Pravouhlý súradnicový systém v rovine je daný dvoma navzájom kolmými priamkami. Priame čiary sa nazývajú súradnicové osi (alebo súradnicové osi). Priesečník týchto čiar sa nazýva počiatok a označuje sa písmenom O.

Zvyčajne je jedna z čiar horizontálna, druhá je vertikálna. Vodorovná čiara je označená ako os x (alebo Ox) a nazýva sa os úsečka, vertikálna os je os y (Oy), nazýva sa zvislá os. Celý súradnicový systém je označený xOy.

Bod O rozdeľuje každú z osí na dve poloosi, z ktorých jedna sa považuje za kladnú (označená šípkou), druhá za zápornú.

Každému bodu F roviny je priradená dvojica čísel (x;y) — jeho súradnice.

Súradnica x sa nazýva abscisa. Rovná sa Oxovi s príslušným znamienkom.

Súradnica y sa nazýva ordináta a rovná sa vzdialenosti od bodu F k osi Oy (s príslušným znamienkom).

Vzdialenosti náprav sa zvyčajne (ale nie vždy) merajú v rovnakej jednotke dĺžky.

Body napravo od osi y majú kladné úsečky. Pre body, ktoré ležia naľavo od osi y, sú úsečky záporné. Pre každý bod ležiaci na osi Oy sa jeho súradnica x rovná nule.

Body s kladnou ordinátou ležia nad osou x, body so zápornou ordinátou ležia nižšie. Ak bod leží na osi x, jeho súradnica y je nulová.

Súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri časti, ktoré sa nazývajú súradnicové štvrtiny (alebo súradnicové uhly alebo kvadranty).

1 súradnicová štvrtina nachádza sa v pravom hornom rohu roviny súradníc xOy. Obe súradnice bodov nachádzajúcich sa vo štvrti I sú kladné.

Prechod z jednej štvrtiny do druhej sa vykonáva proti smeru hodinových ručičiek.

2. štvrťrok nachádza v ľavom hornom rohu. Body ležiace v druhej štvrtine majú zápornú úsečku a kladnú os.

3. štvrťrok leží v ľavom dolnom kvadrante roviny xOy. Obidve súradnice bodov patriacich do súradnicového uhla III sú záporné.

4. súradnicový štvrťrok je pravý dolný roh roviny súradníc. Akýkoľvek bod z IV štvrťroku má kladnú prvú súradnicu a zápornú druhú súradnicu.

Príklad umiestnenia bodov v pravouhlom súradnicovom systéme:

Matematika je pomerne zložitá veda. Pri jej štúdiu musíte nielen riešiť príklady a problémy, ale aj pracovať s rôznymi obrazcami a dokonca aj s rovinami. Jedným z najpoužívanejších v matematike je súradnicový systém v rovine. Správne narábať s ním deti učia už viac ako jeden rok. Preto je dôležité vedieť, čo to je a ako s tým správne pracovať.

Poďme zistiť, čo je tento systém, aké akcie s ním môžete vykonávať, a tiež zistiť jeho hlavné charakteristiky a vlastnosti.

Definícia pojmu

Súradnicová rovina je rovina, na ktorej je definovaný konkrétny súradnicový systém. Takáto rovina je definovaná dvoma priamkami, ktoré sa pretínajú v pravom uhle. Priesečník týchto čiar je počiatkom súradníc. Každý bod na súradnicovej rovine je daný dvojicou čísel, ktoré sa nazývajú súradnice.

V školskom matematickom kurze musia žiaci pomerne úzko spolupracovať so súradnicovým systémom – stavať na ňom obrazce a body, určovať, do ktorej roviny patrí tá či oná súradnica a tiež určiť súradnice bodu a napísať či pomenovať. Preto si povedzme podrobnejšie o všetkých vlastnostiach súradníc. Najprv sa však dotknime histórie stvorenia a potom si povieme, ako pracovať na súradnicovej rovine.

Odkaz na históriu

Myšlienky o vytvorení súradnicového systému boli v časoch Ptolemaia. Už vtedy astronómovia a matematici premýšľali o tom, ako sa naučiť nastaviť polohu bodu v rovine. Bohužiaľ, v tom čase nám nebol známy žiadny súradnicový systém a vedci museli použiť iné systémy.

Spočiatku stanovujú body špecifikovaním zemepisnej šírky a dĺžky. Dlho to bol jeden z najpoužívanejších spôsobov mapovania tej či onej informácie. Ale v roku 1637 René Descartes vytvoril svoj vlastný súradnicový systém, neskôr pomenovaný po "karteziánskom".

