieto polpriamky, sa nazýva lineárne. uhol dihedrálny uhol. Miera dihedrálneho uhla sa berie ako miera zodpovedajúceho lineárneho uhla. Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú kombinované paralelným posunom, čo znamená, že sú rovnaké. Preto miera dihedrálneho uhla nezávisí od voľby lineárneho uhla. 2. Trojstenné a mnohostenné uhly Zvážte tri lúče a, b, c, vychádzajú z rovnakého bodu a neležia v rovnakej rovine. trojstenný uhol (abc) nazývaný obrazec zložený z „troch plochých uhlov (ab),(bc) a (ac) (obr. 2). Tieto uhly sa nazývajú tváre trojstenný uhol a ich strany - rebrá spoločný vrchol plochých rohov je tzv summit trojuholníkový uhol. Dihedrálne uhly tvorené plochami trojstenného uhla sa nazývajú dihedrálne uhly trojstenného uhla. Pojem polyedrický uhol je definovaný podobne (obr. 3).

3. Mnohosten

V stereometrii sa študujú postavy v priestore, nazývané telesá. Vizuálne si (geometrické) teleso treba predstaviť ako časť priestoru, ktorú zaberá fyzické telo a ktorá je ohraničená povrchom. Mnohosten je teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov (obr. 4). Mnohosten sa nazýva konvexný, ak leží na jednej strane roviny každého plochého mnohouholníka na jeho povrchu. Spoločná časť takejto roviny a povrch konvexného mnohostenu sa nazýva tvár. Plochy konvexného mnohostenu sú ploché konvexné mnohouholníky. Strany plôch sa nazývajú okraje mnohostena a vrcholy sa nazývajú vrcholy mnohostena. Vysvetlime si, čo bolo povedané na príklade známej kocky (obr. 5). Kocka je konvexný mnohosten. Jeho povrch tvorí šesť štvorcov: ABCD, BEFC, .... Sú to jeho tváre. Hrany kocky sú strany týchto štvorcov: AB, BC, BE,.... Vrcholy kocky sú vrcholy štvorcov: A, B, C, D, E, .... Kocka má šesť stien, dvanásť hrán a osem vrcholov Najjednoduchšie mnohosteny - hranoly a ihlany, ktoré budú hlavný predmet našej štúdie - uvedieme také definície, ktoré v podstate nepoužívajú pojem telesa. Budú definované ako geometrické útvary s vyznačením všetkých bodov priestoru, ktoré k nim patria. Pojem geometrického telesa a jeho povrchu vo všeobecnom prípade bude uvedený neskôr.

4. Hranol

Hranol je mnohosten, ktorý pozostáva z dvoch plochých mnohouholníkov ležiacich v rôznych rovinách a spojených paralelným posunom a všetkých segmentov spájajúcich príslušné body týchto mnohouholníkov (obr. 6). Mnohouholníky sa nazývajú základne hranola a segmenty spájajúce príslušné vrcholy sa nazývajú bočné okraje hranola. Pretože paralelný posun je pohyb, základy hranola sú rovnaké. Keďže pri paralelnom prenose rovina prechádza do rovnobežnej roviny (alebo do seba), potom základne hranola ležia v rovnobežných rovinách, hrany sú rovnobežné a rovnaké. Povrch hranola pozostáva z podstavcov a bočnej plochy. Bočná plocha pozostáva z rovnobežníkov. Pre každý z týchto rovnobežníkov sú dve strany zodpovedajúcimi stranami základne a ďalšie dve sú susednými bočnými okrajmi. Výška hranola je vzdialenosť medzi rovinami jeho základov. Úsečka spájajúca dva vrcholy hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazýva uhlopriečka hranola. Hranol sa nazýva n-uholníkový, ak jeho základňami sú n-uholníky. V budúcnosti budeme uvažovať iba o hranoloch, ktorých základňami sú konvexné polygóny. Takéto hranoly sú konvexné mnohosteny. Obrázok 6 zobrazuje päťuholníkový hranol. Jeho základňami sú päťuholníky. ALE 1 ALE 2 ...ALE 5 , ALE 1 ’ ALE" 2 ...ALE" 5 . XX"-úsečka spájajúca zodpovedajúce body základov. Bočné okraje hranolových segmentov ALE 1 ALE" 2 , ALE 1 ALE" 2 , ..., ALE 5 ALE" 5 . Bočné plochy hranola - rovnobežníky ALE 1 ALE 2 ALE" 2 ALE 1 , ALE 2 ALE 3 ALE ’ 3 ALE" 2 , ... .

