Spline(Angličtina) spline - tyč, koľajnica) - funkcia, ktorej definičný obor je rozdelený na konečný počet segmentov, z ktorých na každom sa splajn zhoduje s nejakou algebraickou funkciou. Maximálny stupeň použitých funkcií (zvyčajne polynómov) sa nazýva stupeň spline. Rozdiel medzi stupňom splajnu a hladkosťou jeho obrysu (neprítomnosť diskontinuít v súradniciach v prvej a druhej derivácii) sa nazýva defekt spline. Napríklad súvislá prerušovaná línia úsečiek je spline 1. stupňa a defekt 1 (v miestach spojenia klinových segmentov sa prvá derivácia láme - je narušená hladkosť).

Spline má množstvo aplikácií, a to ako v matematickej teórii, tak aj v rôznych výpočtových aplikáciách. Najmä splajny dvoch premenných sa intenzívne využívajú na definovanie povrchov v rôznych systémoch počítačového modelovania.

So spline interpoláciou znázornenou na obr. 2.8 je pôvodná funkcia nahradená segmentmi kubických parabol prechádzajúcich štyrmi susednými uzlovými bodmi. Koeficienty parabol sa vypočítajú tak, že súradnice, ako aj prvá a druhá derivácia sa zhodujú v bodoch konjugácie splajnových fragmentov (defekt spline sa rovná nule).

Čiara, ktorú takéto splajnové funkcie opisujú, svojím tvarom pripomína flexibilné pravítko upevnené v uzlových bodoch.

Výpočet spline zvyčajne spočíva v riešení systému lineárnych rovníc.

2.4. Aproximácia

Rozšírenou úlohou spracovania a modelovania údajov je reprezentácia ich celku nejakou funkciou f(X). Úlohou aproximácie je získať parametre tejto funkcie tak, aby funkcia aproximovala „oblak“ počiatočných bodov s najmenšia stredná kvadratická chyba . Aproximácia je zvyčajne založená na metóda najmenších štvorcov.

2.4.1. Polynomická aproximácia

Polynóm - vyjadrenie tvaru: pri=a 0 +a 1 H X+a 2 h X 2 +...+a n h X n

V každom z n body, pre ktoré sú známe hodnoty X i a r i, nájdeme súčet kvadrátov odchýlok vypočítaných a nameraných hodnôt

Aby sme našli najlepšiu aproximáciu, je potrebné nájsť minimum tejto funkcie pre premenné: a o, a 1 , a 2 , ..., a n.

rozhodnutie: rozlíšiť funkciu f pre každú z týchto premenných a prirovnať deriváciu k nule. Po jednoduchých transformáciách získame sústavu lineárnych rovníc. Riešením tohto systému je možné nájsť neznáme koeficienty polynómu a o, a 1 , a 2 , ..., a n.

Koeficienty pre neznáme	zadarmo
a n	...	a 2	a o	členom
	...
	...
...	...	....	.....	....
	...		N

Príklad aproximácie polynomických dát je na obr. 2.10.

Ryža. 2.10 Polynómová aproximácia

2.4.2. Lineárna aproximácia

Osobitným, ale aj najobľúbenejším prípadom polynómovej aproximácie je lineárna aproximácia. Pri lineárnej aproximácii funkcia r(X) opisuje priamku a má tvar r(X) = a + bx (obr. 2.11).

Ryža. 2.11. Lineárna aproximácia

2.4.3. Metóda najmenších štvorcov pre ľubovoľnú funkciu

Funkcia r(X) môže byť reprezentovaná ľubovoľnou diferencovateľnou funkciou (obr. 2.12). V praxi sa neodporúča používať funkcie s mocninami vyššími ako 4-6 - veľmi sa zvyšujú chyby implementácie.

Ryža. 2.12. Aproximácia ľubovoľnými funkciami

2.5. Vyhladzovanie údajov

Údaje väčšiny experimentov majú náhodné zložky (šumové), takže je potrebné štatistické vyhladzovanie údajov.

Tým sa vypočíta množina Z =z 1 ,z 2 ,...z n vyhladené funkčné hodnoty f(X,r), daný súbormi hodnôt argumentov X =X 1 ,X 2 ,...X n a Y =r 1 ,r 2 ,...r n zodpovedajúce funkčné hodnoty.

Vyhladenie funkcií, daný tabuľkou hodnôt v nerovnomerne rozmiestnených bodoch, pomocou polynómu prvého stupňa, zostaveného podľa k (aspoň tri body) na po sebe idúce body metódou najmenších štvorcov (obr. 2.13).

Ryža. 2.13. Vyhladzovanie údajov

o k= 3 - za každé tri po sebe nasledujúce body (X j-2, r j-2),( X j-1, r j -1), ( X j, r j) pre j=3,...n zostrojí sa postupnosť polynómov prvého stupňa W j ( X)=m j X+b j, pričom v týchto bodoch dáva najmenšiu odchýlku od daných hodnôt v zmysle najmenších štvorcov.

Definícia koeficientov m j a b j polynóm W j ( X) vyrobené metódou najmenších štvorcov.

Požadované vyhladené hodnoty z j = W j ( X) = m j X + b j vypočítané podľa vzorca:

2.6. Extrapolácia údajov (predikcia)

Pri extrapolácii zo série daných bodov sa vypočíta určitý počet N nasledujúce body.

Na obr. 2.14 plná čiara znázorňuje graf funkcie, ktorá popisuje polohu daných bodov, bodkovaná čiara znázorňuje predpoveď (extrapoláciu grafu).

Ryža. 2.14. Extrapolácia údajov

2.7. Numerická diferenciácia

Geometrická interpolácia prvej derivácie - rovná sa dotyčnici sklonu dotyčnice.

Pri výpočte derivácie funkcie danej tabuľkou musíte určiť hodnoty funkcie r vľavo a vpravo v rovnakej vzdialenosti od tejto hodnoty X , pre ktoré chceme vypočítať hodnotu derivátu, a ich rozdiel vydeliť h (v praxi ide o približné určenie dotyčnice sklonu dotyčnice, čím je menšia h , tým presnejší je výsledok (obr. 2.15):

Ryža. 2.15. Numerická diferenciácia

.

hodnoty možno nájsť interpoláciou.

2.8. Výpočet určitého integrálu

Geometrický výklad určitého integrálu je oblasť geometrického útvaru tvorená grafom integrandu a osou x na intervale.

Jednoduchý a zároveň dobrý spôsob je nasledovný: integračná časť je rozdelená na niekoľko rovnakých malých intervalov. Integrál každého malého intervalu sa považuje približne za rovný súčinu dĺžky intervalu a priemernej hodnoty integrandu na jeho začiatku a konci. Táto metóda sa nazýva lichobežníková metóda , pretože výsledkom je, že v každom malom intervale je oblúk grafu nahradený jeho tetivou a plocha pod týmto oblúkom (hodnota integrálu) je nahradená plochou výsledného lichobežníka so zvislými základňami ( Obr. 2.16).

Ryža. 2.16. Lichobežníková metóda

Zodpovedajúci vzorec vyzerá takto:

kde sa pre stručnosť označuje .

Ešte efektívnejší vzorec možno získať, ak krivku na malom intervale nahradíme parabolou, t.j. kvadratický graf závislosti.

Rozdeľme integračný segment od X = a predtým X= b do párneho počtu rovnakých intervalov. Hranice intervalov: . Označte dĺžku intervalu h , takže .

Tento vzorec sa nazýva Simpsonov vzorec . Výhody Simpsonovho vzorca v porovnaní s lichobežníkovým vzorcom sú obzvlášť výrazné s nárastom počtu n deliace intervaly. Dá sa ukázať, že v tomto prípade chyba lichobežníkového vzorca klesá nepriamo úmerne n 2 a chyba Simpsonovho vzorca je nepriamo úmerná n 4 .

2.9. Numerické riešenie diferenciálnych rovníc

Diferenciálna rovnica prvého rádu: ,

kde r je neznáma funkcia z X .

Zvyčajne sa predpokladá, že táto rovnica je riešiteľná vzhľadom na deriváciu, t.j. vyzerá ako: . Na vyriešenie rovnice je potrebné nastaviť počiatočné podmienky: X = X 0 a r = r 0 .

Ak rovnica vyzerá takto a sú dané počiatočné podmienky X=X 0 a r=r 0 , potom nahradenie hodnôt X 0 a r 0 do funkcie , nájdeme hodnotu derivácie v bode X 0: .

Hodnota funkcie: , kde D X - malý prírastok X .

Preto hodnota funkcie r 1 = r(X 1) = ,

kde X 1 = X 0+D X .

Teraz, keď vezmeme pointu ( X 1 ,r 1) za ten pôvodný môžete získať bod úplne rovnakým spôsobom r 2 = r(X 2) = , kde X 2 = X 1+D X . Krok za krokom teda môžete postupne vypočítať hodnoty funkcie pre rôzne X .

Príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je základná vlaková rovnica: , kde - špecifická výsledná sila v závislosti od rýchlosti.

Konštrukcia krivky rýchlosti vlaku ako funkcie prejdenej vzdialenosti je založená na grafickej alebo analytickej integrácii hlavnej rovnice pohybu vlaku:

, kde je špecifická výsledná sila. (jeden)

Pre grafickú integráciu základnej rovnice pohybu vlaku bolo vyvinutých množstvo metód (Lipetova metóda, Upreinova metóda), ktoré sú založené na aproximácii rýchlostnej krivky segmentmi dotyčníc (Lipets) alebo oblúkov (Upreinova metóda). ).

Analytické integračné metódy sú zvyčajne spojené s použitím Eulerova metóda a na základe toho sa v plnom súlade s ustanoveniami známymi z matematiky vyvodzuje záver o presnosti zostrojenia krivky .

Eulerova metóda prerušovanej čiary je založená na myšlienke grafickej konštrukcie riešenia diferenciálnej rovnice. Táto metóda súčasne poskytuje spôsob, ako nájsť požadovanú funkciu v numerickej (tabuľkovej) forme.

Myšlienkou metódy je, že na malom intervale zmeny nezávislej premennej je integrálna krivka diferenciálnej rovnice nahradená priamym segmentom (tangensom).

Odtiaľ a proces sa môže opakovať pre interval atď. číslo h je stolový krok.

Pracovný vzorec na určenie hodnôt r podľa Eulerovej metódy má tvar , kde

Geometrická integrálna krivka je nahradená prerušovanou čiarou nazývanou Eulerova prerušovaná čiara (obr. 2.17).

Eulerova metóda má nízku presnosť, navyše chyba každého nového kroku sa vo všeobecnosti systematicky zvyšuje. V tomto prípade je najprijateľnejšou metódou na posúdenie presnosti metóda dvojitého počítania – s krokom h a s krokom h/ 2. Zhoda desatinných miest vo výsledkoch získaných dvoma spôsobmi dáva prirodzené dôvody na to, aby boli považované za správne. Chyba metódy je úmerná h2 . Existujú rôzne vylepšenia Eulerovej metódy, ktoré zvyšujú jej presnosť, takže chyba metódy je úmerná h 3 .

Ryža. 2.17. Integrálna krivka a polygonálny Euler

Na obr. 2.18 je znázornená rýchlostná krivka, zostavená plne v súlade s výpočtovou schémou Eulerovej metódy.

Ryža. 2.18. Navrhovaná schéma konštrukcie rýchlostnej krivky

V tomto prípade sú všetky metódy analytickej a grafickej integrácie základnej rovnice pohybu vlaku založené na implementácii inej výpočtovej schémy.

Na obr. 2.19 ukazuje rýchlostnú krivku zostrojenú podľa aktuálne implementovaného algoritmu.

Ryža. 2.19. Aktuálna schéma vykreslenia rýchlostnej krivky

Ako vidíte, konštrukcia sa zhoduje iba v prvom kroku a v ďalších krokoch sa princípy konštrukcie krivky líšia. Skutočná konštrukčná chyba v druhom prípade je nielen menšia ako v prvom, ale má aj jasnú tendenciu k ďalšiemu znižovaniu.

Dôvod tohto rozporu je pravdepodobne nasledujúci.

Pri konštrukcii rýchlostnej krivky sa základná rovnica pohybu vlaku zredukuje do tvaru

alebo 2)

Táto rovnica sa líši od rovnice 1, pre ktorú je v skutočnosti určená Eulerova metóda. Zároveň sa derivácia (tangens sklonu dotyčnice v geometrickej interpretácii) nedá určiť na začiatku, ale vypočíta sa výberom prírastku jedinej nezávislej premennej V . Funkčná závislosť veľkosti derivácie od dráhy S nie je zahrnutá na pravej strane rovnice 2. Ide o konštantu, ktorá závisí od zníženého sklonu pod vlakom a mení sa iba vtedy, keď sa mení, pričom si zachováva všetky charakteristiky konštanty.