Už na konci XVII storočia. pojem „rovina súradníc“ sa vo svete matematiky stal široko používaným. Napriek tomu, že od vytvorenia tohto systému uplynulo už niekoľko storočí, je stále široko používaný v matematike a dokonca aj v živote.

Príklady súradnicovej roviny

Predtým, ako sa budeme rozprávať o teórii, uvedieme niekoľko názorných príkladov súradnicovej roviny, aby ste si ju vedeli predstaviť. Súradnicový systém sa primárne používa v šachu. Na doske má každý štvorec svoje súradnice - jedno písmeno súradnice, druhé - digitálne. S jeho pomocou môžete určiť polohu konkrétnej figúrky na šachovnici.

Druhým najvýraznejším príkladom je obľúbená hra „Battleship“. Pamätajte si, ako pri hraní pomenujete súradnicu, napríklad B3, čím presne určíte, kam mierite. Zároveň pri umiestňovaní lodí nastavujete body na súradnicovej rovine.

Tento súradnicový systém je široko používaný nielen v matematike, logických hrách, ale aj vo vojenských záležitostiach, astronómii, fyzike a mnohých ďalších vedách.

Súradnicové osi

Ako už bolo spomenuté, v súradnicovom systéme sa rozlišujú dve osi. Povedzme si o nich niečo málo, keďže majú značný význam.

Prvá os - úsečka - je vodorovná. Označuje sa ako ( Vôl). Druhá os je ordináta, ktorá prechádza vertikálne cez referenčný bod a je označená ako ( Oj). Sú to tieto dve osi, ktoré tvoria súradnicový systém a rozdeľujú rovinu na štyri štvrtiny. Počiatok sa nachádza v priesečníku týchto dvoch osí a nadobúda hodnotu 0 . Iba ak rovinu tvoria dve osi, ktoré sa kolmo pretínajú a majú vzťažný bod, ide o rovinu súradníc.

Všimnite si tiež, že každá z osí má svoj vlastný smer. Zvyčajne je pri konštrukcii súradnicového systému zvykom označovať smer osi vo forme šípky. Navyše, pri konštrukcii súradnicovej roviny je každá z osí podpísaná.

štvrtí

Teraz si povedzme pár slov o takom koncepte, akým sú štvrtiny súradnicovej roviny. Rovina je rozdelená dvoma osami na štyri štvrtiny. Každá z nich má svoje číslo, pričom číslovanie lietadiel je proti smeru hodinových ručičiek.

Každá zo štvrtí má svoje vlastné charakteristiky. Takže v prvej štvrtine sú úsečka a zvislá osa kladné, v druhej štvrtine je úsečka záporná, zvislá osa kladná, v tretej sú úsečka aj zvislá záporná, vo štvrtej je úsečka záporná. kladná a ordináta je záporná.

Zapamätaním si týchto vlastností môžete ľahko určiť, do ktorej štvrtiny konkrétny bod patrí. Okrem toho môžu byť tieto informácie pre vás užitočné, ak musíte robiť výpočty pomocou karteziánskeho systému.

Práca so súradnicovou rovinou

Keď sme prišli na koncept lietadla a hovorili o jeho štvrtinách, môžeme prejsť k takému problému, ako je práca s týmto systémom, a tiež hovoriť o tom, ako naň umiestniť body, súradnice obrazcov. V rovine súradníc to nie je také ťažké, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať.

V prvom rade je vybudovaný samotný systém, na ktorý sa vzťahujú všetky dôležité označenia. Ďalej je tu práca priamo s bodmi či figúrkami. V tomto prípade, dokonca aj pri konštrukcii figúrok, sú body najskôr aplikované na rovinu a potom sú už obrázky nakreslené.

Pravidlá konštrukcie lietadla

Ak sa rozhodnete začať označovať tvary a body na papieri, budete potrebovať súradnicovú rovinu. Sú na ňom zakreslené súradnice bodov. Na zostavenie súradnicovej roviny potrebujete iba pravítko a pero alebo ceruzku. Najprv sa nakreslí horizontálna úsečka, potom vertikála - ordináta. Je dôležité si uvedomiť, že osi sa pretínajú v pravom uhle.

Ďalšou povinnou položkou je označovanie. Jednotky-segmenty sú označené a podpísané na každej z osí v oboch smeroch. Deje sa tak preto, aby ste potom mohli s lietadlom pracovať maximálne pohodlne.

Označenie bodu

Teraz si povedzme, ako vykresliť súradnice bodov v rovine súradníc. Toto sú základy, ktoré potrebujete vedieť, aby ste mohli úspešne umiestniť rôzne tvary do roviny a dokonca označiť rovnice.

Pri konštrukcii bodov je potrebné pamätať na to, ako sú ich súradnice správne zaznamenané. Takže zvyčajne ide o to, že dve čísla sú napísané v zátvorkách. Prvá číslica označuje súradnicu bodu pozdĺž osi x, druhá - pozdĺž osi y.