5. Obraz hranola a konštrukcia jeho rezov

V súlade s pravidlami paralelnej projekcie je obraz hranola konštruovaný nasledovne. Najprv je postavená jedna zo základní R(obr. 7). Bude to nejaký plochý polygón. Potom z vrcholov mnohouholníka R bočné rebrá hranola sú nakreslené vo forme rovnobežných segmentov rovnakej dĺžky. Konce týchto segmentov sú spojené a získa sa ďalšia základňa hranola. Neviditeľné okraje sú nakreslené prerušovanými čiarami. Rezy hranola rovinami rovnobežnými s bočnými okrajmi sú rovnobežníky. Najmä diagonálne rezy sú rovnobežníky. Ide o rezy rovinami prechádzajúcich dvomi bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche (obr. 8). V praxi, najmä pri riešení úloh, je často potrebné zostrojiť rez hranolom rovinou prechádzajúcou danou priamkou g na rovine jednej z podstav hranola. Takáto linka je tzv Ďalšie rovina rezu na rovine základne. Na zostrojenie rezu hranola stačí zostrojiť segmenty priesečníka sečnej roviny so stenami hranola. Ukážme si, ako sa takýto úsek zostrojí, ak je známy nejaký bod ALE na povrchu hranola prislúchajúceho rezu (obr. 9). Ak tento bod ALE patrí k inej základni hranola, potom jeho priesečník s rovinou rezu je segment slnko, paralelne s brázdou g a obsahuje daný bod ALE(obr. 9, a). Ak tento bod ALE patrí k bočnej ploche, potom sa vytvorí priesečník tejto plochy s rovinou rezu, ako je znázornené na obrázku 9, b. Totiž: najprv sa postaví bod D, v ktorom rovina tváre pretína danú stopu g. Potom sa cez body nakreslí čiara ALE a D. Segment čiary slnko rovno AD na uvažovanej ploche je priesečník tejto plochy s rovinou rezu. Ak je tvár obsahujúca bod ALE, paralelne so stopou g, potom rovina rezu pretína túto plochu pozdĺž segmentu slnko, prechod cez bod ALE a rovnobežne s priamkou g.

Linka končí slnko patria susedným tváram. Preto je opísaným spôsobom možné zostrojiť priesečník týchto plôch s našou rovinou rezu. A tak ďalej. Na obrázku 10 je znázornená konštrukcia rezu štvorbokého hranola rovinou prechádzajúcou priamkou a v rovine spodnej podstavy hranola a hrotu ALE na jednom z bočných rebier. 6. Priamy hranol Hranol sa nazýva rovný, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne. V opačnom prípade sa hranol nazýva šikmý. Pre rovný hranol sú bočné strany obdĺžniky. Pri zobrazení rovného hranolu na obrázku sú bočné rebrá zvyčajne nakreslené vertikálne (obr. 11). Pravý hranol sa nazýva pravidelný, ak jeho základňami sú pravidelné mnohouholníky. Bočná plocha hranola (presnejšie plocha bočnej plochy) je súčtom plôch bočných plôch. Celková plocha hranola sa rovná súčtu bočnej plochy a plôch podstavcov. Veta 19.1. Bočná plocha rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola, t.j. dĺžke bočnej hrany. Dôkaz. Bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky. Základňami týchto obdĺžnikov sú strany mnohouholníka ležiace na základni hranola a výšky sa rovnajú dĺžke bočných hrán. Z toho vyplýva, že bočná plocha hranola sa rovná