To isté platí pre konštrukciu rýchlostného oblúka integráciou základnej rovnice pohybu vlaku v čase, kedy sa podľa prírastku rýchlosti za určitý časový interval volí aj prírastok koľaje.

Základnú rovnicu pohybu vlaku možno integrovať iba cez rýchlosť, jedinú skutočne nezávislú premennú, ktorá je v nej zahrnutá, zatiaľ čo Eulerova metóda predpokladá integráciu cez cestu.

Odhad skutočnej presnosti zostrojenia rýchlostnej krivky patrí do oblasti štatistického výskumu. Prakticky všetky počiatočné údaje výpočtu trakcie, s výnimkou údajov o pozdĺžnom profile a pláne trate, sú priemerné.

Zvýšenie presnosti výpočtu trakcie by sa preto malo chápať ako oslobodenie použitej výpočtovej techniky od jej vlastných chýb, predpokladov a zjednodušení s cieľom priblížiť sa ak nie presnému, tak matematicky očakávanému výsledku.

Moderná úroveň rozvoja výpočtovej techniky odstraňuje takmer všetky obmedzenia na zlepšenie presnosti výpočtu trakcie v tomto zmysle.

Presnosť zostrojenia rýchlostnej krivky výrazne závisí od integračného kroku – teraz neexistujú žiadne prekážky pre zníženie kroku.

Konštrukčnú presnosť je možné zvýšiť implementáciou algoritmov s návratmi, kedy po výpočte prírastku rýchlosti po dotyčnici postavenej na začiatku intervalu sa prírastok po dotyčnici v jej strednej časti prepočítava s opakovaniami, kým sa numerické riešenie nestabilizuje.

Limitom zvýšenia presnosti je pravdepodobne implementácia algoritmu s návratmi pri prepočítavaní prírastku rýchlosti nie z hľadiska hodnoty výslednice pri priemernej rýchlosti. , a podľa stredného znamienka výslednice , kde sú počiatočné a konečné rýchlosti na intervale.

Všetky tieto algoritmy sú ľahko implementovateľné v moderných podmienkach.

Z hľadiska organizácie výpočtového procesu je najatraktívnejšou voľbou časový prírastok ako integračný krok. V tomto prípade sa z hľadiska presnosti a rýchlosti algoritmu automaticky optimalizuje prírastok rýchlosti a podľa toho aj dráha v každom kroku výpočtu.

Pri nízkych rýchlostiach sú prírastky dráhy tiež malé, čo poskytuje vysokú presnosť konštrukcie. So zvyšujúcou sa rýchlosťou vlaku sa zvyšujú prírastky trate, čím sa zvyšuje rýchlosť výstavby. V tomto prípade sú prírastky rýchlosti malé a začínajú sa znižovať, keď sa blížia k ustálenej rýchlosti, čím sa odstraňuje problém vynútených zmien v integračnom kroku pri rôznych rýchlostiach vlakov.

Na obr. 2.20 sú uvedené grafy prírastkov dráhy a rýchlosti získané zostrojením krivky analytickou integráciou základnej rovnice pohybu vlaku v čase (min) na mieste s vlakom zrýchľujúcim sa na stálu rýchlosť.

Práve tento prístup je implementovaný v známom programe výpočtov trakcie "ERA-TEP" - štandardnom programe ruských železníc JSC (V.A. Anisimov, Štátna univerzita dopravy na Ďalekom východe).

Ryža. 2.20. Krivka rýchlosti (a) a grafy prírastkov dráhy a rýchlosti ako funkcie prejdenej vzdialenosti (b)

2.10. Modelovanie terénu

Konečným výsledkom inžiniersko-geodetických a inžiniersko-geologických prieskumov je v súčasnosti digitálny model terénu .

Digitálny model terénu (DTM) je súbor, ktorého prvkami sú topografické a geodetické informácie o teréne. Obsahuje:

Metrické informácie - geodetické priestorové súradnice charakteristických bodov reliéfu a situácie;

Syntaktické informácie na popis spojení medzi bodmi - hranice budov, lesov, ornej pôdy, nádrží, ciest, rozvodníc a prepadov, smery svahov medzi charakteristickými bodmi na svahoch a pod.;

Sémantické informácie charakterizujúce vlastnosti objektov - technické parametre inžinierskych stavieb, geologická charakteristika pôd, údaje o stromoch v lesoch a pod.;

Štrukturálne informácie popisujúce vzťah medzi rôznymi objektmi - vzťah objektov k akejkoľvek množine: samostatné body železničnej trate, budovy a štruktúry sídliska, budovy a stavby zodpovedajúcich priemyselných odvetví atď.;

Všeobecné informácie - názov lokality, systém súradníc a výšok, nomenklatúra.

Topografický DTM charakterizuje situáciu a terén. Pozostáva z digitálneho modelu terénu (DTM) a digitálneho modelu obrysu (situácie) terénu (DTM). Okrem toho môže byť DTM doplnený o špeciálny inžiniersky model (CMI).

V inžinierskej praxi sa často využíva kombinácia digitálnych modelov, ktoré charakterizujú situáciu, reliéf, hydrologické, inžiniersko-geologické, technické, ekonomické a iné ukazovatele. Digitálny model terénu zaznamenaný na strojovom médiu v určitých štruktúrach a kódoch je elektronická mapa (obr. 2.21).

Ryža. 2.21. Elektronická mapa založená na DSM získaná z údajov laserového skenovania

Pri riešení inžinierskych a geodetických úloh na počítači sa využíva matematická interpretácia digitálnych modelov. Volajú ju matematický model terénu (MMM).

Počítačom podporovaný návrh založený na DMM a MMM znižuje náklady na prácu a čas desaťnásobne v porovnaní s použitím papierových topografických máp a plánov na tieto účely.

Východiskovým podkladom pre tvorbu digitálnych modelov terénu sú výsledky topografického prieskumu, údaje o geológii a hydrografii územia.

Digitálny výškový model terén (DTM) je pole súradníc prieskumných bodov X ,Y ,H .

Matematický model reliéfu(DRM) kombinuje digitálny výškový model a metódy na aproximáciu prieskumných bodov a interpoláciu zemského povrchu medzi nimi.

Existuje veľké množstvo typov DTM a MTM, z ktorých každý sa líši spôsobom aproximácie reliéfu modelovaného sieťou meracích bodov a pravidlami pre aproximáciu meracích bodov a interpoláciou - poradím výpočtu nadmorskej výšky. H bod daný súradnicami X, Y vo všeobecnom prípade, teda keď sa daný bod nezhoduje so žiadnym bodom prieskumu.

Je možná lineárna a spline interpolácia výšok.

Pomocou digitálneho výškopisného modelu je možné získať pozdĺžny profil zeme v ľubovoľnom určenom smere (obr. 2.22).

Ryža. 2.22. Digitálny výškový model a pozdĺžny profil zeme v danom smere

Najbežnejší je triangulačný model terénu ( TIN ) s lineárnou interpoláciou výšok.

Podstata modelu TIN vo svojom názve - "Irregular triangular network" (v anglickom origináli - Triangulovaná nepravidelná sieť ). V priestorovom vyjadrení ide o sieť trojuholníkov s výškovými značkami v uzloch, čo nám umožňuje reprezentovať simulovaný povrch ako mnohostranný (obr. 2.23).

Ryža. 2.23. Príklad triangulácie

Úloha zostrojiť triangulačný model bola prvýkrát položená v roku 1934 v práci sovietskeho matematika B.N. Delaunay.

Pre pochopenie Delaunayovej triangulačnej metódy je potrebné zaviesť niekoľko definícií.

Definícia 1. Rovinný graf sa nazýva triangulácia, ktorej všetky vnútorné oblasti sú trojuholníky (obr. 2.23).

Definícia 2. Problém zostrojenia triangulácie z danej množiny dvojrozmerných bodov je problém spájania daných bodov nepretínajúcimi sa úsečkami tak, aby vznikla sústava nepretínajúcich sa trojuholníkov. Úloha konštrukcie triangulácie na základe počiatočnej množiny bodov je nejednoznačná, t.j. má veľa riešení.

Definícia 3. Triangulácia sa nazýva optimálna, ak súčet dĺžok všetkých hrán je minimálny medzi všetkými možnými trianguláciami postavenými na rovnakých začiatočných bodoch (v tomto prípade žiadny z daných triangulačných bodov nespadá do kruhu opísaného okolo akéhokoľvek zostrojeného trojuholníka) ( Obr. 2.24).

Ryža. 2.24. Delaunayova triangulácia

Všetky v súčasnosti známe systémy počítačového dizajnu (CAD) podporujú funkciu tvorby TIN .

2.11. Simulácia pozdĺžneho profilu a pôdorysu pri rekonštrukcii železníc

Počas prevádzky vplyvom pohybu vlakov a prírodných javov stráca os železničnej trate svoj správny geometrický tvar v pôdoryse a pozdĺžnom profile, čo vedie k zhoršeniu dynamiky vlakovej dopravy, zvýšeniu opotrebovania koľajového vozidla. trať a koľajové vozidlá. V procese opráv a rekonštrukcie vozovky sa pravidelne dostáva pôdorys a pozdĺžny profil do správneho geometrického tvaru, čo si vyžaduje vypracovanie príslušných výpočtov a modelovanie počiatočných údajov.

Pri rekonštrukciách železníc sú východiskovými údajmi pre výpočty výsledky zamerania existujúcej koľaje v pôdoryse a pozdĺžnom profile.

Digitálny model pozdĺžneho profilu (obr. 2.25) umožňuje použiť optimalizačné a interaktívne metódy navrhovania na získanie značiek hlavy koľajníc medzi bodmi merania. Úsečka sa vždy berie ako os cesty.

Ryža. 2.25. Simulácia pozdĺžneho profilu železníc

Návrhové značky pozdĺžneho profilu sa vypočítajú s prihliadnutím na prítomnosť vertikálnych kriviek usporiadaných na zlomoch návrhovej čiary, keď rozdiel v sklonoch protiľahlých prvkov dosiahne určitú hodnotu, presnejšie, ak korekcia z vertikálnej krivky presiahne 0,01 m a algebraický rozdiel sklonov , kde R V- polomer zvislej krivky (obr. 2.26).

Ryža. 2.26. Vertikálna krivka, schéma výpočtu

Vo všeobecnosti je dizajnová značka určená nasledujúcim algoritmom:

Značka zlomeniny profilu;

- sklon j -tý profilový prvok;

- rozdiel sklonu, ‰;

ak , potom sa oprava nezavádza, inak

- vyznačiť v konštrukčnom bode bez zohľadnenia vertikálnej krivky;

dotyčnica zvislej krivky;

ak nie je zadaná korekcia - bod leží mimo zvislej krivky), inak

- korekcia od zvislej krivky;

ak je to inak

Vykonanie takéhoto výpočtu v automatickom režime predpokladá prítomnosť digitálneho modelu pozdĺžneho profilu. Pri „ručnom“ výpočte sa implicitne vytvorí aj takýto model (schéma výpočtu).

Modelovanie plánov umožňuje vypočítať parametre jeho prvkov - priame, kruhové a prechodové krivky.

Pôdorysný model existujúcej koľaje v pravouhlom súradnicovom systéme (obr. 2.27) predpokladá použitie podobného súradnicového modelu projektového plánu cesty (obr. 2.28). Práca s takýmito modelmi „ručne“ je tak časovo náročná, že tento prístup sa pred príchodom počítačov nepoužíval.

Ryža. 2.27. Existujúci model súradníc plánu trate

Ryža. 2.28. Koordinačný model plánu cesty projektu

Na výpočty (masívne a náročné na prácu) sa použili plány plánov (existujúce a projektové trate) v krivočiarom súradnicovom systéme, kde os existujúcej trate bola braná ako os úsečky.

Boli použité dva typy modelov - uhlový diagram a krivka (šípka).

Použitie týchto modelov (za cenu niektorých predpokladov a zjednodušení) umožňuje vypočítať parametre prvkov plánu "ručne", okrem iného pomocou jednoduchých a pohodlných graficko-analytických metód.

Na uhlovom diagrame (obr. 2.29) sú pozdĺž osi y vynesené uhly natočenia krivky.

