Vo vete nie sú žiadne obmedzenia na vzájomné usporiadanie sečensov (platí tak pre pretínajúce sa priamky, ako aj pre rovnobežné). Nezáleží ani na tom, kde sú úsečky na sečniciach.

Dôkaz v prípade rovnobežných čiar

Nakreslíme čiaru BC. Uhly ABC a BCD sú rovnaké ako vnútorné kríže ležiace pod rovnobežkami AB a CD a sečna BC a uhly ACB a CBD sú rovnaké ako vnútorné kríže ležiace pod rovnobežkami AC a BD a sečna BC. Potom, podľa druhého kritéria pre rovnosť trojuholníkov, sú trojuholníky ABC a DCB zhodné. To znamená, že AC = BD a AB = CD. ■

Tiež existuje veta o proporcionálnom segmente:

Rovnobežné čiary prerezávajú proporcionálne segmenty na sečniciach: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Thalesova veta je špeciálnym prípadom vety o proporcionálnych segmentoch, pretože rovnaké segmenty možno považovať za proporcionálne segmenty s koeficientom proporcionality rovným 1.

Inverzná veta

Ak v Thalesovej vete rovnaké segmenty začínajú od vrcholu (táto formulácia sa často používa v školskej literatúre), potom sa ukáže byť pravdivá aj opačná veta. Pre pretínajúce sa sekty je to formulované takto:

Teda (pozri obr.) z toho, že $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ z toho vyplýva, že priamy $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Ak sú sečny rovnobežné, potom je potrebné vyžadovať zhodnosť úsečiek na oboch sečniach medzi sebou, inak sa toto tvrdenie stáva nesprávnym (protipríkladom je lichobežník pretínaný čiarou prechádzajúcou stredmi báz).

Variácie a zovšeobecnenia

Nasledujúce tvrdenie je duálne k Sollertinského lemme:

Thalesov teorém sa dodnes používa v námornej plavbe ako pravidlo, že kolízii lodí pohybujúcich sa konštantnou rýchlosťou sa nedá vyhnúť, ak lode stále smerujú k sebe. Mimo ruskojazyčnej literatúry sa Thalesova veta niekedy nazýva iná veta planimetrie, konkrétne tvrdenie, že vpísaný uhol založený na priemere kruhu je správny. Objav tejto vety sa skutočne pripisuje Thalesovi, čo dokazuje Proclus. Napíšte recenziu na článok „Tálesova veta“ Literatúra Atanasyan L. S. a ďalší. Geometria 7-9. - Ed. 3. - M.: Osvietenie, 1992. Poznámky pozri tiež Thalesova veta o uhle založenom na priemere kružnice Úryvok charakterizujúci Tálesovu vetu „Nič si nemyslím, len tomu nerozumiem... - Počkaj, Sonya, všetko pochopíš. Pozrite sa, aký je to človek. Nemysli si o mne alebo o ňom zlé veci. „Nemyslím si o nikom zlé veci: všetkých milujem a je mi ich ľúto. Ale čo mám robiť? Sonya sa nevzdala jemného tónu, ktorým ju Natasha oslovila. Čím jemnejší a skúmavejší bol Natašin výraz, tým vážnejšia a prísnejšia bola Sonyina tvár. „Natasha,“ povedala, „požiadala si ma, aby som sa s tebou nerozprával, ja som to neurobil, teraz si začal ty sám. Natasha, neverím mu. Prečo toto tajomstvo? - Znova, znova! Prerušila ho Natasha. - Natasha, bojím sa o teba. - Čoho sa báť? "Obávam sa, že sa zničíš," povedala Sonya rozhodne, sama vystrašená z toho, čo povedala. Natashina tvár opäť vyjadrila hnev. „A zničím, zničím, zničím sa čo najskôr. Do toho vás nič. Nie tebe, ale mne to bude zlé. Odíď, nechaj ma. Nenávidím ťa. - Natasha! vystrašene zvolala Sonya. - Nenávidím to, neznášam to! A ty si navždy môj nepriateľ! Natasha vybehla z izby. Natasha už so Sonyou nehovorila a vyhýbala sa jej. S rovnakým výrazom vzrušeného prekvapenia a zločinnosti prechádzala po miestnostiach, zaujala najprv toto a potom ďalšie zamestnanie a okamžite ich opustila. Bez ohľadu na to, aké ťažké to bolo pre Sonyu, uprela oči na svojho priateľa. V predvečer dňa, keď sa mal gróf vrátiť, si Sonya všimla, že Nataša celé dopoludnie sedela pri okne obývačky, akoby na niečo čakala a že okoloidúcemu vojakovi dala nejaký znak, ktorého si Sonya pomýlila s Anatolom. Sonya začala pozorovať svoju priateľku ešte pozornejšie a všimla si, že Natasha bola celý čas obeda a večera v čudnom a neprirodzenom stave (nevhodne odpovedala na otázky, ktoré jej boli položené, začala a nedokončila frázy, smiala sa na všetkom). Po čaji Sonya uvidela plachú slúžku, ktorá na ňu čakala pri Natašiných dverách. Nechala to prejsť a odpočúvaním dverí sa dozvedela, že list bol opäť odovzdaný. A zrazu bolo Sonye jasné, že Natasha má na tento večer nejaký hrozný plán. Sonya zaklopala na jej dvere. Natasha ju dnu nepustila. „Utečie s ním! pomyslela si Sonya. Je schopná všetkého. Dnes bolo v jej tvári niečo obzvlášť patetické a rozhodné. Rozplakala sa a rozlúčila sa so svojím strýkom, pripomenula si Sonya. Áno, je to tak, behá s ním - ale čo mám robiť? pomyslela si Sonya a teraz si spomenula na tie znaky, ktoré jasne dokazovali, prečo mala Natasha nejaký hrozný úmysel. „Nepočíta sa. Čo mám robiť, napísať Kuraginovi a požadovať od neho vysvetlenie? Ale kto mu povie, aby odpovedal? Napíšte Pierrovi, ako sa princ Andrei pýtal v prípade nehody? ... Ale možno v skutočnosti už odmietla Bolkonského (včera poslala list princeznej Marye). Nie sú tam žiadni strýkovia!" Sonyi sa zdalo hrozné povedať to Marye Dmitrievne, ktorá tak veľmi verila Natashe. Ale tak či onak, pomyslela si Sonya stojaca v tmavej chodbe: teraz alebo nikdy prišiel čas dokázať, že si pamätám na dobré skutky ich rodiny a milujem Nicolasa. Nie, nebudem spať aspoň tri noci, ale neopustím túto chodbu a nepustím ju nasilu a nenechám hanbu padnúť na ich rodinu,“ pomyslela si. Anatole sa nedávno presťahoval do Dolochova. Dolokhov už niekoľko dní premýšľal a pripravoval plán únosu Rostovej a v deň, keď sa Sonya, ktorá počula Natashu pri dverách, rozhodla ju chrániť, mal sa tento plán uskutočniť. Natasha sľúbila, že o desiatej večer vyjde ku Kuraginovi na zadnú verandu. Kuragin ju mal posadiť do pripravenej trojky a odviesť 60 míľ z Moskvy do dediny Kamenka, kde bol pripravený ostrihaný kňaz, ktorý ich mal oddať. V Kamenke bola pripravená výprava, ktorá ich mala doviesť na Varšavskú cestu a tam mali jazdiť do zahraničia na poštovné. Anatole mal pas a cestovný pas a desaťtisíc peňazí zobral svojej sestre a desaťtisíc si požičal od Dolokhova. V prvej miestnosti pri čaji sedeli dvaja svedkovia – Chvostikov, bývalý úradník, ktorého hrávali Dolokhov a Makarin, vyslúžilý husár, dobromyseľný a slabý muž, ktorý bezhranične miloval Kuragina. Vo veľkej Dolokhovovej kancelárii, vyzdobenej od steny po strop perzskými kobercami, medvedími kožami a zbraňami, sedel Dolokhov v putovnom koši a čižmách pred otvorenou kanceláriou, na ktorej ležali bankovky a balíky peňazí. Anatole v rozopnutej uniforme prešiel z miestnosti, kde sedeli svedkovia, cez pracovňu do zadnej miestnosti, kde jeho francúzsky lokaj a ďalší balili posledné veci. Dolokhov počítal peniaze a zapisoval si ich. "Nuž," povedal, "Chvostikov by mal dostať dvetisíc." - No, nechaj ma, - povedal Anatole. - Makarka (tak sa volala Makarina), táto pre teba nezaujato cez oheň a do vody. No, skóre je u konca, - povedal Dolokhov a ukázal mu poznámku. - Takže? "Áno, samozrejme, je to tak," povedal Anatole, očividne nepočúval Dolokhova as úsmevom, ktorý mu nezmizol z tváre, pozeral pred seba.