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l=pl,

kde a 1 ,..., a n- dĺžka okrajov základne, R - obvod základne hranola, a 1 - dĺžka bočného rebra. Veta bola dokázaná. 7. Rovnobežníky Ak je základom hranola rovnobežník, potom sa nazýva rovnobežnosten. Všetky strany rovnobežnostena sú rovnobežníky. Na obrázku 12 je znázornený naklonený rovnobežnosten a na obrázku 12 b - rovný rovnobežnosten. Plochy kvádra, ktoré nemajú spoločné vrcholy, sa nazývajú protiľahlé plochy. TEÓZA 19.2. Rovnobežník má protiľahlé strany, ktoré sú rovnobežné a rovnaké. Dôkaz. Zvážte niektoré dve protiľahlé strany rovnobežnostena, napríklad A1A2A"2A"1 a A3A4A"4A"3. (obr. 13). Pretože všetky strany kvádra sú rovnobežníky, čiara A1A2 je rovnobežná s čiarou A4A3 a čiara A1A"1 je rovnobežná s čiarou A4A4". Z toho vyplýva, že roviny uvažovaných plôch sú rovnobežné. Zo skutočnosti, že strany kvádra sú rovnobežníky, vyplýva, že segmenty A1A4, A1 "A4", A "2A" 3 a A2A3 sú rovnobežné a rovnaké. Preto sme dospeli k záveru, že plocha A1A2A"2A"1 je kombinovaná paralelným posunom pozdĺž hrany A1A4. s čelom A3A4A "4A" 3. Takže tieto okraje sú rovnaké. Rovnobežnosť a rovnosť akýchkoľvek iných protiľahlých plôch kvádra je dokázaná podobne. Veta bola dokázaná.
8. Stredová symetria rovnobežnostena Veta 19.3. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a priesečník je rozdelený na polovicu. Dôkaz. Zoberme si niektoré dve uhlopriečky rovnobežnostena, napríklad A 1 A "3 a A 4 A" 2 (obr. 14). Keďže štvoruholníky A 1 A 2 A 3 A 4 a A 2 A "2 A" 3 A 3 sú rovnobežníky so spoločnou stranou A 2 A 3, potom sú ich strany A 1 A 4 a A "2 A" 3 rovnobežné s navzájom, čo znamená, že ležia v rovnakej rovine. Táto rovina pretína roviny protiľahlých plôch kvádra pozdĺž rovnobežných čiar A1A"2 a A4A"3. Preto je štvoruholník A 4 A 1 A "2 A" 3 rovnobežník. Uhlopriečky rovnobežnostena A 1 A "3 a A 4 A" 2 sú uhlopriečky tohto rovnobežníka. Preto sa pretínajú a priesečník O je rozdelený na polovicu. Podobne je dokázané, že uhlopriečky A1A"3 a A2A"4, ako aj uhlopriečky A1A"3 a A3A"1 pretínajú a pretínajú priesečník. Dospeli sme teda k záveru, že všetky štyri uhlopriečky kvádra sa pretínajú v jednom bode a priesečník je rozdelený na polovicu. Veta bola dokázaná. Veta 19.3 to naznačuje priesečník uhlopriečok rovnobežnostena je jeho stredom symetrie. 9. Obdĺžnikový box Pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik, sa nazýva pravouhlý rovnobežnosten. Všetky steny kvádra sú obdĺžniky. Obdĺžnikový hranol, v ktorom sú všetky hrany rovnaké, sa nazýva kocka. Dĺžky nerovnobežných hrán pravouhlého rovnobežnostena sa nazývajú jeho lineárne rozmery (rozmery). Kváder má tri rozmery. Veta 19.4. V kvádri je štvorec ľubovoľnej uhlopriečky rovný súčtu štvorcov jeho troch rozmerov. Dôkaz. Uvažujme pravouhlý rovnobežnosten ABCDA"B"C"D" (obr. 15). Z pravouhlého trojuholníka AC "C podľa Pytagorovej vety dostaneme:

AC"2 = AC2 + CC"2.

Z pravouhlého trojuholníka ASV podľa Pytagorovej vety získame

AC 2 \u003d AB 2 + BC 2.