Bod by mal byť postavený týmto spôsobom. Najprv označte na osi Vôl daný bod, potom označte bod na osi Oj. Ďalej nakreslite imaginárne čiary z týchto označení a nájdite miesto ich priesečníka - to bude daný bod.

Stačí si ho označiť a podpísať. Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché a nevyžaduje špeciálne zručnosti.

Umiestnenie tvaru

Teraz prejdime k takej otázke, ako je konštrukcia obrazcov v súradnicovej rovine. Aby ste mohli postaviť akúkoľvek postavu na rovine súradníc, mali by ste vedieť, ako na ňu umiestniť body. Ak viete, ako to urobiť, umiestnenie figúry do lietadla nie je také ťažké.

Najprv budete potrebovať súradnice bodov obrázku. Práve na nich aplikujeme tie, ktoré ste si vybrali do nášho súradnicového systému.Uvažujme nakreslenie obdĺžnika, trojuholníka a kruhu.

Začnime s obdĺžnikom. Nanášanie je celkom jednoduché. Najprv sa na rovinu aplikujú štyri body označujúce rohy obdĺžnika. Potom sú všetky body postupne navzájom spojené.

Kreslenie trojuholníka nie je iné. Jediná vec je, že má tri rohy, čo znamená, že na rovinu sú aplikované tri body, ktoré označujú jej vrcholy.

Čo sa týka kruhu, tu by ste mali poznať súradnice dvoch bodov. Prvý bod je stred kružnice, druhý bod označujúci jej polomer. Tieto dva body sú vynesené do roviny. Potom sa vezme kompas, zmeria sa vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Bod kompasu je umiestnený v bode označujúcom stred a je opísaný kruh.

Ako vidíte, nie je tu nič zložité, hlavná vec je, že je vždy po ruke pravítko a kružidlo.

Teraz viete, ako vykresliť súradnice tvaru. V súradnicovej rovine to nie je také ťažké, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať.

zistenia

Zvažovali sme teda s vami jeden z najzaujímavejších a najzákladnejších pojmov pre matematiku, s ktorým sa musí vyrovnať každý študent.

Zistili sme, že súradnicová rovina je rovina tvorená priesečníkom dvoch osí. S jeho pomocou môžete nastaviť súradnice bodov, umiestniť naň tvary. Lietadlo je rozdelené na štvrtiny, z ktorých každá má svoje vlastné charakteristiky.

Hlavnou zručnosťou, ktorú treba rozvíjať pri práci so súradnicovou rovinou, je schopnosť správne na ňu vykresliť dané body. Aby ste to dosiahli, mali by ste poznať správne umiestnenie osí, vlastnosti štvrtí, ako aj pravidlá, podľa ktorých sú súradnice bodov nastavené.

Dúfame, že informácie, ktoré sme vám poskytli, boli dostupné a zrozumiteľné a boli užitočné aj pre vás a pomohli lepšie porozumieť tejto téme.

"Funkcie stupeň 9" - Y \u003d x3. Funkciu je možné zadať pomocou vzorca, napríklad: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Medzi elementárne funkcie patria takmer všetky funkcie, ktoré sa nachádzajú v školskej učebnici. Vedúca Kryuchkova Tatyana Borisovna učiteľka matematiky. Obsah: Príloha 3. Y=x2 Y=3x2. Y=x2. Aplikácia4. Y \u003d 0,3 x 2. Dodatok 1.

"Vlastnosti funkcie" - 0. 1. Definícia funkcie. 3.Rozsah hodnôt. y=0, x=0 6. Intervaly konštantného znamienka y > 0 na (0; +). 5.Funkcia nula. Vlastnosti funkcie. 7. Intervaly nárastu a poklesu. y= x, n=2 2. Rozsah D(y)=. Takéto veličiny sa nazývajú konštanty a premenné. -p. T. y = f(x). - jeden. Ďalej.

"Výskum funkcie" - Pomocou schémy výskumu funkcií dokončite úlohu: s. 24; č. 296 (a; b), č. 299 (a; b). Overovacia práca: Odpoveď: D (f) = R, nepárne, rastúce. Vykonajte slovne: Pre funkciu f(x)=х3 určte D(f), paritu, zvýšenie, zníženie. Dokážte, že funkcia f(x)=x5+4x je rastúca na množine R. 2) Príklad na štúdium funkcie.

"Rovina súradníc" - Rovnica priamky v. Formovať schopnosť riešiť problémy v súradnicovej rovine. Súradnicová čiara, súradnicový uhol. Úloha číslo 1. Pravidlo pre čítanie súradníc. súradnicové štvrte. Ako sa označujú body v rovine. (2 cesta). Rovnica priamky a. Plán lekcie. Súradnice bodov umiestnených na osiach.