O paralele a sekte.

Mimo ruskojazyčnej literatúry sa Thalesova veta niekedy nazýva iná veta planimetrie, konkrétne tvrdenie, že vpísaný uhol založený na priemere kruhu je správny. Objav tejto vety sa skutočne pripisuje Thalesovi, čo dokazuje Proclus.

Znenie

Ak sa na jednej z dvoch priamych čiar postupne odloží niekoľko rovnakých segmentov a cez ich konce sa natiahnu rovnobežné čiary, ktoré pretínajú druhú priamku, odrežú rovnaké segmenty na druhej priamke.

Všeobecnejšia formulácia, tiež tzv veta o proporcionálnom segmente

Rovnobežné čiary prerezávajú proporcionálne segmenty na sečniciach:

A1A2B1B2 = A2A3B2B3 = A1A3B1B3. (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Poznámky

• Vo vete nie sú žiadne obmedzenia na vzájomné usporiadanie sečensov (platí tak pre pretínajúce sa priamky, ako aj pre rovnobežné). Nezáleží ani na tom, kde sú úsečky na sečniciach.

• Thalesova veta je špeciálnym prípadom vety o proporcionálnych segmentoch, pretože rovnaké segmenty možno považovať za proporcionálne segmenty s koeficientom proporcionality rovným 1.

Dôkaz v prípade sekátov

Zvážte variant s neprepojenými pármi segmentov: nechajte uhol pretínať priame čiary A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) a kde A B = CD (\displaystyle AB=CD).

1. Prejdite cez bodky A (\displaystyle A) a C (\displaystyle C) rovné čiary rovnobežné s druhou stranou uhla. A B 2 B 1 A 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1)) a C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Podľa vlastnosti rovnobežníka: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) a CD 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
2. trojuholníky △ A B B 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2)) a △ CD D 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2)) sú rovnaké na základe druhého kritéria pre rovnosť trojuholníkov

Dôkaz v prípade rovnobežných čiar

Nakreslíme rovnú čiaru pred Kr. rohy ABC a BCD sú rovnaké ako vnútorné kríže ležiace na rovnobežných čiarach AB a CD a sekant pred Kr a uhly ACB a CBD sú rovnaké ako vnútorné kríže ležiace na rovnobežných čiarach AC a BD a sekant pred Kr. Potom, podľa druhého kritéria pre rovnosť trojuholníkov, trojuholníky ABC a DCB sú si rovní. Z toho teda vyplýva AC = BD a AB = CD. ■

Variácie a zovšeobecnenia

Inverzná veta

Ak v Thalesovej vete rovnaké segmenty začínajú od vrcholu (táto formulácia sa často používa v školskej literatúre), potom sa ukáže byť pravdivá aj opačná veta. Pre pretínajúce sa sekty je to formulované takto:

Teda (pozri obr.) z toho, že C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots), nasleduje za tým A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Ak sú sečny rovnobežné, potom je potrebné vyžadovať zhodnosť úsečiek na oboch sečniach medzi sebou, inak sa toto tvrdenie stáva nesprávnym (protipríkladom je lichobežník pretínaný čiarou prechádzajúcou stredmi báz).