Preto AC" 2 \u003d CC" 2 + AB 2 + BC 2.

Hrany AB, BC a CC" nie sú rovnobežné, a preto ich dĺžky sú lineárne rozmery kvádra. Veta je dokázaná. 10. Symetria pravouhlého rovnobežnostena Obdĺžnikový kváder, ako každý kváder, má stred symetrie - priesečník jeho uhlopriečok. Má tiež tri roviny symetrie prechádzajúce stredom symetrie rovnobežne s plochami. Obrázok 16 zobrazuje jednu z týchto rovín. Prechádza cez stredy štyroch rovnobežných hrán rovnobežnostena. Konce okrajov sú symetrické body. Ak má rovnobežnosten všetky lineárne rozmery odlišné, potom nemá žiadne iné roviny symetrie okrem tých, ktoré sú vymenované. Ak má rovnobežnosten dva rovnaké lineárne rozmery, potom má ďalšie dve roviny symetrie. Toto sú roviny diagonálnych rezov znázornené na obrázku 17. Ak má rovnobežnosten všetky lineárne rozmery rovnaké, to znamená, že ide o kocku, potom jeho rovina ľubovoľného diagonálneho rezu je rovinou symetrie. Kocka má teda deväť rovín symetrie. 11. Pyramída Pyramída nazývaný mnohosten, ktorý pozostáva z plochého mnohouholníka - základne pyramíd, bod, ktorý neleží v rovine základne, - vrcholy pyramídy a všetky segmenty spájajúce vrchol pyramídy s hrotmi základne (obr. 18). Segmenty spájajúce vrchol pyramídy s vrcholmi základne sa nazývajú bočné rebrá. Povrch pyramídy pozostáva zo základne a bočných plôch. Každá bočná plocha je trojuholník. Jeden z jeho vrcholov je vrchol pyramídy a opačná strana je strana základne pyramídy. výška pyramídy, nazývaná kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na rovinu základne. Pyramída sa nazýva n-uholníková, ak jej základňa je n-uholník. Trojuholníková pyramída je tiež tzv štvorsten. Ihlana znázornená na obrázku 18 má základňu - mnohouholník A 1 A 2 ... A n, vrchol pyramídy - S, bočné hrany - SA 1, S A 2, ..., S A n, bočné steny -  SA 1 A 2,  SA 2 A 3 , ... . Ďalej budeme uvažovať iba o pyramídach s konvexným mnohouholníkom na základni. Takéto pyramídy sú konvexné mnohosteny. 12. Stavba pyramídy a jej rovinných rezov V súlade s pravidlami paralelnej projekcie je obraz pyramídy skonštruovaný nasledovne. Najprv je postavený základ. Bude to nejaký plochý polygón. Potom je označený vrchol pyramídy, ktorý je spojený bočnými rebrami s vrcholmi základne. Obrázok 18 zobrazuje päťuholníkovú pyramídu. Rezy pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky (obr. 19). Najmä diagonálne rezy sú trojuholníky. Ide o rezy rovinami prechádzajúcimi cez dve nesusediace bočné hrany pyramídy (obr. 20). Rez ihlanu rovinou s danou stopou g na rovine podstavy sa zostrojí rovnako ako rez hranolom. Na zostrojenie rezu ihlanu rovinou stačí zostrojiť priesečníky jeho bočných plôch s rovinou rezu. Ak je na ploche, ktorá nie je rovnobežná so stopou g, známy nejaký bod A, ktorý patrí rezu, potom sa najskôr zostrojí priesečník stopy g roviny rezu s rovinou tejto plochy - bod D na obrázku 21. Bod D je spojený s bodom A priamkou. Potom segment tejto čiary patriaci ploche je priesečníkom tejto plochy s rovinou rezu. Ak bod A leží na ploche rovnobežnej so stopou g, potom rovina rezu pretína túto plochu pozdĺž segmentu rovnobežného s priamkou g. Prechádzajúc na susednú bočnú plochu, vytvárajú jej priesečník s rovinou rezu atď. Výsledkom je získanie požadovaného úseku pyramídy.
Obrázok 22 zobrazuje rez štvorhrannou pyramídou rovinou prechádzajúcou stranou základne a bodom A na jednej z jej bočných hrán.