"Zvýšenie funkcie" - Algoritmus na nájdenie extrémov funkcie. Riešenie nerovnosti sa vykonáva analyticky alebo intervalovou metódou. Nájdeme f / (x) Určíme kritické body funkcie f(x), t.j. body, kde f / (x)=0 alebo f / (x) neexistuje. Derivát. Obsah. Tg(a)=k, faktor dotyku k. Tabuľka derivátov.

Celkovo je v téme 19 prezentácií

Ak umiestnite kruh s číslom jednotky na rovinu súradníc, môžete nájsť súradnice jeho bodov. Číselný kruh je umiestnený tak, že jeho stred sa zhoduje s počiatkom roviny, t. j. s bodom O (0; 0).

Na kruhu s jednotkovým číslom sú zvyčajne označené body zodpovedajúce začiatku na kruhu

• štvrtiny - 0 alebo 2π, π/2, π, (2π)/3,
• stredné štvrtiny - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• tretie štvrtiny - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na súradnicovej rovine, s vyššie uvedeným usporiadaním jednotkovej kružnice na nej, možno nájsť súradnice zodpovedajúce týmto bodom kružnice.

Je veľmi jednoduché nájsť súradnice koncov štvrtí. V bode 0 kružnice je x-ová súradnica 1 a y 0. Môžeme napísať A (0) = A (1; 0).

Koniec prvého štvrťroka bude umiestnený na kladnej osi y. Preto B (π/2) = B (0; 1).

Koniec druhej štvrtiny je na zápornej osi x: C (π) = C (-1; 0).

Koniec tretej štvrtiny: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ale ako nájsť súradnice stredov štvrtí? Ak to chcete urobiť, vytvorte pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je segment od stredu kruhu (alebo začiatku) do stredu štvrťkruhu. Toto je polomer kruhu. Keďže kružnica je jednotková, prepona sa rovná 1. Ďalej sa z bodu na kružnici nakreslí kolmica na ľubovoľnú os. Nech je to na osi x. Vznikne pravouhlý trojuholník, ktorého dĺžka nôh je súradnicami x a y bodu kružnice.

Štvrťkruh je 90º. A polovica štvrtiny je 45º. Pretože prepona je nakreslená do stredu štvrtiny, uhol medzi preponou a nohou vychádzajúcou z počiatku je 45º. Ale súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180º. Preto uhol medzi preponou a druhou nohou tiež zostáva 45º. Ukazuje sa rovnoramenný pravouhlý trojuholník.

Z Pytagorovej vety dostaneme rovnicu x 2 + y 2 = 1 2 . Pretože x = y a 1 2 = 1, rovnica sa zjednoduší na x 2 + x 2 = 1. Ak ju vyriešime, dostaneme x = √1 = 1/√2 = √2/2.

Súradnice bodu M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

V súradniciach stredových bodov ostatných štvrtí sa zmenia iba znamienka a moduly hodnôt zostanú rovnaké, pretože pravouhlý trojuholník sa len prevráti. Dostaneme:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Pri určovaní súradníc tretích častí štvrtín kruhu sa zostavuje aj pravouhlý trojuholník. Ak vezmeme bod π/6 a nakreslíme kolmicu na os x, potom uhol medzi preponou a nohou ležiacou na osi x bude 30º. Je známe, že noha ležiaca oproti uhlu 30º sa rovná polovici prepony. Takže sme našli súradnicu y, ktorá sa rovná ½.

Keď poznáme dĺžky prepony a jednej z nôh, podľa Pytagorovej vety nájdeme druhú vetvu:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 – ¼ \u003d ¾
x = √3/2

Teda Ti (π/6) = T1 (√3/2; ½).

Pre bod druhej tretiny prvej štvrtiny (π / 3) je lepšie nakresliť kolmicu na os na os y. Potom bude uhol na začiatku tiež 30º. Tu sa súradnica x už bude rovnať ½ a y √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Pre ostatné body tretieho štvrťroka sa znamienka a poradie hodnôt súradníc zmenia. Všetky body, ktoré sú bližšie k osi x, budú mať modulo hodnotu súradnice x rovnú √3/2. Tie body, ktoré sú bližšie k osi y, budú mať hodnotu modulo y rovnú √3/2.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T4 ((5π)/6) = T4 (-√3/2; ½)
T5 ((7π)/6) = T5 (-√3/2; -½)
T6 ((4π)/3) = T6 (-½; -√3/2)
T7 ((5π)/3) = T7 (½; -√3/2)
T8 ((11π)/6) = T8 (√3/2; -½)