Táto veta sa používa v navigácii: kolízia lodí pohybujúcich sa konštantnou rýchlosťou je nevyhnutná, ak je zachovaný smer z jednej lode na druhú.

Lema Sollertinského

Nasledujúce tvrdenie je duálne k Sollertinského lemme:

Nechať byť f (\displaystyle f)- projektívna zhoda medzi bodmi priamky l (\displaystyle l) a priamy m (\displaystyle m). Potom súbor čiar X f (X) (\displaystyle Xf(X)) bude množinou dotyčníc k niektorým

Plán:

Úvod

• 1 Inverzná veta
• 2 Tálesova veta v kultúre
• 3 Zaujímavosti
Poznámky

Úvod

Toto je teorém o rovnobežných čiarach. Pre uhol založený na priemere pozri inú vetu.

Thalesova veta- jedna z teorém planimetrie.

Vo vete nie sú žiadne obmedzenia na vzájomné usporiadanie sečníc (platí pre pretínajúce sa aj rovnobežné priamky). Nezáleží ani na tom, kde sú úsečky na sečniciach.

Dôkaz v prípade sekátov

Dôkaz Thalesovej vety

Zvážte variant s neprepojenými pármi segmentov: nechajte uhol pretínať priame čiary AA 1 | | BB 1 | | CC 1 | | DD 1 a kde AB = CD .

Dôkaz v prípade rovnobežných čiar

Nakreslíme čiaru pred naším letopočtom. Uhly ABC a BCD sú rovnaké ako vnútorné kríže ležiace pod rovnobežkami AB a CD a sečna BC a uhly ACB a CBD sú rovnaké ako vnútorné kríže ležiace pod rovnobežkami AC a BD a sečna BC. Potom, podľa prvého kritéria pre rovnosť trojuholníkov, sú trojuholníky ABC a DCB zhodné. To znamená, že AC = BD a AB = CD. ■

Tiež existuje zovšeobecnená Thalesova veta:

Rovnobežné čiary prerezávajú proporcionálne segmenty na sečniciach:

Thalesova veta je špeciálnym prípadom zovšeobecnenej Thalesovej vety, pretože rovnaké segmenty možno považovať za proporcionálne segmenty s koeficientom proporcionality rovným 1.

1. Inverzná veta

Ak v Thalesovej vete rovnaké segmenty začínajú od vrcholu (táto formulácia sa často používa v školskej literatúre), potom sa ukáže byť pravdivá aj opačná veta. Pre pretínajúce sa sekty je to formulované takto:

V inverznej Thalesovej vete je dôležité, aby rovnaké segmenty začínali od vrcholu

Takže (pozri obr.) z toho, čo vyplýva, že riadky .

Ak sú sečny rovnobežné, potom je potrebné vyžadovať zhodnosť úsečiek na oboch sečniach medzi sebou, inak sa toto tvrdenie stáva nesprávnym (protipríkladom je lichobežník pretínaný čiarou prechádzajúcou stredmi báz).

2. Tálesova veta v kultúre

Argentínska hudobná skupina Les Luthiers ( španielčina) predstavil pieseň venovanú vete. Videoklip k tejto skladbe je dôkazom priamej vety o proporcionálnych segmentoch.

3. Zaujímavé fakty

• Thalesov teorém sa dodnes používa v námornej plavbe ako pravidlo, že kolízii lodí pohybujúcich sa konštantnou rýchlosťou sa nedá vyhnúť, ak lode stále smerujú k sebe.
• Mimo ruskojazyčnej literatúry sa Thalesova veta niekedy nazýva iná veta planimetrie, konkrétne tvrdenie, že vpísaný uhol založený na priemere kruhu je správny. Objav tejto vety sa skutočne pripisuje Thalesovi, čo dokazuje Proclus.
• Thales pochopil základy geometrie v Egypte.