Na priamych čiarach je uhol konštantný,

Na kruhových zákrutách - mení sa lineárne,

Na prechodových krivkách - zmena uhla natočenia s niektorými predpokladmi môže byť opísaná štvorcovou parabolou.

Ryža. 2.29. uhlový diagram

Aby os dráhy dostala správny geometrický tvar, je potrebné vykonať posuny (narovnanie) jej osi o určitú hodnotu určenú výpočtom.

Pri použití uhlových tabuliek je rozsah posunu:

, kde U g , U v – uhly natočenia konštrukcie a existujúcej osi koľaje ako funkcia vzdialenosti od začiatku prieskumu (uhlové diagramy), S - vzdialenosť od začiatku prieskumu k vypočítanému bodu.

Grafickou interpretáciou integrálu je plocha. Teda, - rozdiel medzi oblasťami dizajnu a existujúcimi uhlovými diagramami.

Na krivke zakrivenia (šípky) (obr. 2.30) sa pozdĺž osi y nakreslí zakrivenie dráhy (šípky ohybu). Zakrivenie je prevrátená hodnota polomeru. Šípka (obr. 2.31), f - vzdialenosť od osi dráhy k tetive určitej dĺžky a , (zvyčajne 20 m). Graf zakrivenia sa líši od grafu šípky v tom, že zakrivenie je definované v bode, zatiaľ čo šípka je definovaná na tetive. Rozdiely sa objavujú iba v prechodových zónach od priamky k prechodovej krivke a od prechodovej krivky ku kruhovej krivke.

Ryža. 2.30. Graf zakrivenia (šípky)

Ryža. 3.31. Meranie ohybových šípov

Ak sa šípka meria v milimetroch, potom s a = 20 m: .

Pre cestu návrhu, ktorá zapadá do správnej geometrickej polohy:

Na priamych čiarach - zakrivenie (šípka) sa rovná nule,

Na kruhových krivkách - zakrivenie (šípka) je konštantné,

Na prechodových krivkách sa zakrivenie (šípka) mení lineárne.

Shift , kde: kg , Kv je zakrivenie osi cesty v návrhu a existujúcich polohách ako funkcia vzdialenosti od začiatku prieskumnej oblasti, s ; S - vzdialenosť od začiatku úseku k vypočítanému bodu.

Dvojitý integrál sa vypočíta dvojitým sčítaním plôch grafu zakrivenia (šípky).

3. MATEMATICKÉ METÓDY

3.1. Implementácia numerického modelu na počítači

Hľadanie akéhokoľvek, najmä optimálneho, konštrukčného riešenia si nevyhnutne vyžaduje variantný prístup.

Použitie matematických metód nám umožňuje znížiť počet porovnávaných možností na nevyhnutné a postačujúce minimum, vždy je to však veľké a len využitie výpočtovej techniky nám umožňuje vyriešiť problém v prijateľnom čase.

Faktor nákladov na počítačový čas má rozhodujúci význam pri výbere metódy riešenia konkrétneho aplikovaného problému. „O efektívnej metóde riešenia možno hovoriť iba vtedy, ak skutočne rieši problémy tohto typu na skutočných počítačoch v reálnom čase počítača“ .

V súlade s tým sa samotný koncept metódy vo výpočtovej matematike líši od tradičného, ​​teda od jej znázornenia ako postupnosti inštrukcií, ktorých vykonanie nevyhnutne vedie k požadovanému výsledku v konečnom počte krokov.

Väčšinou nejde o metódu, ale o všeobecný prístup k riešeniu konkrétneho problému, ktorý je možné realizovať v rámci rôznych výpočtových schém (numericky aplikované metódy), medzi ktorými je jedna optimálna, pričom táto optimalita je vždy chápané v zmysle minima počítačového času vynaloženého na výpočet ( ceteris paribus).

Keď už hovoríme o „špecifickom konštrukčnom probléme“, je potrebné striktne definovať jeho formálne charakteristiky vo vzťahu napríklad k voľbe riadených premenných, objektívnej funkcii úlohy, systému obmedzení kladených na riadené premenné.

Numerická metóda zatiaľ nie je programovateľná algoritmus (ktorý pozostáva zo samostatných operácií prebiehajúcich v jednohodnotovej postupnosti), má určitý začiatok, ako aj koniec dosiahnuteľný po konečnom počte krokov, a preto ho v zásade možno realizovať strojom.

Kritériá výberu metódy. Na vyriešenie problému spravidla existuje niekoľko metód (prístupov). Voľba určitej metódy na numerické riešenie problému a jeho konečná transformácia do programovateľného algoritmu je vždy optimalizačným pokusom a počiatočné ustanovenia a dodatočné požiadavky fungujú ako dodatočné podmienky, z ktorých najdôležitejšie sú tieto:

Štartovacie pozície:

Vyjadrenie problému a predpoklady o racionálnom prístupe k jeho riešeniu;

Ďalšie informácie o zdrojových údajoch (číselná oblasť, typ číselného materiálu atď.);

Charakteristiky výpočtovej techniky (rýchlosť, pamäť atď.);

Reprezentácia údajov, presnosť, zaokrúhľovanie atď.

Požiadavky:

Špeciálne požiadavky na výstupné dáta (napríklad požiadavky na presnosť, výstup medzivýsledkov, výstup grafiky vrátane interaktívnej a pod.);

Stupeň univerzálnosti (či má byť vyriešená jediná úloha, alebo je potrebný univerzálny softvér vzhľadom na platný súbor údajov);

Minimalizácia nákladov (čas výpočtu).

Tieto podmienky sa čiastočne prelínajú (protirečia) a preto sa snažia pri ich splnení dosiahnuť určité optimum. Na tento účel použite množstvo pravidiel určených zdravým rozumom a predchádzajúcimi výpočtovými skúsenosťami.

Základom pre výber metódy je princíp priamej aplikácie : treba si vybrať, ak je to možné, takú metódu, ktorá rieši presne danú úlohu a nevedie k riešeniu cez nejaké podúlohy. „Matematicky elegantné“ riešenia sú z hľadiska šírenia chýb a stability často neviditeľné, numericky nevýhodné.

Najdôležitejšími dôvodmi nadmerného hromadenia chýb je časté používanie rozdielov (vedie k strate významných číslic) a delenie číslami neznámeho poradia (vedie k pretečeniu bitovej mriežky) - tomu by sa malo pri správnej organizácii vyhnúť. programu.

3.2. cieľová funkcia. Obmedzenia

Rozhodnutia sa musia robiť neustále vo všetkých oblastiach činnosti. V prípadoch, keď je možné formalizovať situáciu, v ktorej sú akceptované, môže byť veľmi užitočné použiť matematický aparát.