13. Zrezaná pyramída Veta 19.5. Rovina pretínajúca pyramídu a rovnobežná s jej základňou odreže podobnú pyramídu. Dôkaz. Nech S je vrchol pyramídy, A vrchol základne a A "- priesečník roviny sečny s bočnou hranou SA (obr. 23). Pyramídu podrobíme homotetickej transformácii vzhľadom na vrchol S s koeficientom homothety

Pri tejto homotete rovina základne prechádza do rovnobežnej roviny prechádzajúcej bodom A ", teda do roviny rezu, a následne celá pyramída do časti odrezanej touto rovinou. Keďže rovnosť je podobnosť transformácia, odrezaná časť pyramídy je pyramída, podobná tejto, je dokázaná veta.

Podľa vety 19.5 rovina rovnobežná s rovinou podstavy pyramídy a pretínajúca jej bočné hrany z nej odrezáva podobnú pyramídu. Druhou časťou je mnohosten, ktorý sa nazýva zrezaný ihlan (obr. 24). Steny zrezanej pyramídy ležiace v rovnobežných rovinách sa nazývajú základne; ostatné tváre sú tzv bočné okraje. Základy zrezaného ihlana sú podobné (navyše homotetické) mnohouholníky, bočné steny sú lichobežníky. 14. Správna pyramída Pyramída sa nazýva pravidelná, ak jej základňa je pravidelným mnohouholníkom a základňa výšky sa zhoduje so stredom tohto mnohouholníka. Os pravidelnej pyramídy je priamka obsahujúca jej výšku. Je zrejmé, že bočné okraje pravidelnej pyramídy sú rovnaké; preto sú bočné strany rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, nakreslená od jej vrcholu, sa nazýva apotém. Bočná plocha pyramídy je súčtom plôch jej bočných plôch. TEÓZA 19.6. Bočný povrch pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu pol obvodu základne a apotému. Dôkaz. Ak základná strana a, počet strán P, potom sa bočný povrch pyramídy rovná:

(a1/2)ap \u003d a1p / 2 \u003d p1/2 "

Kde ja- apotém, a p- obvod základne pyramídy. Veta bola dokázaná. Zrezaná pyramída, ktorá sa získava z pravidelnej pyramídy, sa tiež nazýva správne. Bočné steny pravidelnej zrezanej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky; ich výšky sú tzv apotémy. 15. Pravidelné mnohosteny Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak jeho steny sú pravidelné mnohouholníky s rovnakým počtom strán a rovnakým počtom hrán, ktoré sa zbiehajú v každom vrchole mnohostenu.) Existuje päť typov pravidelných konvexných mnohostenov (obr. 25): pravidelný štvorsten (1), kváder (2), osemsten (3), dvanásťsten (4); dvadsaťsten (5). Pravidelný štvorsten má steny, ktoré sú pravidelnými trojuholníkmi; tri hrany sa zbiehajú v každom vrchole. Štvorsten je trojuholníková pyramída so všetkými rovnakými okrajmi. V kocke sú všetky steny štvorcové; tri hrany sa zbiehajú v každom vrchole. Kocka je obdĺžnikový hranol s rovnakými hranami. Plochy oktaédra sú pravidelné trojuholníky, ale na rozdiel od štvorstenu sa štyri hrany zbiehajú v každom z jeho vrcholov. Tváre dvanástnika sú pravidelné päťuholníky. V každom vrchole sa zbiehajú tri hrany. Plochy dvadsaťstenov sú pravidelné trojuholníky, ale na rozdiel od štvorstenu a osemstenu sa v každom vrchole zbieha päť hrán.

III. Praktická časť.

Úloha 1. Z bodov A a B, ktoré ležia na čelných plochách klinového uhla, sú kolmice AA\ a BB\ spustené na hranu uhla. Nájdite dĺžku segmentu AB, ak AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c a uhol vzpriamenia je a (obr. 26). rozhodnutie. Nakreslite čiary A 1 C||BB 1 a BC||A 1 B 1 . Štvoruholník A 1 B 1 BC je rovnobežník, čo znamená AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b. Priamka A 1 B 1 je kolmá na rovinu trojuholníka AA 1 C, pretože je kolmá na dve priamky v tejto rovine AA 1 a CA 1. Preto je rovnobežná s ňou rovnobežná priamka BC kolmá na túto rovinu. To znamená, že trojuholník ABC je pravouhlý s pravým uhlom C. Podľa kosínusovej vety AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos  \u003d a 2 + b 2 - 2abcos . Podľa Pytagorovej vety AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos  + c 2. Úloha 2. Trojstenný uhol (abc) má na hrane uhol s priamkou, uhol na hrane b sa rovná  a plochý uhol (bс) sa rovná  (, </2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). rozhodnutie. Pustime z ľubovoľného bodu A hranu a, kolmicu AB na hranu b a kolmicu AC na hranu c (obr. 27). Podľa vety o troch kolmičkách je CB kolmica na hranu b. Z pravouhlých trojuholníkov OAB, OSV, AOC a ABC dostaneme: BC/sin )=tg  sin  Úloha 3. V naklonenom hranole je nakreslený úsek, ktorý je kolmý na bočné rebrá a pretína všetky bočné rebrá. Nájdite bočnú plochu hranola, ak obvod rezu je p a bočné hrany sú l. rozhodnutie. Rovina nakresleného rezu rozdeľuje hranol na dve časti (obr. 28). Jednu z nich podrobme paralelnému prekladu, ktorý spája základy hranola. V tomto prípade získame rovný hranol, v ktorom časť pôvodného hranola slúži ako základ a bočné hrany sú rovné l. Tento hranol má rovnakú bočnú plochu ako pôvodný. Bočná plocha pôvodného hranola sa teda rovná pl. Úloha 4. Bočný okraj pyramídy je rozdelený na štyri rovnaké časti a cez deliace body sú nakreslené roviny rovnobežné so základňou. Plocha základne je 400 cm2. Nájdite oblasť sekcií. rozhodnutie.Úseky sú ako základňa pyramídy s koeficientmi podobnosti ¼, 2/4 a ¾. Plochy podobných obrázkov sú spojené ako štvorce lineárnych rozmerov. Preto je pomer plôch prierezu k ploche základne pyramídy (¼) 2, (2/4) 2 a (¾) 2. Preto sú plochy prierezu 400 (¼) 2 \u003d 25 (cm 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (cm 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (cm 2). Úloha 5. Dokážte, že bočná plocha pravidelného zrezaného ihlana sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov podstav a apotému. rozhodnutie. Bočné steny zrezaného ihlana sú lichobežníky s rovnakou hornou základňou a, spodnou b a výškou (apotém) l. Preto sa plocha jednej tváre rovná ½ (a + b) l. Plocha všetkých stien, t. pyramída.

IV. Záver

Vďaka tejto práci som si zhrnula a systematizovala poznatky získané počas štúdia v 11. ročníku, zoznámila sa s pravidlami vykonávania tvorivej práce, získala nové poznatky a uplatnila ich v praxi. Chcel by som vyzdvihnúť 3 moje obľúbené knihy: A.V. Pogorelov "Geometria", G. Yakusheva "Matematika - referenčná kniha pre školákov", L.F. Pichurin „Za stránkami učebnice geometrie“. Tieto knihy mi pomohli viac ako iné. Svoje novonadobudnuté vedomosti by som chcel častejšie využívať v praxi.

V. Literatúra

1. A.V. Pogorelovova geometria. - M .: Vzdelávanie, 1992 2. G. Yakusheva "Matematika - sprievodca pre školákov." M.: Slovo, 1995 3. L.D. Kudryavtsev "Kurz matematickej analýzy" v.1, Moskva 1981 4. L.F. Pichurin „Za stránkami učebnice geometrie“. - M .: Vzdelávanie, 1990 5. I.N. Bashmakov "Geometria".