Poznámky

1. El Teorema de Thales por Les Luthiers en You Tube – www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
2. 3. Cesta do Egypta / Domov / Staroveká literatúra a filozofia. Thales z Milétu - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet

Stiahnuť ▼
Tento abstrakt je založený na článku z ruskej Wikipédie. Synchronizácia bola dokončená 16.07.2011 23:06:34
Podobné abstrakty:

Tento hrob je malý, ale sláva nad ním je nesmierna.
V ňom je pred vami skrytý mnohozmyselný Thales.

Nápis na hrobke Tálesa z Milétu

Predstavte si takýto obrázok. 600 pred Kr Egypt. Pred vami je obrovská egyptská pyramída. Aby ste faraóna prekvapili a zostali medzi jeho obľúbenými, musíte zmerať výšku tejto pyramídy. Nemáte... nič k dispozícii. Môžete upadnúť do zúfalstva, alebo môžete urobiť čo Táles z Milétu: použite vetu o podobnosti trojuholníka. Áno, ukazuje sa, že všetko je celkom jednoduché. Táles z Milétu počkal, kým sa dĺžka jeho tieňa a jeho výška nezhodujú, a potom pomocou vety o podobnosti trojuholníka našiel dĺžku tieňa pyramídy, ktorá sa teda rovnala tieňu, ktorý pyramída vrhá.

Kto to je Táles z Milétu? Muž, ktorý sa preslávil ako jeden zo „siedmich mudrcov“ staroveku? Thales of Miletus je staroveký grécky filozof, ktorý vynikal v astronómii, ale aj v matematike a fyzike. Roky jeho života boli stanovené len približne: 625-645 pred Kristom

Medzi dôkazy Thalesových znalostí astronómie patrí nasledujúci príklad. 28. mája 585 pred Kr Predpoveď zatmenia Slnka od Milétu pomohla ukončiť vojnu medzi Lýdiou a Médiou, ktorá trvala už 6 rokov. Tento jav Médov natoľko vydesil, že súhlasili s nepriaznivými podmienkami pre uzavretie mieru s Lýdmi.

Legenda, ktorá Thalesa charakterizuje ako vynaliezavého človeka, je pomerne známa. Thales často počúval nelichotivé komentáre o svojej chudobe. Raz sa rozhodol dokázať, že filozofi môžu, ak chcú, žiť v hojnosti. Aj v zime Thales pozorovaním hviezd určil, že v lete bude dobrá úroda olív. Potom si najal lisy na olej v Miléte a Chiose. Stálo ho to celkom lacno, keďže v zime po nich nie je prakticky žiadny dopyt. Keď olivy poskytli bohatú úrodu, Thales začal prenajímať svoje lisy na olej. Veľké množstvo peňazí vyzbieraných touto metódou sa považovalo za dôkaz, že filozofi môžu zarábať rozumom, ale ich povolanie je vyššie ako takéto pozemské problémy. Túto legendu, mimochodom, zopakoval aj samotný Aristoteles.

Čo sa týka geometrie, mnohé z jeho „objavov“ si požičali od Egypťanov. A predsa sa tento prenos vedomostí do Grécka považuje za jednu z hlavných zásluh Thalesa z Milétu.

Úspechy Thalesa sú formuláciou a dôkazom nasledujúceho vety:

• vertikálne uhly sú rovnaké;
• rovnaké trojuholníky sú tie, v ktorých sú strany a dva susedné uhly rovnaké;
• uhly v základni rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké;
• priemer pretína kruh;
• Vpísaný uhol založený na priemere je pravý uhol.

Po Thalesovi je pomenovaná ďalšia veta, ktorá je užitočná pri riešení geometrických problémov. Existuje jeho zovšeobecnená a konkrétna forma, inverzná veta, formulácie sa môžu tiež mierne líšiť v závislosti od zdroja, ale význam všetkých zostáva rovnaký. Zoberme si túto vetu.