Krivky a plochy vyskytujúce sa v praktických úlohách majú často pomerne zložitý tvar, ktorý neumožňuje univerzálnu analytickú špecifikáciu ako celok pomocou elementárnych funkcií. Preto sú zostavené z relatívne jednoduchých hladkých úlomkov - segmentov (kriviek) alebo rezov (ploch), z ktorých každý sa dá celkom uspokojivo opísať pomocou elementárnych funkcií jednej alebo dvoch premenných. Zároveň je celkom prirodzené vyžadovať, aby hladké funkcie, ktoré sa používajú na zostavenie čiastkových kriviek alebo plôch, mali podobnú povahu, napríklad boli polynómy rovnakého stupňa. A aby bola výsledná krivka alebo plocha dostatočne hladká, je potrebné byť obzvlášť opatrný na spojoch zodpovedajúcich fragmentov. Stupeň polynómov sa volí z jednoduchých geometrických úvah a je spravidla malý. Pre plynulú zmenu dotyčnice pozdĺž celej zloženej krivky stačí popísať spojovacie krivky pomocou polynómov tretieho stupňa, kubických polynómov. Koeficienty takýchto polynómov je možné vždy zvoliť tak, aby zakrivenie zodpovedajúcej zloženej krivky bolo spojité. Kubické splajny, ktoré vznikajú pri riešení jednorozmerných problémov, môžu byť prispôsobené tvarovaniu fragmentov zložených povrchov. A tu sa celkom prirodzene objavujú bikubické splajny popísané polynómami tretieho stupňa v každej z dvoch premenných. Práca s takýmito splajnmi vyžaduje oveľa viac výpočtov. Správne organizovaný proces však umožní v maximálnej miere zohľadniť neustále rastúce možnosti výpočtovej techniky. Spline funkcie Nechajte na segmente , to znamená Remark. Index (t) čísel a^ to naznačuje. že množina koeficientov, ktorými je funkcia S(x) určená na každom čiastočnom segmente D, je jej vlastná. Na každom zo segmentov D1 je splajn 5(x) polynóm stupňa p a je určený na tomto segmente koeficientom p + 1. Celkové čiastkové segmenty - potom. Na úplné určenie spline je teda potrebné nájsť (p + 1) potom čísla Podmienka) znamená spojitosť funkcie S(x) a jej derivácií vo všetkých vnútorných uzloch siete w. Počet takýchto uzlov je m - 1. Na nájdenie koeficientov všetkých polynómov sa teda získajú podmienky (rovnice) p(m - 1). Pre úplnú definíciu splajnu nie je dostatok (podmienky (rovnice). Výber dodatočných podmienok je určený povahou uvažovaného problému a niekedy jednoducho želaním používateľa. TEÓRIA SPLINE Príklady riešení Najčastejšie sa uvažuje o interpolačných a vyhladzovacích problémoch, keď je potrebné zostaviť jeden alebo druhý spline z daného poľa bodov v rovine. Pri interpolačných problémoch sa vyžaduje, aby spline graf prechádzal bodmi, ktorý kladie m + 1 dodatočné podmienky (rovnice) na jeho koeficienty. Zvyšné p - 1 podmienky (rovnice) pre jedinečnú konštrukciu splajnu sa najčastejšie nastavujú vo forme hodnôt dolných derivácií splajnu na koncoch uvažovaného segmentu [a, 6] - hranica ( hraničné) podmienky. Schopnosť vybrať rôzne okrajové podmienky vám umožňuje vytvárať spline s rôznymi vlastnosťami. Pri problémoch s vyhladzovaním je spline zostavený tak, že jeho graf prechádza v blízkosti bodov (i "" Y "), * = 0, 1, ..., m, a nie cez ne. Mieru tejto blízkosti možno definovať rôznymi spôsobmi, čo vedie k značnej rozmanitosti vyhladzovacích spline. Popísané možnosti výberu pri konštrukcii spline funkcií ani zďaleka nevyčerpávajú svoju rozmanitosť. A ak sa spočiatku uvažovalo len o po častiach polynomiálnych splajnov, potom ako sa rozsah ich aplikácií rozšíril, začali sa objavovať splajny, „zlepené“ aj z iných elementárnych funkcií. Interpolačné kubické splajny Výrok interpolačnej úlohy Nech je daná mriežka w na intervale [a, 6) Uvažujme množinu čísel Úloha. Zostrojte funkciu, ktorá je hladká na segmente (a, 6] a nadobudne dané hodnoty v uzloch mriežky o, t.j. "Vložením dodatočných podmienok na konštruovanú funkciu možno dosiahnuť potrebnú jedinečnosť. V v aplikáciách sa často stáva nevyhnutnosťou aproximovať funkciu danú analyticky pomocou funkcie s predpísanými dostatočne dobrými vlastnosťami, napríklad v prípadoch, keď výpočet hodnôt danej funkcie f(x) v bodoch segmentu [a, 6] je spojená s výraznými ťažkosťami a/alebo daná funkcia /(x) nemá požadovanú plynulosť, je vhodné použiť inú funkciu, ktorá by danú funkciu dostatočne aproximovala a nemala by jej nedostatky [a, 6] hladká funkcia a(x) zhodná v uzloch mriežky w s danou funkciou /(X). Definícia interpolačného kubického splajnu Interpolačný kubický splajn S(x) na sieti w je funkciou, ktorá 1) na každom zo segmentov je polynóm tretieho stupňa, 2) je dvakrát spojito diferencovateľný na segmente [a, b ], čiže patrí do triedy C2[ a, 6] a 3) spĺňa podmienky Na každom zo segmentov je splajn S(x) polynóm tretieho stupňa a je určený na tomto segmente štyrmi koeficientmi. Celkový počet segmentov je m. To znamená, že na úplné určenie spline je potrebné nájsť 4m čísel. Podmienka znamená spojitosť funkcie S (x) a jej derivácií S "(x) a 5" (x) vo všetkých uzloch vnútornej siete w. Počet takýchto uzlov je m - 1. Na nájdenie koeficientov všetkých polynómov sa teda získa o 3 (m - 1) viac podmienok (rovníc). Spolu s podmienkami (2) sa získajú podmienky (rovnice). Okrajové (okrajové) podmienky Dve chýbajúce podmienky sú špecifikované ako obmedzenia hodnôt splajnu a/alebo jeho derivátov na koncoch intervalu [a, 6]. Pri konštrukcii interpolačného kubického splajnu sa najčastejšie využívajú okrajové podmienky nasledujúcich štyroch typov. A. Okrajové podmienky 1. typu. - na konci intervalu [a, b] sú uvedené hodnoty prvej derivácie požadovanej funkcie. B. Okrajové podmienky 2. typu. - na konci intervalu (a, 6) sa nastavia hodnoty druhej derivácie požadovanej funkcie. B. Okrajové podmienky 3. typu. sa nazývajú periodické. Je prirodzené vyžadovať splnenie týchto podmienok v prípadoch, keď je interpolovaná funkcia periodická s periódou T = b-a. D. Okrajové podmienky 4. typu. vyžadujú osobitný komentár. Komentujte. Vo vnútorných sepsí uzloch je tretia derivácia funkcie S(x) vo všeobecnosti nespojitá. Počet diskontinuít tretej derivácie však možno znížiť použitím podmienok 4. typu. V tomto prípade bude zostrojený splajn plynule diferencovateľný trikrát na intervaloch Konštrukcia interpolačného kubického splajnu Popíšme si spôsob výpočtu koeficientov kubického splajnu, pri ktorom je počet určovaných veličín rovný. Na každom z intervalov sa hľadá interpolačná splajnová funkcia v nasledujúcom tvare Pre okrajové podmienky 1. a 2. typu má tento systém nasledovný tvar, kde koeficienty závisia od výberu okrajových podmienok. Okrajové podmienky 1. typu: Okrajové podmienky 2. typu: V prípade okrajových podmienok 3. typu je systém určovania čísel napísaný nasledovne. Pre okrajové podmienky 4. typu má systém určovania čísel tvar Matice všetkých troch lineárnych algebraických systémov sú matice s diagonálnou dominanciou. Tieto matice nie sú degenerované, a preto má každý z týchto systémov jedinečné riešenie. Veta. Interpolačný kubický splajn, ktorý spĺňa podmienky (2) a okrajovú podmienku jedného z uvedených štyroch typov, existuje a je jedinečný. Zostrojiť interpolačný kubický splajn znamená nájsť jeho koeficienty. Keď sa nájdu koeficienty splajnu, hodnotu splajnu S(x) v ľubovoľnom bode segmentu [a, b] možno nájsť pomocou vzorca ( 3). Pre praktické výpočty je však vhodnejší nasledujúci algoritmus na nájdenie veličiny S(x). Nech x 6 [x", Najprv sa podľa vzorcov vypočítajú hodnoty A a B a potom sa zistí hodnota 5(x): Použitie tohto algoritmu výrazne znižuje výpočtové náklady na určenie hodnoty. užívateľ Voľba okrajových (okrajových) podmienok a interpolačných uzlov umožňuje do určitej miery riadiť vlastnosti interpolačných splajnov. A. Voľba okrajových (okrajových) podmienok. Voľba okrajových podmienok je jedným z ústredných problémov pri interpolácii funkcií. Osobitný význam nadobúda v prípade, keď je potrebné zabezpečiť vysokú presnosť aproximácie funkcie f(x) splajnom 5(g) v blízkosti koncov úsečky [a, 6]. Hraničné hodnoty majú znateľný vplyv na správanie sa splajnu 5(g) v blízkosti bodov a a b a tento efekt rýchlo slabne, keď sa od nich vzďaľujeme. Voľba okrajových podmienok je často určená dostupnosťou dodatočných informácií o správaní funkcie f(x), ktorá sa aproximuje. Ak sú hodnoty prvej derivácie f "(x) známe na koncoch segmentu (a, 6), potom je prirodzené použiť okrajové podmienky 1. typu. Ak hodnoty 2. derivácia f "(x) sú známe na koncoch segmentu [a, 6], potom je prirodzené použitie okrajových podmienok 2. typu. Ak je možné voliť medzi okrajovými podmienkami 1. a 2. typu, potom treba uprednostniť podmienky 1. typu. Ak je f(x) periodická funkcia, potom by sme sa mali zastaviť pri okrajových podmienkach 3. typu. Ak neexistujú dodatočné informácie o správaní aproximovanej funkcie, často sa používajú takzvané prirodzené okrajové podmienky.Treba si však uvedomiť, že pri takejto voľbe okrajových podmienok je presnosť aproximácie funkcie f (x) pomocou splajnu S (x) v blízkosti koncov segmentu (a, ft] prudko klesá. Niekedy sa používajú okrajové podmienky 1. alebo 2. typu, ale nie s presnými hodnotami zodpovedajúcich derivácií, ale s ich rozdielovými aproximáciami.presnosť tohto prístupu je nízka.praktické skúsenosti výpočtov ukazujú, že v uvažovanej situácii sú najvhodnejšou voľbou okrajové podmienky 4. typu. B. Výber interpolačných uzlov. Ak tretia derivácia f""(x) funkcie trpí diskontinuitou v niektorých bodoch segmentu [a, b], potom na zlepšenie kvality aproximácie by tieto body mali byť zahrnuté do počtu interpolačných uzlov. Ak je druhá derivácia /"(x) nespojitá, potom, aby sa predišlo oscilácii splajnu v blízkosti bodov diskontinuity, musia sa prijať špeciálne opatrenia. Obvykle sa interpolačné uzly vyberajú tak, aby body diskontinuity druhej derivácie spadali dovnútra interval \xif), taký, že a možno ho zvoliť numerickým experimentom (často stačí nastaviť a = 0,01). Existuje súbor receptov na prekonanie ťažkostí, ktoré vznikajú, keď je prvá derivácia f "(x) diskontinuálne. Ako jedno z najjednoduchších môžeme navrhnúť toto: rozdeliť aproximačný segment na intervaly, kde je derivácia spojitá, a na každom z týchto intervalov zostaviť spline. Voľba interpolačnej funkcie (plusy a mínusy) Prístup 1. Lagrangeov interpolačný polynóm Podľa zadaných príkladov riešenia SPLINE THEORY poľa (obr. 3) je Lagrangeov interpolačný polynóm určený vzorcom Je vhodné zvážiť vlastnosti Lagrangeovho interpolačného polynómu z dvoch protiľahlých pozícií, pričom hlavné výhody rozoberieme oddelene od nevýhody. Hlavné výhody 1. prístupu: 1) graf Lagrangeovho interpolačného polynómu prechádza každým bodom poľa, 2) zostrojená funkcia je jednoducho opísaná (určíme počet koeficientov Lagrangeovho interpolačného polynómu na mriežke u sa rovná m + 1), 3) zostrojená funkcia má spojité derivácie ľubovoľného rádu, 4) ak je dané pole, interpolačný polynóm je jednoznačne určený. Hlavné nevýhody 1. prístupu: 1) stupeň Lagrangeovho interpolačného polynómu závisí od počtu uzlov mriežky a čím je toto číslo väčšie, tým vyšší je stupeň interpolačného polynómu, a preto je potrebných viac výpočtov, 2 ) zmena aspoň jedného bodu v poli vyžaduje úplný prepočet koeficientov Lagrangeovho interpolačného polynómu, 3) pridanie nového bodu do poľa zvyšuje stupeň Lagrangeovho interpolačného polynómu o jeden a dokonca vedie k úplnému prepočítaniu jeho koeficientov. , 4) s neobmedzeným zjemňovaním siete sa stupeň Lagrangeovho interpolačného polynómu zvyšuje donekonečna. Správanie Lagrangeovho interpolačného polynómu pri neobmedzenom zjemňovaní siete si vo všeobecnosti vyžaduje osobitnú pozornosť. Komentáre A. Aproximácia spojitej funkcie polynómom. Je známe (Weierstrass, 1885), že akákoľvek spojitá (a ešte viac hladká) funkcia na intervale môže byť na tomto intervale aproximovaná podľa potreby polynómom. Opíšme túto skutočnosť v reči vzorcov. Nech f(x) je spojitá funkcia na segmente [a, 6]. Potom pre ľubovoľné e > 0 existuje polynóm Рn(x) taký, že pre ľubovoľné x z intervalu [a, 6] bude nerovnosť splnená (obr. 4), je ich nekonečne veľa. Na segmente [a, 6] zostrojíme mriežku w. Je zrejmé, že jeho uzly sa vo všeobecnosti nezhodujú s priesečníkmi grafov polynómu Pn(x) a funkcie f(x) (obr. 5). Preto pre zachytenú mriežku polynóm Pn(x) nie je interpolačným polynómom. Keď je spojitá funkcia aproximovaná interpolačným polynómom Jla-grajj, jej graf nielenže nemusí byť blízko grafu funkcie f(x) v každom bode segmentu [a, b), ale môže sa odchyľovať od túto funkciu podľa potreby. Uveďme dva príklady. Príklad 1 (Rung, 1901). Pri neobmedzenom zvyšovaní počtu uzlov pre funkciu na intervale [-1, 1] je splnená limitná rovnosť (obr. 6) Príklad 2 (Berichtein, 1912). Postupnosť Lagrangeových interpolačných polynómov zostrojených na jednotných mriežkach nm pre spojitú funkciu /(x) = |x| na segmente s nárastom počtu uzlov m neinklinuje k funkcii f(x) (obr. 7). Prístup 2. Po častiach lineárna interpolácia Ak sa opustí hladkosť interpolovanej funkcie, pomer medzi počtom výhod a počtom nevýhod sa môže výrazne zmeniť v smere prvej. Zostrojme po častiach lineárnu funkciu postupným spájaním bodov (xit y,) s úsečkami (obr. 8). Hlavné výhody 2. prístupu: 1) graf po častiach lineárnej funkcie prechádza každým bodom poľa, 2) konštruovaná funkcia je ľahko opísaná (počet koeficientov zodpovedajúcich lineárnych funkcií, ktoré sa majú určiť pre mriežku ( 1) je 2 m), 3) zostrojená funkcia je definovaná daným poľom jednoznačne, 4) stupeň polynómov použitých na popis interpolačnej funkcie nezávisí od počtu uzlov mriežky (rovná sa 1), 5) zmena jedného bod v poli vyžaduje výpočet štyroch čísel (koeficienty dvoch priamočiarych väzieb vychádzajúcich z nového bodu), 6) pridanie ďalšieho bodu do poľa vyžaduje výpočet štyroch koeficientov. Po častiach lineárna funkcia sa pri zjemňovaní mriežky správa celkom dobre. i Hlavnou nevýhodou 2. prístupu je, že aproximácia po častiach lineárna funkcia nie je hladká: prvé derivácie trpia diskontinuitou v uzloch mriežky (interpolačné uši). Prístup 3. Spline interpolácia Navrhované prístupy je možné kombinovať tak, aby sa zachoval počet uvedených výhod oboch prístupov a zároveň sa znížil počet nevýhod. Dá sa to urobiť zostrojením hladkej interpolačnej spline funkcie stupňa p. Hlavné výhody 3. prístupu: 1) graf zostrojenej funkcie prechádza každým bodom poľa, 2) zostrojená funkcia sa dá pomerne ľahko opísať (počet koeficientov zodpovedajúcich polynómov, ktoré sa majú určiť pre mriežku ( 1) je 3) zostrojená funkcia je jednoznačne určená daným poľom, 4) polynómy stupňa nezávisia od počtu uzlov mriežky a teda sa nemení s jeho nárastom, 5) zostrojená funkcia má spojité derivácie nahor do rádu p - 1 vrátane, 6) zostrojená funkcia má dobré aproximačné vlastnosti. Stručný odkaz. Navrhovaný názov – splajn – nie je náhodný – nami zavedené hladké po častiach polynomické funkcie a kreslenie splajnov spolu úzko súvisia. Uvažujme ohybné, ideálne tenké pravítko prechádzajúce cez referenčné body poľa umiestnené v rovine (x, y). Linearizovaná rovnica zakriveného pravítka má podľa Bernoulli-Eulerovho zákona tvar Funkcia S(x), ktorá popisuje pravítka, je polynómom tretieho stupňa medzi každým a dvoma susednými bodmi poľa (podporami) a je dvakrát spojito diferencovateľná na celom intervale (a, 6). Komentujte. 06 interpolácia spojitej funkcie Na rozdiel od Lagrangeových interpolačných polynómov postupnosť interpolačných kubických splajnov na rovnomernej mriežke vždy konverguje k interpolovanej spojitej funkcii a so zlepšovaním diferenciálnych vlastností tejto funkcie sa rýchlosť konvergencie zvyšuje. Príklad. Pre funkciu dáva kubický spline na mriežke s počtom uzlov m = 6 chybu aproximácie rovnakého rádu ako interpolačný polynóm Ls(z) a na mriežke s počtom uzlov m = 21 je táto chyba taký malý, že v mierke obyčajnej knižnej kresby sa to jednoducho nedá zobraziť (obr. 10) (interpolačný polynóm 1>2o(r) dáva v tomto prípade chybu asi 10 000 W). Vlastnosti interpolovaného kubického splajnu A. Aproximačné vlastnosti kubického splajnu. Aproximačné vlastnosti interpolačného splajnu závisia od hladkosti funkcie f(x) – čím vyššia je hladkosť interpolovanej funkcie, tým vyšší je rád aproximácie a keď je sieť zjemnená, tým vyššia je miera konvergencie. Ak je interpolovaná funkcia f(x) spojitá na intervale Ak má interpolovaná funkcia f(x) spojitú prvú deriváciu na intervale [a, 6], teda interpolačný splajn, ktorý spĺňa okrajové podmienky 1. resp. 3. typ, potom pre h máme V tomto prípade nielen splajn konverguje k interpolovanej funkcii, ale aj derivácia splajnu k derivácii tejto funkcie. Ak splajn S(x) aproximuje funkciu f(x) na segmente [a, b] a jeho prvá a druhá derivácia aproximuje funkciu B. Extrémna vlastnosť kubického splajnu. Interpolačný kubický splajn má ďalšiu užitočnú vlastnosť. Zvážte nasledujúci príklad. príklad. Zostrojte funkciu /(x) minimalizujúcu funkcionál na triede funkcií z priestoru C2, ktorej grafy prechádzajú bodmi poľa x), ktorá spĺňa okrajové podmienky, dodáva funkcionálu extrém (minimum). Poznámka 2. Je zaujímavé poznamenať, že interpolačný kubický splajn má vyššie opísanú extrémnu vlastnosť na veľmi širokej triede funkcií, konkrétne na triede |0, 5]. 1.2. Vyhladzovanie kubických splajnov K formulácii vyhladzovacieho problému Nech je uvedená mriežka a množina čísel. V skutočnosti to znamená, že pre každú je špecifikovaný interval a akékoľvek číslo z tohto intervalu môže byť brané ako hodnota y, . Hodnoty y je vhodné interpretovať napríklad ako výsledky meraní nejakej funkcie y(x) pre dané hodnoty premennej x, obsahujúce náhodnú chybu. Pri riešení problému obnovy funkcie z takýchto "experimentálnych" hodnôt je sotva vhodné použiť interpoláciu, pretože interpolačná funkcia bude poslušne reprodukovať bizarné oscilácie spôsobené náhodnou zložkou v poli (y,). Prirodzenejší prístup je založený na postupe vyhladzovania, ktorý je navrhnutý tak, aby nejakým spôsobom znížil prvok náhodnosti ako výsledok meraní. Zvyčajne je v takýchto úlohách potrebné nájsť funkciu, ktorej hodnoty pre x = x, * = 0, 1, .... m, by spadali do zodpovedajúcich intervalov a ktorá by navyše mala dostatočne dobré vlastnosti. Napríklad by mala spojitú prvú a druhú deriváciu alebo by jej graf nebol príliš silno zakrivený, čiže by nemal silné oscilácie. Problém tohto druhu nastáva aj vtedy, keď je podľa daného (presne) poľa potrebné zostrojiť funkciu, ktorá by síce prechádzala nedanými bodmi, ale v ich blízkosti a navyše sa celkom plynulo menila. Inými slovami, požadovaná funkcia dané pole akoby vyhladila a neinterpolovala. Nech je daná mriežka w a dve sady čísel TEÓRIA SPLINE príklady riešení Úloha. Zostrojte hladkú funkciu na segmente [a, A], ktorého hodnoty v uzloch mriežky a líšia sa od čísel y o dané hodnoty. Formulovaný problém vyhladzovania je zotavenie hladká funkcia uvedená v tabuľke. Je jasné, že takýto problém má mnoho rôznych riešení. Kladením dodatočných podmienok na konštruovanú funkciu môžeme dosiahnuť potrebnú jedinečnosť. Definícia vyhladzovacieho kubického splajnu Vyhladzovací kubický splajn S(x) na sieti w je funkcia, ktorá 1) na každom zo segmentov je polynóm tretieho stupňa, 2) je na segmente dvakrát spojito diferencovateľný [a, 6 ], to znamená, že patrí do triedy C2 [a, b], 3) poskytuje minimum do funkcionálu, kde sú uvedené čísla, 4) spĺňa okrajové podmienky jedného z troch nižšie uvedených typov. Okrajové (okrajové) podmienky Okrajové podmienky sú špecifikované ako obmedzenia hodnôt splajnu a jeho derivátov na hraničných uzloch siete w. A. Okrajové podmienky 1. typu. - na konci intervalu [a, b) sú uvedené hodnoty prvej derivácie požadovanej funkcie. Okrajové podmienky 2. typu. - druhé derivácie žiadanej funkcie na koncoch intervalu (a, b] sa rovnajú nule. B. Okrajové podmienky 3. typu sa nazývajú periodické. Veta. Kubický splajn S (x), minimalizujúci funkcionál (4). ) a splnenie okrajových podmienok jedného z troch naznačených typov je jednoznačne definované Definícia Kubický splajn, ktorý minimalizuje funkčnú J(f) a spĺňa okrajové podmienky i-typu, sa nazýva vyhladzovací splajn i-typu. Tento segment o štyri koeficienty.Segmenty celkom - m.Takže, aby ste mohli úplne definovať spline, musíte nájsť čísla 4 m. Podmienka znamená spojitosť funkcie 5(ar) a všetkých derivácií vo všetkých vnútorných uzloch mriežka o. „Počet takýchto uzlov je m - 1 Na nájdenie koeficientov všetkých polynómov sa teda získajú 3 (m - 1) podmienky (rovnice). pre ktoré je počet veličín, ktoré sa majú určiť, 2 m + 2. Na každom z intervalov sa hľadá funkcia vyhladzovacieho splajnu v nasledujúcom tvare Najprv popíšme, ako sa zisťujú množstvá n*. Pre okrajové podmienky 1. a 2. typu je sústava lineárnych rovníc na určenie hodnôt Hi zapísaná v nasledujúcom tvare, kde sú známe čísla). Koeficienty závisia od výberu okrajových podmienok. Okrajové podmienky 1. typu: Okrajové podmienky 2. typu: V prípade okrajových podmienok 3. typu je systém určovania čísel napísaný nasledovne: navyše všetky koeficienty sa počítajú podľa vzorcov (5) (veličiny s indexy k a m ​​+ k sa považujú za rovné : Dôležitá* poznámka. Matice systémov nie sú degenerované, a preto má každý z týchto systémov jedinečné riešenie. Ak sa nájdu čísla n, -, potom sa množstvá dajú ľahko určiť pomocou vzorcov Ak sa všetko a vyhladzovací splajn ukáže ako interpolačný. To znamená najmä to, že čím presnejšie sú hodnoty uvedené, tým menšia je predškálová hodnota zodpovedajúcich váhových koeficientov. Ak je na druhej strane potrebné, aby spline prechádzal bodom (x^, yk), potom jemu zodpovedajúci váhový faktor p\ musí byť nastavený na nulu. V praktických výpočtoch je najdôležitejší výber hodnôt pi-Let D, - chyba merania hodnoty y,. Potom je prirodzené vyžadovať, aby vyhladzovací splajn spĺňal podmienku alebo, čo je rovnaké V najjednoduchšom prípade možno váhové koeficienty pi uviesť napríklad v tvare - kde c je nejaká dostatočne malá konštanta. Takáto voľba váh p však neumožňuje použiť „koridor“ kvôli chybám v hodnotách y, -. Racionálnejší, ale aj časovo náročnejší algoritmus na určenie hodnôt p, - môže vyzerať nasledovne. Ak sa hodnoty nájdu pri fc-tej iterácii, potom sa predpokladá, že e je malé číslo, ktoré sa vyberie experimentálne s prihliadnutím na bitovú mriežku počítača, hodnoty D a presnosť riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc. Ak je pri fc-tej iterácii v bode i porušená podmienka (6), potom posledný vzorec zabezpečí zníženie zodpovedajúceho váhového koeficientu p,. Ak potom pri ďalšej iterácii zvýšenie p povedie k úplnejšiemu využitiu "koridoru" (6) a v konečnom dôsledku k hladšie sa meniacemu splajnu. Trochu teórie A. Zdôvodnenie vzorcov na výpočet koeficientov interpolačného kubického splajnu. Zavedieme označenie, kde m, sú neznáme veličiny. Ich počet sa rovná m + 1. Spline, zapísaný v tvare, kde spĺňa podmienky interpolácie a je spojitý na celom intervale [a, b\: vložením vzorca dostaneme, resp. spojitá prvá derivácia na intervale [a, 6]: derivačným vzťahom (7) a nastavením dostaneme zodpovedajúcu. vlastne. Ukážme, že čísla m môžeme zvoliť tak, že splajnová funkcia (7) má spojitú druhú deriváciu na intervale [a, 6]. Vypočítajte druhú deriváciu splajnu na intervale: V bode x, - 0 (v t = 1) máme Vypočítajte druhú deriváciu splajnu na intervale V bode máme Z podmienky spojitosti druhej derivácie na vnútorných uzloch mriežky a; dostaneme vzťah m - 1 kde Pridaním k týmto m - 1 rovniciach ďalšie dve, vyplývajúce z okrajových podmienok a z nich, dostaneme sústavu m + 1 lineárnych algebraických rovníc s m + I neznámych miy i = 0, 1. ... , m. Sústava rovníc na výpočet hodnôt gw v prípade okrajových podmienok 1. a 2. typu má tvar kde (okrajové podmienky 1. typu), (okrajové podmienky 2. typu). Pre periodické okrajové podmienky (okrajové podmienky 3. typu) mriežka o; predĺžiť o jeden uzol a predpokladať Potom systém na určovanie hodnôt r* bude mať tvarovú spojitosť v druhom a (tom - !) uzle mriežky. Máme Z posledných dvoch vzťahov získame chýbajúce dve rovnice, ktoré zodpovedajú okrajovým podmienkam 4. typu: Vylúčením neznámej r0 z rovníc a neznámej pc z rovníc získame sústavu rovníc. Všimnite si, že počet neznámych v tomto systéme je rovný r - I. 6. Zdôvodnenie vzorcov na výpočet účinnosti vyhladzovacieho subického splajnu. Zavádzame zápis, kde Zi a nj sú zatiaľ neznáme veličiny. Ich počet sa rovná 2 m + 2. Spline funkcia zapísaná v tvare je spojitá na celom intervale (a, 6]: zadaním tohto vzorca dostaneme, resp. Ukážme, že čísla z a n môžu byť zvolený tak, aby splajn zapísaný v tvare ( 8), mal spojitú prvú deriváciu na intervale [a, 6] Vypočítajte prvú deriváciu splajnu S(x) na intervale : V bode máme Zo podmienka spojitosti prvej derivácie splajnu vo vnútorných uzloch mriežky a --> dostaneme vzťah m - 1. Tento vzťah je vhodné zapísať v maticovom tvare.vzťah (8) a nastavenie získame, maticový vzťah Yeshe olyu sa získa z podmienky minima funkcionálu (4). Máme Posledné dve maticové rovnosti môžeme považovať za lineárny systém 2m + 2 lineárnych algebraických rovníc v 2m + 2 neznámych. Nahradením stĺpca r v prvej rovnosti jeho výrazom získaným zo vzťahu (9) sa dostaneme k maticovej rovnici SPLINE THEORY príklady riešení na určenie stĺpca M. Táto rovnica má jedinečné riešenie vďaka tomu, že matica A + 6HRH7 je vždy nedegenerovaná. Keď ho nájdeme, ľahko identifikujeme pána Eamshinea. Prvky trojuholníkových matíc A a H určujú n iba pomocou parametrov siete u (s krokmi hi) a nezávisia od hodnôt yj. Lineárny priestor kubických splajnov Množina kubických splajnov zostrojených na segmente [a, 6) uzlom wcra + l je lineárny priestor s rozmerom m + 3: 1) súčet dvoch kubických splajnov zostrojených mriežkou u> a súčin kubického splajnu postaveného na mriežke u>, ľubovoľný počet tajnejších sú kubické splajny postavené na tejto mriežke, 2) akýkoľvek kubický splajn postavený na mriežke az uzla je úplne určený m + 1 hodnota hodnôt y "v týchto uzloch a dve okrajové podmienky - len + 3 parametre. Ak v tomto priestore vyberieme bázu pozostávajúcu z m + 3 lineárne nezávislých splajnov, môžeme jedinečným spôsobom napísať ľubovoľný kubický splajn a(x) ako ich lineárnu kombináciu. Komentujte. Takáto spline špecifikácia je široko používaná vo výpočtovej praxi. Obzvlášť vhodný je základ, ktorý pozostáva z takzvaných kubických B-spline (základných alebo základných spline). Použitie D-spline môže výrazne znížiť požiadavky na pamäť počítača. L-drážky. B -spline nula stupňa, postavený na číselnej osi pozdĺž mriežky w, je funkciou vidlice B -spline stupňa k ^ I, postavený na číselnej osi pozdĺž mriežky u, je určený rekurzívnym vzorcom druhý v \7\x) stupňov sú znázornené na obr. 11 a 12. B-spline ľubovoľného stupňa k sa môže líšiť od nuly len na určitom segmente (definovanom k ​​+ 2 uzlami). Výhodnejšie je číslovať kubický B -spline tak, že splajn B,-3* (n) bol odlišný od nuly na segmente ir,-+2] Uveďme vzorec pre kubický splajn tretieho stupňa pre prípad rovnomernej siete (s krok A). ​​Máme v iných prípadoch. Typický graf kubického B-spline je znázornený na obr. 13. Funkcia a) je dvakrát spojito diferencovateľná na segmente, to znamená, že patrí do triedy C2 [a, "), c) je nenulové iba na štyroch po sebe nasledujúcich segmentoch rozšírenej siete w * mo Je potrebné zostrojiť rodinu m + 3 kubických B-spline: Táto rodina tvorí základ v priestore kubických splajnov na segmente (a, b]. Teda ľubovoľný kubický splajn S(z) skonštruovaný na segmente |s, 6] mriežky o; z +1 uzlov, môžu byť reprezentované na tomto segmente ako lineárna kombinácia Koeficienty ft tohto rozšírenia sú jednoznačne určené podmienkami problému. ... V prípade, že hodnoty funkcie na uzloch mriežky a hodnoty prvej derivácie funkcie na koncoch mriežky "(problém interpolácií s okrajové podmienky prvého druhu), tieto koeficienty vypočítame zo sústavy tvaru i a &m+i, získame lineárnu sústavu s neznámymi 5q, ... , bm a trojdiagonálnu maticu. dominancia a teda možnosť použiť na jej vyriešenie metódu sweep interpolačné problémy Zmmchm* 2. V porovnaní s algoritmami opísanými v časti 1.1 použitie R-spline pri problémoch s interpoláciou * znižuje množstvo uložených informácií, to znamená výrazne znižuje požiadavky na pamäť počítača, hoci vedie k zvýšeniu počtu operácií. . Konštrukcia spline kriviek pomocou spline funkcií Vyššie boli uvažované polia, ktorých body boli očíslované tak, aby ich úsečky tvorili striktne rastúcu postupnosť. Napríklad prípad znázornený na obr. 14, keď rôzne body poľa majú rovnakú úsečku, nebolo povolené. Táto okolnosť predurčila tak výber triedy aproximačných kriviek (prevádzka funkcií), ako aj spôsob ich zostrojenia. Vyššie navrhovaná metóda však umožňuje celkom úspešne zostrojiť interpolačnú krivku vo všeobecnejšom prípade, keď číslovanie bodov poľa a ich umiestnenie v rovine spravidla nesúvisia (obr. 15). Navyše, pri položení problému konštrukcie interpolačnej krivky môžeme dané pole považovať za nerovinné, to znamená, že je zrejmé, že na vyriešenie tohto všeobecného problému je potrebné výrazne rozšíriť triedu prípustných kriviek, vrátane v ňom sú uzavreté krivky a krivky so samopriesečníkmi a priestorové krivky. Takéto krivky je vhodné popísať pomocou parametrických rovníc Požadovame. navyše, aby funkcie mali dostatočnú hladkosť, patria napríklad do triedy C1 [a, /0] alebo do triedy Na nájdenie parametrických rovníc krivky postupne prechádzajúcej všetkými bodmi poľa postupujte nasledovne. 1. krok. Na ľubovoľnom segmente (\displaystyle ), sa volá polynomiálny spline objednať m (\displaystyle m) s uzlami x j ∈ (a ≤ x 0< . . . < x n ≤ b) {\displaystyle x_{j}\in (a\leq x_{0}<..., ak na každom zo segmentov [ x j − 1 , x j) (\displaystyle (3) (\displaystyle \left[(\begin(pole)(*(20)(c))((P_(j))((t_(j)))= f((t_(j))))\\((P_(j))((t_(j-1)))=f((t_(j-1))))\\(((P)) _(j))((t_(j)))=f"((t_(j))))\\(((P)_(j))((t_(j-1)))=f "((t_(j-1))))\\\koniec (pole))\vpravo]\qquad (3))

umožňuje jednoznačne určiť štyri koeficienty polynómu. Pre polynóm 5. stupňa treba pridať podmienku rovnosti 2. derivácie na koncoch úsečky atď.. Z toho, čo bolo povedané, by malo byť zrejmé, prečo sa splajny stavajú najmä z polynómov nepárnych stupňov (s párny počet koeficientov).

Pre polynómy párnych stupňov pri zostavovaní systému (3):

• derivát zostáva neurčitý na jednom z koncov segmentu;
• a nebude splnená podmienka rovnosti derivácií (hladkosť krivky),

preto pre polynóm 2. stupňa nie je možné dosiahnuť rovnosť 1. derivácie v styčných bodoch a pre 4. stupeň - 2. deriváciu atď. Na zostrojenie splajnov s párnymi stupňami sa umelo pridávajú ďalšie podmienky na vytvorenie sústavy rovníc, podobne ako (3). Ak sú derivácie spline polynómu definované rovnakým spôsobom ako zodpovedajúce derivácie interpolovanej funkcie, spline sa nazýva Hermitian.

Pj (n) (t j) = f n (t j) , P j (n) (f j − 1) = f n (t j − 1) (4) (\displaystyle P_(j)^((n))((t_ (j)))=(f^(n))((t_(j))),\qquad P_(j)^((n))((f_(j-1)))=(f^(n ))((t_(j-1)))\qquad(4))

Existujú lokálne metódy konštrukcie Besselových a Akimiho splajn, B - splajn [ ] . V podstate, pokiaľ ide o splajny, znamenajú splajny vytvorené z algebraických polynómov. Toto sú definície uvedené vyššie. Práve tieto splajny sú najviac študované. Spline však môže pozostávať z fragmentov funkcií akejkoľvek triedy. AT [ ] zvažuje sa konštrukcia takýchto splajnov a skúmajú sa ich vlastnosti. Autor [ SZO?] neposkytuje všeobecnú definíciu zostrojených splajnov. Je zrejmé, že pre všetky triedy funkcií, ktoré tvoria spline, definícia uvedená na začiatku článku nie je úplne vhodná. Ak sa napríklad splajn skladá zo segmentov exponentu, potom pojem defekt spline stráca svoj význam. Hoci počet spojitých derivátov zostane dôležitou charakteristikou. Konštrukcia splajnu, ktorého fragmenty sú nespojité funkcie (racionálne funkcie, Padeove funkcie) je trochu nad rámec myšlienky splajnu, keďže jednou z hlavných výhod splajnov je ich plynulosť. Ak sa takéto konštrukcie svojvoľne rozšíria, rozdiely medzi splinemi a hrudkovitými funkciami sa zmažú. Ďalšou výhodou spline je výpočtová efektivita. Nadmerná komplikácia fragmentov výrazne znižuje výhodu splajnov oproti klasickým funkciám.

Spline sa vyznačujú nasledujúcimi vlastnosťami: splajn pozostáva z fragmentov - funkcií rovnakej triedy, ktoré sa líšia iba svojimi parametrami, na susedné fragmenty sú v styčných bodoch kladené určité podmienky, ktoré sú redukované na kontinuitu hodnôt a niektoré prvé deriváty. Spline je odvetvie aplikovanej matematiky, ktoré sa intenzívne rozvíja. Internet obsahuje rozsiahlu bibliografiu o spline (Spline bibliografická databáza (SBD)).

Klasifikácia spline

Ako je uvedené vyššie, existuje veľké množstvo štruktúr, ktoré sa nazývajú spline. Preto je potrebné zaviesť do tejto odrody určitú klasifikáciu s cieľom zdôrazniť tie vlastnosti, ktoré vám umožnia vybrať spline vhodné pre konkrétny aplikovaný problém.

Priradenie splajnov. Podľa účelu možno rozlíšiť tri hlavné skupiny splajnov: „interpolačné splajny“ alebo „funkčné splajny“ – prechádzajú presne danými bodmi, „vyhladzovacie splajny“ – prechádzajú danými bodmi, berúc do úvahy chyby pri ich určení; "korelačné splajny" - prechod cez korelačnú množinu bodov a zobrazenie jej všeobecnej závislosti (trend, regresia). Interpolácia a funkčné splajny sa používajú pri úlohách geometrického modelovania, napríklad pri nastavovaní obrysov lodných trupov a lietadiel. Vyhladzovacie drážky sa najčastejšie používajú na popis závislostí fyzikálnych experimentov so známou chybou merania. Korelačné splajny sa používajú ako nelineárne regresné grafy, z ktorých najjednoduchší možno považovať za popis závislosti pomocou skokovej a po častiach lineárnej funkcie (spline nultého a prvého stupňa).

Pohľad na fragmenty spline. Skutočnosť, že drážka pozostáva z fragmentov rovnakého typu, je jednou z kľúčových vlastností, ktorá ju odlišuje od iných funkcií kusov. Existujú však kombinované splajny, pozostávajúce z fragmentov rôznych splajnov.

Najznámejšie splajny - pozostávajúce z fragmentov - sú algebraické polynómy nie vyššie ako daný stupeň. Spravidla ide o kubické polynómy alebo polynómy nepárnych stupňov: prvý, tretí (kubický), piaty stupeň. Vyššie stupne sa zriedka používajú kvôli zložitosti výpočtov a zložitosti opísanej v predchádzajúcej časti. Ich hlavnou výhodou je jednoduchosť výpočtov a analýzy. Nevýhodou je, že tejto závislosti zodpovedá relatívne málo reálnych fyzikálnych procesov.

Exponenciálne splajny. Ak sa ohybné kovové pravítko upevnené v uzloch natiahne, potom riešením diferenciálnej rovnice nebude algebraický polynóm, ale exponenciála. Preto sa takéto splajny nazývajú aj napätý. Exponent popisuje mnohé fyzikálne procesy v dynamických systémoch. Nevýhodou je zložitosť výpočtu.

Mechanickou analógiou s kovovým pravítkom, čo je konštrukčný model nosníka, sa získajú drážky s premenlivou tuhosťou, opísané v prácach Snigireva V.F. a Pavlenka A.P. Spočiatku sa takéto drážky nazývali degenerované alebo logaritmické, pretože riešenie pôvodného Spline diferenciálna rovnica, ktorá je splajnovým fragmentom, bude obsahovať prirodzené logaritmické funkcie. Tuhosť v nich môže pôsobiť ako váha, ak je vopred určená, alebo ako riadiaca funkcia, ktorá sa zistí z minimálnych podmienok pre energetický funkcionál operátora pôvodnej spline rovnice, ktorá je podobná celkovej potenciálnej energii deformácia pravítka (lúča). Funkcia tuhosti umožňuje ovládať tvar drážky. V prípade, že funkcia tuhosti je riadiacou funkciou, potom sa takéto drážky nazývajú drážky minimálnej tuhosti.

Trigonometrické sú splajny, ktorých fragmenty sú opísané trigonometrickými polynómami. Majú pomerne zložité výpočtové výrazy. V prácach B. A. Popova je opísaných viac ako päťdesiat spline fragmentov rôznych typov.

Existujú aj racionálne spline a Padé spline. Ich vlastnosťou je možnosť rozbitia derivátov na fragmentoch s kontinuitou v uzloch. M. Ansermet vytvára zlomkové splajny, kde sú fragmenty špecifikované pomocou funkcie gama.

Vhodnosť použitia fragmentov určitého typu vychádza zo špecifických podmienok problému a implementačných obmedzení. Spravidla je hlavnou požiadavkou dosiahnutie danej presnosti interpolácie pri prijateľných nákladoch na čas a zdroje na implementáciu. Dobrá voľba fragmentov, ktorá zodpovedá povahe procesu, znižuje čas výpočtu a potrebné množstvo pamäte.

Počet fragmentov. Je zrejmé, že minimálny počet fragmentov je jeden. Klasická definícia spline obmedzuje počet fragmentov na určitý počet na konečnom segmente. Je však možné zostaviť splajny s nekonečným počtom fragmentov, ale v skutočnosti tieto metódy a algoritmy nepotrebujú informácie o určitom počte fragmentov. Tieto splajny sú reprezentované kardinál spline preskúmané Schoenbergom. Na vytváranie splajnov s neobmedzeným počtom fragmentov sú vhodnejšie lokálne splajny.

Šírka fragmentu. Je potrebné vybrať drážky s rovnakou šírkou fragmentov. To vám umožní výrazne zjednodušiť výpočtové výrazy, urýchliť činnosť algoritmov a znížiť náklady na implementáciu. Určité zjednodušenie je možné dosiahnuť použitím fragmentov s viacnásobnou šírkou. Existujú spline s nulovou šírkou fragmentov (De Boer). To vedie k množstvu uzlov a možnosti aproximácie splajnov s neoddeliteľnými fragmentmi nespojitých funkcií. Výpočtové výrazy sa získajú ako výsledok limitných prechodov. Spline môžu mať aj fragmenty s nekonečnou šírkou. Tieto fragmenty by mali byť extrémne. Niekedy to umožňuje prirodzené nastavenie okrajových podmienok. Presne povedané, šírka fragmentov závisí od výberu parametra - argumentu funkcie spline, a to si vyžaduje vyriešenie samostatného parametrizačného problému. Ideálnou voľbou ako parametra je dĺžka interpolovanej funkcie, ktorá nie je vždy známa, preto existuje mnoho spôsobov, ako tento problém vyriešiť. Najbežnejšou metódou parametrizácie sú akordy.

Podmienky spájania fragmentov. Ďalšou dôležitou vlastnosťou, ktorá odlišuje spline. Pokiaľ ide o drážky, fragmenty sa spravidla považujú za hladké. To znamená, že je zabezpečená kontinuita hodnôt a prvej derivácie. koncepcia defekt drážky súvisí s počtom spojitých derivácií, ktoré má funkcia fragmentu určitého typu, a počtom derivácií, ktorých spojitosť je v uzloch zaručená. Exponent, sínusoida, má nekonečný počet derivácií. Pre nich tento koncept nedáva zmysel. Preto je vhodnejšie hovoriť priamo o počte derivácií, ktorých kontinuita je zaručená v uzloch splajnu. V praxi hovoríme o kontinuite hodnôt a prvej, maximálnej druhej derivácii. Medzera medzi druhým a vyšším derivátom nie je vizuálne viditeľná, takže sa s ňou málokedy počíta. Je jasné, že prvá derivácia v styčných bodoch môže byť špecifikovaná rôznymi spôsobmi. Najbežnejšie sú dva spôsoby. Hodnota prvej derivácie je zvolená tak, aby bola zabezpečená kontinuita druhej derivácie (globálne kubické splajny s minimálnou chybou). Prvá derivácia sa rovná prvej derivácii interpolovanej funkcie (možno približne) v Hermitových splajnách.

Okrajové podmienky . Existujú 4 typy klasických okrajových podmienok a množstvo neklasických. Ak majú splajny obmedzený počet fragmentov, potom, prirodzene, nemajú extrémne fragmenty vľavo a vpravo, takže nie je čo spájať extrémne uzly. Výnimkou sú len periodické splajny, ktoré majú prirodzené rozšírenie (3. typ klasických okrajových podmienok). Niekedy sa okrajové podmienky s nulovou deriváciou nazývajú prirodzené, aj keď nie je dôvod považovať ich za prirodzenejšie ako iné, ale pre kubický splajn sú prirodzené (prirodzené) okrajové podmienky špeciálnym prípadom 2. typu klasických okrajových podmienok, ktoré definuje druhé derivácie na okrajoch spline. V tomto prípade prirovnanie druhej derivácie k nule uvoľní okraje kovového pravítka od zaťaženia ohybovým momentom, ktorý by prirodzene nastal pri jeho aplikácii na pevné (dané) uzly vo fyzickom priestore. V 1. type klasických okrajových podmienok sú prvé derivácie (tangenciálne) nastavené na okrajoch splajnu; v 2. type - nastavte druhé derivácie (zakrivenie); 3. typ sa používa na interpoláciu uzavretých alebo periodických čiar a spočíva v spájaní krajných fragmentov spline; 4. typ sa používa vtedy, keď na okrajoch splajnu nie je známa ani prvá ani druhá derivácia a spočíva v spájaní susedných párov krajných fragmentov (1. s 2. a posledný s predposledným) tretími deriváciami, ktoré v r. prax sa realizuje v kreslení párov cez uzly susediace s extrémnymi fragmentmi funkcie podobnej jednému splajnu (pre polynóm splajnu - polynómu rovnakého stupňa ako splajnový fragment). Používajú sa rôzne kombinácie okrajových podmienok, ktoré sú redukované na tieto 4 typy klasických podmienok. Ak okrajové podmienky nemožno redukovať na tieto štyri typy, ako je napríklad zmena na dvojici susedných extrémnych fragmentov splajnu jeho tretej derivácie podľa lineárneho (afinného) zákona, navrhnutá v prácach Snigireva V. F., potom sa takéto podmienky nazývajú neklasická verzia okrajových podmienok. Nižšie sú uvedené niektoré varianty, ktoré sa redukujú na klasické okrajové podmienky. Ak má splajn fragmenty rovnakej šírky, spočítajú sa chýbajúce fragmenty rovnakej šírky. Ďalšou možnosťou je zvážiť chýbajúce fragmenty rozšírené do nekonečna. Výhodou tohto prístupu je možnosť extrapolácie. Šírku fragmentov môžete považovať za nulovú. Vypočítané výrazy sa získajú limitnými prechodmi. Ak sa na okrajové podmienky pozrieme z pohľadu tvorby splajnu z bázových funkcií, potom sú redukované na pokračovanie zodpovedajúcich lokálnych bázových funkcií. Šírka susedných fragmentov ovplyvňuje ich tvar. Jednoduchý rez často vedie k oscilácii a zvýšeniu chyby na okrajoch. Okrajové podmienky sú dôležité pri spracovaní obrazu a extrapolačných problémoch.

Ďalšie obmedzenia. Najčastejšie sa týkajú derivátov na uzloch. Niekedy vyplývajú z fyziky procesu. Podmienky: neodcudziteľnosť hodnôt, rovnosť momentov, oblastí, normalizačné podmienky. Dodatočné podmienky niekedy zjednodušujú analýzu vlastností spline, ale môžu vážne skomplikovať náklady na výstavbu a realizáciu.

Mriežka interpolačných bodov. Môže výrazne ovplyvniť efektivitu výpočtov. Dôležité sú prípady rovnomernej mriežky a rovnomernej mriežky so vzdialenosťou medzi bodmi, ktorá je násobkom vzdialenosti medzi uzlami spline. Nájdenie mriežky interpolačných bodov (interpolačných uzlov) je parametrizačná úloha, o ktorej už bola reč v časti Šírka fragmentu.

Lokálne vlastnosti bázových funkcií. Spline môže byť reprezentovaný ako súčet vážených základných splajnov. Šírka týchto základných funkcií je podstatná. Takže v globálnych splajnách sú základné splajny nenulové na celom interpolačnom segmente. Aj keď stojí za zmienku, že s určitou presnosťou (dostatočnou pre mnohé technické výpočty) ich možno považovať za miestne. Pre lokálne splajny je šírka základných funkcií malá (štyri fragmenty pre kubické hermitovské splajny). To výrazne ovplyvňuje efektivitu výpočtov a náklady na implementáciu.

Prezentačný formulár. Funkcie, ktoré definujú fragmenty spline, spravidla závisia od mnohých parametrov, vďaka ktorým menia svoj tvar. Hodnoty parametrov na každom z fragmentov sú individuálne. Tieto parametre môžu špecifikovať konkrétny spline. Pre polynomické splajny sú to polynómové koeficienty. Spline teda môže byť reprezentovaný množinou funkčných parametrov na každom z fragmentov. Nazvime to reprezentácia na fragment. Takéto znázornenie je ilustratívne a často má jasný fyzikálny význam. Ale počet parametrov je prehnaný. Takže pre kubický spline musíte mať 4 * (r-1) parametre ( r je počet spline uzlov). Táto reprezentácia je získaná ako výsledok neurčitej integrácie fragmentu pôvodnej spline diferenciálnej rovnice a nazýva sa analogická po častiach polynómová forma (pp-forma) analogicky s polynomiálnymi splinemi. Na explicitné vyjadrenie koeficientov v zmysle už známych hodnôt súradníc uzlových bodov sa používa rozklad podobnej po častiach polynómovej formy na základné funkcie jej dosadením do hermitovských okrajových podmienok (okrajové podmienky pre splajnový fragment podmienky pre interpoláciu a spoliehanie sa na deriváty). Výsledkom je základný tvar (tvar B) spline. Táto reprezentácia splajnu je oveľa kompaktnejšia a dá sa napísať pomocou základných splajnových funkcií vo forme:

S (x) = ∑ j = 1 r a j B j (x) (\displaystyle S(x)=\sum \limits _(j=1)^(r)((a_(j))(B_(j)) (X))),

kde B j (x) (\displaystyle (B_(j)) (x))- základné funkcie spline (zvyčajne lokálne), a j (\displaystyle a_(j))- číselné koeficienty, ktoré špecifikujú váhu základných funkcií pri tvorbe spline, ktorých fyzikálny význam sú zovšeobecnené (lineárne a uhlové) posuny kovového pravítka v uzloch. Počet parametrov definujúcich spline sa rovná počtu spline uzlov. Medzi parametrami funkcie na fragmente a koeficientmi polynómu-spline existuje vzťah, čo umožňuje nájsť iné s niektorými koeficientmi, aj keď vzorce môžu byť dosť zložité.

Transformácia podobného po častiach polynomického tvaru spline reprezentácie do základného tvaru znižuje poradie sústavy lineárnych algebraických rovníc na hľadanie neznámych spline koeficientov, keďže sú čiastočne vyjadrené v podmienkach už známych parametrov - súradníc daných bodov ( uzly), čo môže výrazne znížiť výpočtové náklady vďaka možnosti aplikovať metódy ekonomického riešenia, ako je algebraická metóda rozmietania alebo varianty Gaussovej metódy pre riedke (páskové) matice s voľbou vedúceho prvku stĺpca.

Obsah spline koeficientu. Ako bolo uvedené v predchádzajúcom odseku, obsah spline parametrov v reprezentácii fragmentov je určený typom funkcie. Pri polynómovej reprezentácii by sme mali zdôrazniť prípad, keď koeficienty majú rovnaký fyzikálny význam ako vstupné údaje. To znamená, že koeficienty sú hodnoty spline v uzloch. Táto forma sa nazýva Lagrange, analogicky s Lagrangeovým polynómom. Je potrebné poznamenať, že základné splajny tejto formy sa rovnajú jednej v centrálnom uzle a nule vo všetkých ostatných.

Koeficienty interpolácie a funkčné splajny obsahujú vždy hodnoty súradníc daných bodov, ktoré vyplývajú z interpolačných podmienok. A tiež, v závislosti od podmienok spoliehania sa na deriváty, obsahujú hodnoty zodpovedajúcich derivátov na hraniciach splajnu (v uzlových bodoch). Spravidla pri písaní takýchto podmienok je splajnový fragment na svojich hraniciach založený na prvej alebo druhej derivácii. Fragment drážky spočívajúci na prvých deriváciách jasne odráža fyzikálny význam, pretože prvé derivácie (tangenciálne) sú uhlové posuny (rotácie) kovového pravítka vzhľadom na priečnu os. Spoliehanie sa na druhé derivácie spline sa používa na zjednodušenie formy výpočtových výrazov, aby sa znížili chyby pri ich ručnom prepisovaní, avšak v niektorých prípadoch môže použitie takýchto výrazov za akýchkoľvek dodatočných podmienok viesť k triviálnym riešeniam.

Špeciálne drážky. V niektorých prípadoch sa berú do úvahy funkcie, ktoré sú blízko hranice medzi splinemi a bežnými funkciami, ako aj splajny a lumpy funkcie. Ide napríklad o splajny pozostávajúce z dvoch fragmentov. Majú zjednodušenú verziu konštrukcie, ale osobitnú pozornosť treba venovať okrajovým podmienkam.

Špeciálne splajny zahŕňajú viacrozmerný ortogonálny normalizovaný splajn popisujúci nelineárny model umelého neurónu (Khakimovov spline model). používa sa na modelovanie závislosti funkcie od množiny viacerých argumentov.

pozri tiež

Poznámky

Vershinin VV, Zavyalov Yu.S, Pavlov NN Extrémne vlastnosti spline a problém vyhladzovania. - Novosibirsk: Nauka, 1988, MDT 519.651

Rozhenko Alexander Iosifovič. Teória a algoritmy variačnej spline aproximácie: Dis. … Dr. Fyzik. Vedy: 01.01.07: Novosibirsk, 2003 231 s. RSL OD, 71:05-1/136

Shikin E. V., Plis L. I. Krivky a povrchy na obrazovke počítača. Sprievodca drážkami pre používateľov. - M.: DIALOG-MEPhI, 1996. - 240 s. ISBN 5-86404-080-0 , MDT 681.3 Sh57

Khakimov B.V. Modelovanie korelačných závislostí pomocou splajnov na príkladoch z geológie a ekológie. - St. Petersburg. : Neva, 2003. - 144 s. - ISBN 5-211-04588-2.

Pavlenko Alexej Petrovič. Aplikácia zovšeobecnených riešení pre návrh trámových prvkov leteckých konštrukcií a tvorbu funkčných spline: Dis. … cukríky. tech. Vedy: 05.07.02, 05.13.18 Kazaň, 2007. 185 RSL OD, 61 07-5/5391

Spline (Spline - po častiach polynomická funkcia) sú dvojrozmerné geometrické objekty, ktoré sú úplne nezávislé a môžu slúžiť ako základ pre konštrukciu zložitejších trojrozmerných telies. Navonok sú spline rôzne čiary, tvar čiary je určený typom vrcholov, cez ktoré prechádza. Spline môžu byť buď najjednoduchšie geometrické tvary: obdĺžniky, hviezdy, elipsy atď., alebo zložité lomené čiary alebo krivky, ako aj obrysy textových znakov.

Hlavnými prvkami splajnov sú vrcholy (Vertex) a segmenty (Segment). Vrcholy sa nazývajú body umiestnené na spline, pričom prvý vrchol označujúci začiatok spline je označený bielym štvorcom. Segment je bežne chápaný ako úsek spline čiary ohraničený dvoma susednými vrcholmi – segmenty môžu byť buď priame alebo zakrivené segmenty. Vrcholy spline sa líšia typom, ktorý určuje stupeň zakrivenia segmentov spline susediacich s týmito vrcholmi. Celkovo sa rozlišujú štyri typy vrcholov (obr. 1):
Roh (Uhlový) - horná časť, v ktorej má drážka prerušenie a segmenty, ktoré k nej priliehajú, sú zbavené zakrivenia.
Smooth (Smoothed) - vrchol, cez ktorý je krivka spline nakreslená s hladkým ohybom a zakrivenie segmentov susediacich s vrcholom je na oboch stranách rovnaké.
Bezier (Bézier) - vrchol, ktorý sa podobá hladkému a líši sa od neho schopnosťou ovládať stupeň zakrivenia oboch segmentov. Ten sa vykonáva vďaka prítomnosti dotyčnicových vektorov vo vrchole, obmedzených na koncoch značkami vo forme zelených štvorcov a nazývaných Bezierove úchyty. Pohybom Bézierových rukovätí môžete zmeniť smer, ktorým segmenty spline vstupujú a opúšťajú vrchol, a zmenou vzdialenosti od rukovätí k vrcholu môžete ovládať stupeň zakrivenia segmentov spline. Vrcholy tohto typu majú Bézierove rukoväte navzájom spojené a pohyb jednej z nich automaticky spôsobí pohyb druhej.
Bézierov roh (Uhlový Bézier) - vrchol, ktorý má dotyčnicové vektory, ktoré vám umožňujú ovládať stupeň zakrivenia segmentov, avšak na rozdiel od vrcholov Bézierovho rohu nie sú dotyčnicové vektory vo vrcholoch Bézierovho rohu navzájom spojené a pohyb jedného markerov nezávisí od pohybu toho druhého.

Segmenty sa líšia aj typom: Curve (Curve) alebo Line (Line). Výberom typu Krivka môžete získať zakrivené segmenty, ak sú vrcholy hladké alebo majú Bézierov typ, zatiaľ čo v prípade rohových vrcholov, aj keď je nastavený typ Krivka, segment zostane lineárny. Výber typu Line spôsobí, že typ vrcholu bude ignorovaný, čo spôsobí, že segment tohto typu bude vždy vyzerať lineárne.

Vyššie uvedená diskusia o interpolácii ukazuje, že zvýšenie presnosti aproximácie hladkej funkcie zvýšením stupňa interpolačného polynómu je možné (pozri vetu 11.8), ale je spojené s výrazným zvýšením výpočtovej zložitosti. Okrem toho, použitie polynómov vysokého stupňa si vyžaduje osobitnú opatrnosť aj pri výbere formy ich zápisu a výpočty sú sprevádzané hromadením chýb zaokrúhľovania.

Preto sa v praxi uprednostňuje po častiach polynómová interpolácia pomocou polynómov nízkeho stupňa. Táto metóda aproximácie má však nevýhodu: v "spojení" dvoch susedných polynómov má derivácia spravidla diskontinuitu (pozri príklad 11.12). Často táto okolnosť nehrá významnú úlohu. Súčasne sa často vyžaduje, aby aproximačná funkcia bola hladká, a potom sa najjednoduchšia po častiach polynómová interpolácia stáva neprijateľnou.

Prirodzená potreba aproximačných funkcií, ktoré by spájali lokálnu jednoduchosť polynómu nízkeho stupňa a globálnu hladkosť v celom intervale, viedla v roku 1946 k objaveniu takzvaných splajnových funkcií alebo splajnov – hladkých, po častiach vytvorených polynómových funkcií špeciálnym spôsobom. . Spline, ktorý si získal popularitu v 60. rokoch ako prostriedok na interpoláciu zložitých kriviek, sa teraz stal dôležitou súčasťou širokej škály výpočtových metód a našiel široké uplatnenie pri riešení rôznych vedeckých, technických a inžinierskych problémov.

Uveďme presnú definíciu splajnu. Nech je segment rozdelený podľa bodov na čiastočné segmenty. Stupňový splajn je funkcia, ktorá má nasledujúce vlastnosti:

1) funkcia je spojitá na intervale spolu so všetkými jej deriváciami až do určitého rádu

2) na každom parciálnom intervale sa funkcia zhoduje s nejakým algebraickým polynómom stupňa

Rozdiel medzi stupňom splajnu a najvyšším rádom derivačnej spojitosti na segmente sa nazýva defekt splajnu.

Najjednoduchší príklad spline je daný spojitým po častiach lineárnym

funkciu (obr. 11.8), ktorá je spline prvého stupňa (lineárny spline) s defektom rovným jednej. Samotná funkcia (nulová derivácia) je na intervale spojitá. Zároveň sa na každom čiastočnom segmente zhoduje s niektorým polynómom prvého stupňa.

Najpoužívanejšie v praxi sú splajny tretieho stupňa (kubické splajny) s defektom rovným 1 alebo 2. Takéto splajny na každom z čiastkových segmentov sa zhodujú s kubickým polynómom:

a majú aspoň jednu spojitú deriváciu na intervale

Pojem "spline" pochádza z anglického slova (flexible ruler, tyč) - názov zariadenia, ktoré používajú kresliari na kreslenie hladkých kriviek cez dané body. Ak na hranu položíte ohybné oceľové pravítko a ohnutím zafixujete jeho polohu v uzlových bodoch (obr. 11.9), získate mechanickú obdobu kubického drážkovania. Z priebehu pevnosti materiálov je totiž známe, že rovnica voľnej rovnováhy profilu pravítka je nasledovná: V intervale medzi dvoma susednými uzlami je teda polynóm tretieho stupňa. Neprítomnosť zlomov na pravítku zároveň naznačuje kontinuitu dotyčnice ku grafu funkcie a zakrivenia, t.j.

2. Interpolačný spline.

Nech je funkcia daná tabuľkou jej hodnôt

Všimnite si, že na segmente je interpolačný kubický splajn jednoznačne určený nastavením hodnôt, v skutočnosti z rovnosti (11.31) vyplýva nasledujúci vzorec:

Rôzne metódy interpolácie pomocou kubických splajnov sa navzájom líšia v spôsobe výberu sklonov. Poďme diskutovať o niektorých z nich.

3. Lokálny spline.

Ak sú v bodoch x známe hodnoty derivácie, potom je prirodzené dať pre všetky Potom na každom čiastočnom segmente v súlade so vzorcom (11.64) je splajn jednoznačne určený hodnotami ( preto sa nazýva lokálny spline). Všimnite si, že sa zhoduje s kubickým Hermitovým interpolačným polynómom (11.31) pre interval

Nerovnosť (11.33) poskytuje nasledujúci odhad interpolačnej chyby pomocou lokálnej kubickej spline:

kde Ashach je maximum dĺžok čiastkových segmentov.

Všimnite si, že pre takto skonštruovaný spline je možné zaručiť, že iba funkcia a jej prvá derivácia 53 sú spojité na intervale, t.j. jeho chyba je 2.

Existujú aj iné spôsoby výberu koeficientov a vedúcich k lokálnym splajnom (kubický Besselov polynóm, Akimova metóda atď.).

4. Globálne metódy konštrukcie kubických splajnov.

Aby mal splajn na segmente súvislú druhú deriváciu, je potrebné zvoliť sklony a, aby sa v bodoch x, „spojení“ polynómov, zhodovali hodnoty ich druhých derivácií:

Pomocou vzorca (11.64) nájdeme hodnotu

Z podobného vzorca napísaného

Rovnosti (11.66) teda vedú k nasledujúcemu systému rovníc vzhľadom na koeficienty

Všimnite si, že tento systém rovníc je nedostatočne určený, pretože počet rovníc systému (rovnajúci sa menším ako počet neznámych (rovnajúci sa) Výber dvoch zostávajúcich rovníc je zvyčajne spojený s niektorými dodatočnými podmienkami uloženými na spline v hraničné body (okrajové podmienky).Uveďme niektoré z najznámejších okrajových podmienok .

1°. Ak sú hodnoty prvej derivácie známe na hraničných bodoch, potom je prirodzené dať

Doplnením sústavy (11.69) o rovnice (11.70) dospejeme k sústave rovníc s tridiagonálnou maticou, ktorú jednoducho riešime rozmietacou metódou (pozri kap. 5). Výsledný splajn sa nazýva základný kubický splajn.

2°. Ak sú hodnoty druhej derivácie známe v hraničných bodoch, potom je možné na splajn uložiť okrajové podmienky, čo vedie k nasledujúcim rovniciam:

(v rovnosti (11.68) stačí vziať a v rovnosti

3°. Za predpokladu, že v rovniciach sú splnené tieto podmienky pre interpolovanú funkciu), dospejeme k sústave rovníc, ktoré definujú takzvaný prirodzený kubický splajn.

4°. Často neexistujú žiadne ďalšie informácie o hodnotách derivátov na koncoch segmentu. Jeden prístup použitý v tejto situácii je použiť podmienku "bez uzla". Výber sklonov sa vykonáva tak, že pre výsledný spline sú splnené nasledujúce podmienky. Na to stačí, aby sa príslušné tretie derivácie zhodovali v bodoch:

Ekvivalentné algebraické rovnice vyzerajú takto:

Tá istá aproximačná funkcia sa dá získať trochu iným spôsobom. Znížime počet čiastkových segmentov spojením segmentov do párov, čo zodpovedá rozdeleniu segmentu podľa bodov kde pre a zostrojeniu zodpovedajúceho interpolačného splajnu.

5°. Ak ide o periodickú funkciu s periódou rovnou o, potom systém (11-69) by mal byť doplnený o podmienky