Ak rovnobežné čiary pretínajú strany uhla a odrežú rovnaké segmenty na jednej z jeho strán, potom odrežú rovnaké segmenty na jeho druhej strane.

Povedzme, že body A 1, A 2, A 3 sú priesečníky rovnobežiek s jednou zo strán uhla a B 1, B 2, B 3 sú priesečníky rovnobežiek s druhou stranou uhla. uhol. Je potrebné dokázať, že ak A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, potom B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.

Nakreslite čiaru cez bod B 2 rovnobežnú s čiarou A 1 A 2 . Označme novú priamku С 1 С 2 . Uvažujme rovnobežníky A 1 C 1 B 2 A 2 a A 2 B 2 C 2 A 3 .

Vlastnosti rovnobežníka nám umožňujú tvrdiť, že A1A2 = C 1 B 2 a A 2 A 3 = B 2 C 2 . A keďže podľa našej podmienky A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, potom C 1 B 2 \u003d B 2 C 2.

A nakoniec uvažujme trojuholníky ∆ C 1 B 2 B 1 a ∆ C 2 B 2 B 3 .

C1B2 = B2C2 (uvedené vyššie).

A to znamená, že Δ C 1 B 2 B 1 a Δ C 2 B 2 B 3 sa budú rovnať podľa druhého znamienka rovnosti trojuholníkov (pozdĺž bočných a susedných uhlov).

Tálesova veta je teda dokázaná.

Použitie tejto vety výrazne uľahčí a urýchli riešenie geometrických úloh. Veľa šťastia pri zvládnutí tejto zábavnej vedy matematiky!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Veta 6.6 (Thalesova veta).Ak rovnobežné čiary pretínajúce strany uhla odrežú rovnaké segmenty na jednej jeho strane, odrežú rovnaké segmenty na druhej strane.(obr. 131).

Dôkaz. Nech A 1, A 2, A 3 sú priesečníky rovnobežiek s jednou zo strán uhla a A 2 leží medzi A 1 a A 3 (obr. 131). Nech B 1 , B 2 , B 3 sú zodpovedajúce priesečníky týchto priamok s druhou stranou uhla. Dokážme, že ak A 1 A 2 = A 2 Az, potom B 1 B 2 = B 2 B 3.

Vedieme priamku EF cez bod B 2 rovnobežnú s priamkou A 1 A 3 . Vlastnosťou rovnobežníka A 1 A 2 \u003d FB 2, A 2 A 3 \u003d B 2 E. A keďže A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, potom FB 2 \u003d B 2 E.

Trojuholníky B 2 B 1 F a B 2 B 3 E sú v druhom kritériu rovnaké. Majú osvedčené B 2 F=B 2 E. Uhly vo vrchole B2 sú rovnaké ako vertikálne a uhly B2FB1 a B2EB3 sú rovnaké ako vnútorné priečne ležiace s rovnobežkami A1B1 a A3B3 a sečnou EF.

Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť strán: B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. Veta bola dokázaná.

Komentujte. V podmienkach Thalesovej vety môžete namiesto strán uhla vziať ľubovoľné dve priame čiary, pričom záver vety bude rovnaký:

rovnobežné čiary pretínajúce dve dané čiary a odrezané rovnaké segmenty na jednej priamke, odrezať rovnaké segmenty na druhej priamke.

Niekedy sa Thalesova veta uplatní aj v tejto podobe.

Problém (48). Rozdeľte daný segment AB na n rovnakých častí.

rozhodnutie. Narysujme z bodu A polpriamku a neležiacu na priamke AB (obr. 132). Na polpriamke a odložte rovnaké úsečky: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Spojte body A n a B. Nakreslite body A 1, A 2, .... A n -1 priamky rovnobežné s priamkou A n B. Pretínajú úsečku AB v bodoch B 1, B 2, B n-1, ktoré delia segment AB na n rovnakých segmentov (podľa Thalesovej vety).

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie